人教A版 (2019)必修 第二册第九章 统计9.2 用样本估计总体导学案

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知识精讲
知识点
1．随机试验
(1)定义：把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验．
(2)特点：①试验可以在相同条件下重复进行；
②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．
2．样本点和样本空间
(1)定义：我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间．
(2)表示：一般地，我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点．如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．
3．事件的分类
(1)随机事件：①我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．
②随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．
③在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生．
(2)必然事件：Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件．
(3)不可能事件：空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件．
【即学即练1】从6个篮球、2个排球中任选3个球，则下列事件中，是必然事件的是.
A．3个都是篮球B．至少有1个是排球
C．3个都是排球D．至少有1个是篮球
【答案】D
【解析】
从6个篮球、2个排球中任选3个球，显然必有一个篮球，根据这个事实对四个选项逐一判断.
【详解】
解析：从6个篮球、2个排球中任选3个球，A，B是随机事件，C是不可能事件，D是必然事件，故选D.
【点睛】
本题考查了对必然事件的理解.解题的关键是对问题的隐含事实的认识.
【即学即练2】在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不可能事件为（ ）
A．3件都是正品B．至少有1件次品
C．3件都是次品D．至少有1件正品
【答案】C
【解析】
【分析】
根据随机事件、不可能事件、必然事件即可得出结果.
【详解】
25件产品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品.
故选：C
【即学即练3】同时掷两枚大小相同的骰子，用（x，y）表示结果，记事件A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的样本点数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【解析】
【分析】
根据基本事件概念即可求解.
【详解】
因为事件A＝{（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）}，
共包含6个样本点.
故选：D.
【即学即练4】下列事件中，随机事件的个数是（ ）
①2022年8月18日，北京市不下雨；②在标准大气压下，水在4℃时结冰；③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签；④，则的值不小于0．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据各项的描述，判断随机事件、必然事件、不可能事件，进而确定随机事件的个数.
【详解】
①2022年8月18日，北京市不下雨，随机事件；
②在标准大气压下，水在4℃时结冰，不可能事件；
③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签，是随机事件；
④，则的值不小于0，必然事件；
∴随机事件有①、③.
故选：B
【即学即练5】下列事件:①当x是实数时,;②某班一次数学测试,及格率低于;③从分别标有这十个数字的纸团中任取一个,取出的纸团中标的数字是偶数;④体育彩票某期的特等奖号码.其中是随机事件的是( )
A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④
【答案】C
【解析】
根据随机事件的定义,逐项检验,即可求得答案.
【详解】
对于①,当x是实数时,,方程:无解,故①不可能事件.
对于②,某班一次数学测试,及格率低于是随机事件.
对于③,从分别标有这十个数字的纸团中任取一个,取出的纸团中标的数字是偶数是随机事件.
对于④,体育彩票某期的特等奖号码是随机事件.
故随机事件为:②③④
故选:C.
【点睛】
本题考查了判断事件是否为随机事件,解题的关键是掌握随机事件的定义,考查了分析能力,属于基础题.
【即学即练6】给出下列四个命题：
①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；②“当x为某一实数时，可使x2≤0”是不可能事件；③“明天天津市要下雨”是必然事件；④“从100个灯泡(含有10个次品)中取出5个，5个全是次品”是随机事件．
其中正确命题的个数是（ ）
A．0B．1
C．2D．3
【答案】C
【解析】
利用必然事件的概念可以判断①是正确的命题，③是偶然事件，利用不可能事件的概念判断②正确，利用随机事件的概念判断④正确.
【详解】
对于①，三个球全部放入两个盒子，有两种情况：1+2和3+0，故必有一个盒子有一个以上的球，所以该事件是必然事件，①正确；
对于②，x=0时x2=0，所以该事件不是不可能事件，②错误；
对于③，“明天天津市要下雨”是偶然事件，所以该事件是随机事件，③错误；
对于④，“从100个灯泡(含有10个次品)中取出5个，5个全是次品”，发生与否是随机的，所以该事件是随机事件，④正确．故正确命题有2个.
故选：C．
【即学即练7】从1，2，3，…，10这10个数中，任取3个数，那么“这3个数的和不大于9”这一事件包含的样本点的个数是（ ）
A．4B．5
C．6D．7
【答案】D
【解析】
【分析】
利用列举法可得事件包含的样本点的个数．
【详解】
样本空间为{(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，2，6)，(1，3，4)，(1，3，5)，(2，3，4)}，样本点个数为7.
故选：D
【即学即练8】（1）一批小麦种子全部发芽是________事件；
（2）某人投篮3次，投中4次是________事件．
【答案】 随机 不可能
【解析】
【分析】
根据随机事件和不可能事件的概念求解即可.
【详解】
种子发芽是随机的，故是随机事件；
投篮3次，不可能中4次，是不可能事件；
故答案为：随机；不可能.
【即学即练9】在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：
①“在这200件产品中任意选9件，全部是一级品”；
②“在这200件产品中任意选9件，全部都是二级品”；
③“在这200件产品中任意选9件，不全是一级品”.
其中________是随机事件；________是不可能事件.(填上事件的编号)
【答案】 ：①③ ：②
【解析】
【分析】
根据随机事件、不可能事件的定义即可得出结果.
【详解】
解析：因为二级品只有8件，故9件产品不可能全是二级品，
所以②是不可能事件.
故答案为：①③；②
【即学即练10】从含有件次品的件产品中任取件，观察其中次品数，其样本空间为______．
【答案】
【解析】
【分析】分析取出的件产品的次品个数即可求解.
