【期中讲练测】苏科版八年级下册数学 05期中必刷题（强化专练）.zip

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一．特殊四边形判断综合（共4小题）
1．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）如图，点E，F，G，H分别是四边形ABCD边AB，BC，CD，DA的中点．则下列说法：
①若AC=BD，则四边形EFGH为矩形；
②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；
③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；
④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．
其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（2023九年级上·山东·专题练习）如图，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，则下列判断：①四边形AEDF一定是平行四边形；②若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是正方形；③若AD⊥BC，则四边形AEDF是菱形；④若∠A=90°，则四边形AEDF是矩形．正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）如图，已知以△ABC的三边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF.试判断下列结论正确的是（ ）
A．四边形ADEF是平行四边形
B．若四边形ADEF是矩形，则∠BAC=120°
C．若四边形ADEF是菱形，则AB=AC
D．当∠BAC=60°时，四边形ADEF不存在
4．（2023·山东聊城·二模）如图，以△ABC的三边为边在BC上方分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，且点A在△BCF内部．给出以下结论：
①四边形ADFE是平行四边形；
②当∠BAC=130°时，四边形ADFE是矩形；
③当AB=AC时，四边形ADFE是菱形；
④当AB=AC，且∠BAC=150°时，四边形ADFE是正方形．
其中正确结论有 （填上所有正确结论的序号）．
二．旋转对称图形（共3小题）
5．（23-24八年级下·全国·课后作业）下列图形绕某一点旋转一定角度都能与原图形重合，其中旋转角度最小的是（ ）
A．B．C．D．
6．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，正五边形ABCDE的边长等于2，分别以正五边形各边为直径，向外作半圆．
(1)这个图形________（填“是”或“不是”）旋转对称图形，若是，则旋转中心是点________，最小旋转角为________；
(2)求阴影部分的周长和面积（用含π的式子表示）．
7．（23-24八年级上·山东烟台·期末）规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α(0°<α≤180°)后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．
根据以上规定，回答问题：
(1)下列选项是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是________；
A．矩形 B．正五边形 C．菱形 D．正六边形
(2)下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有：________（填序号）．

(3)下列三个结论：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③平行四边形是旋转对称图形．其中正确的个数有________个；
A．0 B．1 C．2 D．3
(4)如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有45°，90°，135°，180°，将图形补充完整．

三．求旋转后点的坐标（共4小题）
8．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，△AOB中，OA=4,OB=6,AB=27，将△AOB绕原点B旋转90°，则旋转后点A的对应点A'的坐标是（ ）

A．10,23B．2,-23
C．6-23,-4或6+23,4D．10,23或2,-23
9．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转180°，得到Rt△FEC，则点A的对应点F的坐标是( )
A．(-1,0)B．(0,1)C．(1,2)D．(2,1)
10．（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形边长为1，△ABC的顶点均在格点上，请在所给的平面直角坐标系中按要求作图并完成填空：
(1)作出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标_______；
(2)作出△A1B1C1绕点O逆时针旋转90°的△A2B2C2，并写出点C2的坐标_______；
(3)y轴上存在一点P，使的△ABP周长最小，则P点坐标为_______，△ABP的周长最小值为_______．
11．（22-23八年级下·辽宁锦州·期中）如图，将等边△OAB放在平面直角坐标系中，A点坐标1，0，将△OAB绕点A顺时针旋转60°，则旋转后点B的对应点B'的坐标为 ．

四．坐标与旋转规律问题（共3小题）
12．（2023·河南南阳·一模）如图在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐标是(0，4)，顶点B的坐标是(2，0)，对角线AC、BD的交点为M将正方形ABCD绕着原点O逆时针旋转，每次旋转45°，则第2023次旋转结束时，点M的坐标为 ( )
A．3，3B．-3，3C．(0，3 2 )D．(3 2 ，0)
13．（22-23八年级上·江苏苏州·期中）如图，在直角坐标系中，已知点A-3,0、B0,4．对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2022的直角顶点的横坐标为 ．

