初中数学北师大版九年级上册1 菱形的性质与判定练习

这是一份初中数学北师大版九年级上册1 菱形的性质与判定练习，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题（共11题）
如图，在菱形 ABCD 中，AB=5，∠BCD=120∘，则对角线 AC 等于
A． 20 B． 15 C． 10 D． 5
如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 的边 AB 在 x 轴正半轴上，点 A 与原点重合，点 D 的坐标是 3,4，反比例函数 y=kxk≠0 经过点 C，则 k 的值为
A． 12 B． 15 C． 20 D． 32
如图，在菱形 ABCD 中，∠A=60∘，AD=4，点 P 是 AB 边上的一个动点，点 E，F 分别是 DP，BP 的中点，则线段 EF 的长为
A． 2 B． 4 C． 22 D． 23
如图，在平面直角坐标系中，菱形 OABC 的边 OA 在 x 轴上，BC=10，cs∠COA=45．若反比例函数 y=kxk>0,x>0 经过点 C，则 k 的值等于
A． 10 B． 24 C． 48 D． 50
如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 的长分别为 6 和 8，则这个菱形的周长是
A． 20 B． 24 C． 40 D． 48
如图，已知 △ABC，∠ACB=90∘，BC=3，AC=4 , 小红按如下步骤作图：①分别以 A，C 为圆心，以大于 12AC 的长为半径在 AC 两边作弧，交于两点 M，N；②连接 MN，分别交 AB，AC 于点 D，O；③过 C 作 CE∥AB 交 MN 于点 E，连接 AE，CD．则四边形 ADCE 的周长为
A． 10 B． 20 C． 12 D． 24
如图，菱形 ABCD 中，点 E 在边 AD 上，以 BE 为折痕，将 △ABE 向上翻折，点 A 正好落在 CD 上的点 F，若 △FDE 的周长为 18，△FCB 的周长为 38，则 FC 的长为
A． 14 B． 12 C． 10 D． 8
如图，菱形 ABCD 中，∠BAD=60∘，AC 与 BD 交于 O，E 为 CD 延长线上的一点，且 CD=DE，连接 BE 分别交 AC，AD 于点 F，G，连接 OG，则下列结论：
① OG=12AB；②与 △EGD 全等的三角形共有 5 个；③ S四边形ODGF>S△ABF；④由点 A，B，D，E 构成的四边形是菱形，其中正确的是
A．①④B．①③④C．①②③D．②③④
如图，在平行四边形 ABCD 中，AD=2AB，CE⊥AB 于点 E，点 F，G 分别是 AD，BC 的中点，连接 CF，EF，FG，下列结论：
① CE⊥FG；
②四边形 ABGF 是菱形；
③ EF=CF；
④ ∠EFC=2∠CFD．
其中正确的个数是
A． 1 个B． 2 个C． 3 个D． 4 个
如图，在菱形 ABCD 中，AB=BD，点 E，F 分别是 AB，AD 上任意的点（不与端点重合），且 AE=DF，连接 BF 与 DE 相交于点 G，连接 CG 与 BD 相交于点 H．给出如下几个结论：
① ∠DBC=60∘；
② △AED≌△DFB；
③ GC 与 BD 一定不垂直；
④ ∠BGE 的大小为定值．
其中结论正确的是
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
菱形 ABCD，对角线交点为 O，延长 CD 至 E 且 CD=DE．下列判断正确的有
( 1 ) ∠AOB=90∘；( 2 ) AE=2OD；( 3 ) ∠OAE=90∘；( 4 ) ∠AEO=∠CEO．
A． 1 个B． 2 个C． 3 个D． 4 个
二、填空题（共4题）
若菱形的周长为 20，且较长的对角线的长为 8，则较短的对角线的长为 ．
如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E，F，G，H 分别是 OA，OB，OC，OD 的中点，若要使四边形 EFGH 成为菱形，则平行四边形 ABCD 应满足的条件是 ．(写出一种即可)．
已知一个菱形的边长为 5，其中一条对角线长为 8，则这个菱形的面积为 ．
如图，在菱形 ABCD 中，∠BAD=45∘，DE 是 AB 边上的高，BE=2，则 AB 的长是 ．
三、解答题（共3题）
如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，点 E，F 分别在 BD 和 DB 的延长线上，且 DE=BF，连接 AE，CE，AF，CF．
(1) 求证：△ADE≌△CBF．
(2) 连接 AF，CE．当 BD 平分 ∠ABC 时，四边形 AFCE 是什么特殊四边形？请说明理由．
如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 D 作对角线 BD 的垂线交 BA 的延长线于点 E．
(1) 证明：四边形 ACDE 是平行四边形．
