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所属成套资源：2023年初中数学中考专项分类强化训练（含答案）
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2023年初中数学中考专项分类强化训练（含答案）：30图形的认识综合专题(通用版)
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这是一份2023年初中数学中考专项分类强化训练（含答案）：30图形的认识综合专题(通用版)，共36页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.（•十堰）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD=5，CE=，则AE= （ ）
A．3 B．3 C．4 D．2
第1题图 第2题图
2.（•遂宁）如图，△ABC内接于⊙O，若∠A=45°，⊙O的半径r=4，则阴影部分的面积为 （ ）
A．48 B．2
C．4 D．88
3.（•云南）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=5，BC=13，CA=12，则阴影部分（即四边形AEOF）的面积是 （ ）
A．4 B．6.25 C．7.5 D．9
第3题图 第4题图
4.（•荆门）如图，△ABC内心为I，连接AI并延长交△ABC的外接圆于D，则线段DI与DB的关系是 （ ）
A．DI=DB B．DIDB
C．DIDB D．不确定
5.（•宁夏）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，分别以点A，D为圆心，以AB，DC为半径作扇形ABF，扇形DCE．则图中阴影部分的面积是 （ ）
A．6 B．6
C．12 D．12
第5题图 第6题图
6.（•自贡）图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形面板翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近 （ ）
A． B． C． D．
7.（•通辽）如图，等边三角形ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积等于 （ ）
A． B． C． D．2
第7题图 第8题图
8.（•娄底）如图，边长为2的等边△ABC的内切圆的半径为 （ ）
A．1 B． C．2 D．2
9.（•泸州）如图，等腰△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AB=AC=5，BC=6，则DE的长是
（ ）
A． B．
C． D．
10.（•深圳）已知菱形ABCD，E、F是动点，边长为4，BE=AF，∠BAD=120°，则下列结论正确的有几个 （ ）
①△BEC≌△AFC；②△ECF为等边三角形；③∠AGE=∠AFC；④若AF=1，则
=．
A．1B．2C．3D．4
第9题图 第10题图
11.（•连云港）如图，在矩形ABCD中，AD=2AB．将矩形ABCD对折，得到折痕MN；沿着CM折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，此时点B的对应点为G．下列结论：①△CMP是直角三角形；②点C、E、G不在同一条直线上；③PC=MP；④BP=AB；⑤点F是△CMP外接圆的圆心，其中正确的个数为 （ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
第11题图 第12题图
12.（•雅安）如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边心距OM=2，则该圆的内接正三角形ACE的面积为 （ ）
A．2B．4C．6 D．4
13.（•绥化）如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线AC上的两个动点，P是正方形四边上的任意一点，且AB=4，EF=2，设AE=x．当△PEF是等腰三角形时，下列关于P点个数的说法中，一定正确的是
（ ）
①当x=0（即E、A两点重合）时，P点有6个；
②当0x42时，P点最多有9个；
③当P点有8个时，x=22；
④当△PEF是等边三角形时，P点有4个.
A．①③ B．①④ C．②④ D．②③
二、填空题
14.（•葫芦岛）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD延长线上的一点，连接PA，过点P作PE⊥PA交BC的延长线于点E，过点E作EF⊥BP于点F，则下列结论中：
①PA=PE；②CE=PD；③BFPD=BD；④S△PEF=S△ADP
正确的是______________（填写所有正确结论的序号）
第14题图 第15题图
15.（•张家界）如图：正方形ABCD的边长为1，点E，F分别为BC，CD边的中点，连接AE，BF交于点P，连接PD，则tan∠APD=_______．
16.（•铜仁市）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠A=100°，则∠DCE的度数为________.
第16题图 第17题图
17.（•台州）如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE．若∠ABC
=64°，则∠BAE的度数为_______．
