【备战2023高考】数学考点全复习——第74讲《章末检测十一》精选题（新高考专用）

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第74讲 章末检测十一
一、 单选题
1、（2022·江苏海安·高三期末）某校高三年级的名学生中，男生有名，女生有名．从中抽取一个容量为的样本，则抽取男生和女生的人数分别为（ ）
A．、 B．、 C．、 D．、
【答案】C
【解析】设样本中的男生和女生的人数分别为、，由分层抽样可得，解得.
故选：C.
2、(2022·武汉部分学校9月起点质量检测)在一次试验中，随机事件A，B满足，则
A．事件A，B一定互斥 B．事件A，B－定不互斥
C．事件A，B一定互相独立 D．事件A，B一定不互相独立
【答案】B
【解析】由题意，若事件A，B互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝＞1，与0≤P(A＋B)≤1矛盾，所以P(A＋B)≠P(A)＋P(B)，则事件A，B一定不互斥，故答案选B．
3、（2022·江苏如皋·高三期末）已知随机变量X服从正态分布，且，则（ ）
A．0.43 B．0.28 C．0.14 D．0.07
【答案】D
【解析】∵随机变量服从正态分布，∴正态曲线的对称轴是，
∵，∴.
故选：D.
4、（2022·湖南常德·高三期末）根据如下样本数据得到的回归直线方程中的，根据此方程预测当时，y的取值为（ ）
x
3
4
5
6
7
8
9
y
4.0
2.5
0.5





A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据图表数据求出，，
把代入回归直线，有，解得，
所以.
当时，.
故选：B
5、(2022·湖北华中师大附中等六校开学考试联考)已知某7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8个数的方差为（ ）
A. B. 3 C. D. 4
【答案】C
【解析】因为7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8个数的平均数为，方差为，由平均数和方差的计算公式可得，.
故选：C.
6、（2022·广东揭阳·高三期末）每年的毕业季都是高校毕业生求职和公司招聘最忙碌的时候，甲､乙两家公司今年分别提供了2个和3个不同的职位，一共收到了100份简历，具体数据如下：
公司
文史男
文史女
理工男
理工女
甲
10
10
20
10
乙
15
20
10
5
分析毕业生的选择意愿与性别的关联关系时，已知对应的的观测值；分析毕业生的选择意愿与专业关联的的观测值，则下列说法正确的是（ ）















