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人教版八年级下册17.1 勾股定理教案
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这是一份人教版八年级下册17.1 勾股定理教案，共25页。教案主要包含了实验操作等内容，欢迎下载使用。
17.1 勾股定理
第1课时 勾股定理
17.1 勾股定理
第2课时 勾股定理在实际生活中的应用
17.1 勾股定理
第3课时 利用勾股定理作图、计算
17.2 勾股定理的逆定理
第17单元
本单元所需课时数
4课时
课标要求
1.探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题.
2.结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念.会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立.
教材分析
本章所研究的勾股定理是直角三角形的一条非常重要的性质，是学生在已经掌握了直角三角形有关性质的基础上进行学习的.它是几何中最重要的定理之一，它揭示了直角三角形三条边之间的数量关系，为以后学习解直角三角形奠定基础，在生产生活中用途很广．
主要内容
本章的主要内容是勾股定理及其逆定理.主要包括两节：第17.1节“勾股定理”主要内容是对勾股定理的观察、计算、猜想、证明及勾股定理的简单应用；第17.2节“勾股定理的逆定理”通过探索、证明得到了勾股定理的逆定理，并进行应用，同时穿插介绍了逆命题、逆定理的概念.
教学目标
1.经历勾股定理及其逆定理的探索过程，知道这两个定理的联系和区别，能用这两个定理解决一些简单的实际问题.
2.初步认识勾股定理及其逆定理的重要意义，会用这两个定理解决一些几何问题.
3.通过具体的例子，了解逆命题、逆定理的概念，会识别两个互逆的命题，知道原命题成立时其逆命题不一定成立.
4.通过对我国古代研究勾股定理成就的介绍，培养民族自豪感;通过对勾股定理的探索和交流，培养数学学习的自信心.
课时分配
17.1 勾股定理 3课时
17.2 勾股定理的逆定理 1课时
教与学建议
1.重视提高学生分析问题、解决问题的能力.
2.围绕证明勾股定理培养学是数学学习的自信心.
3.通过介绍我国古代研究勾股定理的成就培养民族自豪感.
4.适当总结和定理、逆定理有关的内容.
课题
勾股定理
课型
新授课
教学内容
教材第22-24页的内容
教学目标
1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一些文化历史背景，通过对我国古代研究勾股定理的成就的介绍，培养学生的民族自豪感.
2.能用勾股定理进行简单的计算.
教学重难点
教学重点：探索并证明勾股定理.
教学难点：勾股定理的探究和证明.
教 学 过 程
备 注
1.创设情境，引入新课
国际数学家大会是最高水平的全球性数学学科学术会议，被誉为数学界的“奥运会”. 2002年在北京召开了第24届国际数学家大会.如图所示是本届大会会徽的图案.
（1）你见过这个图案吗?
（2）它由哪些我们学习过的基本图形组成？
（3）这个图案有什么特别的含义？
师生活动：教师出示图片，引导学生发现图形中的直角三角形、正方形等，并说明直角三角形全等的关系，指出这个图案是由我国汉代的赵爽用来证明勾股定理的“赵爽弦图”加工而来的，展现了我国古代对勾股定理的研究成果，是我国古代数学的骄傲.
2.发现探究，学习新知
【问题1】毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家.相传在2500多年前，他在朋友家作客时，发现朋友家用地砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系.
(1)现在请你也观察一下地面的图案(右图)，你能找出图中正方形A，B，C的面积之间的关系吗?
(2)正方形A，B，C所围成的等腰直角三角形的三边之间有什么特殊关系?
师生活动：学生观察图片，分组交流讨论.学生通过直接数等腰直角三角形的个数或者用割补的方法可以得到正方形A，B的面积之和等于大正方形C的面积.教师引导学生由正方形的面积等于边长的平方归纳出:等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
总结：等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
【问题2】等腰直角三角形是特殊的直角三角形，一般的直角三角形是否也具有类似的结论呢？
师生活动：教师出示右图，进行追问.
教师追问1：图中每个小方格的面积均为1，请你分别计算出图中正方形A，B，C，A′，B′，C′的面积．
A的面积
B的面积
C的面积
4
9
13
A′的面积
B′的面积
C′的面积
9
25
34
教师追问2： 正方形A，B，C的面积之间有什么关系？正方形A′，B′，C′的面积之间有什么关系？
师生活动：学生独立观察并计算各图中正方形的面积并完成填表．教师参与小组活动，指导、倾听学生交流．针对不同认知水平的学生，引导其用不同的方法得出大正方形C的面积．学生分组交流，展示求面积的不同方法，如：在正方形C周围补出四个全等的直角三角形而得到一个大正方形，通过图形面积的和差，得到正方形C的面积．或者将正方形C分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，求得正方形C的面积．学生利用表格有条理地呈现数据，归纳得到：
A的面积＋B的面积＝C的面积．
A′的面积＋B′的面积＝C′的面积．
教师追问3：正方形A，B，C所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？
师生活动：在上一活动“探究等腰直角三角形三边关系”的基础上，学生类比迁移，得到：两直角边的平方和等于斜边的平方．
【问题3】通过前面的探究活动，猜一猜，直角三角形三边之间应该有什么关系？
师生活动：师生共同讨论、交流、逐步完善，得到命题1：
如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.
【问题4】以上这些直角三角形的边长都是具体的数值.一般情况下，如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c（右图），刚刚提出的猜想还正确吗？如何验证？
师生活动：学生通过独立思考，用a， b表示c的面积.
如图1，用“割”的方法可得c2=ab×4+(a-b)2；如图2，用“补”的方法可得c2=(b+a)2-ab×4.经过整理都可以得到a2＋b2＝c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
图1 图2
【问题5】历史上所有的文明古国对勾股定理都有研究，下面我们看看历史上我国的数学家对勾股定理的研究，并通过小组合作完成课本拼图法证明勾股定理.
师生活动：教师展示图形，并介绍:这个图案是3世纪三国时期的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为赵爽弦图.赵爽根据此图指出:四个全等的直角三角形(朱实)可以如图围成一个大正方形，中间的部分是一个小正方形(黄实).我们刚才用割的方法证明使用的就是这个图形.教师介绍勾股定理相关史料，勾股定理的证明方法据说有400多种，有兴趣的同学可以继续研究.
3.学以致用，应用新知
考点1 勾股定理的简单应用
【例1】在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，∠C＝90°.
(1)已知a＝3，b＝4，则c＝ ；
(2)已知c＝25，b＝15，则a＝ ；
(3)已知c＝19，a＝13，则b＝ ；(结果保留根号)
(4)已知a∶b＝3∶4，c＝15，则b＝ ．
答案：5 20 8 eq \r(3) 12
【例2】图中所有的四边形都是正方形，三角形是直角三角形，求图中最大正方形的面积.
答案：584
考点2 勾股定理的验证
【例3】你能利用如图所示的图形来证明勾股定理吗？不妨试试看，并与同伴交流.
解：S梯形＝（a+b）·（a+b）·＝（a2+b2+2ab）·，
又S梯形＝ab+ab+c2=（2ab+c2），
所以a2+b2＝c2.
故直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
4.随堂训练，巩固新知
（1）如图，字母B所代表的正方形的面积是( )
A.12 B．13 C.144 D．194
答案：C
（2）求出下列各直角三角形中未知边x的长度.
答案：15 12 13
（3）如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，BC＝18，AD为BC边上的中线，求AD的长．
答案：12
（4）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DBC＝90°，AD＝3，AB＝4，BC＝12，求CD的长．
解：∵∠BAD＝90°，AD＝3，AB＝4，∴BD＝5.
∵∠DBC＝90°，BC＝12，∴根据勾股定理，得CD＝13.
