人教版七年级上册1.2.4 绝对值精品导学案及答案

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知识点01 绝对值的定义与求法
绝对值的定义：
一般地，数轴上表示数的点到 原点 的距离就是数的绝对值。数的绝对值记作 || ，读作 数的绝对值 。
绝对值的求法：
求一个数的绝对值：
由绝对值的定义可知，一个正数的绝对值是 本身 ，一个负数的绝对值是 它的相反数 ，0的绝对值是 0 。
【即学即练1】
1．﹣的绝对值是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：﹣的绝对值是|﹣|＝；
故选：C．
【即学即练2】
2．数轴上有A、B、C、D四个点，其中绝对值等于2的点是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
【解答】解：∵绝对值等于2的数是﹣2和2，
∴绝对值等于2的点是点A．
故选：A．
【即学即练3】
3．已知a＝﹣2，b＝1，则|a|+|﹣b|的值为（ ）
A．3B．1C．0D．﹣1
【解答】解：∵a＝﹣2，b＝1，
∴|a|+|﹣b|＝|﹣2|+|﹣1|＝2+1＝3，
故选：A．
知识点02 绝对值的性质
绝对值的非负性：
由定义可知，绝对值表示到原点的距离，所以不能为 负数 。所以绝对值是一个 非负数 ，所以绝对值具有 非负性 。即若|| ≥ 0。几个非负数的和等于0，这几个非负数一定分别等于0。
即：若||＋||＋...＋||＝0，则一定有 ＝＝...＝＝0 。
题型考点：根据绝对值的非负性求值。
【即学即练1】
4．已知|x﹣2|+|y﹣1|＝0，则x﹣y的相反数为（ ）
A．﹣1B．1C．3D．﹣3
【解答】解：根据题意得：x﹣2＝0，y﹣1＝0，
解得：x＝2，y＝1，
则x﹣y＝2﹣1＝1，
所以x﹣y的相反数为﹣1．
故选：A．
【即学即练2】
5．若|a|+|b|＝0，则a与b的大小关系是（ ）
A．a＝b＝0B．a与b互为倒数
C．a与b异号D．a与b不相等
【解答】解：∵|a|+|b|＝0，|a|≥0，|b|≥0，
∴|a|＝0，|b|＝0，
∴a＝0，b＝0．
故选：A．
知识点03 绝对值与数轴
绝对值与数轴：
在数轴上，一个数离原点越近，绝对值就 越小 ，一个数离原点越远，绝对值 越大 。
题型考点：根据绝对值与数轴进行求解判断。
【即学即练1】
6．一个数的绝对值越小，则该数在数轴上所对应的点，离原点越 ．
【解答】解：一个数的绝对值实际上就是该点与原点间的距离，因而一个数的绝对值越小，则该数在数轴上所对应的点，离原点越近．
故答案为近．
【即学即练2】
7．如图，四个有理数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若n+q＝0，则m，n，p，q四个有理数中，绝对值最小的一个是（ ）
A．pB．qC．mD．n
【解答】解：∵n+q＝0，
∴n和q互为相反数，0在线段NQ的中点处，
∴绝对值最小的点M表示的数m，
故选：C．
知识点04 绝对值与相反数
绝对值与相反数：
①数轴上互为相反数的两个数在原点的两侧，且到原点的距离相等，所以互为相反数的两个数他们的绝对值 相等 。即若与互为相反数，则|| ＝ ||。
②绝对值等于某个正数的数一定有 两个 ，它们 互为相反数 。即若||=，则
＝ ＋ 或﹣。
③绝对值相等的两个数要么 相等 ，要么 互为相反数 。即若||＝||，则有 ＝
或 ＝﹣ 。
题型考点：根据相反数的绝对值进行求解。
【即学即练1】
8．若|x|＝5，则x＝ ．
【解答】解：|x|＝5，则x＝±5．
故答案为：±5．
【即学即练2】
9．已知a＝﹣5，|a|＝|b|，则b的值为（ ）
A．±5B．﹣5C．+5D．0
【解答】解：|b|＝|a|＝|﹣5|＝5，
则b＝±5．
故选：A．
【即学即练3】
10．绝对值等于5的数是 ，它们互为 ．
【解答】解：∵一个数的绝对值等于5，
设这个数位a，
则|a|＝5，
∴a＝±5，
∵5+（﹣5）＝0，
∴它们互为相反数，
故答案为：±5，相反数．
知识点05 求式子的绝对值
求式子的绝对值：