A．有的把握认为毕业生的选择意愿与专业相关联
B．毕业生在选择甲､乙公司时，选择意愿与专业的关联比与性别的关联性更大一些
C．理科专业的学生更倾向于选择乙公司
D．女性毕业生更倾向于选择甲公司
【答案】B
【解析】与专业关联的的观测值，明显大于，明显小于，所以有的把握认为毕业生的选择意愿与专业相关联，所以不正确；
因为，故正确；根据题中的数据表列出专业与甲､乙公司的关联表可知，理科专业的学生更倾向于选择甲公司，列出性别与甲､乙公司的关联表可知，
女性毕业生更倾向于选择乙公司，所以C，D均不正确.
故选：B.
7、（2022·江苏海门·高三期末）现实世界中的很多随机变量遵循正态分布．例如反复测量某一个物理量，其测量误差X通常被认为服从正态分布．若某物理量做n次测量，最后结果的误差，Xn ~N(0，)，则为使|Xn|≥的概率控制在0.0456以下，至少要测量的次数为（ ）
（附）随机变量X~N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.9544，P(u－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.9974．
A．32 B．64 C．128 D．256
【答案】C
【解析】根据题意，，
而，则，所以.
故选：C.
8、（2022·山东济南·高三期末）酒后驾驶是严重危害交通安全的行为，某交通管理部门对辖区内四个地区（甲、乙、丙、丁）的酒驾治理情况进行检查督导，若“连续8天，每天查获的酒驾人数不超过10”，则认为“该地区酒驾治理达标”，根据连续8天检查所得数据的数字特征推断，酒驾治理一定达标的地区是（ ）
A．甲地，均值为4，中位数为5 B．乙地：众数为3，中位数为2
C．丙地：均值为7，方差为2 D．丁地：极差为，分位数为8
【答案】C
【解析】不妨设8天中，每天查获的酒驾人数从小到大分别为，，，，
且，其中，
选项A：若不达标，则，因为中位数为5，所以，
又因为均值为4，故，从而，且，则，，，满足题意，从而甲地有可能不达标；故A错误；
选项B：由众数和中位数定义易知，当，，，时，乙地不达标，故B错误；
选项C：若不达标，则，由均值为7可知，则其余七个数中至少有一个数不等于7，
由方差定义可知，，这与方差为2矛盾，从而丙地一定达标，故C正确；
选项D：由极差定义和百分位数定义可知，当，时，丁地不达标，故D错误.
故选：C.
二、 多选题
9、(2022·江苏海安中学期初)袋子中共有大小和质地相同的4个球，其中2个白球和2个黑球，从袋中有放回地依次随机摸出2个球．甲表示事件“第一次摸到白球”，乙表示事件“第二次摸到黑球”，丙表示事件“两次都摸到白球”，则
A．甲与乙互斥 B．乙与丙互斥 C．甲与乙独立 D．甲与乙对立
【答案】BC
【解析】由题意可知，甲与乙的发生与否不影响，可以同时发生，即甲与乙相互独立但不对立，故选项C正确，选项A、D错误；而乙与丙不可能同时发生，即乙与丙互斥，故选项B正确；综上，答案选BC．
10、(2022·苏州期初考试)5G技术的运营不仅提高了网络传输速度，更拓宽了网络资源的服务范围．目前，我国加速了5G技术的融合与创新，前景美好!某手机商城统计了5个月的5G手机销量，如下表所示：
月份
2020年6月
2020年7月
2020年8月
2020年9月
2020年10月
月份编号x
1
2
3
4
5
销量y/部
52
95
a
185
227
若y与x线性相关，由上表数据求得线性回归方程为ŷ＝44x＋10，则下列说法正确的是
A．5G手机的销量逐月增加，平均每个月增加约10台
B．a＝155
C．y与x正相关
D．预计12月份该手机商城的5G手机销量约为318部
【答案】CD
【解析】对于选项A，由线性回归方程知，5G手机的销量逐月增加，平均每个月增加约44台左右，故选项A错误；对于选项B，由表中数据可知3，且回归方程为ŷ＝44x＋10，将代入回归方程，解得ŷ＝142，所以142，则解得a＝151，故选项B错误；对于选项C，因为44＞0，所以y与x成正相关，故选项C正确；对于选项D，将x＝7代入回归方程得ŷ＝318，故选项D正确；综上，答案选CD．
11、(2022·武汉部分学校9月起点质量检测)(多选题)10．某公司经营四种产业，为应对市场变化，在三年前进行产业结构调整，优化后的产业结构使公司总利润不断增长，今年总利润比三年前增加一倍．调整前后的各产业利润与总利润的占比如下图所示：

