2024年中考数学【热点重点难点】专练热点01数与式(江苏专用)(原卷版+解析)

这是一份2024年中考数学【热点重点难点】专练热点01数与式(江苏专用)(原卷版+解析)，共60页。试卷主要包含了数与式，4×109C．4，5，求a+b的值．，11×108B．1等内容，欢迎下载使用。

【考纲解读】
1．了解：平（立）方根、算术平方根的概念；无理数、实数的概念；近似数的概念；整式的概念;因式分解的概念;分式的概念;二次根式的概念;单项式的概念;同类项的概念;约分、通分的概念;最简分式的概念;最简二次根式的概念;同类二次根式的概念.
2．理解：有理数的意义；借助数轴理解相反数和绝对值的意义；实数与数轴上的点一一对应；有理数的运算律；分式的意义;整式与分式的区别,因式分解与整式乘法的区别,二次根式的意义,因式分解的方法与步骤;二次根式加、减、乘、除运算法则及混合运算顺序;整(分)式加、减、乘、除运算法则及混合运算顺序.
3．会：比较有理数大小；求有理数的相反数；求有理数的绝对值；用根号表示数的平（立）方根；求平（立）方根；进行实数的简单四则运算；比较分式与二次根式的大小;运用整式、分式、二次根式加、减、乘、除法则及简单的混合运算顺序进行正确运算;选择适合方法进行因式分解;判断出代数式是否是整式、分式、二次根式、最简二次根式;用合并同类项进行整式、分式、二次根式的化简.
4．掌握：有理数的加、减、乘、除、乘方；简单的混合运算；整式、分式、二次根式的加、减、乘、除运算法则及简单的混合运算;因式分解的三种方法.
5．能：灵活处理较大数字的信息；能用有理数估计无理数的大致范围；用合并同类项、约分、通分来化简相关的代数式;选择一种方法会进行因式分解.
【命题形式】
1）.从考查的题型来看，涉及本知识点的题目主要以选择题、填空题的形式考查，少数题目以解答题的形式考查,题型较为简单,属于中低档题.
2）．从考查内容来看，涉及本知识点主要的有实数：有理数的相反数、倒数、绝对值与比较大小,有理数的四则运算法则,平方根(立方根),非负数,无理数及其估算,实数与数轴的关系，科学记数法；整式：幂的运算(同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相除)、合并同类项、整式的加减、整式的乘法法则；分式：分式的意义、分式的加减乘除化简；二次根式：二次根式的混合运算、二次根式的意义与化简；因式分解：因式分解与整式乘法的区别、选用适当的方法进行分解因式、分式的化简中运用因式分解.
3）．从考查热点来看,涉及本知识点中的问题:科学记数法,有理数正负表示,实数的加减乘除乘方法则在实际问题的应用，合并同类项、代数式的化简求值、因式分解、分式的意义将成为中考命题的热点.
【限时检测】
A卷（建议用时：60分钟）
一、单选题
1． (2023·江苏徐州·统考二模）−2022的相反数是（ ）
A．2022B．−12022C．12022D．−2022
2． (2023·江苏常州·常州市朝阳中学校考二模）中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为44亿人，这个数用科学记数法表示为（ ）
A．44×108B．4.4×109C．4.4×108D．4.4×1010
3． (2023·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考模拟预测）下列各式正确的是 （ ）
A．a6÷a2=a3B．3x−2=13x2
C．13−2=3+2D．a−1a=−−a
4． (2023·江苏淮安·一模）代数式2a23的计算结果是（ ）
A．2a6B．6a5C．8a5D．8a6
5． (2023·江苏扬州·模拟预测）若a＝2，a﹣2b＝3，则2a2﹣4ab的值为（ ）
A．2B．4C．6D．12
6． (2023·江苏泰州·统考二模）若实数a、b满足a+4b−6+a2+4b2=4ab，则a+b的值是（ ）
A．1B．−1C．3D．−3
7． (2023·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考模拟预测）如果把分式x2x+y中x、y的值都变为原来的3倍，则分式的值（ ）
A．变为原来的9倍B．变为原来的3倍C．不变D．变为原来的13
8． (2023·江苏盐城·盐城市第四中学（盐城市艺术高级中学、盐城市逸夫中学）校考模拟预测）如图所示的是一个按某种规律排列的数阵，根据规律，自然数2022应该排在从上向下数的第m行，是该行中的从左向右数的第n个数，那么m+n的值是（ ）
A．131B．130C．129D．128
二、填空题
9． (2023·江苏泰州·统考一模）计算：25=______．
10． (2023·江苏淮安·统考二模）分解因式x2−16=_____________
11． (2023·江苏扬州·校考模拟预测）当x满足______ 时，式子y=3x−1+2−x2x+1有意义．
12． (2023·江苏盐城·校考二模）如果单项式3xmy与−5x3yn是同类项，那么m+n=____________．
13． (2023·江苏宿迁·统考三模）若a=a2+12，则2019−2a2+4a的值等于_______．
14． (2023·江苏南京·南师附中树人学校校考二模）计算23÷3+13的结果是____．
15． (2023·江苏苏州·苏州市振华中学校校考模拟预测）若a=3+22、b=3−22，则a2−b2= ______ ．
16． (2023·江苏宿迁·模拟预测）将数1个1，2个12，3个13，…，n个1n（n为正整数）顺次排成一列：1，12,12,13,13,13,,1n，…，记a1=1，a2=12，a3=12…，S1=a1，S2=a1+a2，S3=a1+a2+a3，…，Sn=a1+a2+…an，则S2022=______．
17． (2023·江苏盐城·校考三模）小余同学计划在某外卖网站点如下表所示的菜品，已知每份订单的配送费为4元，商家为了促销，对每份订单的总价（不含配送费）提供满减优惠：满30元减12元，满60元减30元，满100元减45元，如果小余在购买下表中所有菜品时，采取适当的下单方式，那么他点餐总费用最低可为____________元．
18． (2023秋·江苏南京·七年级校联考阶段练习）有一数值转换器，原理如图所示，如果开始输入x的值是34，则第一次输出的结果是17，第二次输出的结果是50，……，那么第2022次输出的结果是______．
三、解答题
19． (2023秋·江苏盐城·七年级校联考阶段练习）计算
(1)−14−25+110÷−120；
(2)−12017−−16×2×−12−−33
20． (2023春·江苏常州·七年级校考期中）计算题：
(1)−30+13−2+−23．
(2)−3a32⋅a3+−4a2⋅a7+−5a33
(3)x+1x−2−x−22
(4)a+2b−3ca−2b+3c．
21． (2023秋·江苏宿迁·八年级校考阶段练习）（1）计算：9+(12)−1−20220−|−3|；
（2）求式中x的值：(x−1)3=−8．
22． (2023春·江苏南京·八年级校考期中）计算：
(1)−3xy÷3y22x⋅yx．
(2)先化简：a+2+3a−2÷a+12a−4，再从−1≤a≤2的整数中选取一个你喜欢的a的值代入求值．
23． (2023秋·江苏泰州·七年级校考期末）已知M=5x2−2x−1，N=3x2−2x−5．
(1)当x=−1时，求代数式3M−(2M+3N)的值；
(2)试判断M、N的大小关系，并说明理由．
24． (2023秋·江苏扬州·七年级校考期中）某服装厂生产一种夹克和T恤，夹克每件定价100元，T恤每件定价50元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：①买一件夹克送一件T恤：②夹克和T恤都按定价的80%付款．现某客户要到该服装厂购买夹克30件，T恤x件（x>30）．
(1)若该客户按方案①购买，夹克需付___________元，T恤需付___________元，共需付款___________元（用含x的式子表示）；若该客户按方案②购买需付款___________元（用含x的式子表示）；
(2)若x=40时，请你选出上述两种方案中更为省钱的购买方案，并说明理由．
(3)若两种优惠方案可同时使用，当x=40时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并说明理由．
25． (2023春·江苏常州·八年级校考期中）阅读下列材料并回答问题：
把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫“单位分数”，单位分数又叫埃及分数，在很早以前，埃及人就研究如何把一个单位分数表示成若干个单位分数的和．
把一个真分数表示成两个（或几个）分数单位的和叫分数的拆分：
如：56=12+13，815=13+15，1128=14+17，…，
(1)把1130写成两个单位分数之和______________．
(2)研究真分数11a（a是正整数），由上知，对于某些a的值，它可以写成两个单位分数之和，你还能找到多少个是能使真分数11a可以写成两个单位分数的和？请将部分的a的值写出：___________．
(3)学习了上述知识，小壮想继续研究是否所有的单位分数可以折分为两个单位分数的和？
小壮在研究单位分数12：12=13+16，12=14+14；
小壮在研究单位分数16：16=17+142，16=18+224，16=19+118，16=110+115，16=112+112
小壮在拆分单位分数的过程中发现，单位分数1a（a是正整数），可拆分两个分母比a大的单位分数，分别设为1a+m，1a+n，即1a=1a+m+1a+n其中m，n正整数，并且小壮发现了m，n与a的关系（即用m，n表示a），并进行了严格证明．请问小壮发现的m，n与a的关系（即用m，n表示a），请你尝试证明此关系．
26． (2023春·江苏泰州·七年级校考期中）如图，将一个边长为a+b的正方形ABCD分割成四部分（边长分别为a，b的正方形、边长为a和b长方形），请认真观察图形，解答下列问题：
(1)请用两种方法表示该正方形的面积（用含a、b的代数式表示）①______，②______；由此可以得到一个等量关系是______．
(2)若图中a、b满足a2+b2=20，ab=2.5，求a+b的值．
(3)若5+3m2+2−3m2=40，求5+3m2−3m的值．
(4)请利用上面的图形分割方法进行因式分解：a2+3ab+2b2=______（直接写出分解结果即可）．
B卷（建议用时：60分钟）
一、单选题
1． (2023·江苏淮安·统考中考真题）计算a2⋅a3的结果是（ ）
A．a2B．a3C．a5D．a6
2． (2023·江苏淮安·统考中考真题）2022年十三届全国人大五次会议审议通过的政府工作报告中提出，今年城镇新增就业目标为11000000人以上．数据11000000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.11×108B．1.1×107C．11×106D．1.1×106
3． (2023·江苏镇江·统考中考真题）如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（ ）
A．a+b<0B．b−a<0C．2a>2bD．a+24． (2023·江苏徐州·统考中考真题）要使得式子x−2有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x>2B．x≥2C．x<2D．x≤2
5． (2023·江苏南通·统考中考真题）已知实数m，n满足m2+n2=2+mn，则(2m−3n)2+(m+2n)(m−2n)的最大值为（ ）
A．24B．443C．163D．−4
6． (2023·江苏泰州·统考中考真题）下列判断正确的是( )
A．0<3<1B．1<3<2
C．2<3<3D．3<3<4
7． (2023·江苏镇江·统考中考真题）如图，小明在3×3的方格纸上写了九个式子（其中的n是正整数），每行的三个式子的和自上而下分别记为A1，A2，A3，每列的三个式子的和自左至右分别记为B1，B2，B3，其中，值可以等于789的是（ ）
A．A1B．B1C．A2D．B3
8． (2023·江苏镇江·统考中考真题）如图，输入数值1921，按所示的程序运算（完成一个方框内的运算后，把结果输入下一个方框继续进行运算），输出的结果为（ ）
A．1840B．1921C．1949D．2021
二、填空题
9． (2023·江苏徐州·统考中考真题）因式分解：x2−1=______．
10． (2023·江苏南通·统考中考真题）分式2x−2有意义，则x应满足的条件是___________．
11． (2023·江苏镇江·统考中考真题）“五月天山雪，无花只有寒”，反映出地形对气温的影响．大致海拔每升高100米，气温约下降0.6°C．有一座海拔为2350米的山，在这座山上海拔为350米的地方测得气温是6°C，则此时山顶的气温约为_________°C．
12． (2023·江苏镇江·统考中考真题）《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的_________倍．
13． (2023·江苏常州·统考中考真题）如图，数轴上的点A、B分别表示实数a、b，则1a______1b．（填“>”、“=”或“<”）
14． (2023·江苏泰州·统考中考真题）已知a=2m2−mn,b=mn−2n2,c=m2−n2(m≠n) 用“＜”表示a、b、c的大小关系为________.
