中考数学二轮复习压轴题培优专练专题14 函数中的最值问题（2份打包，原卷版+解析版）

这是一份中考数学二轮复习压轴题培优专练专题14 函数中的最值问题（2份打包，原卷版+解析版），文件包含中考数学二轮复习压轴题培优专练专题14函数中的最值问题原卷版doc、中考数学二轮复习压轴题培优专练专题14函数中的最值问题解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共63页， 欢迎下载使用。

函数中的最值问题在中考中的考查频率较高，主要包括求线段之和的最小值（将军饮马型）、求线段之和的最小值（修桥模型）、胡不归求最值问题等。
一、求线段之和的最小值（将军饮马型）
1.在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；
（1）点A、B在直线m两侧：


（2）点A、B在直线同侧：

A、A'是关于直线m的对称点。
2.在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。
（1）两个点都在直线外侧：


（2）一个点在内侧，一个点在外侧：

（3）两个点都在内侧：

（4）台球两次碰壁模型
变式一：已知点A、B位于直线m，n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.

变式二：已知点A位于直线m，n 的内侧， 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.

二、求线段之和的最小值（修桥模型）
已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知识解)
（1）点A、B在直线m两侧：

过A点作AC//m，且AC长等于PQ长，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。
（2）点A、B在直线m同侧：

过A点作AE//m，且AE长等于PQ长，作B关于m的对称点B'，连接B'E，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。
三、胡不归求最值（胡不归模型）
一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 ，即求BC+kAC的最小值．
构造射线AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．
将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．
在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．
（2022·西藏·统考中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ＋（m﹣1）x＋2m与x轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于点C，点P是抛物线在第一象限内的一个动点．
(1)求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标；
(2)如图甲，点M是直线BC上的一个动点，连接AM，OM，是否存在点M使AM＋OM最小，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)如图乙，过点P作PF⊥BC，垂足为F，过点C作CD⊥BC，交x轴于点D，连接DP交BC于点E，连接CP．设△PEF的面积为S1，△PEC的面积为S2，是否存在点P，使得 SKIPIF 1 < 0 最大，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
（1）将B（4，0）代入 SKIPIF 1 < 0 ，求出函数解析式即可求解；
（2）作O点关于BC的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，连接A SKIPIF 1 < 0 交BC 于点M，连接B SKIPIF 1 < 0 ，当A、M、 SKIPIF 1 < 0 三点共线时，AM＋OM有最小值，分别求出直线A SKIPIF 1 < 0 的解析式和直线BC的解析式，两直线的交点即为M点；
（3）连接PB，过P点作PG SKIPIF 1 < 0 y轴交CB于点G， 设 SKIPIF 1 < 0 ，则G（t，－t＋4），由 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 ，再由PF SKIPIF 1 < 0 CD，可得 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 当t＝2时， SKIPIF 1 < 0 有最大值，同时可求P的坐标． SKIPIF 1 < 0
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ，A（﹣2，0）；C（0，4）
(2)存在点M使AM＋OM最小， M（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）
(3)存在， P（2，4）
【详解】（1）将B（4，0）代入y＝﹣ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ＋（m﹣1）x＋2m，
∴﹣8＋4（m﹣1）＋2m＝0，
解得m＝2，
∴y＝﹣ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ＋x＋4，
令x＝0，则y＝4，
∴C（0，4），
令y＝0，则﹣ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ＋x＋4＝0，
解得x＝4或x＝﹣2，
∴A（﹣2，0）；
（2）
存在点M使AM＋OM最小，理由如下：
作O点关于BC的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，连接A SKIPIF 1 < 0 交BC于点M，连接B SKIPIF 1 < 0 ，
由对称性可知，OM＝ SKIPIF 1 < 0 M，
∴AM＋OM＝AM＋ SKIPIF 1 < 0 M SKIPIF 1 < 0 A SKIPIF 1 < 0 ，
当A、M、 SKIPIF 1 < 0 三点共线时，AM＋OM有最小值，
∵B（4，0），C（0，4），
∴OB＝OC，
∴∠CBO＝45°，
由对称性可知∠ SKIPIF 1 < 0 BM＝45°，
∴B SKIPIF 1 < 0 ⊥BO，
∴ SKIPIF 1 < 0 （4，4），
设直线A SKIPIF 1 < 0 的解析式为y＝kx＋b，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴y＝ SKIPIF 1 < 0 x＋ SKIPIF 1 < 0 ，
设直线BC的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴4 SKIPIF 1 < 0 ＋4＝0，
∴ SKIPIF 1 < 0 ＝﹣1，
∴y＝﹣x＋4，
联立方程组 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴M（ SKIPIF 1 < 0 ）；
（3）
在点P，使得 SKIPIF 1 < 0 最大，理由如下：
连接PB，过P点作PG SKIPIF 1 < 0 y轴交CB于点G，
设P（t，﹣ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ＋t＋4），则G（t，﹣t＋4），
∴PG＝﹣ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ＋2t，
∵OB＝OC＝4，
∴BC＝4 SKIPIF 1 < 0 ，
