2024年中考数学【热点重点难点】专练热点04二次函数及综合问题(江苏专用)(原卷版+解析)

这是一份2024年中考数学【热点重点难点】专练热点04二次函数及综合问题(江苏专用)(原卷版+解析)，共72页。试卷主要包含了 二次函数及综合问题，了解，理解，2x2+x+2等内容，欢迎下载使用。

【考纲解读】
1.了解：二次函数的概念；二次函数的对称轴；二次函数图象与系数的关系.
2.理解：二次函数的性质与图象；确定二次函数的解析式.
3.会：会判断一个函数是否为二次函数；会在对称轴左、右判断函数的增减性；会用数形结合思想解决问题．
4.掌握：二次函数的性质；用待定系数法确定函数解析式；利用二次函数来解决实际问题的基本思路；掌握二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程根的关系；掌握二次函数图象与一元二次不等式的关系；将实际问题转化为数学中的二次函数问题.
5.能：用待定系数法确定函数解析式；判别式、抛物线与x轴的交点、二次方程的根的情况三者之间的联系；能根据图象信息解决相应的问题.
【命题形式】
1.从考查的题型来看，涉及本知识点的题目主要以选择题与解答题的形式考查，也可能在填空题中出现，题目难度中高档.
2.从考查内容来看,主要有：二次函数的性质与图象；用待定系数法确定函数解析式；二次函数的最值与平移问题；函数与几何图形相关的综合应用等.
3.从考查热点来看,主要有：二次函数的性质与图象；通过具体问题情境学会用三种方式表示二次函数关系；一次函数与二次函数，函数与其他综合相关的实际问题；通过在实际问题中应用二次函数的性质，发展应用二次函数解决实际问题的能力.
【限时检测】
A卷（真题过关卷）
备注：本套试卷所选题目多数为近三年江苏省各地区中考真题，针对性强，可作为一轮、二轮复习必刷真题过关训练.
一、单选题
1． (2023·江苏泰州·统考中考真题）已知点−3,y1,−1,y2,1,y3在下列某一函数图像上，且y3A．y=3xB．y=3x2C．y=3xD．y=−3x
2． (2023·江苏徐州·统考中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数y=x2的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A．y=x−22+1B．y=x+22+1C．y=x+22−1D．y=x−22−1
3． (2023·江苏常州·统考中考真题）已知二次函数y=(a−1)x2，当x>0时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（ ）
A．a>0B．a>1C．a≠1D．a<1
4． (2023·江苏苏州·统考中考真题）已知抛物线y=x2+kx−k2的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是（ ）
A．−5或2B．−5C．2D．−2
5． (2023·江苏宿迁·统考中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，有下列结论：①a＞0；②b2−4ac＞0；③4a+b=0；④不等式ax2+（b−1）x+c＜0的解集为1≤x＜3，正确的结论个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
6． (2023·江苏连云港·统考中考真题）关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．
甲：函数图像经过点(−1,1)；
乙：函数图像经过第四象限；
丙：当x>0时，y随x的增大而增大．
则这个函数表达式可能是（ ）
A．y=−xB．y=1xC．y=x2D．y=−1x
7． (2023·江苏无锡·统考中考真题）设P(x,y1)，Q(x,y2)分别是函数C1，C2图象上的点，当a≤x≤b时，总有−1≤y1−y2≤1恒成立，则称函数C1，C2在a≤x≤b上是“逼近函数”，a≤x≤b为“逼近区间”．则下列结论：
①函数y=x−5，y=3x+2在1≤x≤2上是“逼近函数”；
②函数y=x−5，y=x2−4x在3≤x≤4上是“逼近函数”；
③0≤x≤1是函数y=x2−1，y=2x2−x的“逼近区间”；
④2≤x≤3是函数y=x−5，y=x2−4x的“逼近区间”．
其中，正确的有（ ）
A．②③B．①④C．①③D．②④
8． (2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，线段AB=10，点C、D在AB上，AC=BD=1．已知点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿着AB向点D移动，到达点D后停止移动，在点P移动过程中作如下操作：先以点P为圆心，PA、PB的长为半径分别作两个圆心角均为60°的扇形，再将两个扇形分别围成两个圆锥的侧面．设点P的移动时间为（秒）．两个圆锥的底面面积之和为S．则S关于t的函数图像大致是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9． (2023·江苏泰州·统考中考真题）在函数y=(x−1)2中,当x＞1时,y随x的增大而 ___．（填“增大”或“减小”）
10． (2023·江苏无锡·统考中考真题）把二次函数y=x2+4x+m的图像向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件：________．
11． (2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y=−0.2x2+x+2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m，则他距篮筐中心的水平距离OH是_________m．
12． (2023·江苏盐城·统考中考真题）若点P(m,n)在二次函数y=x2+2x+2的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是____________．
13． (2023·江苏南通·统考中考真题）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是ℎ=−5t2+20t，当飞行时间t为___________s时，小球达到最高点．
14． (2023·江苏徐州·统考中考真题）若二次函数y=x2−2x−3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为________．
15． (2023·江苏连云港·统考中考真题）某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是______元．
16． (2023·江苏无锡·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C为y轴正半轴上的一个动点，过点C的直线与二次函数y=x2的图象交于A、B两点，且CB=3AC，P为CB的中点，设点P的坐标为P(x,y)(x>0)，写出y关于x的函数表达式为：________．
三、解答题
17． (2023·江苏盐城·统考中考真题）已知抛物线y=a(x−1)2+ℎ经过点(0,−3)和(3,0)．
（1）求a、ℎ的值；
（2）将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线相应的函数表达式．
18． (2023·江苏常州·统考中考真题）在5张相同的小纸条上，分别写有语句：①函数表达式为y=x；②函数表达式为y=x2；③函数的图像关于原点对称；④函数的图像关于y轴对称；⑤函数值y随自变量x增大而增大．将这5张小纸条做成5支签，①、②放在不透明的盒子A中搅匀，③、④、⑤放在不透明的盒子B中搅匀．
(1)从盒子A中任意抽出1支签，抽到①的概率是______；
(2)先从盒子A中任意抽出1支签，再从盒子B中任意抽出1支签．求抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率．
19． (2023·江苏淮安·统考中考真题）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进A、B两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，总费用为8100元．
(1)求A、B两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；
(2)当B品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对B品牌粽子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当B品牌粽子每袋的销售价降低多少元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？
20． (2023·江苏无锡·统考中考真题）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．
(1)若矩形养殖场的总面积为36m2，求此时x的值；
(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
21． (2023·江苏泰州·统考中考真题）如图，二次函数y1=x2+mx+1的图像与y轴相交于点A，与反比例函数y2=kx(x>0)的图像相交于点B(3，1).
(1)求这两个函数的表达式；
(2)当y1随x的增大而增大且y1(3)平行于x轴的直线l与函数y1的图像相交于点C、D（点C在点D的左边），与函数y2的图像相交于点E.若△ACE与△BDE的面积相等，求点E的坐标.
