数学八年级下册第十六章 二次根式16.1 二次根式教学设计

这是一份数学八年级下册第十六章 二次根式16.1 二次根式教学设计，共32页。教案主要包含了情境导入，课堂引入，应用举例等内容，欢迎下载使用。


16.1 二次根式
第1课时 二次根式的概念
16.1 二次根式
第2课时 二次根式的性质
16.2 二次根式的乘除
第1课时 二次根式的乘法
16.2 二次根式的乘除
第2课时 二次根式的除法
16.3 二次根式的加减
第1课时 二次根式的加减
16.3 二次根式的加减
第2课时 二次根式的混合运算
第16单元
本单元所需课时数
6课时
课标要求
1.了解二次根式、最简二次根式的概念.
2.了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算.
教材分析
在学习平方根和整式的基础上，本章进一步研究二次根式的概念、性质和运算，目的是以二次根式这一类典型的“式”为载体，进一步学习对数字、符号进行运算的方法，体会通过符号运算所得结果的一般性，进而培养符号意识和运算能力，同时为后面勾股定理、一元二次方程、二次函数等内容的学习做好准备．
主要内容
本章的主要内容是二次根式的概念、性质和运算.主要包括三节：第16.1节“二次根式”主要介绍二次根式的概念和性质；第16.2节“二次根式的乘除”主要研究二次根式的乘除运算法则和二次根式的化简；第16.3节“二次根式的加减”研究二次根式的加减运算法则，并在学习加、减、乘、除运算法则的基础上进行二次根式的混合运算.
教学目标
1.理解二次根式的概念，理解并掌握二次根式有意义的条件．
2.理解二次根式的两个性质( eq \r(a) )2＝a(a≥0)和 eq \r(a2) ＝a(a≥0)，会运用二次根式的性质进行有关计算和化简．
3.理解 eq \r(a) · eq \r(b) ＝ eq \r(ab) (a≥0，b≥0)，并运用它进行计算．
4.利用逆向思维，得出 eq \r(ab) ＝ eq \r(a) · eq \r(b) (a≥0，b≥0)，并运用它进行解题和化简．
5.理解 eq \f(\r(a),\r(b)) ＝ eq \r(\f(a,b)) (a≥0，b>0)，并能利用它进行计算和化简．
6.利用逆向思维，得出 eq \r(\f(a,b)) ＝ eq \f(\r(a),\r(b)) (a≥0，b>0)，并运用它进行解题和化简．
7.会进行二次根式的加减法运算．
8.掌握混合运算的法则，合理使用运算律，能熟练地进行二次根式的混合运算．
课时分配
16.1 二次根式 2课时
16.2 二次根式的乘除 2课时
16.3 二次根式的加减 2课时
教与学建议
1.注意代数学的整体性.
2.加强归纳法，使学生经历从特殊到一般的认识过程.
3.加强运算技能训练，提高运算能力.
课题
二次根式的概念
课型
新授课
教学内容
教材第2-3页的内容
教学目标
1.根据算术平方根的意义了解二次根式的概念，知道被开方数必须是非负数的理由．
2.能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系．
3.通过对二次根式的概念的探究，提高数学探究和归纳能力．
4.经历观察、归纳、总结等数学活动，感受数学的严谨性和趣味性．
教学重难点
教学重点：从算术平方根的意义出发理解二次根式的概念．
教学难点：确定二次根式中字母的取值范围.
教 学 过 程
备 注
1.创设情境，引入课题
【问题1】用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？
(1)面积为3的正方形的边长为________，面积为S的正方形的边长为________；
(2)一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130 m2，则它的宽为________m;
(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与开始落下的高度h(单位：m)满足关系式h＝5t2.若用含有h的式子表示t，则t＝________．
师生活动：学生思考并完成上述问题，用算术平方根表示结果，教师进行适当引导和评价，帮助学生实现从数的算术平方根到用含有字母的式子表示算术平方根的抽象.
教师追问：第（1）（2）题中得到 eq \r(3) ， eq \r(S) ， eq \r(65) 的依据是什么？这三个式子有什么区别和联系？
师生活动：由学生回答.依据是算术平方根的定义.区别是 eq \r(3) ， eq \r(65) 分别表示具体数3，65的算术平方根， eq \r(S) 是字母S表示的数的算术平方根；联系是都表示非负数的算术平方根.
2.抽象概括，形成概念
【问题2】（1）观察上面得到的式子 eq \r(3) ， eq \r(S) ， eq \r(65) ， eq \r(\f(h,5)) ，它们有什么共同特征？
(2)你能用一个式子表示一个非负数的算术平方根吗？
师生活动：教师提出问题，同学生一道分析，体会这些式子的特征，从而引出二次根式的定义.并板书：
一般地，我们把形如（a≥0）形式的式子称为二次根式，其中“”称为二次根号.
教师追问1：4，0的算术平方根分别是什么？-4有没有算术平方根？
教师追问2：被开方数需要满足什么条件？为什么要满足这样的条件？
教师追问3： 当x是怎样的实数时， eq \r(x2) 在实数范围内有意义？ eq \r(x3) 呢？
师生活动：学生独立思考，教师引导学生回顾在实数范围内，负数无平方根，所以被开方数只能是非负数．x为任意实数时，x2都为非负数， eq \r(x2) 都有意义．x≥0时，x3为非负数， eq \r(x3) 有意义．
【问题3】请同学们比较 eq \r(a) 与0的大小.