【详解】由分析可知取出的件产品的次品个数为，，，，，
所以样本空间为，故答案为：.
【即学即练11】现有10个同类产品，其中7个是正品，3个是次品.有以下事件：从这10个产品中任意抽取4个产品，①4个产品都是正品；②至少有1个次品；③4个产品都是次品；④至少有1个正品.其中随机事件为________，不可能事件为________，必然事件为________.（填序号）
【答案】 ①② ③ ④
【解析】
【分析】事件不可能发生为不可能事件，事件必然发生为必然事件，有可能发生，也有可能不发生，为随机事件.
【详解】10个同类产品，其中7个是正品，3个是次品.，从中任意抽取4个产品，则至少有一个是正品，故④为必然事件，而不可能4个产品都是次品，故③为不可能事件，可能会4个产品都是正品，可能会至少有1个次品，所以①②是随机事件
故答案为：①②；③；④
【即学即练12】一只口袋内装有5个大小相同的球，白球3个，黑球2个，从中一次摸出2个球．
(1)共有多少个样本点？
(2)“2个都是白球”包含几个样本点？
【答案】(1)10个；(2)3个.
【分析】(1)将袋中的5个求分白球、黑球编号，用列举法写出所有可能结果即可得解.
(2)利用(1)写出摸出的2个球都是白球结果即可得解.
【解析】(1)用1，2，3表示3个白球，用a，b表示2个黑球，则从袋中一次摸出2个球的不同结果：
(1，2)，(1，3)，(1，a)，(1，b)，(2，3)，(2，a)，(2，b)，(3，a)，(3，b)，(a，b)，
所以共10个样本点.
(2)由(1)知，“2个都是白球”含有的结果是：(1，2)，(1，3)，(2，3)，共3个样本点.
能力拓展
考法01
随机现象的判定
【典例1】以下现象是随机现象的是（ ）
A．标准大气压下，水加热到100℃，必会沸腾
B．长和宽分别为a，b的矩形，其面积为
C．走到十字路口，遇到红灯
D．三角形内角和为180°
【答案】C
【解析】
【分析】
对每一个选项逐一分析判断得解.
【详解】
A. 标准大气压下，水加热到100℃，必会沸腾,是必然事件；
B. 长和宽分别为a，b的矩形，其面积为，是必然事件；
C. 走到十字路口，遇到红灯，是随机事件；
D. 三角形内角和为180°，是必然事件.
故选C
【点睛】
本题主要考查必然事件、随机事件的定义与判断，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
【典例2】以下现象不是随机现象的是（ ）
A．抛掷一枚硬币，出现反面B．某人买彩票中奖
C．标准大气压下，水加热到D．明天下雨
【答案】C
【解析】
根据随机现象的概念逐一判断即可得解.
【详解】由随机现象的概念可知A、B、D都是随机现象，C为确定性现象.故选：C.
【点睛】本题考查了随机现象的概念，属于基础题.
【典例3】有下面的试验：
①如果a，b∈R，那么a•b=b•a；
②某人买彩票中奖；
③实系数一次方程必有一个实根；
④在地球上，苹果抓不住必然往下掉；
其中必然现象有（ ）
A．①B．④C．①③D．①④
【答案】D
【解析】
【详解】
如果a，b∈R，那么一定有a•b=b•a，故①是必然现象．某人买彩票中奖，可能发生，也可能不发生，故②是随机现象．③实系数一次方程必有一个实根，这有可能发生，也可能不发生（如实系数方程0x=5没有实数根），故③是随机现象．在地球上，苹果抓不住必然往下掉，这必然发生，故④是必然现象，故选D．
【典例4】判断下列现象是必然现象还是随机现象.
（1）掷一个质地均匀的骰子出现的点数；________.
（2）行人在十字路口看到的交通信号灯的颜色；________.
（3）在10个同类产品中，有8个正品、2个次品，从中任意抽出2个检验的结果. ________.
【答案】 随机现象 随机现象 随机现象
【解析】
【分析】由随机现象和必然现象的定义判断．
【详解】
（1）掷一个质地均匀的骰子其点数有可能出现1~6，点数是不能确定的；因此是随机现象.
（2）行人在十字路口看到交通信号灯的颜色有可能是红色，有可能是黄色，也有可能是绿色，故是随机现象.
（3）抽出的2个产品中有可能全部是正品，也有可能是一个正品一个次品，还有可能是两个次品，故是随机现象.
故答案为（1）随机现象；（2）随机现象；（3）随机现象．
【点睛】本题考查必然现象和随机现象的概念．事件出现的结果是不确定的，则为随机现象，必定发生的则为必然现象．
考法02
随机事件的判定：
【典例5】给出下列四个命题:
①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；②“当为某一实数时，可使”是不可能事件；③“明天兰州要下雨”是必然事件；④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件.
其中正确命题的序号是（ ）
A．①②③④B．①②③C．①②④D．①②
【答案】C
【解析】
根据必然事件、不可能事件和随机事件的概念，结合题意逐一判断即可.
【详解】
①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”一定发生，是必然事件，①正确；
②“当为某一实数时，可使”不可能发生，没有哪个实数的平方小于0，是不可能事件，②正确；
③“明天兰州要下雨”是随机事件，故③错；
④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”有可能发生，有可能不发生，是随机事件，故④正确.
故选：C.
【点睛】
本题考查了必然事件、不可能事件和随机事件的概念，属于基础题.