22． (2023·江苏连云港·统考中考真题）已知二次函数y=x2+(m−2)x+m−4，其中m>2．
(1)当该函数的图像经过原点O0,0，求此时函数图像的顶点A的坐标；
(2)求证：二次函数y=x2+(m−2)x+m−4的顶点在第三象限；
(3)如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线y=−x−2上运动，平移后所得函数的图像与y轴的负半轴的交点为B，求△AOB面积的最大值．
23． (2023·江苏泰州·统考中考真题）农技人员对培育的某一品种桃树进行研究，发现桃子成熟后一棵树上每个桃子质量大致相同．以每棵树上桃子的数量x（个）为横坐标、桃子的平均质量y（克/个）为纵坐标，在平面直角坐标系中描出对应的点，发现这些点大致分布在直线AB附近（如图所示）．
（1）求直线AB的函数关系式；
（2）市场调研发现：这个品种每个桃子的平均价格w（元）与平均质量y（克/个）满足函数表达式w＝1100y+2．在（1）的情形下，求一棵树上桃子数量为多少时，该树上的桃子销售额最大？
24． (2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，抛物线y=mx2+m2+3x−(6m+9)与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知B(3,0)．
（1）求m的值和直线BC对应的函数表达式；
（2）P为抛物线上一点，若S△PBC=S△ABC，请直接写出点P的坐标；
（3）Q为抛物线上一点，若∠ACQ=45°，求点Q的坐标．
25． (2023·江苏镇江·统考中考真题）一次函数y=12x+1的图像与x轴交于点A，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像经过点A、原点O和一次函数y=12x+1图像上的点B(m,54)．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)如图1，一次函数y=12x+n(n>−916,n≠1)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像交于点C(x1,y1)、D(x2,y2)（x1①x1=_________，x2=_________（分别用含n的代数式表示）；
②证明：AE=BF；
(3)如图2，二次函数y=a(x−t)2+2的图像是由二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像平移后得到的，且与一次函数y=12x+1的图像交于点P、Q（点P在点Q的左侧），过点P作直线l3⊥x轴，过点Q作直线l4⊥x轴，设平移后点A、B的对应点分别为A'、B'，过点A'作A'M⊥l3于点M，过点B'作B'N⊥l4于点N．
①A'M与B'N相等吗？请说明你的理由；
②若A'M+3B'N=2，求t的值．
26． (2023·江苏淮安·统考中考真题）如图（1），二次函数y=−x2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为3,0，点C的坐标为0,3，直线l经过B、C两点．

(1)求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标；
(2)点P为直线l上的一点，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图像相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点N，当PM=12MN时，求点P的横坐标；
(3)如图（2），点C关于x轴的对称点为点D，点P为线段BC上的一个动点，连接AP，点Q为线段AP上一点，且AQ=3PQ，连接DQ，当3AP＋4DQ的值最小时，直接写出DQ的长．
【限时检测】
B卷（模拟提升卷）
备注：本套试卷所选题目多数为近江苏省各地区中考模拟，是中考命题的中考参考，考生平时应针对性的有选择的训练，开拓眼界，举一反三，使自己的解题水平更上一层楼！
一、单选题
1． (2023·江苏无锡·校考一模）将抛物线y=x2向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ）
A．y=x+22+1B．y=x−22+1C．y=x+22−1D．y=x−22−1
2． (2023·江苏徐州·校考二模）关于抛物线y＝x2﹣4x+4，下列说法错误的是（ ）
A．开口向上B．与x轴有两个重合的交点
C．对称轴是直线x＝2D．当x＞2时，y随x的增大而减小
3． (2023·江苏无锡·统考二模）某数学兴趣小组研究二次函数y=x2+ax+c的图象时，得出如下四个结论：
甲：图象与x轴的一个交点为3,0；
乙：图象与x轴的一个交点为1,0；
丙：图象的对称轴为过点1,0，且平行于y轴的直线；
丁：图象与x轴的交点在原点两侧；
若这四个命题中只有一个假命题，则该命题是( )
A．甲B．乙C．丙D．丁
4． (2023·江苏徐州·校考二模）在同一直角坐标系中，函数y＝ax＋a和函数y＝ax2＋x＋2(a是常数，且a≠0)的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
5． (2023·江苏苏州·苏州高新区实验初级中学校考二模）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）(0°＜x≤90°)近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a≠0)．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（ ）
A．18°B．36°C．41°D．58°
6． (2023·江苏盐城·统考二模）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可得到最佳加工时间为（ ）
A．4.25分钟B．4.00分钟C．3.75分钟D．3.50分钟
7． (2023·江苏南京·统考二模）已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如上表，以下结论正确的是（ ）
A．抛物线y=ax2+bx+c的开口向下B．当x<3时，y随x增大而增大
C．当y>0时，x的取值范围是08． (2023·江苏南通·统考二模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，动点P沿折线CA−AB运动，到点B停止，动点Q沿BA−AC运动到点C停止，点P运动速度为2cm/s，点Q的运动速度为2.5cm/s，设运动时间为ts，△APQ的面积为S，则S与t0≤t≤4.5对应关系的的图象大致是（ ）．
A．B．C．D．
二、填空题
9． (2023·江苏南通·校联考一模）一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y=−112x2+23x+53．则他将铅球推出的成绩是 ___________m．
10． (2023·江苏无锡·校考二模）若二次函数y=mx2+2(m−1)x+m，当m=______时，与x轴有唯一的交点．
11． (2023·江苏常州·校考二模）已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下：那么当y>5时，x的取值范围为_____．
12． (2023·江苏盐城·校考二模）将二次函数y=x2+2x+n的图像先向右平移2个单位，再向上平移mm>0个单位，得到函数y=x2−2x+4的图像，则m+n的值为________．
13． (2023·江苏苏州·苏州市振华中学校校考二模）如图，抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A−1,p，B3,q两点，则不等式ax2+mx+c14． (2023·江苏苏州·苏州市振华中学校校考模拟预测）若二次函数y=ax2−bx+2有最大值6，则y=−ax+12+bx+1+2的最小值为____．
