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中考数学二轮复习考点培优专练专题七 与三角形有关常用几何模型（2份打包，原卷版+解析版）
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这是一份中考数学二轮复习考点培优专练专题七 与三角形有关常用几何模型（2份打包，原卷版+解析版），文件包含中考数学二轮复习考点培优专练专题七与三角形有关常用几何模型原卷版doc、中考数学二轮复习考点培优专练专题七与三角形有关常用几何模型解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共233页， 欢迎下载使用。
例题1如图， SKIPIF 1 < 0 ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG．
（1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；
（2）判断 SKIPIF 1 < 0 BEG的形状，并说明理由．
练习题
1．已知： SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的角平分线，且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）如图1，求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）如图2， SKIPIF 1 < 0 ，点E在 SKIPIF 1 < 0 上，连接 SKIPIF 1 < 0 并延长交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交CA的延长线于点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ．
①求证： SKIPIF 1 < 0 ；
②若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
2．在 SKIPIF 1 < 0 中，BE，CD为 SKIPIF 1 < 0 的角平分线，BE，CD交于点F．
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）已知 SKIPIF 1 < 0 ．
①如图1，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求CE的长；
②如图2，若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的大小．
3．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．求证：BE＝ SKIPIF 1 < 0 CD．
4．在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，点E是直线BC上的动点．
（1）如图1，当点E在CB的延长线上时，连接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，则∠ABC的度数为 ．
（2）如图2，AC＞AB，点P在线段AD延长线上，比较AC+BP与AB+CP之间的大小关系，并证明．
（3）连接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且满足AB+AC＝EC，请求出∠ACB的度数（要求：画图，写思路，求出度数）．
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，交BC于点D，过D作DE⊥BA于点E，点F在AC上，且BD＝DF．
（1）求证：AC＝AE；
（2）若AB＝7.4，AF＝1.4，求线段BE的长．
6．（1）如图1，射线OP平分∠MON，在射线OM，ON上分别截取线段OA，OB，使OA＝OB，在射线OP上任取一点D，连接AD，BD．求证：AD＝BD．
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求证：BC＝AC+AD．
（3）如图3，在四边形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C为BD边中点，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值．
7．已知：如图， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别平分 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，点E在 SKIPIF 1 < 0 上．用等式表示线段 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三者之间的数量关系，并证明．
8．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的平分线，延长 SKIPIF 1 < 0 至点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，试求 SKIPIF 1 < 0 的度数．
9．在平面直角坐标系中，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点C为x轴正半轴上一动点，过点A作 SKIPIF 1 < 0 交y轴于点E．
（1）如图 SKIPIF 1 < 0 ，若点C的坐标为（3，0），试求点E的坐标；
（2）如图 SKIPIF 1 < 0 ，若点C在x轴正半轴上运动，且 SKIPIF 1 < 0 ，其它条件不变，连接DO，求证：OD平分 SKIPIF 1 < 0
（3）若点C在x轴正半轴上运动，当 SKIPIF 1 < 0 时，试探索线段AD、OC、DC的数量关系，并证明．
10．四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）如图1，若 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
（2）如图2，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
（3）如图3，在（2）的条件下，作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长度．
二、一线三等角模型
例题2（1）课本习题回放：“如图①， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，垂足分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．求 SKIPIF 1 < 0 的长”，请直接写出此题答案： SKIPIF 1 < 0 的长为________．
（2）探索证明：如图②，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的边 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内部的射线 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ．求证： SKIPIF 1 < 0 ．
（3）拓展应用：如图③，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．点 SKIPIF 1 < 0 在边 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 的面积为15，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程）
练习题
1．如图，点P，D分别是∠ABC边BA，BC上的点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．连结PD，以PD为边，在PD的右侧作等边△DPE，连结BE，则△BDE的面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C．4D． SKIPIF 1 < 0
2．课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间(如图)，∠ACB＝90°，AC＝BC，从三角板的刻度可知AB＝20cm，小聪想知道砌墙砖块的厚度(每块砖的厚度相等)，下面为砌墙砖块厚度的平方是（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 cm2B． SKIPIF 1 < 0 cm2C． SKIPIF 1 < 0 cm2D． SKIPIF 1 < 0 cm2
3．【问题解决】
（1）已知△ABC中，AB=AC，D，A，E三点都在直线l上，且有∠BDA=∠AEC=∠BAC．如图①，当∠BAC=90°时，线段DE，BD，CE的数量关系为：______________；
【类比探究】
（2）如图②，在（1）的条件下，当0°<∠BAC<180°时，线段DE，BD，CE的数量关系是否变化，若不变，请证明：若变化，写出它们的关系式；
【拓展应用】
（3）如图③，AC=BC，∠ACB=90°，点C的坐标为（-2，0），点B的坐标为（1，2），请求出点A的坐标．
4．（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：△ABD≌△CAE；
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论△ABD≌△CAE是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展应用：如图3，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求证：△DEF是等边三角形．
5．已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．BE、AD分别与过点C的直线垂直，且垂足分别为D，E．
学习完第十二章后，张老师首先让同学们完成问题1：如图1，若AD=2.5cm，DE=1.7cm，求BE的长；然后，张老师又提出问题2：将图1中的直线CE绕点C旋转到△ABC的外部，BE、AD与直线CE的垂直关系不变，如图2，猜想AD、DE、BE三者的数量关系，并给予证明．
6．感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：
如图1， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ；又因为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，进而得到 SKIPIF 1 < 0 ______．我们把这个模型称为“一线三等角”模型．
应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点P是BC边上的一个动点（不与B、C重合），点D是AC边上的一个动点，且 SKIPIF 1 < 0 ．
①求证： SKIPIF 1 < 0 ；
②当点P为BC中点时，求CD的长；
拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当 SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形时，请直接写出BP的长．
7．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
(1)直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，求证：DE＝AD+BE；
(2)当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不写证明过程）；
(3)当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不写证明过程）．
8．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）如图①所示，直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．求证： SKIPIF 1 < 0 ．
（2）如图②所示，直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是否成立？请说明理由．
9．问题背景：（1）如图①，已知 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线m经过点A， SKIPIF 1 < 0 直线m， SKIPIF 1 < 0 直线m，垂足分别为点D，E，易证： SKIPIF 1 < 0 ______+______．
（2）拓展延伸：如图②，将（1）中的条件改为：在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，D，A，E三点都在直线m上，并且有 SKIPIF 1 < 0 ，请求出DE，BD，CE三条线段的数量关系，并证明．
（3）实际应用：如图③，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点C的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，点A的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，请直接写出B点的坐标．
10．探究：（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．请直接写出线段BD，DE，CE之间的数量关系是 ．
拓展：（2）如图（2），将探究中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问探究中的结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
应用：（3）如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，请直接写出△DEF的形状是 ．
三、手拉手模型