师生活动：先让学生独立思考.学生的第一反应可能是 eq \r(a) >0， 部分学生能得出 eq \r(a) ≥0这一正确结论.教师引导学生根据概念，分a＞0和a=0两种情况进行讨论.归纳出 eq \r(a) 的双重非负性：被开方数a≥0，a的算术平方根 eq \r(a) ≥0.
3.学以致用，应用新知
考点1 二次根式的概念
【例1】 下列各式中，一定是二次根式的有_______.
分析：判断二次根式应关注两点：
（1）有二次根号“”；
（2）被开方数必须是非负数.因而在所给出四个式子中，只有②③中的式子同时符合两个要求，故应填②③.
考点2 二次根式有意义的条件
【例2】 当x是怎样的实数时， eq \r(x－2) 在实数范围内有意义？
解：由x－2≥0，得x≥2.
当x≥2时， eq \r(x－2) 在实数范围内有意义．
【变式】求下列二次根式中字母在实数范围内取何值有意义：
⑴； ⑵； ⑶； ⑷.
【例3】若 eq \r(2x－1) ＋ eq \r(1－2x) ＋1在实数范围内有意义，则x满足的条件是( )
A.x≥ eq \f(1,2) B．x≤ eq \f(1,2) C．x＝ eq \f(1,2) D．x≠ eq \f(1,2)
答案：C
师生活动：学生先独立完成作答，教师对二次根式被开方数大于等于零再次进行强调．
4.随堂训练，巩固新知
（1）下列式子： eq \r(5) ，， eq \r(a2) ， eq \r(－7) ， eq \r(\f(1,2)) ，其中属于二次根式的有( )
A.2个 B．3个 C．4个 D．5个
答案：C
（2）已知 eq \r(a) 是二次根式，则a的值可以是( )
A.－2 B．－1 C．2 D．－8
答案：C
（3）一个用电器的电阻为R，消耗的电功率为P，它两端的电压为U，其关系式为P=，则U可以表示成( )
A.U= B.U= C.U= D.U=
答案：C
（4）使式子 eq \f(1,\r(x－2)) 有意义的x的取值范围是 ．
答案：x＞2
（5）已知实数x，y满足y＝+-5，求x²+2xy + y²的值．
解：根据二次根式的定义，得3－x≥0，x－3≥0，
所以x＝3，y＝-5.则x²-2xy+y²=（x+y）²＝4.
5.课堂小结，自我完善
（1）二次根式的概念：一般地，我们把形如（a≥0）形式的式子称为二次根式.
（2）二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0.
（3）二次根式的双重非负性：被开方数a≥0，a的算术平方根 eq \r(a) ≥0.
6.布置作业
教材P5习题16.1第1，3，5，6，7，10题
从学生已有的知识出发，由平方根过渡到二次根式的学习．
在此之前，可以先回顾平方根和算术平方根的概念.
通过观察、归纳、总结等过程，让学生发现二次根式的概念，发展符号意识.通过追问，采用从具体到抽象的方式，归纳出二次根式有意义的条件.教师提问进一步发现二次根式的双重非负性，从而培养学生的抽象逻辑思维．
通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，包括二次根式的概念、二次根式有意义的条件.
通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果.
通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用.
板书设计
二次根式的概念
1.二次根式的概念： 例题
2.二次根式有意义的条件： 练习
教学反思
1.通过将新知识与旧知识进行联系与对比，随后从学生熟悉的实际问题出发，引导学生用已有的知识进行探究，师生互动.体现教师的组织者、引导者与合作者地位.
2.注意知识之间的衔接，在温故知新的过程中引导出新知，讲练结合旨在巩固学生对新知的理解.
课题
二次根式的性质
课型
新授课
教学内容
教材第3-4页的内容
教学目标
1.理解二次根式的两个性质( eq \r(a) )2＝a(a≥0)和 eq \r(a2) ＝a(a≥0)；
2.会运用二次根式的性质进行有关计算和化简；
3.通过对 eq \r(a2) 的化简，了解分类讨论的思想；
4.利用乘方与开方互为逆运算推导结论( eq \r(a) )2＝a(a≥0)，感受数学知识的内在联系．
教学重难点
教学重点：二次根式的两个性质：( eq \r(a) )2＝a(a≥0)， eq \r(a2) ＝a(a≥0).
教学难点：二次根式性质的运用与二次根式的化简.
教 学 过 程
备 注
1.回顾旧知，情境导入
【回顾1】 eq \r(5) ， eq \r(a) 有意义吗？为什么？
【回顾2】 eq \r(5) 表示的意义是什么？ eq \r(a) 表示的意义是什么？
师生活动：学生回忆并回答，回顾二次根式的概念.
【情境导入】如图是一幅正方形中式壁画，面积为a，求它的边长，并用所求得的边长表示出面积，你发现了什么？
师生活动：引导学生思考，正方形的边长为 eq \r(a) ， 用边长表示正方形的面积为（ eq \r(a) ）²，又∵面积为a，∴（ eq \r(a) ）²=a.
教师追问:这个式子是不是对所有的二次根式都成立呢？
2.活动探究，学习新知
【问题1】根据算术平方根的意义填空：
( eq \r(4) )2＝________；( eq \r(2) )2＝________；
( eq \r(\f(1,3)) )2＝________；( eq \r(0) )2＝________．
教师追问：观察上面几个式子有什么共同点？能够用含字母的式子归纳出来吗？
师生活动：请学生口答结果，组织学生小组讨论思考，教师再予以评价与补充，最后一起归纳出二次根式的性质1.