【典例6】在200件产品中，192有件一级品，8件二级品，则下列事件：
①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；
②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；
③在这200件产品中任意选出9件，不全是一级品；
④在这200件产品中任意选出9件，至少一件是一级品．
其中的随机事件有（ ）
A．①③B．③④C．②④D．①②
【答案】A
【解析】
【分析】
按照随机事件、必然事件、不可能事件的定义一一判断.
【详解】
由于在200件产品中，192有件一级品，8件二级品，
则①“在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品”，这件事可能发生，也可能不发生，故是随机事件．
②“在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品”，这件事根本不可能发生，故是不可能事件．
③“在这200件产品中任意选出9件，不全是一级品”，这件事可能发生，也可能不发生，故是随机事件．
④“在这200件产品中任意选出9件，其中不是一级品的件数小于100”，是一定要发生的事件，故是必然事件
故选：A．
【典例7】在10件同类商品中，有8件红色的，2件白色的，从中任意抽取3件，下列事件是随机事件的是（ ）
A．3件都是红色B．3件都是白色
C．至少有1件红色D．有1件白色
【答案】AD
【解析】
根据随机事件定义，结合题意即可判断.
【详解】
在10件同类商品中，有8件红色的，2件白色的，从中任意抽取3件，
对于A，抽取3件有可能都是红色，也有可能出现白色，所以A是随机事件；
对于B，因为只有2件是白色，所以不可能出现3件是白色，即B为不可能事件，所以B不是随机事件，
对于C，因为只有2件是白色，所以取出的3件中至少有1件是红色，所以C为必然事件，所以C不是随机事件，
对于D，抽出3件中白色可能有0，1，2三种可能，所以有1件白色是随机事件，即D为随机事件，
综上可知，随机事件为AD，
故选：AD.
【点睛】本题考查了随机事件的判断，属于基础题.
考法03
事件的性质判定
【典例8】从含有10件正品、2件次品的12件产品中，任意抽取3件，则必然事件是（ ）
A．3件都是正品B．3件都是次品
C．至少有1件次品D．至少有1件正品
【答案】D
【解析】
【分析】
根据随机事件、不可能事件以及必然事件的定义对选项中的事件逐一判断即可.
【详解】
从10件正品， 2件次品，从中任意抽取3件
A:3件都是正品是随机事件，
B：3件都是次品不可能事件,
C:至少有1件次品是随机事件,
D：因为只有两件次品，所以从中任意抽取3件必然会抽到正品，即至少有一件是正品是必然事件，故选D .
【点睛】本题主要考查了随机事件、不可能事件、必然事件的定义与应用，意在考查对基本概念掌握的熟练程度，属于基础题.
【典例9】下列事件：①一个口袋内装有5个红球，从中任取一球是红球；②抛掷两个骰子，所得点数之和为9；③（）；④方程有两个不相等的实数根；⑤巴西足球队在下届世界杯足球赛中夺得冠军.其中随机事件的个数为（ ）.
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】
【分析】根据事件的定义判定．
【详解】
①③是必然事件；②⑤是随机事件；④是不可能事件.
故选B.
【点睛】本题考查事件的定义，考查必然事件、随机事件、不可能事件的概念，属于基础题．
【典例10】下列事件中不可能事件的个数为（ ）
①抛一块石块下落；
②如果，那么；
③没有水分，种子能发芽；
④某电话机在1分钟内收到2次呼叫；
⑤在标准大气压下且温度低于时，冰融化．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据必然事件、随机事件、不可能事件的定义判断即可．
【详解】
①②是必然事件，④是随机事件，③⑤是不可能事件．
所以不可能事件的个数为2．
故选：B．
【典例11】下列事件是随机事件的是（ ）
①当时，；
②当，有解；
③当，关于x的方程在实数集内有解；
④当时，.
A．①②B．②③C．③④D．①④
【答案】C
【解析】
根据随机事件的概念对四个事件分别进行分析即可得到结论。
【详解】
对于①，由于时，恒成立，故事件①为必然事件；
对于②，由于无实数根，故事件②为不可能事件；
对于③，当，关于的方程在实数集内可能有解，也可能无解，故事件③为随机事件；
对于④，当时，可能成立，也可能不成立，故事件④为随机事件，
综上，事件③④为随机事件.
故选：C.
【点睛】本题考查对随机事件概念的理解，是基础题。
【典例12】已知非空集合，且集合是集合的真子集，则下列命题为真命题的是（ ）
A．“若，则”是必然事件B．“若，则”是不可能事件
C．“若，则”是随机事件D．“若，则”是必然事件
【答案】ACD
【解析】
利用集合间的基本关系，将问题转化为元素与集合的关系，即可得答案.
【详解】
对A，符合真子集的定义，故A正确；
对B， “若，则”也可能成立，故B错误；
对C，“若，则成立，也可能，故C正确；
对D， “若，则”，由文氏图可以理解，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】本题考查利用集合间的关系，判断事件的类型，考查对概念的理解.
考法04
求样本点与样本空间：写样本空间的关键是找样本点，具体有三种方法：
（1）列举法：适用样本点个数不是很多，可以把样本点一一列举出来的情况，但列举时必须按一定的顺
序，要做到不重不漏.
（2）列表法：适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题，通常把样本归纳为“有序实数对”，也可用坐标法，列表法的优点是准确、全面、不易遗漏.
（3）树状图法：适用较复杂问题中的样本点的探求，一般需要分步(两步及两步以上)完成的结果可以用树状图进行列举.
