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初中第四章 三角形1 认识三角形精品同步训练题
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这是一份初中第四章 三角形1 认识三角形精品同步训练题，共19页。
【知识点一】三角形的定义
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
特别提醒：
（1）三角形的基本元素：
①三角形的边：即组成三角形的线段．
②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．
③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.
（2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.
（3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．
【知识点二】三角形的三边关系
定理：三角形任意两边之和大于第三边.
推论：三角形任意两边的之差小于第三边.
特别提醒：
（1）理论依据：两点之间线段最短.
（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．
（3）证明线段之间的不等关系．
【知识点三】三角形的分类
1.按角分类：
特别提醒：
①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形．
②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.
2.按边分类：
特别提醒：
①不等边三角形：三边都不相等的三角形．
②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角．
③等边三角形：三边都相等的三角形.
【知识点四】三角形的三条重要线段
三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：
【考点目录】
【考点1】三角形及相关概念； 【考点2】三角形的分类及三边关系；
【考点3】构成三角形的条件及三边关系的应用； 【考点4】画三角形的高与求三角形的面积；
【考点5】通过三角形的中线求线段长度与面积； 【考点6】通过三角形的角平分线求角度；
【考点7】通过三角形内（外）平分线求角度。
【考点1】三角形及相关概念；
【例1】（23·24八年级上·甘肃庆阳·期中）如图，在中，点D，E分别在上，除外，图中还有几个三角形？并说出是哪些三角形的边．
【答案】除外，图中还有4个三角形；是和的边．
【分析】本题考查了三角形的识别与有关概念，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形．据此即可求解．
解：除外，还有、、、，
∴除外，图中还有4个三角形
其中，是和的边．
【变式1】（23·24八年级上·全国·课堂例题）三角形是（ ）
A．由在同一平面内的三条直线首尾顺次相接所组成的图形
B．由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形
C．任意连接在同一平面内的三个点所得到的封闭图形
D．由在同一平面内的三条线段所组成的图形
【答案】B
【分析】根据三角形的定义解答即可．
解：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，
故选：B．
【点拨】本题考查三角形的定义，熟知由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形是解题的关键．
【变式2】（23·24八年级上·河南许昌·阶段练习）如图所示，在中，于点D．E为上一点，且，，若，，则 ．
【答案】1
【分析】本题考查了三角形，根据及即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．
解：，
,
,
，
故答案为：1．
【考点2】三角形的分类及三边关系；
【例2】（22·23七年级下·河北唐山·期末）如果一个三角形的一边长为，另一边长为，若第三边长为．
（1）第三边的范围为______．
（2）当第三边长为奇数时，求出这个三角形的周长，并指出它是什么三角形（按边分类）．
【答案】（1）；（2） 底边和腰不相等的等腰三角形
【分析】（1）三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，据此可求得答案．
（2）先求得第三边的长度，然后计算三角形的周长并按边的相等关系分类即可．
解：（1）根据三角形两边的和大于第三边，则
．
即．
根据三角形两边的差小于第三边，则
．
即．
综上所述
．
故答案为：．
（2）∵第三边的长为奇数，
∴第三边的长为．
∴三角形的周长．
∵两条边的长为，另外一条边的长为，
∴这个三角形是底边和腰不相等的等腰三角形．
【点拨】本题主要考查三角形三边之间的大小关系以及三角形按边的相等关系分类，牢记三角形三边之间的大小关系（三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边）和三角形按边的相等关系分类是解题的关键．
【变式1】（22·23七年级下·广东深圳·期中）已知一个三角形有两条边相等，一边长为，另一边长为，则这个三角形的周长为（ ）
A．B．C．不能确定D．或
【答案】D
【分析】本题主要考查三角形的三边关系，解题的关键是利用三角形的三边关系确定第三边的长度．分情况考虑，当相等的两边是时或当相等的两边是时，根据三角形的三边关系进行验证，然后求出三角形的周长即可得答案．
解：∵一个三角形有两条边相等，一边长为，另一边长为，
∴①当相等的两边是时，三边长为：、、，
∵，符合三角形三边关系，
∴这个三角形的周长为，
②当相等的两边是时，三边长为：、、，
∵，符合三角形三边关系，
∴这个三角形的周长为，
综上所述：这个三角形的周长为或，
故选：D．
【变式2】（22·23七年级下·江苏泰州·阶段练习）已知在锐角三角形中，，则取值范围是 ．
【答案】
【分析】由锐角三角形知，，，由，计算求解，然后作答即可．
解：由锐角三角形知，，，
∵，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查了锐角三角形．解题的关键在于熟练掌握锐角三角形中三个内角均小于．
【考点3】构成三角形的条件及三边关系的应用；
【例3】（19·20八年级上·广东惠州·阶段练习）用一条24cm的细绳围成一个等腰三角形．
（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？
（2）能围成有一边长为4cm的等腰三角形吗？为什么？
【答案】（1）各边长为：cm，cm，cm；（2）能，理由见分析.
