【期中讲练测】苏科版八年级下册数学 专题08解分式方程与分式方程应用（考点清单）.zip

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【考点一 解分式方程】
分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
增根的概念：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根.
【易错易混】
1. 分式方程与整式方程的根本区别：分母中含有未知数，也是判断分式方程的依据.
2. 去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项.
3. 分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．
4. 分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根．
5. 解分式方程可能产生使分式方程无意义的根，检验是解分式方程的必要步骤.
6. 分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解.
【考点题型一】分式方程的判断
1．（23-24八年级下·全国·课后作业）给出下列关于x的方程：①x-13=5，②1x=4x-1，③3-xπ=x-1，④xa= 1b-1．其中，分式方程有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】
本题考查分式方程的概念，根据分式方程概念对上述方程进行判断，即可解题．
【详解】
解：①x-13=5，③3-xπ=x-1，④xa= 1b-1是整式方程；②1x=4x-1的分母中含有未知数x，是关于x的分式方程．
故分式方程有1个，
故选：A．
2．（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）下列关于x的方程中（1）1x=1；（2）2x+13=1+1-3x4；（3）xb+xb=1；（4）xa-3=a+4；（5）2x+3yπ+1=0，其中是分式方程的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键；
根据分式方程的定义逐个分析判断即可．
【详解】1x=1分母中含有未知数，故是分式方程；
2x+13=1+1-3x4分母中不含有未知数，故不是分式方程；
关于x的方程xb+xb=1分母b是常数，分母中不含有未知数，故不是分式方程；
关于x的方程xa-3=a+4分母a是常数，分母中不含有未知数，不是分式方程；
2x+3yπ+1=0分母中π是常数，不含有未知数，故不是分式方程；
综上所述：是分式方程的有1个；
故选：A．
3．（21-22八年级上·山东泰安·阶段练习）判一判：下列方程中，哪些是分式方程?哪些是整式方程?
（1）x-2x=x2；
（2）yπ=x2；
（3）x3x-1=12x；
（4）2m2=1m；
（5）2y-3=y2；
（6）2x=1；
（7）1x+1y=2．
【答案】（1）（3）（4）（5）（7）是分式方程；（2）（6）是整式方程．
【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的字母的方程叫做分式方程即可判断．
【详解】（1）x-2x=x2是分式方程；
（2）yπ=x2是整式方程；
（3）x3x-1=12x是分式方程；
（4）2m2=1m是分式方程；
（5）2y-3=y2是分式方程；
（6）2x=1是整式方程；
（7）1x+1y=2是分式方程．
【点睛】本题考查了分式方程的定义，掌握分式方程的定义是解题的关键．
【考点题型二】解分式方程
4．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）解方程：
(1)2x-5x-2+3=3x-3x-2；
(2)xx-2-1=8x2-4.
【答案】(1)x=4
(2)无解
【分析】
本题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的一般方法，准确计算．
（1）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可；
（2）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可．
【详解】（1）解：2x-5x-2+3=3x-3x-2，
去分母得：2x-5+3x-2=3x-3，
去括号得：2x-5+3x-6=3x-3，
移项合并同类项得：2x=8，
系数化为1得：x=4，
检验：把x=4代入x-2得：x-2=4-2=2≠0，
∴x=4是原方程的解．
（2）解：xx-2-1=8x2-4，
去分母得：xx+2-x2-4=8，
去括号得：x2+2x-x2+4=8，
移项合并同类项得：2x=4，
系数化为1得：x=2，
检验：把x=2代入x2-4得：x2-4=4-4=0，
∴x=2是原方程的增根，
∴原方程无解．
5．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）（1）当x为何值时，分式 3x-2与26-x互为相反数？
（2）解方程：2xx-3-2=3x+3+6x-3．
【答案】（1）当x=14时，分式 3x-2与26-x互为相反数；（2）原方程无解
【分析】
本题主要考查了解分式方程，相反数的定义：
（1）根据相反数的定义可得方程3x-2+26-x=0，解方程即可得到答案；
（2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解法，然后检验即可．
【详解】解：（1）由题意得，3x-2+26-x=0，
去分母得：36-x+2x-2=0，
去括号得：18-3x+2x-4=0，
移项得：-3x+2x=4-18，
合并同类项得：-x=-14，
系数化为1得：x=14，
检验，当x=14时，x-26-x≠0，
∴当x=14时，分式 3x-2与26-x互为相反数；
（2）2xx-3-2=3x+3+6x-3
去分母得：2xx+3-2x2-9=3x-3+6x+3，
去括号得：2x2+6x-2x2+18=3x-9+6x+18，
移项得：2x2+6x-2x2-3x-6x=-9+18-18，
合并同类项得：-3x=-9，
系数化为1得：x=3，
检验，当x=3时，x-3=0，
∴x=3是原方程的增根，
∴原方程无解．
6．（23-24八年级·全国·随堂练习）已知方程yy2-9+13-y=3y+3的解为y=k，求关于x的方程x+32=x+k3-1的解．
【答案】x=-11
【分析】
本题考查的是一元次方程的解法，分式方程的解法，方程的解的含义，先解分式方程，再把解代入一元一次方程，再解方程即可．
【详解】解：方程yy2-9+13-y=3y+3的两边都乘y2-9，得
y-y＋3=3y-3．
解这个方程，得y=2．
经检验，y=2是原分式方程的解，
∴k=2．
∴x+32=x+23-1，
去分母得：3x+3=2x+2-6，
整理得：3x+9=2x+4-6，
解得x=-11．
7．（23-24八年级·全国·随堂练习）解方程：
1x+10+1x+1x+2+1x+2x+3+⋅⋅⋅+1x+9x+10=2．
【答案】x=-12
【分析】本题考查的是分式方程的解法，先把方程化为1x+10+1x+1-1x+2+1x+2-1x-3+⋅⋅⋅+1x+9-1x+10=2可得1x+1=2，再解方程并检验即可．
【详解】解：整理方程得1x+10+1x+1-1x+2+1x+2-1x-3+⋅⋅⋅+1x+9-1x+10=2，
即1x+1=2．
方程两边乘x+1，得2x+2=1，
解得x=-12．
经检验x=-12是分式方程的解．
8．（23-24八年级·全国·随堂练习）阅读下列材料：
方程1x+1-1x=1x-2-1x-3的解为x=1，
方程1x-1x-1=1x-3-1x-4的解为x=2，
方程1x-1-1x-2=1x-4-1x-5的解为x=3，
……
(1)根据上述规律，可知解为x=5的方程为_________；
(2)通过解分式方程说明你写的方程是正确的．
【答案】(1)1x-3-1x-4=1x-6-1x-7
(2)见解析
【分析】本题考查根据分式方程的特点与解的规律来写分式方程，观察所给的材料信息时，要注意从特殊形式到一般形式的规律与特征．
（1）由具体的分式方程发现左右两边分母之差为1，再结合方程的解构建方程即可；
（2）先把方程的左右两边通分计算减法运算，再去分母解方程并检验即可．
【详解】（1）解：∵方程1x+1-1x=1x-2-1x-3的解为x=1，
方程1x-1x-1=1x-3-1x-4的解为x=2，
方程1x-1-1x-2=1x-4-1x-5的解为x=3，
∴解为x=5的方程为：1x-3-1x-4=1x-6-1x-7
（2）1x-3-1x-4=1x-6-1x-7
方程可变形为x-4-x+3x-3x-4=x-7-x+6x-6x-7，
∴-1x-3x-4=-1x-6x-7，
∴x-3x-4=x-6x-7，
∴x2-7x+12=x2-13x+42，
解得x=5．
检验：当x=5时，(x-3)(x-4)(x-6)(x-7)≠0，
∴x=5是原分式方程的解．
【考点题型三】特殊方法解分式方程-换元法
9．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）用换元法解方程x2+1x+1+6x+1x2+1=7时，下列换元方法中最合适的换元方法是 （ ）
A．设y=x2+1B．设y=x+1C．y=x2+1x+1D．y=1x2+1
【答案】C
【分析】设y=x2+1x+1，则原方程化为y2-7y+6=0，从而可得答案.
【详解】解：x2+1x+1+6x+1x2+1=7，设y=x2+1x+1，
∴y+6y=7，
整理得：y2-7y+6=0，
故选C
【点睛】本题考查的是利用换元法解分式方程，熟练的换元是解本题的关键.
