2023年初中数学中考专项分类强化训练（含答案）：18 规律探索题 (通用版)

这是一份2023年初中数学中考专项分类强化训练（含答案）：18 规律探索题 (通用版)，共13页。试卷主要包含了观察下列一组数，观察下列各式等内容，欢迎下载使用。

1.（•烟台）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了(a+b)n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”

(a+b)0=1
(a+b)1=a+b
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
…
则(a+b)9展开式中所有项的系数和是
（ ）
A．128 B．256 C．512 D．1024
2.（•枣庄）如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是 （ ）
A． B．
C． D．
3.（•云南）按一定规律排列的单项式：x3，x5，x7，x9，x11，……，第n个单项式是 （ ）
A．(1)n-1x2n-1 B．(1)nx2n-1
C．(1)n-1x2n+1 D．(1)nx2n+1
4.（•常德）观察下列等式：70=1，71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72019的结果的个位数字是 （ ）
A．0 B．1 C．7 D．8
5.（•十堰）一列数按某规律排列如下：，，，，，，，，，，…，若第n个数为，则n= （ ）
A．50 B．60 C．62 D．71
6.（•武汉）观察等式：2+22=232；2+22+23=242；2+22+23+24=252…已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、…、299、2100．若250=a，用含a的式子表示这组数的和是 （ ）
A．2a22a B．2a22a2
C．2a2a D．2a2+a
7.（•滨州）观察下列一组数：
a1=，a2=，a3=，a4=，a5=，…，
它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第n个数an=______（用含n的式子表示）
8.（•枣庄）观察下列各式：
，
，
，
…
请利用你发现的规律，计算：
，
其结果为_________________．
9.（•安顺）如图，将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第7列的数是_________．
10.（•咸宁）有一列数，按一定规律排列成1，2，4，8，16，32，…，其中某三个相邻数的积是412，则这三个数的和是_______．
11.（•黄石）将被3整除余数为1的正整数，按照下列规律排成一个三角形数阵，则第20行第19个数是_____．
12.（•天水）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有_____个．
13.（•白银）已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第9个数是_______．
类型2 图形中的规律探索
1.（•台湾）公园内有一矩形步道，其地面使用相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成．如图表示此步道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列且总共有40个．求步道上总共使用多少个三角形地砖？ （ ）
A．84 B．86 C．160 D．162
2.（•内江）如图，将△ABC沿着过BC的中点D的直线折叠，使点B落在AC边上的B1处，称为第一次操作，折痕DE到AC的距离为h1；还原纸片后，再将△BDE沿着过BD的中点D1的直线折叠，使点B落在DE边上的B2处，称为第二次操作，折痕D1E1到AC的距离记为h2；按上述方法不断操作下去……经过第n次操作后得到折痕Dn-1En-1，到AC的距离记为hn．若h1=1，则hn的值为 （ ）

A．1+ B．1+
C．2 D．2
3.（•赤峰）如图，小聪用一张面积为1的正方形纸片，按如下方式操作：
①将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角形扔掉；
②在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第2019次操作时，余下纸片的面积为
（ ）

A．22019 B．
C． D．
4.（•毕节市）下面摆放的图案，从第二个起，每个都是前一个按顺时针方向旋转90°得到，第2019个图案中箭头的指向是
（ ）
A．上方 B．右方
C．下方 D．左方
5.（•张家界）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019，那么点A2019的坐标是
（ ）

A．（，） B．（1，0）C．（，） D．（0，1）
6.（•丹东）如图，在平面直角坐标系中，OA=1，以OA为一边，在第一象限作菱形OAA1B，并使∠AOB=60°，再以对角线OA1为一边，在如图所示的一侧作相同形状的菱形OA1A2B1，再依次作菱形OA2A3B2，OA3A4B3，……，则过点B2018，B2019，A2019的圆的圆心坐标为_______．

7.（•鞍山）如图，正方形A0B0C0A1的边长为1，正方形A1B1C1A2的边长为2，正方形A2B2C2A3的边长为4，正方形A3B3C3A4的边长为8……依此规律继续作正方形AnBnCnAn+1，且点A0，A1，A2，A3，…，An+1在同一条直线上，连接A0C1交A1B1于点D1，连接A1C2交A2B2于点D2，连接A2C3交A3B3于点D3……记四边形A0B0C0D1的面积为S1，四边形A1B1C1D2的面积为S2，四边形A2B2C2D3的面积为S3……四边形An-1Bn-1Cn-1Dn的面积为Sn，则S2019=_______．