5.课堂小结，自我完善
(1)勾股定理;
(2)勾股定理的证明方法.
6.布置作业
教材P24练习第1，2题；
教材P28习题17.1第1，2，7题.
从国际数学家大会的会徽说起，设置悬念，引入课题，同时渗透了爱国主义教育.
从最特殊的直角三角形入手，通过观察正方形面积的关系得到三边关系，并进行初步的一般化（等腰直角三角形边长的一般化，渗透从特殊到一般的数学思想．
网格中的直角三角形也是直角三角形一种特殊情况，为计算方便，通常将直角边长设定为整数.
进一步体会面积割补法，为探究无网格背景下直角三角形三边关系打下基础，提供方法.
鼓励学生勇于面对数学活动中的困难，尝试从不同角度寻求解决问题的有效方法，并通过对方法的反思，获得解决问题的经验.
从网格验证到脱离 网格，通过计算推导出一般结论.
通过拼图活动，调动学生思维的积极性，为学生提供从事数学活动的机会，发展学生的形象思维;使学生对定理的理解更加深刻，体会数学中数形结合思想.通
过对赵爽弦图的介绍，了解我国古代数学家对勾股定理的发现及证明作出的贡献，增强民族自豪
感，通过了解勾股定理的证明方法，增强学生学习数学的自信心.
通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，包括应用勾股定理求直角三角形的一边长、求图形面积等，以及勾股定理的验证.
通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果.
通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用.
板书设计
勾股定理
1.勾股定理： 例题
2.勾股定理的验证： 练习
教学反思
整节课以“问题情境—分析探究—得出猜想—实践验证—总结升华”为主线，使学生亲身体验勾股定理的探索和验证过程，努力做到由传统的数学课堂向实验课堂转变..
本节课教学应把学生的探索活动放在首位，一方面要求学生在教师引导下自主探索，合作交流；另一方面要求学生对探究过程中用到的数学思想方法有一定的领悟和认识，从而教给学生探求知识的方法，教会学生获取知识的本领.
课题
勾股定理在实际生活中的应用
课型
新授课
教学内容
教材第25页的内容
教学目标
1.会用勾股定理解决简单的实际问题，体会数形结合的思想．
2.会从实际问题中抽象出直角三角形模型，体会数学来源于生活，又应用到生活中去．
教学重难点
教学重点：运用勾股定理解决实际问题．
教学难点：勾股定理的灵活运用．
教 学 过 程
备 注
1.回顾旧知，引入新课
【问题1】上节课我们学习了勾股定理，勾股定理的内容是什么？
【问题2】公式a2+b2=c2的变形：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.则
(1)c＝ eq \r(a2＋b2)；(2)a＝ eq \r(c2－b2)；(3)b＝ eq \r(c2－a2)．
师生活动:教师提出问题，学生抢答，教师补充、完善，指出在直角三角形中，已知两边，求第三边，可应用勾股定理求解.
2.思考探究，学习新知
【问题1】一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m，宽2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？
教师追问1：木板横着能否通过？
教师追问2：木板竖着能否通过？
教师追问3：在长方形ABCD中，AB，AC，BC，哪一条线段最长？
师生活动：教师引导学生从实际的角度去考虑，木板横着或竖着都不能从门框内通过，只能试试斜着能否通过.门框对角线AC的长度是斜着能通过的最大长度，求出AC，再与木板的宽比较，就能知道木板能否通过：
(1)木板的宽是2.2 m，大于1 m，所以横着不能通过；
(2)木板的宽是2.2 m，大于2 m，所以竖着不能通过；
(3)AC＞BC＞AB.
小组讨论、交流、补充、展示.注意过程要书写规范：
解：连接AC，
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得
AC2＝AB2＋BC2＝12＋22＝5.
AC＝ eq \r(5) ≈2.24.
因为AC大于木板的宽2.2 m，所以木板能从门框内通过．
总结:木板进门问题的解决需要综合考虑木板的长、宽和门的长、宽、对角线.
【问题2】如图，一架2.6 m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4 m．如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5 m，那么梯子底端B也外移0.5 m吗？
师生活动：引导学生分析，利用勾股定理算出梯子底端B外移多少即求BD的长，而BD=OD-OB，从而需要根据勾股定理先计算OD，OB的长度.
解：可以看出，BD=OD-OB.
在Rt△AOB中，根据勾股定理，得OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1，
所以OB==1.
在Rt△COD中，根据勾股定理，
得OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15，
所以OD=≈1.77，
所以BD=OD-OB ≈1.77-1=0.77.
所以梯子的顶端沿墙下滑0.5 m时，梯子底端并不是也外移0.5 m，而是外移约0.77 m.
总结：梯子靠在竖直的墙上，构成直角三角形，当梯子移动的时候又构成另一个直角三角形，利用勾股定理可以直接求线段长度.
3.学以致用，应用新知
考点1 直接利用勾股定理求边长
【例1】如图，由于台风的影响，一棵树在离地面6 m处折断，树顶落在离树干底部8 m处，则这棵树在折断前的高度是( )
A.8 m B.10 m C.16 m D.18 m
答案：C
【例2】长方体盒内长、宽、高分别为3 cm，2.4 cm和1.8 cm，盒内可放的棍子最长为 cm.
答案：
考点2 利用勾股定理建立方程解决实际问题
【例3】有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿长与门高.
解：设门高为x尺，则竹竿长为(x+1)尺.
根据勾股定理可得x2+42=(x+1)2，
即x2+16=x2+2x+1，解得x=7.5.x+1=8.5.
故门高为7.5尺，竹竿长为8.5尺.
4.随堂训练，巩固新知
（1）小刘将一架长2.5米的木梯斜靠在一面竖直的墙上，木梯的顶端与地面的距离为2.4米，则梯脚与墙脚的距离应为( )
A.0.7米 B.0.8米 C.0.9米 D.1.0米
解析：由题意知，木梯、地面、墙刚好形成一个直角三角形，木梯为斜边，利用勾股定理求解即可.梯脚与墙脚的距离为=0.7(米).故选A.
（2）如图，在平面直角坐标系中，有两点的坐标分别为(2，0)和(0，3)，则这两点之间的距离是 .
答案：
（3）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的距离AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时(BC＝1.2米)，感应门自动打开，则AD＝ 米．
答案：1.5
（4）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题:“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几何.”其意思为今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈.问门高、宽各是多少(1丈=10尺，1尺=10寸)，如图.设门高AB为x尺.根据题意，可列方程为 .
答案：(x-6.8)2+x2=102
5.课堂小结，自我完善
运用勾股定理解决实际应用问题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，谈谈你的收获与体会.
6.布置作业
教材P26练习第1，2题；
教材P28-29习题17.1第4，5，10题.
通过提问，学生回忆并回答，为突破本节难点做准备.
让学生从实际生活的角度大胆去考虑，用生活经验和学过的知识去解答，从而想到斜着通过门框，也就是把实际问题转化为数学问题．
在教师分析后，可由学生自主完成，让学生感受将实际问题转化为求直角三角形边长的问题，培养学生的数学应用意识.教师巡视，关注学生能否准确理解题意，将实际问题转化为数学问题，关注学生的语言表达能力，对有困难学生给予帮助.
通过运用勾股定理对实际问题进行解释，培养学生从身边的事物中抽象出几何模型的能力，使学生更加深刻地认识数学的本质：数学来源于生活，并服务于生活．
通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果，做到“堂堂清”.
通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用.