∴S△BCP＝ SKIPIF 1 < 0 ×4×（﹣ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ＋2t）＝﹣ SKIPIF 1 < 0 ＋4t＝ SKIPIF 1 < 0 ×4 SKIPIF 1 < 0 ×PF，
∴PF＝﹣ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 t，
∵CD⊥BC，PF⊥BC，
∴PF SKIPIF 1 < 0 CD，
∴ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∵B、D两点关于y轴对称，
∴CD＝4 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ＝﹣ SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ﹣4t）＝﹣ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 ，
∵P点在第一象限内，
∴0＜t＜4，
∴当t＝2时， SKIPIF 1 < 0 有最大值 SKIPIF 1 < 0 ，
此时P（2，4）．
本题考查二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质，轴对称求最短距离的方法，平行线的性质是解题的关键．
（2022·四川广元·统考中考真题）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C．

(1)求a，b满足的关系式及c的值；
(2)当a＝ SKIPIF 1 < 0 时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求△PAB周长的最小值；
(3)当a＝1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QD⊥AB于点D，当QD的值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值．
（1）先求得点A、点B的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）先利用对称性找出△PAB周长最小时点P的位置，此时AP=CP，△PAB的周长最小值为：PB+PA+AB=BC+AB，根据勾股定理求出AB、BC的长即可求出△PAB最小值；
（3）过点Q作QF⊥x轴交于F点，交直线AB于点E，得到∠QED=∠EQD=45°，推出QD=ED= SKIPIF 1 < 0 EQ，设Q（t，t2+t-2），E（t，-t-2），求得QE=-t2-2t，再利用二次函数的性质即可求解．
【答案】(1)2a=b+1，c=-2；
(2)△PAB的周长最小值是2 SKIPIF 1 < 0 +2 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)此时Q（-1，-2），DQ最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】（1）解：∵直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点A的坐标为(-2，0)，点B的坐标为(0，-2)，
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴2a=b+1，c=-2；
（2）解：当a= SKIPIF 1 < 0 时，则b=- SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线的解析式为y= SKIPIF 1 < 0 x2- SKIPIF 1 < 0 x-2，
抛物线的对称轴为直线x=1，
∵点A的坐标为(-2，0)，
∴点C的坐标为(4，0) ，
△PAB的周长为：PB+PA+AB，且AB是定值，
∴当PB+PA最小时，△PAB的周长最小，
∵点A、C关于直线x=1对称，
∴连接BC交直线x=1于点P，此时PB+PA值最小，
∵AP=CP，
∴△PAB的周长最小值为：PB+PA+AB=BC+AB，
∵A（-2，0），B（0，-2），C（4，0），
∴OA=2，OB=2，OC=4，
由勾股定理得BC=2 SKIPIF 1 < 0 ，AB=2 SKIPIF 1 < 0 ，
∴△PAB的周长最小值是：2 SKIPIF 1 < 0 +2 SKIPIF 1 < 0 ．
（3）解：当a=1时，b=1，
∴抛物线的解析式为y=x2+x-2，
过点Q作QF⊥x轴交于F点，交直线AB于点E，
∵A（-2，0），B（0，-2），
∴OA=OB，
∴∠OAB=45°，
∵QD⊥AB，
∴∠AEF=∠QED=∠EQD=45°，
∴QD=ED= SKIPIF 1 < 0 EQ，
设Q（t，t2+t-2），E（t，-t-2），
∴QE=-t-2-(t2+t-2)=-t2-2t，
∴DQ= SKIPIF 1 < 0 QE=- SKIPIF 1 < 0 (t2+2t)= - SKIPIF 1 < 0 (t+1)2+ SKIPIF 1 < 0 ，
当t=-1时，DQ有最大值 SKIPIF 1 < 0 ，此时Q（-1，-2）．
本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．
（2022·天津·统考中考真题）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 （a，b，c是常数， SKIPIF 1 < 0 ）的顶点为P，与x轴相交于点 SKIPIF 1 < 0 和点B．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，
①求点P的坐标；
②直线 SKIPIF 1 < 0 （m是常数， SKIPIF 1 < 0 ）与抛物线相交于点M，与 SKIPIF 1 < 0 相交于点G，当 SKIPIF 1 < 0 取得最大值时，求点M，G的坐标；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当 SKIPIF 1 < 0 的最小值为5时，求点E，F的坐标．
（1）①将b、c的值代入解析式，再将A点坐标代入解析式即可求出a的值，再用配方法求出顶点坐标即可；②先令y=0得到B点坐标，再求出直线BP的解析式，设点M的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则点G的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，再表示出MG的长，配方求出最值得到M、G的坐标；
（2）根据 SKIPIF 1 < 0 ，解析式经过A点，可得到解析式： SKIPIF 1 < 0 ，再表示出P点坐标，N点坐标，接着作点P关于y轴的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，作点N关于x轴的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，再把 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的坐标表示出来，由题意可知，当 SKIPIF 1 < 0 取得最小值，此时 SKIPIF 1 < 0 ，将字母代入可得： SKIPIF 1 < 0 ，求出a的值，即可得到E、F的坐标；
【答案】(1)① SKIPIF 1 < 0 ；②点M的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，点G的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 ；
【详解】（1）①∵抛物线 SKIPIF 1 < 0 与x轴相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．又 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