先判断式子与 0 的大小关系，再对式子进行求绝对值。若式子大于等于0，则去掉绝对值符号等于 它本身 ，若式子小于等于0，去掉绝对值符号等于 它的相反数 。即：。反之，若一个数的绝对值等于它本身，则这个数 大于等于 0，解||=，则 ≥ 0，若一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数 小于等于 0。||=﹣，则 ≤ 0。
题型考点：①根据绝对值求范围。
【即学即练1】
11．若|x|＝x，则x的取值范围是（ ）
A．x＞0B．x≤0C．x≥0D．x＜0
【解答】解：∵|x|＝x，
∴x的取值范围是：x≥0．
故选：C．
【即学即练2】
若不为零的有理数a满足|a|＝﹣a，则a的值可以是（ ）
A．6B．4C．2D．﹣2
【解答】解：∵|a|＝﹣a，a≠0，
∴a＜0．
故选：D．
【即学即练3】
13．已知|a|＝a，|b|＝﹣b，|a|＞|b|，用数轴上的点来表示a、b，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：∵|a|＝a，|b|＝﹣b，
∴a≥0，b≤0，
∵|a|＞|b|，
∴a＞﹣b．
．
故选：C．
知识点06 有理数的大小比较
有理数的大小比较：
①定义法：正数 ＞ 0，0 ＞ 负数，所以正数 ＞ 负数。负数与负数进行比较时，绝对值大的负数反而 小 。
②数轴比较法：数轴上右边所表示的数一定 ＞ 数轴上左边所表示的数。
③两个负数进行比较时，绝对值大的数反而 小 。
题型考点：①根据绝对值求范围。
【即学即练1】
14．画一条数轴，然后在数轴上画出表示下列各数的点；并比较大小．
﹣1，2，3，﹣2.7，1，﹣3，0．
【解答】解：画出数轴并在数轴上表示出各数：
按照数轴的特点用小于号从左到右把各数连接起来为：
﹣3＜﹣2.7＜﹣1＜0＜1＜2＜3．
故答案为：﹣3＜﹣2.7＜﹣1＜0＜1＜2＜3．
【即学即练2】
15．a、b两数在数轴上位置如图所示，将a、b、﹣a、﹣b用“＜”连接，其中正确的是（ ）
A．a＜﹣a＜b＜﹣bB．﹣b＜a＜﹣a＜bC．﹣a＜b＜﹣b＜aD．﹣b＜a＜b＜﹣a
【解答】解：令a＝﹣0.8，b＝1.5，则﹣a＝0.8，﹣b＝﹣1.5，
则可得：﹣b＜a＜﹣a＜b．
故选：B．
题型01 根据绝对值的性质求取值范围
【典例1】
若|a|＝﹣a，a一定是（ ）
A．正数B．负数C．非正数D．非负数
【解答】解：∵非正数的绝对值等于他的相反数，|a|＝﹣a，
a一定是非正数，
故选：C．
【典例2】
若|1﹣a|＝a﹣1，则a的取值范围是（ ）
A．a＞1B．a≥1C．a＜1D．a≤1
【解答】解：∵|1﹣a|＝a﹣1，
∴1﹣a≤0，
∴a≥1，
故选：B．
【典例3】
若|a﹣5|＝a﹣5，则a的取值范围为（ ）
A．a≤5B．a＜5C．a≥5D．a＞5
【解答】解：∵|a﹣5|＝a﹣5，
∴a﹣5≥0，
∴a≥5，
故选：C．
题型02 利用绝对值求值
【典例1】
若ab≠0，那么+的取值不可能是（ ）
A．﹣2B．0C．1D．2
【解答】解：∵ab≠0，
∴有四种情况：①a＞0，b＞0，②a＜0，b＜0，③a＞0，b＜0，④a＜0，b＞0；
①当a＞0，b＞0时，
+＝1+1＝2；
②当a＜0，b＜0时，
+＝﹣1﹣1＝﹣2；
③当a＞0，b＜0时，
+＝1﹣1＝0；
④当a＜0，b＞0时，
+＝﹣1+1＝0；
综上所述，+的值为：±2或0．
故选：C．
【典例2】
已知：有理数a，b，c满足abc≠0，则的值不可能为（ ）
A．3B．﹣3C．1D．2
【解答】解：当a、b、c没有负数时，原式＝1+1+1＝3；
当a、b、c有一个负数时，原式＝﹣1+1+1＝1；
当a、b、c有两个负数时，原式＝﹣1﹣1+1＝﹣1；
当a、b、c有三个负数时，原式＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3．
故选：D．
【典例3】
已知ab＞0，则++＝（ ）
A．3B．﹣3C．3或﹣1D．3或﹣3
【解答】解：∵ab＞0，
∴ab同号，
①ab同为正数时，
原式＝1+1+1＝3；
②ab同为负数时，
原式＝﹣1+（﹣1）+1＝1，
故选：C．
题型03 绝对值的非负性
【典例1】
如果|a﹣1|+|b﹣2|＝0，求a+b的值．
【解答】解：根据题意得，a﹣1＝0，b﹣2＝0，
解得a＝1，b＝2，
所以a+b＝3．
【典例2】