归纳：一般地，
eq \x(（\r(a)）2＝a（a≥0）)
【问题2】填空：
eq \r(22) ＝________； eq \r(0.012) ＝________；
eq \r(（\f(2,3)）2) ＝________； eq \r(02) ＝________．
教师追问1：请学生计算出上面各式的答案，类比性质1的探究过程，尝试用字母a写出你的猜想．
教师追问2： eq \r(（－4）2) ＝________； eq \r(（－\f(1,7)）2) ＝________．
教师追问3：a的取值范围有什么要求？
师生活动：学生独立思考，教师引导学生类比思考，得出二次根式的性质2.
总结： 当a≥0时， eq \r(a2) ＝a；当a<0时， eq \r(a2) ＝－a.
根据绝对值的意义可知：
当a≥0时，|a|＝a；当a<0时，|a|＝－a.由此可知： eq \r(a2) ＝|a|.
由于 eq \r(a) (a≥0)表示非负数a的算术平方根，根据平方根的意义， eq \r(a) 的平方等于a，因此我们就得到一个结论：
eq \x(（\r(a)）2＝a（a≥0）)
最后，回顾学过的式子，老师提出代数式的概念：如5，a，a+b，-ab，，-x3，，(a≥0)，用基本运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字母连接起来的式子，叫做代数式．
3.学以致用，应用新知
考点1 二次根式的性质：( eq \r(a) )2＝a(a≥0)
例1 计算：(1)( eq \r(1.5) )2；(2)(2 eq \r(5) )2.
解：(1)原式＝1.5.
(2)原式＝20.
考点2 二次根式的性质： eq \r(a2) ＝a(a≥0)
例2 化简：(1) eq \r(16) ；(2) eq \r(（－5）2) .
解：(1)原式＝4.
(2)原式＝5.
师生活动：教师对二次根式的两条性质之间的区别作出强调．
( eq \r(a) )2
eq \r(a2)
意义不同
表示一个非负数a的算术平方根的平方
表示一个实数a的平方的算术平方根
从运算顺序看
先开方，后平方
先平方，后开方
从取值范围看
a≥0
a取任何实数
从运算结果看
a
|a|
4.随堂训练，巩固新知
（1）下列式子中，计算正确的是( )
A. eq \r(－5) ＝－ eq \r(5) B．－ eq \r(3.6) ＝－0.6
C. eq \r(（－13）2) ＝13 D．(－ eq \r(6) )2＝36
答案：C
（2）若 eq \r(（x－3）2) ＝3－x，则x的取值范围是 ．
答案：x≤3.
（3）计算：
① ； ② .
答案：①3；②18.
（4）说出下列各式的值：
①； ② ； ③； ④ .
答案：①0.3；②；③-π；④.
（5）若实数a，b，c在数轴上的位置如图，则化简： eq \r(a2) －|b－c|．
答案：－a＋b－c.
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解，并让学生说出运用的是哪条性质．
5.课堂小结，自我完善
（1）二次根式的性质：( eq \r(a) )2＝a(a≥0)；
（2）二次根式的性质： eq \r(a2) ＝a(a≥0)；
（3）代数式：用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子.
6.布置作业
教材P5习题16.1第2，4题.
通过对算术平方根和二次根式被开方数的取值范围的回顾，巩固上节课的学习成果，也为学习本节课打好基础.
从正方形的边长和面积引出（ eq \r(a) ）²=a，让学生理解 eq \r(a) 的实际意义，并顺利过渡到（ eq \r(a) ）²的问题情境.
在探究栏目中给出几个具体问题，让你学生用算术平方根的意义分析出数字得出结果，然后概括它们的共同特征，由特殊到一般地归纳得出二次根式的性质1.
通过问题串带领学生进入思考中，引导学生自主探究，小组合作，类比归纳，发现二次根式的性质2，锻炼学生自主学习的能力，培养其数学思维的严谨性．
通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，即二次根式的性质，并运用二次根式的性质进行计算和化简.
通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果.
学生相互交流，回顾知识，反思问题，共同发展提高.
课后练习巩固，让所学知识得以运用.
板书设计
二次根式的性质
1.二次根式的性质：( eq \r(a) )2＝a(a≥0) 例题
2.二次根式的性质： eq \r(a2) ＝a(a≥0) 练习
3.代数式
教学反思
1.注意前后知识的联系，在复习旧知的过程中导入本节课的数学内容，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度.
2.在总结二次根式的性质过程中，由学生经过观察、分析的过程，让学生在交流中体会成功.
3.教师在课堂教学中要注意引导学生进行探究学习，本节课，对学生探索求知作出了引导，鼓励学生自由发言，但小组间的合作不够融洽，今后的教学中应多培养学生合作交流的意识，这样有助于他们以后的学习和生活．
课题
二次根式的乘法
课型
新授课
教学内容
教材第6-7页的内容
教学目标
1.理解 eq \r(a) · eq \r(b) ＝ eq \r(ab) (a≥0，b≥0)，并运用它进行计算．
2.利用逆向思维，得出 eq \r(ab) ＝ eq \r(a) · eq \r(b) (a≥0，b≥0)，并运用它进行解题和化简．
3.经历二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质的形成过程．
4.通过合作探究，激发学生积极参与数学学习的兴趣，培养合作交流能力．
教学重难点
教学重点：二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质．
教学难点：能利用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质化简二次根式．
教 学 过 程
备 注
1.创设情境，引入新课
【课堂引入】
计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？
(1) eq \r(4) × eq \r(9) ＝________， eq \r(4×9) ＝________．
(2) eq \r(16) × eq \r(25) ＝________， eq \r(16×25) ＝________．
(3) eq \r(25) × eq \r(36) ＝________， eq \r(25×36) ＝________．
师生活动：教师出示问题，引导学生观察运算结果，并小组讨论，引导学生发现式子有什么规律．学生计算、观察、分小组讨论，体会结果的特点.
