2023年初中数学中考专项分类强化训练（含答案）：12 四边形（二）(通用版)

这是一份2023年初中数学中考专项分类强化训练（含答案）：12 四边形（二）(通用版)，共49页。

A．1B．2C．3D．4

第1题图 第2题图
2.（•安徽）如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC=12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF=9的点P的个数是 （ ）
A．0B．4C．6D．8
3.（•鄂尔多斯）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ABE，则∠BED为
（ ）
A．15°B．35°C．45°D．55°

第3题图 第4题图
4.（•黄石）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB边的中点是坐标原点O，将正方形绕点C按逆时针方向旋转90°后，点B的对应点B'的坐标是 （ ）
A．（1，2） B．（1，4）
C．（3，2） D．（1，0）
5.（•孝感）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若BC=4，DE=AF=1，则GF的长为 （ ）
A． B． C． D．
6.（•内江）如图，点A、B、C在同一直线上，且AB=AC，点D、E分别是AB、BC的中点，分别以AB，DE，BC为边，在AC同侧作三个正方形，得到三个平行四边形（阴影部分）的面积分别记作S1、S2、S3，若S1=，则S2+S3=_________．

第5题图 第6题图
7.（•绍兴）如图，在直线AP上方有一个正方形ABCD，∠PAD=30°，以点B为圆心，AB长为半径作弧，与AP交于点A，M，分别以点A，M为圆心，AM长为半径作弧，两弧交于点E，连结ED，则∠ADE的度数为_________．

第7题图 第8题图
8.（•扬州）如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN．若AB=7，BE=5，则MN=__________．
9.（•江西）我国古代数学名著《孙子算经》有估算方法：“方五，邪（通“斜”）七．见方求邪，七之，五而一．”译文为：如果正方形的边长为五，则它的对角线长为七．已知正方形的边长，求对角线长，则先将边长乘以七再除以五．若正方形的边长为1，由勾股定理得对角线长为，依据《孙子算经》的方法，则它的对角线的长是____．
10.（•潍坊）如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接DG，过点A作AH∥DG，交BG于点H．连接HF，AF，其中AF交EC于点M．
（1）求证：△AHF为等腰直角三角形．
（2）若AB=3，EC=5，求EM的长．

11.（•内江）如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且BE=DF，连结AE、AF、EF．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）若AE=5，请求出EF的长．

12.（•湘西州）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，且AF=CE．
（1）求证：△ABF≌△CBE；
（2）若AB=4，AF=1，求四边形BEDF的面积．

13.（•黄冈）如图，ABCD是正方形，E是CD边上任意一点，连接AE，作BF⊥AE，DG⊥AE，垂足分别为F，G．求证：BFDG=FG．

14.（•天门）如图，E，F分别是正方形ABCD的边CB，DC延长线上的点，且BE=CF，过点E作EG∥BF，交正方形外角的平分线CG于点G，连接GF．求证：
（1）AE⊥BF；
（2）四边形BEGF是平行四边形．

15.（•甘肃）如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交CD于点G．
（1）证明：△ADG≌△DCE；
（2）连接BF，证明：AB=FB．

16.（•凉山州）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB．过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．求证：OE=OF．

综合考点
一、选择题
1.（•铜仁市）如图为矩形ABCD，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b，则a+b不可能是 （ ）
A．360° B．540°
C．630° D．720°

第1题图 第3题图
2.（•十堰）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是 （ ）
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线相等 D．对角线互相平分
3.（•陕西）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，若点E，F分别在AB，CD上，且BE=2AE，DF=2FC，G，H分别是AC的三等分点，则四边形EHFG的面积为
（ ）
A．1 B． C．2D．4
4.（•无锡）下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是 （ ）
A．内角和为360°
B．对角线互相平分
C．对角线相等
D．对角线互相垂直
5.（•台州）如图，有两张矩形纸片ABCD和EFGH，AB=EF=2cm，BC=FG=
8cm．把纸片ABCD交叉叠放在纸片EFGH上，使重叠部分为平行四边形，且点D与点G重合．当两张纸片交叉所成的角α最小时，tanα等于 （ ）
A． B． C． D．