如果|a﹣|+|b﹣1|＝0，那么a+b等于（ ）
A．﹣B．C．D．1
【解答】解：依题意得：
|a﹣|＝0，|b﹣1|＝0，
即a﹣＝0，b﹣1＝0，
∴a＝，b＝1，
∴a+b＝．
故选：C．
【典例3】
若|x﹣3|+|y+2|＝0，则|x|+|y|＝ ．
【解答】解：根据题意得，x﹣3＝0，y+2＝0，
解得x＝3，y＝﹣2，
∴|x|+|y|＝|3|+|﹣2|＝3+2＝5．
故答案为：5．
题型04 绝对值与数轴
【典例1】
若有理数a、b在数轴的对应位置如图所示，则下列正确的是（ ）
A．|b|＞﹣aB．|a|＞﹣bC．b＞aD．|a|＞|b|
【解答】解：∵b＜a＜0，
∴|b|＞|a|＝﹣a，
故选：A．
【典例2】
如图，四个有理数在数轴上的对应点分别为M，P，N，Q．若点M，N表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最大的数的点是（ ）
A．点QB．点NC．点MD．点P
【解答】解：由数轴知，M＜P＜N＜Q，
∵M＝﹣N，
∴Q的绝对值最大，
故选：A．
【典例3】
有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，若b+c＝0，则a，b，c三个数中绝对值最大的数是（ ）
A．aB．bC．cD．无法确定
【解答】解：∵b+c＝0，
∴原点在b，c中间位置，
∴a距离原点最远，
∴a，b，c三个数中绝对值最大的数是a．
故选：A．
题型05 绝对值与相反数
【典例1】
如果，那么x＝（ ）
A．B．或2C．D．2
【解答】解：∵
∴．
故选：C．
【典例2】
若|a|＝|b|，则a和b的关系为（ ）
A．a和b相等B．a和b互为相反数
C．a和b相等或互为相反数D．以上答案都不对
【解答】解：∵|a|＝|b|，
∴a和b的关系为：相等或互为相反数．
故选：C．
【典例3】
已知2x﹣3的绝对值与x+6的绝对值相等，则x的相反数为（ ）
A．9B．1C．1或﹣9D．9或﹣1
【解答】解：∵|2x﹣3|＝|x+6|，
∴2x﹣3＝x+6，或2x﹣3＝﹣（x+6），
∴x＝9或x＝﹣1，
∴x的相反数是﹣9或1．
故选：C．
题型06 绝对值的化简
【典例1】
如果1＜x＜2，化简|x﹣1|+|x﹣2|＝ ．
【解答】解：∵1＜x＜2，
∴x﹣1＞0，x﹣2＜0，
∴|x﹣1|+|x﹣2|＝x﹣1+2﹣x＝1．
故答案为：1．
【典例2】
如果a＜1，化简：|2﹣a|﹣|a﹣1|＝ ．
【解答】解：∵a＜1，
∴2﹣a＞0，
∴|2﹣a|＝2﹣a，
∵a＜1，
∴a﹣1＜0，
∴|a﹣1|＝﹣a+1，
∴原式＝2﹣a﹣（﹣a+1）＝2﹣a+a﹣1＝1，
故答案为1．
1．绝对值是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：||＝，
故选：B．
2．在﹣5，0，﹣2，4这四个数中，最大的数是（ ）
A．4B．﹣5C．0D．﹣2
【解答】解：根据有理数大小比较的法则，可得
﹣5＜﹣2＜0＜4，
所以在﹣5、﹣2、0、4这四个数中，最大的数是4．
故选：A．
3．计算|﹣2|的值是（ ）
A．﹣2B．﹣C．D．2
【解答】解：|﹣2|的值是2．
故选：D．
4．下列有理数大小关系判断正确的是（ ）
A．﹣（﹣）＞﹣|﹣|B．0＞|﹣10|
C．|﹣3|＜|+3|D．﹣1＞﹣0.01
【解答】解：A、﹣（﹣）＝，﹣|﹣|＝﹣，所以﹣（﹣）＞﹣|﹣|；
B、0＜|﹣10|＝10；
C、|﹣3|＝3＝|+3|＝3；
D、﹣1＜﹣0.01．
所以选A．
5．若|a﹣2|＝2﹣a，则a的取值范围是（ ）
A．a＜2B．a≤2C．a＞2D．a≥2
【解答】解：∵|a﹣2|＝2﹣a，
∴a﹣2≤0，
∴a≤2．
故选：B．
6．若|a﹣5|+|b+6|＝0，则﹣b+a﹣1的值是（ ）
A．﹣11B．10C．﹣2D．2
【解答】解：因为|a﹣5|+|b+6|＝0，
所以a﹣5＝0，b+6＝0，即a＝5，b＝﹣6，
所以﹣b+a﹣1＝﹣（﹣6）+5﹣1＝10．
故选：B．
7．若|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，则a+b的值为（ ）
A．3B．﹣3C．0D．3或﹣3