2.发现探究，学习新知
【问题1】参考上面的结果，用“>”“<”或“＝”填空，并用计算器加以验证．
教师追问：你找出二次根式乘法运算的规律了吗？尝试写出含字母的二次根式等式？
师生活动：学生独立思考后再小组内交流想法，最后全班分享，教师帮助完善和补充，得出法则．
结论：一般地，二次根式的乘法法则是
eq \r(a) · eq \r(b) ＝ eq \r(ab) (a≥0，b≥0).
【问题2】把 eq \r(a) · eq \r(b) ＝ eq \r(ab) 反过来，仍然成立吗？
学生分组讨论，师生共同总结，得出积的算术平方根的性质 eq \r(ab) ＝ eq \r(a) · eq \r(b) (a≥0，b≥0).
教师追问1：a，b的取值有什么特点？
教师追问2：为什么要满足这样的关系？
教师追问3：积的算术平方根的性质和二次根式的乘法法则在用法上有什么区别和联系？
总结：积的算术平方根的性质可以进行二次根式的化简．
注意：(1)公式中的非负数的条件；
(2)在被开方数相乘时，就应该考虑因式分解(或因数分解)；
(3) eq \r(a) · eq \r(b) ＝ eq \r(ab) 可推广为： eq \r(a) · eq \r(b) · eq \r(c) ＝ eq \r(abc) (a≥0，b≥0，c≥0).
3.学以致用，应用新知
考点1 利用二次根式的乘法法则进行运算
【例1】计算：（1） eq \r(3) × eq \r(5) ；（2） eq \r(\f(1,3)) × eq \r(27) .
解：（1）原式＝ eq \r(15) .（2）原式＝3.
考点2 积的算术平方根的性质
【例2】化简：（1） eq \r(16×81) ；（2） eq \r(4a2b3) .
解：（1）原式＝36.（2）原式＝2|ab| eq \r(b) .
考点3 二次根式的乘法运算
【例3】计算：
(1) eq \r(14) × eq \r(7) ；(2)3 eq \r(5) ×2 eq \r(10) ；(3) eq \r(3x) · eq \r(\f(1,3)xy) .
解：(1)原式＝7 eq \r(2) .(2)原式＝30 eq \r(2) .(3)原式＝x eq \r(y) .
师生活动：教师引导、点拨、巡视，指定不同学生到黑板做题，对有困难的同学适时给予指导，完成后师生共同评析．通过例2的学习，告诉学生在化简时，一般先将被开方数进行因数分解或因式分解，再将能开得尽方的因数或因式开出来.通过例3的学习，提醒学生注意，在被开方数相乘的时候可先考虑因数分解或因式分解.
4.随堂训练，巩固新知
（1）下列各等式成立的是( )
A.4 eq \r(5) ×2 eq \r(5) ＝8 eq \r(5) B．5 eq \r(3) ×4 eq \r(2) ＝20 eq \r(5)
C.4 eq \r(3) ×3 eq \r(2) ＝7 eq \r(5) D．5 eq \r(3) ×4 eq \r(2) ＝20 eq \r(6)
答案：D
（2）计算：① eq \r(2) × eq \r(5) ；② eq \r(3) × eq \r(12) ；③2 eq \r(xy) · eq \r(\f(1,x )) .
解：①原式＝ eq \r(10) .②原式＝6.③原式＝2 eq \r(y) .
（3）化简：① eq \r(49) × eq \r(121) ；② eq \f(1,5) eq \r(125) ；
③ eq \r(4y) ；④ eq \r(2xy2) · eq \r(8xy) .
解：①原式＝77.②原式＝.
③原式＝2 eq \r(y) .④原式＝4xy.
（4）一个长方形的长和宽分别是 eq \r(10) cm和2 eq \r(2) cm，则这个长方形的面积为 cm2.
答案：4 eq \r(5)
师生活动：学生自主完成，教师巡视，对学生解题过程中出现的问题及时予以指正，帮助学生加深理解，对优秀者应予以表扬鼓舞，让学生体验成功的快乐.
5.课堂小结，自我完善
（1）二次根式的乘法法则：eq \r(a)·eq \r(b)＝eq \r(ab)(a≥0，b≥0)；
推广： eq \r(a) · eq \r(b) · eq \r(c) ＝ eq \r(abc) (a≥0，b≥0，c≥0).
（2）积的算术平方根：eq \r(ab)＝eq \r(a)·eq \r(b)(a≥0，b≥0).
6.布置作业
教材P7练习第1，2题；
教材P10习题16.2第1题.
培养学生的观察能力以及合作解决问题的习惯；让学生经历从特殊到一般的认知过程．
通过观察、归纳、总结、验证等过程，让学生发现二次根式的乘法法则．
由学生自主完成，相互交流，感受新知.