【典例13】有4张卡片，上面分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的所有基本事件数为（ ）
A．2B．3
C．4D．6
【答案】C
【解析】
【分析】从从这4张卡片中随机抽取2张卡片，取出的2张卡片上的数字之和为奇数包括的结果，可以通过列举得到．
【详解】由题意知，从从这4张卡片中随机抽取2张卡片，取出的2张卡片上的数字之和为奇数包括，，，共有四种结果，故选C．
【点睛】
本题考查排列组合的实际问题，这是一个最简单的组合数问题，在解题时，注意这里是一次抽取两张，不用考虑顺序．
【典例14】一个家庭有两个小孩儿,则可能的结果为( )
A．{(男,女),(男,男),(女,女)}
B．{(男,女),(女,男)}
C．{(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)}
D．{(男,男),(女,女)}
【答案】C
【解析】
【详解】
随机试验的所有结果要保证等可能性.两小孩儿有大小之分,所以(男,女)与(女,男)是不同的结果,故选C.
【典例15】袋中有5只球，其中有3只红球，编号为1，2，3，有2只黄球，编号为4，5.现从中任意取一只球，试验A：观察颜色；试验B：观察号码.
试验A的样本空间为_______________________.
试验B的样本空间为_______________________.
【答案】 红，黄
【解析】
【分析】
由样本空间的定义即可求解.
【详解】
解：由题意，试验A的样本空间为红，黄；试验B的样本空间为.
故答案为：红，黄；.
【典例16】抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，写出试验的样本空间
【解析】掷两枚硬币，第一枚硬币可能的基本结果用x表示，第二枚硬币可能的基本结果用y表示，那么试验的样本点可用(x，y)表示，于是，试验的样本空间{(正面，正面)，(正面，反面)，(反面，正面)，(反面，反面)}
如果我们用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，那么样本空间还可以简单表示为
如图所示，画树状图可以帮助我们理解例3的解答过程
【典例17】在0，1，2，…，9这10个数字中任意选取一个，写出试验的样本点和样本空间.
【答案】见解析
【解析】
【分析】
利用样本点和样本空间的定义进行求解即可.
【详解】
在0，1，2，…，9这10个数字中任意选取一个，
试验的样本点为：0，1，2，3, 4，5，6，7，8，9；
样本空间.
【典例18】已知集合，，从两个集合中各取一个元素构成点的坐标．
(1)写出这个试验的样本空间；(2)求这个试验样本点的总数；
(3)写出“得到的点是第一象限内的点”这一事件所包含的样本点；
(4)说出事件所表示的实际意义．
【答案】(1)答案见解析；(2)；(3)；(4)得到的点是第三象限内的点.
【分析】
（1）将样本点一一列出在花括号内可得样本空间；
（2）由样本空间可得样本点的个数；
（3）找出横纵坐标都大于的样本点即可；
（4）根据事件中样本点的坐标可得实际意义.
【解析】(1)样本空间为
(2)由知这个试验样本点的总数为.
(3)得到的点是第一象限内的点”这一事件所包含的样本点为.
(4)事件表示得到的点是第三象限内的点.
【典例19】树形图（TreeDiagram）是一种有层次地枚举各种可能情况的可视化方法.树形图有助于我们直观地探求某些样本空间.例如，考察有两个孩子的家庭，记“从中任意抽取一个家庭，两个孩子是一男一女”为事件A.我们画出如图所示的树形图，可知样本空间{（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）}，事件{（男，女），（女，男）}.
试用树形图的方法分析下列习题
一只不透明的口袋内装有大小相同的3个球，且分别标有1，2，3三个号码.记“从袋中不放回地抽取2个球，第一个球的号码是1”为事件A，“从袋中不放回地抽取2个球，第二个球的号码是2”为事件B.试分别写出，A，B及AB所包含的样本点.
【答案】=，，，
【解析】
【分析】利用树状图把情况列出来，再根据树状图写出，A，B及AB所包含的样本点.
【详解】
样本空间=，事件，事件，事件
分层提分
题组A 基础过关练
1．下列现象中，是随机现象的有（ ）
①在一条公路上，交警记录某一小时通过汽车超过300辆.
②若a为实数，则|a+1|≥0.
③发射一颗炮弹，命中目标.
④检查流水线上一件产品，这件产品是次品.
A．1个B．2个
C．3个D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据随机现象和必然现象的定义判断得解.
【详解】
当a为实数时，|a+1|≥0恒成立，是必然现象，其余3个均为随机现象.
所以是随机现象的有3个.
故选：C
2.“连续抛掷两个质地均匀的骰子，记录朝上的面的点数”，该试验的结果共有（ ）.
A．6种B．12种C．24种D．36种
【答案】D
【解析】
【分析】
由第一次的点数和第二次的点数，组成一个事件，写出所有可能即得．
【详解】试验的全部结果为 ， ， ， ， ， ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共36种.
故选D．
【点睛】本题考查样本空间，解题时书写样本点时要注意有先后顺序．
3. 下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．对任意实数x，有x2≥0
B．某人练习射击，击中10环
C．从装有1号，2号，3号球的不透明的袋子中取一球是1号球
D．某人购买彩票中奖
【答案】A
【解析】
【分析】
根据必然事件的概念，考察必然发生的事件，即为所选项.
【详解】
选项中的事件都不确定发生，因此都不是必然事件；
A选项，当时，总有发生，是必然事件.
故选：A.