【解答】解：∵|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，
∴|a﹣1|+|b﹣2|＝0，
又∵|a﹣1|≥0，|b﹣2|≥0，
∴a﹣1＝0，b﹣2＝0，
解得a＝1，b＝2，
a+b＝1+2＝3．
故选：A．
8．已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简|a﹣1|+|a|的结果为（ ）
A．1B．﹣1C．1﹣2aD．2a﹣1
【解答】解：∵由数轴上a点的位置可知，0＜a＜1，
∴a﹣1＜0，
∴原式＝1﹣a+a＝1．
故选：A．
9．请举出一个反例说明等式“|a|＝a”不成立： ．
【解答】解：举出一个反例说明等式“|a|＝a”不成立：例如，a＝﹣2，则|a|＝﹣a（答案不唯一）．
故答案为：a＝﹣2，则|a|＝﹣a（答案不唯一）．
10．π﹣4的绝对值是 ．
【解答】解：π﹣4的绝对值是|π﹣4|＝4﹣π，
故答案为：4﹣π．
11．若|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，则a+b的值为 ．
【解答】解：由题意得：|a﹣1|+|b﹣2|＝0．
∵|a﹣1|≥0，|b﹣2|≥0，
∴a﹣1＝0，b﹣2＝0．
∴a＝1，b＝2．
∴a+b＝1+2＝3．
故答案为：3．
12．设y1＝|2+x|，y2＝2﹣|x|，当y1＝y2时，x的取值范围是 ．
【解答】解：若y1＝y2，即|2+x|＝2﹣|x|，
化简可得|x+2|+|x|＝2，
根据绝对值的意义，即x表示的点到原点与﹣2表示的点的距离之和为2，
观察数轴，分析可得必有﹣2≤x≤0，
故答案为﹣2≤x≤0．
13．补全数轴，并在数轴上表示下列各数，并用“＜”把它们连接起来．
1.5，0，4，，﹣3．
【解答】解：如图所示，
由图可知，﹣3＜﹣＜0＜1.5＜4．
14．为体现社会对教师的尊重，教师节这天上午，出租车司机小王在东西方向的公路上免费接送老师．如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千米）：+15，﹣4，+13，﹣10，﹣12，+3，﹣13，﹣17．
（1）若出租车每行驶100千米耗油10升，这天上午汽车共耗油多少升？
（2）如果每升汽油7元，则出租车司机今天上午的油费是多少元？
【解答】解：（1）出租车共行驶了|+15|+|﹣4|+|+13|+|﹣10|+|﹣12|+|+3|+|﹣13|+|+|﹣17|＝87（km），
共耗油87÷100×10＝8.7（升）．
故这天上午汽车共耗油8.7升；
（2）7×8.7＝60.9（元）．
故出租车司机今天上午的油费是60.9元．
15．【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|可以看作|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
【探索】
（1）若|x﹣2|＝5，则x＝ ；
（2）利用数轴，找出所有符合条件的整数x，使x所表示的点到2和﹣1所对应的点的距离之和为3．
（3）由以上探索猜想，对于任意有理数x，|x﹣2|+|x+3|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．
【解答】解：|x﹣2|可以理解为x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，
到2的距离为5的数字有7和﹣3，
故答案为7或﹣3；
（2）|x﹣2|+|x+1|＝3，
当x＜﹣1时，|x﹣2|+|x+1|＝2﹣x﹣1﹣x＝3﹣2x＝3，x＝0（不符合题意舍去）；
当1﹣≤x≤2时，|x﹣2|+|x+1|＝2﹣x+x+1＝3，
当x＞2时，|x﹣2|+|x+1|＝x﹣2+x+1＝2x﹣1＝3，x＝2（不符合题意舍去）；
综上所述，当1﹣≤x≤2时，x所表示的点到2和﹣1所对应的点的距离之和为3；
（3）|x﹣2|+|x+3|可以理解为数轴上一个点到2和﹣3的距离，
求证方法和（2）相同，故有最小值为5．
课程标准
学习目标
①绝对值的定义
②绝对值的性质
③求绝对值
④有理数的大小比较
掌握绝对值的定义。
掌握绝对值的性质并解决相关题目。
能够求数或者式子的绝对值。
掌握有理数比较大小的方法，能够比较有理数大小。