15． (2023·江苏泰州·校考一模）定义新运算：[a，b，c]＝a（c＜a＜b），即[a，b，c]的取值为a，b，c的中位数，例如，[1，2，3]＝2，[3，4，8]＝4，已知函数y＝[x+2，x2+1，﹣x+2]与直线y＝12x+b有3个交点时，则b的值为____．
16． (2023·江苏盐城·滨海县第一初级中学校考三模）如图1，对于平面内的点A、P，如果将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PB，就称点B是点A关于点P的“放垂点”．如图2，已知点A4,0，点P是y轴上一点，点B是点A关于点P的“放垂点”，连接AB、OB，则OB的最小值是______．
三、解答题
17． (2023·江苏泰州·模拟预测）用总长为60m的篱笆围成矩形场地．
(1)根据题意，填写下表：
(2)设矩形一边长为xm，矩形面积为Sm2，当x是多少时，矩形场地的面积S最大？并求出矩形场地的最大面积；
(3)当矩形的长为______m，宽为______m时，矩形场地的面积为216m2．
18． (2023·江苏南通·南通市新桥中学校考一模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，经过（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣3）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）不等式ax2+bx+c＞0的解集为 ；
（3）方程ax2+bx+c＝m有两个实数根，m的取值范围为 ．
19． (2023·江苏徐州·校考二模）小爱同学学习二次函数后，对函数y=−(|x|−1)2进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：
(1)写出该函数的一条性质： ；
(2)方程−(|x|−1)2=−1的解为： ；
(3)若方程−(|x|−1)2=a有四个实数根，则a的取值范围是 ．
20． (2023·江苏南京·统考一模）某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是出价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：
注：周销售利润=周销售量×（售价-进价）
(1)求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)当售价是多少元/件时，周销售利润最大，此时最大利润是多少元．
21． (2023·江苏南京·统考一模）已知二次函数y=x2−2mx+2m−1（m为常数）．
(1)求证：不论m为何值，该二次函数的图象与x轴总有公共点．
(2)求证：不论m为何值，该二次函数的图象的顶点都在函数y=−x−12的图象上．
(3)已知点Aa,−1,Ba+2,−1，线段AB与函数y=−x−12的图象有公共点，则a的取值范围是 ．
22． (2023·江苏无锡·统考二模）如图，已知抛物线y=12x2+bx过点A(−4,0)、顶点为B，一次函数y=12x+2的图像交y轴于M，对称轴与x轴交于点H．
(1)求抛物线的表达式；
(2)已知P是抛物线上一动点，点M关于AP的对称点为N．
①若点N恰好落在抛物线的对称轴上，求点N的坐标；
②请直接写出△MHN面积的最大值．
23． (2023·江苏苏州·苏州高新区实验初级中学校考一模）2022年2月8日北京冬奥会中自由滑雪空中技巧项目备受大家关注，中国优秀运动员沿跳台斜坡AB加速加速至B处腾空而起，沿抛物线BEF运动，在空中完成翻滚动作，着陆在跳台的背面着陆坡DC．建立如图所示的平面直角坐标系，BD∥x轴，C在x轴上，B在y轴上，已知跳台的背面DC近似是抛物线y＝a（x﹣7）2（1≤x≤7）的一部分，D点的坐标为（1，6），抛物线BEF的表达式为y＝b（x﹣2）2+k．
(1)当k＝10时，求a、b的值；
(2)在（1）的条件下，运动员在离x轴3.75m处完成动作并调整好身姿，求此时他距DC的竖直距离（竖直距离指的是运动员所在位置的点向x轴的垂线与DC的交点之间线段的长）；
(3)若运动员着落点与B之间的水平距离需要在不大于7m的位置（即着落点的横坐标x满足x≤7），求b的取值范围．
24． (2023·江苏扬州·校考二模）在平面直角坐标系中，已知函数y1=2x和函数y2=−x+6不论x取何值，y0都取y1与y2二者之中的较小值．
(1)求函数y1和y2图象的交点坐标，并直接写出y0关于x的函数关系式；
(2)现有二次函数y=x2−8x+c，若函数y0和y都随着x的增大而减小，求自变量x的取值范围；
(3)在（2）的结论下，若函数y0和y的图象有且只有一个公共点，求c的取值范围．
25． (2023·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考模拟预测）如图，抛物线y=−14x2+bx+c与x轴的一个交点为A−2，0，与y轴的交点为B0，4，对称轴与x轴交于点P．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M为y轴正半轴上的一个动点，连接AM，过点M作AM的垂线，与抛物线的对称轴交于点N，连接AN．
①若△AMN与△AOB相似，求点M的坐标；
②若点M在y轴正半轴上运动到某一位置时，△AMN有一边与线段AP相等，并且此时有一边与线段AP具有对称性，我们把这样的点M称为“对称点”，请直接写出“对称点”M的坐标．
26． (2023·江苏盐城·校考三模）我们规定：关于x的反比例函数y=a+bx称为一次函数y=ax+b的“次生函数”，关于x的二次函数y=ax2+bx−a+b称为一次函数y=ax+b的“再生函数”．
(1)按此规定：一次函数y=x−4的“次生函数”为：___________，“再生函数”为：___________；
(2)若关于x的一次函数y=x+b的“再生函数”的顶点在x轴上，求顶点坐标；
(3)若一次函数y=ax+b与其“次生函数”交于点1,−2、4,−12两点，其“再生函数”与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．
①若点D1,3，求∠CBD的正切值；
②若点E在直线x=1上，且在x轴的下方，当∠CBE=45°时，求点E的坐标．
x
……
-1
0
1
2
3
……
y
……
10
5
2
1
2
……
矩形一边长/m
5
10
15
20
矩形面积/m2
125
售价x（元/件）
50
60
80
周销售量y（件）
100
80
40
周销售利润w（元）
1000
1600
1600
2024年中考数学【热点·重点·难点】专练 （江苏专用）
热点04. 二次函数及综合问题
【考纲解读】
1.了解：二次函数的概念；二次函数的对称轴；二次函数图象与系数的关系.
2.理解：二次函数的性质与图象；确定二次函数的解析式.
3.会：会判断一个函数是否为二次函数；会在对称轴左、右判断函数的增减性；会用数形结合思想解决问题．
4.掌握：二次函数的性质；用待定系数法确定函数解析式；利用二次函数来解决实际问题的基本思路；掌握二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程根的关系；掌握二次函数图象与一元二次不等式的关系；将实际问题转化为数学中的二次函数问题.
5.能：用待定系数法确定函数解析式；判别式、抛物线与x轴的交点、二次方程的根的情况三者之间的联系；能根据图象信息解决相应的问题.
【命题形式】
1.从考查的题型来看，涉及本知识点的题目主要以选择题与解答题的形式考查，也可能在填空题中出现，题目难度中高档.
2.从考查内容来看,主要有：二次函数的性质与图象；用待定系数法确定函数解析式；二次函数的最值与平移问题；函数与几何图形相关的综合应用等.
3.从考查热点来看,主要有：二次函数的性质与图象；通过具体问题情境学会用三种方式表示二次函数关系；一次函数与二次函数，函数与其他综合相关的实际问题；通过在实际问题中应用二次函数的性质，发展应用二次函数解决实际问题的能力.
【限时检测】
A卷（真题过关卷）
备注：本套试卷所选题目多数为近三年江苏省各地区中考真题，针对性强，可作为一轮、二轮复习必刷真题过关训练.