例题3如图，在 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ．连接 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为邻边作 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别与 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 重合时（图1），易得 SKIPIF 1 < 0 ．当 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转到（图2）位置时，请直接写出线段 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的数量关系________；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转到（图3）位置时，试判断线段 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的数量关系，并证明你的结论；
(3)若 SKIPIF 1 < 0 为任意角度， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转一周（图4），当 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三点共线时，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 的长度．
练习题
1．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC SKIPIF 1 < 0 ，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB'C'的位置，连接BC'，BC'的延长线交AB'于点D，则BD的长为 _____．
2．已知，如图，等腰∆ABC中，∠A＝30°，AB＝AC＝8，D是AB上一点，且AD＝6，E为AC边上一动点，以DE为边向右侧作等边三角形DEF．
（1）当F在AC边上时，AF长为______；
（2）连结BF，则BF的取值范围为______．
3．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，在△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE交于点F，连接AF．
(1)求证：△ABD≌△ACE；
(2)求证：FA平分∠BFE．
4．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE，BD与CE交于点O，BD与AC交于点F．
（1）求证：BD＝CE．
（2）若∠BAC＝48°，求∠COD的度数．
（3）若G为CE上一点，GE＝OD，AG＝OC，且AG∥BD，求证：BD⊥AC．
5．【理解概念】当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形．若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”，
当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形．若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“真等腰直角线”，把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”．
(1)【巩固新知】如图①，若AD=3，AD=DB=DC，BC=3 SKIPIF 1 < 0 ，则四边形ABCD______（填“是”或“否”）真等腰直角四边形．
(2)【深度理解】在图①中，如果四边形ABCD是真等腰直角四边形，且∠BDC=90°，对角线BD是这个四边形的真等腰直角线，当AD=4，AB=3时，则边BC的长是______．
(3)如图②，四边形ABCD与四边形ABDE都是等腰直角四边形，且∠BDC=90°，∠ADE=90°，BD＞AD＞AB，对角线BD、AD分别是这两个四边形的等腰直角线．求证：AC=BE．
(4)【拓展提高】在图3中，已知：四边形ABCD是等腰直角四边形，对角线BD是这个四边形的等腰直角线．若BD正好是分得的等腰直角三角形的一条直角边，且AD=3，AB=4，∠BAD=45°，求AC的长．
6．如图，已知点P在矩形ABCD外，∠APB＝90°，PA＝PB，点E、F分别在AD、BC上运动，且∠EPF＝45°，连接EF．
(1)求证：△APE∽△BFP；
(2)若△PEF是等腰直角三角形，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(3)试探究线段AE、BF、EF之间满足的等量关系，并证明你的结论．
7．如图，在等腰直角三角形ABC和ADE中，AC＝AB，AD＝AE，连接BD，点M、N分别是BD，BC的中点，连接MN．
（1）如图1，当顶点D在边AC上时，请直接写出线段BE与线段MN的数量关系是 ，位置关系是 ．
（2）当△ADE绕点A旋转时，连接BE，上述结论是否依然成立，若成立，请就图2情况给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）当AC＝8时，在△ADE绕点A旋转过程中，以D，E，M，N为顶点可以组成平行四边形，请直接写出AD的长．
8．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，D为BC延长线上一点，点E为线段AC，CD的垂直平分线的交点，连接EA，EC，ED．
（1）如图1，当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 _______°；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，
①如图2，连接AD，判断 SKIPIF 1 < 0 的形状，并证明；
②如图3，直线CF与ED交于点F，满足 SKIPIF 1 < 0 ．P为直线CF上一动点．当 SKIPIF 1 < 0 的值最大时，用等式表示PE，PD与AB之间的数量关系为_______，并证明．
9．如图， SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，D为AC边上一点，连接BD，M为BD的中点，连接AM．
(1)如图1，若AB＝2 SKIPIF 1 < 0 +2，∠ABD＝45°，求 SKIPIF 1 < 0 的面积；
(2)如图2，过点M作 SKIPIF 1 < 0 与AC交于点E，与BC的延长线交于点N，求证：AD＝CN；
(3)如图3，在（2）的条件下，将 SKIPIF 1 < 0 沿AM翻折得 SKIPIF 1 < 0 ，连接B'N，当B'N取得最小值时，直接写出 SKIPIF 1 < 0 的值．
10．【学习概念】有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．
【理解运用】
(1)如图1，对余四边形中，AB = 5，BC = 6，CD = 4，连接AC，若AC = AB，则cs∠ABC=___________， sin∠CAD=__________．
(2)如图2，凸四边形中，AD = BD，AD⊥BD，当2CD2 + CB2 = CA2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形，证明你的结论．
【拓展提升】
(3)在平面直角坐标中，A（－1，0），B（3，0），C（1，2），四边形ABCD是对余四边形，点E在对余线BD上，且位于△ABC内部，∠AEC = 90° + ∠ABC．设 SKIPIF 1 < 0 = u，点D的纵坐标为t，请在下方横线上直接写出u与t的函数表达，并注明t的取值范围____________________________ ．
四、旋转模型
例题4【课题研究】旋转图形中对应线段所在直线的夹角（小于等于90°的角）与旋转角的关系．
【问题初探】线段AB绕点O顺时针旋转得到线段CD，其中点A与点C对应，点B与点D对应，旋转角的度数为α，且0°＜α＜180°．
（1）如图①，当α＝60°时，线段AB、CD所在直线夹角（锐角）为 ；
（2）如图②，当90°＜α＜180°时，直线AB与直线CD所夹锐角与旋转角α存在怎样的数量关系？请说明理由；
【形成结论】旋转图形中，当旋转角小于平角时，对应线段所在直线的夹角与旋转角 ．
【运用拓广】运用所形成的结论解决问题：
（3）如图③，四边形ABCD中，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AB＝BC，CD＝3，BD＝ SKIPIF 1 < 0 ，求AD的长．
练习题
1．如图，等边 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 分别交 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 是等边三角形；
（2）将 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），设直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ．
①如图，当 SKIPIF 1 < 0 时，判断 SKIPIF 1 < 0 的度数是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由；
②若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线时，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
2．如图1，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别在边 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点．
（1）观察猜想：图1中，线段 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量关系是______，位置关系是______．
（2）探究证明：把 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 逆时针方向旋转到图2的位置，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，判断 SKIPIF 1 < 0 的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 在平面内自由旋转，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值．
3．在 SKIPIF 1 < 0 ABC和 SKIPIF 1 < 0 CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，CD＝CE，点D在边AC上，点E在边BC上，如图1将 SKIPIF 1 < 0 CDE绕点C按顺时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α≤90°）．
（1）连接AD，BE．求证：AD＝BE，AD⊥BE；
（2）当旋转至图2位置时，点A，D，E在一条直线上，连接BD，BE，若AD＝2 SKIPIF 1 < 0 ，CD＝1，则BD= ；
（3）当α＝90°时，如图3，连接AD，BE，延长AD交BE于点F，连接CF，若DF＝1．EF＝ SKIPIF 1 < 0 ．则CF＝ ．
4．如图，在直角 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点D是 SKIPIF 1 < 0 上一点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，把 SKIPIF 1 < 0 绕点A逆时针旋转90°，得到 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点M．
（1）如图1，若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长；
（2）如图2，若 SKIPIF 1 < 0 ，点N为 SKIPIF 1 < 0 上一点， SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（3）如图3，若 SKIPIF 1 < 0 ，点D为直线 SKIPIF 1 < 0 上一动点，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 交于点M，当 SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形时，请直接写出此时 SKIPIF 1 < 0 的度数．
5．综合与实践问题情境：一次数学课上，老师出示了课本中的一道复习题：如图， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是等边三角形， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 上的点，且 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．
初步探究：
（1）试判断 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量关系，并说明理由；
（2）求证：四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形；
深入探究：
（3）如图2，四边形 SKIPIF 1 < 0 和四边形 SKIPIF 1 < 0 都是正方形， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 上的点，且 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，试判断四边形 SKIPIF 1 < 0 的形状，并说明理由；
拓展延伸：
（4）如图3，四边形 SKIPIF 1 < 0 和四边形 SKIPIF 1 < 0 都是菱形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上一点，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，若四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 的长．
6．在 SKIPIF 1 < 0 ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作 SKIPIF 1 < 0 ADE，使AD=AE，∠DAE =∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE= 度；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