18.（•盘锦）如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，连接BD，半径OE⊥BC，连接EA，EA⊥BD于点F．若OD=2，则BC=________．
19.（•绥化）半径为5的⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，AB=AC，连接OB、OC，延长CO交弦AB于点D．若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为___________
______________．
三、解答题
20.（•遵义）如图，AB是⊙O的直径，弦AC与BD交于点E，且AC=BD，连接AD，BC．
（1）求证：△ADB≌△BCA；
（2）若OD⊥AC，AB=4，求弦AC的长；
（3）在（2）的条件下，延长AB至点P，使BP=2，连接PC．求证：PC是⊙O的切线．
21.（•河南）如图，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点G．
（1）求证：△ADF≌△BDG；
（2）填空：
①若AB=4，且点E是的中点，则DF的长为_______；
②取的中点H，当∠EAB的度数为_______时，四边形OBEH为菱形．
22.（•荆州）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，点P是半径OB上一动点（不与O，B重合），过点P作射线1⊥AB，分别交弦BC，于D，E两点，在射线l上取点F，使FC=FD．
（1）求证：FC是⊙O的切线；
（2）当点E是的中点时，
①若∠BAC=60°，判断以O，B，E，C为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由；
②若tan∠ABC=，且AB=20，求DE的长．
23.（•巴中）如图，在菱形ABCD中，连结BD、AC交于点O，过点O作OH⊥BC于点H，以点O为圆心，OH为半径的半圆交AC于点M．
①求证：DC是⊙O的切线．
②若AC=4MC且AC=8，求图中阴影部分的面积．
③在②的条件下，P是线段BD上的一动点，当PD为何值时，PH+PM的值最小，并求出最小值．
24.（•湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，直线l1分别交x轴和y轴于点A（3，0），B（0，3）．
（1）如图1，已知⊙P经过点O，且与直线l1相切于点B，求⊙P的直径长；
（2）如图2，已知直线l2：y=3x3分别交x轴和y轴于点C和点D，点Q是直线l2上的一个动点，以Q为圆心，2为半径画圆．
①当点Q与点C重合时，求证：直线l1与⊙Q相切；
②设⊙Q与直线l1相交于M，N两点，连结QM，QN．问：是否存在这样的点Q，使得△QMN是等腰直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
25.（•安顺）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DH⊥AC于点H．
（1）判断DH与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求证：H为CE的中点；
（3）若BC=10，csC=，求AE的长．
参考答案
一、选择题
1.D 【解析】连接AC，如图，∵BA平分
∠DBE，∴∠1=∠2，∵∠1=∠CDA，
∠2=∠3，∴∠3=∠CDA，∴AC=AD=5，
∵AE⊥CB，∴∠AEC=90°，∴AE=
==2，故
选D．
2.A 【解析】∵∠A=45°，∴∠BOC=2∠A=
90°，∴阴影部分的面积=S扇形BOCS△BOC
=44=48，故选A．
3.A 【解析】∵AB=5，BC=13，CA=12，∴
AB2+CA2=BC2，∴△ABC为直角三角
形，∠A=90°，∵AB、AC与⊙O分别
相切于点E、F，∴OF⊥AB，OE⊥AC，
∴四边形OFAE为正方形，设OE=r，
则AE=AF=r，∵△ABC的内切圆⊙O
与BC、CA、AB分别相切于点D、E、
F，∴BD=BF=5r，CD=CE=12r，
∴5r+12r=13，∴r==2，
∴阴影部分（即四边形AEOF）的面积
是22=4，故选A．
4.A 【解析】连接BI，如图，∵△ABC内心
为I，∴∠1=∠2，∠5=∠6，∵∠3=
∠1，∴∠3=∠2，∵∠4=∠2+∠6=∠3+
∠5，即∠4=∠DBI，∴DI=DB，故选A．
5.B 【解析】∵正六边形ABCDEF的边长为
2，∴正六边形ABCDEF的面积是
=62=6，
∠FAB=∠EDC=120°，∴图中阴影部分
的面积是62=6
，故选B．
6.C 【解析】连接AC，设正方形的边长为a，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°，
∴AC为圆的直径，∴AC=AB=a.
则正方形桌面与翻折成的圆形桌面的
面积之比为=，故选
C．
7.C 【解析】连接OC，如图，∵△ABC为
等边三角形，∴∠AOC=120°，S△AOB=
S△AOC，∴图中阴影部分的面积=S扇形AOC
==，故选C．
8.A 【解析】设△ABC的内心为O，连接
AO、BO，CO的延长线交AB于H，如
图，∵△ABC为等边三角形，∴CH平
分∠BCA，AO平分∠BAC，∵△ABC
为等边三角形，∴∠CAB=60°，CH⊥
AB，∴∠OAH=30°，AH=BH=AB
=，在Rt△AOH中，∵tan∠OAH=
=tan30°，∴OH==1，即
△ABC内切圆的半径为1，故选A．
9.D 【解析】连接OA、OE、OB，OB交
DE于H，如图，∵等腰△ABC的内切
圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，
E，F，∴OA平分∠BAC，OE⊥BC，
OD⊥AB，BE=BD，∵AB=AC，∴AO
⊥BC，∴点A、O、E共线，即AE⊥
BC，∴BE=CE=3，在Rt△ABE中，AE=
=4，∵BD=BE=3，∴AD=2，
设⊙O的半径为r，则OD=OE=r，
AO=4r，在Rt△AOD中，r2+22=
(4r)2，解得r=，在Rt△BOE中，
OB==，∵BE=BD，OE=
OD，∴OB垂直平分DE，∴DH=EH，
OB⊥DE，∵HE•OB=OE•BE，∴
HE===，∴DE=
2EH=，故选D．
10.D 【解析】①△REC≌△AFC（SAS），
正确；②∵△BEC≌△AFC，∴CE=
CF，∠BCE=∠ACF，∵∠BCE+
∠ECA=∠BCA=60°，∴∠ACF+
∠ECA=60°，∴△CEF是等边三角
形，正确；③∵∠AGE=∠CAF+
∠AFG=60°+∠AFG；∠AFC=∠CFG
+∠AFG=60°+∠AFG，∴∠AGE=
∠AFC，正确；④过点E作EM∥BC
交AC下点M点， 易证△AEM是等
边三角形，则EM=AE=3，∵AF∥EM，
∴则==，正确，故①②③
④都正确，故选D．
11.B 【解析】∵沿着CM折叠，点D的对
应点为E，∴∠DMC=∠EMC，∵再
沿着MP折叠，使得AM与EM重合，
折痕为MP，∴∠AMP=∠EMP，∵
∠AMD=180°，∴∠PME+∠CME
=180°=90°，∴△CMP是直角三
角形；①正确；∵沿着CM折叠，点
D的对应点为E，∴∠D=∠MEC=
90°，∵再沿着MP折叠，使得AM与
EM重合，折痕为MP，∴∠MEG=
∠A=90°，∴∠GEC=180°，∴点C、
E、G在同一条直线上，②错误；∵
AD=2AB，∴设AB=x，则AD=
2x，∵将矩形ABCD对折，得到
折痕MN；∴DM=AD=x，∴CM
==x，∵∠PMC=
90°，MN⊥PC，∴CM2=CN•CP，∴
CP==x，∴PN=CPCN
=，∴PM==x，
∴==，∴PC=MP，
③错误；∵PC=x，∴PB=2x
x=，∴=，∴PB=
AB，④正确，∵CD=CE，EG=AB，
AB=CD，∴CE=EG，∵∠CEM=∠G
=90°，∴FE∥PG，∴CF=PF，∵
∠PMC=90°，∴CF=PF=MF，∴点F
是△CMP外接圆的圆心，⑤正确，
故选B．
12.D 【解析】如图所示，连接OC、OB，
过O作ON⊥CE于N，∵多边形
ABCDEF是正六边形，∴∠COB=
60°，∵OC=OB，∴△COB是等边三
角形，∴∠OCM=60°，∴OM=OC•sin
∠OCM，∴OC==，∵
∠OCN=30°，∴ON=OC=，
CN=2，∴CE=2CN=4，∴该圆的内接
正三角形ACE的面积=34
=4，故选D．
13.B 【解析】①如图1，当x=0（即E、A
两点重合）时，P点有6个，正确；
②当0x42时，P点最多有
8个，错误；③当P点有8个时，如
图2所示，当0x或
x4或2x4或
4x4时，P点有
8个，错误；④如图3，当△PMN是
等边三角形时，P点有4个，正确；
当△PEF是等腰三角形时，关于P点
个数的说法中，不正确的是②③，一
定正确的是①④，故选B．
二、填空题
14.①②③
【解析】①解法一：如图1，在EF上取一点G，使FG=FP，连接BG、PG，∵EF⊥BP，∴∠BFE=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠FBC=∠ABD=45°，∴BF=EF，在△BFG和△EFP中，∴
△BFG≌△EFP（SAS），∴BG=PE，∠PEF=∠GBF，∵∠ABD=∠FPG=45°，∴AB∥PG，∵AP⊥PE，∴∠APE=∠APF+∠FPE=
∠FPE+∠PEF=90°，∴∠APF=∠PEF=
∠GBF，∴AP∥BG，∴四边形ABGP是平行四边形，∴AP=BG，∴AP=PE，正确；解法二：如图2，连接AE∵∠ABC=∠APE=90°，∴A、B、E、P四点共圆，∴∠EAP=∠PBC
=45°，∵AP⊥PE，∴∠APE=90°，∴△APE是等腰直角三角形，∴AP=PE，正确；②如图3，连接CG，由①知，PG∥AB，PG=AB，∵AB=CD，AB∥CD，∴PG∥CD，PG=CD，∴四边形DCGP是平行四边形，∴CG=PD，CG∥PD，∵PD⊥EF，∴CG⊥EF，即∠CGE
=90°，∵∠CEG=45°，∴CE=CG=PD.
正确；③如图4，连接AC交BD于O，由②知，∠CGF=∠GFD=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∴∠COF=90°，∴四边形OCGF是矩形，∴CG=OF=PD，∴BD=OB=BFOF=BFPD，正确；④如图4中，在△AOP和△PFE中，
∴△AOP≌△PFE（AAS），∴S△AOP=S△PEF，∴S△ADPS△AOP=S△PEF，不正确；本题结论正确的有①②③，故答案为①②③．
15.2 【解析】连接AF，∵E，F分别是正方
形ABCD边BC，CD的中点，∴CF=BE，
=2，在△ABE和△BCF中，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），∴
∠BAE=∠CBF，又∵∠BAE+∠BEA=
90°，∴∠CBF+∠BEA=90°，∴∠BPE=
∠APF=90°，∵∠ADF=90°，∴∠ADF+
∠APF=180°，∴A、P、F、D四点共圆，
∴∠AFD=∠APD，∴tan∠APD=
tan∠AFD==2，故答案为2．
16.100° 【解析】∵四边形ABCD为⊙O的
内接四边形，∴∠DCE=∠A=100°，
故答案为100°.
