2023-2024学年天津市静海区四校高一（上）月考数学试卷（12月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年天津市静海区四校高一（上）月考数学试卷（12月份）（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合A={1,3,5,7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=( )
A. {1,3}B. {3,5}C. {5,7}D. {1,7}
2.已知命题p：∀x∈(0,+∞)，lnx≥1−1x，则命题p的否定为( )
A. ∃x0∈(0,+∞),lnx0<1−1x0B. ∀x∈(0,+∞),lnx<1−1x
C. ∃x0∈(0,+∞),lnx0≥1−1x0D. ∀x∉(0,+∞),lnx≥1−1x
3.在0到2π范围内，与角−4π3终边相同的角是
( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 4π3
4.已知sinα+csαsinα−2csα=2,tanα=( )
A. 5B. 4C. 3D. 2
5.已知a=(13)12,b=lg1213,c=lg312则( )
A. C>b>aB. b>c>aC. b>a>cD. a>b>c
6.已知扇形的面积为4，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的周长为( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
7.函数f(x)=ln(x+1)−2x的零点所在的区间是( )
A. (0,1)B. (1,2)C. (2,e)D. (3,4)
8.已知α是第一象限角，那么α2是( )
A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第一或第二象限角D. 第一或第三象限角
9.函数y=lg(x2+x−2)的单调递增区间是( )
A. (−∞,−12)B. (−12,+∞)C. (−∞,−2)D. (1,+∞)
10.函数y=ax(a>0且a≠1)与函数y=(a−1)x2−2x在同一坐标系内的图象可能是( )
A. B.
C. D.
11.若函数f(x)={ax(a>0且a≠1),x⩾1(4−a2)x+2,x<1，且满足对任意的实数x1≠x2都有f(x1)−f(x2)x1−x2>0成立，则实数a的取值范围是
( )
A. (1,+∞)B. (1,8)C. (4,8)D. [4,8)
12.已知函数fx=2−x,x≤0ln1x,x>0,gx=fx−x−a.若gx有2个零点，则实数a的取值范围是
( )
A. −1,0B. 0,+∞C. −1,+∞D. 1,+∞
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
13.sin23π3的值为______ ．
14.幂函数f(x)的图象经过(2,4)，则f(3)=______．
15.函数f(x)=ax−2−3(a>0,a≠1)的图象恒过定点______ ．
16.若sinα<0且tanα>0，则α是第______象限角．
17.设f(x)=ex−1,x<3lg3(x−2),x≥3，则f(f(11))的值是______ ．
18.函数f(x)= lg12(x−2)的定义域是______．
19.已知lga+lg(2b)=1，则a+b的最小值是______．
20.如图所示，①②③④中不属于函数y=lg12x,y=lg13x,y=lg2x的一个是______ ．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题12分)
已知sinα=−35，求csα、tanα的值．
22.(本小题12分)
求值：
(1)(214)12−(−9.6)0−(338)−23+(1.5)−2
(2)lg2512⋅lg45−lg133−lg24+5lg52．
23.(本小题12分)
设全集为R，集合A={x|3≤x<6}，B={x|2(1)分别求A∩B，(∁RB)∪A；
(2)已知C={x|a24.(本小题12分)
已知a>2，函数f(x)=lg4(x−2)−lg4(a−x)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)当a=4时，求不等式f(2x−5)≤f(3)的解集．
25.(本小题12分)
已知函数f(x)=12−11+ex,x∈R．
(1)判断f(x)的单调性，并用函数单调性的定义证明；
(2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查交集的求法，考查计算能力．
直接利用交集的运算法则化简求解即可．
【解答】
解：集合A={1,3,5,7}，B={x|2≤x≤5}，
则A∩B={3,5}，
故选：B．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查全称量词命题的否定，属于基础题．
利用全称量词命题的否定是存在量词命题写出结果即可．
【解答】
解：全称量词命题的否定是存在量词命题，
命题p：∀x∈(0,+∞)，lnx≥1−1x，
则命题p的否定为：∃x0∈(0,+∞)，lnx0<1−1x0．
故选：A．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查终边相同的角的定义和表示方法，属于基础题．
与角−4π3终边相同的角是 2kπ+(−4π3)，k∈Z，由此可解．
【解答】
解：与角−4π3终边相同的角是 2kπ+(−4π3)，k∈Z，
令k=1，可得与角−4π3终边相同的角是2π3，
所以在0到2π范围内，与角−4π3终边相同的角是2π3，