第5题图 第6题图
6.（•鸡西）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB:BC=3:2，过点B作BE∥AC，过点C作CE∥DB，BE、CE交于点E，连接DE，则tan∠EDC=（ ）
A． B． C． D．
7.（•绍兴）正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D．在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积 （ ）
A．先变大后变小 B．先变小后变大
C．一直变大 D．保持不变

二、填空题
8.（•百色）四边形具有不稳定性．如图，矩形ABCD按箭头方向变形成平行四边形A'B'C'D'，当变形后图形面积是原图形面积的一半时，则∠A'=_______．
9.（•绍兴）把边长为2的正方形纸片ABCD分割成如图的四块，其中点O为正方形的中心，点E，F分别为AB，AD的中点．用这四块纸片拼成与此正方形不全等的四边形MNPQ（要求这四块纸片不重叠无缝隙），则四边形MNPQ的周长是发挥怒积分那个 ．

第9题图 第11题图
10.（•北京）在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合），对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，
①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；
②存在无数个四边形MNPQ是矩形；
③存在无数个四边形MNPQ是菱形；
④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．
所有正确结论的序号是_________．
11.（•菏泽）如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC=8，AE=CF=2，则四边形BEDF的周长是_____．
12.（•葫芦岛）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD延长线上的一点，连接PA，过点P作PE⊥PA交BC的延长线于点E，过点E作EF⊥BP于点F，则下列结论中：
①PA=PE；②CE=PD；③BFPD=BD；④S△PEF=S△ADP.
正确的是_________（填写所有正确结论的序号）

三、解答题
13.（•湖州）如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连结DF，EF，BF．
（1）求证：四边形BEFD是平行四边形；
（2）若∠AFB=90°，AB=6，求四边形BEFD的周长．

14.（•宿迁）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点E、F分别在AB、CD上，且BE=DF=．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）求线段EF的长．

15.（•绍兴）有一块形状如图的五边形余料ABCDE，AB=AE=6，BC=5，∠A
=∠B=90°，∠C=135°，∠E90°，要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一条边在AE上，并使所截矩形材料的面积尽可能大．
（1）若所截矩形材料的一条边是BC或AE，求矩形材料的面积．
（2）能否截出比（1）中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由．

16.（•宁波）如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上．
（1）求证：BG=DE；
（2）若E为AD中点，FH=2，求菱形ABCD的周长．

17.（•新疆）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD中点，连接OE．过点C作CF∥BD交OE的延长线于点F，连接DF．
求证：（1）△ODE≌△FCE；
（2）四边形OCFD是矩形．

18.（•贺州）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是BC，AD边上的点，且AE=CF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当AC⊥EF时，四边形AECF是菱形吗？请说明理由．

19.（•鄂州）如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB、CD边于点E、F．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）当DE=DF时，求EF的长．

20.（•泰安）如图，四边形ABCD是正方形，△EFC是等腰直角三角形，点E在AB上，且∠CEF=90°，FG⊥AD，垂足为点G．
（1）试判断AG与FG是否相等？并给出证明；
（2）若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．

21.（•娄底）如图，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA（不包括端点）上运动，且满足AE=CG，AH=CF．
（1）求证：△AEH≌△CGF；
（2）试判断四边形EFGH的形状，并说明理由．
（3）请探究四边形EFGH的周长一半与矩形ABCD一条对角线长的大小关系，并说明理由．

22.（•海南）如图，在边长为1的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点A、D不重合），射线PE与BC的延长线交于点Q．
（1）求证：△PDE≌△QCE；
（2）过点E作EF∥BC交PB于点F，连结AF，当PB=PQ时，
①求证：四边形AFEP是平行四边形；
②请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由．

23.（•宁波）如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上．
（1）求证：BG=DE；
（2）若E为AD中点，FH=2，求菱形ABCD的周长．