∴抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴点P的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
②当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
∴点B的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
设经过B，P两点的直线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
有 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ．
∵直线 SKIPIF 1 < 0 （m是常数， SKIPIF 1 < 0 ）与抛物线 SKIPIF 1 < 0 相交于点M，与 SKIPIF 1 < 0 相交于点G，如图所示：
∴点M的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，点G的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最大值1．
此时，点M的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，点G的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0
∴抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴顶点P的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
∵直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 相交于点N，
∴点N的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
作点P关于y轴的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，作点N关于x轴的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示：
得点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
当满足条件的点E，F落在直线 SKIPIF 1 < 0 上时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值，
此时， SKIPIF 1 < 0 ．
延长 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相交于点H，则 SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
解得 SKIPIF 1 < 0 （舍）．
∴点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
则直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ．
∴点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 ．
本题考查二次函数的几何综合运用，熟练掌握待定系数法求函数解析式、配方法求函数顶点坐标、勾股定理解直角三角形等是解决此类问题的关键．
1．（2022·山东济南·校考一模）如图，直线 SKIPIF 1 < 0 与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线 SKIPIF 1 < 0 过点A．
(1)求出抛物线解析式的一般式；
(2)抛物线上的动点D在一次函数的图象下方，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值，并求出此时点D的坐标；
(3)若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
(3)3．
【思路与分析】（1）利用函数 SKIPIF 1 < 0 求解 SKIPIF 1 < 0 的坐标，再把 SKIPIF 1 < 0 的坐标代入二次函数解析式可得答案，
（2）过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，利用二次函数的性质可得答案，
（3）作点 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到 SKIPIF 1 < 0 ，从而可得答案．
【详解】（1）解：令 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴点 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）解：令 SKIPIF 1 < 0 ，化简可得： SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
如图，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
所以：①当 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0 ；
②当 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0 ；
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的面积有最大值，最大值是 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
（3）解：作点 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 最小．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值是3．
2．（2022·重庆铜梁·统考一模）如图1，二次函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求二次函数的解析式；
(2)如图2，点P是直线 SKIPIF 1 < 0 上方抛物线上一点， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 轴交 SKIPIF 1 < 0 于点D， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 交x轴于点E，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值；
(3)在（2）的条件下，当 SKIPIF 1 < 0 取最大值时，点M在该抛物线的对称轴上，满足 SKIPIF 1 < 0 的周长最小，点N为该坐标平面内一点，是否存在以点A，B，M，N为顶点的平行四边形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3)存在，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【思路与分析】（1）先由点 SKIPIF 1 < 0 的坐标求得 SKIPIF 1 < 0 的长，然后结合 SKIPIF 1 < 0 的大小求得 SKIPIF 1 < 0 的值，即可得到点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，然后用待定系数法求得抛物线的解析式；
