中考数学二轮复习压轴题培优专练专题01 利用三角形全等和相似的性质进行求解的问题（2份打包，原卷版+解析版）

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在几何压轴题中，全等三角形的性质和相似三角形的性质一般作为工具性质进行使用，用以帮助解决角度的相等问题或者线段的数量关系。
（1）在具体的压轴题中可以通过证明三角形全等或三角形相似，得到某两个角相等，再结合所求进行转化，从而得到我们想要的角度关系。
（2）压轴题中关于证明线段相等关系或者和差关系的证明时，一般通过三角形全等的性质，找出中间线段与所求线段的倍数关系，进行等量代换或者转化。
（3）压轴题中关于证明或探究线段之间的积关系或者比值关系时，一般利用三角形相似的性质进行转化，有时也会用到三角形全等的性质进行转化。
（2022·辽宁丹东·统考中考真题）已知矩形ABCD，点E为直线BD上的一个动点（点E不与点B重合），连接AE，以AE为一边构造矩形AEFG（A，E，F，G按逆时针方向排列），连接DG．
(1)如图1，当 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝1时，请直接写出线段BE与线段DG的数量关系与位置关系；
(2)如图2，当 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝2时，请猜想线段BE与线段DG的数量关系与位置关系，并说明理由；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接BG，EG，分别取线段BG，EG的中点M，N，连接MN，MD，ND，若AB＝ SKIPIF 1 < 0 ，∠AEB＝45°，请直接写出△MND的面积．
（1）证明△BAE≌△DAG，进一步得出结论；
（2）证明BAE∽△DAG，进一步得出结论；
（3）解斜三角形ABE，求得BE＝3，根据（2） SKIPIF 1 < 0 可得DG＝6，从而得出三角形BEG的面积，可证得△MND≌△MNG，△MNG与△BEG的面积比等于1：4，进而求得结果．
【答案】(1)BE＝DG，BE⊥DG
(2)BE＝ SKIPIF 1 < 0 ，BE⊥DG，理由见解析
(3)S△MNG＝ SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）解：由题意得：四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，
∴∠BAD﹣∠DAE＝∠EAG﹣∠DAE，
∴∠BAE＝∠DAG，
∴△BAE≌△DAG（SAS），
∴BE＝DG，∠ABE＝∠ADG，
∴∠ADG+∠ADB＝∠ABE+∠ADB＝90°，
∴∠BDG＝90°，
∴BE⊥DG；
（2）BE＝ SKIPIF 1 < 0 ，BE⊥DG，理由如下：
由（1）得：∠BAE＝∠DAG，
∵ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝2，
∴△BAE∽△DAG，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∠ABE＝∠ADG，
∴∠ADG+∠ADB＝∠ABE+∠ADB＝90°，
∴∠BDG＝90°，
∴BE⊥DG；
（3）如图，
作AH⊥BD于H，
∵tan∠ABD＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴设AH＝2x，BH＝x，
在Rt△ABH中，
x2+（2x）2＝（ SKIPIF 1 < 0 ）2，
∴BH＝1，AH＝2，
在Rt△AEH中，
∵tan∠ABE＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴EH＝AH＝2，
∴BE＝BH+EH＝3，
∵BD＝ SKIPIF 1 < 0 ＝5，
∴DE＝BD﹣BE＝5﹣3＝2，
由（2）得： SKIPIF 1 < 0 ，DG⊥BE，
∴DG＝2BE＝6，
∴S△BEG＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝9，
在Rt△BDG和Rt△DEG中，点M是BG的中点，点N是CE的中点，
∴DM＝GM＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∵NM＝NM，
∴△DMN≌△GMN（SSS），
∵MN是△BEG的中位线，
∴MN SKIPIF 1 < 0 BE，
∴△BEG∽△MNG，
∴ SKIPIF 1 < 0 ＝（ SKIPIF 1 < 0 ）2＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴S△MNG＝S△MNG＝ SKIPIF 1 < 0 S△BEG＝ SKIPIF 1 < 0 ．
本题主要考查了正方形，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是类比的方法．
（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，连接 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 ，得到线段 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)当点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上（点 SKIPIF 1 < 0 不与点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 重合）时，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(3)过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 的值．
（1）作AH⊥BC于H，可得BH＝ SKIPIF 1 < 0 AB，BC＝2BH，进而得出结论；
（2）证明△ABD∽△CBE，进而得出结果；