15． (2023·江苏苏州·统考中考真题）已知x+y=4，x−y=6，则x2−y2=______．
16． (2023·江苏宿迁·统考中考真题）满足11≥k的最大整数k是_______．
三、解答题
17． (2023·江苏无锡·统考中考真题）计算：
(1)−12×−32−cs60∘；
(2)aa+2−a+ba−b−bb−3．
18． (2023·江苏淮安·统考中考真题）（1）计算：−5+3−20−2tan45°；
（2）化简：aa2−9÷1+3a−3．
19． (2023·江苏盐城·统考中考真题）先化简，再求值：x+4x−4+x−32，其中x2−3x+1=0．
20． (2023·江苏常州·统考中考真题）第十四届国际数学教育大会（ICME-14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80=2021，表示ICME-14的举办年份．
(1)八进制数3746换算成十进制数是_______；
(2)小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是120，求n的值．
21． (2023·江苏盐城·统考中考真题）如图，点A是数轴上表示实数a的点．
（1）用直尺和圆规在数轴上作出表示实数的2的点P；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）利用数轴比较2和a的大小，并说明理由．
22． (2023·江苏镇江·统考中考真题）【算一算】
如图①，点A、B、C在数轴上，B为AC的中点，点A表示﹣3，点B表示1，则点C表示的数为 ，AC长等于 ；
【找一找】
如图②，点M、N、P、Q中的一点是数轴的原点，点A、B分别表示实数22﹣1、22+1，Q是AB的中点，则点 是这个数轴的原点；
【画一画】
如图③，点A、B分别表示实数c﹣n、c+n，在这个数轴上作出表示实数n的点E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
【用一用】
学校设置了若干个测温通道，学生进校都应测量体温，已知每个测温通道每分钟可检测a个学生．凌老师提出了这样的问题：假设现在校门口有m个学生，每分钟又有b个学生到达校门口．如果开放3个通道，那么用4分钟可使校门口的学生全部进校；如果开放4个通道，那么用2分钟可使校门口的学生全部进校．在这些条件下，a、m、b会有怎样的数量关系呢？
爱思考的小华想到了数轴，如图④，他将4分钟内需要进校的人数m+4b记作+(m+4b)，用点A表示；将2分钟内由4个开放通道检测后进校的人数，即校门口减少的人数8a记作﹣8a，用点B表示．
①用圆规在小华画的数轴上分别画出表示+（m+2b）、﹣12a的点F、G，并写出+(m+2b)的实际意义；
②写出a、m的数量关系： ．
23． (2023秋·江苏盐城·七年级校考期中）已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a+4+b−12=0，A、B之间的距离记作AB，定义：AB=a−b．
(1)求线段AB的长AB=______；
(2)如图，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为−1，动点P表示的数为x．
①若点P在点M、N之间，则x+1+x−4=______；
②若x+1+x−4=8，则x=______；
③若点A，B分别从点M，N同时出发，点A以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点B以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t>0）秒．求t为何值时，点A与B相距3个单位长度？
24． (2023秋·江苏无锡·七年级校考期中）我们把按一定规律排列的一列数，称为数列，若对于一个数列中依次排列的相邻的三个数m、n、p，总满足p=m2−n，则称这个数列为理想数列．
(1)若数列2，−1，a，−4，b，…，是理想数列，则a= ，b= ；
(2)若数列x，3x，4，…，是理想数列，求代数式23x2−2x+3的值．
(3)若数列…，m，n，p，q…，是理想数列，且p−12q=2，求代数式nn2−3m2+4+9m2−n+2022的值．
25． (2023秋·江苏南通·七年级南通田家炳中学校考阶段练习）将n个0或1排列在一起组成了一个数组，记为A=t1,t2,⋯tn，其中，t1,t2,⋅⋅⋅,tn都取0或1，称A是一个n元完美数组（n≥2且n为整数）．例如：0,1，1,1都是2元完美数组，0,0,1,1，1，0,0,1都是4元完美数组，但3,2不是任何完美数组．定义以下两个新运算：新运算1：对于x和y，x∗y=x+y−x−y，
新运算2：对于任意两个n元完美数组M=x1,x2,⋯,xn和N=y1,y2,⋯,yn， M⊗N=12x1∗y1+x2∗y2+⋅⋅⋅+xn∗yn，例如：对于3元完美数组M=1,1,1和N=0,0,1，有M⊗N=120+0+2=1．
(1)在0,0,0，2,0,1，1,1,1,1，1,1,0中是3元完美数组的有：______；
(2)设A=1,0,1,B=1,1,1，则A⊗B=______；
(3)已知完美数组M=1,1,1,0求出所有4元完美数组N，使得M⊗N=2；
(4)现有m个不同的2022元完美数组，m是正整数，且对于其中任意的两个完美数组C，D均有：C⊗D=0；则m的最大可能值是多少？写出答案，并给出此时这些完美数组的一个构造．
菜品
单价（含包装费）
数量
水煮牛肉（小份）
30元
1
醋溜土豆丝（小份）
12元
1
豉汁排骨（小份）
30元
1
手撕包菜（小份）
12元
1
米饭
3元
2
2024年中考数学【热点·重点·难点】（江苏专用）
热点01.数与式
【考纲解读】
1．了解：平（立）方根、算术平方根的概念；无理数、实数的概念；近似数的概念；整式的概念;因式分解的概念;分式的概念;二次根式的概念;单项式的概念;同类项的概念;约分、通分的概念;最简分式的概念;最简二次根式的概念;同类二次根式的概念.
2．理解：有理数的意义；借助数轴理解相反数和绝对值的意义；实数与数轴上的点一一对应；有理数的运算律；分式的意义;整式与分式的区别,因式分解与整式乘法的区别,二次根式的意义,因式分解的方法与步骤;二次根式加、减、乘、除运算法则及混合运算顺序;整(分)式加、减、乘、除运算法则及混合运算顺序.
3．会：比较有理数大小；求有理数的相反数；求有理数的绝对值；用根号表示数的平（立）方根；求平（立）方根；进行实数的简单四则运算；比较分式与二次根式的大小;运用整式、分式、二次根式加、减、乘、除法则及简单的混合运算顺序进行正确运算;选择适合方法进行因式分解;判断出代数式是否是整式、分式、二次根式、最简二次根式;用合并同类项进行整式、分式、二次根式的化简.
4．掌握：有理数的加、减、乘、除、乘方；简单的混合运算；整式、分式、二次根式的加、减、乘、除运算法则及简单的混合运算;因式分解的三种方法.
5．能：灵活处理较大数字的信息；能用有理数估计无理数的大致范围；用合并同类项、约分、通分来化简相关的代数式;选择一种方法会进行因式分解.
【命题形式】
1）.从考查的题型来看，涉及本知识点的题目主要以选择题、填空题的形式考查，少数题目以解答题的形式考查,题型较为简单,属于中低档题.
2）．从考查内容来看，涉及本知识点主要的有实数：有理数的相反数、倒数、绝对值与比较大小,有理数的四则运算法则,平方根(立方根),非负数,无理数及其估算,实数与数轴的关系，科学记数法；整式：幂的运算(同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相除)、合并同类项、整式的加减、整式的乘法法则；分式：分式的意义、分式的加减乘除化简；二次根式：二次根式的混合运算、二次根式的意义与化简；因式分解：因式分解与整式乘法的区别、选用适当的方法进行分解因式、分式的化简中运用因式分解.
3）．从考查热点来看,涉及本知识点中的问题:科学记数法,有理数正负表示,实数的加减乘除乘方法则在实际问题的应用，合并同类项、代数式的化简求值、因式分解、分式的意义将成为中考命题的热点.