【分析】（1）设底边长为x cm，则腰长为2x cm，根据周长公式列一元一次方程，解方程即可求得各边的长；
（2）题中没有指明4cm所在边是底还是腰，故应该分情况进行分析，注意利用三角形三边关系进行检验．
解：（1）设底边长为x cm，
∵腰长是底边的2倍，
∴腰长为2x cm，
∴2x+2x+x=24，解得，x=cm，
∴2x=2×=cm，
∴各边长为：cm，cm，cm．
（2）能
①当4cm为底时，腰长==10cm；
②当4cm为腰时，底边=24-4-4=16cm，
∵4+4＜16，
∴不能构成三角形，故舍去；
∴能构成有一边长为4cm的等腰三角形，另两边长为10cm，10cm．
【点拨】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形的三边关系，在解答此类题目时要注意分类讨论，不要漏解．
【变式1】（23·24八年级上·四川巴中·阶段练习）根据下列条件，能唯一画出的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】要满足唯一画出，就要求选项给出的条件是否符合三角形全等的判定方法，不符合即无法画出唯一的三角形，由此得出答案．
解：，不能构成三角形，故选项A错误；
不是已知两边的夹角，无法确定其他角的度数与边的长度，故选项B错误；
已知两角可得到第三个角的度数，已知一边可根据来画一个三角形，故选项C正确；
只有一个角和一条边无法根据此画出三角形，故选项D正确．
故选C．
【变式2】（22·23七年级下·江苏盐城·期中）已知，，为的三边长，，满足，且为方程的解，则的周长为 ．
【答案】9
【分析】利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出、的值，再解绝对值方程可得或，进而利用三角形三边关系得出a的值，进而求出的周长．
解：∵，
∴且，
∴、，
∵a为方程的解，
∴或，
又，
∴，
则的周长为，
故答案为：9．
【点拨】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质和偶次方的性质，得出a的值是解题关键．
【考点4】画三角形的高与求三角形的面积；
【例4】（23·24八年级上·湖南长沙·开学考试）如图，是的中线，是的中线．
（1）在中作边上的高．
（2）若的面积为，，则点到边的距离为多少？
【答案】（1）见分析
（2）点到边的距离为
【分析】本题主要考查了复杂作图，以及三角形中线的性质：
（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可；
（2）首先根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分可得的面积是5，再利用三角形的面积公式进而得到的长．
（1）解：如图所示：
（2）解：是的中线，
，
是的中线，
，
的面积为，
的面积是，
，
，
∴．
即点到边的距离为．
【变式1】（20·21七年级下·河南周口·期末）要求画的边AB上的高．下列画法中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形高的定义判断即可；
解：A中AD是边BC上面的高，故不符合题意； B中不符合三角形高的作图，故不符合题意；
C中CD是AB边上的高，故符合题意； D中BD是AC边上的高，故不符合题意；
故选C．
【点拨】本题主要考查了三角形高的画法，准确分析是解题的关键．
【变式2】（19·20八年级上·山东菏泽·阶段练习）小明用尺规作图作△ABC的边AC上的高BH，作法如下：
① 分别以点D、E为圆心，大于DE的一半的长度为半径作弧，两弧交于点F；
② 作射线BF，交边AC于点H；
③ 以B为圆心，BK的长为半径作弧，交直线AC于点D和E；
④ 取一点K，使K和B在AC的两侧；
⑤ 所以BH就是所求作的高．
正确的作图顺序应该是 .
【答案】④③①②⑤
【分析】取一点K，使K和B在AC的两侧，以B为圆心，BK长为半径作弧，交直线AC于点D和E；接下来作线段DE的垂直平分线，与DE交于点H，则BH就是所求作的高，据此即可完成本题.
解：分析题中作图步骤，可知用尺规作图作△ABC的边AC上的高BH，作法如下：
取一点K，使K和B在AC的两侧；
以B为圆心，BK的长为半径作弧，交直线AC于点D和E；
分别以点D、E为圆心，大于DE的一半的长度为半径作弧，两弧交于点F；
作射线BF，交边AC于点H；
所以BH就是所求作的高，
所以正确的作图顺序应该是：④③①②⑤，
故答案为④③①②⑤.