（2）过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，然后结合 SKIPIF 1 < 0 得到四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，进而得到 SKIPIF 1 < 0 ，然后求得直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式，设点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，进而得到点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，从而求得 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的长，再利用二次函数的性质求得 SKIPIF 1 < 0 最大值；
（3）求出直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ，分两种情况，由平行四边形的性质可得出答案．
【详解】（1）因为二次函数解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
由抛物线经过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 设抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
将点 SKIPIF 1 < 0 代入解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
设点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 轴，
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 的纵坐标相等，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）由（2）可得点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 抛物线的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，
连接 SKIPIF 1 < 0 交抛物线的对称轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的周长最小，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 存在以点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为顶点的平行四边形，
若以 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形的一边，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
若以 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形的一条对角线，
SKIPIF 1 < 0 ．
综上所述，存在以点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为顶点的平行四边形，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
3．（2022·广东中山·统考三模）如图，抛物线 SKIPIF 1 < 0 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ，过B的直线交y轴于点D，交抛物线于E，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线第四象限的图象上找一点P，使得 SKIPIF 1 < 0 的面积最大，求出点P的坐标；
(3)点M是线段BE上的一点，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值，并求出此时点M的坐标．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【思路与分析】(1) 由 SKIPIF 1 < 0 得点A的对称点B的坐标，将A、B坐标代入 SKIPIF 1 < 0 中， 利用待定系数法可求；
(2)求出直线BE的解析式，用m表示点P、H的坐标，进而表示线段PH,根据S△BDP= SKIPIF 1 < 0 ×PH×3，用含m的代数式表示 SKIPIF 1 < 0 的面积，利用二次函数的性质，求出S关于m的二次函数的顶点横坐标即可得出结论；
(3) 过点M作 SKIPIF 1 < 0 轴，过点E作 SKIPIF 1 < 0 轴，过A作 SKIPIF 1 < 0 交于点T，构造出直角三角形，利用三角函数找到与 SKIPIF 1 < 0 相等的线段，根据“垂线段最短”得 SKIPIF 1 < 0 的最小值，将二次函数与直线方程联立，解方程组，先求出点E坐标，点M坐标可求．
【详解】（1）解：∵对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∵抛物线 SKIPIF 1 < 0 经过A、B两点，
∴ SKIPIF 1 < 0 解得： SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴直线BE的解析式为： SKIPIF 1 < 0
过P作 SKIPIF 1 < 0 轴，交AB于点H
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 的面积最大．
（3）（3）过点M作 SKIPIF 1 < 0 轴，过点E作 SKIPIF 1 < 0 轴，过A作 SKIPIF 1 < 0 交于点T
∵ SKIPIF 1 < 0 轴
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值为AT．
由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0
4．（2022·贵州黔东南·统考二模）如图，抛物线 SKIPIF 1 < 0 与x轴交于点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M是抛物线对称轴上的动点，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值；
(3)若点P是直线AC下方抛物线上的动点，过点P作 SKIPIF 1 < 0 于点Q，线段PQ是否存在最大值？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3)线段PQ存在最大值，此时点P坐标为 SKIPIF 1 < 0
【思路与分析】（1）根据点A和点B坐标使用待定系数法求解即可．
（2）连接MA，设直线AC与二次函数的对称轴交于N．根据轴对称的性质，两点之间，线段最短确定当点M与点N重合时，MB+MC取得最小值为AC，根据二次函数解析式求出点C坐标，再根据勾股定理即可求解．
（3）过点P作PD⊥x轴于D，交直线AC于E，设 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，设直线AC解析式为y=kx+d．根据等边对等角，三角形内角和定理，等角对等边确定QE=PQ，根据勾股定理确定 SKIPIF 1 < 0 ，进而确定当EP取得最大值时，PQ取得最大值，根据点A和点C坐标使用待定系数法求出直线AC解析式，进而用p表示EP的长度，再根据二次函数的最值求出p的值，最后代入计算即可．
【详解】（1）解：把点A和点B坐标代入抛物线解析式得 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0
所以抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）解：如下图所示，连接MA，设直线AC与二次函数的对称轴交于N．