24.（•自贡）（1）如图1，E是正方形ABCD边AB上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G．
①线段DB和DG的数量关系是_____；
②写出线段BE，BF和DB之间的数量关系．
（2）当四边形ABCD为菱形，∠ADC
=60°，点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G．
①如图2，点E在线段AB上时，请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明；
②如图3，点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M，若BE=1，AB=2，直接写出线段GM的长度．

参考答案
考点5 正方形的判定与性质
1.C 【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴
AB∥CD，AD∥BC，AB=BC，∠ABE=
∠BCF=90°，在△ABE和△BCF中，
∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠BFC=
∠AEB，∵AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAE=∠AEB，∠BFC=∠ABF，∴
图中与∠AEB相等的角的个数是3，故
选C．
2.D 【解析】如图，作点F关于BC的对称
点M，连接FM交BC于点N，连接EM，
交BC于点H，∵点E，F将对角线AC
三等分，且AC=12，∴EC=8，FC=4=AE，
∵点M与点F关于BC对称，∴
CF=CM=4，∠ACB=∠BCM=45°，∴
∠ACM=90°，∴EM==
4，则在线段BC存在点H到点E
和点F的距离之和最小为49，在
点H右侧，当点P与点C重合时，则
PE+PF=12，∴点P在CH上时，4
PE+PF12；在点H左侧，当点P与
点B重合时，BF==2，
∵AB=BC，CF=AE，∠BAE=∠BCF，
∴在△ABE和△CBF中，
∴△ABE≌△CBF（SAS），∴BE=BF=
2，∴PE+PF=4，∴点P在BH
上时，4PE+PF4，∴在线
段BC上点H的左右两边各有一个点P
使PE+PF=9，同理在线段AB，AD，
CD上都存在两个点使PE+PF=9，即共
有8个点P满足PE+PF=9，故选D．

3.C 【解析】在正方形ABCD中，AB=AD，
∠BAD=90°，在等边△ABE中，AB=AE，
∠BAE=∠AEB=60°，在△ADE中，
AD=AE，∠DAE=∠BAD+∠BAE=
90°+60°=150°，所以，∠AED=
(180°150°)=15°，所以∠BED=
∠AEB∠AED=60°15°=45°，故选
C．
4.C 【解析】如图所示，由旋转得CB'=CB=2，
∠BCB'=90°，∵四边形ABCD是正方
形，且O是AB的中点，∴OB=1，∴
B'（2+1，2），即B'（3，2），故选C．

5.A 【解析】正方形ABCD中，∵BC=4，
∴BC=CD=AD=4，∠BCE=∠CDF=90°，
∵AF=DE=1，∴DF=CE=3，∴
BE=CF=5，在△BCE和△CDF中，
∴△BCE≌△CDF（SAS），∴∠CBE=
∠DCF，∵∠CBE+∠CEB=∠ECG+
∠CEB=90°=∠CGE，cs∠CBE=
cs∠ECG==，∴=，∴
CG=，∴GF=CFCG=5=，
故选A．
6. 【解析】设BE=x，则EC=x，AD=
BD=2x，∵四边形ABGF是正方形，
∴∠ABF=45°，∴△BDH是等腰直
角三角形，∴BD=DH=2x，∴S1=DH
•AD=，即2x•2x=，x2=，
∵BD=2x，BE=x，∴S2=MH•
BD=(3x2x)•2x=2x2，S3=EN•BE=x
•x=x2，∴S2+S3=2x2+x2=3x2=，
故答案为.
7.15°或45°
【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AE，∠DAE=90°，∴∠BAM=180°90°
30°=60°，AD=AB，当点E与正方形ABCD的直线AP的同侧时，由题意得，点E与点B重合，∴∠ADE=45°，当点E与正方形ABCD的直线AP的两侧时，由题意得，E'A=E'M，∴△AE'M为等边三角形，∴∠E'AM=60°，∴∠DAE'=360°120°90°=
150°，∵AD=AE'，∴∠ADE'=15°，故答案为15°或45°．
8. 【解析】连接CF，∵正方形ABCD和
正方形BEFG中，AB=7，BE=5，∴
GF=GB=5，BC=7，∴GC=GB+BC
=5+7=12，∴CF==
=13．∵M、N分别是DC、
DF的中点，∴MN=CF=，故答
案为．