板书设计
勾股定理在实际生活中的应用
1.木板进门问题： 例题
2.梯子问题： 练习
教学反思
在实际生活中，很多问题可以用勾股定理解决，而解决这类问题都需要将其转化为数学问题.就本课时而言，关键是要通过构造直角三角形来完成.在教学时，应注意教学生如何构造直角三角形，找出已知的两个量，并让学生动手画出图形，教师再给予适时点拨.此外，还应关注学生所用语句的规范性，尽量让学生用数学语言来描述.
课题
利用勾股定理作图、计算
课型
新授课
教学内容
教材第26-27页的内容
教学目标
1.会运用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点，进一步感受数轴上的点与实数的一一对应关系．
2.了解利用勾股定理证明HL定理．
3.会运用勾股定理解决带有一定综合性的几何图形问题，进一步体会数形结合思想与转化思想．
教学重难点
教学重点：运用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点，运用勾股定理进行作图与计算．
教学难点：理解实数与数轴的一一对应关系，在较复杂的图形中利用勾股定理进行计算．
教 学 过 程
备 注
1.创设情境，引入新课
数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示，，，，…的点吗？
现在我们利用勾股定理来探究一下这个问题.
2.发现探究，学习新知
【问题1】在八年级上册中我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？
师生活动：教师提出问题，师生共同画图，写出已知、求证、证明.教师应引导学生关注画图的过程，思考哪些元素相等.
已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，AB=A'B'，AC=A'C'.
求证：△ABC≌△A'B'C'.
分析：要证明Rt△ABC≌Rt△A'B'C'，难以找到锐角对应相等，只能找第三边相等，发现可以根据勾股定理得到BC=AB2-AC2，B'C'=A'B'2-A'C'2，容易得到BC=B'C'.
证明：在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，根据勾股定理，得BC=AB2-AC2，B'C'=A'B'2-A'C'2.
又AB=A'B'，AC=A'C'，∴BC=B'C'，∴△ABC≌△A'B'C'(SSS).
【问题2】怎样在数轴上画出表示13的点?
师生活动：教师帮助学生逐步分析.
教师追问1：你能画出长度为2的线段吗?怎样画？3呢?5呢?
师生活动：教材第27页的图17.1-11，学生们独立动手画图，先按照图17.1-11的方法画出长为2，3，4，5，…的线段，按照同样的方法在数轴上画出表示13的点.
教师追问2：继续思考有没有其他方法呢?
师生活动：教师帮助学生分析，将13写成两个正整数a，b的平方和的形式，即13=a2+b2，而13=4+9，令a2=4，b2=9，则a=2，b=3，所以长为13的线段是直角边长分别为2，3的直角三角形的斜边.
教师追问3：在数轴上怎样作出这个三角形呢？
师生活动：教师指导学生画出图形，并在数轴上画出表示13的点.教师根据巡视情况指导步骤如下:
(1)如图17-1-67，在数轴上找出表示3的点A，则OA=3;
(2)过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB=2;
(3)连接OB，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于点C，则点C即为表示13的点.
总结:在数轴上表示无理数时，将在数轴上表示无理数的问题转化为画长为无理数的线段问题.第一步，利用勾股定理拆分出两条线段长的平方和等于所画线段(斜边)长的平方，注意一般拆分的两条线段的长是正整数；第二步，以数轴原点为直角三角形斜边的顶点，构造直角三角形；第三步，以数轴原点为圆心，以斜边长为半径画弧，即可在数轴上找到表示该无理数的点.
3.学以致用，应用新知
考点1 利用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点
【例1】在数轴上画出表示 eq \r(17) 的点(不写作法，但要保留画图痕迹).
解：如图所示，点A即为所求．
考点2 勾股定理与网格中的点
【例2】如图，已知网格中每个小正方形的边长均为1，A，B都在格点上，以点A为圆心，AB的长为半径画弧交最上方的网格线于点D，则ED的长为 .
答案：5
考点3 勾股定理与图形的计算
【例3】如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，CD⊥AB，垂足为D，CD＝8.求AC的长．
解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°.
在Rt△BCD中，BD＝ eq \r(BC2－CD2)＝6.
设AC＝AB＝x，则AD＝x－6，
在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2，即x2＝(x－6)2＋82，
解得x＝ eq \f(25,3) .∴AC＝ eq \f(25,3) .
考点4 利用勾股定理最短路径问题
【例4】如图，有一个长方体盒子，它的长是12 dm，宽是4 dm，高是3 dm.
(1)请问：长为12.5 dm的铁棒能放进去吗？
(2)如果有一只蚂蚁要想从D处爬到C处，求爬行的最短路程．
解：(1)连接BD，∵AD＝12 dm，AB＝4 dm，
∴BD2＝AD2＋AB2＝122＋42＝160.
∴CD＝ eq \r(BD2＋BC2)＝ eq \r(160＋32)＝13(dm).
∵13 dm>12.5 dm，∴长为12.5 dm的铁棒能放进去．
(2)如图1所示，CD＝ eq \r(（12＋4）2＋32)＝ eq \r(265) (dm).
如图2所示，CD＝ eq \r(（3＋4）2＋122)＝ eq \r(193) (dm).
如图3所示，CD＝ eq \r(（12＋3）2＋42)＝ eq \r(241) (dm).
∵ eq \r(265) > eq \r(241) > eq \r(193) ，∴爬行的最短路程是 eq \r(193) dm.
eq \(\s\up7(),\s\d5(图1)) eq \(\s\up7(),\s\d5(图2)) eq \(\s\up7(),\s\d5(图3))
4.随堂训练，巩固新知
（1）如图，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是( )
A. eq \r(5) ＋1 B． eq \r(5) －1 C．－ eq \r(5) ＋1 D．－ eq \r(5) －1
答案：B
（2）在数轴上作出表示- 的点.
解：∵＝ =，∴是以3，1为直角边的直角三角形斜边的长.如下图：
（3）在长方形纸片ABCD中，AD＝10 cm，AB＝4 cm，按如图所示的方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE的长．
答案： eq \f(29,5) cm.
（4）如图，有一个圆柱，高为15 cm，底面半径为8πcm，在点A的一只蚂蚁想吃到点B的食物，求爬行的最短路程．
答案：17 cm.
5.课堂小结，自我完善
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：
1.本节课学习了哪些主要内容？
2.怎样数轴上表示一个无理数？
6.布置作业
教材P27练习第2题；
教材P28习题17.1第6，9，11，12题.
利用目标明确的操作探究问题引入新课，激发学生的学习兴趣.
通过证明HL定理使学生掌握勾股定理在推理证明中的应用，提高学生应用勾股定理解决实际问题的能力．
通过观察感知，讨论分析，规范作图，一步紧扣一步，让学生明白如何利用勾股定理在数轴上找到表示无理数的点，将数和图形联系在一起，让学生领会了数形结合的思想，同时也加深了对勾股定理、数轴和实数的理解．教学中注意规范学生的作图语言和作图．
通过操作探究，培养学生的动手操作能力、抽象概括能力，进一步巩固新知.
通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点.
此题意在考查学生的数学建模能力及解决实际问题的能力.
通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果.
通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用.
板书设计
利用勾股定理作图、计算
1.利用勾股定理证明HL定理 例题
2.在数轴上画出表示无理数的点 练习
教学反思
授课过程中应找到各个环节之间的衔接点，使之过渡自然流畅.在教学过程中，学生接触的新题型较多，大多有一定难度，应精选典型题目，同时有效发挥学生的主体作用，引导学生积极参与，达到较好的学习效果.