∵ SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
∴点A和点B关于二次函数的对称轴对称，OA=2．
∴MA=MB．
∴MB+MC=MA+MC．
∴当点M与点N重合时MA+MC取得最小值，即MB+MC取得最小值为AC．
∵抛物线 SKIPIF 1 < 0 与y轴交于点C，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴OC=2．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴MB+MC的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
（3）解：如下图所示，过点P作PD⊥x轴于D，交直线AC于E，设 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，设直线AC解析式为y=kx+d．
∵OA=2，OC=2，
∴OA=OC．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵PD⊥x轴，
∴∠ADE=90°．
∴∠DEA=180°-∠ADE-∠OAC=45°．
∴∠QEP=∠DEA=45°．
∵PQ⊥AC，
∴∠PQE=90°， SKIPIF 1 < 0 ．
∴∠QPE=180°-∠PQE-∠QEP=45°．
∴∠QPE=∠QEP．
∴QE=PQ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴当EP取得最大值时，PQ取得最大值．
把点A和点C坐标代入直线AC解析式得 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0
∴直线AC解析式为 SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴当 SKIPIF 1 < 0 时，EP取得最大值．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴线段PQ存在最大值，此时点P坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
5．（2022·辽宁沈阳·沈阳市第七中学校考模拟预测）如图，抛物线 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，且与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)分别求抛物线和直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式；
(2)在 SKIPIF 1 < 0 轴上有一动点 SKIPIF 1 < 0 ，抛物线上有一动点 SKIPIF 1 < 0 ，是否存在以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)点 SKIPIF 1 < 0 为抛物线上位于直线 SKIPIF 1 < 0 上方的一点，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴交直线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为对称轴上一动点，当线段 SKIPIF 1 < 0 的长度最大时，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
【答案】(1)抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0
(2)存在， SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0
【思路与分析】（1）将点A（3，2）和点B（4，− SKIPIF 1 < 0 ）代入y＝ax2＋bx＋ SKIPIF 1 < 0 得
SKIPIF 1 < 0 ，可解得抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋ SKIPIF 1 < 0 ，令x＝0得y＝ SKIPIF 1 < 0 ，得C（0， SKIPIF 1 < 0 ），设直线BC的解析式为y＝kx＋ SKIPIF 1 < 0 ，将B（4，− SKIPIF 1 < 0 ）代入可得直线BC的解析式为y＝−x＋ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设G（m，0）， SKIPIF 1 < 0 ，又O（0，0），A（3，2），分三种情况：①若GH、OA为对角线，则GH、OA的中点重合，有 SKIPIF 1 < 0 ，可解得H（−1，2），②若GO、HA为对角线，则GO、HA的中点重合，有 SKIPIF 1 < 0 ，可解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；③若GA、OH为对角线，则GA、OH的中点重合，有 SKIPIF 1 < 0 ，解得H（−1，2）；
（3）作A关于抛物线对称轴的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 交抛物线对称轴于 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即知t＝2时，DE取最小值2，D（2， SKIPIF 1 < 0 ），抛物线 SKIPIF 1 < 0 的对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，得A（3，2）关于对称轴直线x＝1的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，当D、P、 SKIPIF 1 < 0 共线时， SKIPIF 1 < 0 最小，即 SKIPIF 1 < 0 最小， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 的长， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】（1）解：把点A（3，2）和点B（4，− SKIPIF 1 < 0 ）代入y＝ax2＋bx＋ SKIPIF 1 < 0 得
SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 代入得：
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
答：抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）存在以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 若 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为对角线，则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点重合，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 此时 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合，舍去 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 若 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为对角线，则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点重合，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 若 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为对角线，则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点重合，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 舍去 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述， SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