故选：C．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查的是同角三角函数关系，属于基础题．
上下同时除以csα，化解即可求解．
【解答】
解：因为sinα+csαsinα−2csα=2，
所以tanα+1tanα−2=2，解得tanα=5．
故选：A．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了对数函数性质，将a、b、c分别与0、1比较，即可得出结论．
【解答】
解：由题意，a=1312= 33∈0,1，
b=lg1213>lg1212，b>1，
c=lg312∴b>a>c．
故选C．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查扇形的弧长和面积公式，属于基础题．
利用扇形的面积公式求出扇形的半径，利用弧长公式即可求解．
【解答】
解：设扇形所在圆的半径为r，
则4=12×2×r2，
∴r2=4，r=2，
∴扇形的弧长为2×2=4，扇形的周长为2×2+4=8．
故选D．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查函数的零点的存在定理，属于基础题．
函数f(x)=ln(x+1)−2x的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数值符号相反．
【解答】
解：函数f(x)=ln(x+1)−2x在定义域内为增函数且连续，只有一个零点，
∵f(1)=ln2−2<0，
f(2)=ln3−1>lne−1=0，即f(1)⋅f(2)<0，
∴函数f(x)=ln(x+1)−2x的零点所在区间是(1,2)，
故选：B．
8.【答案】D
【解析】解：∵α的取值范围(2kπ,π2+2kπ)，(k∈Z)
∴α2的取值范围是(kπ,π4+kπ)，(k∈Z)
分类讨论
①当k=2i+1 (其中i∈Z)时
α2的取值范围是(π+2iπ,5π4+2iπ)，即α2属于第三象限角．
②当k=2i(其中i∈Z)时
α2的取值范围是(2iπ,π4+2iπ)，即α2属于第一象限角．
故选：D．
由题意α是第一象限角可知α的取值范围(2kπ,π2+2kπ)，然后求出α2即可．
此题考查象限角、轴线角以及半角的三角函数，角在直角坐标系的表示，属于基础题．
9.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了复合函数单调性、对数函数性质和二次函数性质，属于基础题．
求出函数的定义域，结合复合函数单调性进行求解即可．
【解答】
解：由x2+x−2>0得x<−2或x>1，
即函数y=lg (x2+x−2)的定义域为(−∞,−2)∪(1,+∞)，
设t=x2+x−2，则y=lgt是增函数，
要求函数y=lg(x2+x−2)的单调递增区间，
等价为求函数t=x2+x−2在(−∞,−2)∪(1,+∞)上的单调递增区间，
∵t=x2+x−2的单调递增区间为[−12,+∞) ，
则函数y=lg(x2+x−2)的单调递增区间为(1,+∞)．
故选D．
10.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查函数图象的识别，二次函数，指数函数及其性质．
对a的取值分情况讨论，进而得出答案．
【解答】
解：函数y=ax (a>0且a≠1)与函数y=(a−1)x2−2x，
当a>1时，y=ax (a>0且a≠1)的图象过点(0,1)，在R上单调递增，
函数y=(a−1)x2−2x的图象的对称轴为1a−1>0，开口向上，过原点，
由题可得A选项符合题意．
当00且a≠1)的图象过点(0,1)，在R上单调递减，
函数y=(a−1)x2−2x的图象的对称轴为1a−1<0，开口向下，过原点，
此时没有符合题意的选项，
故选A．
11.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查的知识点是分段函数的应用，正确理解分段函数的单调性，是解答的关键，属于中档题．
根据函数单调性的定义，由f(x1)−f(x2)x1−x2>0恒成立，得到f(x)单调递增，则分段f(x)在各段上都是递增，且衔接处非减，得到不等式求解即可．
【解答】
解：∵对任意的实数x1≠x2都有f(x1)−f(x2)x1−x2>0成立，
∴函数 f(x)={ax(a>0且a≠1),x⩾1(4−a2)x+2,x<1在R上单调递增，
∴a>14−a2>0a1≥4−a2×1+2 ,
解得a∈[4,8)，
故选D．
12.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了函数的零点与函数图象的交点的关系应用及数形结合的思想应用，是中档题．
根据题意令g(x)=0，得出f(x)=x+a，在同一坐标系内画出函数y=f(x)和y=x+a的图象，利用图象知g(x)有2个零点时实数a的取值范围．
【解答】解：函数f(x)=2−x,x⩽0ln 1x,x>0=(12)x,x≤0−lnx,x>0,
令g(x)=f(x)−x−a=0，得f(x)=x+a；
设y=f(x)和y=x+a，在同一坐标系内画出两函数图象，如图所示，
根据图象知，若g(x)有2个零点，则实数a的取值范围是a≥1．
故选：D．
13.【答案】− 32
【解析】【分析】 本题主要考查了三角函数的诱导公式，属于基础题．
利用sin⁡23π3=sin⁡(−π3)进行求解．
【解答】解：sin23π3=sin(8π−π3)=sin(−π3)=−sin⁡π3=− 32．
故答案为： − 32．
14.【答案】9
【解析】解：设幂函数f(x)=xa，
∵幂函数f(x)的图象经过(2,4)，
∴2a=4，解得a=2，
∴f(x)=x2，
∴f(3)=32=9．
故答案为：9．
设幂函数f(x)=xa，由幂函数f(x)的图象经过(2,4)，解得f(x)的解析式，由此能求出f(3)．
