2024九年级数学下册提练第10招探究二次函数中存在性问题习题课件新版冀教版

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第10招 探究二次函数中存在性问题冀教版 九年级下册已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图像经过点A(－2，5)，B(－1，0)，与x轴交于另一点C.解题秘方：根据待定系数法求出二次函数的表达式．直角三角形的存在性问题的求解要抓住直角，利用勾股定理列出方程．(1)求这个二次函数的表达式．(2)在图像的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ是直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：存在．∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴对称轴是直线x＝1.令y＝0，则x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，则C(3，0)．∴AC2＝(3＋2)2＋(0－5)2＝50.设点Q的坐标为(1，y)，分三种情况：①如果∠QAC＝90°，那么QA2＋AC2＝QC2，则(1＋2)2＋(y－5)2＋50＝(1－3)2＋(y－0)2，解得y＝8，∴点Q的坐标为(1，8)．②如果∠QCA＝90°，那么QC2＋AC2＝QA2，则(1－3)2＋(y－0)2＋50＝(1＋2)2＋(y－5)2，解得y＝－2，∴点Q的坐标为(1，－2)．③如果∠CQA＝90°，那么QC2＋QA2＝AC2，则(1－3)2＋(y－0)2＋(1＋2)2＋(y－5)2＝50，解得y＝－1或6，∴点Q的坐标为(1，－1)或(1，6)．综上所述，所求点Q的坐标为(1，8)或(1，－2)或(1，－1)或(1，6)．1. [2023·江苏昆山市二中开学测试]已知二次函数 y＝x2＋bx＋c的图像与x轴分别交于点A，B(A在B的左侧)，与y轴交于点C，若将它的图像向上平移4个单位长度，再向左平移5个单位长度，所得的抛物线的顶点坐标为(－2，0)．(1)原抛物线的表达式是____________________．(2)如图①，点P是线段BC下方的抛物线上的点，求△PBC面积的最大值及此时点P的坐标；y＝x2－6x＋5解：如图①，过P作PN⊥AB交BC于N，在y＝x2－6x＋5中，当y＝0时，x2－6x＋5＝0，解得x1＝1，x2＝5，当x＝0时，y＝5，∴A(1，0)，B(5，0)，C(0，5)．∴直线BC的表达式为y＝－x＋5.设P(x，x2－6x＋5)，则N(x，－x＋5)．(3)如图②，点Q是线段OB上一动点，连接BC，在线段BC上是否存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：存在．由(2)可知，OB＝OC＝5，∴∠OBC＝45°，BC＝5.①如图②，当∠BMQ＝90°，CM＝MQ时，由∠OBC＝45°易知MQ＝BM.∴CM＝BM.∴M是BC的中点．2. 【新趋势▪条件探究题】如图，直线l过x轴上一点A(2，0)，且与抛物线y＝ax2相交于B，C两点，B点坐标为(1，1)．(1)求直线AB的表达式及抛物线y＝ax2的表达式．(2)求点C的坐标．(3)点P(m，y1)在直线AB上，点Q(m，y2)在抛物线y＝ax2上．若y2＜y1，直接写出m的取值范围．解：m的取值范围为－2＜m＜1.(4)若抛物线上有一点D(在第一象限内)，使得S△AOD＝S△COB，求D点的坐标．(5)在x轴上是否存在一点E，使△EOC为等腰三角形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．3. [2023·徐州]如图，正方形纸片ABCD的边长为4，将它剪去4个全等的直角三角形，得到四边形EFGH.设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y.(1)求y关于x的函数表达式；解：∵正方形纸片ABCD的边长为4，4个直角三角形全等，AE的长为x，∴AD＝4，AE＝DH＝x，∠A＝90°，EH＝HG＝FG＝EF，∠AEH＝∠GHD，∴AH＝4－x，四边形EFGH为菱形．∠AEH＋∠AHE＝90°，∴∠AHE＋∠DHG＝90°，∴∠EHG＝90°，∴四边形EFGH是正方形，∴y＝EH2＝AE2＋AH2＝x2＋(4－x)2＝2x2－8x＋16.(2)当AE取何值时，四边形EFGH的面积为10?解：当y＝10时，即2x2－8x＋16＝10，解得x＝1或x＝3.∴当AE取1或3时，四边形EFGH的面积为10.(3)四边形EFGH的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．解：存在．∵y＝2x2－8x＋16＝2(x－2)2＋8，2＞0，∴y有最小值，最小值为8，即四边形EFGH的面积有最小值，最小值为8.