一、单选题
1． (2023·江苏泰州·统考中考真题）已知点−3,y1,−1,y2,1,y3在下列某一函数图像上，且y3A．y=3xB．y=3x2C．y=3xD．y=−3x
【答案】D
【分析】先假设选取各函数，代入自变量求出y1、y2、y3的值，比较大小即可得出答案．
【详解】解：A．把点−3,y1,−1,y2,1,y3代入y=3x，解得y1=-9，y2=-3，y3=3，所以y1B．把点−3,y1,−1,y2,1,y3代入y=3x2，解得y1=27，y2=3，y3=3，所以y1>y2=y3，这与已知条件y3C． 把点−3,y1,−1,y2,1,y3代入y=3x，解得y1=-1，y2=-3，y3=3，所以y2D． 把点−3,y1,−1,y2,1,y3代入y=-3x，解得y1=1，y2=3，y3=-3，所以y3故选：D．
【点睛】此题考查了一次函数、反比例函数以及二次函数，解题的关键是掌握函数值的大小变化和函数的性质．
2． (2023·江苏徐州·统考中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数y=x2的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A．y=x−22+1B．y=x+22+1C．y=x+22−1D．y=x−22−1
【答案】B
【分析】先求出平移后抛物线的顶点坐标，进而即可得到答案．
【详解】解：∵y=x2的顶点坐标为（0，0）
∴将二次函数y=x2的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的顶点坐标为（-2，1），
∴所得抛物线对应的函数表达式为y=x+22+1，
故选B
【点睛】本题主要考查二次函数的平移规律，找出平移后二次函数图像的顶点坐标或掌握“左加右减，上加下减”，是解题的关键．
3． (2023·江苏常州·统考中考真题）已知二次函数y=(a−1)x2，当x>0时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（ ）
A．a>0B．a>1C．a≠1D．a<1
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质，可知二次函数的开口向上，进而即可求解．
【详解】∵二次函数y=(a−1)x2的对称轴为y轴，当x>0时，y随x增大而增大，
∴二次函数y=(a−1)x2的图像开口向上，
∴a-1＞0，即：a>1，
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向与二次项系数的关系，是解题的关键．
4． (2023·江苏苏州·统考中考真题）已知抛物线y=x2+kx−k2的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是（ ）
A．−5或2B．−5C．2D．−2
【答案】B
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．
【详解】解：函数y=x2+kx−k2向右平移3个单位，得：y=(x−3)2+k(x−3)−k2；
再向上平移1个单位，得：y=(x−3)2+k(x−3)−k2+1，
∵得到的抛物线正好经过坐标原点
∴0=(0−3)2+k(0−3)−k2+1即k2+3k−10=0
解得：k=−5或k=2
∵抛物线y=x2+kx−k2的对称轴在y轴右侧
∴x=−k2＞0
∴k＜0
∴k=−5
故选：B．
【点睛】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
5． (2023·江苏宿迁·统考中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，有下列结论：①a＞0；②b2−4ac＞0；③4a+b=0；④不等式ax2+（b−1）x+c＜0的解集为1≤x＜3，正确的结论个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】根据抛物线的开口方向、于x轴的交点情况、对称轴的知识可判①②③的正误，再根据函数图象的特征确定出函数的解析式，进而确定不等式，最后求解不等式即可判定④．
【详解】解：∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，故①正确；
∵抛物线与x轴没有交点
∴b2−4ac＜0，故②错误
∵由抛物线可知图象过（1,1），且过点（3,3）
a+b+c=19a+3b+c=3
∴8a+2b=2
∴4a+b=1，故③错误；
由抛物线可知顶点坐标为（1,1），且过点（3,3）
则抛物线与直线y=x交于这两点
∴ax2+b−1x+c＜0可化为ax2+bx+c根据图象，解得：1＜x＜3
故④错误．
故选A．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的特征以及解不等式的相关知识，灵活运用二次函数图象的特征成为解答本题的关键．
6． (2023·江苏连云港·统考中考真题）关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．
甲：函数图像经过点(−1,1)；
乙：函数图像经过第四象限；
丙：当x>0时，y随x的增大而增大．
则这个函数表达式可能是（ ）
A．y=−xB．y=1xC．y=x2D．y=−1x
【答案】D
【分析】根据所给函数的性质逐一判断即可．
【详解】解：A.对于y=−x，当x=-1时，y=1，故函数图像经过点(−1,1)；函数图象经过二、四象限；当x>0时，y随x的增大而减小．故选项A不符合题意；
B.对于y=1x，当x=-1时，y=-1，故函数图像不经过点(−1,1)；函数图象分布在一、三象限；当x>0时，y随x的增大而减小．故选项B不符合题意；
C.对于y=x2，当x=-1时，y=1，故函数图像经过点(−1,1)；函数图象分布在一、二象限；当x>0时，y随x的增大而增大．故选项C不符合题意；
D.对于y=−1x，当x=-1时，y=1，故函数图像经过点(−1,1)；函数图象经过二、四象限；当x>0时，y随x的增大而增大．故选项D符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查的是一次函数、二次函数以及反比例函数的性质，熟知相关函数的性质是解答此题的关键．
7． (2023·江苏无锡·统考中考真题）设P(x,y1)，Q(x,y2)分别是函数C1，C2图象上的点，当a≤x≤b时，总有−1≤y1−y2≤1恒成立，则称函数C1，C2在a≤x≤b上是“逼近函数”，a≤x≤b为“逼近区间”．则下列结论：
①函数y=x−5，y=3x+2在1≤x≤2上是“逼近函数”；
②函数y=x−5，y=x2−4x在3≤x≤4上是“逼近函数”；
③0≤x≤1是函数y=x2−1，y=2x2−x的“逼近区间”；
④2≤x≤3是函数y=x−5，y=x2−4x的“逼近区间”．
其中，正确的有（ ）
A．②③B．①④C．①③D．②④
【答案】A
【分析】分别求出y1−y2的函数表达式，再在各个x所在的范围内，求出y1−y2的范围，逐一判断各个选项，即可求解．
【详解】解：①∵y1=x−5，y2=3x+2，
∴y1−y2=x−5−3x+2=−2x−7，当1≤x≤2时，−11≤y1−y2≤−9，
∴函数y=x−5，y=3x+2在1≤x≤2上不是“逼近函数”；
②∵y1=x−5，y2=x2−4x，
∴y1−y2=x−5−x2−4x=−x2+5x−5，当3≤x≤4时，−1≤y1−y2≤1，
函数y=x−5，y=x2−4x在3≤x≤4上是“逼近函数”；
③∵y1=x2−1，y2=2x2−x，
∴y1−y2=x2−1−2x2−x=−x2+x−1，当0≤x≤1时，−1≤y1−y2≤−34，
∴0≤x≤1是函数y=x2−1，y=2x2−x的“逼近区间”；
④∵y1=x−5，y2=x2−4x，
∴y1−y2=x−5−x2−4x=−x2+5x−5，当2≤x≤3时，1≤y1−y2≤54，
∴2≤x≤3不是函数y=x−5，y=x2−4x的“逼近区间”．
故选A
【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数的性质，掌握一次函数与二次函数的增减性，是解题的关键．