【点拨】本题考查的是尺规作图以及三角形高线的定义，明确用尺规作图作三角形高线的方法是解题关键.
【考点5】通过三角形的中线求线段长度与面积；
【例5】（21·22八年级上·四川自贡·期中）如图，在直角三角形中，，是边上的高，是边上的中线，，，，求：
（1）的长；
（2）的面积．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用面积法得到，然后把，，代入可求出的长；
（2）由于三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，所以．
解：（1），是边上的高，
，
；
（2）是边上的中线，
．
【点拨】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高；三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
【变式1】（23·24八年级上·安徽阜阳·期末）如图，已知是边的中线，是边的中线，F为的中点，若的面积为2，则的面积为（ ）
A．12B．14C．16D．18
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的中线，三角形的等积转换；由“等底同高的三角形面积相等”得，，同理可求，即可求解；理解三角形的中线是解题的关键．
解：如图，连接，
是边的中线，
，
，
F为的中点，
，
是边的中线，
，
；
故选：C．
【变式2】（23·24八年级上·河南安阳·期末）如图，是的中线，是的中线，于点F．若，，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的中线性质，三角形面积，根据三角形的中线性质可得的面积，再利用即可求出结果．
解：是的中线，
，
是的中线，
，
，
，
故答案为：．
【考点6】通过三角形的角平分线求角度；
【例6】（18·19八年级上·浙江·阶段练习）如图，在ABC中，∠ACB=90°，∠CDB=90°，CE是ABC的角平分线．已知∠CEB=105°，求∠ECB，∠ECD的大小．
【答案】∠ECB=45°，∠ECD=15°
【分析】由CE平分∠ACB，可得∠ECB的度数，根据CD是AB边的高可知∠CDE=90°，再根据三角形的外角性质有∠CEB=∠CDE+∠ECD，据此得∠ECD的度数．
解：∵平分，，
∴
∵是边的高
∴
而，
∴
【点拨】本题考查三角形的高，角平分线定义以及外角的性质，熟记这些性质是解题的关键．
【变式1】（19·20八年级上·湖北武汉·期中）如图，若的三条角平分线、、交于点，则与互余的角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据三角形角平分线的定义、互余的定义和垂直的定义逐一判断即可．
解：∵三角形的两个角平分线不一定互相垂直，
∴∠EGD不一定等于90°
∴与不一定互余，故A选项不符合题意；
∵∠BAC＋∠ABC＋∠ACB=180°，的三条角平分线、、交于点
∴∠FAG=∠BAC，∠GBC=∠ABC，∠GCB=∠ACB
∴∠FAG＋∠GBC＋∠GCB=（∠BAC＋∠ABC＋∠ACB）=90°
∵=∠GBC＋∠GCB
∴＋∠FAG=90°，故B选项符合题意；
∵三角形一个内角的角平分线不一定垂直该角的对边
∴∠GEC和∠GFB不一定是直角
∴＋∠ECG不一定等于90°，故C选项不符合题意；
∠FGB＋∠FBG不一定等于90°
∵∠FGB=
∴＋∠FBG不一定等于90°，故D选项不符合题意．
故选B．
【点拨】此题考查的是互余的判定，掌握角平分线的定义、互余的定义和垂直的定义是解决此题的关键．
【变式2】（18·19八年级上·全国·单元测试）△ABC中，D为BC边上任意一点，DE、DF分别是△ADB和△ADC的角平分线，连接EF，则△DEF的形状为 ．
【答案】直角三角形
【分析】根据三角形角平分线的定义，可以得到2∠ADE=∠ADB，2∠ADF=∠ADC；根据平角的定义可知，∠ADB+∠ADC=180°；接下来，求出∠ADE+∠ADF的度数，不难判断三角形的形状.
解：∵DE，DF分别是△ADB和△ADC的角平分线，
∴2∠ADE=∠ADB，2∠ADF=∠ADC.
∵∠ADB+∠ADC=180°，
∴2∠ADE+2∠ADF=180°，
∴∠ADE+∠ADF=90°，即∠EDF=90°，
∴△DEF是直角三角形.
故答案为直角三角形.
【点拨】本题考查了直角三角形的定义，角平分线的定义，平角的定义，根据角平分线的定义及平角的定义求出∠ADE+∠ADF=90°是解答本题的关键.