调整前 调整后
则下列结论中正确的有
A．调整后房地产业的利润有所下降
B．调整后医疗器械的利润增长量最大
C．调整后生物制药的利润增长率最高
D．调整后金融产业的利润占比最低
【答案】BCD
【解析】由题意可设三年前的年收入为a，由今年总利润比三年前增加一倍可得，今年总利润为3a，则三年前的房地产业利润为0.45a，今年房地产业利润为3a×25%＝0.75a＞0.45a，即调整后房地产业的利润有所上升，故选项A错误；
三年前的医疗器械利润为0.2a，今年医疗器械利润为3a×40%＝1.2a，利润增长量为1.2a－0.2a＝a，利润增长率为＝500%，
三年前的房地产业利润为0.45a，今年房地产业利润为3a×25%＝0.75a，利润增长量为0.75a－0.45a＝0.3a，利润增长率为＝66.7%，
三年前的金融产业利润为0.25a，今年金融产业利润为3a×10%＝0.3a，利润增长量为0.3a－0.25a＝0.05a，利润增长率为＝20%，
三年前的生物制药利润为0.1a，今年生物制药利润为3a×25%＝0.75a，利润增长量为0.75a－0.1a＝0.65a，利润增长率为＝650%，
则调整后医疗器械的利润增长量最大，调整后生物制药的利润增长率最高，故选项B，C正确；由图可知，调整后金融产业的利润占比为10%，最低，故选项D正确；综上，答案选BCD．
12、(2022·江苏第一次百校联考)(多选题)某电视台的一档栏目推出有奖猜歌名活动，规则：根据歌曲的主旋律制作的铃声来猜歌名，猜对当前歌曲的歌名方能猜下一首歌曲的歌名．现推送三首歌曲A，B，C给某选手，已知该选手猜对每首歌曲的歌名相互独立，且猜对三首歌曲的歌名的概率以及猜对获得相应的奖金如下表所示．
歌曲
A
B
C
猜对的概率
0.8
0.6
0.4
获得的奖金金额/元
1000
2000
3000
下列猜歌顺序中获得奖金金额的均值超过2000元的是
A．A→B→C B．C→B→A C．C→A→B D．B→C→A
【答案】AD
【解析】根据规则，设该选手获得奖金总额为X．按A→B→C的顺序进行．则该选手获得奖金总额为X的可能取值有四种情况：P(X＝0)＝0.2，P(X＝1000)＝0.8×0.4＝0.32，P(X＝3000)＝0.8×0.6×0.6＝0.288，P(X＝6000)＝0.8×0.6×0.4＝0.192，
概率分布表为：
X
0
1000
3000
6000
P
0.2
0.32
0.288
0.192
E(X)＝0×0.2＋1000×0.32＋3000×0.288＋6000×0.192＝2336．故选项A正确；同理，按C→B→A的顺序猜获得奖金金额的均值为1872元，故选项B错误；C→A→B的顺序猜获得奖金金额的均值为1904元，故选项C错误；B→C→A的顺序猜获得奖金金额的均值为2112元，故选项D正确；综上，答案选AD．
三、填空题
13、(2022·江苏南京市中华中学期中)设随机变量X服从正态分布．若P(X＞0)＝0.9，则P(2＜X＜4)＝ ．
【答案】0.4
【解析】由题意，随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，所以该正态分布曲线的对称轴为x＝2，即P(X＜2)＝P(X＞2)＝0.5，又因为P(X＞0)＝0.9，所以P(2＜X＜4)＝P(0＜X＜2)＝P(X＞0)－P(X＞2)＝0.9－0.5＝0.4，故答案为0.4．
14、（2021·江苏苏州市·高三期末）在“学习强国”APP中，“争上游”的答题规则为：首局胜利得3分，第二局胜利得2分，失败均得1分.如果甲每局胜利的概率为，且答题相互独立，那么甲作答两局的得分期望为______．
【答案】
【解析】：根据题意，该人参加两局答题活动得分为，则可取的值为2，3，4，5，
若，即该人两局都失败了，则，
若，即该人第一局失败了，而第二局胜利，则，
若，即该人第一局胜利，而第二局失败，则，
若，即该人两局都胜利了，则，
故，
故答案为：．
15、(2022·江苏第一次百校联考)《中国制造2025》提出，坚持“创新驱动、质量为先、绿色发展、结构优化、人才为本”的基本方针，通过“三步走”实现制造强国的战略目标：第一步，到2025年迈入制造强国行列；第二步，到2035年中国制造业整体达到世界制造强国阵营中等水平；第三步，到新中国成立一百年时，综合实力进入世界制造强国前列．今年，尽管受新冠疫情影响，但我国制造业在高科技领城仍显示出强劲的发展势头．某市质检部门对某新产品的某项质量指标随机抽取100件检测，由检测结果得到如图所示的频率分布直方图．由频率分布直方图可以认为，该产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．设X表示从该种产品中随机抽取10件，其质量指标值位于(11.6，35.4)的件数，则X的数学期望＝ ▲ ．(精确到0.01)
注：①同一组数据用该区间的中点值作代表，计算得样本标准差S≈11.9；②若Z~N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜Z＜μ＋2σ)＝0.9544．
【答案】6.83
【解析】由题意可知，计算得＝5×0.15＋15×0.25＋25×0.3＋35×0.2＋45×0.1＝23.5．由条件Z~N(23.5，11.92)．从而P(11.6＜Z＜35.4)＝0.6826，故从该种产品中随机抽取1件，其质量指标值位于(11.6，35.4)的概率是0.6826，根据题意得X~B(10，0.6826)所以E(X)＝10×0.6826＝6.826．
16、(2022·江苏南通如皋市期中)某同学高考后参加国内3所名牌大学A，B，C的“强基计划”招生考试，已知该同学能通过这3所大学A，B，C招生考试的概率分别为x，y，，该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，且该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率为，则该同学至少通过1所大学招生考试的概率为 ；该同学恰好通过A，B两所大学招生考试的概率最大值为 ．
【答案】 ；
【解析】∵该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，∴该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率P＝xy＋x(1－y)＋y(1－x)＝x＋y－xy＝，∴该同学至少通过1所大学招生考试的概率为1－(1－x)(1－y)＝＋x＋y－xy＝＋＝；由x＋y－xy＝得，x＋y－xy＝，∴x＋y＝＋xy≥2，即xy－2＋≥0，解得xy≤或xy≥，又∵0＜x＜1，0＜y＜1，∴0＜xy＜1，∴xy≤，∴该同学恰好通过A，B两所大学招生考试的概率为xy，最大值为．
四、解答题
17、（2021·江苏扬州市高三模拟）甲､乙两所学校之间进行排球比赛，采用五局三胜制(先赢3局的学校获胜，比赛结束)，约定比赛规则如下：先进行男生排球比赛，共比赛两局，后进行女生排球比赛.按照以往比赛经验，在男生排球此赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为，在女生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为.每局比赛结果相互独立.
（1）求甲校以3：1获胜的概率；
（2）记比赛结束时女生比赛的局数为，求的概率分布.
【解析】（1）甲校以3：1获胜，则甲校在第四局获胜，前三局胜两局，
.
（2）的所有可能取值为1，2，3，
，
，
，
故的概率分布为：