（3）作A关于抛物线对称轴的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 交抛物线对称轴于 SKIPIF 1 < 0 ，如图：

设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最小值 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 抛物线 SKIPIF 1 < 0 的对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 关于对称轴直线 SKIPIF 1 < 0 的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 共线，
SKIPIF 1 < 0 此时 SKIPIF 1 < 0 最小，即 SKIPIF 1 < 0 最小， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 的长，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
6．（2022·黑龙江大庆·统考一模）如图，已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 与x轴相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，与y轴相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，抛物线的顶点为D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若P是直线BC下方抛物线上任意一点，过点P作 SKIPIF 1 < 0 轴于点H，与BC交于点M．
①求线段PM长度的最大值．
②在①的条件下，若F为y轴上一动点，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
【答案】(1)y＝x2－2x－3
(2)① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0
【思路与分析】（1）将 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）①根据 SKIPIF 1 < 0 的解析式和抛物线的解析式，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，表示 SKIPIF 1 < 0 的长，根据二次函数的最值可得：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最大值；
②当 SKIPIF 1 < 0 取最大值时， SKIPIF 1 < 0 ，确定 SKIPIF 1 < 0 的位置：在 SKIPIF 1 < 0 轴的负半轴取点 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三点共线时，如图2， SKIPIF 1 < 0 最小，即 SKIPIF 1 < 0 的值最小，根据 SKIPIF 1 < 0 的直角三角形的性质可得结论．
【详解】(1)解：把 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 代入抛物线 SKIPIF 1 < 0 中
得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 抛物线的解析式为： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)解：①如图，
令 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 的解析式为： SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的解析式为： SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最大值为 SKIPIF 1 < 0 ；
②当 SKIPIF 1 < 0 有最大值， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 轴的负半轴上取一点 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三点共线时， SKIPIF 1 < 0 最小，即 SKIPIF 1 < 0 的值最小，
SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0 ．
7．（2022·山东临沂·统考一模）如图，抛物线 SKIPIF 1 < 0 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线 SKIPIF 1 < 0 过B、C两点，连接AC．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点M(3，1)是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为抛物线对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PM的最小值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0
【思路与分析】（1）根据一次函数解析式可求出点B，C的坐标，再代入抛物线解析式进而求解即可；
（2）设点D的坐标为（x， SKIPIF 1 < 0 ），则点E的坐标为（x， SKIPIF 1 < 0 ），由坐标得DE＝ SKIPIF 1 < 0 －（ SKIPIF 1 < 0 ）= SKIPIF 1 < 0 ，当x＝2时，线段DE的长度最大，此时，点D的坐标为（2， SKIPIF 1 < 0 ），点C和点M关于对称轴对称，连接CD交对称轴于点P，此时PD＋PM最小，连接CM交直线DE于点F，则∠DFC＝90°，由勾股定理得CD＝ SKIPIF 1 < 0 ，根据PD＋PM＝PC＋PD＝CD，即可求解．
【详解】(1)解：∵直线 SKIPIF 1 < 0 过B、C两点，且B，C分别在x轴和y轴上
当x=0时，y=1
当y=0时，x=4
∴点B（4，0），点C（0，1）
∵抛物线 SKIPIF 1 < 0 与x轴交于点B，与y轴交于点C，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线的解析式为： SKIPIF 1 < 0 ．
(2)解：设点D的坐标为（x， SKIPIF 1 < 0 ），则点E的坐标为（x， SKIPIF 1 < 0 ），
∵点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，
∴DE＝ SKIPIF 1 < 0 －（ SKIPIF 1 < 0 ）= SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ＜0，
∴当x＝2时，线段DE的长度最大，
此时，点D的坐标为（2， SKIPIF 1 < 0 ），