10．（2023八年级上·全国·专题练习）换元法解方程：x-1x+2-27x-1-9=0．
【答案】x=-72或x=-54
【分析】本题考查了用换元法解分式方程， 先把方程变形为x-1x+2-9x+2x-1=0，再用换元法和平方根的意义求解即可．解题的关键是正确使用换元法．
【详解】解：∵x-1x+2-27x-1-9=x-1x+2-27x-1+9=x-1x+2-9x+2x-1，
∴原方程为x-1x+2-9x+2x-1=0
设y=x-1x+2，原方程可化为y-9y=0，
方程两边同时乘以y，得y2-9=0，
解得，y=±3，
经检验，y=±3都是原方程的解，
当y=3时，有x-1x+2=3，解得：x=-72，
当y=-3时，有x-1x+2=-3，解得：x=-54，
经检验：x=-72或x=-54都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x=-72或x=-54．
11．（21-22八年级下·上海普陀·期中）用换元法解方程组：1x+y+2x-y=141x+y-1x-y=1．
【答案】x=-43y=83
【分析】设1x+y=a，1x-y=b，得出2x-y=2b，进而将原方程组化为关于a，b的二元一次方程组，解方程组求出a，b，可得1x+y=34，1x-y=-14，进而得出关于x，y的二元一次方程组进行求解即可．
【详解】解：设1x+y=a，1x-y=b，
则原方程组可化为：a+2b=14①a-b=1②，
①－②得：3b=-34，
解得：b=-14，
把b=-14代入②得：a=34，
∴1x+y=34，1x-y=-14，
∴x+y=43③x-y=-4④，
③＋④，得2x＝-83，
解得x＝-43，
把x＝-43代入①，得y＝83，
故原方程组的解为x=-43y=83．
【点睛】此题考查了换元法解分式方程以及解二元一次方程组，将方程进行适当的变形是解本题的关键．
12．（2020七年级上·全国·专题练习）阅读下面材料，解答后面的问题
解方程：x-1x-4xx-1 =0．
解：设y=x-1x，则原方程化为：y﹣4y=0，
方程两边同时乘以y得：y2﹣4=0，解得：y=±2，
经检验：y=±2都是方程y﹣4y=0的解，
∴当y=2时，x-1x=2，解得：x=﹣1；当y=﹣2时，x-1x=﹣2，解得：x=13，
经检验：x=﹣1或x=13都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x=﹣1或 x=13．
上述这种解分式方程的方法称为换元法．
问题：（1）若在方程x-1x+1-4x+4x-1=0中，设y=x-1x+1，则原方程可化为： ；
（2）模仿上述换元法解方程：x-1x+2-3x-1-1=0．
【答案】（1）y-4y=0；（2）x=-12．
【分析】（1）根据换元法，可得答案；
（2）根据分式的加减，可得：x-1x+2-x+2x-1=0，根据换元法，可得答案．
【详解】（1）设y=x-1x+1，则原方程可化为：y-4y=0，
故答案为：y-4y=0；
（2）原方程化为：x-1x+2-x+2x-1=0，
设y=x-1x+2，则原方程化为：y-1y=0，
方程两边同时乘以y得：y2﹣1=0，解得：y=±1，
经检验：y=±1都是方程y-1y=0的解．
当y=1时，x-1x+2=1，该方程无解；
当y=﹣1时，x-1x+2=﹣1，解得：x=-12．
经检验：x=-12是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x=-12．
【点评】本题考查了解分式方程，利用换元法是解题关键．注意将所得的解代入分式方程检验分式方程是否有意义．
【考点题型四】特殊方法解分式方程-裂项法
13．（22-23八年级上·广东珠海·期末）李华在计算时，探究出了一个“裂项”的方法，如：11×2+12×3+13×4=1-12+12-13+13-14=1-14=34，利用上面这个运算规律解决以下问题：
(1)求15×6+16×7+17×8的值；
(2)证明：11×2+12×3+13×4+⋯+1(n-1)n+1n(n+1)<1；
(3)解方程：13x+115x+135x+163x=1x+1．
【答案】(1)340
(2)见解析
(3)x=45
【分析】（1）根据“裂项”的方法，计算即可；
（2）根据“裂项”的方法，计算证明即可；
（3）首先根据“裂项”的方法化简方程左边，然后把分式方程化为整式方程，计算即可．
【详解】（1）解：15×6+16×7+17×8
=15-16+16-17+17-18
=15-18
=340；
（2）证明：11×2+12×3+13×4+⋯+1(n-1)n+1n(n+1)
=1-12+12-13+13-14+⋯+1n-1-1n+1n-1n+1
=1-1n+1
=nn+1，
∵n∴nn+1<1，
∴11×2+12×3+13×4+⋯+1(n-1)n+1n(n+1)<1；
（3）解：13x+115x+135x+163x=1x+1
1x⋅13+115+135+163=1x+1，
1x⋅11×3+13×5+15×7+17×9=1x+1，
12x1-13+13-15+15-17+17-19=1x+1，
12x1-19=1x+1，
12x⋅89=1x+1，
49x=1x+1，
9x=4x+4，
5x=4，
x=45，
检验：x=45是原分式方程的解，
∴原方程的解为x=45．
【点睛】本题考查了有理数四则混合运算、解分式方程，解本题的关键在理解题意，充分利用运算规律计算．
14．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）因为11×2=1-12,12×3=12-13,…,119×20=119-120，
所以11×2+12×3+…+119×20=1-12+12-13+…+119-120=1-120=1920．解答下列问题：
(1)在和式11×2+12×3+13×4+…中，第九项是______________；第n项是______________．
(2)解方程：1x+1x+2+1x+2x+3+…+1x+2001x+2002=1x+2002．
【答案】(1)19×10，1nn+1
(2)x=2000
【分析】（1）根据已知式子的规律，即可求解；
（2）根据（1）的规律化简方程为1x+1-1x+2002=1x+2002，解分式方程，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，在和式11×2+12×3+13×4+…中，第九项是19×10；第n项是1nn+1；
故答案为 19×10;1nn+1．
（2）原方程可化简为：1x+1-1x+2002=1x+2002
方程两边同时乘x+1x+2002，得：x+2002-x+1=x+1，
解得：x=2000，
经检验，x=2000是原方程的解．
【点睛】本题考查了数字类规律题，解分式方程，找到规律，化简方程是解题的关键．
15．（22-23八年级下·广东广州·开学考试）类比推理是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论．触类旁通，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题中的途径和方法．
请用类比的方法，解决以下问题：
(1)①已知11×2=1-12,12×3=12-13,13×4=13-14,⋅⋅⋅⋅⋅⋅，则依据此规律1nn+1=____；
②请你利用拆项法进行因式分解：x2+5x+6=_____；
(2)若a,b满足a2-2a+1+2a-b=0，求1a⋅b+1a+1⋅b+1+1a+2⋅b+2+1a+3⋅b+3+⋯+1a+2021⋅b+2021的值；
(3)受此启发，解方程1x2+9x+20+1x2+11x+30+1x2+13x+42+1x2+15x+56=4x2+28．
【答案】(1)①1n-1n+1；②x+3x+2；
(2)20222023；
(3)x=-13．
【分析】（1）①类比题材即可得解，②类比题材即可因式分解；
（2）根据绝对值和偶次方的非负性得a=1，b=2，然后代入所求式子利用裂项相消法即可求解；
（3）利用拆项法因式分解后再利用裂项相消法化简方程，解化简后的分式方程即可．
【详解】（1）解：①∵11×2=1-12,12×3=12-13,13×4=13-14,⋅⋅⋅⋅⋅⋅
∴类比得1nn+1=1n-1n+1，
故答案为：1n-1n+1；
②x2+5x+6=x2+2x+3x+6=xx+2+3x+2=x+3x+2，
故答案为：x+3x+2；
（2）解：∵a,b满足a2-2a+1+2a-b=0，即a-12+2a-b=0
∴a-1=0，2a-b=0，
解得a=1，b=2，
∴b-a=1>0，
1a⋅b+1a+1⋅b+1+1a+2⋅b+2+1a+3⋅b+3+⋯+1a+2021⋅b+2021
=11×2+12×3+13×4+14×5+⋯+12022×2023 =1-12+12-13+13-14+14-15+⋯+12022-12023
=1-12023
=20222023；
（3）解：1x2+9x+20+1x2+11x+30+1x2+13x+42+1x2+15x+56=4x2+28，
1x+4-1x+5+1x+5-1x+6+1x+6-1x+7+1x+7-1x+8=4x2+28，
1x+4-1x+8=4x2+28，
4x2+12x+32=4x2+28，
x2+28=x2+12x+32，