1
2
3




18、(2022·江苏泰州中学高三10月月考)年月日，中国向世界庄严宣告，中国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下万农村贫困人口全部脱贫，个贫困县全部摘帽，万个贫困村全部出列，区域性整体贫困得到解决，完成了消除绝对贫困的艰巨任务，困扰中华民族几千年的绝对贫困问题得到了历史性的解决！为了巩固脱贫成果，某农科所实地考察，研究发现某脱贫村适合种植、两种经济作物，可以通过种植这两种经济作物巩固脱贫成果，通过大量考察研究得到如下统计数据：经济作物的亩产量约为公斤，其收购价格处于上涨趋势，最近五年的价格如下表：
年份编号





年份





单价（元/公斤）





经济作物的收购价格始终为元/公斤，其亩产量的频率分布直方图如下：

（1）若经济作物的单价（单位：元/公斤）与年份编号具有线性相关关系，请求出关于的回归直线方程，并估计年经济作物的单价；
（2）用上述频率分布直方图估计经济作物的平均亩产量（每组数据以区间的中点值为代表），若不考虑其他因素，试判断年该村应种植经济作物还是经济作物？并说明理由．
附：，．
【答案】（1），元/公斤；（2）应该种植经济作物；理由见解析．
【解析】（1），


，
．则关于的回归直线方程为．
当时，，
即估计年经济作物的单价为元/公斤．
（2）利用频率和为得：
，
所以．经济作物的亩产量的平均值为：，
故经济作物亩产值为元，
经济作物亩产值为元．
，应该种植经济作物．
19、(2022·江苏海安中学期初)(12分)有9个外观相同的同规格砝码，其中1个由于生产瑕疵导致质量略有减少，小明想通过托盘天平称量出这个有瑕疵的砝码，设计了如下两种方案：
方案一：每次从待称量的砝码中随机选2个，按个数平分后分别放在天平的左、右托盘上，若天平平衡，则选出的2个砝码是没有瑕疵的；否则，有瑕疵砝的砝码在下降一侧．按此方法，直到找出有瑕疵的砝码为止．
方案二：从待称量的砝码中随机选8个，按个数平分后分别放在天平的左、右托盘上，若天平平衡，则未被选出的那个砝码是有瑕疵的；否则，有瑕疵的砝码在下降一侧，每次再将该侧砝码按个数平分，分别放在天平的左、右托盘上，…，直到找出有瑕疵的砝码为止．
(1)记方案一的称量次数为随机变量X，求X的概率分布；
(2)上述两种方案中，小明应选择何种方案可使称量次数的期望较小?并说明理由．
【解析】
(1)由题知： X＝1，2，3，4，
，，
，，
分布列为：










(2)由(1)知：，
设方案二的称量次数为随机变量为Y，则Y＝1，3，
，，
.
所以小明应选择方案一可使称量次数的期望较小.
20、(2022·江苏省第一次大联考)(12分)2021年1至4月，教育部先后印发五个专门通知，对中小学生手机、睡眠、读物、作业、体质管理作出规定．“五项管理”是“双减”工作的一项具体抓手，是促进学生身心健康、解决群众急难愁盼问题的重要举措．为了在“控量”的同时力求“增效”，提高作业质量，某学校计划设计差异化作业．因此该校对初三年级的400名学生每天完成作业所用时间进行统计，部分数据如下表：