【点睛】
本题考查必然事件的概念与判定，属基础题.
4.下列事件：
①任取三条线段，这三条线段恰好组成直角三角形；
②从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，这三条射线交于一点；
③实数a，b都不为0，但；
④明年12月28日的最高气温高于今年12月28日的最高气温．
其中为随机事件的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④
【答案】C
【解析】
【分析】
根据随机事件概念逐一判断，即可选择.
【详解】
任取三条线段，这三条线段不一定能组成直角三角形，所以①为随机事件；
从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，这三条射线不一定交于一点，所以②为随机事件；
因为当实数a，b都不为0时，所以③为不可能事件；
明年12月28日的最高气温可能高于今年12月28日的最高气温，所以④为随机事件；
故选C．
【点睛】
本题考查随机事件概念，考查基本分析判断能力，属基础题.
5. 袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个，现在有放回地随机摸3次，每次摸取一个，观察摸出球的颜色，则此随机试验的样本点个数为 （ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意一一列举出基本事件即可得出选项.
【详解】
因为是有放回地随机摸3次，
所以随机试验的样本空间为Ω={(红，红，红)，(红，红，黑)，(红，黑，红)，(红，黑，黑)，
(黑，红，红)，(黑，红，黑)，(黑，黑，红)，(黑，黑，黑)}.共8个.
故选：D
6. 下列试验能构成事件的是（ ）
A．掷一次硬币B．标准大气压下，水烧至
C．从100件产品中任取3件D．某人投篮5次，恰有3次投中
【答案】D
【解析】
【分析】
根据事件可以分为必然事件、随机事件和不可能事件即可判断.
【详解】
解：所谓事件，实际上就是在一定条件下所出现的某种结果．在一定条件下必然发生的事件，叫做必然事件．在一定条件下不可能发生的事件，叫做不可能事件．随机事件在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件．
，，三个选项不能划分为三种事件的其中一个，故选：D．
7. 下列事件为确定事件的有（ ）
（1）在一标准大气压下，的水结冰
（2）边长为，的长方形面积为ab
（3）抛一个硬币，落地后正面朝上
（4）平时的百分制考试中，小白的考试成绩为105分．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【解析】
【分析】
根据不可能事件、必然事件、随机事件的概念进行逐一判断即可得到答案.
【详解】
（1）在一标准大气压下，的水结冰，这是不可能发生的事件，故是不可能事件．
（2）边长为，的长方形面积为，这是必然发生的事件，故是必然事件
（3）抛一个硬币，落地后正面朝上，这件事可能发生，也可能不发生，属于随机事件．
（4）平时的百分制考试中，小白的考试成绩为105分，这是不可能发生的事件，故是不可能事件．
故选:A．
8. 下列事件中是随机事件的个数有 （ ）
①连续两次抛掷两个骰子，两次都出现2点；
②在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下掉；
③某人买彩票中奖；
④已经有一个女儿，那么第二次生男孩；
⑤在标准大气压下，水加热到90℃是会沸腾．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据随机事件就是在指定条件下，可能发生也可能不发生的事件，依据定义即可判断，得到答案.
【详解】
由题意，随机事件就是在指定条件下，可能发生，也可能不发生的事件，
①连续两次抛掷两个骰子，两次都出现2点可能发生，也可能不发生，所以是随机事件，
②在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下掉，这是一定发生的事件，不是随机事件；
③某人买彩票中奖，此事可能发生，也可能不发生，所以是随机事件；
④已经有一个女儿，那么第二次生男孩，此事可能发生，也可能不发生，所以是随机事件；
⑤在标准大气压下，水加热到90℃是会沸腾，此事一定不发生，不是随机事件.
故选C.
【点睛】
本题主要考查了随机事件，必然事件、不可能事件的概念及判断，其中熟记随机事件的基本概念是解答此类问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
9. 在10名学生中，男生有x名，现从10名学生中任选6人去参加某项活动：①至少有1名女生；②5名男生，1名女生；③3名男生，3名女生．若要使①为必然事件，②为不可能事件，③为随机事件，则x＝（ ）
A．5B．6C．3或4D．5或6
【答案】C
【解析】
利用必然事件、不可能事件、随机事件的性质求解．
【详解】
依题意知，10名同学中，男生人数少于5人，但不少于3人，故x=3或4．
故选C
【点睛】
本题考查必然事件、不可能事件、随机事件的性质的灵活运用．
10. 下列事件：①任取这三条线段，这三条线段恰好组成直角三角形；②从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，这三条射线交于一点；③实数，都不为0，但；④明年12月28日的最高气温高于今年12月28日的最高气温.其中为随机事件的是（ ）
A．①②③④B．①②④C．①③④D．②③④
【答案】B
【解析】
根据随机事件的基本概念，逐项判定，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，对于①中，任取三条线段，这三条线段可能组成直角三角形，也可能组不成直角三角形，故①为随机事件；
对于②中，从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，三条射线可能不相交、交于一点、交于两点、交天三点，故②为随机事件；
对于③中，若实数，都不为，则一定不等于0，故③为不可能事件；
对于④中，由于明天12月28还未到来，故明年12月28日的最高气温可能高于今年12月28日的最高气温，也可能低于今年12月28日的最高气温，还可能等于今年12月28日的最高气温，故④为随机事件.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了随机事件基本概念及应用，其中解答中熟记随机事件的基本概念，逐项判定是解答的关键，属于基础题.