【考点7】通过三角形内（外）平分线求角度；
【例7】（18·19八年级上·全国·单元测试）如图（1）所示，△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，求证：∠BOC=90+∠A．
变式1：如图（2）所示，∠ABC，∠ACD的平分线交于点O，求证：∠BOC=∠A．
变式2：如图（3）所示，∠CBD，∠BCE的平分线交于点O，求证：∠BOC=90-∠A．
【答案】见分析
【分析】（1）先根据三角形内角和定理得到∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，则2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB，再根据角平分线的定义得∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，则2∠BOC=360°-∠ABC-∠ACB，易得∠BOC=90°+∠A；
变式1：根据BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，由三角形外角性质可得；∠2=∠1+∠O，∠ACO=∠2=∠ACD=（∠A+∠ABC）=（∠A+2∠1） =∠A+∠1，两式联立可得 ∠1+∠O = ∠A+∠1，即∠BOC=∠A．
变式2：根据三角形外角平分线的性质可得∠BCO= （∠A+∠ABC）、∠OBC= （∠A+∠ACB）；根据三角形内角和定理可得∠BOC=90-∠A..
解：（1）证明：在△BOC中，
∵∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，
∴2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，
∴2∠BOC=360°-（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴2∠BOC=180°+∠A，
∴∠BOC=90°+∠A；
变式1：∵BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，
∴ ∠1= ∠ABC ∠ACO=∠2=∠ACD
∵∠2、∠ACO分别是△BCO、△ABC的外角
∴∠2=∠1+∠O，∠ACO=∠2=∠ACD=（∠A+∠ABC）=（∠A+2∠1） =∠A+∠1，
∴ ∠1+∠O = ∠A+∠1，
∴∠BOC=∠A．
变式2：∵BO、CO为△ABC中∠ABC、∠ACB的外角平分线.
∴∠BCO= （∠A+∠ABC）、∠OBC= （∠A+∠ACB），
由三角形内角和定理得，∠BOC=180°-∠BCO-∠OBC，
=180°- [∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]，
=180°- （∠A+180°），
=90°- ∠A；
【点拨】本题考查三角形内角与外角的关系，角平分线的性质，三角形内角和定理，属中学阶段的常规题．
【变式1】（20·21七年级下·江苏泰州·期末）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．90°B．100°C．110°D．120°
【答案】D
【分析】连接A'A，先求出∠BAC，再证明∠1+∠2=2∠BAC即可解决问题．
解：如图，连接AA'，
∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，
∴∠A'BC=∠ABC，∠A'CB=∠ACB，
∵∠BA'C=120°，
∴∠A'BC+∠A'CB=180°-120°=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∴∠BAC=180°-120°=60°，
∵沿DE折叠，
∴∠DAA'=∠DA'A，∠EAA'=∠EA'A，
∵∠1=∠DAA'+∠DA'A=2∠DAA'，∠2=∠EAA'+∠EA'A=2∠EAA'，
∴∠1+∠2=2∠DAA'+2∠EAA'=2∠BAC=2×60°=120°，
故选：D．
【点拨】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角的性质、折叠变换等知识，解题的关键是正确添加辅助线，灵活应用所学知识，属于中考常考题型．
【变式2】（22·23八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，在中，，与的平分线交于点，则 ；与的平分线相交于点，则 ；依此规律得，则 ．
【答案】
【分析】由，，而、分别平分和，得到，，于是有，同理可得，即，因此找出规律．
解：∵、分别平分和，
∴，，
而，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为：，，．
【点拨】本题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．也考查了三角形的外角性质以及角平分线的定义，难度适中．线段名称
三角形的高
三角形的中线
三角形的角平分线
文字语言
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．
三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段．
三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．
图形语言
作图语言
过点A作AD⊥BC于点D．
取BC边的中点D，连接AD．
作∠BAC的平分线AD，交BC于点D．
标示图形
符号语言
1．AD是△ABC的高．
2．AD是△ABC中BC边上的高．
3．AD⊥BC于点D．
4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°．
(或∠ADC＝∠ADB＝90°)
1．AD是△ABC的中线．
2．AD是△ABC中BC边上的中线．
3．BD＝DC＝BC
4．点D是BC边的中点．
1．AD是△ABC的角平分线．
2．AD平分∠BAC，交BC于点D．
3．∠1＝∠2＝∠BAC．
推理语言
因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC．
(或∠ADB＝∠ADC＝90°)
因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC．
因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC．
用途举例
1．线段垂直．
2．角度相等．
1．线段相等．
2．面积相等．
角度相等．
注意事项
1．与边的垂线不同．
2．不一定在三角形内．
—
与角的平分线不同．
重要特征
三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点．
一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．
一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．
【知识点一】三角形的定义
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
特别提醒：
（1）三角形的基本元素：
①三角形的边：即组成三角形的线段．
②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．
③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.
