数学8.2 消元---解二元一次方程组巩固练习

这是一份数学8.2 消元---解二元一次方程组巩固练习，共20页。

典例1．用代入消元法解方程组：
(1)；
(2)．
变式1-1．（2022秋·安徽蚌埠·七年级校考阶段练习）用代入消元法解下列方程组：
(1)；
(2)；
变式1-2．（2022春·新疆塔城·七年级统考期末）用代入消元法解下列方程组
(1)
(2)
变式1-3．（2022春·青海玉树·七年级统考期末）用代入消元法解方程组
(1)
(2)
考查题型二 加减消元法解二元一次方程组
典例2．（2022秋·安徽蚌埠·七年级校考阶段练习）用加减消元法解下列方程组：
(1)；
(2)．
变式2-1．（2021春·山东德州·七年级校考期中）用加减消元法解方程组：
(1)；
(2)．
变式2-2．用加减消元法解方程组
(1)
(2)
变式2-3．（2021春·四川南充·七年级四川省南充市高坪中学校考期中）用加减消元法解方程组：
(1)
(2)
考查题型三 二元一次方程组的特殊解法
典例3．阅读下列材料：
小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组，小明发现如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：
令，．
原方程组化为，
解得，
把代入，，
得，
解得．
∴原方程组的解为．
请你参考小明同学的做法解方程组：
(1)
(2)
变式3-1．阅读材料：善于思考的李同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．
解：把，成一个整体，设，，原方程组可化为
解得：．∴，∴原方程组的解为．
(1)若方程组的解是，则方程组的解是__________．
(2)仿照李同学的方法，用“整体换元”法解方程组．
变式3-2．数学方法：
解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．
(1)直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么关于m、n的二元一次方程组的解为： ．
(2)知识迁移：请用这种方法解方程组．
(3)拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组的解为，
求关于x，y的方程组的解．
变式3-3．阅读下列材料： 小明同学遇到下列问题：
解方程组，他发现如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错．如果把方程组中的（2x＋3y）和（2x—3y）分别看做一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：
令m＝2x＋3y，n＝2x—3y，原方程组可以化为：，解得
把代入m＝2x＋3y，n＝2x—3y，得，解得
∴原方程组的解为
请你参考小明同学的做法，解决下面的问题：
(1)解方程组：
(2)若方程组的解是，则方程组的解是 ．
8.2《消元—解二元一次方程组》
重难点题型专项练习
考查题型一 代入消元法解二元一次方程组
典例1．用代入消元法解方程组：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先将②代入①得，再把代入②求解即可；
（2）先由②得③，再把③代入①得，最后把代入③求解即可．
【详解】（1），
把②代入①得，
解得，
把代入②得，
∴方程组的解为；
（2），
由②得③，
把③代入①得，，
解得，，
把代入③得，
所以方程组的解为．
【点睛】本题考查了代入消元法求解二元一次方程组，需要注意的是运用这种方法需满足其中一个方程为用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，若不具备这种特征，则根据等式的性质将其中一个方程变形，使其具备这种形式．
变式1-1．（2022秋·安徽蚌埠·七年级校考阶段练习）用代入消元法解下列方程组：
(1)；
(2)；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由可得，将代入即可消去y，求出x；
（2）由可得，将代入即可消去x，求出y．
【详解】（1）解：，
由可得，
将代入，可得，
解得，
将代入，可得，
解得，
因此该方程组的解为；
（2）解：，
由可得，
将代入，可得，
解得，
将代入，可得，
解得，
因此该方程组的解为．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，掌握代入消元法是解题的关键．
变式1-2．（2022春·新疆塔城·七年级统考期末）用代入消元法解下列方程组
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将②式变形，代入①，根据代入法解二元一次方程组即可求解；
（2）将②式变形，代入①，根据代入法解二元一次方程组即可求解．
（1）
解：
由②得③，
将③代入①得，
，
，
解得，
将代入③得，
∴原方程组的解为：；
（2）
，
由②得③，
将③代入①得，
，
解得，
将代入③得，
∴原方程组的解为：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
变式1-3．（2022春·青海玉树·七年级统考期末）用代入消元法解方程组
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接用代入消元法求解即可；
（2）把①变形为3y=2x，然后用代入消元法求解即可．
（1）
解：，
把①代入②，得
y+y+1=5，
∴y=2，
把y=2代入①，得
x=2+1=3，
∴；
（2）
解：，
由①得
3y=2x③，
把③代入②，得
3y+8y=22，
∴y=2，
把y=2代入③，得
2x=6，
∴x=3，
∴．
【点睛】本题考查了代入消元法求解二元一次方程组，需要注意的是运用这种方法需满足其中一个方程为用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，若不具备这种特征，则根据等式的性质将其中一个方程变形，使其具备这种形式．
考查题型二 加减消元法解二元一次方程组
典例2．（2022秋·安徽蚌埠·七年级校考阶段练习）用加减消元法解下列方程组：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用加减消元法求解；
（2）利用加减消元法求解．
【详解】（1）解：，
①②，得，
解得，
将代入②，得，
解得，