①如图2，当点在线段BC上移动，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点在直线BC上（线段BC之外）移动，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
7．如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC
（1）试探索线段BC，DC，EC之间满足的等量关系，并证明你的结论．
（2）如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论．
8．如图1， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 ，并用含 SKIPIF 1 < 0 的式子表示 SKIPIF 1 < 0 的度数；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点分别为点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，如图2，判断 SKIPIF 1 < 0 的形状，并加以证明．
9．（1）如图①，在四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是边 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上的点，且 SKIPIF 1 < 0 ．请直接写出线段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 之间的数量关系：__________；
（2）如图②，在四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是边 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上的点，且 SKIPIF 1 < 0 ，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
（3）在四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是边 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所在直线上的点，且 SKIPIF 1 < 0 ．请画出图形（除图②外），并直接写出线段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 之间的数量关系．
10．四边形 SKIPIF 1 < 0 是由等边 SKIPIF 1 < 0 和顶角为 SKIPIF 1 < 0 的等腰 SKIPIF 1 < 0 排成，将一个 SKIPIF 1 < 0 角顶点放在 SKIPIF 1 < 0 处，将 SKIPIF 1 < 0 角绕 SKIPIF 1 < 0 点旋转，该 SKIPIF 1 < 0 交两边分别交直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，交直线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点．
（1）当 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 都在线段 SKIPIF 1 < 0 上时（如图1），请证明： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）当点 SKIPIF 1 < 0 在边 SKIPIF 1 < 0 的延长线上时（如图2），请你写出线段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）在（1）的条件下，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 的长为 ．
五、相似子母图模型
例题5如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求证 △ACD∽△ABC；
（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．
练习题
1．如图，在三角形ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿边AB运动，速度为2cm/s，点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s，如果点P、Q两动点同时运动，何时 SKIPIF 1 < 0 QBP与 SKIPIF 1 < 0 ABC相似？
2．如图，锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，垂足为D，E．
（1）求证：△ACD∽△ABE；
（2）若将点D，E连接起来，则△AED和△ABC能相似吗？说说你的理由．
3．如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，∠BAD＝∠ECA．
（1）求证：AC2＝BC•CD；
（2）若AD是△ABC的中线，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
4．如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，直线OB交⊙O于点E、D，连接EC、CD．
（1）试判断直线AB与⊙O的位置关系，并加以证明；
（2）求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（3）若 SKIPIF 1 < 0 ，⊙O的半径为3，求OA的长．
5． SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点E为 SKIPIF 1 < 0 的中点，连接 SKIPIF 1 < 0 并延长交 SKIPIF 1 < 0 于点F，且有 SKIPIF 1 < 0 ，过F点作 SKIPIF 1 < 0 于点H．
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（3）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
6．如图，已知矩形 SKIPIF 1 < 0 的两条对角线相交于点O，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 分别交 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）连接 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ．求证： SKIPIF 1 < 0 ．
7．如图：在矩形ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，动点Р以 SKIPIF 1 < 0 的速度从A点出发，沿AC向C点移动，同时动点Q以 SKIPIF 1 < 0 的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒 SKIPIF 1 < 0 ．
（1） SKIPIF 1 < 0 ______m， SKIPIF 1 < 0 ______m， SKIPIF 1 < 0 _____m（用含t的代数式表示）
（2）t为多少秒时，以P、Q、C为顶点的三角形与 SKIPIF 1 < 0 相似？
（3）在P、Q两点移动过程中，四边形ABQP与 SKIPIF 1 < 0 CPQ的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．
8．如图1，四边形 SKIPIF 1 < 0 内接于 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的直径， SKIPIF 1 < 0 ．延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于点 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）证明： SKIPIF 1 < 0 ．
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，
①求 SKIPIF 1 < 0 的长度．
②如图2，作 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连结 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积．
9．如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形．
（1）如果 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互为母子三角形，则 SKIPIF 1 < 0 的值可能为（ ）
A．2 B． SKIPIF 1 < 0 C．2或 SKIPIF 1 < 0
（2）已知：如图1， SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的角平分线， SKIPIF 1 < 0 ．
求证： SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互为母子三角形．
（3）如图2， SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是中线，过射线 SKIPIF 1 < 0 上点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交射线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连结 SKIPIF 1 < 0 ，射线 SKIPIF 1 < 0 与射线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互为母子三角形．求 SKIPIF 1 < 0 的值．
10．在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 边上一点， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交射线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，交射线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）如图 SKIPIF 1 < 0 ，当点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 重合时，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
（2）如图 SKIPIF 1 < 0 ，当点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上时，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的函数关系式，并写出它的定义域．
（3）连接 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相似时，求线段 SKIPIF 1 < 0 的长．
六、旋转相似模型
例题6如图，正方形ABCD，对角线AC，BD相交于O，Q为线段DB上的一点， SKIPIF 1 < 0 ，点M、N分别在直线BC、DC上．
（1）如图1，当Q为线段OD的中点时，求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）如图2，当Q为线段OB的中点，点N在CD的延长线上时，则线段DN、BM、BC的数量关系为 ；
（3）在（2）的条件下，连接MN，交AD、BD于点E、F，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求EF的长．
练习题
1．在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，点A为公共顶点， SKIPIF 1 < 0 ．如图②，若△ABC固定不动，把△ADE绕点A逆时针旋转，使AD、AE与边BC的交点分别为M、N点M不与点B重合，点N不与点C重合．
2．如图，在正方形ABCD中，点P在对角线BD上，直线AP交CD于E，PF⊥AE交BC于点F，连接AF交BD于M．
(1)判断△APF的形状，并说明理由；
(2)连接EF，求EF:PM的值．
3．（1）【问题发现】：
如图1在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF，点E与点A重合，易知△ACF∽△BCE．线段BE与AF有怎样的数量关系？请直接写出．
（2）【拓展研究】：
在（1）的条件下，将正方形CDEF绕点C旋转至如图2所示的位置，连接BE，CE，AF．请猜想线段BE和AF的数量关系，并证明你的结论；
（3）【结论运用】：
在（1）（2）的条件下，若△ABC的面积为8时，当正方形CDEF旋转到B、E、F点共线时，请直接写出线段AF的长．
4．如图， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 是有公共顶点直角三角形， SKIPIF 1 < 0 ，点P为射线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的交点．
（1）如图1，若 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）如图2，若 SKIPIF 1 < 0 ，问：（1）中的结论是否成立？请说明理由．
（3）在（1）的条件下， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若把 SKIPIF 1 < 0 绕点A旋转，当 SKIPIF 1 < 0 时，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 的长度
5．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC．
（1）如图1，当α＝60°时，求证：PA＝DC；
（2）如图2，当α＝120°时，猜想PA和DC的数量关系并说明理由．
（3）当α＝120°时，若AB＝6，BP＝ SKIPIF 1 < 0 ，请直接写出点D到CP的距离．