课题
勾股定理的逆定理
课型
新授课
教学内容
教材第31-33页的内容
教学目标
1.了解互逆命题和互逆定理的概念．
2.通过对勾股定理的逆定理的探索，经历知识的产生、发展和形成的过程．
3.会用三角形的三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数形结合方法的应用．
4.会认识并判别勾股数．
教学重难点
教学重点：勾股定理的逆定理及其应用．
教学难点：勾股定理的逆定理的证明．
教 学 过 程
备 注
1.创设情境，引入新课
【问题1】前面我们学习了勾股定理，你能说出它的题设和结论吗?
师生活动:师生共同回忆勾股定理，请同学指出其题设和结论，并揭示勾股定理是从形的特殊性得出边之间的数量关系.
教师追问:我们知道一个直角三角形的两直角边长为a，b，斜边长为c，则有a2+b2=c2.反过来，若一个三角形的三边具有a2+b2=c2的数量关系，能否确定这个三角形是直角三角形呢?今天我们一起来研究这个问题.
【问题2】古埃及人画直角的方法：把一根长绳子打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形.你认为这个三角形是直角三角形吗？
师生活动：学生利用准备好的绳子，以小组为单位动手操作，观察，作出合理的推断．教师深入小组当中，帮助并指导学生讨论．
2.发现探究，学习新知
【实验操作】(1)画一画:下列各组数中两个数的平方和等于第三个数的平方，分别以这些数为边长(单位:cm）画出三角形:①2.5，6，6.5;②6，8，10.
（2）量一量:用量角器测量上述各三角形的最大角的度数.
（3）想一想:请判断这些三角形的形状，并提出猜想.
师生活动：教师指导学生按要求画出三角形，并计算三边的数量关系，如2.52＋62=6.52，62+82=102.接着度量三角形最大角的度数，发现最大角为90°.在此基础上用《几何画板》软件展示具有a2+b2=c2的三条线段(长度可变，数量关系不变)，并以这三条线段为边作三角形，通过度量发现在最大角都为90，并提出猜想，得到命题2:
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
【问题3】命题1和命题2有怎样的联系？
教师追问1：命题1和命题2的题设、结论分别是什么？
师生活动：通过比较题设和结论，引出逆命题的概念，理解逆命题的概念及互逆命题之间的关系.
教师追问2：如何证明命题2？
师生活动：学生独立画出图形，写出已知、求证，教师通过多媒体资源（或板书）显示图形、已知及求证.
已知:如图，△ABC的三边长a， b，c满足a2+b2=c2.
求证:△ABC是直角三角形.
【问题4】要证明△ABC是直角三角形，只要证明∠C=90°.由命题的已知条件，能直接证明吗?
教师追问:对于△ABC，我们难以直接证明它是一个直角三角形，怎么办?
师生活动:教师启发，如果能证明△ABC与一个以a，b为直角边长的Rt△A'BC'全等，那么就证明了△ABC是直角三角形.为此，我们可以先构造 Rt△A'B'C'.
如图，在△A′B′C′中，∠C′=90°，A′B′2＝B′C′2＋A′C′2＝a2＋b2，
∵a2＋b2＝c2，∴A′B′＝c.
在△ABC和△A′B′C′中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(B′C′＝BC＝a，,A′C′＝AC＝b，,A′B′＝AB＝c，))
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).
∴∠C＝∠C′＝90°，即△ABC是直角三角形．
归纳：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.这个定理称为勾股定理的逆定理．
【问题5】(1)如果原命题成立，那么逆命题也一定成立吗？
(2)你能举出互为逆定理的例子吗？
师生活动：教师出示问题，学会分组探究．教师深入各小组进行帮助和指导．教师汇总学生的讨论结果．
教师引导学生注意在比较中重新认识勾股定理和勾股定理的逆定理：
勾股定理
勾股定理的逆定理
内容
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2
如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形
题设
直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c
三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2
结论
a2＋b2＝c2
这个三角形是直角三角形
用途
是直角三角形的一个性质
判定直角三角形的一种方法
3.学以致用，应用新知
考点1 利用勾股定理的逆定理判断三角形是不是直角三角形
【例1】判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：
(1)a＝15，b＝8，c＝17； (2)a＝13，b＝14，c＝15.
解：(1)因为152＋82＝225＋64＝289，172＝289，
所以152＋82＝172，这个三角形是直角三角形．
(2)因为132＋142＝169＋196＝365，152＝225，
所以132＋142≠152，这个三角形不是直角三角形．
师生活动：学生说出问题(1)的判断思路，教师板书详细解答过程，部分学生板演问题(2).教师纠正学生出现的问题，最后介绍勾股数的概念.
在活动中教师应重点关注:(1)学生的解题过程是否规范.(2)是不是用两条较小边长的平方和与较大边长的平方进行比较.(3)是否理解了勾股数的概念，即勾股数必须满足以下两个条件:①以三个数为边长的三角形是直角三角形;②三个数必须是正整数.
考点2 勾股定理逆定理的实际应用
【例2】如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 nmile，“海天”号每小时航行12 nmile.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30 nmile.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
解：根据题意，得PQ＝16×1.5＝24，PR＝12×1.5＝18，QR＝30.
∵242＋182＝302，即PQ2＋PR2＝QR2，∴∠QPR＝90°
由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1＝45°，则∠2＝45°，即“海天”号沿西北方向航行．
4.随堂训练，巩固新知
（1）以下列各组数为三边长的三角形中，是直角三角形的有( )
①3，4，5;②1，2，4;③32，42，52;④6，8，10.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案：B
（2）下列各命题的逆命题成立的是( )
A.对顶角相等 B．两直线平行，同位角相等
C.若a＝b，则|a|＝|b| D．全等三角形的对应角相等
答案：B
（3）若一个三角形的三边长分别是a，b，c，且满足等式(a+b)2-c2=2ab，则此三角形是( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
答案：A
（4）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1，且∠B＝90°，求∠DAB的度数．
解：连接AC.∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，
∴AC＝2 eq \r(2) ，∠BAC＝45°.
∵CD＝3，DA＝1，∴AC2＋DA2＝8＋1＝9＝CD2.∴△ACD是直角三角形，且∠CAD＝90°.∴∠DAB＝45°＋90°＝135°.
5.课堂小结，自我完善
（1）什么是勾股定理的逆定理？如何表述？
（2）判断一个三角形是不是直角三角形有哪些方法？
（3）什么是命题？什么是原命题？什么是逆命题？
6.布置作业
教材P33练习第1-3题；
教材P34习题17.2第1-5题.
通过对前面所学知识的归纳总结，联想到用三边的关系是否可以判断一个三角形为直角三角形，引导学生自然合理地提出问题.
介绍前人经验，启发思考，使学生意识到数学知识来源于生活实际，激发学习兴趣.
教学中先要求学生画几个三角形，测量边长，然后计算边长的平方，并分析最长边的平方与其他两边平方和之间的关系，最后引导得出结论，这种测量、计算、归纳和猜想的过程，是典型的几何探索过程.
引导学生用图形和数学符号语言表示命题，明确任务.
本问题中，难以直接证明△ABC是直角三角形.联想到三角形全等这一工具，通过构造直角三角形，证明当前三角形与一个直角三角形全等，从而证明当前三角形是直角三角形.让学生体会这种证明思路的合理性，帮助学生突破难点.
通过比较勾股定理及其逆定理的题设和结论，进一步理解互逆命题(定理)的概念及互逆命题之间的关系.
通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，即勾股定理的逆定理及其运用.
通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果.