利用逆向思维发现新知识是探索新知的一个常见思路，让学生感受到逆向思维中要保证结论的正反两个角度都有充分且必要的条件作保证.
例1是利用二次根式的乘法法则进行具体运算，例2是利用积的算术平方根的性质对二次根式进行化简，例3是进行二次根式的乘法运算，在计算过程中既要用到二次根式的乘法法则，又要用到积的算术平方根的性质，是例1和例2的综合.
随堂训练，及时获知学生所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．
通过课堂小结的形式，引导学生对本节课所学知识进行整理，同时明确学习重点．
板书设计
二次根式的乘法
1.二次根式的乘法法则
2.积的算术平方根
例题 练习

教学反思
1.新课导入时教师要注重学生自主探索能力的培养.在指导教学过程中，激发和鼓励学生的学习探究;提问有序、有提示、有鼓励、有启发，问在有疑之处.
2.二次根式的乘法是建立在二次根式的基础上的，所以在学习中侧重于引导学生利用与乘法相类似的方法去学习，从而降低学习的难度，提高学习的效率.
3.整个教学过程始终要把学生摆在第一位，真正把课堂交给学生，让他们变成学习的主体.给学生提供自主探索的机会，让学生的学习过程成为-个再探索、再发现的过程.
课题
二次根式的除法
课型
新授课
教学内容
教材第8-10页的内容
教学目标
1.理解 eq \f(\r(a),\r(b)) ＝ eq \r(\f(a,b)) (a≥0，b>0)，并能利用它进行计算和化简．
2.利用逆向思维，得出 eq \r(\f(a,b)) ＝ eq \f(\r(a),\r(b)) (a≥0，b>0)，并运用它进行解题和化简．
3.掌握用从特殊到一般的方法，解决数学问题．
4.通过合作探究，激发求知欲，了解类比思想．
教学重难点
教学重点：二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质．
教学难点：能利用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质化简二次根式．
教 学 过 程
备 注
1.创设情境，引入新课
【课堂引入】
师:同学们还记得二次根式的乘法法则吗?
生:eq \r(a)·eq \r(b)＝eq \r(ab)(a≥0，b≥0).
师:我们是怎样得到二次根式的乘法法则的?
生:从特殊的几个算式中归纳出来的.
师:接下来，我们用类似的方法来研究二次根式的除法.
2.发现探究，学习新知
【问题1】计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？
(1) eq \f(\r(4),\r(9)) ＝________， eq \r(\f(4,9)) ＝________；
(2) eq \f(\r(16),\r(25)) ＝________， eq \r(\f(16,25)) ＝________；
(3) eq \f(\r(36),\r(49)) ＝________， eq \r(\f(36,49)) ＝________．
师生活动：教师出示问题，引导学生观察运算结果，总结规律．
教师追问1：参考上面的结果，用“>”“<”或“＝”填空，并用计算器加以验证．
教师追问2：你找出二次根式除法运算的规律了吗？
师生活动：请学生总结上述规律，类比二次根式的乘法法则，尝试写出二次根式除法法则的表达式.
结论：一般地，二次根式的除法法则是
eq \f(\r(a),\r(b)) ＝ eq \r(\f(a,b)) (a≥0，b>0).
【应用举例】
例1 计算：(1) eq \f(\r(24),\r(3)) ；(2) eq \r(\f(3,2)) ÷ eq \r(\f(1,18)) .
解：(1)原式＝ eq \r(8) ＝ eq \r(4×2) ＝2 eq \r(2) .
(2)原式＝ eq \r(\f(3,2)×18) ＝ eq \r(27) ＝3 eq \r(3) .
【问题2】把 eq \f(\r(a),\r(b)) ＝ eq \r(\f(a,b)) (a≥0，b>0)反过来，仍然成立吗？
学生分组讨论，师生共同总结，得出商的算术平方根的性质 eq \r(\f(a,b)) ＝ eq \f(\r(a),\r(b)) (a≥0，b>0).
教师追问1：你能理解这个二次根式除法的逆运算吗？
教师追问2：类比积的算术平方根的性质，你能说说商的算术平方根的性质有什么作用吗？
师生活动：教师组织学生独立思考后，再请同学分享想法，全班共同点评．
总结：商的算术平方根的性质可以进行二次根式的化简．
注意：(1)当a＜0，b＜0时，虽然 eq \r(\f(a,b)) 有意义，但是 eq \r(\f(a,b)) ＝ eq \f(\r(－a),\r(－b)) ，而不等于 eq \f(\r(a),\r(b)) .
(2)如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数，再做计算．
【应用举例】
例2 化简：(1) eq \r(\f(3,100)) ；(2) eq \r(\f(75,27)) .
解：(1)原式＝ eq \f(\r(3),\r(100)) ＝ eq \f(\r(3),10) .
(2)原式＝ eq \r(\f(52×3,32×3)) ＝ eq \r(\f(52,32)) ＝ eq \f(5,3) .
师生活动：学生独立思考作答，教师提示解题过程中考虑如何逆用二次根式的除法法则，体会逆用法则的意义．
例3 计算：
(1) eq \f(\r(3),\r(5)) ；(2) eq \f(3\r(2),\r(27)) ；(3) eq \f(\r(8),\r(2a)) .
解：(1)原式＝ eq \r(\f(3,5)) ＝ eq \r(\f(3×5,5×5)) ＝ eq \r(\f(15,52)) ＝ eq \f(\r(15),\r(52)) ＝ eq \f(\r(15),5) .