-12x=4，
x=-13，
经检验，x=-13是原方程的解，
∴原方程的解为x=-13．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算、因式分解与解分式方程，解题的关键是明确题意，理解裂项相消法的应用以及熟练求解分式方程．
16．（22-23七年级下·安徽六安·阶段练习）根据分式的减法法则，1n-1n+1=n+1n(n+1)-nn(n+1)=1n(n+1)，由此得到公式“1n(n+1)=1n-1n+1”，不难发现1n(n+1)可以“拆”成1n与1n+1这两个分式的差．在此不妨称“1n(n+1)=1n-1n+1”为“拆项公式”．求：
(1)1x(x+1)+1(x+1)(x+2)+⋯+1(x+2005)(x+2006)；
(2)仿照上面运算将1x(x+2)拆项；
(3)灵活利用规律解方程：1x(x+2)+1(x+2)(x+4)+⋯+1(x+98)(x+100)=2x+100．
【答案】(1)2006xx+2006
(2)12×1x-1x+2
(3)x=25
【分析】（1）利用1n(n+1)=1n-1n+1计算即可；
（2）先计算1x-1x+2=2xx+2，再根据1xx+2=12×2xx+2求解即可；
（3）利用（2）的结论，将方程整理为12×1x-1x+100=2x+100，然后求解即可．
【详解】（1）解：1x(x+1)+1(x+1)(x+2)+⋯+1(x+2005)(x+2006)
=1x-1x+1+1x+1-1x+2+⋯+1x+2005-1x+2006
=1x-1x+2006
=x+2006xx+2006-xxx+2006
=2006xx+2006；
（2）∵1x-1x+2=x+2xx+2-xxx+2=2xx+2，
∴1xx+2=12×2xx+2=12×1x-1x+2；
（3）解：12×1x-1x+2+1x+2-1x+4+⋅⋅⋅+1x+98-1x+100=2x+100
12×1x-1x+100=2x+100，
12×1x-12×1x+100=2×1x+100，
12×1x=12×5×1x+100，
1x=5x+100
解得：x=25，经检验x=25是原方程的解，
∴x=25．
【点睛】本题主要考查分式的加减法及解分式方程，解答的关键是读懂材料，对所求的式子拆项．
【考点题型五】由分式方程有解或无解的情况求未知数的值或取值范围
17．（23-24八年级上·山东东营·期中）若关于x的方程3x-a=22x-1有解，则a的值不能为（ ）
A．3B．2C．13D．12
【答案】D
【分析】本题考查分式方程有解问题，根据无解即不是增根求出值即可得到有解的取值范围；
【详解】解：两边同时乘以(x-a)(2x-1)得，
6x-3=2x-2a，
解得：x=3-2a4，
∵方程3x-a=22x-1有解，
∴当x=3-2a4时(x-a)(2x-1)不等于0，
即：3-2a4-a≠0，2×3-2a4-1≠0，
解得：a≠12，
故选：D．
18．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）若分式方程xx-3=3mx+3+1有解，则m的取值范围是 ．
【答案】m≠1且m≠0
【分析】本题考查了根据分式方程的解求解参数，将分式方程化为整式方程，根据分式方程有解，可得x≠3且x≠-3，代入求解即可．
【详解】解：由xx-3=3mx+3+1可得xx+3=3mx-3+x+3x-3
化简可得：m-1x=3m+3
由题意可得，m-1≠0，且x≠3且x≠-3，
则x=3m+3m-1，即3m+3m-1≠3且3m+3m-1≠-3
解得m≠0
综上m≠0且m≠1
故答案为：m≠1且m≠0
19．（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）若关于x的方程1x+1x+2=2mx(x+2)无解，则m的值为 ．
【答案】±1
【分析】本题考查了根据分式方程的无解求参数的值，是需要识记的内容．分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
【详解】解：1x+1x+2=2mx(x+2)
x+2+x=2m，
m=x+1，
∵关于x的方程1x+1x+2=2mx(x+2)无解，
∴x=0或x+2=0，
∴x=0或x=-2，
∴m=±1．
故答案为±1
20．（20-21八年级下·辽宁沈阳·期中）当m为何实数时，关于x的方程2m-2x-1x-2=mx-2+1x-1有解．
【答案】当m≠-1，m≠12，m≠2，时，关于x的方程2m-2x-1x-2=mx-2+1x-1有解
【分析】方程两边同时乘(x-1)(x-2)，得2m-2=m(x-1)+(x-2)，进行计算解得，x=3mm+1，根据方程有解得m+1≠0，进行计算即可得．
【详解】解：2m-2x-1x-2=mx-2+1x-1
方程两边同时乘(x-1)(x-2)，得2m-2=m(x-1)+(x-2)，
整理，得m+1x=3m，
∵方程有解，
∴m+1≠0，
解得，x=3mm+1，
∴m≠-1，
由于分式方程有增根x=2及x=1，
当x=3mm+1=2时，解得：m=2；
当x=3mm+1=1时，解得：m=12；
即当m=2或m=12时，分式方程有增根，
综上，当m≠-1，m≠12，m≠2时，关于x的方程2m-2x-1x-2=mx-2+1x-1有解．
【点睛】本题考查了分式方程，解题的关键是理解题意，掌握解分式方程的方法，正确计算．注意不要忽视增根的情况．
21．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知关于x的分式方程x-ax-1-3x=1+ax2-x无解，求a的值．
【答案】3或-2或12
【分析】
本题考查了根据分式方程的无解求参数的值，分两种情况求解是解答本题的关键．①去分母后所得整式方程无解；②解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．将原方程化为整式方程，求出未知数的值代入该整式即可的到k的值．
【详解】
解：方程两边都乘xx-1，得xx-a-3x-1=xx-1+a，
整理，得a+2x=3-a．①
当a+2=0，3-a≠0，
即a=-2时，方程①无解，则原方程无解；
当a+2≠0，即a≠-2时，
∵原分式方程无解，
∴xx-1=0，即x=0或x=1．
把x=0代入①，得a=3，
把x=1代入①，得a=12．
综上，a的值为-2或3或12．
【考点题型六】由分式方程的增根求未知数的值
22．（23-24八年级下·上海浦东新·阶段练习）按照解分式方程的一般步骤解关于x的分式方程k(x+1)(x-1)+7=1x-1，出现增根x=1，那么k的值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了分式方程的增根、解分式方程，先将分式方程去分母，化为整式方程，再将增根代入计算即可得出答案．
【详解】解：去分母得：k+7(x+1)(x-1)=x+1，
将增根x=1代入得：k+7×1+1×1-1=1+1，
解得：k=2，
故答案为：2．
23．（22-23八年级上·山东淄博·阶段练习）若关于x的方程2mx+1-m+1x2+x=1x有增根，实数m的值为 ．
【答案】-2或-13
【分析】本题考查了分式方程的增根，熟练掌握增根的含义是解题的关键；先去分母，然后将分式方程的增根分别代入，进一步求解即可．
【详解】∵该方程的最简公分母是xx+1，
∴该方程的增根为x=0或x=-1，
把方程两边都乘xx+1得，2mx-(m+1)=x+1，
整理，得2m-1x=m+2
当x=0时，2m-1×0=m+2，
解得m=-2；
当x=-1时，2m-1×-1=m+2，
解得m=-13；
∴实数m的值为-2或-13．
24．（23-24八年级上·湖南岳阳·期中）关于x的分式方程3xx-2+a2-x=1有增根x=b，则a+b的值是 ．
【答案】8
【分析】本题考查了分式方程，根据增根x=b，得b=2，由3xx-2+a2-x=1解出a的值，代入a+b，即可作答．
【详解】解：∵x的分式方程3xx-2+a2-x=1有增根x=b，
∴x=b=2
3xx-2+a2-x=1
3x-a=x-2
a=2x+2=2×2+2=6
∴a+b=6+2=8
故答案为：8
25．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）（1）若方程3xx-3+5=m3-x有增根，则增根是__________；
（2）若方程3xx-3+5=m3-x有增根，求m的值．
【答案】（1）x=3；（2）m=-9
【分析】本题主要考查了分式方程有增根的情况；
（1）根据分式方程有增根，即分母为0进行求解即可；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根确定出m的值即可．
【详解】解：（1）∵分式方程有增根，
∴x-3=0，
∴x=3，
故答案为：x=3；
（2）3xx-3+5=m3-x
去分母得：3x+5x-3=-m，
移项得：3x+5x-15=-m，
解得：x=15-m8
∵分式方程有增根，
∴x-3=0，即x=3，
∴15-m8=3，
解得m=-9．
【考点题型七】与解分式方程有关的污染/错解问题
26．（23-24八年级上·河北保定·期末）嘉淇准备完成题目：解分式方程：xx-3=2-◆x-3，发现数字◆印刷不清楚．