及时反馈教与学双边活动的结果，查缺补漏，培养学生养成系统整理知识的好习惯．
板书设计
勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理
2.互逆命题与互逆定理
3.勾股数
例题 练习
教学反思
在本课时教学过程中，应以师生共同探讨为主．激励学生回答问题，激发学生的求知欲．课堂上师生互动频繁，既保证课堂教学进度，又提高课堂学习效率．学生在探讨过程中也加深了对知识的理解和记忆．
17.1 勾股定理
第1课时 勾股定理
17.1 勾股定理
第2课时 勾股定理在实际生活中的应用
17.1 勾股定理
第3课时 利用勾股定理作图、计算
17.2 勾股定理的逆定理
第17单元
本单元所需课时数
4课时
课标要求
1.探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题.
2.结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念.会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立.
教材分析
本章所研究的勾股定理是直角三角形的一条非常重要的性质，是学生在已经掌握了直角三角形有关性质的基础上进行学习的.它是几何中最重要的定理之一，它揭示了直角三角形三条边之间的数量关系，为以后学习解直角三角形奠定基础，在生产生活中用途很广．
主要内容
本章的主要内容是勾股定理及其逆定理.主要包括两节：第17.1节“勾股定理”主要内容是对勾股定理的观察、计算、猜想、证明及勾股定理的简单应用；第17.2节“勾股定理的逆定理”通过探索、证明得到了勾股定理的逆定理，并进行应用，同时穿插介绍了逆命题、逆定理的概念.
教学目标
1.经历勾股定理及其逆定理的探索过程，知道这两个定理的联系和区别，能用这两个定理解决一些简单的实际问题.
2.初步认识勾股定理及其逆定理的重要意义，会用这两个定理解决一些几何问题.
3.通过具体的例子，了解逆命题、逆定理的概念，会识别两个互逆的命题，知道原命题成立时其逆命题不一定成立.
4.通过对我国古代研究勾股定理成就的介绍，培养民族自豪感;通过对勾股定理的探索和交流，培养数学学习的自信心.
课时分配
17.1 勾股定理 3课时
17.2 勾股定理的逆定理 1课时
教与学建议
1.重视提高学生分析问题、解决问题的能力.
2.围绕证明勾股定理培养学是数学学习的自信心.
3.通过介绍我国古代研究勾股定理的成就培养民族自豪感.
4.适当总结和定理、逆定理有关的内容.
课题
勾股定理
课型
新授课
教学内容
教材第22-24页的内容
教学目标
1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一些文化历史背景，通过对我国古代研究勾股定理的成就的介绍，培养学生的民族自豪感.
2.能用勾股定理进行简单的计算.
教学重难点
教学重点：探索并证明勾股定理.
教学难点：勾股定理的探究和证明.
教 学 过 程
备 注
1.创设情境，引入新课
国际数学家大会是最高水平的全球性数学学科学术会议，被誉为数学界的“奥运会”. 2002年在北京召开了第24届国际数学家大会.如图所示是本届大会会徽的图案.
（1）你见过这个图案吗?
（2）它由哪些我们学习过的基本图形组成？
（3）这个图案有什么特别的含义？
师生活动：教师出示图片，引导学生发现图形中的直角三角形、正方形等，并说明直角三角形全等的关系，指出这个图案是由我国汉代的赵爽用来证明勾股定理的“赵爽弦图”加工而来的，展现了我国古代对勾股定理的研究成果，是我国古代数学的骄傲.
2.发现探究，学习新知
【问题1】毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家.相传在2500多年前，他在朋友家作客时，发现朋友家用地砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系.
(1)现在请你也观察一下地面的图案(右图)，你能找出图中正方形A，B，C的面积之间的关系吗?
(2)正方形A，B，C所围成的等腰直角三角形的三边之间有什么特殊关系?
师生活动：学生观察图片，分组交流讨论.学生通过直接数等腰直角三角形的个数或者用割补的方法可以得到正方形A，B的面积之和等于大正方形C的面积.教师引导学生由正方形的面积等于边长的平方归纳出:等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
总结：等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
【问题2】等腰直角三角形是特殊的直角三角形，一般的直角三角形是否也具有类似的结论呢？
师生活动：教师出示右图，进行追问.
教师追问1：图中每个小方格的面积均为1，请你分别计算出图中正方形A，B，C，A′，B′，C′的面积．
A的面积
B的面积
C的面积
4
9
13
A′的面积
B′的面积
C′的面积
9
25
34
教师追问2： 正方形A，B，C的面积之间有什么关系？正方形A′，B′，C′的面积之间有什么关系？
师生活动：学生独立观察并计算各图中正方形的面积并完成填表．教师参与小组活动，指导、倾听学生交流．针对不同认知水平的学生，引导其用不同的方法得出大正方形C的面积．学生分组交流，展示求面积的不同方法，如：在正方形C周围补出四个全等的直角三角形而得到一个大正方形，通过图形面积的和差，得到正方形C的面积．或者将正方形C分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，求得正方形C的面积．学生利用表格有条理地呈现数据，归纳得到：
A的面积＋B的面积＝C的面积．
A′的面积＋B′的面积＝C′的面积．
教师追问3：正方形A，B，C所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？
师生活动：在上一活动“探究等腰直角三角形三边关系”的基础上，学生类比迁移，得到：两直角边的平方和等于斜边的平方．
【问题3】通过前面的探究活动，猜一猜，直角三角形三边之间应该有什么关系？
师生活动：师生共同讨论、交流、逐步完善，得到命题1：
如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.
【问题4】以上这些直角三角形的边长都是具体的数值.一般情况下，如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c（右图），刚刚提出的猜想还正确吗？如何验证？
师生活动：学生通过独立思考，用a， b表示c的面积.
如图1，用“割”的方法可得c2=ab×4+(a-b)2；如图2，用“补”的方法可得c2=(b+a)2-ab×4.经过整理都可以得到a2＋b2＝c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
图1 图2
【问题5】历史上所有的文明古国对勾股定理都有研究，下面我们看看历史上我国的数学家对勾股定理的研究，并通过小组合作完成课本拼图法证明勾股定理.
师生活动：教师展示图形，并介绍:这个图案是3世纪三国时期的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为赵爽弦图.赵爽根据此图指出:四个全等的直角三角形(朱实)可以如图围成一个大正方形，中间的部分是一个小正方形(黄实).我们刚才用割的方法证明使用的就是这个图形.教师介绍勾股定理相关史料，勾股定理的证明方法据说有400多种，有兴趣的同学可以继续研究.
3.学以致用，应用新知
考点1 勾股定理的简单应用
【例1】在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，∠C＝90°.
(1)已知a＝3，b＝4，则c＝ ；
(2)已知c＝25，b＝15，则a＝ ；
(3)已知c＝19，a＝13，则b＝ ；(结果保留根号)
(4)已知a∶b＝3∶4，c＝15，则b＝ ．
答案：5 20 8 eq \r(3) 12
【例2】图中所有的四边形都是正方形，三角形是直角三角形，求图中最大正方形的面积.
答案：584
考点2 勾股定理的验证
【例3】你能利用如图所示的图形来证明勾股定理吗？不妨试试看，并与同伴交流.
解：S梯形＝（a+b）·（a+b）·＝（a2+b2+2ab）·，
又S梯形＝ab+ab+c2=（2ab+c2），
所以a2+b2＝c2.
故直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
4.随堂训练，巩固新知
（1）如图，字母B所代表的正方形的面积是( )
A.12 B．13 C.144 D．194
答案：C
（2）求出下列各直角三角形中未知边x的长度.
答案：15 12 13
（3）如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，BC＝18，AD为BC边上的中线，求AD的长．
答案：12
（4）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DBC＝90°，AD＝3，AB＝4，BC＝12，求CD的长．
解：∵∠BAD＝90°，AD＝3，AB＝4，∴BD＝5.
∵∠DBC＝90°，BC＝12，∴根据勾股定理，得CD＝13.
5.课堂小结，自我完善
(1)勾股定理;
(2)勾股定理的证明方法.
