向量必备知识点

这是一份向量必备知识点，共1页。学案主要包含了判断平行四边形的形状，斯坦纳定理等内容，欢迎下载使用。

向量
内容
知识点应用
加法
三角形法则：首尾相接，用于构造向量
和向量为向量三角形的第三边
平行四边形法则：共起点，指向对角线
共起点和向量指向基线中点，长度是其中线的两倍
减法
共起点，指向钱，用于分解向量
差向量也能构成向量三角形的第三边
加减
共存
平行四边形，两对角线
一、判断平行四边形的形状
1.a+b=a-b此平行四边形为矩形a⊥b
2.a+b·a-b=0此平行四边形为菱形a=b
二、对角线平方和定理(P39例2)AC2+BD2=2AB2+AD2
即平行四边形对角线平方和等于其四边平方和
三、斯坦纳定理（任意平面/空间四边形）AC⋅BD=AD2+BC2-AB2+CD22（内外平方和-交叉平方和）
四、向量平行四边形面积公式S=absinθ=x1y2-x2y1
数乘
运算
实数与向量的乘积是向量（P13）
λa=λa
λ>0,λa与a同向；
λ<0,λa与a反向；
λx,y=λx,λy
共线的判断
a与b共线b=λaa≠0x1y2-x2y1=0比值相等
A、B、C三点共线AC=λAB(取点构造两个向量)
单位向量的构造
向量a的共线单位向量为±aa(有两个)
共线的三点图示构造
AP=2PB,P在AB中间
AP=2BP,P在AB延长线上
单动点向量的轨迹(P15例7拓展)
记a=OA,b=OB,若OCn=a+nb的，则Cn的轨迹为过点A且与OB平行的直线
平面向量基本定理
平面上任意c总可以唯一地分解在不共线的基底向量a,b上，即c=xa+yb
Ps：当a⊥b时，称为正交分解；用两单位向量的正交分解的有序实数对作为向量坐标
定点分比公式
c在基底中间，c=xa+(1-x)b，系数交叉
c在基底两侧且靠近a，那么靠近c的向量a系数x大于1，且x=全长基线，则b系数为1-x
利用两次分解求系数
P40练习3→大本P23例2→周测二T16
等和线定理
OP=xOA+yOB,则点P的轨迹为平行于AB的直线，且满足x+y=k定值的P在同一直线上，我们把这样的直线AB及AB的平行线称为等和线
1.当k=1时，P在直线AB上； 2.当03.当k>1,P在AB外侧 4.当k=0,P在过O的AB平行线上
5.当k<0,P在与|k|的对称直线上 6.k=OQOP=距离之比=相似比
数量积
定义计算：a·b=abcsθ,其中θ=,特指共起点时的夹角
分解计算：将a,b分解到“v字模型”上,即a·b=xm+yn·km+tn,展开计算
坐标计算：当a,b的位置特殊（垂直、特殊角）时，可考虑建系，a·b=x1x2+y1y2
投影计算：当a,b中只有一个长度已知，则过a终点A向b做垂线(AD)，其中a在b的投影向量为acsθbb=a·bb2b=OD,
此时，a·b=OD·b，常用来解决单动向量的最值问题；
极化恒等式：a·b与其中线向量OM的长度正相关,即a·b=OM2-AB24，常用来解决双动向量的最值问题；
数量积的相关计算
模运算①a=a2=x2+y2 ②AB=AB2=xa+yb2展开 ③AB=AB2=x2-x12+y2-y12
夹角运算θ=，则csθ=a·bab=x1x2+y1y2x12+y12·x22+y22
由夹角范围求参数
θ为锐角，则a·b>0且a、b不共线，即满足x1x2+y1y2>0x1y2-x2y1≠0
θ为钝角，则a·b<0且a、b不共线
结论：由锐/钝角推数量积正负，充分不必要
非零向量a⊥b的充要条件为a·b=0
向量
不等式
向量三角不等式：两边之和小于第三边，两边之差大于第三边，共线取等
a-b≤a+b≤a+b 反向取左“=”，同向取右”=”
a-b≤a-b≤a+b 反向取右“=”，同向取左”=”
数量积不等式：csθ∈-1,1，∴-ab≤a·b≤ab，即夹角大小决定数量积大小，参考余弦函数的单调性
向量
四心
重心G：中线交点，且将中线分为2:1的两端，到顶点为2，到中点为1
a+b+c=0,即GA+GB+GC=0;②重心坐标G(x1+x2+x33,y1+y2+y33)③对于∀P,有PG=13PA+PB+PC
外心O：外接圆圆心，垂直平分线交点
a=b=c,即OA=OB=OC②AB·OA+OB=0③AO·AB+AC=AO·AB+AO·AC=12c2+12b2（投影计算）
内心I：内切圆圆心，角平分线交点
AI=λABAB+ACAC=bca+b+cABAB+ACAC;②aIA+bIB+cIC=0;③AI·ABAB-ACAC=0(构造菱形)
垂心H：高线交点
HA·HB=HA·HC=HB·HC②tanAHA+tanBHB+tanCHC=0;③HA2+BC2=HB2+AC2=HC2+AB2(展开底边,单独取等)
奔驰定理与欧拉线
奔驰定理（点在内部）：xPA+yPB+zPC=0且x:y:c=SA:SB:SC
P为重心x:y:z=1:1:1; ②P为外心x:y:z=sin2A:sin2B:sin2C;
P为内心x:y:z=a:b:c；④P为垂心x:y:z=tanA:tanB:tanC;
欧拉线：心与心的关系
外心O与重心G,满足OG=13OA+OB+OC
外心O与垂心H,满足OH=OA+OB+OC
外心O、垂心H、重心G,满足OG=12GH