8． (2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，线段AB=10，点C、D在AB上，AC=BD=1．已知点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿着AB向点D移动，到达点D后停止移动，在点P移动过程中作如下操作：先以点P为圆心，PA、PB的长为半径分别作两个圆心角均为60°的扇形，再将两个扇形分别围成两个圆锥的侧面．设点P的移动时间为（秒）．两个圆锥的底面面积之和为S．则S关于t的函数图像大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意，先求出PA=t+1，PB=9−t，然后利用再求出圆锥的底面积进行计算，即可求出函数表达式，然后进行判断即可．
【详解】解：根据题意，
∵AB=10，AC=BD=1，且已知点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿着AB向点D移动，到达点D后停止移动，则0≤t≤8，
∴PA=t+1，
∴PB=10−(t+1)=9−t，
由PA的长为半径的扇形的弧长为：60π(t+1)180=π(t+1)3
∴用PA的长为半径的扇形围成的圆锥的底面半径为 t+16
∴其底面的面积为π(t+1)236
由PB的长为半径的扇形的弧长为：60π(9-t)180=π(9−t)3
∴用PB的长为半径的扇形围成的圆锥的底面半径为 9-t6
∴其底面的面积为π(9-t)236
∴两者的面积和S=π(t+1)236+π(9−t)236=118π(t2−8t+41)
∴图像为开后向上的抛物线，且当t=4时有最小值；
故选：D．
【点睛】本题考查了扇形的面积公式，二次函数的最值，二次函数的性质，线段的动点问题，解题的关键是熟练掌握扇所学的知识，正确的求出函数的表达式．
二、填空题
9． (2023·江苏泰州·统考中考真题）在函数y=(x−1)2中,当x＞1时,y随x的增大而 ___．（填“增大”或“减小”）
【答案】增大
【分析】根据其顶点式函数y=(x−1)2可知，抛物线开口向上，对称轴为x=1 ，在对称轴右侧y随x的增大而增大，可得到答案．
【详解】由题意可知: 函数y=(x−1)2,开口向上，在对称轴右侧y随x的增大而增大，又∵对称轴为x=1，
∴当x>1时，y随的增大而增大，
故答案为：增大．
【点睛】本题主要考查了二次函数的对称轴及增减性，掌握当二次函数开口向上时，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，在对称轴的左侧y随x的增大而减小是解题的关键．
10． (2023·江苏无锡·统考中考真题）把二次函数y=x2+4x+m的图像向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件：________．
【答案】m>3
【分析】先求得原抛物线的顶点坐标为（-2，m-4），再求得平移后的顶点坐标为（1，m-3），根据题意得到不等式m-3>0，据此即可求解．
【详解】解：∵y=x2+4x+m=(x+2)2+m-4，
此时抛物线的顶点坐标为（-2，m-4），
函数的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后的顶点坐标为（-2+3，m-4+1），即（1，m-3），
∵平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，
∴m-3>0，
解得：m>3，
故答案为：m>3．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，属于基础题，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．
11． (2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y=−0.2x2+x+2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m，则他距篮筐中心的水平距离OH是_________m．
【答案】4
【分析】将y=3.05代入y=−0.2x2+x+2.25中可求出x，结合图形可知x=4，即可求出OH．
【详解】解：当y=3.05时，−0.2x2+x+2.25=3.05，解得：x=1或x=4，
结合图形可知：OH=4m，
故答案为：4
【点睛】本题考查二次函数的实际应用：投球问题，解题的关键是结合函数图形确定x的值．
12． (2023·江苏盐城·统考中考真题）若点P(m,n)在二次函数y=x2+2x+2的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是____________．
【答案】1≤n<10
【分析】先判断−2【详解】解：∵点P到y轴的距离小于2，
∴−2∵点P(m,n)在二次函数y=x2+2x+2的图象上，
∴n=m2+2m+2=m+12+1，
∴当m=−1时，n有最小值为1．
当m=2时，n=2+12+1=10，
∴n的取值范围为1≤n<10.
故答案为：1≤n<10
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，掌握“二次函数的增减性”是解本题的关键．
13． (2023·江苏南通·统考中考真题）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是ℎ=−5t2+20t，当飞行时间t为___________s时，小球达到最高点．
【答案】2
【分析】将函数关系式转化为顶点式即可求解．
【详解】根据题意，有ℎ=−5t2+20t=−5(t−2)2+20，
当t=2时，ℎ有最大值．
故答案为：2．
【点睛】本题考查二次函数解析式的相互转化及应用，解决本题的关键是熟练二次函数解析式的特点及应用．
14． (2023·江苏徐州·统考中考真题）若二次函数y=x2−2x−3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为________．
【答案】4
【分析】由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线x=1，顶点为（1，-4），由图象上恰好只有三个点到x轴的距离为m可得m=4．
【详解】解：∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，
∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x=1，顶点为（1，-4），
∴顶点到x轴的距离为4，
∵函数图象有三个点到x轴的距离为m，
∴m=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能够理解题意是解题的关键．
15． (2023·江苏连云港·统考中考真题）某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是______元．
【答案】1264
【分析】根据题意，总利润=A快餐的总利润＋B快餐的总利润，而每种快餐的利润=单件利润×对应总数量，分别对两份快餐前后利润和数量分析，代入求解即可．
【详解】解：设A种快餐的总利润为W1，B种快餐的总利润为W2，两种快餐的总利润为W，设A快餐的份数为x份，则B种快餐的份数为(120−x)份．
据题意：W1=(12−x−402)×x=(12−x2+20)×x=−12x2+32x，
W2=[8+80−(120−x)2](120−x)=−12x2+72x−2400，
∴W=W1+W2=−x2+104x−2400=−(x−52)2+1264，
∵−1<0，
∴当x=52的时候，W取到最大值1264，故最大利润为1264元，
故答案为：1264．
【点睛】本题考查的是二次函数的应用，正确理解题意、通过具体问题找到变化前后的关系是解题关键点．
16． (2023·江苏无锡·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C为y轴正半轴上的一个动点，过点C的直线与二次函数y=x2的图象交于A、B两点，且CB=3AC，P为CB的中点，设点P的坐标为P(x,y)(x>0)，写出y关于x的函数表达式为：________．
【答案】y=83x2
【分析】过点A作AN⊥y轴，过点B作BM垂直y轴，则BM∥AN，ANBM=ACCB=13，设A(-a，a2)，则B(3a，9a2)，求出C(0，3a2)，从而得P(32a，6a2)，进而即可得到答案．
【详解】解：过点A作AN⊥y轴，过点B作BM垂直y轴，则BM∥AN，
∴△CBM∽△CAN，
∵CB=3AC，
∴ANBM=ACCB=13，
设A(-a，a2)，则B(3a，9a2)，
设直线AB的解析式为：y=kx+b，