9.1.4 【解析】根据题意可得，正方形边长
为1的对角线长估算下来为=
1.4，故答案为1.4.
10.【参考答案】证明：（1）∵四边形ABCD，四边形ECGF都是正方形，
∴DA∥BC，AD=CD，FG=CG，
∠B=∠CGF=90°，
∵AD∥BC，AH∥DG，
∴四边形AHGD是平行四边形，
∴AH=DG，AD=HG=CD，
∵CD=HG，∠ECG=∠CGF=90°，FG=CG，
∴在△DCG和△HGF中，
∴△DCG≌△HGF（SAS），
∴DG=HF，∠HFG=∠HGD，
∴AH=HF，
∵∠HGD+∠DGF=90°，
∴∠HFG+∠DGF=90°，
∴DG⊥HF，且AH∥DG，
∴AH⊥HF，且AH=HF，
∴△AHF为等腰直角三角形．
（2）∵AB=3，EC=5，
∴AD=CD=3，DE=2，EF=5，
∵AD∥EF，
∴==，且DE=2
∴EM=.
11.【参考答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠ADC=∠ADF=90°，
在△ABE和△ADF中，
∴△ABE≌△ADF（SAS）；
（2）∵△ABE≌△ADF，
∴AE=AF，∠BAE=∠DAF，
∵∠BAE+∠EAD=90°，
∴∠DAF+∠EAD=90°，即∠EAF=90°，
∴EF=AE=5．
12.【参考答案】（1）在△ABF和△CBE中，
∴△ABF≌△CBE（SAS）；
（2）由已知可得正方形ABCD面积为16，
S△ABF=S△CBE=41=2，
所以S四边形BEDF为1622=12．
13.【参考答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠DAB=90°，
∵BF⊥AE，DG⊥AE，
∴∠AFB=∠AGD=∠ADG+∠DAG=90°，
∵∠DAG+∠BAF=90°，
∴∠ADG=∠BAF，
∵在△BAF和△ADG中，
∴△BAF≌△ADG（AAS），
∴BF=AG，AF=DG，
∵AG=AF+FG，
∴BF=AG=DG+FG，
∴BFDG=FG．
14.【参考答案】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠ABE=∠BCF=90°，
在△ABE和△BCF中，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴AE=BF，∠BAE=∠CBF，
∵EG∥BF，
∴∠CBF=∠CEG，
∵∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠CEG+∠BEA=90°，
∴AE⊥EG，
∴AE⊥BF；
（2）延长AB至点P，使BP=BE，连接EP，如图所示，
则AP=CE，∠EBP=90°，
∴∠P=45°，
∵CG为正方形ABCD外角的平分线，
∴∠ECG=45°，
∴∠P=∠ECG，
由（1）得∠BAE=∠CEG，
在△APE和△ECG中，
∴△APE≌△ECG（ASA），
∴AE=EG，
∵AE=BF，
∴EG=BF，
∵EG∥BF，
∴四边形BEGF是平行四边形．
15.【参考答案】（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADG=∠C=90°，AD=DC，
又∵AG⊥DE，
∴∠DAG+∠ADF=90°=∠CDE+∠ADF，
∴∠DAG=∠CDE，
∴△ADG≌△DCE（ASA）；
（2）如图所示，延长DE交AB的延长线于H，∵E是BC的中点，∴BE=CE，
又∵∠C=∠HBE=90°，∠DEC=∠HEB，
∴在△DCE和△HBE中 ，
∴△DCE≌△HBE（ASA），
∴BH=DC=AB，
即B是AH的中点，
又∵∠AFH=90°，
∴在Rt△AFH中，BF=AH=AB．
16.【参考答案】证明：∵四边形ABCD是正方形．
∴∠BOE=∠AOF=90°，OB=OA．
又∵AM⊥BE，
∴∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE，
∴∠MEA=∠AFO，即∠BEO=∠AFO，
∴在△BOE和△AOF中，
∴△BOE≌△AOF（AAS）．
∴OE=OF．
综合考点
一、选择题
1.C 【解析】一条直线将该矩形ABCD分割
成两个多边形，每一个多边形的内角和
都是180°的倍数，都能被180整除，分
析四个答案，只有630不能被180整除，
所以a+b不可能是630°，故选C．
2.C 【解析】矩形的对角线相等，而平行四
边形的对角线不一定相等，故选C．
3.C 【解析】∵BE=2AE，DF=2FC，∴
=，=，∵G、H分别是AC
的三等分点，∴=，=，
∴=，∴EG∥BC，∴=
=，且BC=6，∴EG=2，同理可得HF
∥AD，HF=2，∴四边形EHFG为平行
四边形，且EG和HF间距离为1，∴S
四边形EHFG=21=2，故选C．
4.C 【解析】矩形和菱形的内角和都为360°，
矩形的对角线互相平分且相等，菱形的
对角线垂直且平分，∴矩形具有而菱形
不具有的性质为对角线相等，故选C．
5.D 【解析】如图，∵∠ADC=∠HDF=90°，
∴∠CDM=∠NDH，且CD=DH，∠H=
∠C=90°，∴△CDM≌△HDN（ASA），
∴MD=ND，且四边形DNKM是平行四
边形，∴四边形DNKM是菱形，∴
KM=DM，∵sinα=sin∠DMC=，∴
当点B与点E重合时，两张纸片交叉所
成的角α最小，设MD=a=BM，则CM=
8a，∵MD2=CD2+MC2，∴
a2=4+(8a)2，∴a=，∴CM=，
∴tanα=tan∠DMC==，故选D．