本题考查幂函数的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
15.【答案】(2,−2)
【解析】解：由于函数y=ax 的图象恒过定点(0,1)，故函数f(x)=ax−2−3(a>0,a≠1)的图象恒过定点(2,−2)，
故答案为(2,−2)．
由函数y=ax的图象恒过定点(0,1)，可得f(x)=ax−2−3的图象恒过定点(2,−2)，从而得到答案．
本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，属于基础题．
16.【答案】三
【解析】解：由sinα<0，可知α是第三或第四象限角，
由tanα>0，可知α是第一或第三象限角，
所以当sinα<0 且tanα>0时，α是第三象限角．
故答案为：三．
结合三角函数的定义即可求解．
本题主要考查了象限角的判断，属于基础题．
17.【答案】e
【解析】解：根据题意，f(x)=ex−1,x<3lg3(x−2),x≥3，
则f(11)=lg39=2，
则f(f(11))=f(2)=e2−1=e，
故答案为：e．
根据题意，由函数的解析式可得f(11)=2，进而可得f(f(11))=f(2)，计算可得答案．
本题考查分段函数函数值的计算，涉及指数、对数的运算性质，属于基础题．
18.【答案】(2,3]
【解析】【分析】
根据使函数f(x)= lg12(x−2)的解析式有意义的原则，构造关于x的不等式组，根据对数函数的性质，可得函数的定义域．
本题考查的知识点是函数的定义域，对数函数的图象和性质，本题易忽略对数的真数部分大于0，而错解．
【解答】
解：要使函数f(x)= lg12(x−2)的解析式有意义，
自变量x须满足x−2>0且lg12(x−2)≥0
即0解得2故函数f(x)= lg12(x−2)的定义域是(2,3]
故答案为：(2,3]．
19.【答案】2 5
【解析】解：∵lga+lg(2b)=1，∴2ab=10，即ab=5且a，b>0．
则a+b≥2 ab=2 5，当且仅当a=b= 5时取等号．
因此：a+b的最小值是2 5．
故答案为：2 5．
利用对数运算性质可得ab，再利用基本不等式的性质即可得出．
本题考查了对数运算性质、基本不等式的性质、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
20.【答案】③
【解析】解：函数y=lg12x，y=lg13x 都是在(0,+∞)上单调递减，只有函数y=lg2x在(0,+∞)上单调递增，
又x=12时，y=lg212=−1，所以函数y=lg2x的图象为④，所以③不满足，
故答案为：③．
利用对数函数的图象和性质求解．
本题主要考查了对数函数的图象和性质，是基础题．
21.【答案】解：∵sinα=−35，sin2α+cs2α=1，
∴csα=± 1−sin2α=±45，
当csα=45时，tanα=−34；
当csα=−45时，tanα=34．
【解析】此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
由sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系即可求出csα、tanα的值．
22.【答案】解：(1)原式=(94)12−1−(278)−23+(32)−2=32−1−(32)−2+(23)2=32−1−49+49=12;
(2)原式=−12lg52×12lg25+lg33−2lg22+2=−14+1−2+2=34．
【解析】本题主要考查了指数的运算与对数的运算，属于基础题．
(1)根据分数指数幂的运算法则求解即可；
(2)根据对数的运算法则求解即可．
23.【答案】解：(1)因为集合A={x|3≤x<6}，B={x|2所以A∩B={x|3≤x<6}
又∁RB={x|x≤2或x≥9}，
∴(∁RB)∪A={x|x≤2或3≤x<6或x≥9}，
(2)因为C⊆B，
所以a≥2a+1≤9，解得：2≤a≤8，
故实数a的取值构成的集合是：{a|2≤a≤8}．
【解析】本题主要考查集合的交、并、补集的运算，考查计算能力，属于基础题．
(1)根据集合交、并、补集运算进行求解即可．
(2)利用C⊆B，建立关于a的不等式组，求解即可得到a的取值范围．
24.【答案】解：(1)由题意得，x−2>0a−x>0，解得22)，故函数的定义域为(2,a)；
(2)因为a=4，所以f(2x−5)=lg4(2x−7)−lg4(9−2x)，f(3)=lg41−lg41=0，
∵f(2x−5)≤f(3)，
∴lg4(2x−7)−lg4(9−2x)≤0，即lg4(2x−7)≤lg4(9−2x)，
∴2x−7>09−2x>02x−7≤9−2x，解得72故不等式的解集为(72,4]．
【解析】(1)由x−2>0a−x>0，解出即可；
(2)问题可转化为解不等式lg4(2x−7)≤lg4(9−2x)，利用对数函数的性质即可得解．
本题考查对数函数的图象及性质，考查不等式的求解，属于基础题．
25.【答案】解：(1)函数的定义域为R，
设x1则f(x1)−f(x2)=12−11+ex1−12+11+ex2=11+ex2−11+ex1=1+ex1−1−ex2(1+ex1)(1+ex2)=ex1−ex2(1+ex1)(1+ex2)，
∵x1∴ex1则ex1−ex2<0，
即f(x1)−f(x2)<0，则f(x1)(2)f(x)=1+ex−22(1+ex)=ex−12(1+ex)，
则f(−x)=e−x−12(1+e−x)=1−ex2(1+ex)=−f(x)，
即f(x)是奇函数．
【解析】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，结合函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键．难度中等．
(1)根据函数单调性的定义进行证明即可；
(2)根据函数奇偶性的定义进行证明即可．