男生
女生
总计
90分钟以上
80
x
180
90分钟以下
y
z
220
总计
160
240
400
(1)求x，y，z的值，并根据题中的列联表，判断是否有95%的把握认为完成作业所需时间在90分钟以上与性别有关?
(2)学校从完成作业所需时间在90分钟以上的学生中用分层抽样的方法抽取9人了解情况，甲老师再从这9人中选取3人进行访谈，求甲老师选取的3人中男生人数大于女生人数的概率．
附：．
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
【解析】
(1)x＝100，y＝80，z＝140． ……3分
因为K2＝＝≈2.69＜3， ……6分
所以没有95%的把握认为完成作业所需时间在90分钟以上与性别有关． ……7分
(2)9人中男生4人，女生5人． ……8分
记“男生人数大于女生为事件A”， ……9分
则P(A)＝＋＝． ……11分
答：(1)a＝100，b＝80，c＝140；没有95%的把握认为完成作业所需时间在90分钟以上与性别有关；(2)男生人数大于女生的概率为． ……12分
21、．(2022·南京9月学情【零模】)(本小题满分12分)科研小组为提高某种水果的果径，设计了一套实验方案，并在两片果园中进行对比实验．其中实验园采用实验方案，对照园未采用．实验周期结束后，分别在两片果园中各随机选取100个果实，按果径分成5组进行统计：[21，26)，[26，31)，[31，36)，[36，41)，[41，46](单位，mm)．统计后分别制成如下的频率分布直方图，并规定果径达到36mm及以上的为“大果”．
0
果径(mm)

21
26
31
36
41
46
0.020
0.040
0.080
0
果径(mm)

21
26
31
36
41
46
0.010
0.030
0.040
0.110








实验园果径 对照园果径
(1)请根据题中信息完成下面的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“大果”与“采用验方案”有关；

采用实验方案
未采用实验方案
合计
大果
▲
▲
▲
非大果
▲
▲
▲
合计
100
100
200
(2)根据长期种植经验，可以认为对照园中的果径X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似样本平均数，σ≈5.5．请估计对照园中果径落在区间(39，50)内的概率．(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)
附：①χ2＝．
P(χ2≥x0)
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
x0
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
②若X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.683，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.954，P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.997．
【解析】(1)

采用实验方案
未采用实验方案
合计
大果
60
30
90
非大果
40
70
110
合计
100
100
200
…………………………………………………………………………2分
假设H0：“大果”与“采用验方案”无关．
则χ2＝＝≈18.182．
因为当H0成立时，P(χ2≥10.828)≈0.001，这里的χ2≈18.182＞10.828．
所以有99.9%的把握认为，“大果”与“采用验方案”有关．…………………………6分
(2)＋38.5×0.2＋43.5×0.1＝33.5，
于是X近似服从N(33.5，5.52)．…………………………………………………………8分
由题知，P(39＜X＜50)＝P(u＋σ＜X＜μ＋3σ)
＝[P(u－3σ＜X＜μ＋3σ)－P(u－σ＜X＜μ＋σ)]
＝(0.997－0.683)＝0.157．
即对照园中果径落在区间(39，50)内的概率约为0.157．……………………………12分
22、(2022·江苏南京市金陵中学高三10月月考)某企业创新形式推进党史学习教育走深走实，举行两轮制的党史知识竞赛初赛，每部门派出两个小组参赛，两轮都通过的小组才具备参与决赛的资格，该企业某部门派出甲、乙两个小组，若第一轮比赛时两组通过的概率分别是，，第二轮比赛时两组通过的概率分别是，，两轮比赛过程相互独立．
（1）若将该部门获得决赛资格的小组数记为，求的分布列与数学期望；
（2）比赛规定：参与决赛的小组由4人组成，每人必须答题且只答题一次（与答题顺序无关），若4人全部答对就给予奖金，若没有全部答对但至少2人答对就被评为“优秀小组"．该部门对通过初赛的某一小组进行党史知识培训，使得每个成员答对每题的概率均为（）且相互独立，设该参赛小组被评为“优秀小组”的概率为，当时，最大，试求的值．
【答案】（1）分布列见解析；期望为1；（2）．
【解析】（1）设甲乙通过两轮制的初赛分别为事件，．则
，．
由题意的取值可能为0，1，2，则
，
，
．
那么的分布列为：

0
1
2




．
（2）由题意，小组中2人答对的概率为，3人答对的概率，
则．
，
令得，，，
所以在上，单调递增，在上，单调递减．
故时，最大．