（3）当点D在线段AC上时，作BF⊥AC，交CA的延长线于F，作AG⊥BD于G，设AB＝AC＝3a，则AD＝2a，解直角三角形BDF，求得BD的长，根据△DAG∽△DBF求得AQ，进而求得AN，进一步得出结果；当点D在AC的延长线上时，设AB＝AC＝2a，则AD＝4a，同样方法求得结果．
【答案】(1)证明见解析；
(2) SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）证明：如图1，
作AH⊥BC于H，
∵AB＝AB，
∴∠BAH＝∠CAH＝ SKIPIF 1 < 0 ∠BAC＝ SKIPIF 1 < 0 ×120°＝60°，BC＝2BH，
∴sin60°＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴BH＝ SKIPIF 1 < 0 AB，
∴BC＝2BH＝ SKIPIF 1 < 0 AB；
（2）解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝ SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）得， SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得，
∠DBE＝30°， SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠ABC＝∠DBE， SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠ABC−∠DBC＝∠DBE−∠DBC，
∴∠ABD＝∠CBE，
∴△ABD∽△CBE，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（3）如图2，
当点D在线段AC上时，
作BF⊥AC，交CA的延长线于F，作AG⊥BD于G，
设AB＝AC＝3a，则AD＝2a，
由（1）得， SKIPIF 1 < 0 ，
在Rt△ABF中，∠BAF＝180°−∠BAC＝60°，AB＝3a，
∴AF＝3a•cs60°＝ SKIPIF 1 < 0 ，BF＝3a•sin60°＝ SKIPIF 1 < 0 ，
在Rt△BDF中，DF＝AD＋AF＝ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∵∠AGD＝∠F＝90°，∠ADG＝∠BDF，
∴△DAG∽△DBF，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵AN SKIPIF 1 < 0 DE，
∴∠AND＝∠BDE＝120°，
∴∠ANG＝60°，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
如图3，
当点D在AC的延长线上时，
设AB＝AC＝2a，则AD＝4a，
由（1）得，
CE＝ SKIPIF 1 < 0 ，
作BR⊥CA，交CA的延长线于R，作AQ⊥BD于Q，
同理可得，
AR＝a，BR＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述： SKIPIF 1 < 0 的值为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是正确分类和较强的计算能力．
（2022·湖北宜昌·统考中考真题）已知菱形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是边 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 是边 SKIPIF 1 < 0 上一点．
(1)如图1，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
①求证： SKIPIF 1 < 0 ；
②若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长；
(2)如图2，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
（1）①根据 SKIPIF 1 < 0 可证得： SKIPIF 1 < 0 ，即可得出结论；
②连接 SKIPIF 1 < 0 ，可证得 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，即可求出 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于点 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 可证得 SKIPIF 1 < 0 ，可得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即可证得 SKIPIF 1 < 0 ，即可得出 SKIPIF 1 < 0 的长．
【答案】(1)①见解析；② SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）（1）①∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
②如图，连接 SKIPIF 1 < 0 .
∵ SKIPIF 1 < 0 是边 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又由菱形 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
（2）如图，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于点 SKIPIF 1 < 0 ，
由菱形 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 是边 SKIPIF 1 < 0 的中点，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 为公共角.
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，锐角三角函数求线段长度，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键.