(2)原式＝ eq \f(3\r(2),\r(32)×\r(3)) ＝ eq \f(\r(2),\r(3)) ＝ eq \f(\r(2)×\r(3),\r(3)×\r(3)) ＝ eq \f(\r(6),3) .
(3)原式＝ eq \f(\r(8)·\r(2a),\r(2a)·\r(2a)) ＝ eq \f(4\r(a),2a) ＝ eq \f(2\r(a),a) .
师生活动：学生板书演示，小组评价，教师补充引导注意事项．
【问题3】观察上面例1、例2、例3中各小题的最后结果，总结二次根式的运算结果应该成为什么样的形式才不用继续化简?
师生活动：学生分组讨论，共同总结.
最简二次根式的特征:
(1)被开方数中不含分母;
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
在二次根式的运算中，一般要把结果化成最简二次根式，并且分母中不含二次根式．
例4 下列二次根式中，是最简二次根式的有_______（填序号）.
答案：2
3.学以致用，应用新知
【例5】设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b.已知S=2 eq \r(3) ，b= eq \r(10) ，求a.
解：因为S＝ab，所以a＝ eq \f(S,b) ＝ eq \f(2\r(3),\r(10)) ＝ eq \f(2\r(3)×\r(10),\r(10)×\r(10)) ＝ eq \f(\r(30),5) .
师生活动：学生独立完成为主，有困难的可以小组讨论，同学互助完成，教师再检查点评．
4.随堂训练，巩固新知
（1）下列根式中，不是最简二次根式的是( )
A. eq \r(10) B． eq \r(8) C． eq \r(6) D． eq \r(5)
答案：B
（2）计算：①eq \f(\r(0.76),\r(0.19))；② eq \f(\r(12ab),\r(3a)) .
答案：①2；②2 eq \r(b) ．
（3）化简：① eq \r(1\f(15,49)) ；② eq \r(\f(25a4,9b2)) (b>0).
答案：① eq \f(8,7) ；② eq \f(5a2,3b) .
（3）若二次根式 eq \r(3a＋5) 是最简二次根式，求正整数a的最小值．
答案：2.
（4）计算：
① eq \r(27) ÷ eq \r(18) × eq \r(2) ；② eq \r(\f(1,2)) ÷(－ eq \r(12) )×3 eq \r(24) .
答案：① eq \r(3) ；②－3.
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
5.课堂小结，自我完善
师生共同回顾：
（1）=（a≥0，b＞0）和=（a≥0，b＞0）及其应用；
（2）最简二次根式的意义.
6.布置作业
教材P10练习第1，2题；
教材P10习题16.2第2题.
类比二次根式乘法的研究方法来研究二次根式的除法，让学生自主探究，感受二次根式除法运算中所蕴含的规律性特征，获得二次根式相除的感性认识，导入新课.
先列出几个平方数的根式运算，让学生观察、猜想，再用一般的数的根式进行验证，从而总结出二次根式除法的法则.
通过例题及时巩固所学新知.
类比积的算术平方根，利用逆向思维发现商的算术平方根，并思考商的算术平方根的应用，在获取新知的同时培养学生的类比思想.
通过典型例题的讲解，帮助学生掌握本课时的主要内容，理解二次根式的化简过程．
例5进一步巩固所学知识，培养学生的应用意识和能力．
设计不同形式的习题，为学生提供演练机会，从多个角度检测学生对二次根式除法的掌握情况，强化学生的运算能力．
教师让学生自由交流，总结本节课的知识要点，同时进行自我反思，提高认知，加深对所学知识的理解.
板书设计
二次根式的除法
1.二次根式的除法法则 练习
例题
2.商的算术平方根
例题
3.最简二次根式
例题
教学反思
1.创设情境，复习二次根式的乘积，旨在类比学习二次根式的除法，培养学生继续探究的兴趣.
2.二次根式除法的学习过程，按照由特殊到一般的规律，由学生经历思考、讨论、分析的过程，让学生大胆猜测，使学生在交流中体会成功.
课题
二次根式的加减
课型
新授课
教学内容
教材第12-13页的内容
教学目标
1.通过合并被开方数相同的二次根式，会进行二次根式的加减法运算．
2.会二次根式的加减，能通过加减法运算解决实际问题．
3.通过整式的加减运算与二次根式的加减运算比较，体会类比思想．
4.经历探究二次根式加减法法则的过程，激发学习热情，体验成功的快乐．
教学重难点
教学重点：二次根式的加减运算.
教学难点：正确合并被开方数相同的二次根式，二次根式加减法的实际应用．
教 学 过 程
备 注
1.创设情境，提出问题
【问题1】现有一块长7.5 dm、宽5 dm的木板，能否采用如图所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2的正方形木板？
师生活动：出示问题，教师引导学生认真读题，分析题意．
教师追问1：两个正方形木块的边长分别是多少？
教师追问2：能截出两块正方形木板的条件是什么？能用数学式子表示这个条件吗？
师生活动：引导学生分析出“长够、宽也够”的条件，并把条件表示为数学式子： eq \r(8) ＋ eq \r(18) ≤7.5， eq \r(8) ≤5， eq \r(18) ≤5.从而把问题转化为判断 eq \r(8) ＋ eq \r(18) 与7.5的大小关系.