(1)他把“◆”猜成5，请你解方程：xx-3=2-5x-3；
(2)老师说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解．”通过计算说明原题中“◆”是几？
【答案】(1)x=11
(2)a=-3
【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程利用了转化的思想．
（1）分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）设原题中“◆”是a，分式方程变形后去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到x=3，代入整式方程计算即可求出a的值．
【详解】（1）解：xx-3=2-5x-3，
去分母得：x=2x-3-5
解得x=11，
检验：当x=11时，x-3≠0，
∴分式方程的解为x=11；
（2）解：设原题中“◆”是a，
方程变形得：xx-3=2-ax-3，
去分母得：x=2x-3-a，
由分式方程无解，得到x=3，
把x=3代入整式方程得：a=-3．
27．（22-23八年级上·湖南邵阳·期末）已知分式方程2x-1+x1-x=■有解，其中“■”表示一个数．
(1)若“■”表示的数为4，求分式方程的解；
(2)小马虎回忆说：由于抄题时等号右边的数值抄错，导致找不到原题目，但可以肯定的是“■”是-1或0，试确定“■”表示的数．
【答案】(1)x=65
(2)0
【分析】（1）根据题意列出分式方程，求出解即可；
（2）把-1和0分别代入方程，求出解判断即可．
【详解】（1）解：根据题意得：2x-1+x1-x=4，
去分母得：2-x=4x-4，
解得：x=65，
检验：把x=65代入得：x-1≠0，
∴分式方程的解为x=65；
（2）解：当“■”是-1时，2x-1+x1-x=-1，解得0x=-1，此时方程无解；
当“■”是0时，2x-1+x1-x=0，解得x=2，经检验：x=2是分式方程的解，符合题意，
∴“■”表示的数是0 ．
【点睛】本题考查了解分式方程，以及分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．
28．（22-23八年级上·河北承德·期末）老师所留的作业中有这样一个分式的计算题：2x+1+x+5x2-1，甲、乙两位同学完成的过程分别如下：
甲同学：2x+1+x+5x2-1
=2x+1x-1+x+5x+1x-1 第一步
=2+x+5x+1x-1 第二步
=x+7x+1x-1 第三步
乙同学：2x+1+x+5x2-1
=2x-1x+1x-1+x+5x+1x-1 第一步
=2x-2+x+5 第二步
=3x+3 第三步
(1)对于两人的做法，下列判断正确的是：（ ）
A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙都对 D．甲乙都错
(2)若正确，说明每步做的依据；若错误，则甲同学的解答从第___________步开始出现错误；乙同学的解答从第___________步开始出现错误；并重新写出完成此题的正确解答过程．
2x+1+x+5x2-1
(3)解分式方程，体会与分式化简的关系．
2x+1+x+5x2-1=4x-1
【答案】(1)D
(2)一、二，3x-1，见解析
(3)x=-1是增根，原方程无解
【分析】（1）根据分式的加减运算法则对甲乙的解答过程进行判断即可；
（2）根据分式的加减运算法则作答即可；
（3）根据分式方程的解法进行作答即可．
【详解】（1）甲同学：2x+1+x+5x2-1=2x-1x+1x-1+x+5x+1x-1，故甲计算错误；
乙同学：2x+1+x+5x2-1=2x-1x+1x-1+x+5x+1x-1=2x-2+x+5x+1x-1，故乙计算错误；
故选：D；
（2）由（1）可知则甲同学的解答从第一步开始出现错误；乙同学的解答从第二步开始出现错误；
正确的解答过程为：
2x+1+x+5x2-1
=2x-1x+1x-1+x+5x+1x-1
=2x-2+x+5x+1x-1
=3x+1x+1x-1
=3x-1，
故答案为：一、二、3x-1；
（3）2x+1+x+5x2-1=4x-1
2x-1x+1x-1+x+5x+1x-1=4x+1x-1x+1
2x-1x+1x-1+x+5x+1x-1-4x+1x-1x+1=0
2x-2+x+5-4x-4x+1x-1=0
-x-1=0，
即：x=-1，
经检验，x=-1是原方程的增根，
故原方程无解．
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算以及解分式方程的知识，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
【考点题型八】由分式方程解的正负求参数的取值范围
29．（23-24八年级下·山西晋城·阶段练习）已知关于x的分式方程k-1x-5=2-x5-x的解为正数，则k的取值范围是（ ）
A．k>-9B．k<-9
C．k>-9且k≠6D．k>6且k≠9
【答案】C
【分析】解分式方程k-1x-5=2-x5-x，根据“解为正数”得到k+93>0，解不等式，求出k范围，令x-5≠0，求出增根，进而求出对应的k的值，即可求解，
本题考查了，解分式方程，解不等式，分式方程的增根，解题的关键是：熟记分式方程的增根．
【详解】
解：k-1x-5=2-x5-x
去分母，得：k-1=2(x-5)+x，
解得：x=k+93，
∵解为正数，
∴x>0，
∴k+93>0，
解得：k>-9，
∵x-5≠0，
∴x≠5，
∴k+93≠5，
∴k≠6，
∴k的取值范围是k>-9且k≠6，
故选：C．
30．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）若数a使关于x的分式方程2x-1+a1-x=4的解为非负数，则a的取值正确的是 ．
【答案】a≤6且a≠2
【分析】
本题主要考查分式方程的解，注意分母不为0是解题的关键．表示出分式方程的解，由解为非负数确定出a的取值范围．
【详解】解：分式方程整理得：2x-1-ax-1=4，
去分母得：2-a=4x-4，
解得x=6-a4，
由分式方程的解为非负数，得到6-a4≥0且6-a4≠1
解得a≤6且a≠2．
故答案为：a≤6且a≠2．
31．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）关于x的分式方程mx-3+43-x=1的解是非负数，则m的取值范围是 ．
【答案】m≥1且m≠4
【分析】
本题考查了解分式方程以及解一元一次不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先算分式方程得出x=m-1且m≠4，结合解是非负数，列式m-1≥0，即可作答．
【详解】
解：原方程去分母得：m-4=x-3，
解得：x=m-1，
∵x-3≠0，
∴x≠3，
∴m-1≠3，
∴m≠4，
∵关于x的分式方程mx-3+43-x=1的解是非负数，
∴x≥0，即m-1≥0，
解得：m≥1，
又∵m≠4，
∴m的取值范围是m≥1且m≠4
故答案为：m≥1且m≠4
32．（23-24八年级上·山东济南·期中）已知关于x的方程2mx-1x+2=1的解为负数，求m的取值范围．
【答案】m<12且m≠-14
【分析】此题考查了解分式方程，表示出分式方程的解，由分式方程的解为负数，列出关于m的不等式组，求出不等式组的解集即可确定出m的范围；利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
【详解】解：依题意，2mx-1x+2=1
则化为整式，得2mx-1=x+2
则x=32m-1，
∵方程有解，且解为负数，
∴2m-1≠032m-1<032m-1≠-2
解得m≠12m<12m≠-14，
则m<12且m≠-14，
所以m的取值范围为m<12且m≠-14．
【考点题型九】分式方程的同解问题
33．（23-24八年级上·全国·课堂例题）已知关于x的方程xk-2=1k的解与方程2x+1x-1=1的解相同，求k的值．
【答案】k的值为23
【分析】本题考查解分式方程，分式方程的同解问题，先解出后一个分式方程，再将所得解代入前一个方程即可得解．注意检验．
【详解】解：在方程2x+1x-1=1的两边同乘x-1，可得：2x+1=x-1．
解得x=-2．
经检验，x=-2是方程2x+1x-1=1的解．
把x=-2代入方程xk-2=1k，得：-2k-2=1k．
解得k=23．
经检验，k=23是方程-2k-2=1k的解．
∴k的值为23．
34．（22-23八年级上·河北沧州·期中）已知方程axa+1-2x+1=2的解与方程xx+1+2x-1=1的解相同，求a的值．
【答案】-14
【分析】先解方程xx+1+2x-1=1，然后将方程的解代入axa+1-2x+1=2即可求出a值．
【详解】解：化为整式方程得：x（x﹣1）+2（x+1）=x2﹣1，
化简得：x=﹣3，
经检验x=﹣3是原方程的解，
∴原方程的解是x=﹣3，
将x=-3代入axa+1-2x+1=2，
解得a=-14，
经检验a=-14是原方程的解，
∴a=-14．
【点睛】本题考查了解分式方程，掌握方程的解法是解题关键．
【考点题型十】分式方程与不等式组综合