14．（22-23八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在△ABC中，顶点A在x轴的负半轴上，B0,2，C5,2，AB=BC，将△ABC绕点A逆时针旋转，每秒旋转90°，则第2022秒旋转结束时点B的坐标是 ．
五．求与已知三点组成平行四边形点的个数（共2小题）
15．（22-23八年级下·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，以O0,0，A1,2，B4,0为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（ ）
A．-3,2B．-2,2C．5,2D．3,-2
16．（22-23八年级下·江苏南通·阶段练习）平面直角坐标系中，A-1,0，B3,0，C0,2，D为平面内一点.若A、B、C、D四点恰好构成一个平行四边形，则平面内符合条件的点D的坐标为 ．
六．利用平行四边形的性质与判定求解（共3小题）
17．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）定义：平面内一点P到点A，点B，点C三个点的距离分别为PA、PB、PC，若有PA2+PB2=PC2，则称点P为A，B，C三点关于点C的勾股点．

(1)若点P为A，B，C三点关于点C的勾股点，且PA=1，PB=2，则PC= ；
(2)如图1，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°, AB=AC，AD=AE，点D为边BC上一动点．求证：点D为B，C，E三点关于点E的勾股点；
(3)如图2，△AEC为直角三角形，∠EAC=90°，点P为A，B，C三点关于点C的勾股点，连接PA，PC，作PD⊥AC，垂足为点B，交EC于点D，连接BE，且BE∥AP，AP=5，EC=8，试求BD的长度．
18．（22-23八年级下·江苏苏州·期中）如图1所示，平行四边形ABCD是苏州乐园某主题区域的平面示意图，A，B，C，D分别是该区域的四个入口，两条主干道AC，BD交于点O，请你帮助苏州乐园的管理人员解决以下问题：
(1)若AB=1.3km，AC=2km，BD=2.6km，你能判断△AOB的形状吗？请说明理由．
(2)在（1）的条件下，如图2，乐园管理人员为提升游客游览的体验感，准备修建三条绿道AN，MN，CM，其中点M在OB上，点N在OD上，且BM=ON（点M与点O，B不重合），并计划在△AON与△COM两块绿地所在区域种植花期长久的马鞭草，求种植马鞭草区域的面积．
(3)若将该区域扩大，如图3，此时AC⊥BD，AC=6km，BD=3km，BM=ON，修建（2）中的绿道每千米费用为4万元，请你计算修建这三条绿道投入资金的最小值．
19．（21-22八年级下·江苏苏州·期中）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α得到△AED，点B、C的对应点分别是E、D．
(1)如图1，当点E恰好在AC上时，求∠CDE的度数；
(2)如图2，若α=60° 时，点F是边AC中点，求证：四边形BFDE是平行四边形；
(3)当BC＝2时，连接CE，CD，设△CDE的面积为S．在旋转过程中，S是否存在最大值？若存在，请直接写出S的最大值；若不存在，请说明理由．
七．利用平行四边形的性质与判定的应用（共3小题）
20．（22-23八年级下·湖南岳阳·期中）某广场上一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花，如果有AB∥EF∥DC，BC∥GH∥AD，那么下列说法中错误的是（ ）

A．红花、绿花种植面积一定相等B．紫花、橙花种植面积一定相等
C．红花、蓝花种植面积一定相等D．蓝花、黄花种植面积一定相等
21．（21-22八年级下·江苏南京·期末）如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形ABCD为平行四边形；②对角线BD的长度不变；③四边形ABCD的面积不变；④四边形ABCD的周长不变，其中所有正确的结论是（ ）
A．①②B．①④C．①②④D．①③④
22．（22-23八年级下·江苏·阶段练习）如图1是某一遮阳蓬支架从闭合到完全展开的一个过程，当遮阳蓬支架完全闭合时，支架的若干支杆可看作共线．图2是遮阳蓬支架完全展开时的一个示意图，支杆MN固定在垂直于地面的墙壁上，支杆CE与水平地面平行，且G，F，B三点共线，在支架展开过程中四边形ABCD始终是平行四边形．
(1)若遮阳蓬完全展开时，CE长2米，在与水平地面呈60°的太阳光照射下，CE在地面的影子有______米（影子完全落在地面）
(2)长支杆与短支杆的长度比（即CE与AD的长度比）是______．
八．利用矩形的性质与判定求解（共3小题）
23．（21-22八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若∠BDE＝15°，求∠EOC的度数；
(3)在（2）的条件下，若AB＝2，求矩形ABCD的面积．
24．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）在矩形ABCD中，AB=6,BC=8，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤10．
(1)若G，H分别是AD，BC中点，则四边形EGFH一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？
解： ；（直接填空，不用说理）
(2)在（1）条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值；
25．（22-23八年级下·江苏扬州·阶段练习）在▱ABCD中，∠BAD的平分线交线段BC于点E，交线段DC的延长线于点F，以EC、CF为邻边作▱ECFG．