教师追问3：你认为可以怎样计算 eq \r(8) ＋ eq \r(18) ？
师生活动：学生分组讨论，学生可能会想到直接取近似值.教师可以引导学生分析其中存在的问题（例如，两次取近似值影响精确度），并寻求解决问题的方法，即先化简再求近似值，从而出本节课的学习任务.
2.合作探究，形成知识
【问题2】如何化简 eq \r(8) ＋ eq \r(18) ？
教师追问1：你能类比合并同类项化简3 eq \r(2) + eq \r(2) 吗？
师生活动：教师引导学生回忆合并同类项的方法，并说明算理（分配律）.
3 eq \r(2) + eq \r(2) =（3+1） eq \r(2) =4 eq \r(2) .
教师追问2：这里的两个二次根式有什么共同特征？你能得到这样的两个二次根式加减的方法吗？
师生活动：教师引导学生分析，得出共同特征是二次根式的被开方数相同.这样的二次根式加减，与合并同类项类似，可以利用分配律对它们进行合并.
教师追问3：由3 eq \r(2) + eq \r(2) 的运算过程，你能想到怎样计算 eq \r(8) ＋ eq \r(18) 了吗？
师生活动：教师引导学生得到“先化为最简二次根式，再合并”的运算步骤：
一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
注意：
(1)合并就是把二次根式根号外的因式或因数加起来，包含前面的符号，被开方数和根指数不变；
(2)当二次根式的系数是带分数时，必须将其化成假分数；
(3)化简后，被开方数不相同的根式不能合并．
教师追问4：现在你能解决问题1了吗？
师生活动：由学生独立完成解答，再全班交流.
3.学以致用，应用新知
考点1 二次根式的加减运算
【例1】 计算：
(1) eq \r(80) － eq \r(45) ；(2) eq \r(9a) ＋ eq \r(25a) .
解：(1)原式＝4 eq \r(5) －3 eq \r(5) ＝ eq \r(5) .
(2)原式＝3 eq \r(a) ＋5 eq \r(a) ＝8 eq \r(a) .
【例2】计算：(1)2 eq \r(12) －6 eq \r(\f(1,3)) ＋3 eq \r(48) ；
(2)( eq \r(12) ＋ eq \r(20) )＋( eq \r(3) － eq \r(5) ).
解：(1)原式＝4 eq \r(3) －2 eq \r(3) ＋12 eq \r(3) ＝14 eq \r(3) .
(2)原式＝2 eq \r(3) ＋2 eq \r(5) ＋ eq \r(3) － eq \r(5) ＝3 eq \r(3) ＋ eq \r(5) ．
师生活动：学生板书演示，小组评价，教师巡视提示，关注学生能否正确化简，并再次强调哪些二次根式可以合并，哪些不可以合并．
4.随堂训练，巩固新知
（1）下列根式中可以与 eq \r(5) 合并的是( )
A. eq \r(10) B． eq \r(20) C． eq \r(15) D． eq \r(25)
答案：B
（2）下列计算正确的是( )
A.5 eq \r(3) －4 eq \r(3) ＝1 B． eq \r(2) ＋ eq \r(3) ＝ eq \r(5)
C. eq \r(8) － eq \r(2) ＝ eq \r(2) D．3＋2 eq \r(2) ＝5 eq \r(2)
答案：C
（3）三角形的三边长分别为 eq \r(20) cm， eq \r(40) cm， eq \r(45) cm，则这个三角形的周长为 cm.
答案：5 eq \r(5) ＋2 eq \r(10)
（4）计算：①-；②.
答案：①. ②.
（5）计算：
①5 eq \r(8) －2 eq \r(27) ＋ eq \r(18) ；②2 eq \r(18) － eq \r(50) ＋ eq \f(1,3) eq \r(45) .
答案：①13 eq \r(2) －6 eq \r(3) .② eq \r(2) ＋ eq \r(5) .
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
5.课堂小结，自我完善
回答下面的问题，说说你对二次根式加减运算的认识：
（1）二次根式加减运算的一般步骤是什么？每一个步骤的依据是什么？
（2）在二次根式的加减中，有哪些地方容易出现错误？怎样避免？
6.布置作业
教材P13练习第1.2，3题；
教材P15习题16.3第1，2，3，5题.
以实际问题引入新课，激发学生的学习兴趣，感受本节课学习的必要性，加强新旧知识的联系．
通过提出问题，让学生积极参与到课堂中来，在自主探究中发现问题、总结规律.类比整式的加减，将被开方数相同的二次根式合并．
通过典型例题的讲解，帮助学生掌握本课时的主要内容，理解二次根式的化简过程．
通过随堂练习，巩固课堂所学内容，检测学习效果.
其中，要注意强调二次根式加减运算与乘除运算的联系和区别，避免一些常见的错误，提高解题的准确度．
通过具体问题的思考，引导学生总结二次根式加减的方法、依据及基本思想，实现记忆的结构化、简约化，优化知识结构.
板书设计
二次根式的加减
1.被开方数相同的最简二次根式
2.二次根式的加减
例题
练习

教学反思
1.创设情境，给出实例.由学生主动参与，经过思考、讨论、分析的过程，老师加以启发和引导，类比得出二次根式的加减运算法则.