6.A 【解析】∵矩形ABCD的对角线AC、
BD相交于点O，AB:BC=3:2，∴设
AB=3x，BC=2x，如图，过点E作EF
⊥直线DC交线段DC延长线于点F，
连接OE交BC于点G．∵BE∥AC，CE
∥BD，∴四边形BOCE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OC，
∴四边形BOCE是菱形．∴OE与BC
垂直平分，∴EF=AD=BC=x，OE
∥AB，∴四边形AOEB是平行四边形，
∴OE=AB，∴CF=OE=AB=x．∴
tan∠EDC===，故选A．

7.D 【解析】连接DE，∵S△CDE=S四边形CEGF，S△CDE=S正方形ABCD，∴矩形ECFG与正方形ABCD的面积相等，故选D．

二、填空题
8.30° 【解析】∵SA'B'C'D'=S矩形ABCD，∴
平行四边形A'B'C'D'的底边A'D'边上
的高等于A'D'的一半，∴∠A'=30°，
故答案为30°.
9.6+2或10或8+2
【解析】如图所示：
图1的周长为1+2+3+2=6+2；
图2的周长为1+4+1+4=10；
图3的周长为3+5++=8+2．
故四边形MNPQ的周长是6+2或10或8+2，故答案为6+2或10或8+2．
10.①②③ 【解析】①如图，∵四边形ABCD
是矩形，连接AC，BD交于O，
过点O直线MP和QN，分别交
AB，BC，CD，AD于M，N，P，
Q，则四边形MNPQ是平行四边
形，故当MQ∥PN，PQ∥MN，
四边形MNPQ是平行四边形，
故存在无数个四边形MNPQ是
平行四边形，正确；②如图，当
PM=QN时，四边形MNPQ是矩
形，故存在无数个四边形MNPQ
是矩形，正确；③如图，当PM
⊥QN时，存在无数个四边形
MNPQ是菱形，正确；④当四边
形MNPQ是正方形时，MQ=PQ，
则△AMQ≌△DQP，∴AM=QD，
AQ=PD，∵PD=BM，∴AB=AD，
∴四边形ABCD是正方形与任
意矩形ABCD矛盾，错误；故答
案为①②③．