则a2=−ka+b9a2=3ka+b，解得：k=2ab=3a2，
∴直线AB的解析式为：y=2ax+3a2，
∴C(0，3a2)，
∵P为CB的中点，
∴P(32a，6a2)，
∴x=32ay=6a2，即：y=83x2，
故答案是：y=83x2．
【点睛】本特纳主要考查二次函数与一次函数的综合，相似三角形的判定和性质，掌握函数图像上点的坐标特征，是解题的关键．
三、解答题
17． (2023·江苏盐城·统考中考真题）已知抛物线y=a(x−1)2+ℎ经过点(0,−3)和(3,0)．
（1）求a、ℎ的值；
（2）将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线相应的函数表达式．
【答案】（1）a=1，ℎ=−4；（2）y=x2−4x+2
【分析】（1）将点(0,−3)和(3,0)，代入解析式求解即可；
（2）将y=(x−1)2−4，按题目要求平移即可．
【详解】（1）将点(0,−3)和(3,0)代入抛物线y=a(x−1)2+ℎ得：
a(0−1)2+ℎ=−3a(3−1)2+ℎ=0
解得：a=1ℎ=−4
∴a=1，ℎ=−4
（2）∵原函数的表达式为:y=(x−1)2−4，
向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得：
∴平移后的新函数表达式为:y=(x−1−1)2−4+2=x2−4x+2
即y=x2−4x+2
【点睛】本题考查了待定系数法确定解析式，顶点式的函数平移，口诀：“左加右减，上加下减”，正确的计算和牢记口诀是解题的关键．
18． (2023·江苏常州·统考中考真题）在5张相同的小纸条上，分别写有语句：①函数表达式为y=x；②函数表达式为y=x2；③函数的图像关于原点对称；④函数的图像关于y轴对称；⑤函数值y随自变量x增大而增大．将这5张小纸条做成5支签，①、②放在不透明的盒子A中搅匀，③、④、⑤放在不透明的盒子B中搅匀．
(1)从盒子A中任意抽出1支签，抽到①的概率是______；
(2)先从盒子A中任意抽出1支签，再从盒子B中任意抽出1支签．求抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率．
【答案】(1)12
(2)12
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画出树状图，再由概率计算公式求解即可．
【详解】（1）解：从盒子A中任意抽出1支签，抽到①的概率是12；
故答案为：12；
（2）解：画出树状图：
共有6种结果，抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的有①、③和①、⑤和②、④共3种，
∴抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率为36=12．
【点睛】本题主要考查了列表法或树状图求概率，一次函数与二次函数的性质，解题的关键是会列出表或树状图以及一次函数与二次函数的性质．
19． (2023·江苏淮安·统考中考真题）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进A、B两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，总费用为8100元．
(1)求A、B两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；
(2)当B品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对B品牌粽子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当B品牌粽子每袋的销售价降低多少元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)A种品牌粽子每袋的进价是25元，B种品牌粽子每袋的进价是30元
(2)当B品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元
【分析】（1）根据已知数量关系列二元一次方程组，即可求解；
（2）设B品牌粽子每袋的销售价降低a元，利润为w元，列出w关于a的函数关系式，求出函数的最值即可．
【详解】（1）解：设A种品牌粽子每袋的进价是x元，B种品牌粽子每袋的进价是y元，
根据题意得，100x+150y=7000180x+120y=8100，
解得x=25y=30，
故A种品牌粽子每袋的进价是25元，B种品牌粽子每袋的进价是30元；
（2）解：设B品牌粽子每袋的销售价降低a元，利润为w元，
根据题意得，
w=54−a−3020+5a=−5a2+100a+480=−5a−102+980，
∵−5<0，
∴当B品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元．
【点睛】本题考查二次函数和二元一次方程的实际应用，根据已知数量关系列出函数解析式和二元一次方程组是解题的关键．
20． (2023·江苏无锡·统考中考真题）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．
(1)若矩形养殖场的总面积为36m2，求此时x的值；
(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
【答案】(1)x的值为2m；
(2)当x=103时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为1403 m2
【分析】（1）由BC=x，求得BD=3x，AB=8-x，利用矩形养殖场的总面积为36m2，列一元二次方程，解方程即可求解；
（2）设矩形养殖场的总面积为S，列出矩形的面积公式可得S关于x的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵BC=x，矩形CDEF的面积是矩形BCFA面积的2倍，
∴CD=2x，
∴BD=3x，AB=CF=DE=13(24-BD)=8-x，
依题意得：3x(8-x)=36，
解得：x1=2，x2=6(不合题意，舍去)，
此时x的值为2m；
；
（2）解：设矩形养殖场的总面积为S，
由（1）得：S=3x(8-x)=-3(x-4)2+48，
∵墙的长度为10，
∴0＜3x＜10，
∴0＜x＜103，
∵-3<0，
∴x＜4时，S随着x的增大而增大，
∴当x=103时，S有最大值，最大值为−3×(103−4)2+48=1403，
即当x=103时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为1403 m2．
【点睛】本题考查了一元二次方程和二次函数在几何图形问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
21． (2023·江苏泰州·统考中考真题）如图，二次函数y1=x2+mx+1的图像与y轴相交于点A，与反比例函数y2=kx(x>0)的图像相交于点B(3，1).
(1)求这两个函数的表达式；
(2)当y1随x的增大而增大且y1(3)平行于x轴的直线l与函数y1的图像相交于点C、D（点C在点D的左边），与函数y2的图像相交于点E.若△ACE与△BDE的面积相等，求点E的坐标.
【答案】(1)y1=x2−3x+1；y2=3xx>0
(2)32≤x<3
(3)E32,2
【分析】（1）用待定系数法求出解析式即可；
（2）由图像直接得出结论即可；
（3）根据A点和B点的坐标得出两三角形等高，再根据面积相等得出CE=DE，进而确定E点是抛物线对称轴和反比例函数的交点，求出E点的坐标即可．
【详解】（1）解：∵二次函数y1=x2+mx+1的图像与y轴相交于点A，与反比例函数y2=kxx>0的图像相交于点B3,1，
∴32+3m+1=1，k3=1，
解得m=−3，k=3，
∴二次函数的解析式为y1=x2−3x+1，反比例函数的解析式为y2=3xx>0；
（2）解：∵二次函数的解析式为y1=x2−3x+1，
∴对称轴为直线x=32，
由图像知，当y1随x的增大而增大且y1（3）解：由题意作图如下：
∵当x=0时，y1=1，
∴A0,1，
∵B3,1，
∴ΔACE的CE边上的高与ΔBDE的DE边上的高相等，
∵ΔACE与ΔBDE的面积相等，
∴CE=DE，
即E点是二次函数的对称轴与反比例函数的交点，
当x=32时，y2=2，
∴E32,2．
【点睛】本题主要考查二次函数和反比例函数的综合题，熟练掌握二次函数和反比例函数的图像及性质，三角形的面积，待定系数法求解析式等知识是解题的关键．