17.52° 【解析】∵圆内接四边形ABCD，∴
∠D=180°∠ABC=116°，∵点D关
于AC的对称点E在边BC上，∴
∠D=∠AEC=116°，∴∠BAE=116°
64°=52°，故答案为52°．
18.4 【解析】∵OD⊥AC，∴AD=DC，
∵BO=CO，∴AB=2OD=22=4，
∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=
90°，∵OE⊥BC，∴∠BOE=∠COE
=90°，∴=，∴∠BAE=
∠CAE=∠BAC=90°=45°，∵
EA⊥BD，∴∠ABD=∠ADB=45°，
∴AD=AB=4，∴DC=AD=4，∴AC
=8，∴BC==
=4，故答案为4．
19.5或5
【解析】如图1，当∠ODB=90°时，即CD
⊥AB，∴AD=BD，∴AC=BC，∵AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠DBO=30°，∵OB=5，∴BD=OB=，∴BC=AB=
5，如图2，当∠DOB=90°，∴∠BOC=90°，
∴△BOC是等腰直角三角形，∴BC=
OB=5，综上所述，若△OBD是直角三
角形，则弦BC的长为5或5，故答
案为5或5．
三、解答题
20.【参考答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∵AB=AB，
∴△ADB≌△BCA（HL）；
（2）如图，连接DC，
∵OD⊥AC，
∴=，
∴AD=DC，
∵△ADB≌△BCA，
∴AD=BC，
∴AD=DC=BC，
∴∠AOD=∠ABC=60°，
∵AB=4，
∴AC=AB•sin60°=4=2；
（3）证明：如图，连接OC，
∵BC=BP=2
∴∠BCP=∠P，
∵∠ABC=60°，
∴∠BCP=30°，
∵OC=OB，
∠ABC=60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OCB=60°，
∴∠OCP=∠OCB+∠BCP=60°+30°=90°，[来源:学。科。网Z。X。X。K]
∴OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线．
21.【参考答案】（1）证明：如图1，
∵BA=BC，∠ABC=90°，
∴∠BAC=45°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠AEB=90°，
∴∠DAF+∠BGD=∠DBG+∠BGD=90°，
∴∠DAF=∠DBG，
∵∠ABD+∠BAC=90°，
∴∠ABD=∠BAC=45°，
∴AD=BD，
∴△ADF≌△BDG（ASA）；
（2）①4
【解析】如图2，过F作FH⊥AB于H，∵
点E是的中点，∴∠BAE=∠DAE，∵
FD⊥AD，FH⊥AB，∴FH=FD，∵=
sin∠ABD=sin45°=，∴=，即
BF=FD，∵AB=4，∴BD=4cs45°=2，
即BF+FD=2，(+1)FD=2，∴
FD==4，故答案为4．
②30° 【解析】连接OE，EH，如图3，∵
点H是的中点，∴OH⊥AE，∵
∠AEB=90°，∴BE⊥AE，∴BE∥OH，
∵四边形OBEH为菱形，∴BE=OH
=OB=AB，∴sin∠EAB==，
∴∠EAB=30°，故答案为30°.
22.【参考答案】（1）证明：连接OC，∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵PF⊥AB，
∴∠BPD=90°，
∴∠OBC+∠BDP=90°，
∵FC=FD，
∴∠FCD=∠FDC，
∵∠FDC=∠BDP，
∴∠OCB+∠FCD=90°，
∴OC⊥FC，
∴FC是⊙O的切线；
（2）如图2，连接OC，OE，BE，CE，
①以O，B，E，C为顶点的四边形是菱形．理由如下：
∵AB是直径，∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=60°，∴∠BOC=120°，
∵点E是的中点，
∴∠BOE=∠COE=60°，
∵OB=OE=OC
∴△BOE，△OCE均为等边三角形，
∴OB=BE=CE=OC
∴四边形BOCE是菱形；
②∵=tan∠ABC=，
设AC=3k，BC=4k(k0)，
由勾股定理得AC2+BC2=AB2，
即(3k)2+(4k)2=202，解得k=4，
∴AC=12，BC=16，
∵点E是的中点，
∴OE⊥BC，BH=CH=8，
∴OEBH=OBPE，即108=10PE，
解得，PE=8，
由勾股定理得
OP===6，
∴BP=OBOP=106=4，
∵=tan∠ABC=，
即DP=BP=4=3
∴DE=PEDP=83=5．
23.【参考答案】①过点O作OG⊥CD，垂足为G，
在菱形ABCD中，AC是对角线，则AC平分∠BCD，
∵OH⊥BC，OG⊥CD，
∴OH=OG，
∴OH、OG都为圆的半径，
即DC是⊙O的切线；
②∵AC=4MC且AC=8，
∴OC=2MC=4，
MC=OM=2，
∴OH=2，
在Rt△OHC中，HO=CO，
∴∠OCH=30°，∠COH=60°，
∴HC==2，
OB=,
S阴影=S△OCBS扇形OBM
=CO•OBOH2=；
③作M关于BD的对称点N，连接HN交BD于点P，
∵PM=NP，
∴PH+PM=PH+PN=HN，此时PH+PM最小，
∵ON=OM=OH，
∠MOH=60°，
∴∠MNH=30°，
∴∠MNH=∠HCM，
∴HN=HC=2，
即PH+PM的最小值为2，
在Rt△NPO中，
OP=ONtan30°=，
在Rt△COD中，
OD=OCtan30°=，
则PD=OP+OD=2．
24.【参考答案】（1）如图1，连接BC，
∵∠BOC=90°，∴点P在BC上，
∵⊙P与直线l1相切于点B，
∴∠ABC=90°，而OA=OB，
∴△ABC为等腰直角三角形，
则⊙P的直径长=BC=AB=3；
（2）过点作CM⊥AB，如图2，
由直线l2：y=3x3得，点C（1，0），
则CM=ACsin45°=4=2=圆的半径，
故点M是圆与直线l1的切点，
即直线l1与⊙Q相切；
（3）如图3，
①当点M、N在两条直线交点的下方时，
由题意得，MQ=NQ，∠MQN=90°，
设点Q的坐标为（m，3m3），
则点N（m，m+3），
则NQ=m+33m+3=2，
解得，m=3；
②当点M、N在两条直线交点的上方时，
同理可得，m=3+；
故点Q的坐标为（3，63）或
（3+，6+3）．
25.【参考答案】（1）DH与⊙O相切．
理由如下：
连结OD、AD，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
而AO=BO，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DH⊥AC，