8.（•抚顺）如图，直线l1的解析式是y=x，直线l2的解析式是y=x，点A1在l1上，A1的横坐标为，作A1B1⊥l1交l2于点B1，点B2在l2上，以B1A1，B1B2为邻边在直线l1，l2间作菱形A1B1B2C1，分别以点A1，B2为圆心，以A1B1为半径画弧得扇形B1A1C1和扇形B1B2C1，记扇形B1A1C1与扇形B1B2C1重叠部分的面积为S1；延长B2C1交l1于点A2，点B3在l2上，以B2A2，B2B3为邻边在l1，l2间作菱形A2B2B3C2，分别以点A2，B3为圆心，以A2B2为半径画弧得扇形B2A2C2和扇形B2B3C2，记扇形B2A2C2与扇形B2B3C2重叠部分的面积为S2………按照此规律继续作下去，则Sn=_______．（用含有正整数n的式子表示）

参考答案
类型1 数与式中的规律探索
1.C 【解析】由“杨辉三角”的规律可知，
(a+b)9展开式中所有项的系数和为
(1+1)9=29=512，故选C．
2.D 【解析】由题意知，原图形中各行、各
列中点数之和为10，符合此要求的只
有下图，故选D．

3.C 【解析】∵x3=(1)1-1x2×1+1，
x5=(1)2-1x2×2+1，x7=(-1)3-1x2×3+1，
x9=(1)4-1x2×4+1，
x11=(1)5-1x2×5+1，……由上可知，第n
个单项式是(1)n-1x2n+1，故选C．
4.A 【解析】∵个位数4个数一循环，∴
(2019+1)4=505，∴1+7+9+3=20，∴
70+71+72+…+72019的结果的个位数字是
0，故选A．[来源:学*科*网Z*X*X*K]
5.B 【解析】，，，，，，，
，，，…可写为，(，)，
(，，)，(，，，)…,
∴分母为11开头到分母为1的数有
11个，分别为，，，，，
，，，，，，∴第n
个数为，则n=1+2+3+4+…+10+5=
60，故选B．
6.C 【解析】∵2+22=232；2+22+23=242；
2+22+23+24=252…,∴2+22+23+…+2n=
2n+12，∴250+251+252+…+299+2100=
(2+22+23+…+2100)(2+22+23+…+249)
=(21012)(2502)=2101250，∵250=a，
∴2101=(250)2•2=2a2，∴原式=2a2a．故
选C．
7. 【解析】观察分母3，5，9，17，
33，…，可知规律为2n+1，观
察分子的1，3，6，10，15，…，
可知规律为，∴
an==，故答案
为.
8.
【解析】原式
=

=

=，故答案为．
9.2019 【解析】观察图表可知：第n行第一
个数是n2，∴第45行第一个数是
2025，∴第45行、第7列的数是
20256=2019，故答案为2019.
10.384 【解析】∵一列数为1，2，4，
8，16，32，…，∴这列数
的第n个数可以表示为(2)n-1，
∵其中某三个相邻数的积是
412，∴设这三个相邻的数为
(2)n-1、(2)n、(2)n+1，则
(2)n-1•(2)n•(2)n+1=412，即
(2)3n=(22)12，∴(2)3n=224，∴
3n=24，解得，n=8，∴这三个数
的和是(2)7+(2)8+(2)9=
(2)7(12+4)=(128)3
=384，故答案为384．
11.625 【解析】由图可得，第一行1个数，
第二行2个数，第三行3个数，…，
则前20行的数字有1+2+3+…
+19+20=210个数，∴第20行第20
个数是1+3(2101)=628，∴第20
行第19个数是6283=625，故答
案为625．
12.6058 【解析】由图可得，第1个图象中
〇的个数为1+31=4，第2个图象
中〇的个数为1+32=7，第3个图
象中〇的个数为1+33=10，第4
个图象中〇的个数为1+34=13，
……∴第2019个图形中共有
1+32019=1+6057=6058个〇，故
答案为6058．
13.13a+21b 【解析】由题意知第7个数是
5a+8b，第8个数是8a+13b，
第9个数是13a+21b，故答案
为13a+21b．
类型2 图形中的规律探索
1.A 【解析】3+402+1=84，步道上总共使
用84个三角形地砖，故选A．
2.C 【解析】∵D是BC的中点，折痕DE
到AC的距离为h1，∴点B到DE的距
离=h1=1，∵D1是BD的中点，折痕D1E1
到AC的距离记为h2，∴D1E1到AC的
距离h2=h1+点B到D1E1的距离=1+h1
=1+，同理，h3=h2+h1=1++，
h4=h3+h1=1+++，……
hn=1++++…+=2，故
选C．
3.C 【解析】正方形纸片四角向内折叠，使
四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，第
一次：余下面积S1=，第二次：余下
面积S2=，第三次：余下面积S3=，
当完成第2019次操作时，余下纸片的
面积为S2019=，故选C．
4.C 【解析】如题中图所示，每旋转4次一
周，20194=504…3，则第2019个图
案中箭头的指向与第3个图案方向一
致，箭头的指向是下方，故选C．
5.A 【解析】∵四边形OABC是正方形，且
OA=1，∴A（0，1），∵将正方形OABC
绕点O顺时针旋转45°后得到正方形
OA1B1C1，∴A1（，），A2（1，
0），A3（，），…，发现是
8次一循环，所以20198=252…3，∴
点A2019的坐标为（，），故
选A．