11.8 【解析】如图，连接BD交AC于
点O，∵四边形ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，OD=OB=OA=OC，∵
AE=CF=2，∴OAAE=OCCF，
即OE=OF，∴四边形BEDF为平
行四边形，且BD⊥EF，∴四边形
BEDF为菱形，∴DE=DF=BE=BF，
∵AC=BD=8，OE=OF==2，
由勾股定理得DE=
==2，∴四边形BEDF
的周长=4DE=42=8，故答
案为8．

12.①②③ 【解析】①如图1，在EF上取一
点G，使FG=FP，连接BG、PG，
∵EF⊥BP，∴∠BFE=90°，∵四
边形ABCD是正方形，
∴∠FBC=∠ABD=45°，∴BF=
EF，∵在△BFG和△EFP中，
∴△BFG≌△EFP（SAS），∴
BG=PE，∵∠ABD=∠FPG=45°，
∴AB∥PG，∵AP⊥PE，∴
∠APE=∠APF+∠FPE=∠FPE+
∠PEF=90°，∴∠APE=∠PEF=
∠GPF，∴AP∥BG，∴四边形
ABGP是平行四边形，∴AP=
BG，∴AP=PE，正确；②如
图2，连接CG，由①知，PG∥
AB，PG=AB，∵AB=CD，AB∥
CD，∴PG∥CD，PG=CD，∴
四边形DCGP是平行四边形，∴
CG=PD，CG∥PD，∵PD⊥EF，
∴CG⊥EF，即∠CGE=90°，∵
∠CEG=45°，∴CE=CG
=PD，正确；③由②知，
∠CGF=∠GFO=90°，∵四边形
ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∴∠COF=90°，∴四边形OCGF
是矩形，∴CG=OF=PD，
BD=OB=BFOF=BFPD，
正确；④∵在△AOP和△PFE
中，
∴△AOP≌△PFE（AAS），∴
S△AOP=S△PEF，∴S△ADPS△AOP
=S△PEF，不正确；本题结论正确
的有①②③，故答案为①②③．
三、解答题
13.【参考答案】（1）证明：∵D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，
∴DF∥BC，EF∥AB，
∴DF∥BE，EF∥BD，
∴四边形BEFD是平行四边形；
（2）∵∠AFB=90°，D是AB的中点，AB=6，
∴DF=DB=DA=AB=3，
∵四边形BEFD是平行四边形，
∴四边形BEFD是菱形，
∵DB=3，
∴四边形BEFD的周长为12．
14.【参考答案】（1）证明：∵在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，
∴CD=AB=4，AD=BC=2，CD∥AB，∠D=∠B=90°，
∵BE=DF=，
∴CF=AE=4=，
∴AF=CE==，
∴AF=CF=CE=AE=，
∴四边形AECF是菱形；
（2）过F作FH⊥AB于H，
则四边形AHFD是矩形，
∴AH=DF=，
FH=AD=2，
∴EH==1，
∴EF===．
15.【参考答案】（1）①若所截矩形材料的一条边是BC，如图1所示，
过点C作CF⊥AE于F，
S1=AB•BC=65=30；
②若所截矩形材料的一条边是AE，如图2所示，
过点E作EF∥AB交CD于F，FG⊥AB于G，过点C作CH⊥FG于H，
则四边形AEFG为矩形，四边形BCHG为矩形，
∵∠C=135°，
∴∠FCH=45°，
∴△CHF为等腰直角三角形，
∴AE=FG=6，HG=BC=5，BG=CH=FH，
∴BG=CH=FH=FGHG=65=1，
∴AG=ABBG=61=5，
∴S2=AE•AG=65=30；
（2）能；
理由如下：
在CD上取点F，过点F作FM⊥AB于M，FN⊥AE于N，过点C作CG⊥FM于G，
则四边形ANFM为矩形，四边形BCGM为矩形，如图3所示，
∵∠C=135°，
∴∠FCG=45°，
∴△CGF为等腰直角三角形，
∴MG=BC=5，BM=CG，FG=DG，
设AM=x，则BM=6x，
∴FM=GM+FG=GM+CG=BC+BM=11x，
∴S=AMFM=x(11x)
=x2+11x=（x5.5）2+30.25，
∴当x=5.5时，S的最大值为30.25．