6．在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，点E在 SKIPIF 1 < 0 的内部，连接EC，EB，EA和BD，并且 SKIPIF 1 < 0 ．
【观察猜想】
（1）如图①，当 SKIPIF 1 < 0 时，线段BD与CE的数量关系为__________，线段EA，EB，EC的数量关系为__________．
【探究证明】
（2）如图②，当 SKIPIF 1 < 0 时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，当点E在线段CD上时，若 SKIPIF 1 < 0 ，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 的面积．
7．一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），发现 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ．
小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：
（1）将正方形 SKIPIF 1 < 0 绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到 SKIPIF 1 < 0 吗？若能，请给出证明，请说明理由；
（2）把背景中的正方形分别改成菱形 SKIPIF 1 < 0 和菱形 SKIPIF 1 < 0 ，将菱形 SKIPIF 1 < 0 绕点A按顺时针方向旋转（如图2），试问当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的大小满足怎样的关系时， SKIPIF 1 < 0 ；
（3）把背景中的正方形分别改写成矩形 SKIPIF 1 < 0 和矩形 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （如图3），连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．试求 SKIPIF 1 < 0 的值（用a，b表示）．
8．数学课上，老师拿出两块不同大小的含30度角的三角板让同学们在不同位置尝试操作．
（1）如图1摆放，当点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，得知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
（2）如图2，在（1）的条件下，连结 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积．
（3）如图3摆放，把这同样的两块三角板的直角顶点互相重合放置，小三角板 SKIPIF 1 < 0 绕着点 SKIPIF 1 < 0 旋转，连结 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
（4） SKIPIF 1 < 0 不变，当 SKIPIF 1 < 0 的三边长扩大一倍后，绕点 SKIPIF 1 < 0 旋转一周，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，请你直接写出点 SKIPIF 1 < 0 所经过的运动路径．
9．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P是△ABC外一点，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转α得到线段PD，连接BD，CD，AP．
观察猜想：
（1）如图1，当α＝60°时， SKIPIF 1 < 0 的值为 ，直线CD与 AP所成的较小角的度数为 °；
类比探究：
（2）如图2，当α＝90°时，求出 SKIPIF 1 < 0 的值及直线CD与AP所成的较小角的度数；
拓展应用：
（3）如图3，当α＝90°时，点E，F分别为AB，AC的中点，点P在线段FE的延长线上，点A，D，P三点在一条直线上，BD交PF于点G，CD交AB于点H. 若CD＝2＋ SKIPIF 1 < 0 ，求BD的长．
10．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
（1）问题发现：如图1，在等边 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 是边 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为边作等边 SKIPIF 1 < 0 ，连接CQ，BP与CQ的数量关系是________；
（2）变式探究：如图2，在等腰 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是边 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，以 SKIPIF 1 < 0 为腰作等腰 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，判断 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图3，在正方形 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 是边 SKIPIF 1 < 0 上一点，以 SKIPIF 1 < 0 为边作正方形 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是正方形 SKIPIF 1 < 0 的中心，连接 SKIPIF 1 < 0 ．若正方形 SKIPIF 1 < 0 的边长为5， SKIPIF 1 < 0 ，求正方形 SKIPIF 1 < 0 的边长．
七、K字型相似
例题7已知正方形 SKIPIF 1 < 0 的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的延长线交于点E、F，连接 SKIPIF 1 < 0 ．设 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）如图1，当 SKIPIF 1 < 0 被对角线 SKIPIF 1 < 0 平分时，求a、b的值；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 是直角三角形时，求a、b的值；
（3）如图3，探索 SKIPIF 1 < 0 绕点A旋转的过程中， SKIPIF 1 < 0 的面积是否发生变化？请说明理由．
练习题
1．在矩形 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 边上一点，将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 折叠，使点 SKIPIF 1 < 0 恰好落在 SKIPIF 1 < 0 边上的点 SKIPIF 1 < 0 处．
（1）如图1，若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）如图2，在线段 SKIPIF 1 < 0 上取一点 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，延长 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
2．如图，在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上一点， SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 在同一直线上时，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
3．某数学兴趣小组在学习了尺规作图、等腰三角形和相似三角形的有关知识后，在等腰△ABC中，其中 SKIPIF 1 < 0 ，如图1，进行了如下操作：
第一步，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA的延长线和AC于点E，F，如图2；
第二步，分别以点E，F为圆心，大于 SKIPIF 1 < 0 EF的长为半径画弧，两弧相交于点D，作射线AD；
第三步，以D为圆心，DA的长为半径画弧，交射线AE于点G；
(1)填空；写出∠CAD与∠GAD的大小关系为___；
(2)①请判断AD与BC的位置关系，并说明理由．
②当 SKIPIF 1 < 0 时，连接DG，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 ___；
(3)如图3，根据以上条件，点P为AB的中点，点M为射线AD上的一个动点，连接PM，PC，当 SKIPIF 1 < 0 时，求AM的长．
4．【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合）， SKIPIF 1 < 0 ．易证 SKIPIF 1 < 0 ．（不需要证明）
【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合）， SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求AP的长．
【拓展】如图③，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作 SKIPIF 1 < 0 ，PE与边BC交于点E，当 SKIPIF 1 < 0 是等腰三角形时，直接写出AP的长．
5．已知：如图，四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求证：四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形；
（2）如果点 SKIPIF 1 < 0 在对角线 SKIPIF 1 < 0 上，联结 SKIPIF 1 < 0 并延长，交边 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，交线段 SKIPIF 1 < 0 的延长线于点 SKIPIF 1 < 0 （点 SKIPIF 1 < 0 可与点 SKIPIF 1 < 0 重合）， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 长度是 SKIPIF 1 < 0 是常数，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 的函数关系式，并写出定义域；
（3）在第（2）小题的条件下，当 SKIPIF 1 < 0 是等腰三角形时，求 SKIPIF 1 < 0 的长（计算结果用含 SKIPIF 1 < 0 的代数式表示）
6．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝8cm，BC＝3cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，点Q以2cm/s的速度向点D移动．当点P运动到点B停止时，点Q也随之停止运动．
（1）问几秒后， SKIPIF 1 < 0 PQD的面积为6？
（2）问几秒后，点P和点Q的距离是5cm？
（3）问几秒后，以三点P、Q、D为顶点的三角形为直角三角形？
（提示：根据不同情况画出不同的图形，再给予解决问题．此题包括从开始到结束的所有情况）
7．[初步尝试]
（1）如图①，在三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，则AM与BM的数量关系为 ；
[思考说理]
（2）如图②，在三角形纸片ABC中，AC＝BC＝6，AB＝10，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
[拓展延伸]
（3）如图③，在三角形纸片ABC中，AB＝9，BC＝6，∠ACB＝2∠A，将△ABC沿过顶点C的直线折叠，使点B落在边AC上的点B′处，折痕为CM．
①求线段AC的长；
②若点O是边AC的中点，点P为线段OB′上的一个动点，将△APM沿PM折叠得到△A′PM，点A的对应点为点A′，A′M与CP交于点F，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
8．在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，将一张菱形纸片ABCD（∠BAD＞90°）沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD．
（1）将图1中的△ACD以A为旋转中心，逆时针方向旋转角α，使α＝∠BAC，得到如图2所示的△AC′D，分别延长BC和DC′交于点E，求证四边形ACEC′是菱形；
（2）创新小组将图1中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，当α与∠BAC满足什么数量关系时，得到如图3所示的四边形BCC′D是矩形，请说明理由；
（3）缜密小组在创样报小组发现结论的基础上，量得图3中BC＝13cm，AC＝10cm，求BD的长．
9．在 SKIPIF 1 < 0 中与 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转，连接 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 的中点，连接 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）观察猜想
如图1，当点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 重合时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量关系是__________，位置关系是__________；
（2）类比探究
当点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 不重合时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请仅就图2的情形给出证明；如果不成立，请说明理由．
（3）问题解决在 SKIPIF 1 < 0 旋转过程中，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 的面积的最大值与最小值．
10．已知△ABC和△DCE中，AB＝AC，DC＝DE，BF＝EF，点B，C，E都在同一直线上，且△ABC和△DCE在该直线同侧．
（1）如图①，若∠BAC＝∠CDE＝90°，请猜想线段AF与DF之间的数量关系和位置关系，并证明你的猜想；