【限时检测】
A卷（建议用时：60分钟）
一、单选题
1． (2023·江苏徐州·统考二模）−2022的相反数是（ ）
A．2022B．−12022C．12022D．−2022
【答案】A
【分析】直接利用相反数的定义即只有符号不同的两个数互为相反数得出答案．
【详解】−2022的相反数是2022．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了相反数，解题的关键是正确掌握相反数的定义．
2． (2023·江苏常州·常州市朝阳中学校考二模）中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为44亿人，这个数用科学记数法表示为（ ）
A．44×108B．4.4×109C．4.4×108D．4.4×1010
【答案】B
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤a＜10，n为整数，据此判断即可．
【详解】解：44亿=4.4×109
故选：B．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤a＜10，确定a与n的值是解题的关键．
3． (2023·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考模拟预测）下列各式正确的是 （ ）
A．a6÷a2=a3B．3x−2=13x2
C．13−2=3+2D．a−1a=−−a
【答案】D
【分析】根据同底数幂相除、负整指数幂和二次根式的化简进行运算即可．
【详解】解：A、a6÷a2=a4≠a3，故该选项错误，不符合题意；
B、3x−2=3x2≠13x2，故该选项错误，不符合题意；
C、13−2=3+23−23+2=−3−2≠3+2，故该选项错误，不符合题意；
D、∵a<0，
∴a−1a
=−−a2×−1a
=−−a，故该选项正确，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查了同底数幂相除、负整指数幂和二次根式的化简，正确的计算是解决本题的关键．
4． (2023·江苏淮安·一模）代数式2a23的计算结果是（ ）
A．2a6B．6a5C．8a5D．8a6
【答案】D
【分析】根据积的乘方计算法则解答．
【详解】解：2a23=8a6，
故选：D．
【点睛】此题考查了积的乘方计算法则：积的乘方等于积中每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，熟记计算法则是解题的关键．
5． (2023·江苏扬州·模拟预测）若a＝2，a﹣2b＝3，则2a2﹣4ab的值为（ ）
A．2B．4C．6D．12
【答案】D
【分析】原式提取公因式，把各自的值代入计算即可求出值．
【详解】解：∵a＝2，a﹣2b＝3，
∴原式＝2a（a﹣2b）＝4×3＝12．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了因式分解、代数式求值，通过因式分解进行化简是关键．
6． (2023·江苏泰州·统考二模）若实数a、b满足a+4b−6+a2+4b2=4ab，则a+b的值是（ ）
A．1B．−1C．3D．−3
【答案】C
【分析】利用完全平方公式对条件进行变形，根据非负数的性质求出a，b的值，最后求a+b即可．
【详解】解：由a+4b−6+a2+4b2=4ab得：a+4b−6+（a﹣2b）2＝0，
根据非负数的性质得：a+4b−6=0a−2b=0，
解得：a=2b=1，
∴a+b＝2+1＝3，
故选：C．
【点睛】本题考查了非负数的性质和完全平方公式进行因式分解，根据非负数的性质求出a，b的值是解题的关键．
7． (2023·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考模拟预测）如果把分式x2x+y中x、y的值都变为原来的3倍，则分式的值（ ）
A．变为原来的9倍B．变为原来的3倍C．不变D．变为原来的13
【答案】B
【分析】根据x，y都扩大3倍，即可得出分子扩大9倍，分母扩大3倍，由此即可得出结论．
【详解】解：∵分式x2x+y中的x与y都扩大为原来的3倍，
∴分式x2x+y中的分子扩大为原来的9倍，分母扩大为原来的3倍，
∴分式的值扩大为原来的3倍．
故选B．
【点睛】此题考查分式的性质，解题关键在于掌握其性质进行化简．
8． (2023·江苏盐城·盐城市第四中学（盐城市艺术高级中学、盐城市逸夫中学）校考模拟预测）如图所示的是一个按某种规律排列的数阵，根据规律，自然数2022应该排在从上向下数的第m行，是该行中的从左向右数的第n个数，那么m+n的值是（ ）
A．131B．130C．129D．128
【答案】A
【分析】每行的最后一个数是这个行的行数m的平方，第m行的数字的个数是2m−1，所以2021在第45行，45行最后一个数字是2025，从2025往前数4个数据得到2021，进而得出2021是第85个数据，从而得出答案．
【详解】解：∵每行的最后一个数是这个行的行数m的平方，
第m行的数字的个数是2m−1，
∵442=1936，
所以2021在第45行，
∵452=2025，
∴45行最后一个数字是2025，
第45行有2×45−1=89个数字，从2025往前数3个数据得到2022，从而得出2021是第86个数据，
∴m=45，n=86，
∴m+n=45+86=131．
故选：A．
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化．解题的关键是确定第45行的最后一个数字和第45行的第一个数字．
二、填空题
9． (2023·江苏泰州·统考一模）计算：25=______．
【答案】5
【分析】直接根据算术平方根的定义解答即可．
【详解】解：25=5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查的是算术平方根，熟知如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根是解题的关键．
10． (2023·江苏淮安·统考二模）分解因式x2−16=_____________
【答案】(x+4)(x−4)##x−4x+4
【分析】根据平方差公式进行因式分解即可求解．
【详解】解：x2−16=(x+4)(x−4)，
故答案为：(x+4)(x−4)．
【点睛】本题主要考查平方差公式因式分解，掌握乘法公式是解题的关键．
11． (2023·江苏扬州·校考模拟预测）当x满足______ 时，式子y=3x−1+2−x2x+1有意义．
【答案】−12【分析】直接利用二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件分析得出答案．
【详解】解：由题意可得：2−x⩾02x+1>0，
解得：−12故答案为：−12【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，解题的关键是正确掌握相关定义．
12． (2023·江苏盐城·校考二模）如果单项式3xmy与−5x3yn是同类项，那么m+n=____________．
【答案】4
【分析】根据同类项的定义，即可求解．
【详解】解：∵单项式3xmy与−5x3yn是同类项，
∴m=3,n=1，
∴m+n=3+1=4．
故答案为：4
【点睛】本题主要考查了同类项的定义，熟练掌握所含字母相同，并且相同字母的指数相同的单项式是同类项是解题的关键．
13． (2023·江苏宿迁·统考三模）若a=a2+12，则2019−2a2+4a的值等于_______．
【答案】2021
【分析】根据a=a2+12，可得a2−2a=−1，再把a2−2a的值代入所求代数式计算即可．
【详解】∵a=a2+12，
∴2a=a2+1，
∴a2−2a=−1，
∴2019−2a2+4a=2019−2a2−2a=2019+2=2021．
故答案为：2021．
【点睛】本题考查了代数式求值，整体的思想，找出已知和所求中的整体是解本题的关键．
14． (2023·江苏南京·南师附中树人学校校考二模）计算23÷3+13的结果是____．
【答案】12##0.5
【分析】根据二次根式混合运算法则进行计算即可．
【详解】解：23÷3+13
=233÷3+33
=233÷433
=233×343
=12
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则．
15． (2023·江苏苏州·苏州市振华中学校校考模拟预测）若a=3+22、b=3−22，则a2−b2= ______ ．
【答案】242
【分析】根据平方差公式进行计算即可求解．
【详解】解：∵a=3+22、b=3−22，
∴a+b=6,a−b=42，
∴a2−b2= a+ba−b=6×42=242，
故答案为：242．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
16． (2023·江苏宿迁·模拟预测）将数1个1，2个12，3个13，…，n个1n（n为正整数）顺次排成一列：1，12,12,13,13,13,,1n，…，记a1=1，a2=12，a3=12…，S1=a1，S2=a1+a2，S3=a1+a2+a3，…，Sn=a1+a2+…an，则S2022=______．
【答案】63664或63332
【分析】根据1+2+3+…+n=nn+12，得63×642+6=2022，可知出前2022个数里面包含：1个1，2个12，3个13，…，63个163，6个164，进而可得出S2022的值．
【详解】∵1+2+3+…+n=nn+12，63×642+6=2022，
∴前2022个数里面包含：1个1，2个12，3个13，…，63个163，6个164，
∴S2022=1×1+2×12+3×13+…+63×163+6×164
=1+1+1+1+……+332
=63664．
故答案为：63664．
【点睛】本题考查整式的知识，解题的关键是根据数字的变化，找出规律，进行求解．
17． (2023·江苏盐城·校考三模）小余同学计划在某外卖网站点如下表所示的菜品，已知每份订单的配送费为4元，商家为了促销，对每份订单的总价（不含配送费）提供满减优惠：满30元减12元，满60元减30元，满100元减45元，如果小余在购买下表中所有菜品时，采取适当的下单方式，那么他点餐总费用最低可为____________元．
【答案】56
【分析】根据满30元减12元，满60元减30元，满100元减45元，即可得到结论．
【详解】解：小宇应采取的订单方式是60一份，30一份，所以点餐总费用最低可为60−30+4+30−12+4=56元，
答：他点餐总费用最低可为56元．
故答案为：56．
【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，正确的理解题意是解题的关键．
18． (2023秋·江苏南京·七年级校联考阶段练习）有一数值转换器，原理如图所示，如果开始输入x的值是34，则第一次输出的结果是17，第二次输出的结果是50，……，那么第2022次输出的结果是______．
【答案】110
【分析】根据图形求出前几次的结果，总结出每次输出的结果的规律，求出2022次输出的结果是多少即可．
【详解】解：第一次输出的结果是：12×34=17，
第二次输出的结果是：3×17−1=50，
第三次输出的结果是：12×50=25，
第四次输出的结果是：3×25−1=74，
第五次输出的结果是：12×74=37，
第六次输出的结果是：3×37−1=110，
第七次输出的结果是：12×110=55，
第八次输出的结果是：3×55−1=164，
第九次输出的结果是：12×164=82，
第十次输出的结果是：12×82=41，
第十一次输出的结果是：3×41−1=122，
第十二次输出的结果是：12×122=61，
第十三次输出的结果是：3×61−1=182，
第十四次输出的结果是：12×182=91，
第十五次输出的结果是：3×91−1=272，
第十六次输出的结果是：12×272=136，
第十七次输出的结果是：12×136=68，
第十八次输出的结果是：12×68=34，
…，
∴从第十九次开始，输出的结果每18次一个循环出现，
∵2022÷18=112⋯6，
∴第2022次输出的结果是110．
故答案为：110．
【点睛】此题主要考查了代数式求值问题，数字的变化规律，解答的关键是通过计算找到数字的变化规律．
三、解答题
19． (2023秋·江苏盐城·七年级校联考阶段练习）计算
(1)−14−25+110÷−120；
(2)−12017−−16×2×−12−−33
【答案】(1)11
(2)236
【分析】（1）先变除法为乘法，然后根据乘法分配律进行计算即可；
（2）按照含乘方的有理数混合运算法则计算即可．
【详解】（1）解：−14−25+110÷−120
=−14−25+110×−20
=−14×−20−25×−20+110×−20
=5+8−2
=11；
（2）解：−12017−−16×2×−12−−33
=−1−−16×2×1−−27
=−1−−16×2+27
=−1−−16×29
=−1+296
=236．
【点睛】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
20． (2023春·江苏常州·七年级校考期中）计算题：
(1)−30+13−2+−23．
(2)−3a32⋅a3+−4a2⋅a7+−5a33
(3)x+1x−2−x−22
(4)a+2b−3ca−2b+3c．
【答案】(1)2
(2)−100a9
(3)3x−6
(4)a2−4b2+12bc−9c2
【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂和乘方运算法则进行计算即可；
（2）根据幂的乘方、积的乘方和同底数幂的乘法运算法则进行化简计算即可；
（3）根据完全平方公式和多项式乘多项式运算法则进行计算即可；
（4）根据平方差公式和完全平方公式进行运算即可．
【详解】（1）解：−30+13−2+−23
=1+1132+−8
=1+119−8
=1+9−8
=2；
（2）解：−3a32⋅a3+−4a2⋅a7+−5a33
=9a6⋅a3+16a2⋅a7+−125a9
=9a9+16a9−125a9
=−100a9；
（3）解：x+1x−2−x−22
=x2−x−2−x2−4x+4
=x2−x−2−x2+4x−4
=3x−6；
（4）解：a+2b−3ca−2b+3c
=a+2b−3ca−2b−3c
=a2−2b−3c2
=a2−4b2−12bc+9c2
=a2−4b2+12bc−9c2．
【点睛】本题主要考查了整式混合运算，解题的关键是熟练掌握零指数幂、负整数指数幂和乘方运算法则，平方差公式和完全平方公式，多项式乘多项式和单项式乘多项式运算法则．
21． (2023秋·江苏宿迁·八年级校考阶段练习）（1）计算：9+(12)−1−20220−|−3|；
（2）求式中x的值：(x−1)3=−8．
【答案】（1）1；（2）x=−1
【分析】（1）根据实数的运算法则，先算乘方，绝对值，开二次根式，再计算加减，由此即可求解；
（2）根据开三次方根的方法，即可求解．
【详解】解：（1）9+(12)−1−20220−|−3|
=3+2−1−3
=1；
（2）(x−1)3=−8
等式两边同时开三次方根得，x−1=−2，
移项得，x=−1．
【点睛】本题主要考查实数的混合运算，掌握非零数的零次幂，负指数幂，求一个数的二次方根，求一个数的三次方根是解题的关键．
22． (2023春·江苏南京·八年级校考期中）计算：
(1)−3xy÷3y22x⋅yx．
(2)先化简：a+2+3a−2÷a+12a−4，再从−1≤a≤2的整数中选取一个你喜欢的a的值代入求值．
【答案】(1)−2x
(2)2a−2，当a=0时，原式=−2；当a=1时，原式=0
【分析】（1）除法变乘法，再进行运算即可；
（2）先去括号，再算除法，化简后，代值计算即可．
【详解】（1）解：原式=−3xy×2x3y2⋅yx
=−2x；
（2）原式=a2−4a−2+3a−2×2a−4a+1，
=a2−1a−2×2a−2a+1
=a−1a+1a−2×2a−2a+1
=2a−2；
∵a−2≠0,a+1≠0，
∴a≠2,a≠−1，
∵−1≤a≤2，
∴当a=0时，原式=−2；当a=1时，原式=2a−2=2×1−2=0．
【点睛】本题考查分式的运算，以及化简求值．熟练掌握分式运算的法则，正确的进行计算，是解题的关键．注意，代值时，分式的分母不能为0．
23． (2023秋·江苏泰州·七年级校考期末）已知M=5x2−2x−1，N=3x2−2x−5．
(1)当x=−1时，求代数式3M−(2M+3N)的值；
(2)试判断M、N的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)6
(2)M>N，理由见解析；
【分析】（1）先将代数式去括号化简，然后再将M和N代入，去括号，合并同类项进行化简，最后代入求值；
（2）利用作差法并结合偶次幂的非负性进行分析判断．
【详解】（1）解：3M−2M+3N=3M−2M−3N=M−3N，
∵M=5x2−2x−1，N=3x2−2x−5，
∴原式=5x2−2x−1−33x2−2x−5
=5x2−2x−1−9x2+6x+15
=−4x2+4x+14，
当x=−1时，原式=−4×−12+4×−1+14=−4−4+14=6；
（2）解：M>N，
理由：M−N=5x2−2x−1−3x2−2x−5
=5x2−2x−1−3x2+2x+5
=2x2+4，
∵无论x为何值，2x2≥0，
∴2x2+4≥4，
∴M>N．
【点睛】本题考查整式的加减—化简求值，掌握合并同类项（系数相加，字母及其指数不变）和去括号（括号前面是“＋”号，去掉“＋”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“−”号，去掉“−”号和括号，括号里的各项都变号）的法则是解题关键．
24． (2023秋·江苏扬州·七年级校考期中）某服装厂生产一种夹克和T恤，夹克每件定价100元，T恤每件定价50元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：①买一件夹克送一件T恤：②夹克和T恤都按定价的80%付款．现某客户要到该服装厂购买夹克30件，T恤x件（x>30）．
(1)若该客户按方案①购买，夹克需付___________元，T恤需付___________元，共需付款___________元（用含x的式子表示）；若该客户按方案②购买需付款___________元（用含x的式子表示）；
(2)若x=40时，请你选出上述两种方案中更为省钱的购买方案，并说明理由．
(3)若两种优惠方案可同时使用，当x=40时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并说明理由．
【答案】(1)3000，50x−1500，50x+1500，2400+40x
(2)方案①，理由见解析
(3)按方案①购买夹克30件，再按方案②购买10件T恤更为省钱．
【分析】（1）根据题意，列算式计算或列出代数式即可；
（2）把x=40代入（1）中的结论，即可求出答案，然后进行比较即可；
（3）先按照①方案购买30件夹克，然后按照②方案购买10件T恤，进行计算比较即可.