1．（2022·吉林长春·校联考模拟）【教材呈现】
在华师版八年级下册数学教材第111页学习了以下内容：菱形的对角线互相垂直．
【结论运用】
(1)如图①，菱形 SKIPIF 1 < 0 的对角线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则菱形 SKIPIF 1 < 0 的面积是 ；
(2)如图②，四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(3)如图③，四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，连接 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 度．
【答案】(1)24；(2)见解析；(3)30
【分析】（1）由菱形的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由勾股定理可求 SKIPIF 1 < 0 ，由菱形的面积公式可以求解；
（2）先证四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，可得 SKIPIF 1 < 0 ，由线段垂直平分线的性质可得结论；
（3）先证 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，由等腰三角形的性质和外角的性质可求解．
【详解】（1）解： SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 菱形 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：24；
（2）证明：如图，连接 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 垂直平分 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
（3）解： SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：30．
2．（2022·四川德阳·模拟）已知：四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 边上，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 边上，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)如图 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有怎样的关系．写出你的结果，并加以证明；
(2)如图 SKIPIF 1 < 0 ，对角线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别与 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ．
①求证： SKIPIF 1 < 0 ；
②连接 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ．证明见解析
(2)①见解析；② SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据正方形的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，然后利用“边角边”证明 SKIPIF 1 < 0 ，根据全等三角形对应角相等可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，然后求出 SKIPIF 1 < 0 ，再求出 SKIPIF 1 < 0 ，然后根据垂直的定义解答即可；
（2）①根据正方形的对角线互相垂直平分可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，对角线平分一组对角可得 SKIPIF 1 < 0 ，然后求出 SKIPIF 1 < 0 ，再利用“角边角”证明 SKIPIF 1 < 0 ，根据全等三角形对应边相等可得 SKIPIF 1 < 0 ；②过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，根据全等三角形对应角相等可得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用“角角边”证明 SKIPIF 1 < 0 ，根据全等三角形对应边相等可得 SKIPIF 1 < 0 ，然后判断出四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，根据正方形的性质求出 SKIPIF 1 < 0 ，再求出 SKIPIF 1 < 0 ，然后利用勾股定理列式求出 SKIPIF 1 < 0 ，再根据正方形的性质求出 SKIPIF 1 < 0 即可．
【详解】（1）解： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ．
证明： SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
（2）①证明： SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
②解：如图 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 正方形 SKIPIF 1 < 0 的边长 SKIPIF 1 < 0 ．
3．（2022·山东日照·校考二模）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 延长线上一动点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，将线段 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 逆时针旋转，旋转角为 SKIPIF 1 < 0 ，得到线段 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)如图1，当 SKIPIF 1 < 0 时，①求证： SKIPIF 1 < 0 ；②求 SKIPIF 1 < 0 的度数；
(2)如图2，当 SKIPIF 1 < 0 时，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的数量关系．
(3)当 SKIPIF 1 < 0 时，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，请直接写出点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离为
【答案】(1)①见解析；② SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 ；
(3) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）①证明 SKIPIF 1 < 0 可得结论．②利用全等三角形的性质解决问题即可．
（2）证明 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 解决问题．
（3）分两种情形，解直角三角形求出 SKIPIF 1 < 0 即可解决问题．
【详解】（1）①证明：如图1中，
SKIPIF 1 < 0 将线段 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 逆时针旋转，旋转角为 SKIPIF 1 < 0 ，得到线段 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
②解：如图1中，设 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）解：结论： SKIPIF 1 < 0 ．
理由：如图2中，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
（3）过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于 SKIPIF 1 < 0 ．
如图 SKIPIF 1 < 0 中，当 SKIPIF 1 < 0 是钝角三角形时，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由（2）可知， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
如图 SKIPIF 1 < 0 中，当 SKIPIF 1 < 0 是锐角三角形时，同法可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述，满足条件的 SKIPIF 1 < 0 的值为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
4．（2022·山东济南·山东师范大学第二附属中学校考模拟）如图，在 SKIPIF 1 < 0 中，点D、E分别是边 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 上的点，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)如图1，若 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ．
①如图2，当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的长；
②如图3，当 SKIPIF 1 < 0 时，直接写出 SKIPIF 1 < 0 的长是______．
【答案】(1)见解析；(2)① SKIPIF 1 < 0 ；②​​​​​​​ SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）证明 SKIPIF 1 < 0 ，即可得证；
（2）①如图，作 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线交 SKIPIF 1 < 0 于F，连接 SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 ，利用全等三角形的性质和 SKIPIF 1 < 0 ，进行求解即可；②延长 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，利用等腰三角形的判定和性质，求出 SKIPIF 1 < 0 的长，进而得到 SKIPIF 1 < 0 的余弦，作 SKIPIF 1 < 0 中垂线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，