（2）如图②，若∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，请直接写出线段AF与DF之间的数量关系和位置关系；
（3）如图③，若∠BAC＝α，∠CDE＝180°﹣α，且BC＞CE，请直接写出线段AF与DF之间的数量关系和位置关系（用含α的式子表示）．
例题1如图， SKIPIF 1 < 0 ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG．
（1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；
（2）判断 SKIPIF 1 < 0 BEG的形状，并说明理由．
练习题
1．已知： SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的角平分线，且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）如图1，求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）如图2， SKIPIF 1 < 0 ，点E在 SKIPIF 1 < 0 上，连接 SKIPIF 1 < 0 并延长交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交CA的延长线于点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ．
①求证： SKIPIF 1 < 0 ；
②若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
2．在 SKIPIF 1 < 0 中，BE，CD为 SKIPIF 1 < 0 的角平分线，BE，CD交于点F．
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）已知 SKIPIF 1 < 0 ．
①如图1，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求CE的长；
②如图2，若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的大小．
3．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．求证：BE＝ SKIPIF 1 < 0 CD．
4．在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，点E是直线BC上的动点．
（1）如图1，当点E在CB的延长线上时，连接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，则∠ABC的度数为 ．
（2）如图2，AC＞AB，点P在线段AD延长线上，比较AC+BP与AB+CP之间的大小关系，并证明．
（3）连接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且满足AB+AC＝EC，请求出∠ACB的度数（要求：画图，写思路，求出度数）．
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，交BC于点D，过D作DE⊥BA于点E，点F在AC上，且BD＝DF．
（1）求证：AC＝AE；
（2）若AB＝7.4，AF＝1.4，求线段BE的长．
6．（1）如图1，射线OP平分∠MON，在射线OM，ON上分别截取线段OA，OB，使OA＝OB，在射线OP上任取一点D，连接AD，BD．求证：AD＝BD．
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求证：BC＝AC+AD．
（3）如图3，在四边形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C为BD边中点，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值．
7．已知：如图， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别平分 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，点E在 SKIPIF 1 < 0 上．用等式表示线段 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三者之间的数量关系，并证明．
8．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的平分线，延长 SKIPIF 1 < 0 至点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，试求 SKIPIF 1 < 0 的度数．
9．在平面直角坐标系中，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点C为x轴正半轴上一动点，过点A作 SKIPIF 1 < 0 交y轴于点E．
（1）如图 SKIPIF 1 < 0 ，若点C的坐标为（3，0），试求点E的坐标；
（2）如图 SKIPIF 1 < 0 ，若点C在x轴正半轴上运动，且 SKIPIF 1 < 0 ，其它条件不变，连接DO，求证：OD平分 SKIPIF 1 < 0
（3）若点C在x轴正半轴上运动，当 SKIPIF 1 < 0 时，试探索线段AD、OC、DC的数量关系，并证明．
10．四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）如图1，若 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
（2）如图2，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
（3）如图3，在（2）的条件下，作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长度．
二、一线三等角模型
例题2（1）课本习题回放：“如图①， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，垂足分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．求 SKIPIF 1 < 0 的长”，请直接写出此题答案： SKIPIF 1 < 0 的长为________．
（2）探索证明：如图②，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的边 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内部的射线 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ．求证： SKIPIF 1 < 0 ．
（3）拓展应用：如图③，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．点 SKIPIF 1 < 0 在边 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 的面积为15，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程）
练习题
1．如图，点P，D分别是∠ABC边BA，BC上的点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．连结PD，以PD为边，在PD的右侧作等边△DPE，连结BE，则△BDE的面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C．4D． SKIPIF 1 < 0
2．课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间(如图)，∠ACB＝90°，AC＝BC，从三角板的刻度可知AB＝20cm，小聪想知道砌墙砖块的厚度(每块砖的厚度相等)，下面为砌墙砖块厚度的平方是（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 cm2B． SKIPIF 1 < 0 cm2C． SKIPIF 1 < 0 cm2D． SKIPIF 1 < 0 cm2
3．【问题解决】
（1）已知△ABC中，AB=AC，D，A，E三点都在直线l上，且有∠BDA=∠AEC=∠BAC．如图①，当∠BAC=90°时，线段DE，BD，CE的数量关系为：______________；
【类比探究】
（2）如图②，在（1）的条件下，当0°<∠BAC<180°时，线段DE，BD，CE的数量关系是否变化，若不变，请证明：若变化，写出它们的关系式；
【拓展应用】
（3）如图③，AC=BC，∠ACB=90°，点C的坐标为（-2，0），点B的坐标为（1，2），请求出点A的坐标．
4．（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：△ABD≌△CAE；
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论△ABD≌△CAE是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展应用：如图3，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求证：△DEF是等边三角形．
5．已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．BE、AD分别与过点C的直线垂直，且垂足分别为D，E．
学习完第十二章后，张老师首先让同学们完成问题1：如图1，若AD=2.5cm，DE=1.7cm，求BE的长；然后，张老师又提出问题2：将图1中的直线CE绕点C旋转到△ABC的外部，BE、AD与直线CE的垂直关系不变，如图2，猜想AD、DE、BE三者的数量关系，并给予证明．
6．感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：
如图1， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ；又因为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，进而得到 SKIPIF 1 < 0 ______．我们把这个模型称为“一线三等角”模型．
应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点P是BC边上的一个动点（不与B、C重合），点D是AC边上的一个动点，且 SKIPIF 1 < 0 ．
①求证： SKIPIF 1 < 0 ；
②当点P为BC中点时，求CD的长；
拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当 SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形时，请直接写出BP的长．
7．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
(1)直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，求证：DE＝AD+BE；
(2)当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不写证明过程）；
(3)当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不写证明过程）．
8．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）如图①所示，直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．求证： SKIPIF 1 < 0 ．
（2）如图②所示，直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是否成立？请说明理由．
9．问题背景：（1）如图①，已知 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线m经过点A， SKIPIF 1 < 0 直线m， SKIPIF 1 < 0 直线m，垂足分别为点D，E，易证： SKIPIF 1 < 0 ______+______．
（2）拓展延伸：如图②，将（1）中的条件改为：在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，D，A，E三点都在直线m上，并且有 SKIPIF 1 < 0 ，请求出DE，BD，CE三条线段的数量关系，并证明．
（3）实际应用：如图③，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点C的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，点A的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，请直接写出B点的坐标．
10．探究：（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．请直接写出线段BD，DE，CE之间的数量关系是 ．
拓展：（2）如图（2），将探究中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问探究中的结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
应用：（3）如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，请直接写出△DEF的形状是 ．
三、手拉手模型
例题3如图，在 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ．连接 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为邻边作 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别与 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 重合时（图1），易得 SKIPIF 1 < 0 ．当 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转到（图2）位置时，请直接写出线段 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的数量关系________；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转到（图3）位置时，试判断线段 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的数量关系，并证明你的结论；