∵C（0，1），M（3，1），
∴点C和点M关于对称轴对称，
连接CD交对称轴于点P，此时PD＋PM最小，
连接CM交直线DE于点F，则∠DFC＝90°，点F的坐标为（2，1），
∴CD＝ SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，
∵PD＋PM＝PC＋PD＝CD，
∴PD＋PM的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
8．（2021·贵州遵义·校考二模）在平面直角坐标系中，有一抛物线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线交抛物线于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ．把 SKIPIF 1 < 0 向右平移，当点 SKIPIF 1 < 0 刚好落在抛物线上时得 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的对应点分别是点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，如图（1）．
(1)线段 SKIPIF 1 < 0 的长为__________，直角三角形平移的距离是__________，抛物线的对称轴是直线 SKIPIF 1 < 0 __________；
(2)将 SKIPIF 1 < 0 绕着点 SKIPIF 1 < 0 沿逆时针方向旋转，点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的对应点分别记为点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，当点 SKIPIF 1 < 0 落在抛物线的对称轴上时，在直线 SKIPIF 1 < 0 的下方的抛物线上有一点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的平行线交直线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ．线段 SKIPIF 1 < 0 的长是否存在最大值，若存在，求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，若不存在，说明理由；
(3)在（2）的条件下， SKIPIF 1 < 0 继续旋转，当点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 之间的距离最小时，求在整个旋转过程中点 SKIPIF 1 < 0 所经过的路径的长．
【答案】(1)3；5；1.
(2)存在， SKIPIF 1 < 0 .
(3) SKIPIF 1 < 0 .
【思路与分析】（1）将 SKIPIF 1 < 0 代入二次函数解析式可得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，由题意知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，进而可得 SKIPIF 1 < 0 的长，直角三角形平移的距离，根据对称轴的求解公式计算可得对称轴；
（2）由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，由勾股定理得 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得 SKIPIF 1 < 0 坐标，设 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 。可知 SKIPIF 1 < 0 点坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，如图1，由图可知 SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，待定系数法求解直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，计算求解最大值即可；
（3）由 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，可知顶点坐标 SKIPIF 1 < 0 ，由题意知 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，4为半径的圆上，如图2，连接 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 的交点即为 SKIPIF 1 < 0 最小时的 SKIPIF 1 < 0 点，作 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的交点，求解 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得 SKIPIF 1 < 0 的值，进而根据弧长的公式求解即可．
【详解】(1)解：将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线的对称轴是直线 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：3；5；1．
(2)解：由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由勾股定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 点坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
如图1，
由图可知 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入解析式得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时，线段 SKIPIF 1 < 0 的长最大，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴存在，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
(3)解：由 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，可知顶点坐标 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意知 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，4为半径的圆上，如图2，连接 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 的交点即为 SKIPIF 1 < 0 最小时的 SKIPIF 1 < 0 点，作 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的交点，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由旋转的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴整个旋转过程中点 SKIPIF 1 < 0 所经过的路径的长为 SKIPIF 1 < 0 ．
9．（2022·甘肃天水·校考三模）如图，抛物线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于A、B两点，与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点C，直线 SKIPIF 1 < 0 过B、C两点，连接AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（3）点 SKIPIF 1 < 0 是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作 SKIPIF 1 < 0 轴交直线BC于点E，点P为抛物线对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）见解析；（3） SKIPIF 1 < 0