35．（23-24八年级上·河北沧州·阶段练习）若整数a使关于y的不等式组2y-53≤y-13a-y+3≥0至少有3个整数解，且使得关于x的分式方程3x(x-1)-a1-x=2x的解为非负数，则所有符合条件的整数a的和为（ ）
A．-6B．-9C．-11D．-14
【答案】C
【分析】本题考查求不等式组的解集，根据分式方程的解的情况，求参数；先根据不等式组的解集和分式方程的解的情况求出a的取值范围，进而求出a的整数解，进而求解即可．
【详解】解：2y-53≤y-13①a-y+3≥0②，由①得，y≥-4，由②得，y≤a+3，
∵不等式至少有3个整数解，
∴-2≤a+3，
∴a≥-5，
∵3xx-1-a1-x=2x，
∴3+ax=2x-1，
∴2-ax=5，
解得x=52-a，
∵方程的解为非负数，
∴2-a>0，
∴a<2，
∵x≠0，x≠1，
∴a≠-3，
∴符合条件的整数a有-5，-4，-2，-1，0，1，
∴所有符合条件的整数a的和为-11，
故选：C．
36．（23-24八年级上·四川德阳·期末）若关于的不等式组3x+54≤x+32x+12>x+a2无解，且关于y的分式方程5-ay2-y-1=3y-2有整数解，则满足条件的整数a的值的和为（ ）
A．12B．10C．9D．16
【答案】A
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组和解分式方程，牢记解一元一次不等式组和解分式方程的步骤是解题的关键．先求得不等式组中各不等式的解集，根据不等式组无解可求得a的取值范围，然后求得分式方程的解，根据解为整数，且y-2≠0，即可求得满足条件的所有整数a的值．
【详解】解：3x+54≤x+32①x+12>x+a2②
解不等式①，得x≤1．
解不等式②，得x>a-1．
因为关于x的不等式组3x+54≤x+32x+12>x+a2无解，可得
a-1≥1．
解得a≥2．
解关于y的分式方程5-ay2-y-1=3y-2，得
y=6a-1．
∵6a-1为整数，a≥2，6a-1-2≠0,
∴a=2或a=3或a=7．
∴满足条件的所有整数a的和=2+3+7=12．
故选：A．
37．（2023·四川泸州·一模）已知方程3-aa-4-a=14-a，且关于x的不等式a≤x【答案】1【分析】此题考查了解分式方程，以及一元一次不等式的整数解．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到a的值，经检验确定出分式方程的解，根据已知不等式只有3个整数解，即可确定出b的范围．
【详解】解：分式方程去分母得：3-a-aa-4=-1，
整理，得：a2-3a-4=0，
即a-4a+1=0，
解得：a=4或a=-1，
经检验a=4是增根，
故分式方程的解为a=-1，
∵不等式a≤x∴1故答案为：138．（23-24九年级上·重庆江北·期末）若实数a使关于x的不等式组2x3-4≤12x-75x-2a>61-x，有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程3-a1-y=2y-1y-1的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
【答案】-6
【分析】本题考查解一元一次不等式组、解分式方程组，先解不等式组的解集，再根据已知不等式组解确定a的取值范围；解分式方程得到
【详解】解：解不等式组2x3-4≤12x-75x-2a>61-x，得x≤3x>6+2a11，
∵该方程组有且仅有三个整数解，
∴0≤6+2a11<1，解得-3≤a<52；
解分式方程3-a1-y=2y-1y-1得y=2-a，
∵该分式方程的解为正数，且y≠1，
∴2-a>0，且2-a≠1，解得a<2且a≠1
∴-3≤a<2且a≠1，
∵a为整数，
∴a的值为-3，-2，-1，0，
∴所有满足条件的整数a的值之和为-3-2-1+0=-6，
故答案为：-6．
【考点题型十一】与解方程有关的规律探究问题
39．（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）用你发现的规律解答下列问题．
11×2=1-12
12×3=12-13
13×4=13-14
……．
(1)计算11×2+12×3+13×4+14×5+15×6=______．
(2)探究11×2+12×3+13×4+⋯+1n(n+1)=______．（用含有n的式子表示）
(3)若11×3+13×5+15×7+…+1(2n-1)(2n+1)的值为3673，求n的值．
【答案】(1)56
(2)nn+1
(3)n=36
【分析】本题考查了数字的规律探索，分式方程的求解，有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）根据给出的式子将各式进行拆开，然后得出答案；
（2）根据给出的式子得出规律，然后根据规律进行计算；
（3）根据题意将式子进行展开，然后列出关于n的分式方程，从而得出n的值即可．
【详解】（1）解：11×2+12×3+13×4+14×5+15×6
=1-12+12-13+13-14+14-15+15-16
=1-16
=56，
故答案为：56；
（2）11×2+12×3+13×4+⋯+1n(n+1)
=1-12+12-13+13-14+⋯+1n-1n+1
=1-1n+1
=nn+1，
故答案为：nn+1
（3）11×3+13×5+15×7+…+1(2n-1)(2n+1)
=121-13+13-15+15-17+⋯+12n-1-12n+1
=121-12n+1，
由题意得：
121-12n+1=3673，
1-12n+1=7273，
解得：n=36，
经检验n=36是原分式方程得解．
40．（23-24八年级上·贵州铜仁·阶段练习）观察下列算式：①12×3=12-13，②13×4=13-14，③14×5=14-15……
(1)由上式可以类似推出④式为： ；
(2)用含字母n的等式表示（1）中的一般规律（n为非零自然数）；
(3)用以上方法解方程：1xx+1+1x+1x+2+…+1x+9x+10=1x+10
【答案】(1)15×6=15-16
(2)它的一般规律是1n(n+1)=1n-1n+1（n为非零自然数）；
(3)x=10
【分析】此题考查了解分式方程，以及规律型：数字的变化类．
（1）仿照已知等式推理得出下一个等式即可；
（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（3）利用拆项的方法化简方程，求出解即可．
【详解】（1）解：∵①12×3=12-13，②13×4=13-14，③14×5=14-15，
∴由上式可以类似推出④式为：15×6=15-16；
故答案为：15×6=15-16；
（2）解：根据题意可得：它的一般规律是1n(n+1)=1n-1n+1（n为非零自然数）；
（3）解：将方程化为：1x-1x+1+1x+1-1x+2+⋯+1x+9-1x+10=1x+10，
即1x=2x+10，
解得：x=10，
经检验x=10是原分式方程的解，
∴原方程的解为x=10．
41．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）解方程：
①1x+1=2x+1-1的解是x=0；
②2x+1=4x+1-1的解是x=1；
③3x+1=6x+1-1的解是x=2；
④4x+1=8x+1-1的解是x= ；
（1）请完成上面的填空；
（2）根据你发现的规律直接写出第⑤个方程和它的解 ；
（3）请你用一个含正整数 n的式子表述上述规律，并写出它的解 ．
【答案】 3 5x+1=10x+1-1的解是x=4 第n个方程为nx+1=2nx+1-1，其解为x=n-1
【分析】本题考查分式方程的解以及规律的探索，熟练掌握分式方程的解的求法并观察出方程的解与分子的关系是解题的关键．
（1）由题意把方程两边都乘以x+1把分式方程化为整式方程，然后求解即可；
（2）由题意先观察①②③④中的方程的解；根据前四个方程的规律可得第⑤个方程及其解；
（3）根据题干中各个方程的规律，可写出含正整数n的方程，求解即可．
【详解】解：（1）4x+1=8x+1-1
去分母得4=8-x+1，
去括号得：4=8-x-1
移项得：x=8-1-4，
合并同类项得：x=3．
检验，当x=3时，x+1≠0，
∴x=3是原方程的解，
故答案为：3；
（2）由题意得，第⑤个方程为5x+1=10x+1-1，其解为x=4，
故答案为：5x+1=10x+1-1的解是x=4；
（3）①1x+1=2x+1-1的解是x=0；
②2x+1=4x+1-1的解是x=1；
③3x+1=6x+1-1的解是x=2；
④4x+1=8x+1-1的解是x=3，
……，
以此类推，可知，第n个方程为nx+1=2nx+1-1，其解为x=n-1，
故答案为：第n个方程为nx+1=2nx+1-1，其解为x=n-1．
【考点题型十二】与解方程有关的新定义问题
42．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）定义运算a△b=1a-1ab，如1△2=1-12，若x△-3=13，则x的值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了新定义和解分式方程，根据定义，得x△-3=1x-1x·-3=13，解方程即可，注意分式方程需要检验．
【详解】根据定义，x△-3=1x-1x·-3=13