6.
【解析】过A1作A1C⊥x轴于C，∵四边形
OAA1B是菱形，∴OA=AA1=1，∠A1AC=
∠AOB=60°，∴A1C=，AC=，∴OC=
OA+AC=，在Rt△OA1C中，OA1=
=，∵∠OA2C=∠B1A2O
=30°，∠A3A2O=120°，∴∠A3A2B1=90°，∴
∠A2B1A3=60°，∴B1A3=2，A2A3=3，∴
OA3=OB1+B1A3=3=()3∴菱形OA2A3B2
的边长=3=()2，设B1A3的中点为O1，连
接O1A2，O1B2，于是求得，O1A2=O1B2=O1B1
==()1，∴过点B1，B2，A2的圆的圆
心坐标为O1（0，2），∵菱形OA3A4B3
的边长为3=()3，∴OA4=9=()4，设
B2A4的中点为O2，连接O2A3，O2B3，同理
可得，O2A3=O2B3=O2B2=3=()2，∴过点
B2，B3，A3的圆的圆心坐标为O2（3，
3），…以此类推，菱形OA2019A2020B2019的边长为()2019，OA2020=()2020，设B2018A2020的中点为O2018，连接O2018A2019，O2018B2019，求得，O2018A2019=O2018B2019=
O2018B2018=()2018，∴点O2018是过点B2018，B2019，A2019的圆的圆心，∵201812=168…2，∴点O2018在射线OB2上，则点O2018的坐标为，即过点B2018，B2019，A2019的圆的圆心坐标为，故答案为．

7. 【解析】∵四边形A0B0C0A1与四
边形A1B1C1A2都是正方形，∴
A1D1∥A2C1，∴=，
∴=，∴A1D1=，同
理可得，A2D2=，∴S1=1
1=4040，
S2=44，S3=4242，…，
Sn=4n-14n-1=4n-1，∴
S2019=42018，故答案为
42018．
8.
【解析】过A1作A1D⊥x轴于D，连接B1C1，B2C2，B3C3，B4C4，∵点A1在l1上，A1的横
坐标为，点A1（，），∴OD=，
A1D=，∴OA1==
=，∴在Rt△A1OD中，
A1D=OA1，∴∠A1OD=30°，∵直线l2的
解析式是y=x，∴∠B1OD=60°，∴
∠A1OB1=30°，∴A1B1=OA1•tan∠A1OB1=1，
∵A1B1⊥l1交l2于点B1，∴∠A1B1O=60°，
∴∠A1B1B2=120°，∴∠B1A1C1=60°，∵四边
形A1B1B2C1是菱形，∴△A1B1C1是等边三角
形，∴S1=2(S扇形B1A1C1S△B1A1C1)=2
(12)=，∵A1C1∥
B1B2，∴∠A2A1C1=∠A1OB1=30°，∴A2C1=
，A2B2=A2C1+B2C1=，∠A2B2O=60°，同
理，S2=2(S扇形B2A2C2S△B2A2C2)=2
[]=
，S3=…,∴Sn=
=,故
答案为.