16.【参考答案】
（1）∵四边形EFGH是矩形，
∴EH=FG，EH∥FG，
∴∠GFH=∠EHF，
∵∠BFG=180°∠GFH，
∠DHE=180°∠EHF，
∴∠BFG=∠DHE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠GBF=∠EDH，
∴在△BGF和△DEH中
∴△BGF≌△DEH（AAS），
∴BG=DE；
（2）连接EG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵E为AD中点，
∴AE=ED，
∵BG=DE，
∴AE=BG，AE∥BG，
∴四边形ABGE是平行四边形，
∴AB=EG，
∵EG=FH=2，
∴AB=2，
∴菱形ABCD的周长=8．
17.【参考答案】证明：（1）∵CF∥BD，
∴∠ODE=∠FCE，
∵E是CD中点，
∴CE=DE，
在△ODE和△FCE中，
∴△ODE≌△FCE（ASA）；
（2）∵△ODE≌△FCE，
∴OD=FC，
∵CF∥BD，
∴四边形OCFD是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COD=90°，
∴四边形OCFD是矩形．
18.【参考答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=90°，AB=CD，AD=BC，AD∥BC，
在Rt△ABE和Rt△CDF中，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）；
（2）当AC⊥EF时，四边形AECF是菱形，
理由如下：
∵△ABE≌△CDF，
∴BE=DF，
∵BC=AD，
∴CE=AF，
∵CE∥AF，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形．
19.【参考答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠DFO=∠BEO，
又∵∠DOF=∠BOE，OD=OB，
∴△DOF≌△BOE（ASA），
∴DF=BE，
又∵DF∥BE，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）∵DE=DF，四边形BEDF是平行四边形，
∴四边形BEDF是菱形，
∴DE=BE，EF⊥BD，OE=OF，
设AE=x，则DE=BE=8x，
在Rt△ADE中，根据勾股定理，有
AE2+AD2=DE2，
∴x2+62=(8x)2，
解之得，x=，
∴DE=8=，
在Rt△ABD中，根据勾股定理，有
AB2+AD2=BD2，
∴BD==10，
∴OD=BD=5，
在Rt△DOE中，根据勾股定理，有
DE2OD2=OE2，
∴OE==，
∴EF=2OE=．
20.【参考答案】（1）AG=FG，
理由如下：如图，过点F作FM⊥AB交BA的延长线于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=90°=∠BAD，
∵FM⊥AB，∠MAD=90°，FG⊥AD，
∴四边形AGFM是矩形，
∴AG=MF，AM=FG，
∵∠CEF=90°，
∴∠FEM+∠BEC=90°，
∠BEC+∠BCE=90°，
∴∠FEM=∠BCE，
且∠M=∠B=90°，EF=EC，
∴△EFM≌△CEB（AAS），
∴BE=MF，ME=BC，
∴ME=AB=BC，
∴BE=MA=MF，
∴AG=FG；
（2）DH⊥HG
理由如下：如图，延长GH交CD于点N，
∵FG⊥AD，CD⊥AD，
∴FG∥CD，
∴==，
且CH=FH，
∴GH=HN，NC=FG，
∴AG=FG=NC，
又∵AD=CD，
∴GD=DN，且GH=HN，
∴DH⊥GH.
21.【参考答案】（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠C，
∴在△AEH与△CGF中，
，
∴△AEH≌△CGF（SAS）；
（2）∵由（1）知，△AEH≌△CGF，则EH=GF，同理证得△EBF≌△GDH，则EF=GH，
∴四边形EFGH是平行四边形；
（3）四边形EFGH的周长一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长度．理由如下：作G关于BC的对称点G'，连接EG'，可得EG'的长度就是EF+FG的最小值，连接AC，
∵CG'=CG=AE，AB∥CG'，
∴四边形AEG'C为平行四边形，
∴EG'=AC．
在△EFG'中，∵EF+FG'EG'=AC，
∴四边形EFGH的周长一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长度．