（2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.
（3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．
【知识点二】三角形的三边关系
定理：三角形任意两边之和大于第三边.
推论：三角形任意两边的之差小于第三边.
特别提醒：
（1）理论依据：两点之间线段最短.
（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．
（3）证明线段之间的不等关系．
【知识点三】三角形的分类
1.按角分类：
特别提醒：
①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形．
②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.
2.按边分类：
特别提醒：
①不等边三角形：三边都不相等的三角形．
②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角．
③等边三角形：三边都相等的三角形.
【知识点四】三角形的三条重要线段
三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：
【考点目录】
【考点1】三角形及相关概念； 【考点2】三角形的分类及三边关系；
【考点3】构成三角形的条件及三边关系的应用； 【考点4】画三角形的高与求三角形的面积；
【考点5】通过三角形的中线求线段长度与面积； 【考点6】通过三角形的角平分线求角度；
【考点7】通过三角形内（外）平分线求角度。
【考点1】三角形及相关概念；
【例1】（23·24八年级上·甘肃庆阳·期中）如图，在中，点D，E分别在上，除外，图中还有几个三角形？并说出是哪些三角形的边．
【答案】除外，图中还有4个三角形；是和的边．
【分析】本题考查了三角形的识别与有关概念，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形．据此即可求解．
解：除外，还有、、、，
∴除外，图中还有4个三角形
其中，是和的边．
【变式1】（23·24八年级上·全国·课堂例题）三角形是（ ）
A．由在同一平面内的三条直线首尾顺次相接所组成的图形
B．由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形
C．任意连接在同一平面内的三个点所得到的封闭图形
D．由在同一平面内的三条线段所组成的图形
【答案】B
【分析】根据三角形的定义解答即可．
解：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，
故选：B．
【点拨】本题考查三角形的定义，熟知由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形是解题的关键．
【变式2】（23·24八年级上·河南许昌·阶段练习）如图所示，在中，于点D．E为上一点，且，，若，，则 ．
【答案】1
【分析】本题考查了三角形，根据及即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．
解：，
,
,
，
故答案为：1．
【考点2】三角形的分类及三边关系；
【例2】（22·23七年级下·河北唐山·期末）如果一个三角形的一边长为，另一边长为，若第三边长为．
（1）第三边的范围为______．
（2）当第三边长为奇数时，求出这个三角形的周长，并指出它是什么三角形（按边分类）．
【答案】（1）；（2） 底边和腰不相等的等腰三角形
【分析】（1）三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，据此可求得答案．
（2）先求得第三边的长度，然后计算三角形的周长并按边的相等关系分类即可．
解：（1）根据三角形两边的和大于第三边，则
．
即．
根据三角形两边的差小于第三边，则
．
即．
综上所述
．
故答案为：．
（2）∵第三边的长为奇数，
∴第三边的长为．
∴三角形的周长．
∵两条边的长为，另外一条边的长为，
∴这个三角形是底边和腰不相等的等腰三角形．
【点拨】本题主要考查三角形三边之间的大小关系以及三角形按边的相等关系分类，牢记三角形三边之间的大小关系（三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边）和三角形按边的相等关系分类是解题的关键．
【变式1】（22·23七年级下·广东深圳·期中）已知一个三角形有两条边相等，一边长为，另一边长为，则这个三角形的周长为（ ）
A．B．C．不能确定D．或
【答案】D
【分析】本题主要考查三角形的三边关系，解题的关键是利用三角形的三边关系确定第三边的长度．分情况考虑，当相等的两边是时或当相等的两边是时，根据三角形的三边关系进行验证，然后求出三角形的周长即可得答案．
解：∵一个三角形有两条边相等，一边长为，另一边长为，
∴①当相等的两边是时，三边长为：、、，
∵，符合三角形三边关系，
∴这个三角形的周长为，
②当相等的两边是时，三边长为：、、，
∵，符合三角形三边关系，
∴这个三角形的周长为，
综上所述：这个三角形的周长为或，
故选：D．
【变式2】（22·23七年级下·江苏泰州·阶段练习）已知在锐角三角形中，，则取值范围是 ．
【答案】
【分析】由锐角三角形知，，，由，计算求解，然后作答即可．
解：由锐角三角形知，，，
∵，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查了锐角三角形．解题的关键在于熟练掌握锐角三角形中三个内角均小于．
【考点3】构成三角形的条件及三边关系的应用；
【例3】（19·20八年级上·广东惠州·阶段练习）用一条24cm的细绳围成一个等腰三角形．
（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？
（2）能围成有一边长为4cm的等腰三角形吗？为什么？
【答案】（1）各边长为：cm，cm，cm；（2）能，理由见分析.
