初中数学北师大版七年级下册6 完全平方公式精品课时作业

这是一份初中数学北师大版七年级下册6 完全平方公式精品课时作业，共13页。

【知识点一】完全平方公式
1.完全平方公式 两个数的和（或差）的平方，等于他们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.
即用字母表示为：（a±b）2=a2±2ab+b2
2.完全平方公式的几种常见变化公式
（1）a2+b2=(a+b)2-2ab=(a−b)2+2ab
（2）(a+b)2=(a−b)2+4ab
（3）(a−b)2=(a+b)2-4ab
（4）(a+b)2+(a−b)2=2(a2+b2)
（5）(a+b)2-(a−b)2=4ab
（6）ab=12[(a+b)2-(a2+b2)]=14[(a+b)2-(a−b)2)]
（7）(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
特别解读
1.弄清公式的特征：公式的左边是是一个二项式的完全平方，公式的右边是一个三项式，包括左边二项式的各项的平方和，另一项是这两项的乘积的2倍.
2.理解字母a,b的意义：公式中的字母a,b可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式.
【知识点二】完全平方公式的验证
1.验证(a+b)2=a2+2ab+b2 如图，大正方形的面积可以表示为(a+b)2，也可以用四个部分的面积之和来表示，即a2+ab+ba+b2，所以(a+b)2=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2.
2.验证(a−b)2=a2-2ab+b2 如图，阴影部分的面积可以表示为S阴影=(a−b)2，也可用大正方形的面积减去三个空白部分的面积，所以(a−b)2=a2-(a-b)·b-(a-b)·b=a2-2ab+b2
特别解读
利用几何图形验证完全平方公式时，所列式子表示同一个图形的面积.
【知识点三】利用乘法公式进行整式的混合运算
1.当两个三项式相乘是，先利用添括号使原式变成符合乘法公式的形式，在运用乘法公式计算.
2.整式的混合运算，先算乘方，再算乘除，最后算加减.
特别解读
1.添括号只是一个变式，不改变式子的值.
2.添括号是否正确，可利用去括号检验.
【考点目录】
【考点1】运算完全平方公式进行运算； 【考点2】应用乘法公式化简求值；
【考点3】应用完全平方公式进行简便运算； 【考点4】完全平方公式中的整体思想；
【考点5】完全平方公式参数问题； 【考点6】建立完全平方公式模型解决实际问题.
【考点1】运算完全平方公式进行运算；
【例1】（2023上·全国·八年级专题练习）计算：
（1）（2）
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查整式混合运算，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键，注意整体思想的运用．平方差公式和完全平方公式．
（1）把看做为一个整体，运用平方差公式计算，再运用完全平方公式计算即可；
（2）把看做为一个整体，运用完全平方公式计算，再运用完全平方公式计算即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
【变式1】（2024上·上海宝山·七年级统考期末）下列算式中，可用完全平方公式计算的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了完全平方公式的特征：；
根据完全平方公式逐个判断即可．
解：A.，不能用完全平方公式进行计算，故本选项错误；
B.，不能用完全平方公式进行计算，故本选项错误；
C.，不能用完全平方公式进行计算，故本选项错误；
D.，能用完全平方公式进行计算，故本选项正确；
故选：D．
【变式2】（2024下·全国·七年级假期作业）若，则m的值为 ．
【答案】－7
【解析】略
【考点2】应用乘法公式化简求值
【例2】（2024上·广东广州·八年级统考期末）已知．
（1）______；
（2）求代数式的值．
【答案】（1）；；（2）；
【分析】（1）本题考查已知代数式的值求代数式的值，先变形代数式，代入求解即可得到答案；
（2）本题考查平方差公式及完全平方公式求值，先化简再带入计算即可得到答案；
（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）解：原式
．
【变式1】（2023上·上海青浦·七年级校考期中）已知，则的值为（ ）
A．10B．14C．16D．18
【答案】A
【分析】本题考查了代数式求值、完全平方公式，熟记完全平方公式是解题关键．将所求式子利用完全平方公式转化为，代入计算即可得．
解：，
．
故选：A．
【变式2】（2023上·江西新余·八年级新余市第一中学校考阶段练习）已知，则的值是 ．
【答案】16
【分析】本题考查了完全平方公式，换元法是解题的关键．设，换元后进行计算即可求解．
解：设，
∵，
∴，
即，
解得，
即的值为16．
故答案为：16．
【考点3】应用完全平方公式进行简便运算；
【例3】（2023下·全国·八年级假期作业）利用简便方法计算．
（1）（2）
【答案】（1）；（2）
解：（1）原式．
（2）原式．
【变式1】（2023上·河北廊坊·八年级校考阶段练习）如图是嘉淇关于的计算过程，则开始出现错误的是（ ）
A．步骤①B．步骤②C．步骤③D．步骤④
【答案】B
【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式的计算，熟练掌握公式是解题的关键．
解：
……①
……②
故选B．
【变式2】（2024上·上海松江·七年级统考期末）计算： ．
【答案】2
【分析】本题考查有理数的运算，将原式进行正确的变形是解题的关键．将原式变形后利用乘法公式简便计算即可．
解：
，
故答案为：2．
【考点4】完全平方公式中的整体思想；
【例4】（2023上·广东阳江·八年级统考期末）知识与方法：完全平方公式：，适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若，，求的值．
解：∵，
∴．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
知识应用：
（1）当，时，________．
（2）若，求的值
迁移与拓展：