6.布置作业
教材P24练习第1，2题；
教材P28习题17.1第1，2，7题.
从国际数学家大会的会徽说起，设置悬念，引入课题，同时渗透了爱国主义教育.
从最特殊的直角三角形入手，通过观察正方形面积的关系得到三边关系，并进行初步的一般化（等腰直角三角形边长的一般化，渗透从特殊到一般的数学思想．
网格中的直角三角形也是直角三角形一种特殊情况，为计算方便，通常将直角边长设定为整数.
进一步体会面积割补法，为探究无网格背景下直角三角形三边关系打下基础，提供方法.
鼓励学生勇于面对数学活动中的困难，尝试从不同角度寻求解决问题的有效方法，并通过对方法的反思，获得解决问题的经验.
从网格验证到脱离 网格，通过计算推导出一般结论.
通过拼图活动，调动学生思维的积极性，为学生提供从事数学活动的机会，发展学生的形象思维;使学生对定理的理解更加深刻，体会数学中数形结合思想.通
过对赵爽弦图的介绍，了解我国古代数学家对勾股定理的发现及证明作出的贡献，增强民族自豪
感，通过了解勾股定理的证明方法，增强学生学习数学的自信心.
通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，包括应用勾股定理求直角三角形的一边长、求图形面积等，以及勾股定理的验证.
通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果.
通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用.
板书设计
勾股定理
1.勾股定理： 例题
2.勾股定理的验证： 练习
教学反思
整节课以“问题情境—分析探究—得出猜想—实践验证—总结升华”为主线，使学生亲身体验勾股定理的探索和验证过程，努力做到由传统的数学课堂向实验课堂转变..
本节课教学应把学生的探索活动放在首位，一方面要求学生在教师引导下自主探索，合作交流；另一方面要求学生对探究过程中用到的数学思想方法有一定的领悟和认识，从而教给学生探求知识的方法，教会学生获取知识的本领.
课题
勾股定理在实际生活中的应用
课型
新授课
教学内容
教材第25页的内容
教学目标
1.会用勾股定理解决简单的实际问题，体会数形结合的思想．
2.会从实际问题中抽象出直角三角形模型，体会数学来源于生活，又应用到生活中去．
教学重难点
教学重点：运用勾股定理解决实际问题．
教学难点：勾股定理的灵活运用．
教 学 过 程
备 注
1.回顾旧知，引入新课
【问题1】上节课我们学习了勾股定理，勾股定理的内容是什么？
【问题2】公式a2+b2=c2的变形：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.则
(1)c＝ eq \r(a2＋b2)；(2)a＝ eq \r(c2－b2)；(3)b＝ eq \r(c2－a2)．
师生活动:教师提出问题，学生抢答，教师补充、完善，指出在直角三角形中，已知两边，求第三边，可应用勾股定理求解.
2.思考探究，学习新知
【问题1】一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m，宽2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？
教师追问1：木板横着能否通过？
教师追问2：木板竖着能否通过？
教师追问3：在长方形ABCD中，AB，AC，BC，哪一条线段最长？
师生活动：教师引导学生从实际的角度去考虑，木板横着或竖着都不能从门框内通过，只能试试斜着能否通过.门框对角线AC的长度是斜着能通过的最大长度，求出AC，再与木板的宽比较，就能知道木板能否通过：
(1)木板的宽是2.2 m，大于1 m，所以横着不能通过；
(2)木板的宽是2.2 m，大于2 m，所以竖着不能通过；
(3)AC＞BC＞AB.
小组讨论、交流、补充、展示.注意过程要书写规范：
解：连接AC，
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得
AC2＝AB2＋BC2＝12＋22＝5.
AC＝ eq \r(5) ≈2.24.
因为AC大于木板的宽2.2 m，所以木板能从门框内通过．
总结:木板进门问题的解决需要综合考虑木板的长、宽和门的长、宽、对角线.
【问题2】如图，一架2.6 m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4 m．如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5 m，那么梯子底端B也外移0.5 m吗？
师生活动：引导学生分析，利用勾股定理算出梯子底端B外移多少即求BD的长，而BD=OD-OB，从而需要根据勾股定理先计算OD，OB的长度.
解：可以看出，BD=OD-OB.
在Rt△AOB中，根据勾股定理，得OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1，
所以OB==1.
在Rt△COD中，根据勾股定理，
得OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15，
所以OD=≈1.77，
所以BD=OD-OB ≈1.77-1=0.77.
所以梯子的顶端沿墙下滑0.5 m时，梯子底端并不是也外移0.5 m，而是外移约0.77 m.
总结：梯子靠在竖直的墙上，构成直角三角形，当梯子移动的时候又构成另一个直角三角形，利用勾股定理可以直接求线段长度.
3.学以致用，应用新知
考点1 直接利用勾股定理求边长
【例1】如图，由于台风的影响，一棵树在离地面6 m处折断，树顶落在离树干底部8 m处，则这棵树在折断前的高度是( )
A.8 m B.10 m C.16 m D.18 m
答案：C
【例2】长方体盒内长、宽、高分别为3 cm，2.4 cm和1.8 cm，盒内可放的棍子最长为 cm.
答案：
考点2 利用勾股定理建立方程解决实际问题
【例3】有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿长与门高.
解：设门高为x尺，则竹竿长为(x+1)尺.
根据勾股定理可得x2+42=(x+1)2，
即x2+16=x2+2x+1，解得x=7.5.x+1=8.5.
故门高为7.5尺，竹竿长为8.5尺.
4.随堂训练，巩固新知
（1）小刘将一架长2.5米的木梯斜靠在一面竖直的墙上，木梯的顶端与地面的距离为2.4米，则梯脚与墙脚的距离应为( )
A.0.7米 B.0.8米 C.0.9米 D.1.0米
解析：由题意知，木梯、地面、墙刚好形成一个直角三角形，木梯为斜边，利用勾股定理求解即可.梯脚与墙脚的距离为=0.7(米).故选A.
（2）如图，在平面直角坐标系中，有两点的坐标分别为(2，0)和(0，3)，则这两点之间的距离是 .
答案：
（3）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的距离AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时(BC＝1.2米)，感应门自动打开，则AD＝ 米．
答案：1.5
（4）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题:“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几何.”其意思为今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈.问门高、宽各是多少(1丈=10尺，1尺=10寸)，如图.设门高AB为x尺.根据题意，可列方程为 .
答案：(x-6.8)2+x2=102
5.课堂小结，自我完善
运用勾股定理解决实际应用问题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，谈谈你的收获与体会.
6.布置作业
教材P26练习第1，2题；
教材P28-29习题17.1第4，5，10题.
通过提问，学生回忆并回答，为突破本节难点做准备.
让学生从实际生活的角度大胆去考虑，用生活经验和学过的知识去解答，从而想到斜着通过门框，也就是把实际问题转化为数学问题．
在教师分析后，可由学生自主完成，让学生感受将实际问题转化为求直角三角形边长的问题，培养学生的数学应用意识.教师巡视，关注学生能否准确理解题意，将实际问题转化为数学问题，关注学生的语言表达能力，对有困难学生给予帮助.
通过运用勾股定理对实际问题进行解释，培养学生从身边的事物中抽象出几何模型的能力，使学生更加深刻地认识数学的本质：数学来源于生活，并服务于生活．
通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果，做到“堂堂清”.
通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用.
板书设计
勾股定理在实际生活中的应用
1.木板进门问题： 例题
2.梯子问题： 练习
教学反思
在实际生活中，很多问题可以用勾股定理解决，而解决这类问题都需要将其转化为数学问题.就本课时而言，关键是要通过构造直角三角形来完成.在教学时，应注意教学生如何构造直角三角形，找出已知的两个量，并让学生动手画出图形，教师再给予适时点拨.此外，还应关注学生所用语句的规范性，尽量让学生用数学语言来描述.