22.【参考答案】（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠ECQ=90°，
∵E是CD的中点，
∴DE=CE，
又∵∠DEP=∠CEQ，
∴△PDE≌△QCE（ASA）；
（2）①∵PB=PQ，
∴∠PBQ=∠Q，
∵AD∥BC，
∴∠APB=∠PBQ=∠Q=∠EPD，
∵△PDE≌△QCE，
∴PE=QE，
∵EF∥BQ，
∴PF=BF，
∴在Rt△PAB中，AF=PF=BF，
∴∠APF=∠PAF，
∴∠PAF=∠EPD，
∴PE∥AF，
∵EF∥BQ∥AD，
∴四边形AFEP是平行四边形；
②四边形AFEP不是菱形，理由如下：
设PD=x，则AP=1x，
由（1）可得△PDE≌△QCE，
∴CQ=PD=x，
∴BQ=BC+CQ=1+x，
∵点E、F分别是PQ、PB的中点，
∴EF是△PBQ的中位线，
∴EF=BQ=，
由①知AP=EF，即1x=，
解得x=，
∴PD=，AP=，
在Rt△PDE中，DE=，
∴PE==，
∴APPE，
∴四边形AFEP不是菱形．
23.【参考答案】（1）∵四边形EFGH是矩形，
∴EH=FG，EH∥FG，
∴∠GFH=∠EHF，
∵∠BFG=180°∠GFH，
∠DHE=180°∠EHF，
∴∠BFG=∠DHE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠GBF=∠EDH，
∴△BGF≌△DEH（AAS），
∴BG=DE；
（2）连接EG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵E为AD中点，
∴AE=ED，
∵BG=DE，
∴AE=BG，AE∥BG，
∴四边形ABGE是平行四边形，
∴AB=EG，
∵EG=FH=2，
∴AB=2，
∴菱形ABCD的周长=24=8．
24.【参考答案】（1）①DB=DG，理由是：
∵∠DBE绕点B逆时针旋转90°，如图1，
由旋转可知，∠BDE=∠FDG，∠BDG=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CBD=45°，
∴∠G=45°，
∴∠G=∠CBD=45°，
∴DB=DG；
故答案为DB=DG；
②BF+BE=BD，理由如下：
由①知，∠FDG=∠EDB，∠G=∠DBE=45°，BD=DG，
∴△FDG≌△EDB（ASA），
∴BE=FG，
∴BF+FG=BF+BE=BC+CG，
Rt△DCG中，∵∠G=∠CDG=45°，
∴CD=CG=CB，
∵DG=BD=BC，
即BF+BE=2BC=BD；
（2）①如图2，BF+BE=BD，
理由如下：在菱形ABCD中，
∠ADB=∠CDB=∠ADC=60°=30°，
由旋转120°得∠EDF=∠BDG=120°，
∠EDB=∠FDG，
在△DBG中，∠G=180°120°30°=30°，
∴∠DBG=∠G=30°，
∴DB=DG，
∴△EDB≌△FDG（ASA），
∴BE=FG，
∴BF+BE=BF+FG=BG，
过点D作DM⊥BG于点M，如图2，
∵BD=DG，
∴BG=2BM，
在Rt△BMD中，
∠DBM=30°，
∴BD=2DM．
设DM=a，则BD=2a，
BM=a，
∴BG=2a，
∴==，
∴BG=BD，
∴BF+BE=BG=BD；
②过点A作AN⊥BD于N，过D作DP⊥BG于P，如图3，
Rt△ABN中，∠ABN=30°，AB=2，
∴AN=1，BN=，
∴BD=2BN=2，
∵DC∥BE，
∴==，
∵CM+BM=2，
∴BM=，
Rt△BDP中，∠DBP=30°，BD=2，
∴BP=3，
由旋转得，BD=BF，
∴BF=2BP=6，
∴GM=BGBM=6+1=．