(2) 若 AC=8，BD=6，求 △ADE 的周长．
已知：如图 1，菱形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上，点 B 的坐标为 92,0，点 C 在 y 轴上，∠OBC=60∘．
(1) 求点 A 的坐标．
(2) 如图 2，连接 AC，点 P 为 △ACD 内一点，BP 与 AC 交于点 G，∠APB=60∘，点 E，F 分别在线段 AP，BP 上，且 BF=AE．若 ∠AFE=30∘，求 AF2+EF2 的值；
(3) 如图 3，在（2）的条件下，当 PE=AE 时，试判断 △PAF 形状并说明理由．
答案
一、选择题（共11题）
1. 【答案】D
【解析】 ∵∠BCD=120∘，
∴∠BAC=60∘，
∴AC=AB=BC=5．
2. 【答案】D
【解析】如图，分别过点 D，C 作 x 轴的垂线，垂足为 M，N，
∵ 点 D 的坐标是 3,4，
∴OM=3，DM=4，
在 Rt△OMD 中，OD=OM2+DM2=5，
∵ 四边形 ABCD 为菱形，
∴OD=CB=OB=5，DM=CN=4，
∴Rt△ODM≌Rt△BCNHL，
∴BN=OM=3，
∴ON=OB+BN=5+3=8．
又 ∵CN=4，
∴C8,4，
将 C8,4 代入 y=kx 得 k=8×4=32．
3. 【答案】A
【解析】如图连接 BD，
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AD=AB=4，
∵∠A=60∘，
∴△ABD 是等边三角形，
∴BD=AD=4，
∵PE=ED，PF=FB，
∴EF=12BD=2．
4. 【答案】C
【解析】过点 C 作 CD⊥OA，垂足为 D，
∵ 菱形 OABC，
∴OA=AB=BC=CO=10，
在 Rt△COD 中，
∵cs∠COA=45．OC=10，
∴OD=8，CD=6，
∴ 点 C8,6 代入反比例函数的关系式得：k=6×8=48．
5. 【答案】A
6. 【答案】A
【解析】由①可知：MN 是 AC 的垂直平分线，
∴ AD=CD，AE=CE，
∴ ∠CAD=∠ACD，∠CAE=∠ACE，
∵ CE∥AB，
∴ ∠CAD=∠ACE，
∴ ∠ACD=∠CAE，
∴ CD∥AE，
∴ 四边形 ADCE 是平行四边形，
∴ 四边形 ADCE 是菱形；
∴ OA=OC=12AC=2，OD=OE，AC⊥DE，
∴ ∠ACB=90∘，
∴ DE∥BC，
∴ OD 是 △ABC 的中位线，
∴ AD=12BC=12×3=32，
∴ AD=OA2+OD2=2.5，
∴ 菱形 ADCB 的周长 =4AD=10．
7. 【答案】C
【解析】 ∵C△DEF=DE+EF+DF=18，
∴DE+EF=18−DF．
又 ∵△BEF 由 △BEA 翻折得到，
∴EF=EA，BF=AB，
∴DE+EA=DE+EF=18−DF，即 DA=18−DF．
∵ 四边形 ABCD 为菱形，
∴DA=AB=BC=CD=18−DF，
C△FCB=BC+BF+FC=18−DF+18−DF+18−DF−DF=54−4DF=38,
∴DF=4，FC=18−DF−DF=10．
8. 【答案】A
【解析】连接 AE，
∵DE=CD=AB，CD∥AB，
∴ 四边形 ABDE 是平行四边形，
∴G 是 BE 的中点，
∴OG=12DE=12AB，①正确；
有 △BGA，△BGD，△AOD，△COD，△COB，△AOB，共6 个，②错误；
∵△BDG≌△ABO，
∴S△ABO=S△BDG，
∴S△ABF+S△BEF+S△+S四边形，
∴S△ABF=S四边形CBGF，③错误；
∵AB=AD,∠BAD=60∘,
∴△ABD 是等边三角形，
∴BD=AB，
∴ 平行四边形 ABDE 是菱形，④正确．
9. 【答案】D
【解析】 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵ 点 F，G 分别是 AD，BC 的中点，
∴AF=12AD，BG=12BC，
∴AF=BG，
∵AF∥BG，
∴ 四边形 ABGF 是平行四边形，
∴AB∥FG，
∵CE⊥AB，
∴CE⊥FG，故①正确；
∵AD=2AB，AD=2AF，
∴AB=AF，
∴ 四边形 ABGF 是菱形，故②正确；
延长 EF，交 CD 延长线于 M，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDF，
∵F 为 AD 中点，
∴AF=FD，
在 △AEF 和 △DFM 中，
∠A=∠FDM,AF=DF,∠AFE=∠DFM,
∴△AEF≌△DMFASA，
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90∘，
∴∠AEC=∠ECD=90∘，
∵FM=EF，
∴FC=EF=FM，故③正确；
∴∠FCD=∠M，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB=CD，AD∥BC，
∵AF=DF，AD=2AB，
∴DF=DC，