2.在授课过程中，要以学生为主体，进行探究性学习，让学生自己发现规律，得出结论．在例题的选择上可由简到难，符合学生的认知规律，便于学生掌握知识．在得到定义、法则的过程中，让学生经历发现、思考、探究的过程，体会学习知识的成功与快乐．
课题
二次根式的混合运算
课型
新授课
教学内容
教材第14页的内容
教学目标
1.掌握混合运算的法则，明确三级运算的顺序，合理使用运算律，能熟练地进行二次根式的混合运算．
2.熟练掌握含有二次根式的多项式乘法公式的应用．
3.通过独立思考与小组讨论，培养良好的学习习惯，体会类比思想．
教学重难点
教学重点：混合运算的法则、三级运算的顺序及运算律的合理使用．
教学难点：灵活运用因式分解、约分等技巧，使计算简便．
教 学 过 程
备 注
1.创设情境，引入新课
如果梯形的上、下底边长分别为2 cm，4 cm，高为 cm，那么它的面积是多少?
下面的计算正确吗？
师生活动：教师出示问题，倾听学生的交流，指导学生探究，从而列出正确的式子.
2.发现探究，学习新知
针对上面的问题，在教师的引导下，学生列出算式：(2+4)×.
【问题1】怎样计算(2+4)×?
教师追问：你能联想到我们以前学过的整式运算中的哪一种运算？
师生活动：学生分组讨论，交流合作，探求方法．教师引导学生回忆学习过的整式乘法中的分配律，类比单项式乘多项式尝试计算，并全班交流，得出结论.
总结:有理数乘法的运算律同样适用于二次根式的混合运算.
【问题2】你能根据多项式乘多项式的方法计算下面的式子吗？
( eq \r(3) －2 eq \r(2) )(2 eq \r(3) － eq \r(2) ).
教师追问：你能说出整式的乘法公式吗？你能根据公式计算下列式子吗？
①( eq \r(3) －2 eq \r(2) )( eq \r(3) ＋2 eq \r(2) )；②( eq \r(3) －2 eq \r(2) )2.
师生活动：学生分小组进行交流讨论，教师巡视指导，注意提醒学生2 eq \r(2) 平方时，要把外面的2和 eq \r(2) 都平方．最后请学生类比有理数混合运算的顺序，说出二次根式混合运算的顺序．
归纳：
(1)先乘方，再乘除，最后加减；有括号的先算括号内的；
(2)在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用．
3.学以致用，应用新知
考点1 二次根式的混合运算
【例1】（重庆中考） 计算×-的结果是( )
A.7 B.6 C.7 D.2
答案：B
【例2】计算：
(1)( eq \r(8) ＋ eq \r(3) )× eq \r(6) ；
(2)(4 eq \r(2) －3 eq \r(6) )÷2 eq \r(2) .
解：(1)原式＝4 eq \r(3) ＋3 eq \r(2) .(2)原式＝2－ eq \f(3,2) eq \r(3) .
考点2 乘法公式在二次根式混合运算中的应用
【例3】计算：
(1)( eq \r(2) ＋3)( eq \r(2) －5)；
(2)( eq \r(5) ＋ eq \r(3) )( eq \r(5) － eq \r(3) ).
解：(1)原式＝－13－2 eq \r(2) .(2)原式＝2.
师生活动：学生板书演示，小组评价，教师巡视提示，关注关注学生对运算法则的运用是否正确，并再次强调哪些二次根式可以合并，哪些不可以合并．
4.随堂训练，巩固新知
（1）计算 eq \r(2) ( eq \r(3) － eq \r(12) )的结果为( )
A. eq \r(6) B．－ eq \r(6)
C． eq \r(6) －6 D．6－ eq \r(6)
答案：B
（2）（天津中考）计算(+)(-)的结果等于 .
答案：3
（3）计算：( eq \r(2) ＋ eq \r(3) )2－ eq \r(24) ＝ ．
答案：5
（4）计算：① eq \r(12) ÷ eq \r(3) － eq \r(6) ×2 eq \r(3) ；
② eq \r(48) ÷(－ eq \r(3) )－ eq \r(\f(1,2)) × eq \r(12) ＋ eq \r(24) .
答案：①2－6 eq \r(2) .② eq \r(6) －4.
（5）已知x=2-，求(7+4)x2+(2+)x+的值.
答案:2+
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
5.课堂小结，自我完善
（1）二次根式的四则运算：先算乘方(开方)，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的．
（2）运用乘法公式和运算律进行计算：在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用．
6.布置作业
教材P14练习第1，2题；
教材P1复习题16.3第4，6，8，9题.
创设计算梯形面积的情境，激发学生的学习兴趣，感受本节课学习的必要性，顺利引入新课．
继续就上面的问题进行探讨，让学生在交流探究中成长，学生通过问题的研究明白有理数乘法的运算律同样适用于二次根式的混合运算.
类比整式的混合运算以及乘法公式，学生通过小组合作，很容易得到二次根式混合运算的顺序．
教学中鼓励学生参与探究，合作交流，归纳总结，体会数学的学习乐趣．
通过例题教学，帮助学生巩固所学知识.使学生对二次根式的混合运算能够理解得更到位．
通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果，使学生熟练掌握二次根式的混合运算，提升运算能力.
通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用.
板书设计
二次根式的混合运算
1.二次根式混合运算的顺序 例题
2.乘法公式在二次根式混合运算中的应用 练习


教学反思
情境导入，小组讨论，利用以前的知识探究新知识，体会二次根式的运算与整式的整式运算的联系，有利于学生对知识的系统把握.
教学中要以练习为主，让学生在实例中理解，并及时进行巩固练习和应用新知.同时加强师生交流，以激发学生的学习兴趣.