∴OD⊥DH，
∴DH为⊙O的切线；
（2）证明：连结DE，如图，
∵四边形ABDE为⊙O的内接四边形，
∴∠DEC=∠B，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠DEC=∠C，
∵DH⊥CE，
∴CH=EH，即H为CE的中点；
（3）在Rt△ADC中，CD=BC=5，
∵csC==，
∴AC=5，
在Rt△CDH中，
∵csC==，
∴CH=，
∴CE=2CH=2，
∴AE=ACCE=52=3．
1.（•十堰）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD=5，CE=，则AE= （ ）
A．3 B．3 C．4 D．2
第1题图 第2题图
2.（•遂宁）如图，△ABC内接于⊙O，若∠A=45°，⊙O的半径r=4，则阴影部分的面积为 （ ）
A．48 B．2
C．4 D．88
3.（•云南）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=5，BC=13，CA=12，则阴影部分（即四边形AEOF）的面积是 （ ）
A．4 B．6.25 C．7.5 D．9
第3题图 第4题图
4.（•荆门）如图，△ABC内心为I，连接AI并延长交△ABC的外接圆于D，则线段DI与DB的关系是 （ ）
A．DI=DB B．DIDB
C．DIDB D．不确定
5.（•宁夏）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，分别以点A，D为圆心，以AB，DC为半径作扇形ABF，扇形DCE．则图中阴影部分的面积是 （ ）
A．6 B．6
C．12 D．12
第5题图 第6题图
6.（•自贡）图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形面板翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近 （ ）
A． B． C． D．
7.（•通辽）如图，等边三角形ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积等于 （ ）
A． B． C． D．2
第7题图 第8题图
8.（•娄底）如图，边长为2的等边△ABC的内切圆的半径为 （ ）
A．1 B． C．2 D．2
9.（•泸州）如图，等腰△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AB=AC=5，BC=6，则DE的长是
（ ）
A． B．
C． D．
10.（•深圳）已知菱形ABCD，E、F是动点，边长为4，BE=AF，∠BAD=120°，则下列结论正确的有几个 （ ）
①△BEC≌△AFC；②△ECF为等边三角形；③∠AGE=∠AFC；④若AF=1，则
=．
A．1B．2C．3D．4
第9题图 第10题图
11.（•连云港）如图，在矩形ABCD中，AD=2AB．将矩形ABCD对折，得到折痕MN；沿着CM折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，此时点B的对应点为G．下列结论：①△CMP是直角三角形；②点C、E、G不在同一条直线上；③PC=MP；④BP=AB；⑤点F是△CMP外接圆的圆心，其中正确的个数为 （ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
第11题图 第12题图
12.（•雅安）如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边心距OM=2，则该圆的内接正三角形ACE的面积为 （ ）
A．2B．4C．6 D．4
13.（•绥化）如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线AC上的两个动点，P是正方形四边上的任意一点，且AB=4，EF=2，设AE=x．当△PEF是等腰三角形时，下列关于P点个数的说法中，一定正确的是
（ ）
①当x=0（即E、A两点重合）时，P点有6个；
②当0x42时，P点最多有9个；
③当P点有8个时，x=22；
④当△PEF是等边三角形时，P点有4个.
A．①③ B．①④ C．②④ D．②③
二、填空题
14.（•葫芦岛）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD延长线上的一点，连接PA，过点P作PE⊥PA交BC的延长线于点E，过点E作EF⊥BP于点F，则下列结论中：
①PA=PE；②CE=PD；③BFPD=BD；④S△PEF=S△ADP
正确的是______________（填写所有正确结论的序号）
第14题图 第15题图
15.（•张家界）如图：正方形ABCD的边长为1，点E，F分别为BC，CD边的中点，连接AE，BF交于点P，连接PD，则tan∠APD=_______．
16.（•铜仁市）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠A=100°，则∠DCE的度数为________.
第16题图 第17题图
17.（•台州）如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE．若∠ABC
=64°，则∠BAE的度数为_______．
18.（•盘锦）如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，连接BD，半径OE⊥BC，连接EA，EA⊥BD于点F．若OD=2，则BC=________．
19.（•绥化）半径为5的⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，AB=AC，连接OB、OC，延长CO交弦AB于点D．若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为___________
______________．
三、解答题
20.（•遵义）如图，AB是⊙O的直径，弦AC与BD交于点E，且AC=BD，连接AD，BC．
（1）求证：△ADB≌△BCA；
（2）若OD⊥AC，AB=4，求弦AC的长；
（3）在（2）的条件下，延长AB至点P，使BP=2，连接PC．求证：PC是⊙O的切线．
21.（•河南）如图，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点G．
（1）求证：△ADF≌△BDG；
（2）填空：
①若AB=4，且点E是的中点，则DF的长为_______；