11. 下列事件是确定事件的是（ ）
A．2022年世界杯足球赛期间不下雨
B．没有水，种子发芽
C．对任意，有
D．抛掷一枚硬币，正面向上
【答案】B
【解析】
根据确定事件的定义判断即可‘’
【详解】
解：不可能事件和必然事件统称确定事件，对于A，2022年世界杯足球赛期间不下雨时随机事件；
对于B，没有水，种子发芽为不可能事件，即为确定事件；
对于C，对任意，有，为随机事件；
对于D，抛掷一枚硬币，正面向上，为随机事件；
故选：B
【点睛】本题考查确定事件的概念的理解，属于基础题.
12. 从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，那么“这2个数的和大于4”包含的样本点数为（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【解析】
【分析】
列出2个数的和大于4的样本点即可求解．
【详解】
从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，
则试验的样本空间为Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4) }.
其中“这2个数的和大于4”包含的样本点有：(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共4个．
故选：C.
13. 下列说法正确的是（ ）
A．某人打靶，射击10次，击中7次，那么此人中靶的概率为0.7
B．一位同学做掷硬币试验，掷6次，一定有3次“正面朝上”
C．某地发行福利彩票，回报率为，有人花了100元钱买彩票，一定会有47元的回报
D．概率等于1的事件不一定为必然事件
【答案】D
【解析】
【分析】
对四个命题分别进行判断即可得出结论
【详解】
，某人打靶，射击次，击中次，那么此人中靶的概率不一定为，是一个随机事件，故错误
，是一个随机事件，一位同学做掷硬币试验，掷次，不一定有次“正面朝上”，故错误
，是一个随机事件，买这种彩票，中奖或者不中奖都有可能，但事先无法预料，故错误
，正确，比如说在和之间随机取一个实数，这个数不等于的概率是，但不是必然事件，故正确
综上所述，故选
【点睛】
本题考查了事件发生的概率问题、必然事件，只要按照其定义进行判定即可，较为简单
14. 分别标有数字的张卡片，从这张卡片中随机抽取张卡片，则取出的张卡片上的数字之和为奇数的取法数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【详解】
由题意知,从这4张卡片中随机抽取2张卡片,取出的2张卡片上的数字之和为奇数包括(1,2),(1,4),(2,3),(3,4),共有4种结果.故选C.
15. 从个同类产品（其中个是正品，个是次品）中任意抽取个的必然事件是（ ）
A．3个都是正品B．至少有个是次品C．个都是次品D．至少有个是正品
【答案】D
【解析】
【详解】
试题分析：在一定条件下一定发生的事件，叫做必然事件．从12件同类产品中，其中10件是正品，2件是次品，任意抽取3件，其中至少有一件是正品，故选D.
考点：本题主要考查必然事件的概念．
点评：在一定条件下一定发生的事件，叫做必然事件．
题组B 能力提升练
1. （多选）在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不是随机事件的是（ ）
A．3件都是正品B．至少有1件次品
C．3件都是次品D．至少有1件正品
【答案】CD
【解析】
【分析】
根据题意25件产品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品，且至少有1件正品，即可得解.
【详解】
25件产品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品，
则“3件都是次品”不是随机事件，是不可能事件，
又25件产品中只有2件次品，从中任取3件产品，则“至少有1件正品”为必然事件，
而A，B是随机事件，
故选：CD
2. （多选）袋中装有标号分别为1，3，5，7的四个相同的小球，从中取出两个，下列事件是样本点的是（ ）
A．取出的两球标号为3和7
B．取出的两球标号的和为4
C．取出的两球标号都大于3
D．取出的两球标号的和为8
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据样本点的定义逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.
【详解】
对于A：取出的两球标号为3和7是样本点，故选项A正确；
对于B：取出的两球标号的和为4，指取出的两球标号为1和3，是样本点，故选项B正确；
对于C：取出的两球标号都大于3，指取出的两球标号为5和7，是样本点，故选项C正确；
对于D：取出的两球标号的和为8包括取出的两球标号为1和7、3和5，是两个样本点，故选项D不正确；
故选：ABC.
3. （多选）已知集合是集合的真子集，下列关于非空集合，的四个命题：
①若任取，则是必然事件：
②若任取，则是不可能事件；
③若任取，则是随机事件；
④若任取，则是必然事件．
其中正确的命题是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据集合是集合的真子集，可知集合中的元素都在集合中，集合中存在元素不是集合中的元素，再根据随机事件，必然事件，不可能事件的定义判断即可求解.
【详解】
因为集合是集合的真子集，所以集合中的元素都在集合中，集合中存在元素不是集合中的元素，作出其韦恩图如图：
对于①：集合中的任何一个元素都是集合中的元素，任取，则是必然事件，故①正确；
对于②：任取，则是随机事件，故②不正确；
对于③：因为集合是集合的真子集，集合中存在元素不是集合中的元素，集合中也存在集合中的元素，所以任取，则是随机事件，故③正确；
对于④：因为集合中的任何一个元素都是集合中的元素，任取，则是必然事件，故④正确；所以①③④正确，
故选：ACD.
4. (多选)下列事件是随机事件的是（ ）
A．函数f(x)＝x2－2x＋a的图象关于直线x＝1对称
B．某人给其朋友打电话，却忘记了朋友电话号码的最后一个数字，就随意拨了一个数字，恰巧是朋友的电话号码
C．直线y＝kx＋6是定义在R上的增函数
D．某人购买福利彩票一注，中奖500万元
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据必然事件，随机事件的特点，逐项判断，求出二次函数的对称轴；随机拨了一个数字；的正负决定了函数的增减性；以及彩票的特点，买了一注就中奖；即可确定随机事件和必然事件.