22． (2023·江苏连云港·统考中考真题）已知二次函数y=x2+(m−2)x+m−4，其中m>2．
(1)当该函数的图像经过原点O0,0，求此时函数图像的顶点A的坐标；
(2)求证：二次函数y=x2+(m−2)x+m−4的顶点在第三象限；
(3)如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线y=−x−2上运动，平移后所得函数的图像与y轴的负半轴的交点为B，求△AOB面积的最大值．
【答案】(1)A−1,−1
(2)见解析
(3)最大值为98
【分析】（1）先利用待定系数法求出二次函数解析式，再将二次函数解析式化为顶点式即可得到答案；
（2）先根据顶点坐标公式求出顶点坐标为2−m2,−m2+8m−204，然后分别证明顶点坐标的横纵坐标都小于0即可；
（3）设平移后图像对应的二次函数表达式为y=x2+bx+c，则其顶点坐标为−b2,4c−b24，然后求出点B的坐标，根据平移后的二次函数顶点在直线y=−x−2上推出c=b2+2b−84，过点A作AH⊥OB，垂足为H，可以推出S△AOB=−18(b+1)2+98,由此即可求解．
【详解】（1）解：将O0,0代入y=x2+(m−2)x+m−4，
解得m=4．
由m>2，则m=4符合题意，
∴y=x2+2x=(x+1)2−1，
∴A−1,−1．
（2）解：由抛物线顶点坐标公式得顶点坐标为2−m2,−m2+8m−204．
∵m>2，
∴m−2>0，
∴2−m<0，
∴2−m2<0．
∵−m2+8m−204=−14(m−4)2−1≤−1<0，
∴二次函数y=x2+(m−2)x+m−4的顶点在第三象限．
（3）解：设平移后图像对应的二次函数表达式为y=x2+bx+c，则其顶点坐标为−b2,4c−b24
当x=0时，y=c，
∴B0,c．
将−b2,4c−b24代入y=−x−2，
解得c=b2+2b−84．
∵B0,c在y轴的负半轴上，
∴c<0．
∴OB=−c=−b2+2b−84．
过点A作AH⊥OB，垂足为H，
∵A−1,−1，
∴AH=1．
在△AOB中，S△AOB=12OB⋅AH=12×−b2+2b−84×1
=−18b2−14b+1
=−18(b+1)2+98,
∴当b=−1时，此时c<0，△AOB面积有最大值，最大值为98．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数的平移，二次函数的最值问题，正确理解题意，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．
23． (2023·江苏泰州·统考中考真题）农技人员对培育的某一品种桃树进行研究，发现桃子成熟后一棵树上每个桃子质量大致相同．以每棵树上桃子的数量x（个）为横坐标、桃子的平均质量y（克/个）为纵坐标，在平面直角坐标系中描出对应的点，发现这些点大致分布在直线AB附近（如图所示）．
（1）求直线AB的函数关系式；
（2）市场调研发现：这个品种每个桃子的平均价格w（元）与平均质量y（克/个）满足函数表达式w＝1100y+2．在（1）的情形下，求一棵树上桃子数量为多少时，该树上的桃子销售额最大？
【答案】（1）y=−53x+500；（2）210．
【分析】（1）将A120,300，B240,100代入到y=kx+b，得到方程组300=120k+b100=240k+b，解得k与b的值，即可求出直线AB的解析式；
（2）将y=−53x+500代入w=1100y+2中，得到新的二次函数解析式，再表示出总销售额，配方成顶点式，求出最值即可．
【详解】解：（1）设直线AB的函数关系式为y=kx+b，
将A120,300，B240,100代入可得：300=120k+b100=240k+b，
解得：k=−53b=500，
∴直线AB的函数关系式y=−53x+500．
故答案为：y=−53x+500．
（2）将y=−53x+500代入w=1100y+2中，
可得：w=1100−53x+500+2，
化简得：w=−160x+7，
设总销售额为z，则z=wx=−160x+7x
z=−160x2+7x
=−160x2−420x
=−160x2−420x+2102+160×2102
=−160x−2102+735
∵a=−160<0，
∴z有最大值，当x=210时，z取到最大值，最大值为735．
故答案为：210．
【点睛】本题考查了一次函数解析式的求解，二次函数的应用，能理解题意，并表示出其解析式是解题关键．
24． (2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，抛物线y=mx2+m2+3x−(6m+9)与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知B(3,0)．
（1）求m的值和直线BC对应的函数表达式；
（2）P为抛物线上一点，若S△PBC=S△ABC，请直接写出点P的坐标；
（3）Q为抛物线上一点，若∠ACQ=45°，求点Q的坐标．
【答案】（1）m=−1，y=x−3；（2）P2,1，P3+172,−7+172，P3−172,−7−172；（3）Q72,−54
【分析】（1）求出A，B的坐标，用待定系数法计算即可；
（2）做点A关于BC的平行线AP1，联立直线AP1与抛物线的表达式可求出P1的坐标，设出直线AP1与y轴的交点为G，将直线BC向下平移，平移的距离为GC的长度，可得到直线P3P2，联立方程组即可求出P；
（3）取点Q，连接CQ，过点A作AD⊥CQ于点D，过点D作DF⊥x轴于点F，过点C作CE⊥DF于点E，得直线CD对应的表达式为y=12x−3，即可求出结果；
【详解】（1）将B3,0代入y=mx2+m2+3x−6m+9，
化简得m2+m=0，则m=0（舍）或m=−1，
∴m=−1，
得：y=−x2+4x−3，则C0,−3．
设直线BC对应的函数表达式为y=kx+b，
将B3,0、C0,−3代入可得0=3k+b−3=b，解得k=1，
则直线BC对应的函数表达式为y=x−3．
（2）如图，过点A作AP1∥BC，设直线AP1与y轴的交点为G，将直线BC向下平移 GC个单位，得到直线P3P2，
由（1）得直线BC的解析式为y=x−3，A1,0，
∴直线AG的表达式为y=x−1，
联立y=x−1y=−x2+4x−3，
解得：x=1y=0（舍），或x=2y=1，
∴P12,1，
由直线AG的表达式可得G−1,0，
∴GC=2，CH=2，
∴直线P3P2的表达式为y=x−5，
联立y=x−5y=−x2+4x−3，
解得：x1=3+172y1=−7+17，x2=3−172y2=−7−17，
∴P33+172,−7+172，P23−172,−7−172，
∴P2,1，P3+172,−7+172，P3−172,−7−172．
（3）如图，取点Q，连接CQ，过点A作AD⊥CQ于点D，
过点D作DF⊥x轴于点F，过点C作CE⊥DF于点E，
∵∠ACQ=45°，
∴AD=CD，
又∵∠ADC=90°，
∴∠ADF+∠CDE=90°，
∵∠CDE+∠DCE=90°，
∴∠DCE=∠ADF，
又∵∠E=∠AFD=90°，
∴ΔCDE≌ΔDAF，则AF=DE，CE=DF．
设DE=AF=a，
∵OA=1，OF=CE，
∴CE=DF=a+1．
由OC=3，则DF=3−a，即a+1=3−a，解之得，a=1．
所以D2,−2，又C0,−3，
可得直线CD对应的表达式为y=12x−3，
设Qm,12m−3，代入y=−x2+4x−3，
得12m−3=−m2+4m−3，12m=−m2+4m，m2−72m=0，
又m≠0，则m=72．所以Q72,−54．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合题，结合一元二次方程求解是解题的关键．
25． (2023·江苏镇江·统考中考真题）一次函数y=12x+1的图像与x轴交于点A，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像经过点A、原点O和一次函数y=12x+1图像上的点B(m,54)．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)如图1，一次函数y=12x+n(n>−916,n≠1)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像交于点C(x1,y1)、D(x2,y2)（x1①x1=_________，x2=_________（分别用含n的代数式表示）；
②证明：AE=BF；