②取的中点H，当∠EAB的度数为_______时，四边形OBEH为菱形．
22.（•荆州）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，点P是半径OB上一动点（不与O，B重合），过点P作射线1⊥AB，分别交弦BC，于D，E两点，在射线l上取点F，使FC=FD．
（1）求证：FC是⊙O的切线；
（2）当点E是的中点时，
①若∠BAC=60°，判断以O，B，E，C为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由；
②若tan∠ABC=，且AB=20，求DE的长．
23.（•巴中）如图，在菱形ABCD中，连结BD、AC交于点O，过点O作OH⊥BC于点H，以点O为圆心，OH为半径的半圆交AC于点M．
①求证：DC是⊙O的切线．
②若AC=4MC且AC=8，求图中阴影部分的面积．
③在②的条件下，P是线段BD上的一动点，当PD为何值时，PH+PM的值最小，并求出最小值．
24.（•湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，直线l1分别交x轴和y轴于点A（3，0），B（0，3）．
（1）如图1，已知⊙P经过点O，且与直线l1相切于点B，求⊙P的直径长；
（2）如图2，已知直线l2：y=3x3分别交x轴和y轴于点C和点D，点Q是直线l2上的一个动点，以Q为圆心，2为半径画圆．
①当点Q与点C重合时，求证：直线l1与⊙Q相切；
②设⊙Q与直线l1相交于M，N两点，连结QM，QN．问：是否存在这样的点Q，使得△QMN是等腰直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
25.（•安顺）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DH⊥AC于点H．
（1）判断DH与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求证：H为CE的中点；
（3）若BC=10，csC=，求AE的长．
参考答案
一、选择题
1.D 【解析】连接AC，如图，∵BA平分
∠DBE，∴∠1=∠2，∵∠1=∠CDA，
∠2=∠3，∴∠3=∠CDA，∴AC=AD=5，
∵AE⊥CB，∴∠AEC=90°，∴AE=
==2，故
选D．
2.A 【解析】∵∠A=45°，∴∠BOC=2∠A=
90°，∴阴影部分的面积=S扇形BOCS△BOC
=44=48，故选A．
3.A 【解析】∵AB=5，BC=13，CA=12，∴
AB2+CA2=BC2，∴△ABC为直角三角
形，∠A=90°，∵AB、AC与⊙O分别
相切于点E、F，∴OF⊥AB，OE⊥AC，
∴四边形OFAE为正方形，设OE=r，
则AE=AF=r，∵△ABC的内切圆⊙O
与BC、CA、AB分别相切于点D、E、
F，∴BD=BF=5r，CD=CE=12r，
∴5r+12r=13，∴r==2，
∴阴影部分（即四边形AEOF）的面积
是22=4，故选A．
4.A 【解析】连接BI，如图，∵△ABC内心
为I，∴∠1=∠2，∠5=∠6，∵∠3=
∠1，∴∠3=∠2，∵∠4=∠2+∠6=∠3+
∠5，即∠4=∠DBI，∴DI=DB，故选A．
5.B 【解析】∵正六边形ABCDEF的边长为
2，∴正六边形ABCDEF的面积是
=62=6，
∠FAB=∠EDC=120°，∴图中阴影部分
的面积是62=6
，故选B．
6.C 【解析】连接AC，设正方形的边长为a，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°，
∴AC为圆的直径，∴AC=AB=a.
则正方形桌面与翻折成的圆形桌面的
面积之比为=，故选
C．
7.C 【解析】连接OC，如图，∵△ABC为
等边三角形，∴∠AOC=120°，S△AOB=
S△AOC，∴图中阴影部分的面积=S扇形AOC
==，故选C．
8.A 【解析】设△ABC的内心为O，连接
AO、BO，CO的延长线交AB于H，如
图，∵△ABC为等边三角形，∴CH平
分∠BCA，AO平分∠BAC，∵△ABC
为等边三角形，∴∠CAB=60°，CH⊥
AB，∴∠OAH=30°，AH=BH=AB
=，在Rt△AOH中，∵tan∠OAH=
=tan30°，∴OH==1，即
△ABC内切圆的半径为1，故选A．
9.D 【解析】连接OA、OE、OB，OB交
DE于H，如图，∵等腰△ABC的内切
圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，
E，F，∴OA平分∠BAC，OE⊥BC，
OD⊥AB，BE=BD，∵AB=AC，∴AO
⊥BC，∴点A、O、E共线，即AE⊥
BC，∴BE=CE=3，在Rt△ABE中，AE=
=4，∵BD=BE=3，∴AD=2，
设⊙O的半径为r，则OD=OE=r，
AO=4r，在Rt△AOD中，r2+22=
(4r)2，解得r=，在Rt△BOE中，
OB==，∵BE=BD，OE=
OD，∴OB垂直平分DE，∴DH=EH，
OB⊥DE，∵HE•OB=OE•BE，∴
HE===，∴DE=
2EH=，故选D．
10.D 【解析】①△REC≌△AFC（SAS），
正确；②∵△BEC≌△AFC，∴CE=
CF，∠BCE=∠ACF，∵∠BCE+
∠ECA=∠BCA=60°，∴∠ACF+
∠ECA=60°，∴△CEF是等边三角
形，正确；③∵∠AGE=∠CAF+
∠AFG=60°+∠AFG；∠AFC=∠CFG
+∠AFG=60°+∠AFG，∴∠AGE=
∠AFC，正确；④过点E作EM∥BC
交AC下点M点， 易证△AEM是等
边三角形，则EM=AE=3，∵AF∥EM，
∴则==，正确，故①②③
④都正确，故选D．
11.B 【解析】∵沿着CM折叠，点D的对
应点为E，∴∠DMC=∠EMC，∵再
沿着MP折叠，使得AM与EM重合，
折痕为MP，∴∠AMP=∠EMP，∵
∠AMD=180°，∴∠PME+∠CME
=180°=90°，∴△CMP是直角三
角形；①正确；∵沿着CM折叠，点
D的对应点为E，∴∠D=∠MEC=
90°，∵再沿着MP折叠，使得AM与
EM重合，折痕为MP，∴∠MEG=
∠A=90°，∴∠GEC=180°，∴点C、
E、G在同一条直线上，②错误；∵
AD=2AB，∴设AB=x，则AD=
2x，∵将矩形ABCD对折，得到
折痕MN；∴DM=AD=x，∴CM
==x，∵∠PMC=
90°，MN⊥PC，∴CM2=CN•CP，∴
CP==x，∴PN=CPCN
=，∴PM==x，
∴==，∴PC=MP，
③错误；∵PC=x，∴PB=2x
x=，∴=，∴PB=
AB，④正确，∵CD=CE，EG=AB，
AB=CD，∴CE=EG，∵∠CEM=∠G
=90°，∴FE∥PG，∴CF=PF，∵