【详解】（1）∵夹克需付100×30=3000元，T恤需付50(x−30)=(50x−1500)元，
∴共需付款3000+(50x−1500)=(50x+1500)元；
若该客户按方案②购买需付款30×100+50x×80%=2400+40x元．
故答案为：3000，50x−1500，50x+1500，2400+40x；
（2）当x=40时，按方案①购买则需要50×40+1500=3500元；
按方案②购买则需要2400+40×40=4000元．
∴更为省钱的购买方案为方案①；
（3）按方案①购买夹克30件，则赠送30件T恤，再按方案②购买10件T恤，
则总费用为30×100+10×50×80%=3400元．
∵3400<3500，
∴按方案①购买夹克30件，再按方案②购买10件T恤更为省钱．
【点睛】本题考查列代数式，代数式求值，涉及整式运算，方案选择等知识．利用代数式表示文字题中的数量之间的关系是解题关键．
25． (2023春·江苏常州·八年级校考期中）阅读下列材料并回答问题：
把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫“单位分数”，单位分数又叫埃及分数，在很早以前，埃及人就研究如何把一个单位分数表示成若干个单位分数的和．
把一个真分数表示成两个（或几个）分数单位的和叫分数的拆分：
如：56=12+13，815=13+15，1128=14+17，…，
(1)把1130写成两个单位分数之和______________．
(2)研究真分数11a（a是正整数），由上知，对于某些a的值，它可以写成两个单位分数之和，你还能找到多少个是能使真分数11a可以写成两个单位分数的和？请将部分的a的值写出：___________．
(3)学习了上述知识，小壮想继续研究是否所有的单位分数可以折分为两个单位分数的和？
小壮在研究单位分数12：12=13+16，12=14+14；
小壮在研究单位分数16：16=17+142，16=18+224，16=19+118，16=110+115，16=112+112
小壮在拆分单位分数的过程中发现，单位分数1a（a是正整数），可拆分两个分母比a大的单位分数，分别设为1a+m，1a+n，即1a=1a+m+1a+n其中m，n正整数，并且小壮发现了m，n与a的关系（即用m，n表示a），并进行了严格证明．请问小壮发现的m，n与a的关系（即用m，n表示a），请你尝试证明此关系．
【答案】(1)15+16
(2)无数个，18,20,24,28,30⋯（答案不唯一）
(3)a=mn，证明见解析
【分析】（1）根据两个单位分数分母的和为真分数的分母、分母的积为真分数的分母，即可求解；
（2）根据题中阅读材料，得到规律即可求解；
（3）解含有字母系数的分式方程，用含m和n的式子表示a，即可证明．
【详解】（1）解：根据题意，1130=15+16，
故答案为：15+16；
（2）解：还能找到无数个a能使真分数11a可以写成两个单位分数的和．
令11a=1m+1n=m+nmn，则m+n=11kmn=ak，
∴ak=n11k−n，即a=n11−nk
∵a>11，
当k=1时，a=n11−n>11，
∴n可取2,3,4,5,6,7,8,9，
∵m+n=11，
∴ n=2m=9，n=3m=8，n=4m=7，n=5m=6，n=6m=5，n=7m=4，n=8m=3，n=9m=2，
∵a=mn，
∴a=18,24,28,30共计4个，即12+19=1118,13+18=1124,14+17=1128,15+16=1130；
当k=2时，a=n11−n2>11，
∴n可取2,4,6,8,10,12,14,16,18,20，
∵m+n=22，
∴ n=2m=20，n=4m=18，n=6m=16，n=8m=14，n=10m=12，n=12m=10，n=14m=8，n=16m=6，n=18m=4，n=20m=2，
∵a=mn2，
∴a=20,36,48,56,60共计5个，即12+120=1120,14+118=1136,16+116=1148,18+114=1156,110+112=1160；
当k=3时，a=n11−n3>11，
∴n可取3,6,9,12,15,18,21,24,27,30，
∵m+n=33，
∴ n=3m=30，n=6m=27，n=9m=24，n=12m=21，n=15m=18，n=18m=15，n=21m=12，n=24m=9，n=27m=6，n=30m=3，
∵a=mn3，
∴a=30,54,72,84,90共5个，即13+130=1130,16+127=1154,19+124=1172,112+121=1184,115+118=1190；
⋯
以此类推，有无数个这样的正整数a，
故答案为：18,20,24,28,30⋯（答案不唯一）；
（3）证明：∵1a=1a+m+1a+n，
∴1a=2a+m+na+ma+n，即2a2+am+n=a+ma+n，
∴2a2+am+n=a2+am+n+mn，
∴a2=mn，即a=±mn，
∵a是正整数，
∴a=mn，
答：小壮发现的m，n与a的关系是a=mn．
【点睛】本题考查分数的加减运算、解含有字母系数的分式方程，解决本题的关键是读懂阅读材料并准确寻找规律．
26． (2023春·江苏泰州·七年级校考期中）如图，将一个边长为a+b的正方形ABCD分割成四部分（边长分别为a，b的正方形、边长为a和b长方形），请认真观察图形，解答下列问题：
(1)请用两种方法表示该正方形的面积（用含a、b的代数式表示）①______，②______；由此可以得到一个等量关系是______．
(2)若图中a、b满足a2+b2=20，ab=2.5，求a+b的值．
(3)若5+3m2+2−3m2=40，求5+3m2−3m的值．
(4)请利用上面的图形分割方法进行因式分解：a2+3ab+2b2=______（直接写出分解结果即可）．
【答案】(1)a+b2，a2+2ab+b2，a+b2= a2+2ab+b2
(2)5
(3)4.5
(4)a+2ba+b
【分析】（1）该正方形的面积等于边长的平方，或两个长方形及两个小正方形的面积之和；
（2）根据a+b2= a2+2ab+b2，先求出a+b2，即可求出a+b的值；
（3）根据5+3m+2−3m2=5+3m2+2−3m2+25+3m2−3m即可求解；
（4）利用图形分割的方法画出图形，即可求解．
【详解】（1）解：该正方形的面积可以表示为a+b2，也可以表示为a2+2ab+b2，
故答案为：a+b2，a2+2ab+b2，a+b2= a2+2ab+b2；
（2）解：∵ a2+b2=20，ab=2.5，
∴ a+b2= a2+2ab+b2=20+2×2.5=25，
∴ a+b=5或a+b=−5（舍去），
即a+b的值为5；
（3）解：5+3m+2−3m2=5+3m2+2−3m2+25+3m2−3m，
即72=5+3m2+2−3m2+25+3m2−3m，
∵ 5+3m2+2−3m2=40，
∴ 72=40+25+3m2−3m，
∴ 5+3m2−3m=12×72−40=4.5；
（4）解：如图所示，
a2+3ab+2b2=a+2ba+b，
故答案为：a+2ba+b．
【点睛】本题考查多项式乘多项式和因式分解的应用，熟练运用完全平方公式，并且能够通过图形分割的方法进行因式分解是解题的关键．
B卷（建议用时：60分钟）
一、单选题
1． (2023·江苏淮安·统考中考真题）计算a2⋅a3的结果是（ ）
A．a2B．a3C．a5D．a6
【答案】C
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即am⋅an=am+n解答．
【详解】解：a2⋅a3=a2+3=a5．
故选：C
【点睛】此题考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2． (2023·江苏淮安·统考中考真题）2022年十三届全国人大五次会议审议通过的政府工作报告中提出，今年城镇新增就业目标为11000000人以上．数据11000000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.11×108B．1.1×107C．11×106D．1.1×106
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【详解】解：数据11000000用科学记数法表示应为1.1×107．
故选：B.