【分析】（1）设底边长为x cm，则腰长为2x cm，根据周长公式列一元一次方程，解方程即可求得各边的长；
（2）题中没有指明4cm所在边是底还是腰，故应该分情况进行分析，注意利用三角形三边关系进行检验．
解：（1）设底边长为x cm，
∵腰长是底边的2倍，
∴腰长为2x cm，
∴2x+2x+x=24，解得，x=cm，
∴2x=2×=cm，
∴各边长为：cm，cm，cm．
（2）能
①当4cm为底时，腰长==10cm；
②当4cm为腰时，底边=24-4-4=16cm，
∵4+4＜16，
∴不能构成三角形，故舍去；
∴能构成有一边长为4cm的等腰三角形，另两边长为10cm，10cm．
【点拨】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形的三边关系，在解答此类题目时要注意分类讨论，不要漏解．
【变式1】（23·24八年级上·四川巴中·阶段练习）根据下列条件，能唯一画出的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】要满足唯一画出，就要求选项给出的条件是否符合三角形全等的判定方法，不符合即无法画出唯一的三角形，由此得出答案．
解：，不能构成三角形，故选项A错误；
不是已知两边的夹角，无法确定其他角的度数与边的长度，故选项B错误；
已知两角可得到第三个角的度数，已知一边可根据来画一个三角形，故选项C正确；
只有一个角和一条边无法根据此画出三角形，故选项D正确．
故选C．
【变式2】（22·23七年级下·江苏盐城·期中）已知，，为的三边长，，满足，且为方程的解，则的周长为 ．
【答案】9
【分析】利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出、的值，再解绝对值方程可得或，进而利用三角形三边关系得出a的值，进而求出的周长．
解：∵，
∴且，
∴、，
∵a为方程的解，
∴或，
又，
∴，
则的周长为，
故答案为：9．
【点拨】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质和偶次方的性质，得出a的值是解题关键．
【考点4】画三角形的高与求三角形的面积；
【例4】（23·24八年级上·湖南长沙·开学考试）如图，是的中线，是的中线．
（1）在中作边上的高．
（2）若的面积为，，则点到边的距离为多少？
【答案】（1）见分析
（2）点到边的距离为
【分析】本题主要考查了复杂作图，以及三角形中线的性质：
（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可；
（2）首先根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分可得的面积是5，再利用三角形的面积公式进而得到的长．
（1）解：如图所示：
（2）解：是的中线，
，
是的中线，
，
的面积为，
的面积是，
，
，
∴．
即点到边的距离为．
【变式1】（20·21七年级下·河南周口·期末）要求画的边AB上的高．下列画法中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形高的定义判断即可；
解：A中AD是边BC上面的高，故不符合题意； B中不符合三角形高的作图，故不符合题意；
C中CD是AB边上的高，故符合题意； D中BD是AC边上的高，故不符合题意；
故选C．
【点拨】本题主要考查了三角形高的画法，准确分析是解题的关键．
【变式2】（19·20八年级上·山东菏泽·阶段练习）小明用尺规作图作△ABC的边AC上的高BH，作法如下：
① 分别以点D、E为圆心，大于DE的一半的长度为半径作弧，两弧交于点F；
② 作射线BF，交边AC于点H；
③ 以B为圆心，BK的长为半径作弧，交直线AC于点D和E；
④ 取一点K，使K和B在AC的两侧；
⑤ 所以BH就是所求作的高．
正确的作图顺序应该是 .
【答案】④③①②⑤
【分析】取一点K，使K和B在AC的两侧，以B为圆心，BK长为半径作弧，交直线AC于点D和E；接下来作线段DE的垂直平分线，与DE交于点H，则BH就是所求作的高，据此即可完成本题.
解：分析题中作图步骤，可知用尺规作图作△ABC的边AC上的高BH，作法如下：
取一点K，使K和B在AC的两侧；
以B为圆心，BK的长为半径作弧，交直线AC于点D和E；
分别以点D、E为圆心，大于DE的一半的长度为半径作弧，两弧交于点F；
作射线BF，交边AC于点H；
所以BH就是所求作的高，
所以正确的作图顺序应该是：④③①②⑤，
故答案为④③①②⑤.
