2023-2024学年天津五中高一(下)月考数学试卷(3月份)(含解析)
展开1.已知向量a=(1,m),b=(m,2),若a//b,则实数m等于( )
A. 2B. 2或− 2C. − 2D. 0
2.下列各式化简正确的是( )
A. OA−OD+DA=0B. AB+MB+BO+OM=AB
C. AB−CB+AC=0D. 0⋅AB=0
3.已知|a|=1,b=(0,2),且a⋅b=1,则向量a与b夹角的大小为( )
A. π6B. π4C. π3D. π2
4.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a2=b2+c2+bc,则A的值是( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
5.下列命题中,正确命题的个数是( )
①单位向量都共线;
②长度相等的向量都相等;
③共线的单位向量必相等;
④与非零向量a共线的单位向量是±a|a|.
A. 0B. 1C. 2D. 3
6.已知AB=a+5b,BC=−2a+8b,CD=3a−3b,则( )
A. A、B、D三点共线B. A、B、C三点共线
C. B、C、D三点共线D. A、C、D三点共线
7.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=30°,b= 2,c=2,则角C=( )
A. 45°B. 135°C. 45°或135°D. 30°
8.若|a|=4,|b|=1,向量a与向量b的夹角为120°,则a在b上的投影向量为( )
A. −3bB. 2bC. −2bD. −b
9.若向量a,b满足|a|=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,则|b|=
( )
A. 2B. 2C. 1D. 22
10.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,若a2−b2= 3bc,sinC=2 3sinB,则A等于
( )
A. 5π6B. 2π3C. π3D. π6
二、填空题:本题共6小题,每小题4分,共24分。
11.已知向量a=(2,4),b=(−1,1),则3a−b= ______.
12.已知a=(−3,1),b=(2,−1),则a⋅b= ______.
13.已知A(−1,2),B(2,0),C(x,3),且AB⊥AC,则x= ______.
14.在△ABC中,已知a=5,b=3,C=120°,则S△ABC= ______.
15.已知e1,e2是夹角为23π的两个单位向量,a=e1−2e2,b=ke1+e2.若a⋅b=0,则实数k的值为______.
16.如图,在△ABC中,M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,设AB=a,AC=b,则AM= ______;AP= ______.(注:用a和b来表示)
三、解答题:本题共3小题,共36分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=5,c=6,csB=45.
(I)求b和sinA的值;
(Ⅱ)求cs(A+π4)的值.
18.(本小题12分)
设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=4,C=2B.
(Ⅰ)求csB的值;
(Ⅱ)求sin(2B−π3)的值.
19.(本小题12分)
如图,在四边形ABCD中,∠B=60°,AB=3,BC=6.
(1)求AB⋅BC的值;
(2)若AD=λBC,AD⋅AB=−32,求实数λ的值;
(3)在(2)的条件下,若M,N是线段BC上的动点,且|MN|=1,求DM⋅DN的最小值.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解:向量a=(1,m),b=(m,2),若a//b,
则m2=2,
解得m= 2或− 2.
故选:B.
直接利用共线向量的坐标运算求解即可.
本题考查向量的坐标运算,共线向量的应用,基本知识的考查.
2.【答案】B
【解析】【分析】本题主要考查平面向量的基本运算,比较基础.
直接根据向量的加减及数乘逐个进行判断即可求解结论.
【解答】
解:因为OA−OD+DA=2DA,故A错;
∵AB+MB+BO+OM=AB+MB+BM=AB+0=AB,故B对;
AB−CB+AC=AB+BC+AC=2AC,故C错;
0⋅AB=0,故D错;
故选:B.
3.【答案】C
【解析】解:∵|a|=1,b=(0,2),且a⋅b=1,
∴cs=a⋅b|a| |b|=11× 0+22=12.
∴向量a与b夹角的大小为π3.
故选:C.
利用向量的夹角公式即可得出.
本题考查了向量的夹角公式,属于基础题.
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题给出三角形边的平方关系,求角A的大小.考查了余弦定理和特殊角的三角函数值等知识,属于基础题.
由余弦定理a2=b2+c2−2bccsA的式子与题中等式加以比较,可得csA=−12,结合A是三角形的内角,可得A的大小.