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a<10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
3． (2023·江苏镇江·统考中考真题）如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（ ）
A．a+b<0B．b−a<0C．2a>2bD．a+2【答案】D
【分析】依据点在数轴上的位置，不等式的性质，绝对值的意义，有理数大小的比较法则对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【详解】解：由题意得：a＜0＜b，且a＜b，
∴a+b>0，∴A选项的结论不成立；
b−a>0，∴B选项的结论不成立；
2a<2b，∴C选项的结论不成立；
a+2故选：D．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，有理数大小的比较法则，利用点在数轴上的位置确定出a，b的取值范围是解题的关键．
4． (2023·江苏徐州·统考中考真题）要使得式子x−2有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x>2B．x≥2C．x<2D．x≤2
【答案】B
【分析】根据二次根式有意义，被开方数大于等于0，列不等式求解．
【详解】解：根据题意，得
x−2≥0，
解得x≥2．
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件的知识点，代数式的意义一般从三个方面考虑：1当代数式是整式时，字母可取全体实数；2当代数式是分式时，分式的分母不能为0；3当代数式是二次根式时，被开方数为非负数．
5． (2023·江苏南通·统考中考真题）已知实数m，n满足m2+n2=2+mn，则(2m−3n)2+(m+2n)(m−2n)的最大值为（ ）
A．24B．443C．163D．−4
【答案】B
【分析】先将所求式子化简为10−7mn，然后根据m+n2=m2+n2+2mn≥0及m2+n2=2+mn求出mn≥−23，进而可得答案．
【详解】解：(2m−3n)2+(m+2n)(m−2n)
=4m2−12mn+9n2+m2−4n2
=5m2−12mn+5n2
=52+mn−12mn
=10−7mn；
∵m+n2=m2+n2+2mn≥0，m2+n2=2+mn，
∴2+mn+2mn≥0，
∴3mn≥−2，
∴mn≥−23，
∴10−7mn≤443，
∴(2m−3n)2+(m+2n)(m−2n)的最大值为443，
故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式的应用，不等式的性质，正确对所求式子化简并求出mn的取值范围是解题的关键．
6． (2023·江苏泰州·统考中考真题）下列判断正确的是( )
A．0<3<1B．1<3<2
C．2<3<3D．3<3<4
【答案】B
【分析】根据1<3<4=2即可求解．
【详解】解：由题意可知：1<3<4=2，
故选：B．
【点睛】本题考查了无理数的估值，属于基础题．
7． (2023·江苏镇江·统考中考真题）如图，小明在3×3的方格纸上写了九个式子（其中的n是正整数），每行的三个式子的和自上而下分别记为A1，A2，A3，每列的三个式子的和自左至右分别记为B1，B2，B3，其中，值可以等于789的是（ ）
A．A1B．B1C．A2D．B3
【答案】B
【分析】把A1，A2，B1，B3的式子表示出来，再结合值等于789，可求相应的n的值，即可判断．
【详解】解：由题意得：A1＝2n+1+2n+3+2n+5＝789，
整理得：2n＝260，
则n不是整数，故A1的值不可以等于789；
A2＝2n+7+2n+9+2n+11＝789，
整理得：2n＝254，
则n不是整数，故A2的值不可以等于789；
B1＝2n+1+2n+7+2n+13＝789，
整理得：2n＝256＝28，
则n是整数，故B1的值可以等于789；
B3＝2n+5+2n+11+2n+17＝789，
整理得：2n＝252，
则n不是整数，故B3的值不可以等于789；
故选：B．
【点睛】本题主要考查规律型：数字变化类，解答的关键是理解清楚题意，得出相应的式子．
8． (2023·江苏镇江·统考中考真题）如图，输入数值1921，按所示的程序运算（完成一个方框内的运算后，把结果输入下一个方框继续进行运算），输出的结果为（ ）
A．1840B．1921C．1949D．2021
【答案】D
【分析】把1921代入程序中计算，判断即可得到结果．
【详解】解：把1921代入得：（1921﹣1840+50）×（﹣1）＝﹣131＜1000，
把﹣131代入得：（﹣131﹣1840+50）×（﹣1）＝1921＞1000，
则输出结果为1921+100＝2021．
故选：D．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清程序中的运算过程是解本题的关键．
第II卷（非选择题）
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二、填空题
9． (2023·江苏徐州·统考中考真题）因式分解：x2−1=______．
【答案】(x+1)(x−1)##（x-1）（x+1）
【分析】平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b), 直接利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：x2−1=(x+1)(x−1),
故答案为：(x+1)(x−1)
【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握“平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b)”是解本题的关键．
10． (2023·江苏南通·统考中考真题）分式2x−2有意义，则x应满足的条件是___________．
【答案】x≠2
【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0得出不等式，求解即可．
【详解】解：分式2x−2有意义，即x−2≠0，
∴x≠2，
故答案为：x≠2．
【点睛】本题考查分式有意义的条件，牢记分式有意义的条件是分式的分母不为0．
11． (2023·江苏镇江·统考中考真题）“五月天山雪，无花只有寒”，反映出地形对气温的影响．大致海拔每升高100米，气温约下降0.6°C．有一座海拔为2350米的山，在这座山上海拔为350米的地方测得气温是6°C，则此时山顶的气温约为_________°C．
【答案】－6或零下6
【分析】根据题意“海拔每升高100米，气温约下降0.6°C”，列出式子即可求解．
【详解】解：山顶的气温约为6−2350−350÷100×0.6=−6
故答案为：－6或零下6．
【点睛】本题考查了有理数混合运算（不带乘方）的应用，正负数的意义，理解题意是解题的关键．
12． (2023·江苏镇江·统考中考真题）《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的_________倍．
【答案】1.2
【分析】设被称物的重量为a，砝码的重量为1，根据图中可图列出方程即可求解．
【详解】解：设被称物的重量为a，砝码的重量为1，依题意得，
2.5a=3×1，
解得a=1.2，
故答案为：1.2．
【点睛】本题考查了比例的性质，掌握杠杆的原理是解题的关键．
13． (2023·江苏常州·统考中考真题）如图，数轴上的点A、B分别表示实数a、b，则1a______1b．（填“>”、“=”或“<”）
【答案】>
【分析】由图可得：1【详解】解：由图可得：1由不等式的性质得：1a>1b，
故答案为：>．
【点睛】本题考查了数轴，不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质．
14． (2023·江苏泰州·统考中考真题）已知a=2m2−mn,b=mn−2n2,c=m2−n2(m≠n) 用“＜”表示a、b、c的大小关系为________.
【答案】b【分析】利用作差法及配方法配成完全平方式再与0比较大小即可求解．
【详解】解：由题意可知：a−b=(2m2−mn)−(mn−2n2)=(m2+n2−2mn)+m2+n2=(m−n)2+m2+n2，
∵m≠n，
∴(m−n)2+m2+n2>0，
∴ba−c=(2m2−mn)−(m2−n2)=m2−mn+n2=(m−n2)2+34n2，当且仅当m−n2=0且n=0时取等号，此时m=n=0与题意m≠n矛盾，
∴(m−n2)2+34n2>0
∴cc−b=(m2−n2)−(mn−2n2)=m2−mn+n2=(m−n2)2+34n2，同理b故答案为：b【点睛】本题考查了两代数式通过作差比较大小，将作差后的结果配成完全平方式，利用完全平方式总是大于等于0的即可与0比较大小．
15． (2023·江苏苏州·统考中考真题）已知x+y=4，x−y=6，则x2−y2=______．
【答案】24
【分析】根据平方差公式计算即可．
【详解】解：∵x+y=4，x−y=6，
∴x2−y2=(x+y)(x−y)=4×6=24，
故答案为：24．
【点睛】本题考查因式分解的应用，先根据平方差公式进行因式分解再整体代入求值是解题的关键．
16． (2023·江苏宿迁·统考中考真题）满足11≥k的最大整数k是_______．
【答案】3
【分析】先判断3<11<4,从而可得答案．
【详解】解：∵9<11<16,
∴3<11<4,
∴ 满足11≥k的最大整数k是3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查的是无理数的估算，掌握“无理数的估算方法”是解本题的关键．
三、解答题
17． (2023·江苏无锡·统考中考真题）计算：
(1)−12×−32−cs60∘；
(2)aa+2−a+ba−b−bb−3．
【答案】(1)1
(2)2a+3b
【分析】（1）先化简绝对值和计算乘方，并把特殊角的三角函数值代入，再计算乘法，最后算加减即可求解；
（2）先运用单项式乘以多项式法则和平方差公式计算，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：原式=12×3−12
=32−12
=1；
（2）解：原式=a2+2a-a2+b2-b2+3b
=2a+3b．
【点睛】本题考查实数混合运算，整式混合运算，熟练掌握实数运算法则和单项式乘以多项式法则，熟记特殊角的三角函数值、平方差公式是解题的关键．
18． (2023·江苏淮安·统考中考真题）（1）计算：−5+3−20−2tan45°；
（2）化简：aa2−9÷1+3a−3．
【答案】（1）4；（2）1a+3
【分析】（1）根据绝对值，零指数幂和特殊角三角形函数值的计算法则求解即可；
（2）根据分式的混合计算法则求解即可．
【详解】解：（1）原式=5+1−2×1
=5+1−2
=4；
（2）原式=aa+3a−3÷aa−3
=aa+3a−3⋅a−3a
=1a+3．
【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，特殊角三角函数值，零指数幂，绝对值等等，熟知相关计算法则是解题的关键．
19． (2023·江苏盐城·统考中考真题）先化简，再求值：x+4x−4+x−32，其中x2−3x+1=0．
【答案】2x2−6x−7，-9
【分析】根据平方差公式和完全平方公式可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：原式=x2−16+x2−6x+9
=2x2−6x−7．
∵x2−3x+1=0，
∴x2−3x=−1，
原式=2x2−3x−7=2×−1−7=−9
【点睛】本题考查整式的混合运算-化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．
20． (2023·江苏常州·统考中考真题）第十四届国际数学教育大会（ICME-14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80=2021，表示ICME-14的举办年份．
(1)八进制数3746换算成十进制数是_______；
(2)小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是120，求n的值．
【答案】(1)2022
(2)9
【分析】（1）根据八进制换算成十进制的方法即可作答；
（2）根据n进制换算成十进制的方法可列出关于n的一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】（1）3×83+7×82+4×81+6×80=2022，
故答案为：2022；
（2）根据题意有：1×n3−1+4×n3−2+3×n3−3=120，
整理得：n2+4n+4=121，
解得n=9，（负值舍去），
故n的值为9．
【点睛】本题考查了有理数的运算以及一元二次方程的应用等知识，根据题意列出关于n的一元二次方程是解答本题的关键．