课题
利用勾股定理作图、计算
课型
新授课
教学内容
教材第26-27页的内容
教学目标
1.会运用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点，进一步感受数轴上的点与实数的一一对应关系．
2.了解利用勾股定理证明HL定理．
3.会运用勾股定理解决带有一定综合性的几何图形问题，进一步体会数形结合思想与转化思想．
教学重难点
教学重点：运用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点，运用勾股定理进行作图与计算．
教学难点：理解实数与数轴的一一对应关系，在较复杂的图形中利用勾股定理进行计算．
教 学 过 程
备 注
1.创设情境，引入新课
数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示，，，，…的点吗？
现在我们利用勾股定理来探究一下这个问题.
2.发现探究，学习新知
【问题1】在八年级上册中我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？
师生活动：教师提出问题，师生共同画图，写出已知、求证、证明.教师应引导学生关注画图的过程，思考哪些元素相等.
已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，AB=A'B'，AC=A'C'.
求证：△ABC≌△A'B'C'.
分析：要证明Rt△ABC≌Rt△A'B'C'，难以找到锐角对应相等，只能找第三边相等，发现可以根据勾股定理得到BC=AB2-AC2，B'C'=A'B'2-A'C'2，容易得到BC=B'C'.
证明：在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，根据勾股定理，得BC=AB2-AC2，B'C'=A'B'2-A'C'2.
又AB=A'B'，AC=A'C'，∴BC=B'C'，∴△ABC≌△A'B'C'(SSS).
【问题2】怎样在数轴上画出表示13的点?
师生活动：教师帮助学生逐步分析.
教师追问1：你能画出长度为2的线段吗?怎样画？3呢?5呢?
师生活动：教材第27页的图17.1-11，学生们独立动手画图，先按照图17.1-11的方法画出长为2，3，4，5，…的线段，按照同样的方法在数轴上画出表示13的点.
教师追问2：继续思考有没有其他方法呢?
师生活动：教师帮助学生分析，将13写成两个正整数a，b的平方和的形式，即13=a2+b2，而13=4+9，令a2=4，b2=9，则a=2，b=3，所以长为13的线段是直角边长分别为2，3的直角三角形的斜边.
教师追问3：在数轴上怎样作出这个三角形呢？
师生活动：教师指导学生画出图形，并在数轴上画出表示13的点.教师根据巡视情况指导步骤如下:
(1)如图17-1-67，在数轴上找出表示3的点A，则OA=3;
(2)过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB=2;
(3)连接OB，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于点C，则点C即为表示13的点.
总结:在数轴上表示无理数时，将在数轴上表示无理数的问题转化为画长为无理数的线段问题.第一步，利用勾股定理拆分出两条线段长的平方和等于所画线段(斜边)长的平方，注意一般拆分的两条线段的长是正整数；第二步，以数轴原点为直角三角形斜边的顶点，构造直角三角形；第三步，以数轴原点为圆心，以斜边长为半径画弧，即可在数轴上找到表示该无理数的点.
3.学以致用，应用新知
考点1 利用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点
【例1】在数轴上画出表示 eq \r(17) 的点(不写作法，但要保留画图痕迹).
解：如图所示，点A即为所求．
考点2 勾股定理与网格中的点
【例2】如图，已知网格中每个小正方形的边长均为1，A，B都在格点上，以点A为圆心，AB的长为半径画弧交最上方的网格线于点D，则ED的长为 .
答案：5
考点3 勾股定理与图形的计算
【例3】如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，CD⊥AB，垂足为D，CD＝8.求AC的长．
解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°.
在Rt△BCD中，BD＝ eq \r(BC2－CD2)＝6.
设AC＝AB＝x，则AD＝x－6，
在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2，即x2＝(x－6)2＋82，
解得x＝ eq \f(25,3) .∴AC＝ eq \f(25,3) .
考点4 利用勾股定理最短路径问题
【例4】如图，有一个长方体盒子，它的长是12 dm，宽是4 dm，高是3 dm.
(1)请问：长为12.5 dm的铁棒能放进去吗？
(2)如果有一只蚂蚁要想从D处爬到C处，求爬行的最短路程．
解：(1)连接BD，∵AD＝12 dm，AB＝4 dm，
∴BD2＝AD2＋AB2＝122＋42＝160.
∴CD＝ eq \r(BD2＋BC2)＝ eq \r(160＋32)＝13(dm).
∵13 dm>12.5 dm，∴长为12.5 dm的铁棒能放进去．
(2)如图1所示，CD＝ eq \r(（12＋4）2＋32)＝ eq \r(265) (dm).
如图2所示，CD＝ eq \r(（3＋4）2＋122)＝ eq \r(193) (dm).
如图3所示，CD＝ eq \r(（12＋3）2＋42)＝ eq \r(241) (dm).
∵ eq \r(265) > eq \r(241) > eq \r(193) ，∴爬行的最短路程是 eq \r(193) dm.
eq \(\s\up7(),\s\d5(图1)) eq \(\s\up7(),\s\d5(图2)) eq \(\s\up7(),\s\d5(图3))
4.随堂训练，巩固新知
（1）如图，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是( )
A. eq \r(5) ＋1 B． eq \r(5) －1 C．－ eq \r(5) ＋1 D．－ eq \r(5) －1
答案：B
（2）在数轴上作出表示- 的点.
解：∵＝ =，∴是以3，1为直角边的直角三角形斜边的长.如下图：
（3）在长方形纸片ABCD中，AD＝10 cm，AB＝4 cm，按如图所示的方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE的长．
答案： eq \f(29,5) cm.
（4）如图，有一个圆柱，高为15 cm，底面半径为8πcm，在点A的一只蚂蚁想吃到点B的食物，求爬行的最短路程．
答案：17 cm.
5.课堂小结，自我完善
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：
1.本节课学习了哪些主要内容？
2.怎样数轴上表示一个无理数？
6.布置作业
教材P27练习第2题；
教材P28习题17.1第6，9，11，12题.
利用目标明确的操作探究问题引入新课，激发学生的学习兴趣.
通过证明HL定理使学生掌握勾股定理在推理证明中的应用，提高学生应用勾股定理解决实际问题的能力．
通过观察感知，讨论分析，规范作图，一步紧扣一步，让学生明白如何利用勾股定理在数轴上找到表示无理数的点，将数和图形联系在一起，让学生领会了数形结合的思想，同时也加深了对勾股定理、数轴和实数的理解．教学中注意规范学生的作图语言和作图．
通过操作探究，培养学生的动手操作能力、抽象概括能力，进一步巩固新知.
通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点.
此题意在考查学生的数学建模能力及解决实际问题的能力.
通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果.
通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用.
板书设计
利用勾股定理作图、计算
1.利用勾股定理证明HL定理 例题
2.在数轴上画出表示无理数的点 练习
教学反思
授课过程中应找到各个环节之间的衔接点，使之过渡自然流畅.在教学过程中，学生接触的新题型较多，大多有一定难度，应精选典型题目，同时有效发挥学生的主体作用，引导学生积极参与，达到较好的学习效果.
课题
勾股定理的逆定理
课型
新授课
教学内容
教材第31-33页的内容
教学目标
1.了解互逆命题和互逆定理的概念．
2.通过对勾股定理的逆定理的探索，经历知识的产生、发展和形成的过程．
3.会用三角形的三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数形结合方法的应用．
4.会认识并判别勾股数．
教学重难点
教学重点：勾股定理的逆定理及其应用．
教学难点：勾股定理的逆定理的证明．
教 学 过 程
备 注
1.创设情境，引入新课
【问题1】前面我们学习了勾股定理，你能说出它的题设和结论吗?