【点拨】本题考查的是尺规作图以及三角形高线的定义，明确用尺规作图作三角形高线的方法是解题关键.
【考点5】通过三角形的中线求线段长度与面积；
【例5】（21·22八年级上·四川自贡·期中）如图，在直角三角形中，，是边上的高，是边上的中线，，，，求：
（1）的长；
（2）的面积．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用面积法得到，然后把，，代入可求出的长；
（2）由于三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，所以．
解：（1），是边上的高，
，
；
（2）是边上的中线，
．
【点拨】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高；三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
【变式1】（23·24八年级上·安徽阜阳·期末）如图，已知是边的中线，是边的中线，F为的中点，若的面积为2，则的面积为（ ）
A．12B．14C．16D．18
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的中线，三角形的等积转换；由“等底同高的三角形面积相等”得，，同理可求，即可求解；理解三角形的中线是解题的关键．
解：如图，连接，
是边的中线，
，
，
F为的中点，
，
是边的中线，
，
；
故选：C．
【变式2】（23·24八年级上·河南安阳·期末）如图，是的中线，是的中线，于点F．若，，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的中线性质，三角形面积，根据三角形的中线性质可得的面积，再利用即可求出结果．
解：是的中线，
，
是的中线，
，
，
，
故答案为：．
【考点6】通过三角形的角平分线求角度；
【例6】（18·19八年级上·浙江·阶段练习）如图，在ABC中，∠ACB=90°，∠CDB=90°，CE是ABC的角平分线．已知∠CEB=105°，求∠ECB，∠ECD的大小．
【答案】∠ECB=45°，∠ECD=15°
【分析】由CE平分∠ACB，可得∠ECB的度数，根据CD是AB边的高可知∠CDE=90°，再根据三角形的外角性质有∠CEB=∠CDE+∠ECD，据此得∠ECD的度数．
解：∵平分，，
∴
∵是边的高
∴
而，
∴
【点拨】本题考查三角形的高，角平分线定义以及外角的性质，熟记这些性质是解题的关键．
【变式1】（19·20八年级上·湖北武汉·期中）如图，若的三条角平分线、、交于点，则与互余的角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据三角形角平分线的定义、互余的定义和垂直的定义逐一判断即可．
解：∵三角形的两个角平分线不一定互相垂直，
∴∠EGD不一定等于90°
∴与不一定互余，故A选项不符合题意；
∵∠BAC＋∠ABC＋∠ACB=180°，的三条角平分线、、交于点
∴∠FAG=∠BAC，∠GBC=∠ABC，∠GCB=∠ACB
∴∠FAG＋∠GBC＋∠GCB=（∠BAC＋∠ABC＋∠ACB）=90°
∵=∠GBC＋∠GCB
∴＋∠FAG=90°，故B选项符合题意；
∵三角形一个内角的角平分线不一定垂直该角的对边
∴∠GEC和∠GFB不一定是直角
∴＋∠ECG不一定等于90°，故C选项不符合题意；
∠FGB＋∠FBG不一定等于90°
∵∠FGB=
∴＋∠FBG不一定等于90°，故D选项不符合题意．
故选B．
【点拨】此题考查的是互余的判定，掌握角平分线的定义、互余的定义和垂直的定义是解决此题的关键．
【变式2】（18·19八年级上·全国·单元测试）△ABC中，D为BC边上任意一点，DE、DF分别是△ADB和△ADC的角平分线，连接EF，则△DEF的形状为 ．
【答案】直角三角形
【分析】根据三角形角平分线的定义，可以得到2∠ADE=∠ADB，2∠ADF=∠ADC；根据平角的定义可知，∠ADB+∠ADC=180°；接下来，求出∠ADE+∠ADF的度数，不难判断三角形的形状.
解：∵DE，DF分别是△ADB和△ADC的角平分线，
∴2∠ADE=∠ADB，2∠ADF=∠ADC.
∵∠ADB+∠ADC=180°，
∴2∠ADE+2∠ADF=180°，
∴∠ADE+∠ADF=90°，即∠EDF=90°，
∴△DEF是直角三角形.
故答案为直角三角形.
【点拨】本题考查了直角三角形的定义，角平分线的定义，平角的定义，根据角平分线的定义及平角的定义求出∠ADE+∠ADF=90°是解答本题的关键.