∠PMC=90°，∴CF=PF=MF，∴点F
是△CMP外接圆的圆心，⑤正确，
故选B．
12.D 【解析】如图所示，连接OC、OB，
过O作ON⊥CE于N，∵多边形
ABCDEF是正六边形，∴∠COB=
60°，∵OC=OB，∴△COB是等边三
角形，∴∠OCM=60°，∴OM=OC•sin
∠OCM，∴OC==，∵
∠OCN=30°，∴ON=OC=，
CN=2，∴CE=2CN=4，∴该圆的内接
正三角形ACE的面积=34
=4，故选D．
13.B 【解析】①如图1，当x=0（即E、A
两点重合）时，P点有6个，正确；
②当0x42时，P点最多有
8个，错误；③当P点有8个时，如
图2所示，当0x或
x4或2x4或
4x4时，P点有
8个，错误；④如图3，当△PMN是
等边三角形时，P点有4个，正确；
当△PEF是等腰三角形时，关于P点
个数的说法中，不正确的是②③，一
定正确的是①④，故选B．
二、填空题
14.①②③
【解析】①解法一：如图1，在EF上取一点G，使FG=FP，连接BG、PG，∵EF⊥BP，∴∠BFE=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠FBC=∠ABD=45°，∴BF=EF，在△BFG和△EFP中，∴
△BFG≌△EFP（SAS），∴BG=PE，∠PEF=∠GBF，∵∠ABD=∠FPG=45°，∴AB∥PG，∵AP⊥PE，∴∠APE=∠APF+∠FPE=
∠FPE+∠PEF=90°，∴∠APF=∠PEF=
∠GBF，∴AP∥BG，∴四边形ABGP是平行四边形，∴AP=BG，∴AP=PE，正确；解法二：如图2，连接AE∵∠ABC=∠APE=90°，∴A、B、E、P四点共圆，∴∠EAP=∠PBC
=45°，∵AP⊥PE，∴∠APE=90°，∴△APE是等腰直角三角形，∴AP=PE，正确；②如图3，连接CG，由①知，PG∥AB，PG=AB，∵AB=CD，AB∥CD，∴PG∥CD，PG=CD，∴四边形DCGP是平行四边形，∴CG=PD，CG∥PD，∵PD⊥EF，∴CG⊥EF，即∠CGE
=90°，∵∠CEG=45°，∴CE=CG=PD.
正确；③如图4，连接AC交BD于O，由②知，∠CGF=∠GFD=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∴∠COF=90°，∴四边形OCGF是矩形，∴CG=OF=PD，∴BD=OB=BFOF=BFPD，正确；④如图4中，在△AOP和△PFE中，
∴△AOP≌△PFE（AAS），∴S△AOP=S△PEF，∴S△ADPS△AOP=S△PEF，不正确；本题结论正确的有①②③，故答案为①②③．
15.2 【解析】连接AF，∵E，F分别是正方
形ABCD边BC，CD的中点，∴CF=BE，
=2，在△ABE和△BCF中，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），∴
∠BAE=∠CBF，又∵∠BAE+∠BEA=
90°，∴∠CBF+∠BEA=90°，∴∠BPE=
∠APF=90°，∵∠ADF=90°，∴∠ADF+
∠APF=180°，∴A、P、F、D四点共圆，
∴∠AFD=∠APD，∴tan∠APD=
tan∠AFD==2，故答案为2．
16.100° 【解析】∵四边形ABCD为⊙O的
内接四边形，∴∠DCE=∠A=100°，
故答案为100°.
17.52° 【解析】∵圆内接四边形ABCD，∴
∠D=180°∠ABC=116°，∵点D关
于AC的对称点E在边BC上，∴
∠D=∠AEC=116°，∴∠BAE=116°
64°=52°，故答案为52°．
18.4 【解析】∵OD⊥AC，∴AD=DC，
∵BO=CO，∴AB=2OD=22=4，
∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=
90°，∵OE⊥BC，∴∠BOE=∠COE
=90°，∴=，∴∠BAE=
∠CAE=∠BAC=90°=45°，∵
EA⊥BD，∴∠ABD=∠ADB=45°，
∴AD=AB=4，∴DC=AD=4，∴AC
=8，∴BC==
=4，故答案为4．
19.5或5
【解析】如图1，当∠ODB=90°时，即CD
⊥AB，∴AD=BD，∴AC=BC，∵AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠DBO=30°，∵OB=5，∴BD=OB=，∴BC=AB=
5，如图2，当∠DOB=90°，∴∠BOC=90°，
∴△BOC是等腰直角三角形，∴BC=
OB=5，综上所述，若△OBD是直角三
角形，则弦BC的长为5或5，故答
案为5或5．
三、解答题
20.【参考答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∵AB=AB，
∴△ADB≌△BCA（HL）；
（2）如图，连接DC，
∵OD⊥AC，
∴=，
∴AD=DC，
∵△ADB≌△BCA，
∴AD=BC，
∴AD=DC=BC，
∴∠AOD=∠ABC=60°，
∵AB=4，
∴AC=AB•sin60°=4=2；
（3）证明：如图，连接OC，
∵BC=BP=2
∴∠BCP=∠P，
∵∠ABC=60°，
∴∠BCP=30°，
∵OC=OB，
∠ABC=60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OCB=60°，
∴∠OCP=∠OCB+∠BCP=60°+30°=90°，[来源:学。科。网Z。X。X。K]
∴OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线．
21.【参考答案】（1）证明：如图1，
∵BA=BC，∠ABC=90°，
∴∠BAC=45°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠AEB=90°，
∴∠DAF+∠BGD=∠DBG+∠BGD=90°，
∴∠DAF=∠DBG，
∵∠ABD+∠BAC=90°，
∴∠ABD=∠BAC=45°，
∴AD=BD，
∴△ADF≌△BDG（ASA）；
（2）①4
【解析】如图2，过F作FH⊥AB于H，∵
点E是的中点，∴∠BAE=∠DAE，∵
FD⊥AD，FH⊥AB，∴FH=FD，∵=
sin∠ABD=sin45°=，∴=，即
BF=FD，∵AB=4，∴BD=4cs45°=2，
即BF+FD=2，(+1)FD=2，∴
FD==4，故答案为4．
②30° 【解析】连接OE，EH，如图3，∵
点H是的中点，∴OH⊥AE，∵
∠AEB=90°，∴BE⊥AE，∴BE∥OH，
∵四边形OBEH为菱形，∴BE=OH
=OB=AB，∴sin∠EAB==，
∴∠EAB=30°，故答案为30°.