(1)如图1，证明：CE=CF．
(2)如图2，若∠ABC=90，M是EF的中点，求∠BDM的度数；
(3)如图3，若∠ABC=120，请直接写出∠BDG的度数．
九．利用菱形的性质与判定求解（共3小题）
26．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）综合与实践：
在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．
在矩形ABCD中，E为AB边上一点，F为AD边上一点，连接CE、CF，分别将△BCE和△CDF沿CE、CF翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，且C、H、G三点共线．
(1)如图1，若F为AD边的中点，AB=BC=6，点G与点H重合，则∠ECF= °，BE= ；
(2)如图2，若F为AD的中点，AB=5，BC=4，求BE的长．
(3)AB=5，AD=3，若F为AD的三等分点(图仅供参考)，请直接写出BE的长．
27．（21-22八年级下·贵州遵义·期末）如图1，四边形ABCD是边长为10的正方形，G是线段BC上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F．
(1)求证：BF+EF=AF；
(2)如图2，当点G是BC的中点时，求线段EF的长度；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接BD并取BD的中点O，连接OE、OF，求△OEF的面积．
28．（22-23八年级下·浙江·周测）在△ABC中，B在C的左边，BA=BC=3，将△ABC关于AC作轴对称，得四边形ABCD．P是对角线AC上的动点，E是直线BC上的动点，且PE=PB．

(1)四边形ABCD如图1所示，四边形ABCD是________（填“矩形”或“菱形”或“正方形”）；∠DPE______∠ABC（填“=”或“≠”）；
(2)四边形ABCD如图2所示，且∠ABC=90°，四边形ABCD是_______（填“矩形”或“菱形”或“正方形”）；（1）中∠DPE与∠ABC之间的数量关系还成立吗？若成立，请说明理由．
(3)四边形ABCD如图3所示，若∠ACB=α，∠PEB=β，请直接写出∠DPB的度数．（用含α、β的代数式表示）
十．中点四边形（共2小题）
29．（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
任务：
(1)材料中的依据1是指： ，依据2是指： ．
(2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形ABCD及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH，使得四边形EFGH为矩形；（要求同时画出四边形ABCD的对角线）；不必说明理由）
(3)在图1中，分别连接AC，BD得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长与对角线AC，BD长度的关系，并证明你的结论．
30．（20-21八年级下·河北石家庄·期中）四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形EFGH称为中点四边形．
（1）我们知道：无论四边形ABCD怎样变化，它的中点四边形EFGH都是平行四边形．特殊的：
①当对角线AC=BD时，四边形ABCD的中点四边形为__________形；
②当对角线AC⊥BD时，四边形ABCD的中点四边形是__________形．
（2）如图：四边形ABCD中，已知∠B=∠C=60°，且BC=AB+CD，请利用（1）中的结论，判断四边形ABCD的中点四边形EFGH的形状并进行证明．
十一．垂美四边形（共2小题）
31．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．数学兴趣小组的同学们在老师的带领下开展了对垂美四边形的研究．
(1)【概念理解】如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，则四边形ABCD______（填“是”或“不是”）垂美四边形．
(2)【性质探究】如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．小莹利用勾股定理的知识探索出四边形ABCD的四条边具有以下数量关系：AB2+CD2=AD2+BC2．请判断小莹的结论是否正确，并说明理由．
(3)【问题解决】如图3，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形ABD，使得∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，连接CD，BE，DE，已知BC=3，AC=4，请直接写出DE的值．
32．（21-22八年级下·河南信阳·期末）如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
(1)概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．
(2)性质探究：试探索垂美四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系．
猜想结论：（要求用文字语言叙述）
写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）．
(3)问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，GE，已知AC=4，AB=5，求GE长．
十二．对角互补模型（共2小题）
33．（2021八年级·全国·专题练习）已知∠ABC=60°,∠ADC=120°,AB=BC，求证：AD+DC=BD，S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=34BD2．
34．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，∠AOB=90°，P为∠AOB内一点，点E、F分别在射线OA、OB上，且∠EPF=90°，PE=PF．

(1)求证：∠AEP=∠PFO；
(2)试说明：点P在∠AOB的角平分线上．
十三．十字架模型（共2小题）
35．（22-23八年级下·广东广州·期中）我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”．