21． (2023·江苏盐城·统考中考真题）如图，点A是数轴上表示实数a的点．
（1）用直尺和圆规在数轴上作出表示实数的2的点P；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）利用数轴比较2和a的大小，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）a>2，见解析
【分析】（1）利用勾股定理构造直角三角形得出斜边为2，再利用圆规画圆弧即可得到点P．
（2）在数轴上比较，越靠右边的数越大．
【详解】解：（1）如图所示，点P即为所求．
（2）如图所示，点A在点P的右侧，所以a>2
【点睛】本题考查无理数与数轴上一一对应的关系、勾股定理、尺规作图法、熟练掌握无理数在数轴上的表示是关键．
22． (2023·江苏镇江·统考中考真题）【算一算】
如图①，点A、B、C在数轴上，B为AC的中点，点A表示﹣3，点B表示1，则点C表示的数为 ，AC长等于 ；
【找一找】
如图②，点M、N、P、Q中的一点是数轴的原点，点A、B分别表示实数22﹣1、22+1，Q是AB的中点，则点 是这个数轴的原点；
【画一画】
如图③，点A、B分别表示实数c﹣n、c+n，在这个数轴上作出表示实数n的点E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
【用一用】
学校设置了若干个测温通道，学生进校都应测量体温，已知每个测温通道每分钟可检测a个学生．凌老师提出了这样的问题：假设现在校门口有m个学生，每分钟又有b个学生到达校门口．如果开放3个通道，那么用4分钟可使校门口的学生全部进校；如果开放4个通道，那么用2分钟可使校门口的学生全部进校．在这些条件下，a、m、b会有怎样的数量关系呢？
爱思考的小华想到了数轴，如图④，他将4分钟内需要进校的人数m+4b记作+(m+4b)，用点A表示；将2分钟内由4个开放通道检测后进校的人数，即校门口减少的人数8a记作﹣8a，用点B表示．
①用圆规在小华画的数轴上分别画出表示+（m+2b）、﹣12a的点F、G，并写出+(m+2b)的实际意义；
②写出a、m的数量关系： ．
【答案】（1）5，8；（2）N；（3）图见解析；（4）①+(m+2b)的实际意义：2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数，图见解析；②m＝4a．
【分析】（1）根据数轴上点A对应﹣3，点B对应1，求得AB的长，进而根据AB＝BC可求得AC的长以及点C表示的数；
（2）可设原点为O，根据条件可求得AB中点表示的数以及线段AB的长度，根据AB＝2，可得AQ＝BQ＝1，结合OQ的长度即可确定N为数轴的原点；
（3）设AB的中点为M，先求得AB的长度，得到AM＝BM＝n，根据线段垂直平分线的作法作图即可；
（4）①根据每分钟进校人数为b，每个通道每分钟进入人数为a，列方程组m+4b=12am+2b=8a，根据m+2b＝OF，m+4b＝12a，即可画出F，G点，其中m+2b表示两分钟后，校门口需要进入学校的学生人数；
②解①中的方程组，即可得到m＝4a．
【详解】解：（1）【算一算】：记原点为O，
∵AB＝1﹣（﹣3）＝4，
∴AB＝BC＝4，
∴OC＝OB+BC＝5，AC＝2AB＝8．
所以点C表示的数为5，AC长等于8．
故答案为：5，8；
（2）【找一找】：记原点为O，
∵AB＝22+1﹣（22﹣1）＝2，
∴AQ＝BQ＝1，
∴OQ＝OB﹣BQ＝22+1﹣1＝22，
∴N为原点．
故答案为：N．
（3）【画一画】：记原点为O，
由AB＝c+n﹣（c﹣n）＝2n，
作AB的中点M，
得AM＝BM＝n，
以点O为圆心，
AM＝n长为半径作弧交数轴的正半轴于点E，
则点E即为所求；
（4）【用一用】：在数轴上画出点F，G；2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数为：m＝4a．
∵4分钟内开放3个通道可使学生全部进校，
∴m+4b＝3×a×4，即m+4b＝12a（Ⅰ）；
∵2分钟内开放4个通道可使学生全部进校，
∴m+2b＝4×a×2，即m+2b＝8a（Ⅱ）；
①以O为圆心，OB长为半径作弧交数轴的正半轴于点F，则点F即为所求．
作OB的中点E，则OE＝BE＝4a，在数轴负半轴上用圆规截取OG＝3OE＝12a，
则点G即为所求．
+（m+2b）的实际意义：2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数；
②方程（Ⅱ）×2﹣方程（Ⅰ）得：m＝4a．
故答案为：m＝4a．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，实数与数轴，作图．解决本题的关键是根据题意找到等量关系．
23． (2023秋·江苏盐城·七年级校考期中）已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a+4+b−12=0，A、B之间的距离记作AB，定义：AB=a−b．
(1)求线段AB的长AB=______；
(2)如图，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为−1，动点P表示的数为x．
①若点P在点M、N之间，则x+1+x−4=______；
②若x+1+x−4=8，则x=______；
③若点A，B分别从点M，N同时出发，点A以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点B以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t>0）秒．求t为何值时，点A与B相距3个单位长度？
【答案】(1)5
(2)①5；②−52或112；③t=23或t=83
【分析】（1）利用非负数的性质求出a，b，再根据两点的距离公式计算；
（2）①由点P在点M、N之间，去绝对值计算即可；②分三种情况去绝对值解方程即可；③分类列出方程可解得答案．
【详解】（1）解：∵a+4+b−12=0，
∴a+4=0，b−1=0，
∴a=−4，b=1，
∴AB=−4−1=5；
（2）①∵点P在点M、N之间，
∴|x+1|+|x−4|=x+1−x+4=5；
②当x<−1时，−x−1−x+4=8，
解得x=−52，
当−1≤x≤4时，x+1−x+4=8，无解，
当x>4时，x+1+x−4=8，
解得x=112，
综上所述，x为−52或112；
③−1+2t−4−t=3，即3t−5=3，
解得：t=83或t=23，
综上：t=23或83秒，点A与B相距3个单位长度．
【点睛】本题考查了数轴上两点的距离，绝对值的意义，动点问题，一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，分类列出方程．
24． (2023秋·江苏无锡·七年级校考期中）我们把按一定规律排列的一列数，称为数列，若对于一个数列中依次排列的相邻的三个数m、n、p，总满足p=m2−n，则称这个数列为理想数列．
(1)若数列2，−1，a，−4，b，…，是理想数列，则a= ，b= ；
(2)若数列x，3x，4，…，是理想数列，求代数式23x2−2x+3的值．
(3)若数列…，m，n，p，q…，是理想数列，且p−12q=2，求代数式nn2−3m2+4+9m2−n+2022的值．
【答案】(1)5，29；
(2)173；
(3)2034．
【分析】（1）根据理想数列的定义代入计算即可；
（2）根据理想数列的定义代入计算，求出x2−3x，再整体代入整式计算即可；
（3）m，n，p，q，是理想数列，所以q=n2−p，p=m2−n，求出q=n2−m2+n，
结合p−12q=2得3m2−n2−3n=4，结合问题变形为n2−3m2+4=−3n或n2−3m2−3n=−4，代入计算即可．
【详解】（1）解：∵p=m2−n，
∴a=22−−1=5，
b=52−−4=29，
故答案为：5，29；
（2）由题意可知：
4=x2−3x，
即x2−3x=4，
23x2−2x+3
=23x2−3x+3
=23×4+3
=173；
（3）m，n，p，q，…，是理想数列，
∴q=n2−p，
∵p=m2−n，
∴q=n2−m2−n=n2−m2+n，
∵p−12q=2，
∴m2−n−12n2−m2+n=2，
∴2m2−2n−n2+m2−n=4，
∴3m2−n2−3n=4，
即n2−3m2+4=−3n或n2−3m2+3n=−4，
∴nn2−3m2+4+9m2−n+2022
=n−3n+9m2−n+2022
=−3n2+9m2−9n+2022
=−3n2−3m2+3n+2022
=−3×−4+2022
=12+2022
=2034．
【点睛】本题考查了新定义下的有理数的运算和整式的化简求值；正确理解新定义、根据所求整式整体代入求值是解题的关键．
25． (2023秋·江苏南通·七年级南通田家炳中学校考阶段练习）将n个0或1排列在一起组成了一个数组，记为A=t1,t2,⋯tn，其中，t1,t2,⋅⋅⋅,tn都取0或1，称A是一个n元完美数组（n≥2且n为整数）．例如：0,1，1,1都是2元完美数组，0,0,1,1，1，0,0,1都是4元完美数组，但3,2不是任何完美数组．定义以下两个新运算：新运算1：对于x和y，x∗y=x+y−x−y，
新运算2：对于任意两个n元完美数组M=x1,x2,⋯,xn和N=y1,y2,⋯,yn， M⊗N=12x1∗y1+x2∗y2+⋅⋅⋅+xn∗yn，例如：对于3元完美数组M=1,1,1和N=0,0,1，有M⊗N=120+0+2=1．
(1)在0,0,0，2,0,1，1,1,1,1，1,1,0中是3元完美数组的有：______；
(2)设A=1,0,1,B=1,1,1，则A⊗B=______；
(3)已知完美数组M=1,1,1,0求出所有4元完美数组N，使得M⊗N=2；
(4)现有m个不同的2022元完美数组，m是正整数，且对于其中任意的两个完美数组C，D均有：C⊗D=0；则m的最大可能值是多少？写出答案，并给出此时这些完美数组的一个构造．
【答案】(1)0,0,0，1,1,0
(2)2
(3)N=1,1,0,1或 1,0,1,1或 0,1,1,1或 1,1,0,0或 1,0,1,0或0,1,1,0
(4)m的最大可能值是2023；C1,0,0,0,⋅⋅⋅,0，D0,1,0,0,⋅⋅⋅,0
【分析】（1）根据n元完美数组的定义判断即可；
（2）依据新运算定义M⊗N=12x1∗y1+x2∗y2+⋅⋅⋅+xn∗yn进行计算即可；
（3）依据新运算定义M⊗N=12x1∗y1+x2∗y2+⋅⋅⋅+xn∗yn，尝试使得M⊗N=2的计算结果即可；
（4）根据新运算定义M⊗N=12x1∗y1+x2∗y2+⋅⋅⋅+xn∗yn，C⊗D=0则可知数组C，D中对应位置不能同时为1，由数组C，D的任意性可知：完美数组中元素最多只能有一个1，即可推出m的最大可能值是2023，由此推出这些完美数组的一个构造即可．
【详解】（1）解：在0,0,0，2,0,1，1,1,1,1，1,1,0中2,0,1不是完美数组，1,1,1,1是4元完美数组，
故3元完美数组的有：0,0,0，1,1,0；
（2）∵A=1,0,1，B=1,1,1，
∴ A⊗B=121∗1+0∗1+1∗1=122+0+2=2；
故答案为：2；
（3）∵x∗y=x+y−x−y，
∴当x=y=1时，x∗y=2，当x=y=0时，x∗y=0，当x≠y时，x∗y=0，
综上即x∗y=2或0，
∵M⊗N=2，
∴x1∗y1+x2∗y2+x3∗y3+x4∗y4=4，
∴N=1,1,0,1或 1,0,1,1或 0,1,1,1或 1,1,0,0或 1,0,1,0或 0,1,1,0；
（4）∵C⊗D=0，
∴C、D中对应位置的元不能同时为1，
∵每个数组有2022个元，1可以出现在2022个位置，或者全部为0
∴ m的最大值为2023，当C确定后，D中的对应元与C中的不同，
当C1,0,0,0,⋅⋅⋅,0则D0,1,0,0,⋅⋅⋅,0．
【点睛】本题结合新定义运算考查了有理数的运算，关键在于阅读理解新运算的含义，灵活运用有理数的运算技能技巧，逐步提高符合意识素养．
一、单选题
1． (2023·江苏淮安·统考中考真题）计算a2⋅a3的结果是（ ）
A．a2B．a3C．a5D．a6
【答案】C
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即am⋅an=am+n解答．
【详解】解：a2⋅a3=a2+3=a5．
故选：C
【点睛】此题考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2． (2023·江苏淮安·统考中考真题）2022年十三届全国人大五次会议审议通过的政府工作报告中提出，今年城镇新增就业目标为11000000人以上．数据11000000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.11×108B．1.1×107C．11×106D．1.1×106
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【详解】解：数据11000000用科学记数法表示应为1.1×107．
故选：B.