22.【参考答案】（1）证明：连接OC，∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵PF⊥AB，
∴∠BPD=90°，
∴∠OBC+∠BDP=90°，
∵FC=FD，
∴∠FCD=∠FDC，
∵∠FDC=∠BDP，
∴∠OCB+∠FCD=90°，
∴OC⊥FC，
∴FC是⊙O的切线；
（2）如图2，连接OC，OE，BE，CE，
①以O，B，E，C为顶点的四边形是菱形．理由如下：
∵AB是直径，∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=60°，∴∠BOC=120°，
∵点E是的中点，
∴∠BOE=∠COE=60°，
∵OB=OE=OC
∴△BOE，△OCE均为等边三角形，
∴OB=BE=CE=OC
∴四边形BOCE是菱形；
②∵=tan∠ABC=，
设AC=3k，BC=4k(k0)，
由勾股定理得AC2+BC2=AB2，
即(3k)2+(4k)2=202，解得k=4，
∴AC=12，BC=16，
∵点E是的中点，
∴OE⊥BC，BH=CH=8，
∴OEBH=OBPE，即108=10PE，
解得，PE=8，
由勾股定理得
OP===6，
∴BP=OBOP=106=4，
∵=tan∠ABC=，
即DP=BP=4=3
∴DE=PEDP=83=5．
23.【参考答案】①过点O作OG⊥CD，垂足为G，
在菱形ABCD中，AC是对角线，则AC平分∠BCD，
∵OH⊥BC，OG⊥CD，
∴OH=OG，
∴OH、OG都为圆的半径，
即DC是⊙O的切线；
②∵AC=4MC且AC=8，
∴OC=2MC=4，
MC=OM=2，
∴OH=2，
在Rt△OHC中，HO=CO，
∴∠OCH=30°，∠COH=60°，
∴HC==2，
OB=,
S阴影=S△OCBS扇形OBM
=CO•OBOH2=；
③作M关于BD的对称点N，连接HN交BD于点P，
∵PM=NP，
∴PH+PM=PH+PN=HN，此时PH+PM最小，
∵ON=OM=OH，
∠MOH=60°，
∴∠MNH=30°，
∴∠MNH=∠HCM，
∴HN=HC=2，
即PH+PM的最小值为2，
在Rt△NPO中，
OP=ONtan30°=，
在Rt△COD中，
OD=OCtan30°=，
则PD=OP+OD=2．
24.【参考答案】（1）如图1，连接BC，
∵∠BOC=90°，∴点P在BC上，
∵⊙P与直线l1相切于点B，
∴∠ABC=90°，而OA=OB，
∴△ABC为等腰直角三角形，
则⊙P的直径长=BC=AB=3；
（2）过点作CM⊥AB，如图2，
由直线l2：y=3x3得，点C（1，0），
则CM=ACsin45°=4=2=圆的半径，
故点M是圆与直线l1的切点，
即直线l1与⊙Q相切；
（3）如图3，
①当点M、N在两条直线交点的下方时，
由题意得，MQ=NQ，∠MQN=90°，
设点Q的坐标为（m，3m3），
则点N（m，m+3），
则NQ=m+33m+3=2，
解得，m=3；
②当点M、N在两条直线交点的上方时，
同理可得，m=3+；
故点Q的坐标为（3，63）或
（3+，6+3）．
25.【参考答案】（1）DH与⊙O相切．
理由如下：
连结OD、AD，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
而AO=BO，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DH⊥AC，
∴OD⊥DH，
∴DH为⊙O的切线；
（2）证明：连结DE，如图，
∵四边形ABDE为⊙O的内接四边形，
∴∠DEC=∠B，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠DEC=∠C，
∵DH⊥CE，
∴CH=EH，即H为CE的中点；
（3）在Rt△ADC中，CD=BC=5，
∵csC==，
∴AC=5，
在Rt△CDH中，
∵csC==，
∴CH=，
∴CE=2CH=2，
∴AE=ACCE=52=3．
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