因此该方程组的解为：；
（2）解：，
，得，
解得，
将代入②，得，
解得，
因此该方程组的解为：．
【点睛】本题考查利用加减消元法解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键．
变式2-1．（2021春·山东德州·七年级校考期中）用加减消元法解方程组：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）加减消元法消去求解，把代入方程①求解即可．
（2）加减消元法消去求解，把代入方程①求解即可．
【详解】（1）解：，
①②得：，
解得．
把代入①得：，
解得．
方程组的解是．
（2）解：
①②得：，
解得．
把代入①得，
解得．
方程组的解是．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是熟知解二元一次方程组的基本步骤：消元．
变式2-2．用加减消元法解方程组
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用加减消元法求解即可；
（2）先整理化简，然后利用加减消元法求解即可．
【详解】（1）解：
①+②，得，解得，
将代入②中，得
解得，
∴原方程组的解为；
（2）解：原方程组可化为
由，得
解得
将代入①中，解得
∴原方程组的解为
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数．
变式2-3．（2021春·四川南充·七年级四川省南充市高坪中学校考期中）用加减消元法解方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据加减消元法解二元一次方程组；
（2）根据加减消元法解二元一次方程组即可求解．
【详解】（1）解：，
得：，
解得，
将代入①得，
解得，
∴方程组的解为：；
（2）解：，
得：，
解得，
将代入①得，
解得，
∴方程组的解为：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
考查题型三 二元一次方程组的特殊解法
典例3．阅读下列材料：
小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组，小明发现如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：
令，．
原方程组化为，
解得，
把代入，，
得，
解得．
∴原方程组的解为．
请你参考小明同学的做法解方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】(1) 令，，原方程组变形为，解得，还原方程组得，求解即可．
(2)令仿照原题的解法求解即可．
【详解】（1）令，，
方程组变形为，
解得，
所以，
解得
∴原方程组的解为．
（2）令
原方程组化为
解得，
把代入
得,
解得·
【点睛】本题考查了换元法解方程组，熟练掌握换元法解方程组的意义是解题的关键．
变式3-1．阅读材料：善于思考的李同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．
解：把，成一个整体，设，，原方程组可化为
解得：．∴，∴原方程组的解为．
(1)若方程组的解是，则方程组的解是__________．
(2)仿照李同学的方法，用“整体换元”法解方程组．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意所给材料可得出，再解出这个方程组即可．
（2）根据题意所给材料可令，则原方程组可化为，解出m，n，代入，再解出关于x，y的方程组即可．
解得：，∴，解这个二元一次方程组即可．
【详解】（1）∵方程组的解是，
∴，
解得： ；
（2）对于，令，
则原方程组可化为，
解得：，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查二元一次方程组的特殊解法—“整体换元法”．读懂题干，理解题意，掌握“整体换元法”的步骤是解题关键．
变式3-2．数学方法：
解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．
(1)直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么关于m、n的二元一次方程组的解为： ．
(2)知识迁移：请用这种方法解方程组．
(3)拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组的解为，
求关于x，y的方程组的解．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设，，即可得，解方程组即可求解；
（2）设，，则原方程组可化为，解方程组即可求解；
（3）设，，则原方程组可化为，，根据的解为，可得，即有，则问题得解．
【详解】（1）设，，则原方程组可化为，
∵的解为，
∴，
解得，
故答案为：；
（2）设，，则原方程组可化为，
解得，
即有，
解得，
即：方程组的解为；
（3）设，，则原方程组可化为，
化简，得，
∵关于x，y的二元一次方程组的解为，
∴，即有，
解得：，
故方程组的解为：．
【点睛】本题考查了用换元法解二元一次方程组的知识，紧密结合题目给出的示例，合理换元是解答本题的关键．
变式3-3．阅读下列材料： 小明同学遇到下列问题：
解方程组，他发现如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错．如果把方程组中的（2x＋3y）和（2x—3y）分别看做一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：
令m＝2x＋3y，n＝2x—3y，原方程组可以化为：，解得
把代入m＝2x＋3y，n＝2x—3y，得，解得
∴原方程组的解为
请你参考小明同学的做法，解决下面的问题：
(1)解方程组：
(2)若方程组的解是，则方程组的解是 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）令，，将方程组整理后，仿照阅读材料中的解法求出解即可；
（2）令，，将方程组整理后，仿照阅读材料中的解法求出解即可．
【详解】（1）解：令，，
原方程组可化为，
解得：，
∴，
两式相加得，将代入中，求得，
∴原方程组的解为 ；
（2）解：，，
原方程组可化为
，
依题意，得
，
∴，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．