（3）如图，点E是线段上的一点，在线段的同侧作以为边正方形，设，两正方形的面积和为50，求图中阴影部分面积．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式及其变形是解题的关键．
（1）根据完全平方公式变形后整体代入求值即可；
（2）根据完全平方公式变形后整体代入求值即可；
（3）由正方形，三角形的面积，利用完全平方公式求出，即可求解．
解：（1），
，即，
，
，
；
故答案为：12；
（2）
，
，
，
，
；
（3）由题意可知：，
，
，
，
，
．
【变式1】（2024上·吉林长春·八年级统考期末）已知，则代数式的值是（ ）
A．12B．16C．24D．36
【答案】D
【分析】本题考查完全平方公式的应用．根据题意先将代数式整理成，再将题干已知代入代数式即可得到本题答案．
解：∵，
又∵，即，
∴，
故选：D．
【变式2】（2024上·重庆北碚·八年级统考期末）若，则代数式的值是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了完全平方公式分解因式，代数式的值，正确分解因式是解题关键．先利用完全平方公式变形，进而把已知数据代入求出答案．
解：∵，
∴
．
故答案为:．
【考点5】完全平方公式中的参数问题；
【例5】（2023上·山东烟台·八年级统考期中）课本原题：当k取何值时， 是一个完全平方式？解决此类问题的关键是熟练掌握完全平方公式： 的结构特征。因为， 是一个完全平方式，故将写成，根据多项式对应项的系数相等，得到．
（1）请尝试用语言叙述完全平方公式的结构特征： ；
（2）若 是完全平方式，则m的值为 ；若（n为常数） 是完全平方式，则n的值为 ；
（3）已知 ，请求出b的值．
【答案】（1）左边是两个数的和（差）的平方，右边是一个二次三项式，其中首末两项分别是两数的平方，都为正，中间一项是两数积的两倍，其符号与等式左边的运算符号相同（答案不唯一，能描述清楚即可）；（2）10或；16；（3）
【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式： 的结构特征是解题关键；
（1）根据完全平方公式结构特征用语言表述即可；
（2）根据完全平方公式结构特征：求字母常数的值即可；
（3）根据完全平方公式结构特征：求字母常数的值即可．
（1）解：完全平方公式：，
完全平方公式的结构特征：左边是两个数的和（差）的平方，右边是一个二次三项式，其中首末两项分别是两数的平方，都为正，中间一项是两数积的两倍，其符号与等式左边的运算符号相同，
故答案为：左边是两个数的和（差）的平方，右边是一个二次三项式，其中首末两项分别是两数的平方，都为正，中间一项是两数积的两倍，其符号与等式左边的运算符号相同；（答案不唯一，能描述清楚即可）
（2）解： 是完全平方式，
，
，
解得：或；
是完全平方式，
，
，
故答案为：10或；16；
（3）解：，
，
，
，
．
【变式1】（2023上·全国·八年级课堂例题）要使成为完全平方式，则常数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键．完全平方式：的特点是首平方，尾平方，首尾底数积的两倍在中央，先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方式的二倍项即可求解．
解：化为完全平方式，即．
当成为两数和的完全平方式时，，
此时；
当成为两数差的完全平方式时，，
此时．
综上，．
答案：D．
【变式2】（2023上·全国·八年级期末）如果多项式是完全平方式，那么k的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了完全平方式，根据口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央”来求k的值即可．
解：∵多项式是完全平方式，
∴
故答案为：．
【考点6】建立完全平方公式模型解决实际问题.
【例6】（2023上·福建福州·八年级福州日升中学校考期中）我们已学完全平方公式：，观察下列式子：
，
，原式有最小值是；
，
，原式有最大值是；
并完成下列问题：
（1）代数式有最 （填大或小）值，这个值= ．
（2）解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为100米的木栏围成一个长方形花圃，为了设计一个尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为米，完成下列任务．
①用含的式子表示花圃的面积；
②请说明当取何值时，花圃的最大面积是多少平方米？
【答案】（1）小，；（2）①平方米；②当时，花圃的最大面积为1250平方米
【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键；
（1）根据题中所给方法可进行求解；
（2）①利用长方形的面积长宽可得结论；②利用题中所给方法即可解决问题．
（1）解：，
∵，
∴，
∴代数式有最小值，最小值为；
故答案为小，；
（2）解：①由图可得花圃的面积：平方米；
②由①可知：，
当时，，且，
当时，花圃的最大面积为1250平方米．
【变式1】（2024上·广东广州·八年级统考期末）如图，某小区规划在边长为的正方形场地上，修建两条宽为的甬道，其余部分种草，下列各式中，表示甬道所占面积的为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了完全平方公式及正方形的面积等知识点，用正方形场地的面积减去正方形场地除去甬道部分的面积即可．
解：甬道所占面积的为横向和纵向两条甬道面积之和减去重叠部分，即，
由图可知边长为的正方形场地的面积为：，
除去甬道部分的面积为：，
∴甬道所占面积为：．
故选：B．
【变式2】（2023下·浙江湖州·七年级统考阶段练习）三种不同类型的长方形砖长宽如图所示，现有A类、C类各若干块，B类4块，小双用这些地砖拼成一个正方形（不重叠无缝隙），那么小双拼成正方形的边长是 ．（用含m，n的代数式表示）

【答案】或
【分析】设A类需用a块，C类需用c块，根据题意得拼成的正方形的面积为：是一个完全平方式，据此求解即可得．
解：设A类需用a块，C类需用c块，
这些地砖拼成的正方形的面积为：，
根据题意，是一个完全平方式，，
所以或者；
当，时，，
此时正方形的边长为：；
当，时，，
此时正方形的边长为：；
故答案为：或．
【点拨】本题考查完全平方公式，解题的关键是理解题意，掌握完全平方公式的结构特征．……①
……②
……③
……④