(1)在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“神奇四边形”的是 （填序号）；
(2)如图1，在正方形ABCD中，E为BC上一点，连接AE，过点B作BG⊥AE于点H，交CD于点G，连AG、EG．
①求证：四边形ABEG是“神奇四边形”；
②如图2，点M、N、P、Q分别是AB、AG、GE、EB的中点．试判断四边形MNPQ是不是“神奇四边形”；
(3)如图3，点F、R分别在正方形ABCD的边AB、CD上，把正方形沿直线FR翻折，使得BC的对应边B'C'恰好经过点A，过点A作AO⊥FR于点O，若AB'=2，正方形的边长为6，求线段OF的长．
36．（20-21八年级下·云南曲靖·期末）如图1，在正方形ABCD中，E为BC上一点，连接AE，过点B作BG⊥AE于点H，交CD于点G．
（1）求证：AE=BG；
（2）如图2，连接AG、GE，点M、N、P、Q分别是AB、AG、GE、EB的中点，试判断四边形MNPQ的形状，并说明理由；
（3）如图3，点F、R分别在正方形ABCD的边AB、CD上，把正方形沿直线FR翻折，使得BC的对应边B'C'恰好经过点A，过点A作AO⊥FR于点O，若AB'=1，正方形的边长为3，求线段OF的长．
十四. 已知分式恒等变形求未知数（共2小题）
37．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）若5x-7x2-4x-5=Ax+1+Bx-5，A，B为常数，则2A-B的值为 ．
38．（22-23八年级下·广东佛山·期中）已知一次函数y1=-x+1，y2=-3x+2．
(1)若方程y1=a+y2的解是正数，求a的取值范围．
(2)若以x、y为坐标的点x,y在已知的两个一次函数图象上，求12x2+12xy+3y2的值；
(3)若4-2x3x-2x-1=Ay1+By2，求AB+BA的值．
十五. 分式的比较大小（共2小题）
39．（23-24八年级上·湖南株洲·期中）【阅读理解】在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是利用“作差法”，即要比较代数式M，N的大小，只要作出差M-N，若M-N>0，则M>N；若M-N=0，则M=N；若M-N<0，则M(1)例如：若a>0，要比较aa+1、a-1a大小，只需要用aa+1-a-1a=1aa+1>0，
所以可得：aa+1______a-1a（填>，=，<）；
(2)已知A=2x2-1，B=x2-2x+1x-1，当x>-1时，比较A与1B的大小，利用做差法说明理由；
(3)小王和小张的加油习惯不同，小王每次加300元的油（油箱未加满），而小张每次都把油箱加满．现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，设第一次油价为x元/升，第二次油价为y元/升（x≠y）．
①小王两次加油的平均单价为______元/升，小张两次加油的平均单价为______元/升（用含x，y的代数式表示，化简结果）；
②请通过计算判断，小王和小张的两种加油方式中，哪种平均单价更低？
40．（22-23八年级上·山东烟台·期中）阅读材料：
在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，常用的方法之一就是“作差法”．所谓“作差法”，就是通过作差、变形，利用差的符号确定大小关系，即要比较代数式M，N的大小，只要作出它们的差M-N，若M-N>0，则M>N；若M-N=0，则M=N；若M-N<0，则M解答问题：
(1)现有大、小两艘轮船，小船每天运xx>40吨货物，大船比小船每天多运10吨货物．现让大船完成运送100吨货物的任务，小船完成运送80吨货物的任务．
①大船、小船完成运送任务所需天数分别为___________天，___________天（均用含x的代数式表示）；
②通过计算说明哪艘轮船完成任务所用的时间少？
(2)比较2aa2-4与1a-2的大小．
十六. 求分式的最值问题（共2小题）
41．（23-24八年级下·浙江湖州·阶段练习）阅读材料：
已知a，b为非负实数，∵a+b-2ab=(a)2+(b)2-2a⋅b=(a-b)2≥0
∴a+b≥2ab，当且仅当“a=b”时，等号成立．
这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用．
例：已知x>0，求代数式x+9x最小值．
解：令a=x，b=9x，则由a+b≥2ab，得x+9x≥2x⋅9x=6．
当且仅当x=9x，即x=3时，代数式取到最小值，最小值为6．
根据以上材料解答下列问题：
【灵活运用】
（1）已知x>0，则当x=______时，代数式x+2x到最小值，最小值为________．
（2）已知x>0，求代数式2x2-5x+3x的最小值．
【拓展运用】
（3）某校要对操场的一个区域进行改造，利用一面足够长的墙体将该区域用围栏围成中间隔有两道围栏的矩形花圃，如图1所示，为了围成面积为500m2的花圃，所用的围栏至少为多少米？
（4）如图2，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOD和△BOC的面积分别是4和12，求四边形ABCD面积的最小值．