(3)若 SKIPIF 1 < 0 为任意角度， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转一周（图4），当 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三点共线时，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 的长度．
练习题
1．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC SKIPIF 1 < 0 ，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB'C'的位置，连接BC'，BC'的延长线交AB'于点D，则BD的长为 _____．
2．已知，如图，等腰∆ABC中，∠A＝30°，AB＝AC＝8，D是AB上一点，且AD＝6，E为AC边上一动点，以DE为边向右侧作等边三角形DEF．
（1）当F在AC边上时，AF长为______；
（2）连结BF，则BF的取值范围为______．
3．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，在△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE交于点F，连接AF．
(1)求证：△ABD≌△ACE；
(2)求证：FA平分∠BFE．
4．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE，BD与CE交于点O，BD与AC交于点F．
（1）求证：BD＝CE．
（2）若∠BAC＝48°，求∠COD的度数．
（3）若G为CE上一点，GE＝OD，AG＝OC，且AG∥BD，求证：BD⊥AC．
5．【理解概念】当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形．若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”，
当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形．若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“真等腰直角线”，把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”．
(1)【巩固新知】如图①，若AD=3，AD=DB=DC，BC=3 SKIPIF 1 < 0 ，则四边形ABCD______（填“是”或“否”）真等腰直角四边形．
(2)【深度理解】在图①中，如果四边形ABCD是真等腰直角四边形，且∠BDC=90°，对角线BD是这个四边形的真等腰直角线，当AD=4，AB=3时，则边BC的长是______．
(3)如图②，四边形ABCD与四边形ABDE都是等腰直角四边形，且∠BDC=90°，∠ADE=90°，BD＞AD＞AB，对角线BD、AD分别是这两个四边形的等腰直角线．求证：AC=BE．
(4)【拓展提高】在图3中，已知：四边形ABCD是等腰直角四边形，对角线BD是这个四边形的等腰直角线．若BD正好是分得的等腰直角三角形的一条直角边，且AD=3，AB=4，∠BAD=45°，求AC的长．
6．如图，已知点P在矩形ABCD外，∠APB＝90°，PA＝PB，点E、F分别在AD、BC上运动，且∠EPF＝45°，连接EF．
(1)求证：△APE∽△BFP；
(2)若△PEF是等腰直角三角形，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(3)试探究线段AE、BF、EF之间满足的等量关系，并证明你的结论．
7．如图，在等腰直角三角形ABC和ADE中，AC＝AB，AD＝AE，连接BD，点M、N分别是BD，BC的中点，连接MN．
（1）如图1，当顶点D在边AC上时，请直接写出线段BE与线段MN的数量关系是 ，位置关系是 ．
（2）当△ADE绕点A旋转时，连接BE，上述结论是否依然成立，若成立，请就图2情况给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）当AC＝8时，在△ADE绕点A旋转过程中，以D，E，M，N为顶点可以组成平行四边形，请直接写出AD的长．
8．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，D为BC延长线上一点，点E为线段AC，CD的垂直平分线的交点，连接EA，EC，ED．
（1）如图1，当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 _______°；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，
①如图2，连接AD，判断 SKIPIF 1 < 0 的形状，并证明；
②如图3，直线CF与ED交于点F，满足 SKIPIF 1 < 0 ．P为直线CF上一动点．当 SKIPIF 1 < 0 的值最大时，用等式表示PE，PD与AB之间的数量关系为_______，并证明．
9．如图， SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，D为AC边上一点，连接BD，M为BD的中点，连接AM．
(1)如图1，若AB＝2 SKIPIF 1 < 0 +2，∠ABD＝45°，求 SKIPIF 1 < 0 的面积；
(2)如图2，过点M作 SKIPIF 1 < 0 与AC交于点E，与BC的延长线交于点N，求证：AD＝CN；
(3)如图3，在（2）的条件下，将 SKIPIF 1 < 0 沿AM翻折得 SKIPIF 1 < 0 ，连接B'N，当B'N取得最小值时，直接写出 SKIPIF 1 < 0 的值．
10．【学习概念】有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．
【理解运用】
(1)如图1，对余四边形中，AB = 5，BC = 6，CD = 4，连接AC，若AC = AB，则cs∠ABC=___________， sin∠CAD=__________．
(2)如图2，凸四边形中，AD = BD，AD⊥BD，当2CD2 + CB2 = CA2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形，证明你的结论．
【拓展提升】
(3)在平面直角坐标中，A（－1，0），B（3，0），C（1，2），四边形ABCD是对余四边形，点E在对余线BD上，且位于△ABC内部，∠AEC = 90° + ∠ABC．设 SKIPIF 1 < 0 = u，点D的纵坐标为t，请在下方横线上直接写出u与t的函数表达，并注明t的取值范围____________________________ ．
四、旋转模型
例题4【课题研究】旋转图形中对应线段所在直线的夹角（小于等于90°的角）与旋转角的关系．
【问题初探】线段AB绕点O顺时针旋转得到线段CD，其中点A与点C对应，点B与点D对应，旋转角的度数为α，且0°＜α＜180°．
（1）如图①，当α＝60°时，线段AB、CD所在直线夹角（锐角）为 ；
（2）如图②，当90°＜α＜180°时，直线AB与直线CD所夹锐角与旋转角α存在怎样的数量关系？请说明理由；
【形成结论】旋转图形中，当旋转角小于平角时，对应线段所在直线的夹角与旋转角 ．
【运用拓广】运用所形成的结论解决问题：
（3）如图③，四边形ABCD中，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AB＝BC，CD＝3，BD＝ SKIPIF 1 < 0 ，求AD的长．
练习题
1．如图，等边 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 分别交 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 是等边三角形；
（2）将 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），设直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ．
①如图，当 SKIPIF 1 < 0 时，判断 SKIPIF 1 < 0 的度数是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由；
②若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线时，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
2．如图1，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别在边 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点．
（1）观察猜想：图1中，线段 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量关系是______，位置关系是______．
（2）探究证明：把 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 逆时针方向旋转到图2的位置，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，判断 SKIPIF 1 < 0 的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 在平面内自由旋转，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值．
3．在 SKIPIF 1 < 0 ABC和 SKIPIF 1 < 0 CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，CD＝CE，点D在边AC上，点E在边BC上，如图1将 SKIPIF 1 < 0 CDE绕点C按顺时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α≤90°）．
（1）连接AD，BE．求证：AD＝BE，AD⊥BE；
（2）当旋转至图2位置时，点A，D，E在一条直线上，连接BD，BE，若AD＝2 SKIPIF 1 < 0 ，CD＝1，则BD= ；
（3）当α＝90°时，如图3，连接AD，BE，延长AD交BE于点F，连接CF，若DF＝1．EF＝ SKIPIF 1 < 0 ．则CF＝ ．
4．如图，在直角 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点D是 SKIPIF 1 < 0 上一点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，把 SKIPIF 1 < 0 绕点A逆时针旋转90°，得到 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点M．
（1）如图1，若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长；
（2）如图2，若 SKIPIF 1 < 0 ，点N为 SKIPIF 1 < 0 上一点， SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（3）如图3，若 SKIPIF 1 < 0 ，点D为直线 SKIPIF 1 < 0 上一动点，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 交于点M，当 SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形时，请直接写出此时 SKIPIF 1 < 0 的度数．
5．综合与实践问题情境：一次数学课上，老师出示了课本中的一道复习题：如图， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是等边三角形， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 上的点，且 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．
初步探究：
（1）试判断 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量关系，并说明理由；
（2）求证：四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形；
深入探究：
（3）如图2，四边形 SKIPIF 1 < 0 和四边形 SKIPIF 1 < 0 都是正方形， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 上的点，且 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，试判断四边形 SKIPIF 1 < 0 的形状，并说明理由；
拓展延伸：
（4）如图3，四边形 SKIPIF 1 < 0 和四边形 SKIPIF 1 < 0 都是菱形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上一点，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，若四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 的长．
6．在 SKIPIF 1 < 0 ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作 SKIPIF 1 < 0 ADE，使AD=AE，∠DAE =∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE= 度；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
①如图2，当点在线段BC上移动，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点在直线BC上（线段BC之外）移动，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
7．如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC
（1）试探索线段BC，DC，EC之间满足的等量关系，并证明你的结论．
（2）如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论．
8．如图1， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 ，并用含 SKIPIF 1 < 0 的式子表示 SKIPIF 1 < 0 的度数；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点分别为点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，如图2，判断 SKIPIF 1 < 0 的形状，并加以证明．
9．（1）如图①，在四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是边 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上的点，且 SKIPIF 1 < 0 ．请直接写出线段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 之间的数量关系：__________；
（2）如图②，在四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是边 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上的点，且 SKIPIF 1 < 0 ，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
（3）在四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是边 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所在直线上的点，且 SKIPIF 1 < 0 ．请画出图形（除图②外），并直接写出线段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 之间的数量关系．
10．四边形 SKIPIF 1 < 0 是由等边 SKIPIF 1 < 0 和顶角为 SKIPIF 1 < 0 的等腰 SKIPIF 1 < 0 排成，将一个 SKIPIF 1 < 0 角顶点放在 SKIPIF 1 < 0 处，将 SKIPIF 1 < 0 角绕 SKIPIF 1 < 0 点旋转，该 SKIPIF 1 < 0 交两边分别交直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，交直线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点．
（1）当 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 都在线段 SKIPIF 1 < 0 上时（如图1），请证明： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）当点 SKIPIF 1 < 0 在边 SKIPIF 1 < 0 的延长线上时（如图2），请你写出线段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）在（1）的条件下，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 的长为 ．
五、相似子母图模型
例题5如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求证 △ACD∽△ABC；
（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．
练习题
1．如图，在三角形ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿边AB运动，速度为2cm/s，点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s，如果点P、Q两动点同时运动，何时 SKIPIF 1 < 0 QBP与 SKIPIF 1 < 0 ABC相似？
2．如图，锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，垂足为D，E．
（1）求证：△ACD∽△ABE；
（2）若将点D，E连接起来，则△AED和△ABC能相似吗？说说你的理由．
3．如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，∠BAD＝∠ECA．
（1）求证：AC2＝BC•CD；
（2）若AD是△ABC的中线，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
4．如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，直线OB交⊙O于点E、D，连接EC、CD．
（1）试判断直线AB与⊙O的位置关系，并加以证明；
（2）求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（3）若 SKIPIF 1 < 0 ，⊙O的半径为3，求OA的长．
5． SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点E为 SKIPIF 1 < 0 的中点，连接 SKIPIF 1 < 0 并延长交 SKIPIF 1 < 0 于点F，且有 SKIPIF 1 < 0 ，过F点作 SKIPIF 1 < 0 于点H．
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（3）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
6．如图，已知矩形 SKIPIF 1 < 0 的两条对角线相交于点O，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 分别交 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）连接 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ．求证： SKIPIF 1 < 0 ．
7．如图：在矩形ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，动点Р以 SKIPIF 1 < 0 的速度从A点出发，沿AC向C点移动，同时动点Q以 SKIPIF 1 < 0 的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒 SKIPIF 1 < 0 ．
（1） SKIPIF 1 < 0 ______m， SKIPIF 1 < 0 ______m， SKIPIF 1 < 0 _____m（用含t的代数式表示）
（2）t为多少秒时，以P、Q、C为顶点的三角形与 SKIPIF 1 < 0 相似？
（3）在P、Q两点移动过程中，四边形ABQP与 SKIPIF 1 < 0 CPQ的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．
8．如图1，四边形 SKIPIF 1 < 0 内接于 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的直径， SKIPIF 1 < 0 ．延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于点 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）证明： SKIPIF 1 < 0 ．
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，
①求 SKIPIF 1 < 0 的长度．
②如图2，作 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连结 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积．
9．如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形．
（1）如果 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互为母子三角形，则 SKIPIF 1 < 0 的值可能为（ ）
A．2 B． SKIPIF 1 < 0 C．2或 SKIPIF 1 < 0
（2）已知：如图1， SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的角平分线， SKIPIF 1 < 0 ．
求证： SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互为母子三角形．
（3）如图2， SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是中线，过射线 SKIPIF 1 < 0 上点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交射线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连结 SKIPIF 1 < 0 ，射线 SKIPIF 1 < 0 与射线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互为母子三角形．求 SKIPIF 1 < 0 的值．
10．在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 边上一点， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交射线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，交射线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）如图 SKIPIF 1 < 0 ，当点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 重合时，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
（2）如图 SKIPIF 1 < 0 ，当点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上时，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的函数关系式，并写出它的定义域．
（3）连接 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相似时，求线段 SKIPIF 1 < 0 的长．
六、旋转相似模型
例题6如图，正方形ABCD，对角线AC，BD相交于O，Q为线段DB上的一点， SKIPIF 1 < 0 ，点M、N分别在直线BC、DC上．
（1）如图1，当Q为线段OD的中点时，求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）如图2，当Q为线段OB的中点，点N在CD的延长线上时，则线段DN、BM、BC的数量关系为 ；
（3）在（2）的条件下，连接MN，交AD、BD于点E、F，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求EF的长．
练习题
1．在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，点A为公共顶点， SKIPIF 1 < 0 ．如图②，若△ABC固定不动，把△ADE绕点A逆时针旋转，使AD、AE与边BC的交点分别为M、N点M不与点B重合，点N不与点C重合．
2．如图，在正方形ABCD中，点P在对角线BD上，直线AP交CD于E，PF⊥AE交BC于点F，连接AF交BD于M．
(1)判断△APF的形状，并说明理由；
(2)连接EF，求EF:PM的值．
3．（1）【问题发现】：
如图1在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF，点E与点A重合，易知△ACF∽△BCE．线段BE与AF有怎样的数量关系？请直接写出．
（2）【拓展研究】：
在（1）的条件下，将正方形CDEF绕点C旋转至如图2所示的位置，连接BE，CE，AF．请猜想线段BE和AF的数量关系，并证明你的结论；
（3）【结论运用】：
在（1）（2）的条件下，若△ABC的面积为8时，当正方形CDEF旋转到B、E、F点共线时，请直接写出线段AF的长．
4．如图， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 是有公共顶点直角三角形， SKIPIF 1 < 0 ，点P为射线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的交点．
（1）如图1，若 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）如图2，若 SKIPIF 1 < 0 ，问：（1）中的结论是否成立？请说明理由．
（3）在（1）的条件下， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若把 SKIPIF 1 < 0 绕点A旋转，当 SKIPIF 1 < 0 时，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 的长度
5．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC．
（1）如图1，当α＝60°时，求证：PA＝DC；
（2）如图2，当α＝120°时，猜想PA和DC的数量关系并说明理由．
（3）当α＝120°时，若AB＝6，BP＝ SKIPIF 1 < 0 ，请直接写出点D到CP的距离．
6．在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，点E在 SKIPIF 1 < 0 的内部，连接EC，EB，EA和BD，并且 SKIPIF 1 < 0 ．
【观察猜想】
（1）如图①，当 SKIPIF 1 < 0 时，线段BD与CE的数量关系为__________，线段EA，EB，EC的数量关系为__________．
【探究证明】