整理得，1x+13x=13，
去分母，得3+1=x，
解得x=4，
经检验，x=4是原方程的根，
故答案为：4．
43．（2023·四川内江·二模）对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b=a-ba+b，例如5-35+3=14．若x+1※x-2=3，则x的值为 ．
【答案】1
【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
已知等式利用题中的新定义化简，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：已知等式变形得：x+1-x-2x+1+x-2=3，即32x-1=3，
解得：x=1，
经检验x=1是分式方程的解，
则x的值为1．
故答案为：1．
44．（22-23八年级上·贵州黔南·期末）对任意实数x，y定义一种新运算T，规定Tx,y=2x-2yx+yx+y≠0．
(1)Tm-1,3m= ．（用含m的代数式表示）
(2)已知T3m,m-1=Tm-1,3m，求m的值．
【答案】(1)4m+21-4m；
(2)-12．
【分析】（1）根据新运算计算即可求解；
（2）根据新定义可得关于m的分式方程，解方程即可求解；
本题考查了新定义运算，理解新定义运算是解题的关键．
【详解】（1）解：Tm-1,3m=2m-1-2×3mm-1+3m=4m+21-4m，
故答案为：4m+21-4m；
（2）解：∵T3m,m-1=Tm-1,3m，
∴2×3m-2m-13m+m-1=4m+21-4m，
即4m+24m-1=-4m-24m-1，
∴4m+2=-4m-2
解得m=-12，
检验：当m=-12时，4m-1=4×-12-1=-3≠0，
∴m=-12是原方程的解，
∴m的值-12．
45．（23-24八年级上·四川广安·期末）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”，例如：3x+1+3x1+x=3(1+x)1+x=3，则分式3x+1与3x1+x互为“3阶分式”．
(1)分式10x3+2x与153+2x互为“__________阶分式”；
(2)设正数x，y互为倒数，求证：分式2xx+y2与2yy+x2互为“2阶分式”；
(3)若分式aa+4b2与2ba2+2b互为“1阶分式”（其中a，b为正数），求ab的值．
【答案】(1)5
(2)详见解析
(3)ab=12
【分析】（1）根据提议，计算10x3+2x与153+2x的和即可；
（2）根据题意首先利用倒数关系，将x，y进行消元，然后通过分式的加法化简即可得解；
（3）根据1阶分式的要求对两者相加进行分式加法化简，通过通分化简即可得解．
本题主要考查了分式的加减，熟练掌握分式的通分约分运算知识是解决此类问题的关键．
【详解】（1）∵10x3+2x+153+2x=10x+153+2x=5(3+2x)3+2x=5，
分式10x3+2x与153+2x互为“5阶分式”；
（2）∵正数x，y互为倒数，
∴y=1x，
∴2xx+y2+2yy+x2
=2xx+1x2+2⋅1x1x+x2
=2x3x3+1+21+x3
=2(x3+1)x3+1
=2，
∴分式2xx+y2与2yy+x2互为“2阶分式”；
（3）∵分式aa+4b2与2ba2+2b互为“1阶分式”，
∴aa+4b2+2ba2+2b=1，
去分母，得aa2+2b+2ba+4b2=a+4b2a2+2b，
a3+2ab+2ab+8b3=a3+2ab+4a2b2+8b3，
∴2ab=4a2b2，
∴4a2b2-2ab=0，
2ab2ab-1=0，
∵a，b为正数，
∴2ab-1=0，
解得ab=12．
【考点二 分式方程的应用】
用分式方程解决实际问题的步骤：
审：理解并找出实际问题中的等量关系;
设：用代数式表示实际问题中的基础数据;
列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;
解：求解方程;
验：考虑求出的解是否具有实际意义;+
1）检验所求的解是否是所列分式方程的解.
2）检验所求的解是否符合实际意义.
答：实际问题的答案.
与分式方程有关应用题的常见类型：
【考点题型十三】分式方程实际应用-行程问题
46．（23-24八年级下·福建福州·开学考试）为落实“全民健身国家战略，推动健康中国建设”，我市体育局组织了系列的体育赛事，其中半程马拉松（21.0975公里），他们约好一起去公园长跑训练，跑完后，发现小林用52分钟跑的路程和小李用57分钟跑的路程一样多，而小林的平均配速比小李的平均配速小0.5分钟/公里，问这次训练小林和小李的平均配速各是多少分钟/公里．（说明：“配速”是速度的一种，指每公里所花的时间，它是长跑者关注的一项重要指标）
【答案】这次训练小林的平均配速为5.2分钟/公里，小李的平均配速为5.7分钟/公里．
【分析】
本题考查分式方程解决应用问题，设这次训练小林的平均配速为x分钟/公里，根据路程一样多列式求解即可得到答案；
【详解】解：设这次训练小林的平均配速为x分钟/公里，则这次训练小李的平均配速为(x+0.5)分钟/公里，由题意可得，
依题意得：52x=57x+0.5，
解得：x=5.2，
经检验，x=5.2是原方程的解，
∴5.2+0.5=5.7，
答：这次训练小林的平均配速为5.2分钟/公里，小李的平均配速为5.7分钟/公里．
47．（22-23八年级上·贵州黔南·期末）某校八年级组织学生去博物馆参观，年级主任通过腾讯地图查找路线，系统推荐了两种路线，分别为“大众方案”和“快速方案”．“大众方案”对应的路程为100km，“快速方案”对应的路程为128km．汽车在“快速方案”上的时速是“大众方案”的1.6倍，“大众方案”的用时预计比“快速方案”用时多半小时，则汽车在“大众方案”和“快速方案”上行驶的平均速度分别是多少？
【答案】汽车在“大众方案”和“快速方案”上行驶的平均速度分别是40km/h和64km/h．
【分析】本题考查分式方程的实际应用，设汽车在“大众方案”上行驶的平均速度是xkm/h，根据时间、路程、速度之间的关系，结合“大众方案”的用时预计比“快速方案”用时多半小时，建立方程求解，即可解题．
【详解】解：设汽车在“大众方案”上行驶的平均速度是xkm/h，
则汽车在“快速方案”上行驶的平均速度是1.6xkm/h，
根据题意得，100x-1281.6x=0.5，
整理得160-128=0.8x，
解得x=40，
经检验，x=40使得1.6x≠0，
∴ x=40是该方程的解，
∴汽车在“快速方案”上行驶的平均速度是1.6×40=64（kmh），
答：汽车在“大众方案”和“快速方案”上行驶的平均速度分别是40km/h和64km/h．
【考点题型十四】分式方程实际应用-工程问题
48．（23-24八年级上·河北邯郸·期末）甲、乙两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工需90天完成．甲队先单独施工30天，然后增加了乙队，两队又合做了15天．总工程全部完成．求乙队单独施工需多少天完成．
【答案】30天
【分析】本题考查了分式方程的应用，根据数量关系总工程量=甲完成工作量+乙完成工作量列出关于x的分式方程是解题的关键．设乙队单独施工需x天完成，根据总工程量=甲完成工作量+乙完成工作量即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论．
【详解】解：设乙队单独施工需x天完成，
根据题意得：3090+1590+15x=1，
解得：x=30，
经检验，x=30是分式方程3090+1590+15x=1的解．
答：乙队单独施工需30天完成．
49．（22-23八年级下·辽宁沈阳·期末）某地为治理污水，需要铺设一段全长为600米的污水排放管道．铺设240米后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加了20%，结果共用27天完成这一任务，求原计划每天铺设管道的长度．
【答案】原计划每天铺设管道的长度为20米．
【分析】本题考查了分式方程的应用．等量关系：铺设240m的时间+铺设(600-240)m的时间=27天．利用以上等量关系列出分式方程求解即可．
【详解】解：设原计划每天铺设x米管道，则铺设240米后实际每天铺设1.2x米，
根据题意得：240x+600-2401.2x=27，
解得x=20，
经检验，x=20是原方程的解，
答：原计划每天铺设管道的长度为20米．
【考点题型十五】分式方程实际应用-销售问题
50．（23-24八年级上·湖南岳阳·期中）某超市用6 000元购进一批“红富士”苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨13 000元资金购进该品种苹果，但这次的进价比试销时的进价每千克多了0.5元，购进苹果的质量是试销时的2倍．
(1)试销时该品种苹果的进价是每千克多少元？
(2)如果超市将该品种苹果按每千克8元的定价出售，当大部分苹果售出后，余下的400千克按定价的7折（“7折”即定价的70%）售完，那么超市在这两次苹果销售中共盈利多少元？
【答案】(1)试销时该品种苹果的进价是每千克6元
(2)超市在这两次苹果销售中共盈利4040元．
【分析】本题主要考查了分式方程的应用、有理数的混合运算的应用等知识点，正确列出分式方程和算式是解题的关键．