42．（22-23八年级上·湖南益阳·期末）阅读下列材料：
【材料一】
我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式当分子的次数大于或等于分母的次数时我们称之为“假分式”：当分子的次数小于分母的次数时我们称之为“真分式”．
如x-1x+2,x2x+1这样的分式就是假分式：再如1x-1,2x-1x2+1这样的分式就是真分式．
类似的假分式也可以化为带分式．如：x-1x+2=(x+2)-3x+2=1-3x+2．
【材料二】
问题：用配方法求代数式x2+x+1的最值．
解：∵x2+x+1=x+122+34，而x+122≥0，
∴x2+x+1=x+122+34≥34，
故当x=-12时，x2+x+1的最小值为34．
解答下列问题：
(1)分式1x是_________（填“真分式”或“假分式”）；假分式x-1x+1可以化为带分式_________的形式；
(2)如果分式x+4x-1的值为整数，求满足条件的整数x的值．
(3)求分式6x2+6x+1x2+x+1的最值．
十七.根据分式方程解的情况求参数取值范围（共5小题）
43．（22-23八年级下·四川成都·期末）如果关于x的分式方程mx-4+14-x=-2有增根，则m的值是（ ）
A．1B．4C．-3D．-15
44．（18-19八年级上·湖南·期中）若关于x的分式方程m-1x-1=2的解为非负数，则m的取值范围是 ．
45．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）若关于x的分式方程x-ax-1-3x=1无解，则a= ．
46．（23-24八年级上·江苏南通·期末）若关于x的方程x-mx-1+2m1-x =5的解为正数，则m的取值范围是 ．
47．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）若关于x的方程ax1+x-1=3x+1的解为整数解，则满足条件的负整数a的值是 ．
十八. 分式方程与不等式组综合（共4小题）
48．（22-23八年级上·重庆南川·期末）若关于y的不等式组y-1≥4my-m2≤2m+3有解，且关于x的分式方程mxx-3=1+2x+33-x有非负整数解，则符合条件的所有整数m的和为（ ）
A．-16B．-13C．-9D．-6
49．（2023·山东济宁·一模）关于x的分式方程3x-ax-3+x+13-x=1的解为正数，且关于y的不等式组y+9≤2(y+2)2y-a3≥1的解集为y≥5，则所有满足条件的整数a的个数为（ ）
A．6B．5C．4D．3
50．（22-23九年级下·重庆丰都·阶段练习）若关于y的不等式组y-1≥2y-13-12y-a＞0无解，且关于x的分式方程ax+1+1=x+ax-1的解为负数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
51．（22-23七年级下·四川成都·期中）若关于x的不等式组123x-2≤x+15x+3>a-2x有且仅有五个整数解，且关于x的分式方程xx-1-a-21-x=3有整数解，求所有满足条件的整数a的值之和为 ．
十九. 与分式运算有关的新定义问题（共2小题）
52．（22-23七年级下·浙江湖州·期末）新定义：若两个分式A与B的差为n（n为正整数），则称A是B的“n分式”．例如：xx-1-1x-1=1，则称分式xx-1是分式1x-1的“1分式”．根据以上定义，下列选项中说法错误的是（ ）
A．4x+3x+2是x-3x+2的“3分式”
B．若a的值为-3，则12+x3+2x是ax+63+2x的“2分式”
C．若2aba2-4b2是aa-2b的“1分式”，则a2=3b2
D．若a与b互为倒数，则5aa+b2是-5ba2+b的“5分式”
53．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）新定义：如果两个实数a,b使得关于x的分式方程ax+1=b的解是x=1a+b成立，那么我们就把实数a,b组成的数对a,b称为关于x的分式方程ax+1=b的一个“关联数对”．
例如：a=2,b=-5使得关于x的分式方程2x+1=-5的解是x=12+-5=-13成立，所以数对2,-5就是关于x的分式方程ax+1=b的一个“关联数对”．
(1)判断下列数对是否为关于x的分式方程ax+1=b的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”. 若不是，打“×”．
①-1,-1（ ）；②3,4（ ）；
③2,-5（ ）； ④1,1（ ）；
(2)若数对n2-3,-n2是关于x的分式方程ax+1=b的“关联数对”，求n的值；
(3)若数对m-k,k（m≠-1且m≠0，k≠1）是关于x的分式方程ax+1=b的“关联数对”，且关于x的方程kx-m+1=-2mm+1x有整数解，求整数m的值．
二十.与分式运算有关的规律探究问题（共2小题）
54．（2011·广东·中考模拟）先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题．
11×2=1-12，12×3=12-13，13×4=13-14，…