【考点7】通过三角形内（外）平分线求角度；
【例7】（18·19八年级上·全国·单元测试）如图（1）所示，△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，求证：∠BOC=90+∠A．
变式1：如图（2）所示，∠ABC，∠ACD的平分线交于点O，求证：∠BOC=∠A．
变式2：如图（3）所示，∠CBD，∠BCE的平分线交于点O，求证：∠BOC=90-∠A．
【答案】见分析
【分析】（1）先根据三角形内角和定理得到∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，则2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB，再根据角平分线的定义得∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，则2∠BOC=360°-∠ABC-∠ACB，易得∠BOC=90°+∠A；
变式1：根据BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，由三角形外角性质可得；∠2=∠1+∠O，∠ACO=∠2=∠ACD=（∠A+∠ABC）=（∠A+2∠1） =∠A+∠1，两式联立可得 ∠1+∠O = ∠A+∠1，即∠BOC=∠A．
变式2：根据三角形外角平分线的性质可得∠BCO= （∠A+∠ABC）、∠OBC= （∠A+∠ACB）；根据三角形内角和定理可得∠BOC=90-∠A..
解：（1）证明：在△BOC中，
∵∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，
∴2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，
∴2∠BOC=360°-（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴2∠BOC=180°+∠A，
∴∠BOC=90°+∠A；
变式1：∵BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，
∴ ∠1= ∠ABC ∠ACO=∠2=∠ACD
∵∠2、∠ACO分别是△BCO、△ABC的外角
∴∠2=∠1+∠O，∠ACO=∠2=∠ACD=（∠A+∠ABC）=（∠A+2∠1） =∠A+∠1，
∴ ∠1+∠O = ∠A+∠1，
∴∠BOC=∠A．
变式2：∵BO、CO为△ABC中∠ABC、∠ACB的外角平分线.
∴∠BCO= （∠A+∠ABC）、∠OBC= （∠A+∠ACB），
由三角形内角和定理得，∠BOC=180°-∠BCO-∠OBC，
=180°- [∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]，
=180°- （∠A+180°），
=90°- ∠A；
【点拨】本题考查三角形内角与外角的关系，角平分线的性质，三角形内角和定理，属中学阶段的常规题．
【变式1】（20·21七年级下·江苏泰州·期末）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．90°B．100°C．110°D．120°
【答案】D
【分析】连接A'A，先求出∠BAC，再证明∠1+∠2=2∠BAC即可解决问题．
解：如图，连接AA'，
∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，
∴∠A'BC=∠ABC，∠A'CB=∠ACB，
∵∠BA'C=120°，
∴∠A'BC+∠A'CB=180°-120°=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∴∠BAC=180°-120°=60°，
∵沿DE折叠，
∴∠DAA'=∠DA'A，∠EAA'=∠EA'A，
∵∠1=∠DAA'+∠DA'A=2∠DAA'，∠2=∠EAA'+∠EA'A=2∠EAA'，
∴∠1+∠2=2∠DAA'+2∠EAA'=2∠BAC=2×60°=120°，
故选：D．
【点拨】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角的性质、折叠变换等知识，解题的关键是正确添加辅助线，灵活应用所学知识，属于中考常考题型．
【变式2】（22·23八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，在中，，与的平分线交于点，则 ；与的平分线相交于点，则 ；依此规律得，则 ．
【答案】
【分析】由，，而、分别平分和，得到，，于是有，同理可得，即，因此找出规律．
解：∵、分别平分和，
∴，，
而，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为：，，．
【点拨】本题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．也考查了三角形的外角性质以及角平分线的定义，难度适中．线段名称
三角形的高
三角形的中线
三角形的角平分线
文字语言
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．
三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段．
三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．
图形语言
作图语言
过点A作AD⊥BC于点D．
取BC边的中点D，连接AD．
作∠BAC的平分线AD，交BC于点D．
标示图形
符号语言
1．AD是△ABC的高．
2．AD是△ABC中BC边上的高．
3．AD⊥BC于点D．
4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°．
(或∠ADC＝∠ADB＝90°)
1．AD是△ABC的中线．
2．AD是△ABC中BC边上的中线．
3．BD＝DC＝BC
4．点D是BC边的中点．
1．AD是△ABC的角平分线．
2．AD平分∠BAC，交BC于点D．
3．∠1＝∠2＝∠BAC．
推理语言
因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC．
(或∠ADB＝∠ADC＝90°)
因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC．
因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC．
用途举例
1．线段垂直．
2．角度相等．
1．线段相等．
2．面积相等．
角度相等．
注意事项
1．与边的垂线不同．
2．不一定在三角形内．
—
与角的平分线不同．
重要特征
三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点．
一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．
一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．
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