证明 SKIPIF 1 < 0 ，利用相似三角形的性质，进行求解即可．
【详解】（1）证明：在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：①如图2，作 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线交 SKIPIF 1 < 0 于F，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，​​​​​​​
又∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
②​​​​​​​如图：延长 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由勾股定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，根据勾股定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
作 SKIPIF 1 < 0 中垂线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
5．（2022·辽宁葫芦岛·统考二模）在平行四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 交线段 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，在□ SKIPIF 1 < 0 的外部作 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，请直接写出线段 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的数量关系；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，
①请写出线段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 之间的数量关系，并说明理由；
②若点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的三等分点，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)① SKIPIF 1 < 0 ，证明见解析；② SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）线段 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的数量关系∶ SKIPIF 1 < 0 ，理由：如图，连接 SKIPIF 1 < 0 ，由四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 的条件，可得出： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，利用 SKIPIF 1 < 0 证明 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，最后再说明 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形可得到结论；
（2）①如图，连接 SKIPIF 1 < 0 ，先证明四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，可得到 SKIPIF 1 < 0 ，然后仿照（1）证明思路，利用 SKIPIF 1 < 0 证明 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再说明 SKIPIF 1 < 0 ，利用勾股定理可得到 SKIPIF 1 < 0 ，然后在 SKIPIF 1 < 0 中，由勾股定理 SKIPIF 1 < 0 ，最后代入即可得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 之间的数量关系式；
②根据 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的三等分点，分两种情况解答：第一种情况： SKIPIF 1 < 0 ；第二种情况： SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】（1）解：线段 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的数量关系∶ SKIPIF 1 < 0 ，理由如下：
如图，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
∵四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（2）①如图，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
∵四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形， SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
②点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的三等分点，
分两种情况：
第一种情况： SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
由①可知：在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
由①可知：在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由①可知：在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
第二种情况： SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
由①可知：在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
由①可知：在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由①可知：在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 的值为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
6．（2022·河北保定·统考二模）两个完全相同的直角三角板按如图1所示方式放置， SKIPIF 1 < 0 ，直角顶点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 重合， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)论证：求证： SKIPIF 1 < 0 ．
(2)探索：如图2， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为两个三角板斜边上的两动点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 最小时，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
(3)拓展：将两个三角板按图3所示方式放置，直角顶点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，两三角板的直角边分别交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相似时，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
【答案】(1)见解析
(2) SKIPIF 1 < 0 最小时， SKIPIF 1 < 0 的值为 SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0 的长为6或4
【分析】（1）先证明 SKIPIF 1 < 0 ，再证明三角形相似；
（2）连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，先证 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，进而得到 SKIPIF 1 < 0 ，得出当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最小值，求出此时AM的长即可；
（3）连接 SKIPIF 1 < 0 ，分为当 SKIPIF 1 < 0 时及当 SKIPIF 1 < 0 时进行讨论，求出CD的长．
【详解】（1）证明：∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（2）如图1，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，AE=AB，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 最小时， SKIPIF 1 < 0 最小，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最小值．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 最小时， SKIPIF 1 < 0 的值为 SKIPIF 1 < 0 ．
（3）连接 SKIPIF 1 < 0 ．
①如图2，
当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 共圆，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
②如图3，
当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ．
由①知， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故 SKIPIF 1 < 0 的长为6或4．