（2）如图②，当 SKIPIF 1 < 0 时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，当点E在线段CD上时，若 SKIPIF 1 < 0 ，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 的面积．
7．一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），发现 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ．
小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：
（1）将正方形 SKIPIF 1 < 0 绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到 SKIPIF 1 < 0 吗？若能，请给出证明，请说明理由；
（2）把背景中的正方形分别改成菱形 SKIPIF 1 < 0 和菱形 SKIPIF 1 < 0 ，将菱形 SKIPIF 1 < 0 绕点A按顺时针方向旋转（如图2），试问当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的大小满足怎样的关系时， SKIPIF 1 < 0 ；
（3）把背景中的正方形分别改写成矩形 SKIPIF 1 < 0 和矩形 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （如图3），连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．试求 SKIPIF 1 < 0 的值（用a，b表示）．
8．数学课上，老师拿出两块不同大小的含30度角的三角板让同学们在不同位置尝试操作．
（1）如图1摆放，当点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，得知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
（2）如图2，在（1）的条件下，连结 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积．
（3）如图3摆放，把这同样的两块三角板的直角顶点互相重合放置，小三角板 SKIPIF 1 < 0 绕着点 SKIPIF 1 < 0 旋转，连结 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
（4） SKIPIF 1 < 0 不变，当 SKIPIF 1 < 0 的三边长扩大一倍后，绕点 SKIPIF 1 < 0 旋转一周，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，请你直接写出点 SKIPIF 1 < 0 所经过的运动路径．
9．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P是△ABC外一点，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转α得到线段PD，连接BD，CD，AP．
观察猜想：
（1）如图1，当α＝60°时， SKIPIF 1 < 0 的值为 ，直线CD与 AP所成的较小角的度数为 °；
类比探究：
（2）如图2，当α＝90°时，求出 SKIPIF 1 < 0 的值及直线CD与AP所成的较小角的度数；
拓展应用：
（3）如图3，当α＝90°时，点E，F分别为AB，AC的中点，点P在线段FE的延长线上，点A，D，P三点在一条直线上，BD交PF于点G，CD交AB于点H. 若CD＝2＋ SKIPIF 1 < 0 ，求BD的长．
10．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
（1）问题发现：如图1，在等边 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 是边 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为边作等边 SKIPIF 1 < 0 ，连接CQ，BP与CQ的数量关系是________；
（2）变式探究：如图2，在等腰 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是边 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，以 SKIPIF 1 < 0 为腰作等腰 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，判断 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图3，在正方形 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 是边 SKIPIF 1 < 0 上一点，以 SKIPIF 1 < 0 为边作正方形 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是正方形 SKIPIF 1 < 0 的中心，连接 SKIPIF 1 < 0 ．若正方形 SKIPIF 1 < 0 的边长为5， SKIPIF 1 < 0 ，求正方形 SKIPIF 1 < 0 的边长．
七、K字型相似
例题7已知正方形 SKIPIF 1 < 0 的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的延长线交于点E、F，连接 SKIPIF 1 < 0 ．设 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）如图1，当 SKIPIF 1 < 0 被对角线 SKIPIF 1 < 0 平分时，求a、b的值；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 是直角三角形时，求a、b的值；
（3）如图3，探索 SKIPIF 1 < 0 绕点A旋转的过程中， SKIPIF 1 < 0 的面积是否发生变化？请说明理由．
练习题
1．在矩形 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 边上一点，将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 折叠，使点 SKIPIF 1 < 0 恰好落在 SKIPIF 1 < 0 边上的点 SKIPIF 1 < 0 处．
（1）如图1，若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）如图2，在线段 SKIPIF 1 < 0 上取一点 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，延长 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
2．如图，在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上一点， SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 在同一直线上时，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
3．某数学兴趣小组在学习了尺规作图、等腰三角形和相似三角形的有关知识后，在等腰△ABC中，其中 SKIPIF 1 < 0 ，如图1，进行了如下操作：
第一步，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA的延长线和AC于点E，F，如图2；
第二步，分别以点E，F为圆心，大于 SKIPIF 1 < 0 EF的长为半径画弧，两弧相交于点D，作射线AD；
第三步，以D为圆心，DA的长为半径画弧，交射线AE于点G；
(1)填空；写出∠CAD与∠GAD的大小关系为___；
(2)①请判断AD与BC的位置关系，并说明理由．
②当 SKIPIF 1 < 0 时，连接DG，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 ___；
(3)如图3，根据以上条件，点P为AB的中点，点M为射线AD上的一个动点，连接PM，PC，当 SKIPIF 1 < 0 时，求AM的长．
4．【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合）， SKIPIF 1 < 0 ．易证 SKIPIF 1 < 0 ．（不需要证明）
【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合）， SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求AP的长．
【拓展】如图③，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作 SKIPIF 1 < 0 ，PE与边BC交于点E，当 SKIPIF 1 < 0 是等腰三角形时，直接写出AP的长．
5．已知：如图，四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求证：四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形；
（2）如果点 SKIPIF 1 < 0 在对角线 SKIPIF 1 < 0 上，联结 SKIPIF 1 < 0 并延长，交边 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，交线段 SKIPIF 1 < 0 的延长线于点 SKIPIF 1 < 0 （点 SKIPIF 1 < 0 可与点 SKIPIF 1 < 0 重合）， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 长度是 SKIPIF 1 < 0 是常数，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 的函数关系式，并写出定义域；
（3）在第（2）小题的条件下，当 SKIPIF 1 < 0 是等腰三角形时，求 SKIPIF 1 < 0 的长（计算结果用含 SKIPIF 1 < 0 的代数式表示）
6．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝8cm，BC＝3cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，点Q以2cm/s的速度向点D移动．当点P运动到点B停止时，点Q也随之停止运动．
（1）问几秒后， SKIPIF 1 < 0 PQD的面积为6？
（2）问几秒后，点P和点Q的距离是5cm？
（3）问几秒后，以三点P、Q、D为顶点的三角形为直角三角形？
（提示：根据不同情况画出不同的图形，再给予解决问题．此题包括从开始到结束的所有情况）
7．[初步尝试]
（1）如图①，在三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，则AM与BM的数量关系为 ；
[思考说理]
（2）如图②，在三角形纸片ABC中，AC＝BC＝6，AB＝10，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
[拓展延伸]
（3）如图③，在三角形纸片ABC中，AB＝9，BC＝6，∠ACB＝2∠A，将△ABC沿过顶点C的直线折叠，使点B落在边AC上的点B′处，折痕为CM．
①求线段AC的长；
②若点O是边AC的中点，点P为线段OB′上的一个动点，将△APM沿PM折叠得到△A′PM，点A的对应点为点A′，A′M与CP交于点F，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
8．在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，将一张菱形纸片ABCD（∠BAD＞90°）沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD．
（1）将图1中的△ACD以A为旋转中心，逆时针方向旋转角α，使α＝∠BAC，得到如图2所示的△AC′D，分别延长BC和DC′交于点E，求证四边形ACEC′是菱形；
（2）创新小组将图1中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，当α与∠BAC满足什么数量关系时，得到如图3所示的四边形BCC′D是矩形，请说明理由；
（3）缜密小组在创样报小组发现结论的基础上，量得图3中BC＝13cm，AC＝10cm，求BD的长．
9．在 SKIPIF 1 < 0 中与 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转，连接 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 的中点，连接 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）观察猜想
如图1，当点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 重合时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量关系是__________，位置关系是__________；
（2）类比探究
当点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 不重合时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请仅就图2的情形给出证明；如果不成立，请说明理由．
（3）问题解决在 SKIPIF 1 < 0 旋转过程中，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 的面积的最大值与最小值．
10．已知△ABC和△DCE中，AB＝AC，DC＝DE，BF＝EF，点B，C，E都在同一直线上，且△ABC和△DCE在该直线同侧．
（1）如图①，若∠BAC＝∠CDE＝90°，请猜想线段AF与DF之间的数量关系和位置关系，并证明你的猜想；
（2）如图②，若∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，请直接写出线段AF与DF之间的数量关系和位置关系；
（3）如图③，若∠BAC＝α，∠CDE＝180°﹣α，且BC＞CE，请直接写出线段AF与DF之间的数量关系和位置关系（用含α的式子表示）．
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