(1)11×2+12×3+13×4+14×5+15×6 ．
(2)探究11×2+12×3+13×4+⋯+1nn+1= ．（用含有n的式子表示）
(3)若11×3+13×5+15×7+⋯+12n-12n+1的值为1735，求n的值．
55．（22-23八年级下·江苏苏州·期中）先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程x+1x=2+12的解为x1=2，x2=12；
方程x+1x=3+13的解为x1=3，x2=13；
方程x+1x=4+14的解为x1=4，x2=14；
…
(1)观察上述方程的解，猜想关于x的方程x+1x=6+16的解是________；
(2)根据上面的规律，猜想关于x的方程x+1x=a+1a的解是________；
(3)由（2）可知，在解方程：y+y+2y+1=52时，可以变形转化为方程x+1x=a+1a的形式求值，按要求写出你的变形求解过程．
二十一. 与分式运算有关的阅读理解问题（共3小题）
56．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”． 如分式A=xx-1，B=-1x-1，A+B=x-1x-1=1，则A与B互为“关联分式”，“关联值”k=1．
(1)若分式A=x-4x-3，B=x-2x-3，判段Ａ与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”k．
(2)已知分式C=2x-1x-2，D=Mx2-4，C与D互为“关联分式”，且“关联值”k=2．
①M=________（用含x的式子表示）；
②若x为正整数，且分式D的值为正整数，则x的值等于________．
(3)若分式E=(x-a)(x-b)x-6，F=(x-c)(x-7)6-x（a，b为整数且c=a+b），E是F的“关联分式”，且“关联值”k=7，求c的值．
57．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）阅读材料：
解分式不等式3x+6x-1<0
解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为3x+6<0x-1>0①或3x+6>0x-1<0②
解①得：无解，解②得：-2所以原不等式的解集是-2(1)请运用上述方法，直接写出下列分式不等式的解集
x-42x+5≤0：________；3x+2x-1>2：________；x+2x2-4≤0：________；
(2)解分式不等式：x2-2x+11x2-2x+4≥2．
58．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题：
例1：分解因式x2+2xx2+2x+2+1；
解：将“x2+2x”看成一个整体，令x2+2x=y；
原式=yy+2+1=y2+2y+1=y+12=x2+2x+12=x+14；
例2：已知ab=1，求11+a+11+b的值．
解：11+a+11+b=abab+a+11+b=b1+b+11+b=1；
(1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式x2-6x+8x2-6x+10+1进行因式分解；
(2)计算：1-2-3-…-2021×2+3+…+2022-1-2-3-…-2022×2+3+…+2021= ．
(3)①已知ab=1，求11+a2+11+b2的值；
②若abc=1，直接写出5aab+a+1+5bbc+b+1+5cca+c+1的值．
瓦里尼翁平行四边形
我们知道，如图1，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接E，F，G，H，得到的四边形EFGH是平行四边形．
我查阅了许多资料，得知这个平行四边形EFGH被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁(Varingnn,Pierre1654-1722)是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．
①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形．
②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系．
③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下：
证明：如图2，连接AC，分别交EH，FG于点P，Q，过点D作DM⊥AC于点M，交HG于点N．
∵H，G分别为AD，CD的中点，∴ HG∥AC,HG=12AC．（依据1)
∴ DNNM=DGGC．∵DG=GC，∴ DN=NM=12DM．
∵四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形，∴HE∥GF，即HP∥GQ．
∵HG∥AC，即HG∥PQ，
∴四边形HPQG是平行四边形．（依据2)∴S▱HPQG=HG⋅MN=12HG⋅DM．
∵ SΔADC=12AC⋅DM=HG⋅DM，∴ S▱HPQG=12SΔADC．同理，…