【详解】
A.根据二次函数 的对称轴为 ，可得f(x)＝x2－2x＋a图像关于
x＝1对称，是必然事件；
B.因为忘记最后一个数字，随意拨了一个数字，故是随机事件；
C.因为 的不确定，所以也有可能是减函数；
D.彩票由很多张，买了一张中奖，当然是随机事件；
所以A为必然事件；B，C，D为随机事件．
故选：BCD
5. 先后抛掷两枚质地均匀的骰子，骰子朝上的面的点数分别为x， y，则事件“朝上的面的点数x， y满足lg2xy＝1”包含的样本点有_______________．
【答案】(1，2)，(2，4)，(3，6)．
【解析】
【分析】
利用列举法求解.
【详解】
先后抛掷两枚质地均匀的骰子，骰子朝上的面的点数分别为x， y，
则事件“朝上的面的点数x， y满足lg2xy＝1”包含的样本点有(1，2)，(2，4)，(3，6)．
故答案为：(1，2)，(2，4)，(3，6)．
6. 给出下列事件：
①函数在定义域内为增函数；
②小学生和张怡宁打乒乓球，张怡宁胜利；
③一所学校共有998名学生，至少有3名学生的生日相同；
④若集合，，满足，，则；
⑤在标准大气压下，河流在20℃时结冰；
⑥从1，3，9中任选两数相加，其和为偶数．
其中属于随机事件的是______，属于必然事件的是______，属于不可能事件的是______（填序号）．
【答案】 ② ③④⑥ ①⑤
【解析】
【分析】
根据必然事件，随机事件和不可能事件的概念逐项判定可得出结果.
【详解】
①中函数应为单调减函数，说法不正确，故为不可能事件；
②中可能张怡宁胜利也可能小学生胜利，故为随机事件；
③中998大于365的两倍，说法正确，故为必然事件；
根据集合的包含关系，④中说法正确，故为必然事件；
⑤中的说法不正确，故为不可能事件；
⑥中任意两奇数和均为偶数，说法正确，故为必然事件.
故答案为：②；③④⑥；①⑤.
7. 从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数，则其和为奇数这一事件包含的样本点个数为___________.
【答案】4
【解析】
【分析】
直接列举基本事件即可.
【详解】
从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10种情况，其中（1，2，4），（1，3，5），（2，3，4），（2，4，5）中三个数字之和为奇数，共有4种.
故答案为：4.
8. 将一枚骰子掷两次，若先后出现的点数分别为b，c，则方程x2+bx+c=0有实数根的样本点个数为______.
【答案】19
【解析】
【分析】
先根据题中的条件可得，列出所有满足条件的情况即可．
【详解】
一枚骰子掷两次，先后出现的点数构成的样本点共36个，
其中方程有实根的充要条件为b2≥4ac，得的结果有：（2，1）（3，1）（4，1）
（5，1）（6，1）（3，2）（4，2）（5，2）（6，2）（4，3）（5，3）（6，3）（4，4）（5，4）
（6，4）（5，5）（6，5）（5，6）（6，6）共19结果．
故答案为：19
C 培优拔尖练
1. 某转盘被平均分成10份（如图所示）.
转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字.
问题
（1）设事件“转出的数字是5”，事件A是必然事件、不可能事件还是随机事件？
（2）设事件 “转出的数字是0”，事件B是必然事件、不可能事件还是随机事件？
（3）设事件“转出的数字x满足，”，事件C是必然事件、不可能事件还是随机事件？
【答案】（1）随机事件；（2）不可能事件；（3）必然事件.
【解析】
根据必然事件、不可能事件还是随机事件的定义判断：
（1）可能发生也可能不发生，
（2）不可能发生；
（3）一定会发生．
【详解】
（1）“转出的数字是5”可能发生，也可能不发生，故事件A是随机事件.
（2） “转出的数字是0”，即，不是样本空间的子集，故事件B是不可能事件.
（3），故事件C是必然事件.
【点睛】
本题考查必然事件、不可能事件还是随机事件的概念.
2.班里有18个男生，15个女生，其中一名女生叫小丽，从中任意抽取a人打扫卫生．
(1)女生被抽到是必然事件，求a的取值范围；
(2)女生小丽被抽到是随机事件，求a的取值范围．
【答案】(1)；
(2)，.
【分析】（1）根据必然事件的定义得解；（2）根据随机事件的定义得解.
【解析】(1)班里有18个男生，15个女生，从中任意抽取a人打扫卫生，女生被抽到是必然事件，
所以.
(2)班里有18个男生，15个女生，从中任意抽取a人打扫卫生，女生小丽被抽到是随机事件，
所以，.
3. 同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果为(x，y)．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验的样本点的总数；
(3)“x+y=5”这一事件包含哪几个样本点？“x<3且y>1”呢？
(4)“xy=4”这一事件包含哪几个样本点？“x=y”呢？
【答案】(1)答案见解析；(2)16；(3)答案见解析；(4)答案见解析.
【分析】
(1)根据给定条件按两个转盘中的数字依顺序不重不漏地写出各对数即可得试验的样本空间.
(2)利用(1)即可求出样本空间中样本点的总数.
(3)借助(1)的样本空间即可写出事件“x+y=5”、 “x<3且y>1”的样本点.
(4)借助(1)的样本空间即可写出事件“xy=4”、 “x=y”的样本点.