∴∠DCF=∠DFC，
∴∠M=∠FCD=∠CFD，
∵∠EFC=∠M+∠FCD=2∠CFD，故④正确．
10. 【答案】B
11. 【答案】C
【解析】因为四边形 ABCD 是菱形，
所以 AC⊥BD，AB=CD，OB=OD，AB∥CD，
所以 ∠AOB=90∘，( 1 )正确；
因为 DE=CD，所以 AB=DE．所以四边形 ABDE 是平行四边形，
所以 AE∥BD，AE=BD=2OD，( 2 )正确；
因为 AC⊥BD，所以 AC⊥AE，所以 ∠OAE=90∘，( 3 )正确；
因为 AE∥BD，所以 ∠AEO=∠DOE，
因为 DE=CD>OD，所以 ∠DOE>∠CEO，
所以 ∠AEO>∠CEO，( 4 )错误；
正确的个数有 3 个．
二、填空题（共4题）
12. 【答案】 6
【解析】菱形周长为 20，则 AB=5，
∵BD=8，
∴BO=4，
∴AO=52−42=3，
∴AC=2AO=6，
故答案为：6．
13. 【答案】答案开放，如 AB=AD 或 AC⊥BD 等
【解析】 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB∥CD，AB=CD，
∵ E，F，G，H 分别是 OA，OB，OC，OD 的中点，
∴ EF∥AB，EF=12AB，GH∥CD，GH=12CD，
∴ EF∥GH，EF=GH，
∴ 四边形 EFGH 是平行四边形，
∴ 要使得四边形 EFGH 是菱形，
只要满足：EF=EH 或 EG⊥FH 即可，
∴ 平行四边形 ABCD 应满足的条件是 AB=AD 或 AC⊥BD，
故答案为 AB=AD 或 AC⊥BD．
14. 【答案】 24
15. 【答案】 4+22
【解析】设 AB=x，
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AD=AB=x，
∵DE 是 AB 边上的高，
∴∠AED=90∘，
∵∠BAD=45∘，
∴∠BAD=∠ADE=45∘，
∴AE=ED=x−2，
由勾股定理得：AD2=AE2+DE2，
∴x2=x−22+x−22，
解得：x1=4+22，x2=4−22，
∵BE=2，
∴AB>2，
∴AB=x=4+22，
故答案为：4+22．
三、解答题（共3题）
16. 【答案】
(1) ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD=CB，AD∥CB，
∴∠ADB=∠CBD
∴∠ADE=∠CBF．
又 ∵DE=BF，
∴△ADE≌△CBFSAS．
(2) 四边形 AFCE 是菱形．理由如下：
∵BD 平分 ∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD．
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∴ 平行四边形 ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD，即 AC⊥EF．
∵DE=BF，
∴OE=OF
又 ∵OA=OC，
∴ 四边形 AFCE 是平行四边形．
∵AC⊥EF，
∴ 平行四边形 AFCE 是菱形．
17. 【答案】
(1) ∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD，
∴AE∥CD，∠AOB=90∘，
∵DE⊥BD，即 ∠EDB=90∘，
∴∠AOB=∠EDB，
∴DE∥AC，
∴ 四边形 ACDE 是平行四边形．
(2) ∵ 四边形 ABCD 是菱形，AC=8，BD=6，
∴AO=4，DO=3，AD=CD=5，
∵ 四边形 ACDE 是平行四边形，
∴AE=CD=5，DE=AC=8，
∴△ADE 的周长为 AD+AE+DE=5+5+8=18．
18. 【答案】
(1) 连 AC，
在菱形 ABCD 中，BA=BC，
∵∠OBC=60∘，
∴△ABC 为等边三角形，
又 ∵OC⊥AB，
∴OA=OB=92．
∴A−92,0．
(2) 连 CE，CF．
∵∠APB+∠PAG+∠AGP=180∘，
∠ACB+∠CBG+∠BGC=180∘，
∠APB=∠ACB=60∘，
∠AGP=∠BGC，
∴∠PAG=∠CBG．
在 △ACE 与 △BCF 中，
AC=BC,∠EAC=∠CBF,AE=BF,
∴△ACE≌△BCFSAS，
∴CE=CF，∠ACE=∠BCF，
∴∠ACE+∠ACF=∠BCF+∠ACF=∠ACB=60∘，即 ∠ECF=60∘，
∴△CEF 为等边三角形．
∴∠CFE=60∘，
∴∠AFC=90∘，
∴AF2+EF2=AF2+CF2=AC2=81．
(3) 连 CP，延长 CE 至 Q，使 EQ=CE，连 AQ，
易证 △CEP≌△QEASAS，
∴∠ECP=∠Q．
∵EQ=EF=EC，∠AFC=90∘．
∴Q，A，F 三点共线．
∴∠EQF=30∘，
∴∠PCE=30∘，
∵∠APB=∠ACB=60∘，
∴P，E，F，C 四点共用，
∴∠PFE=∠PCE=30∘，
∴∠PFA=60∘．
∴△APF 为等边三角形．