（1）设试销时该品种苹果的进价是每千克x元，根据等量关系“本次数量=2×试销时的数量”列出分方程求解即可．
（2）先求出试销时和第二次进的苹果数量，再根据“盈利=(售价-进价)×销量”列出算式计算即可．
【详解】（1）解：设试销时该品种苹果的进价是每千克x元，
依题意可得：13000x+0.5=6000x×2，解得x=6．
经检验，x=6是原方程的解，且符合题意．
答：试销时该品种苹果的进价是每千克6元．
（2）解：试销时购进苹果的质量为60006=1000（千克），
第二次购进苹果的质量为2×1000=2000（千克），
盈利为1000+2000-400×8+400×8×0.7-6000-13000=4040（元）．
答：超市在这两次苹果销售中共盈利4040元．
51．（22-23八年级上·新疆阿克苏·期末）某商场第一次用11000元购进某款拼装机器人进行销售，很快销售一空，商家又用24000元第二次购进同款机器人，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．求该商家第一次购进机器人多少个？
【答案】100
【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程．
【详解】解：解：设该商家第一次购进机器人x个，
依题意得：11000x+10=240002x，
解得：x=100，
经检验x=100是原分式方程的解，且符合题意，
∴该商家第一次购进机器人100人．
52．（23-24八年级上·重庆城口·期末）今年我县腊肉一上市，腊肉店的王老板用3600元购进一批腊肉，很快售完；老板又用7800元购进第二批腊肉，所购件数是第一批的2倍，但进价比第一批每件多了5元．
(1)第一批腊肉每件进价多少元？
(2)王老板以每件100元的价格销售第二批腊肉，售出70%后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批腊肉的销售利润不少于3480元，剩余的腊肉每件售价最少打几折？（利润=售价-进价）
【答案】(1)第一批腊肉每件进价为60元
(2)剩余的腊肉每件售价最少打8折
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用．
（1）设第一批腊肉每件进价为x元，则第二批腊肉每件进价为x+5元，根据“第二批腊肉所购件数是第一批的2倍”列分式方程求解即可；
（2）设剩余的腊肉每件售价打y折，根据利润=售价-进价，列一元一次不等式求解即可．
【详解】（1）解：设第一批腊肉每件进价为x元，则第二批腊肉每件进价为x+5元，
由题意得：3600x×2=7800x+5，
解得：x=60，
经检验，x=60是原方程的解，且符合题意，
答：第一批腊肉每件进价为60元；
（2）解：设剩余的腊肉每件售价打y折，
根据题意得：780060+5×70%×100+780060+5×1-70%×100×0.1y-7800≥3480，
解得：y≥8，
答：剩余的腊肉每件售价最少打8折．
【考点题型十六】分式方程实际应用-数字问题
53．（21-22八年级上·贵州铜仁·期中）一个两位数的十位数字是6，如果把十位数字与个位数字对调，那么所得的两位数与原来的两位数之比是47，原来得两位数是 ．
【答案】63
【分析】设这个两位数个位上的数为x，，再根据等量关系列出方程，最后检验并作答．
【详解】解：设这个两位数个位上的数为x，
则可列方程：10x+66×10+x=47，
整理得66x＝198，
解得x＝3，
经检验x＝3是原方程的解，则60+x＝63，
故答案为：63．
【点睛】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤，即①根据题意找出等量关系②列出方程③解出分式方程④检验⑤作答．注意：分式方程的解必须检验．
54．（20-21八年级上·全国·课时练习）有一个两位数，它的个位数字比十位数字大1，这个两位数被个位数字除时，商是8，余数是2，求这个两位数．
【答案】34
【分析】设十位上的数字为x，则个位上的数字为x+1，两位数是10x+x+1，利用两位数减2除以个位数字，商是8列出方程，解方程求出方程的根，检验后求出两位数即可．
【详解】解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为x+1，
则：10x+(x+1)-2x+1=8，
解方程得：x=3，
经检验：x=3是原方程的根，
所以个位上的数字为：x+1＝3＋1＝4，
所以这个两位数是：3×10＋4＝34．
答：这个两位数是34．
【点睛】本题考查数字问题分式方程应用题，掌握分式方程解应用题的步骤与解法，关键是抓住两位数减2除以个位数字，商是8列出方程．
【考点题型十七】分式方程实际应用-图形问题
55．（23-24九年级上·北京海淀·开学考试）列分式方程解应用题．
当矩形（即长方形）的短边为长边的5-12倍时，装裱前是一个长为150厘米，宽为82厘米的矩形．现要在作品四周加上等宽的白色边衬装裱．为了使装裱后的作品接近黄金矩形（注：5-12≈0.618）

【答案】边衬的宽度应设置为10厘米
【分析】根据装裱后的矩形宽与长之比等于0.6列出方程，解方程得到答案．
【详解】解：设边衬的宽度设置为x厘米，
由题意得：82+2x150+2x=0.6，
解得：x=10，
经检验：x=10是原方程的解，
答：边衬的宽度应设置为10厘米．
【点睛】本题考查的是分式方程的应用，列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
56．（22-23八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，甲和乙均是容积为90立方分米无盖的长方体盒子．

(1)甲盒子底面是边长为a分米的正方形，这个盒子的高是___________分米；这个盒子的表面积是_____________平方分米．（用含有a的式子表示）
(2)乙盒子底面是长方形，甲盒子比乙盒子高5分米. 选用2元/平方分米的材料，制作甲乙两个盒子的底面，乙盒子底面材料费用是甲盒子底面材料费用的2倍，求乙盒子的高．
【答案】(1)h=90a2，a2+360a
(2)5
【分析】（1）长方体体积为长宽高的乘积，已知甲的地面是边长为a的正方形，就可以求出高，长宽高已知即可表示表面积．
（2）根据甲乙盒子的高的关系可以表示乙的高，根据地面材料费求出乙的底面积（长宽积），利用体积建立关于高的关系方程，求出乙的高．
【详解】（1）解：a2⋅h=90，则h=90a2，表面积=a2+2a⋅90a2+2a⋅90a2=a2+360a（平方分米）
（2）解：设乙的高为x分米，甲的高为(x+5)分米．
依题意得：90x=2×90x+5
解得： x=5
经检验x=5是此分式方程的解．
答：乙盒子的高为5分米．
【点睛】本题主要考了长方体的体积及表面积的知识，利用公式建立分式方程模型是解题关键．
57．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图1，“丰收1号”小麦的试验田是边长为am(a>1)的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a-1)m的正方形，两块试验田的小麦都收获了500kg．
(1)①“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量为__________kgm2；“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量为__________kgm2；__________小麦试验田的单位面积产量高；
②高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
(2)如图2，在试验田四周（图2虚线部分）修建隔离网，“丰收1号”和“丰收2号”小麦的试验田隔离网的总造价分别为1800元和3300元，且“丰收2号”小麦试验田的隔离网每m造价是“丰收1号”小麦试验田的隔离网每m造价的2倍，求a值．
【答案】(1)①500a2-1；500(a-1)2；“丰收2号”；②高的单位面积产量是低的单位面积产量的a+1a-1倍；
(2)a=12．
【分析】本题主要考查了分式的应用，明确题意，正确列式是解答本题的关键．
（1）①根据产量除以试验田面积即可作答；先得出a2-1-(a-1)2=2(a-1)>0，即有a2-1>(a-1)2，则有1a2-1<1(a-1)2，问题随之的解；②计算500(a-1)2÷500a2-1，即可得解；
（2）根据（“丰收2号”小麦试验田的隔离网每m造价是“丰收1号”小麦试验田的隔离网每m造价的2倍）列分式方程，求解即可．
【详解】（1）解：①根据题意，“丰收1号”单位面积产量为500a2-1；
“丰收2号”单位面积产量为500(a-1)2，
∵(a-1)2=a2-2a+1，
∴a2-1-(a-1)2=a2-1-a2+2a-1=2a-2=2(a-1)，
∵a>1，
∴a2-1-(a-1)2=2(a-1)>0，
∴a2-1>(a-1)2，
∴1a2-1<1(a-1)2，
∴500a2-1<500(a-1)2；
∴“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高；