【解析】(1)
Ω={(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}.
(2)由(1)知，样本点的总数为16.
(3)由(1)知，事件“x+y=5”包含以下4个样本点：(1，4)，(2，3)，(3，2)，(1，4)；
事件“x<3且y>1”包含以下6个样本点：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4).
(4)由(1)知，事件 “xy=4”包含以下3个样本点：(1，4)，(2，2)，(4，1)；
事件“x=y”包含以下4个样本点：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4).
4. 连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.
（1）写出对应的样本空间；
（2）求这个实验的样本空间中样本点的个数；
（3）写出“恰有两枚正面向上”这一事件的集合表示.
【答案】（1）（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）；（2）8；（3）（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）.
【解析】
【分析】
由于掷一枚硬币有正和反两种情况，所以列举出连续抛掷3枚硬币可能出现的所有的情况，即全部基本事件，即可得基本事件的个数和满足条件的基本事件．
【详解】
（1）样本空间（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）；
（2）样本点个数是8；
（3）“恰有两枚正面向上”这一事件的集合表示为（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）.
5. 指出下列试验的样本空间：
（1）某人射击一次命中的整环数；
（2）从集合A={a，b，c，d}中任取两个元素构成A的子集.
【答案】（1）{0环，1环，2环，3环，4环，5环，6环，7环，8环，9环，10环}；（2）{{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}}.
【解析】
【分析】
（1）利用列举法可得某人射击一次命中的整环数的样本空间；
（2）利用列举法可得从集合A={a，b，c，d}中任取两个元素构成A的子集的样本空间．
【详解】
（1）某人射击一次命中的整环数的样本空间为：{0环，1环，2环，3环，4环，5环，6环，7环，8环，9环，10环}；
（2）从集合A={a，b，c，d}中任取两个元素构成A的子集的样本空间为：{{a，b}，{a，c}，{a，d}，
{b，c}，{b，d}，{c，d}}．
6. 从含有5件次品的100件产品中任取3件，观察其中的次品数.
（1）选择合适的表示方法，写出样本空间；
（2）写出事件A：“取到的3件产品中没有次品”的集合表示；
（3）说明事件所表示的实际意义.
【答案】（1）样本空间.（2）事件.（3）抽取的3件产品中没有次品或只有一件次品
【解析】
（1）用抽取的3件产品中次品的件数表示事件，即可写出样本空间；
（2）因为取到的3件产品中没有次品，所以次数为0，即可写出；
（3）根据事件中的数字，即可知其表示抽取的3件产品中没有次品或只有一件次品．
【详解】
用0，1，2，3表示抽取的3件产品中次品的件数，则有：
（1）样本空间.
（2）事件.
（3）表示的实际意义是：抽取的3件产品中没有次品或只有一件次品
【点睛】
本题主要考查样本空间的表示，事件的集合表示，以及解释事件表示的意义，属于基础题．
7．从1，2，3，4中任取两个数字，写出这个试验的样本空间，并用集合表示事件A：数字之和为5.
【答案】，
【解析】
用有序实数对表示事件，即可写出样本空间，并求出事件．
【详解】
样本空间为.
.
【点睛】
本题主要考查样本空间的表示，事件的集合表示.
8. 有A，B，C，D四位同学站成一排照相，观察他们的站队顺序.
（1）写出这个试验的样本空间；
（2）用集合表示下列事件：“A在两侧”；“B，C两人相邻”.
【答案】（1）详见解析（2）详见解析
【解析】
（1）根据树状图写出样本空间；（2）参照（1）中得到的总的样本空间，找出符合事件的样本点，得到相应的样本空间。
【详解】
解：（1）该试验的样本点用树状图表示，如图所示：
所以样本空间可表示为
.
（2）
；
.
【点睛】
本题考查样本空间，可用画树状图的方法将样本点逐一写出来。
9. 如图，一个电路中有，，三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效，元件处于正常状态记为“1”，处于失效状态记为“0”，把每个元件是否处于正常状态看成随机现象，记表示，，的状态，，，，指出下列随机事件的含义．
(1)事件；
(2)事件；
(3)事件．
【答案】(1)三个电器元件中恰好有两个电器元件处于正常状态
(2)这个电路是通路
(3)这个电路是断路
【分析】
根据元件处于正常状态记为“1”，处于失效状态记为“0”结合电路的特征求解.
【解析】
(1)观察事件中所含的样本点，，，
知每个样本点中都有两个1，一个0，
故事件的含义为三个电器元件中恰好有两个电器元件处于正常状态．
(2)观察事件中所含的样本点，，，
知每个样本点中第一个数均为1，第二个数和第三个数中至少有一个为1，
故事件的含义为这个电路是通路．
(3)观察事件P中所含的样本点，，，，，
知这五个样本点可划分为两类：
第一类：，，，，这四个样本点中第1个数均为0；
第二类：，该样本点中第一个数为1，第二个数和第三个数均为0．
这两类样本点包含了这个电路是断路的所有情况．
故事件P的含义为这个电路是断路．
课程标准
课标解读
了解随机现象与随机试验的特点；
理解样本点、样本空间的概念，会求所给试验的样本点和样本空间；
理解随机事件、必然事件、不可能事件的概念，会判断某一事件的性质.
通过本节课的学习，要求在理解概念的基础上，会判断事件的性质，能准确的求随机事件的样本空间，能准确选择恰当的方法（列举法、树状图法、列表法）分析随机实验的样本空间.