【解答】
解:∵由余弦定理,得a2=b2+c2−2bccsA
∴结合题意a2=b2+c2+bc,得csA=−12
又∵A是三角形的内角,∴A=2π3
故选:C.
5.【答案】B
【解析】解:向量既有大小也有方向,
∴单位向量的方向不相同或相反便不共线,∴命题①错误;
长度相等而方向不同的向量不相等,∴命题②错误;
共线的单位向量方向不相同的也不相等,∴命题③错误;
与非零向量a共线的单位向量是:±a|a|,∴命题④正确.
故选:B.
根据向量的定义即可判断命题①②③都错误,与非零向量a共线的单位向量是±a|a|,从而判断命题④正确,这样即可得出正确的选项.
本题考查了向量的定义,单位向量的定义,相等向量和共线向量的定义,考查了计算能力,属于基础题.
6.【答案】A
【解析】解:∵AB=a+5b,BC=−2a+8b,CD=3a−3b,
∴BD=BC+CD=a+5b,
∴AB=BD,
∴AB与BD共线,
∴A、B、D三点共线.
故选:A.
根据平面向量的线性运算与共线定理,证明AB与BD共线,即可得出结论.
本题考查了平面向量的线性运算与共线定理的应用问题,是基础题目.
7.【答案】C
【解析】解:B=30°,b= 2,c=2,
则sinC=csinBb=2×12 2= 22,
∵C>B,C∈(0,π),
∴角C=45°或135°.
故选:C.
根据已知条件,结合正弦定理,即可求解.
本题主要考查正弦定理的应用,属于基础题.
8.【答案】C
【解析】解:a在b上的投影向量为a⋅b|b|⋅b|b|=4×1×cs120°1b=−2b.
故选:C.
根据投影向量定义计算即可.
本题主要考查投影向量的定义,属于基础题.
9.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查两个向量垂直的性质:两个向量垂直,则它们的数量积等于零,属于中档题.
由条件利用两个向量垂直的性质,可得(a+b)⋅a=0,(2a+b)⋅b=0,由此求得|b|.
【解答】
解:由题意可得,
(a+b)⋅a=a2+a⋅b=1+a⋅b=0,
∴a⋅b=−1;
(2a+b)⋅b=2a⋅b+b2=−2+b2=0,∴b2=2,
则|b|= 2,
故选B.
10.【答案】D
【解析】解:∵由sinC=2 3sinB,由正弦定理可知:c=2 3b,代入a2−b2= 3bc,
∴可得a2=7b2,
∴由余弦定理可得:csA=b2+12b2−7b24 3b2= 32,
∵0∴A=π6.
故选:D.
利用正弦定理化三角函数为三角形边的关系,然后通过余弦定理求解即可.
本题考查了正弦定理以及余弦定理的应用,考查了转化思想,属于基础题.
11.【答案】(7,11)
【解析】解:∵a=(2,4),b=(−1,1),
∴3a−b=(6,12)−(−1,1)=(7,11).
故答案为:(7,11).
根据向量线性运算的坐标表示求解即可.
本题主要考查平面向量的坐标运算,属于基础题.
12.【答案】−7
【解析】解:由a=(−3,1),b=(2,−1),
所以a⋅b=−6−1=−7.
故答案为:−7.
根据向量数量积的坐标公式计算即可.
本题考查了平面向量数量积的坐标运算,属基础题.
13.【答案】−13
【解析】解:AB=(3,−2),AC=(x+1,1),
因为AB⊥AC,所以AB⋅AC=(3,−2)⋅(x+1,1)=3x+3−2=0,
解得x=−13.
故答案为:−13.
先得到AB=(3,−2),AC=(x+1,1),根据垂直得到方程,求出答案.
本题主要考查平面向量垂直的性质,属于基础题.
14.【答案】15 34
【解析】解:由三角形面积公式可得:S△ABC=12absinC=12×5×3× 32=15 34.
故答案为:15 34.
直接由三角形面积公式计算.
本题考查三角形面积公式等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
15.【答案】54
【解析】【分析】
本题考查向量的数量积公式、考查向量的运算律,属于基础题.