师生活动:师生共同回忆勾股定理，请同学指出其题设和结论，并揭示勾股定理是从形的特殊性得出边之间的数量关系.
教师追问:我们知道一个直角三角形的两直角边长为a，b，斜边长为c，则有a2+b2=c2.反过来，若一个三角形的三边具有a2+b2=c2的数量关系，能否确定这个三角形是直角三角形呢?今天我们一起来研究这个问题.
【问题2】古埃及人画直角的方法：把一根长绳子打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形.你认为这个三角形是直角三角形吗？
师生活动：学生利用准备好的绳子，以小组为单位动手操作，观察，作出合理的推断．教师深入小组当中，帮助并指导学生讨论．
2.发现探究，学习新知
【实验操作】(1)画一画:下列各组数中两个数的平方和等于第三个数的平方，分别以这些数为边长(单位:cm）画出三角形:①2.5，6，6.5;②6，8，10.
（2）量一量:用量角器测量上述各三角形的最大角的度数.
（3）想一想:请判断这些三角形的形状，并提出猜想.
师生活动：教师指导学生按要求画出三角形，并计算三边的数量关系，如2.52＋62=6.52，62+82=102.接着度量三角形最大角的度数，发现最大角为90°.在此基础上用《几何画板》软件展示具有a2+b2=c2的三条线段(长度可变，数量关系不变)，并以这三条线段为边作三角形，通过度量发现在最大角都为90，并提出猜想，得到命题2:
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
【问题3】命题1和命题2有怎样的联系？
教师追问1：命题1和命题2的题设、结论分别是什么？
师生活动：通过比较题设和结论，引出逆命题的概念，理解逆命题的概念及互逆命题之间的关系.
教师追问2：如何证明命题2？
师生活动：学生独立画出图形，写出已知、求证，教师通过多媒体资源（或板书）显示图形、已知及求证.
已知:如图，△ABC的三边长a， b，c满足a2+b2=c2.
求证:△ABC是直角三角形.
【问题4】要证明△ABC是直角三角形，只要证明∠C=90°.由命题的已知条件，能直接证明吗?
教师追问:对于△ABC，我们难以直接证明它是一个直角三角形，怎么办?
师生活动:教师启发，如果能证明△ABC与一个以a，b为直角边长的Rt△A'BC'全等，那么就证明了△ABC是直角三角形.为此，我们可以先构造 Rt△A'B'C'.
如图，在△A′B′C′中，∠C′=90°，A′B′2＝B′C′2＋A′C′2＝a2＋b2，
∵a2＋b2＝c2，∴A′B′＝c.
在△ABC和△A′B′C′中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(B′C′＝BC＝a，,A′C′＝AC＝b，,A′B′＝AB＝c，))
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).
∴∠C＝∠C′＝90°，即△ABC是直角三角形．
归纳：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.这个定理称为勾股定理的逆定理．
【问题5】(1)如果原命题成立，那么逆命题也一定成立吗？
(2)你能举出互为逆定理的例子吗？
师生活动：教师出示问题，学会分组探究．教师深入各小组进行帮助和指导．教师汇总学生的讨论结果．
教师引导学生注意在比较中重新认识勾股定理和勾股定理的逆定理：
勾股定理
勾股定理的逆定理
内容
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2
如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形
题设
直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c
三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2
结论
a2＋b2＝c2
这个三角形是直角三角形
用途
是直角三角形的一个性质
判定直角三角形的一种方法
3.学以致用，应用新知
考点1 利用勾股定理的逆定理判断三角形是不是直角三角形
【例1】判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：
(1)a＝15，b＝8，c＝17； (2)a＝13，b＝14，c＝15.
解：(1)因为152＋82＝225＋64＝289，172＝289，
所以152＋82＝172，这个三角形是直角三角形．
(2)因为132＋142＝169＋196＝365，152＝225，
所以132＋142≠152，这个三角形不是直角三角形．
师生活动：学生说出问题(1)的判断思路，教师板书详细解答过程，部分学生板演问题(2).教师纠正学生出现的问题，最后介绍勾股数的概念.
在活动中教师应重点关注:(1)学生的解题过程是否规范.(2)是不是用两条较小边长的平方和与较大边长的平方进行比较.(3)是否理解了勾股数的概念，即勾股数必须满足以下两个条件:①以三个数为边长的三角形是直角三角形;②三个数必须是正整数.
考点2 勾股定理逆定理的实际应用
【例2】如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 nmile，“海天”号每小时航行12 nmile.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30 nmile.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
解：根据题意，得PQ＝16×1.5＝24，PR＝12×1.5＝18，QR＝30.
∵242＋182＝302，即PQ2＋PR2＝QR2，∴∠QPR＝90°
由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1＝45°，则∠2＝45°，即“海天”号沿西北方向航行．
4.随堂训练，巩固新知
（1）以下列各组数为三边长的三角形中，是直角三角形的有( )
①3，4，5;②1，2，4;③32，42，52;④6，8，10.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案：B
（2）下列各命题的逆命题成立的是( )
A.对顶角相等 B．两直线平行，同位角相等
C.若a＝b，则|a|＝|b| D．全等三角形的对应角相等
答案：B
（3）若一个三角形的三边长分别是a，b，c，且满足等式(a+b)2-c2=2ab，则此三角形是( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
答案：A
（4）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1，且∠B＝90°，求∠DAB的度数．
解：连接AC.∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，
∴AC＝2 eq \r(2) ，∠BAC＝45°.
∵CD＝3，DA＝1，∴AC2＋DA2＝8＋1＝9＝CD2.∴△ACD是直角三角形，且∠CAD＝90°.∴∠DAB＝45°＋90°＝135°.
5.课堂小结，自我完善
（1）什么是勾股定理的逆定理？如何表述？
（2）判断一个三角形是不是直角三角形有哪些方法？
（3）什么是命题？什么是原命题？什么是逆命题？
6.布置作业
教材P33练习第1-3题；
教材P34习题17.2第1-5题.
通过对前面所学知识的归纳总结，联想到用三边的关系是否可以判断一个三角形为直角三角形，引导学生自然合理地提出问题.
介绍前人经验，启发思考，使学生意识到数学知识来源于生活实际，激发学习兴趣.
教学中先要求学生画几个三角形，测量边长，然后计算边长的平方，并分析最长边的平方与其他两边平方和之间的关系，最后引导得出结论，这种测量、计算、归纳和猜想的过程，是典型的几何探索过程.
引导学生用图形和数学符号语言表示命题，明确任务.
本问题中，难以直接证明△ABC是直角三角形.联想到三角形全等这一工具，通过构造直角三角形，证明当前三角形与一个直角三角形全等，从而证明当前三角形是直角三角形.让学生体会这种证明思路的合理性，帮助学生突破难点.
通过比较勾股定理及其逆定理的题设和结论，进一步理解互逆命题(定理)的概念及互逆命题之间的关系.
通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，即勾股定理的逆定理及其运用.
通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果.
及时反馈教与学双边活动的结果，查缺补漏，培养学生养成系统整理知识的好习惯．
板书设计
勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理
2.互逆命题与互逆定理
3.勾股数
例题 练习
教学反思
在本课时教学过程中，应以师生共同探讨为主．激励学生回答问题，激发学生的求知欲．课堂上师生互动频繁，既保证课堂教学进度，又提高课堂学习效率．学生在探讨过程中也加深了对知识的理解和记忆．
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