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a<10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
3． (2023·江苏镇江·统考中考真题）如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（ ）
A．a+b<0B．b−a<0C．2a>2bD．a+2【答案】D
【分析】依据点在数轴上的位置，不等式的性质，绝对值的意义，有理数大小的比较法则对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【详解】解：由题意得：a＜0＜b，且a＜b，
∴a+b>0，∴A选项的结论不成立；
b−a>0，∴B选项的结论不成立；
2a<2b，∴C选项的结论不成立；
a+2故选：D．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，有理数大小的比较法则，利用点在数轴上的位置确定出a，b的取值范围是解题的关键．
4． (2023·江苏徐州·统考中考真题）要使得式子x−2有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x>2B．x≥2C．x<2D．x≤2
【答案】B
【分析】根据二次根式有意义，被开方数大于等于0，列不等式求解．
【详解】解：根据题意，得
x−2≥0，
解得x≥2．
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件的知识点，代数式的意义一般从三个方面考虑：1当代数式是整式时，字母可取全体实数；2当代数式是分式时，分式的分母不能为0；3当代数式是二次根式时，被开方数为非负数．
5． (2023·江苏南通·统考中考真题）已知实数m，n满足m2+n2=2+mn，则(2m−3n)2+(m+2n)(m−2n)的最大值为（ ）
A．24B．443C．163D．−4
【答案】B
【分析】先将所求式子化简为10−7mn，然后根据m+n2=m2+n2+2mn≥0及m2+n2=2+mn求出mn≥−23，进而可得答案．
【详解】解：(2m−3n)2+(m+2n)(m−2n)
=4m2−12mn+9n2+m2−4n2
=5m2−12mn+5n2
=52+mn−12mn
=10−7mn；
∵m+n2=m2+n2+2mn≥0，m2+n2=2+mn，
∴2+mn+2mn≥0，
∴3mn≥−2，
∴mn≥−23，
∴10−7mn≤443，
∴(2m−3n)2+(m+2n)(m−2n)的最大值为443，
故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式的应用，不等式的性质，正确对所求式子化简并求出mn的取值范围是解题的关键．
6． (2023·江苏泰州·统考中考真题）下列判断正确的是( )
A．0<3<1B．1<3<2
C．2<3<3D．3<3<4
【答案】B
【分析】根据1<3<4=2即可求解．
【详解】解：由题意可知：1<3<4=2，
故选：B．
【点睛】本题考查了无理数的估值，属于基础题．
7． (2023·江苏镇江·统考中考真题）如图，小明在3×3的方格纸上写了九个式子（其中的n是正整数），每行的三个式子的和自上而下分别记为A1，A2，A3，每列的三个式子的和自左至右分别记为B1，B2，B3，其中，值可以等于789的是（ ）
A．A1B．B1C．A2D．B3
【答案】B
【分析】把A1，A2，B1，B3的式子表示出来，再结合值等于789，可求相应的n的值，即可判断．
【详解】解：由题意得：A1＝2n+1+2n+3+2n+5＝789，
整理得：2n＝260，
则n不是整数，故A1的值不可以等于789；
A2＝2n+7+2n+9+2n+11＝789，
整理得：2n＝254，
则n不是整数，故A2的值不可以等于789；
B1＝2n+1+2n+7+2n+13＝789，
整理得：2n＝256＝28，
则n是整数，故B1的值可以等于789；
B3＝2n+5+2n+11+2n+17＝789，
整理得：2n＝252，
则n不是整数，故B3的值不可以等于789；
故选：B．
【点睛】本题主要考查规律型：数字变化类，解答的关键是理解清楚题意，得出相应的式子．
8． (2023·江苏镇江·统考中考真题）如图，输入数值1921，按所示的程序运算（完成一个方框内的运算后，把结果输入下一个方框继续进行运算），输出的结果为（ ）
A．1840B．1921C．1949D．2021
【答案】D
【分析】把1921代入程序中计算，判断即可得到结果．
【详解】解：把1921代入得：（1921﹣1840+50）×（﹣1）＝﹣131＜1000，
把﹣131代入得：（﹣131﹣1840+50）×（﹣1）＝1921＞1000，
则输出结果为1921+100＝2021．
故选：D．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清程序中的运算过程是解本题的关键．
第II卷（非选择题）
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二、填空题
9． (2023·江苏徐州·统考中考真题）因式分解：x2−1=______．
【答案】(x+1)(x−1)##（x-1）（x+1）
【分析】平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b), 直接利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：x2−1=(x+1)(x−1),
故答案为：(x+1)(x−1)
【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握“平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b)”是解本题的关键．
10． (2023·江苏南通·统考中考真题）分式2x−2有意义，则x应满足的条件是___________．
【答案】x≠2
【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0得出不等式，求解即可．
【详解】解：分式2x−2有意义，即x−2≠0，
∴x≠2，
故答案为：x≠2．
【点睛】本题考查分式有意义的条件，牢记分式有意义的条件是分式的分母不为0．
11． (2023·江苏镇江·统考中考真题）“五月天山雪，无花只有寒”，反映出地形对气温的影响．大致海拔每升高100米，气温约下降0.6°C．有一座海拔为2350米的山，在这座山上海拔为350米的地方测得气温是6°C，则此时山顶的气温约为_________°C．
【答案】－6或零下6
【分析】根据题意“海拔每升高100米，气温约下降0.6°C”，列出式子即可求解．
【详解】解：山顶的气温约为6−2350−350÷100×0.6=−6
故答案为：－6或零下6．
【点睛】本题考查了有理数混合运算（不带乘方）的应用，正负数的意义，理解题意是解题的关键．
12． (2023·江苏镇江·统考中考真题）《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的_________倍．
【答案】1.2
【分析】设被称物的重量为a，砝码的重量为1，根据图中可图列出方程即可求解．
【详解】解：设被称物的重量为a，砝码的重量为1，依题意得，
2.5a=3×1，
解得a=1.2，
故答案为：1.2．
【点睛】本题考查了比例的性质，掌握杠杆的原理是解题的关键．
13． (2023·江苏常州·统考中考真题）如图，数轴上的点A、B分别表示实数a、b，则1a______1b．（填“>”、“=”或“<”）
【答案】>
【分析】由图可得：1【详解】解：由图可得：1由不等式的性质得：1a>1b，
故答案为：>．
【点睛】本题考查了数轴，不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质．
14． (2023·江苏泰州·统考中考真题）已知a=2m2−mn,b=mn−2n2,c=m2−n2(m≠n) 用“＜”表示a、b、c的大小关系为________.
【答案】b【分析】利用作差法及配方法配成完全平方式再与0比较大小即可求解．
【详解】解：由题意可知：a−b=(2m2−mn)−(mn−2n2)=(m2+n2−2mn)+m2+n2=(m−n)2+m2+n2，
∵m≠n，
∴(m−n)2+m2+n2>0，
∴ba−c=(2m2−mn)−(m2−n2)=m2−mn+n2=(m−n2)2+34n2，当且仅当m−n2=0且n=0时取等号，此时m=n=0与题意m≠n矛盾，
∴(m−n2)2+34n2>0
∴cc−b=(m2−n2)−(mn−2n2)=m2−mn+n2=(m−n2)2+34n2，同理b故答案为：b【点睛】本题考查了两代数式通过作差比较大小，将作差后的结果配成完全平方式，利用完全平方式总是大于等于0的即可与0比较大小．
15． (2023·江苏苏州·统考中考真题）已知x+y=4，x−y=6，则x2−y2=______．
【答案】24
【分析】根据平方差公式计算即可．
【详解】解：∵x+y=4，x−y=6，
∴x2−y2=(x+y)(x−y)=4×6=24，
故答案为：24．
【点睛】本题考查因式分解的应用，先根据平方差公式进行因式分解再整体代入求值是解题的关键．
16． (2023·江苏宿迁·统考中考真题）满足11≥k的最大整数k是_______．
【答案】3
【分析】先判断3<11<4,从而可得答案．
【详解】解：∵9<11<16,
∴3<11<4,
∴ 满足11≥k的最大整数k是3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查的是无理数的估算，掌握“无理数的估算方法”是解本题的关键．
三、解答题
17． (2023·江苏无锡·统考中考真题）计算：
(1)−12×−32−cs60∘；
(2)aa+2−a+ba−b−bb−3．
【答案】(1)1
(2)2a+3b
【分析】（1）先化简绝对值和计算乘方，并把特殊角的三角函数值代入，再计算乘法，最后算加减即可求解；
（2）先运用单项式乘以多项式法则和平方差公式计算，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：原式=12×3−12
=32−12
=1；
（2）解：原式=a2+2a-a2+b2-b2+3b
=2a+3b．
【点睛】本题考查实数混合运算，整式混合运算，熟练掌握实数运算法则和单项式乘以多项式法则，熟记特殊角的三角函数值、平方差公式是解题的关键．
18． (2023·江苏淮安·统考中考真题）（1）计算：−5+3−20−2tan45°；
（2）化简：aa2−9÷1+3a−3．
【答案】（1）4；（2）1a+3
【分析】（1）根据绝对值，零指数幂和特殊角三角形函数值的计算法则求解即可；
（2）根据分式的混合计算法则求解即可．
【详解】解：（1）原式=5+1−2×1
=5+1−2
=4；
（2）原式=aa+3a−3÷aa−3
=aa+3a−3⋅a−3a
=1a+3．
【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，特殊角三角函数值，零指数幂，绝对值等等，熟知相关计算法则是解题的关键．
19． (2023·江苏盐城·统考中考真题）先化简，再求值：x+4x−4+x−32，其中x2−3x+1=0．
【答案】2x2−6x−7，-9
【分析】根据平方差公式和完全平方公式可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：原式=x2−16+x2−6x+9
=2x2−6x−7．
∵x2−3x+1=0，
∴x2−3x=−1，
原式=2x2−3x−7=2×−1−7=−9
【点睛】本题考查整式的混合运算-化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．
20． (2023·江苏常州·统考中考真题）第十四届国际数学教育大会（ICME-14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80=2021，表示ICME-14的举办年份．
(1)八进制数3746换算成十进制数是_______；
(2)小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是120，求n的值．
【答案】(1)2022
(2)9
【分析】（1）根据八进制换算成十进制的方法即可作答；