利用向量的数量积公式求出e1⋅e2,利用向量的运算律求出a⋅b,列出方程求出k.
【解答】
解:∵e1,e2是夹角为23π的两个单位向量,
∴e1⋅e2=−12,
∴a⋅b=(e1−2e2)⋅(ke1+e2)
=ke12−2ke1⋅e2+e1⋅e2− 2e22
=2k−52,
∵a⋅b=0,
∴2k−52=0,
解得k=54,
故答案为54.
16.【答案】12a+12b 25a+25b
【解析】解:因为M是BC的中点,AB=a,AC=b,
所以AM=12(AB+AC)=12a+12b,
设BP=λBN,
则AP=AB+BP=AB+λBN=a+λ(AN−AB)=a+λ(23AC−AB)
=(1−λ)a+2λ3b,
设AP=μAM,则AP=μ2a+μ2b,
所以1−λ=μ22λ3=μ2,解得λ=35μ=45,
所以AP=25a+25b.
故答案为:12a+12b;25a+25b.
根据中线的向量表示求出AM,设BP=λBN,AP=μAM,再由平面向量基本定理列出方程即可求出λ,μ得解.
本题主要考查了向量的线性运算及向量共线定理,属于中档题.
17.【答案】解:(I)在△ABC中,由余弦定理,
得b2=a2+c2−2accsB=25+36−2×5×6×45=13,
所以b= 13;
又sinB= 1−cs2B=35,
由正弦定理得sinA=a⋅sinBb=3 1313;
(Ⅱ)∵a
∴cs(A+π4)=csAcsπ4−sinAsinπ4= 22×(2 1313−3 1313)=− 2626.
【解析】(I)由余弦定理和正弦定理求得b、sinA的值;
(Ⅱ)利用同角三角函数基本关系式可求csA的值,进而根据两角和的余弦函数公式即可求解cs(A+π4)的值.
本题考查了正弦、余弦定理的应用问题,也考查了三角函数求值的计算问题,是基础题.
18.【答案】解:(Ⅰ)∵C=2B,∴sinC=sin2B=2sinBcsB,
由正弦定理得c=2bcsB,
∴csB=c2b=42×3=23;
(Ⅱ)由csB=23,
∴sinB= 53,
∴sin2B=2sinBcsB=2× 53×23=4 59,
cs2B=2cs2B−1=89−1=−19,
∴sin(2B−π3)=sin2Bcsπ3−cs2Bsinπ3=4 59×12+19× 32=4 5+ 318.
【解析】(1)利用正弦定理,可得c=2bcsB,即求出csB的值;
(2)求出sin2B,cs2B,即可求sin(2B−π3)的值.
本题考查正弦定理,考查二倍角公式,考查学生的计算能力,属于中档题.
19.【答案】解:(1)已知四边形ABCD中,∠B=60°,AB=3,BC=6.
则AB⋅BC=|AB|⋅|BC|cs120°=3×6×(−12)=−9;
(2)因为AD=λBC,
所以AD//BC,
所以∠BAD=120°,
所以AD⋅AB=|AD||AB|cs∠BAD=−32|AD|=−32,
所以|AD|=1,
又|BC|=6,
所以AD=16BC,
即λ=16;
(3)以BC所在直线为x轴正方向,过B作BC垂线为y轴,建立平面直角坐标系,
因为∠B=60°,AB=3,
所以A(32,3 32),
则D(52,3 32),
设M(x,0),
则N(x+1,0),
因为M,N是线段BC上的两个动点,
所以0≤x≤60≤x+1≤6,
解得0≤x≤5,
所以DM=(x−52,−3 32),DN=(x−32,−3 32),
所以DM⋅DN=(x−52)(x−32)+274=(x−2)2+132,
所以当x=2时,DM⋅DN有最小值132.
【解析】(1)根据数量积公式求解;
(2)根据AD=λBC,可得AD//BC,即可得∠BAD=120°,根据数量积公式,可得AD的长,分析即可得答案;
(3)如图建系,求得D点坐标,设M(x,0),则N(x+1,0),即可得DM,DN坐标,根据数量积公式,结合x的范围,即可得答案.
本题考查了平面向量数量积的运算,重点考查了平面向量数量积的坐标运算,属中档题.
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