【思路与分析】（1）先利用直线 SKIPIF 1 < 0 得到点B和点C的坐标，利用待定系数法求解；
（2）根据解析式求得点A的坐标，求出两个三角形的边长，根据两组对应边成比例夹角相等求证；
（3）设点D的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，将线段DE的长用函数关系式表示为顶点式形式，利用函数的性质得到当 SKIPIF 1 < 0 时，线段DE的长度最大，得到点D的坐标，再利用轴对称及勾股定理求出答案即可．
【详解】（1）解：∵直线 SKIPIF 1 < 0 分别与 SKIPIF 1 < 0 轴和 SKIPIF 1 < 0 轴交于点B和点C，
∴点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2），
把 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别代入 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）∵抛物线 SKIPIF 1 < 0 与x轴交于点A，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴点A的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（3）设点D的坐标为 SKIPIF 1 < 0
则点E的坐标为 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时，线段DE的长度最大．
此时，点D的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴点C和点M关于对称轴对称，
连接CD交对称轴于点P，此时 SKIPIF 1 < 0 最小．
连接CM交直线DE于点F，则 SKIPIF 1 < 0 ，点F的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值 SKIPIF 1 < 0 ．
．
10．（2021·湖北襄阳·统考二模）在平面直角坐标系中，二次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象经过点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的值，并用含 SKIPIF 1 < 0 的代数式表示 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，
①求此函数的表达式，并写出当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最大值和最小值．
②如图：抛物线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴的左侧交点为 SKIPIF 1 < 0 ，作直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 下方抛物线上一动点，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ．是否存在点 SKIPIF 1 < 0 使 SKIPIF 1 < 0 的周长最大？若存在，请求出 SKIPIF 1 < 0 点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若线段 SKIPIF 1 < 0 的端点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，此二次函数的图象与线段 SKIPIF 1 < 0 只有一个公共点，求出 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）① SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ；②存在， SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【思路与分析】（1）把A、B的坐标分别代入解析式即可求解；
（2）①把解析式化成顶点式即可求得结论；②根据图象上点的坐标特征即可求得；
（3）当a＞0时，若抛物线与线段CD只有一个公共点，则抛物线上的点（1，3a+10）在D点的上方，即可求解；②当a＜0时，若抛物线的顶点在线段CD上，则抛物线与线段只有一个公共点，即可求解．
【详解】解：（1）把 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
把 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）①当 SKIPIF 1 < 0 时，此函数表达式为 SKIPIF 1 < 0 ，图象开口向上．
由顶点坐标公式可知顶点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
观察图象结合增减性，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最大值，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最小值，
把 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
② SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 在左侧，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，把 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
代入可求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 最大时，周长最大，
又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最大值，即此刻 SKIPIF 1 < 0 周长最大，
把 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）①当 SKIPIF 1 < 0 时，若抛物线与线段 SKIPIF 1 < 0 只有一个公共点（如图1），
SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
则抛物线上的点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 点的上方，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
②当 SKIPIF 1 < 0 时，因为抛物线与线段只有一个公共点，
又图象经过点 SKIPIF 1 < 0 ，和 SKIPIF 1 < 0 则抛物线的顶点必在线段 SKIPIF 1 < 0 上，（如图2）
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，对称轴在 SKIPIF 1 < 0 轴左侧，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，故只能是 SKIPIF 1 < 0 ，
综上， SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．