（2）根据n进制换算成十进制的方法可列出关于n的一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】（1）3×83+7×82+4×81+6×80=2022，
故答案为：2022；
（2）根据题意有：1×n3−1+4×n3−2+3×n3−3=120，
整理得：n2+4n+4=121，
解得n=9，（负值舍去），
故n的值为9．
【点睛】本题考查了有理数的运算以及一元二次方程的应用等知识，根据题意列出关于n的一元二次方程是解答本题的关键．
21． (2023·江苏盐城·统考中考真题）如图，点A是数轴上表示实数a的点．
（1）用直尺和圆规在数轴上作出表示实数的2的点P；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）利用数轴比较2和a的大小，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）a>2，见解析
【分析】（1）利用勾股定理构造直角三角形得出斜边为2，再利用圆规画圆弧即可得到点P．
（2）在数轴上比较，越靠右边的数越大．
【详解】解：（1）如图所示，点P即为所求．
（2）如图所示，点A在点P的右侧，所以a>2
【点睛】本题考查无理数与数轴上一一对应的关系、勾股定理、尺规作图法、熟练掌握无理数在数轴上的表示是关键．
22． (2023·江苏镇江·统考中考真题）【算一算】
如图①，点A、B、C在数轴上，B为AC的中点，点A表示﹣3，点B表示1，则点C表示的数为 ，AC长等于 ；
【找一找】
如图②，点M、N、P、Q中的一点是数轴的原点，点A、B分别表示实数22﹣1、22+1，Q是AB的中点，则点 是这个数轴的原点；
【画一画】
如图③，点A、B分别表示实数c﹣n、c+n，在这个数轴上作出表示实数n的点E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
【用一用】
学校设置了若干个测温通道，学生进校都应测量体温，已知每个测温通道每分钟可检测a个学生．凌老师提出了这样的问题：假设现在校门口有m个学生，每分钟又有b个学生到达校门口．如果开放3个通道，那么用4分钟可使校门口的学生全部进校；如果开放4个通道，那么用2分钟可使校门口的学生全部进校．在这些条件下，a、m、b会有怎样的数量关系呢？
爱思考的小华想到了数轴，如图④，他将4分钟内需要进校的人数m+4b记作+(m+4b)，用点A表示；将2分钟内由4个开放通道检测后进校的人数，即校门口减少的人数8a记作﹣8a，用点B表示．
①用圆规在小华画的数轴上分别画出表示+（m+2b）、﹣12a的点F、G，并写出+(m+2b)的实际意义；
②写出a、m的数量关系： ．
【答案】（1）5，8；（2）N；（3）图见解析；（4）①+(m+2b)的实际意义：2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数，图见解析；②m＝4a．
【分析】（1）根据数轴上点A对应﹣3，点B对应1，求得AB的长，进而根据AB＝BC可求得AC的长以及点C表示的数；
（2）可设原点为O，根据条件可求得AB中点表示的数以及线段AB的长度，根据AB＝2，可得AQ＝BQ＝1，结合OQ的长度即可确定N为数轴的原点；
（3）设AB的中点为M，先求得AB的长度，得到AM＝BM＝n，根据线段垂直平分线的作法作图即可；
（4）①根据每分钟进校人数为b，每个通道每分钟进入人数为a，列方程组m+4b=12am+2b=8a，根据m+2b＝OF，m+4b＝12a，即可画出F，G点，其中m+2b表示两分钟后，校门口需要进入学校的学生人数；
②解①中的方程组，即可得到m＝4a．
【详解】解：（1）【算一算】：记原点为O，
∵AB＝1﹣（﹣3）＝4，
∴AB＝BC＝4，
∴OC＝OB+BC＝5，AC＝2AB＝8．
所以点C表示的数为5，AC长等于8．
故答案为：5，8；
（2）【找一找】：记原点为O，
∵AB＝22+1﹣（22﹣1）＝2，
∴AQ＝BQ＝1，
∴OQ＝OB﹣BQ＝22+1﹣1＝22，
∴N为原点．
故答案为：N．
（3）【画一画】：记原点为O，
由AB＝c+n﹣（c﹣n）＝2n，
作AB的中点M，
得AM＝BM＝n，
以点O为圆心，
AM＝n长为半径作弧交数轴的正半轴于点E，
则点E即为所求；
（4）【用一用】：在数轴上画出点F，G；2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数为：m＝4a．
∵4分钟内开放3个通道可使学生全部进校，
∴m+4b＝3×a×4，即m+4b＝12a（Ⅰ）；
∵2分钟内开放4个通道可使学生全部进校，
∴m+2b＝4×a×2，即m+2b＝8a（Ⅱ）；
①以O为圆心，OB长为半径作弧交数轴的正半轴于点F，则点F即为所求．
作OB的中点E，则OE＝BE＝4a，在数轴负半轴上用圆规截取OG＝3OE＝12a，
则点G即为所求．
+（m+2b）的实际意义：2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数；
②方程（Ⅱ）×2﹣方程（Ⅰ）得：m＝4a．
故答案为：m＝4a．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，实数与数轴，作图．解决本题的关键是根据题意找到等量关系．
23． (2023秋·江苏盐城·七年级校考期中）已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a+4+b−12=0，A、B之间的距离记作AB，定义：AB=a−b．
(1)求线段AB的长AB=______；
(2)如图，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为−1，动点P表示的数为x．
①若点P在点M、N之间，则x+1+x−4=______；
②若x+1+x−4=8，则x=______；
③若点A，B分别从点M，N同时出发，点A以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点B以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t>0）秒．求t为何值时，点A与B相距3个单位长度？
【答案】(1)5
(2)①5；②−52或112；③t=23或t=83
【分析】（1）利用非负数的性质求出a，b，再根据两点的距离公式计算；
（2）①由点P在点M、N之间，去绝对值计算即可；②分三种情况去绝对值解方程即可；③分类列出方程可解得答案．
【详解】（1）解：∵a+4+b−12=0，
∴a+4=0，b−1=0，
∴a=−4，b=1，
∴AB=−4−1=5；
（2）①∵点P在点M、N之间，
∴|x+1|+|x−4|=x+1−x+4=5；
②当x<−1时，−x−1−x+4=8，
解得x=−52，
当−1≤x≤4时，x+1−x+4=8，无解，
当x>4时，x+1+x−4=8，
解得x=112，
综上所述，x为−52或112；
③−1+2t−4−t=3，即3t−5=3，
解得：t=83或t=23，
综上：t=23或83秒，点A与B相距3个单位长度．
【点睛】本题考查了数轴上两点的距离，绝对值的意义，动点问题，一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，分类列出方程．
24． (2023秋·江苏无锡·七年级校考期中）我们把按一定规律排列的一列数，称为数列，若对于一个数列中依次排列的相邻的三个数m、n、p，总满足p=m2−n，则称这个数列为理想数列．
(1)若数列2，−1，a，−4，b，…，是理想数列，则a= ，b= ；
(2)若数列x，3x，4，…，是理想数列，求代数式23x2−2x+3的值．
(3)若数列…，m，n，p，q…，是理想数列，且p−12q=2，求代数式nn2−3m2+4+9m2−n+2022的值．
【答案】(1)5，29；
(2)173；
(3)2034．
【分析】（1）根据理想数列的定义代入计算即可；
（2）根据理想数列的定义代入计算，求出x2−3x，再整体代入整式计算即可；
（3）m，n，p，q，是理想数列，所以q=n2−p，p=m2−n，求出q=n2−m2+n，
结合p−12q=2得3m2−n2−3n=4，结合问题变形为n2−3m2+4=−3n或n2−3m2−3n=−4，代入计算即可．
【详解】（1）解：∵p=m2−n，
∴a=22−−1=5，
b=52−−4=29，
故答案为：5，29；
（2）由题意可知：
4=x2−3x，
即x2−3x=4，
23x2−2x+3
=23x2−3x+3
=23×4+3
=173；
（3）m，n，p，q，…，是理想数列，
∴q=n2−p，
∵p=m2−n，
∴q=n2−m2−n=n2−m2+n，
∵p−12q=2，
∴m2−n−12n2−m2+n=2，
∴2m2−2n−n2+m2−n=4，
∴3m2−n2−3n=4，
即n2−3m2+4=−3n或n2−3m2+3n=−4，
∴nn2−3m2+4+9m2−n+2022
=n−3n+9m2−n+2022
=−3n2+9m2−9n+2022
=−3n2−3m2+3n+2022
=−3×−4+2022
=12+2022
=2034．
【点睛】本题考查了新定义下的有理数的运算和整式的化简求值；正确理解新定义、根据所求整式整体代入求值是解题的关键．
25． (2023秋·江苏南通·七年级南通田家炳中学校考阶段练习）将n个0或1排列在一起组成了一个数组，记为A=t1,t2,⋯tn，其中，t1,t2,⋅⋅⋅,tn都取0或1，称A是一个n元完美数组（n≥2且n为整数）．例如：0,1，1,1都是2元完美数组，0,0,1,1，1，0,0,1都是4元完美数组，但3,2不是任何完美数组．定义以下两个新运算：新运算1：对于x和y，x∗y=x+y−x−y，
新运算2：对于任意两个n元完美数组M=x1,x2,⋯,xn和N=y1,y2,⋯,yn， M⊗N=12x1∗y1+x2∗y2+⋅⋅⋅+xn∗yn，例如：对于3元完美数组M=1,1,1和N=0,0,1，有M⊗N=120+0+2=1．
(1)在0,0,0，2,0,1，1,1,1,1，1,1,0中是3元完美数组的有：______；
(2)设A=1,0,1,B=1,1,1，则A⊗B=______；
(3)已知完美数组M=1,1,1,0求出所有4元完美数组N，使得M⊗N=2；
(4)现有m个不同的2022元完美数组，m是正整数，且对于其中任意的两个完美数组C，D均有：C⊗D=0；则m的最大可能值是多少？写出答案，并给出此时这些完美数组的一个构造．
【答案】(1)0,0,0，1,1,0
(2)2
(3)N=1,1,0,1或 1,0,1,1或 0,1,1,1或 1,1,0,0或 1,0,1,0或0,1,1,0
(4)m的最大可能值是2023；C1,0,0,0,⋅⋅⋅,0，D0,1,0,0,⋅⋅⋅,0
【分析】（1）根据n元完美数组的定义判断即可；
（2）依据新运算定义M⊗N=12x1∗y1+x2∗y2+⋅⋅⋅+xn∗yn进行计算即可；
（3）依据新运算定义M⊗N=12x1∗y1+x2∗y2+⋅⋅⋅+xn∗yn，尝试使得M⊗N=2的计算结果即可；
（4）根据新运算定义M⊗N=12x1∗y1+x2∗y2+⋅⋅⋅+xn∗yn，C⊗D=0则可知数组C，D中对应位置不能同时为1，由数组C，D的任意性可知：完美数组中元素最多只能有一个1，即可推出m的最大可能值是2023，由此推出这些完美数组的一个构造即可．
【详解】（1）解：在0,0,0，2,0,1，1,1,1,1，1,1,0中2,0,1不是完美数组，1,1,1,1是4元完美数组，
故3元完美数组的有：0,0,0，1,1,0；
（2）∵A=1,0,1，B=1,1,1，
∴ A⊗B=121∗1+0∗1+1∗1=122+0+2=2；
故答案为：2；
（3）∵x∗y=x+y−x−y，
∴当x=y=1时，x∗y=2，当x=y=0时，x∗y=0，当x≠y时，x∗y=0，
综上即x∗y=2或0，
∵M⊗N=2，
∴x1∗y1+x2∗y2+x3∗y3+x4∗y4=4，
∴N=1,1,0,1或 1,0,1,1或 0,1,1,1或 1,1,0,0或 1,0,1,0或 0,1,1,0；
（4）∵C⊗D=0，
∴C、D中对应位置的元不能同时为1，
∵每个数组有2022个元，1可以出现在2022个位置，或者全部为0
∴ m的最大值为2023，当C确定后，D中的对应元与C中的不同，
当C1,0,0,0,⋅⋅⋅,0则D0,1,0,0,⋅⋅⋅,0．
【点睛】本题结合新定义运算考查了有理数的运算，关键在于阅读理解新运算的含义，灵活运用有理数的运算技能技巧，逐步提高符合意识素养．
菜品
单价（含包装费）
数量
水煮牛肉（小份）
30元
1
醋溜土豆丝（小份）
12元
1
豉汁排骨（小份）
30元
1
手撕包菜（小份）
12元
1
米饭
3元
2