故答案为：500a2-1；500(a-1)2；“丰收2号”；
②∵500a2-1<500(a-1)2，
∴500(a-1)2÷500a2-1
=500(a-1)2×a2-1500
=500(a-1)2×(a-1)(a+1)500
=a+1a-1，
答：高的单位面积产量是低的单位面积产量的a+1a-1倍；
（2）解：由题意得，2×18004a=33004a-1，
解得a=12，
经检验，a=12是原方程的解，且满足题意．
【考点题型十八】分式方程实际应用-航行问题
58．（23-24八年级上·吉林长春·期末）一艘轮船沿江顺流航行100千米和逆流航行60千米所有的时间相同．已知水流的速度是5千米/时，求轮船在静水中的速度．
【答案】轮船在静水中的速度为20千米/时
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据题意列出分式方程计算即可；准确计算是解题的关键．
【详解】解：设轮船在静水中的速度为x千米/时．
依题意得：100x+5=60x-5，
解得：x=20，
经检验：x=20是原方程的解，且符合题意．
答：轮船在静水中的速度为20千米/时．
59．（23-24八年级上·天津南开·期末）一艘轮船在静水中的最大航速为20km/h，它以最大航速沿江顺流航行100km所用时间，与以最大航速逆流航行60km所用时间相等，求江水的流速．
(1)设江水的流速为xkm/h，利用速度、时间、路程之间的关系填写下表：
(2)列方程，并求出问题的解．
【答案】(1)见详解
(2)10020+x=6020-x，江水的流速是5km/h
【分析】本题考查了分式方程的应用．
（1）设江水的流速为xkm/h，根据“顺水速度=静水速度+水速，逆水速度=静水速度-水速，时间=路程速度”即可填表；
（2）根据“顺流航行100km所用时间，与逆流航行60km所用时间相等”即可列出方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：设江水的流速为xkm/h，利用速度、时间、路程之间的关系填写下表：
（2）解：设江水的流速为xkm/h，由题意得
10020+x=6020-x．
方程两边同乘以20+x20-x得
10020-x=6020+x，
解得x=5，
检验：当x=5时，20+x20-x≠0，
∴x=5是分式方程的解．
答：江水的流速是5km/h．
【考点题型十九】分式方程实际应用-方案问题
60．（2024年辽宁省辽阳市二中协作校中考数学第一次模拟试题）某学校准备购进一批足球和篮球，从体育商城了解到：足球单价比篮球单价少25元，用250元购买足球与用375元购买篮球的数量相等．
(1)求足球和篮球的单价各是多少元；
(2)若该学校准备同时购进这两种足球和篮球共80个，并且足球的数量不多于篮球数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【答案】(1)足球的单价为50元，篮球的单价为75元；
(2)购买足球60个，购买篮球20个最省钱，理由见解析．
【分析】
本题考查的是分式方程的应用，一次函数的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键；
（1）设足球的单价为x元，则篮球的单价为(x+25)元，根据“用250元购买足球与用375元购买篮球的数量相等”，再建立方程求解即可；
（2）设购买足球m个，则购买篮球(80-m)个，花费为W元，再建立一次函数，结合一次函数的性质可得答案．
【详解】（1）解：设足球的单价为x元，则篮球的单价为(x+25)元，
由题意得：250x=375x+25，
解得：x=50，
经检验x=50是所列方程的根，
x+25=50+25=75（元），
所以足球的单价为50元，篮球的单价为75元；
（2）购买足球60个，购买篮球20个最省钱；
理由如下：设购买足球m个，则购买篮球(80-m)个，花费为W元，
由题意得：W=50m+75(80-m)=-25m+6000，
∵足球的数量不多于篮球数量的3倍，
∴ m≤3(80-m)，
∴ m≤60，
∴ 0≤m≤60，
∵ W=-25m+6000，而-25<0，
∴ W随m增大而减小，
∴当m=60时，W最小．
∴购买足球60个，购买篮球20个最省钱．
61．（2023·云南·模拟预测）为落实《健康中国行动（2019—2030） 》等文件精神，某学校准备购进一批排球和足球促进校园体育活动，请你根据以下素材，探索完成任务：
【答案】任务1：80元；100元；任务2：购买25个排球，25个足球，费用最小，最小为3500元．
【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，熟练掌握解分式方程，不等式是解题的关键．
（1）设排球的单价为x元，则足球的单价是x+20元，根据用400 元购买的排球数量与500 元购买的足球数量相等，列方程解答即可．
（2）设排球购买m个，则足球购买了50-m个，根据50-m≥m，设总费用为w元，根据题意w=0.75×80×m+100×0.850-m=-20m+4000，根据一次函数的性质，解答即可．
【详解】任务1：设排球的单价为x元，则足球的单价是x+20元，
根据题意，得
400x=500x+20，
解得x=80，
经检验，x=80是原方程的根，
故x+20=100，
答：每个排球80元，每个足球100元．
任务2：设排球购买m个，则足球购买了50-m个，根据题意，得50-m≥m，
解得0≤m≤25，
设总费用为w元，根据题意w=0.75×80×m+100×0.850-m=-20m+4000，
故y随x的增大而减小，
∴m=25时，w最小，最小为3500元，
故方案为购买25个排球，25个足球，费用最小，最小为3500元．
62．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）某商店要购进A、B两种型号的文具，通过市场调研得知：A种型号文具的单价比B种文具的单价多100元，且用22500元购买A种型号文具的数量是用10000元购买B种文具的数量的1.5倍．
(1)求A、B两种型号文具的单价分别为多少？
(2)学校计划用不超过10000元的资金购买A、B两种文具共40套，为使购买的A种型号的文具尽可能多，请设计出购买方案．
【答案】(1)购买A种型号文具的单价为300元，购买B种型号文具的单价为200元
(2)购买A种型号玩具20套，购买B种型号玩具20套
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用：
（1）设B种型号文具的单价是x元，则A种型号文具的单价是x+100元，利用数量=总价÷单价，结合22500元购买A种型号文具的数量是用10000元购买B种型号文具数量的1.5倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出B种型号文具的单价，再将其代入x+100中，即可求出A种型号文具的单价；
（2）设购买m套A种型号文具，则购买40-m套B种型号文具，利用总价=单价×数量，结合总价不超过10000元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再取其中的最大值，即可得出购买方案．
【详解】（1）解：设购买B种型号文具的单价为x元，则购买A种型号文具的单价为x+100元
22500x+100=10000x×1.5
解得，x=200
经检验x=200是原分式方程的解，且符合题意
∴x+100=200+100=300（元）
答：购买A种型号文具的单价为300元，购买B种型号文具的单价为200元；
（2）解：设购买A种型号玩具m套，则购买B种型号玩具40-m套，根据题意得：
300m+20040-m≤10000
解得，m≤20
∴m的最大值为20，此时40-m=40-20=20（套）
答：购买A种型号玩具20套，购买B种型号玩具20套观察下列计算过程：
11×2+12×3+13×4+14×5
=11-12+12-13+13-14+14-15
=1-15=45
这就是解稍复杂的计算中常用到的裂项相消法，即把每项恰当拆分，使得其中部分分数相互抵消，简化计算．
阅读下面一道例题的解答过程：
因式分解：x2+3x+2
解：我们可以将3x拆成x和2x
即原式=x2+2x+x+2
=xx+2+x+2
=x+2x+1
在因式分解中，我们有时需要对多项式的某一项拆成两项或多项，其目的是使多项式能进行因式分解，像这样的方法称为拆项法．
速度（kmh）
行驶路程（km）
所用时间（h）
轮船顺流航行
100
轮船逆流航行
60
速度（kmh）
行驶路程（km）
所用时间（h）
轮船顺流航行
20+x
100
10020+x
轮船逆流航行
20-x
60
6020-x
如何确定排球和足球购买方案?
素材1
某体育器材店每个排球的价格比足球的价格少20元，用400 元购买的排球数量与500 元购买的足球数量相等．
素材2
该学校决定购买排球和足球共50个，且购买足球的数量不少干排球的数量，同时该体育器材店为支持该学校体育活动，对排球提供7.5折优惠，足球提供8折优惠．
问题解决
任务1
探求商品单价
请运用适当的方法求出每个排球和足球的价格．
任务2
确定购买方案
运用数学知识， 确定该学校本次购买排球和足球所需费用最少的方案，最少费用是多少?