(3)如图2，二次函数y=a(x−t)2+2的图像是由二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像平移后得到的，且与一次函数y=12x+1的图像交于点P、Q（点P在点Q的左侧），过点P作直线l3⊥x轴，过点Q作直线l4⊥x轴，设平移后点A、B的对应点分别为A'、B'，过点A'作A'M⊥l3于点M，过点B'作B'N⊥l4于点N．
①A'M与B'N相等吗？请说明你的理由；
②若A'M+3B'N=2，求t的值．
【答案】(1)y=x2+2x
(2)①−3−9+16n4，−3+9+16n4；②见解析
(3)①A'M=B'N，理由见解析；②3
【分析】（1）通过一次函数表达式可以求出A、B两点坐标，将A、B、C三点坐标代入二次函数表达式即可求解；
（2）①通过联立关系式可得：12x+n=x2+2x，利用公式法解一元二次方程，求出方程的解即可得到x1,x2的值；
②通过A（-2，0），E(−3−9+16n4,0)即可求出AE的长度；
通过B(12,54)，F(−3+9+16n4,54)即可求出BF的长度；
（3）①通过二次函数平移前后的表达式可以确定新二次函数的图像是由原二次函数的图像向右平移(t+1)个单位，向上平移3个单位得到的，从而可以得到：A'(t−1,3)，B'(t+32,174)．通过联立关系式可得：(x−t)2+2=12x+1，利用公式法解一元二次方程，求出方程的解即可得到点P、点Q的横坐标，通过坐标即可表示出A'M、B'N的长度．
②由①可得5−8t−154=12，求解即可．
【详解】（1）令y=0，则12x+1=0，解得x=−2，
∴A(−2,0)，
将点B(m,54)代入y=12x+1中，解得m=12，
∴点B的坐标为(12,54)．
将A(−2,0)，B(12,54)，C(0,0)代入y=ax2+bx+c(a≠0)可得：
{4a−2b+c=014a+12b+c=54c=0，解得：{a=1b=2c=0，
∴二次函数的表达式为y=x2+2x．
（2）①∵一次函数y=12x+n(n>−916,n≠1)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像交于点C(x1,y1)、D(x2,y2)（x1∴联立关系式得：12x+n=x2+2x，
整理得：x2+32x−n=0，
解得：x1=−32−94+4n2=−3−9+16n4，x2=−32+94+4n2=−3+9+16n4，
故答案为：x1=−3−9+16n4，x2=−3+9+16n4；
②当n>1时，CD位于AB的上方，∵A(−2,0)、B(12,54)，
∴AE=−2−−32−94+4n2=−52+94+4n2，BF=−32+94+4n2−12=−52+94+4n2，
∴AE=BF，
当−916故可得：AE=BF；
（3）方法一：
①∵二次函数y=x2+2x图像的顶点为(−1,−1)，
二次函数y=(x−t)2+2的图像的顶点为(t,2)，
∴新二次函数的图像是由原二次函数的图像向右平移(t+1)个单位，向上平移3个单位得到的．
∴A(−2,0)的对应点为A'(t−1,3)，B(12,54)的对应点为B'(t+32,174)，
联立关系式可得：(x−t)2+2=12x+1，
整理得：x2−(2t+12)x+t+1=0，
△=8t−154，
当t>158时，解得：xP=4t+1−8t−154，xQ=4t+1+8t−154，
∴NB'=t+32−4t+1+8t−154=5−8t−154，AM'=4t+1−8t−154−(t−1)=5−8t−154，
∴A'M=B'N．
②∵A'M+3B'N=2，A'M=B'N．
∴A'M=B'N=12，
∴5−8t−154=12，
解得:t=3．
方法二：
①设P、Q平移前的对应点分别为P'、Q'，则P'Q'∥PQ．
则P'Q'∥AB，
∵A'、B'平移前的对应点分别为A、B，
由（2）②及平移的性质可知，A'M=B'N．
②∵A'M+3B'N=2，
∴A'M=B'N=12，
∵B(12,54)到y轴的距离为12，点O是y轴与二次函数y=x2+2x的图像的交点，
∴平移后点O的对应点即为点Q．
∵二次函数y=x2+2x图像的顶点为(−1,−1)，
二次函数y=(x−t)2+2的图像的顶点为(t,2)，
∴新二次函数的图像是由原二次函数的图像向右平移(t+1)个单位，向上平移3个单位得到的．
∴Q(t+1,3)，将点Q的坐标代入y=12x+1中，解得t=3．
另解：
∵A'M+3B'N=2，
∴A'M=B'N=12，
B(12,54)的对应点为B'(t+32,174)．
∵B'N=12，
∴点Q的横坐标为t+1，代入y=12x+1，得y=12t+32．
∴Q(t+1,12t+32)．将点Q的坐标代入y=(x−t)2+2中，解得t=3．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数表达式，联立关系式求交点坐标及利用点的坐标表示线段的长度，能够熟练掌握函数中表示线段长度的方法，求交点坐标的方法，熟练掌握用公式法解一元二次方程是解决本题的关键．
26． (2023·江苏淮安·统考中考真题）如图（1），二次函数y=−x2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为3,0，点C的坐标为0,3，直线l经过B、C两点．

(1)求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标；
(2)点P为直线l上的一点，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图像相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点N，当PM=12MN时，求点P的横坐标；
(3)如图（2），点C关于x轴的对称点为点D，点P为线段BC上的一个动点，连接AP，点Q为线段AP上一点，且AQ=3PQ，连接DQ，当3AP＋4DQ的值最小时，直接写出DQ的长．
【答案】(1)y=−x2+2x+3，顶点坐标1,4
(2)P点横坐标为1+2或1−2或2+3或2−3
(3)DQ=5104
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）设P（t，−t+3），则M（t，−t2+2t+3），N（2−t，−t2+2t+3），则PM=t2−3t，MN=2−2t，由题意可得方程t2−3t=122−2t，求解方程即可；
（3）由题意可知Q点在平行于BC的线段上，设此线段与x轴的交点为G，由QG∥BC，求出点G(2，0)，作A点关于GQ的对称点A'，连接A'D与AP交于点Q，则3AP+4DQ=4(DQ+34AP)=4(DQ＋AQ)≥4A'D，利用对称性和∠OBC=45°，求出A'(2，3)，求出直线DA'的解析式和直线QG的解析式，联立方程组y=−x+2y=3x−3，可求点Q54,34，再求DQ=5104．
【详解】（1）解：将点B3,0，C0,3代入y=−x2+bx+c
∴−9+3b+c=0c=3
解得b=2c=3
∴y=−x2+2x+3
∵y=−x2+2x+3=−x−12+4，
∴顶点坐标1,4；
（2）解：设直线BC的解析式为y=kx+b，
∴3k+b=0b=3
解得k=−1b=3
∴y=−x+3，
设Pt,−t+3，则Mt,−t2+2t+3，N2−t,−t2+2t+3，
∴PM=t2−3t，MN=2−2t，
∵PM=12MN，
∴t2−3t=122−2t，
∴t2−3t=12(2−2t)或t2−3t=−12(2−2t)，
当t2−3t=12(2−2t)时， 整理得t2−2t−1=0，
解得t1=1+2，t2=1−2，
当t2−3t=−12(2−2t)时，整理得t2−4t+1=0，
解得t3=2+3，t4=2−3，
∴P点横坐标为1+2或1−2或2+3或2−3；
（3）解：∵C0,3，D点与C点关于x轴对称，
∴D0,−3，
令y=0，则−x2+2x+3=0，
解得x=−1或x=3，
∴A−1,0，
∴AB=4，
∵AQ=3PQ，
∴Q点在平行于BC的线段上，设此线段与x轴的交点为G，
∴QG∥BC，
∴AQAP=AGBA，
∴34=AG4，
∴AG=3，
∴G2,0，
∵OB=OC，
∴∠OBC=45°，
作A点关于GQ的对称点A'，连接AD与AP交于点Q，
∵AQ=A'Q，
∴AQ+DQ=A'Q+DQ⩾A'D，
∴3AP+4DQ=4DQ+34AP=4DQ+AQ⩾4A'D，
∵∠QGA=∠CBO=45°，AA'⊥QG，
∴∠A'AG=45°，
∵AG=A'G，
∴∠AA'G=45°，
∴∠AGA'=90°，
∴A'2,3，
设直线DA'的解析式为y=kx+b，
∴b=−32k+b=3，
解得k=3b=−3，
∴y=3x−3，
同理可求直线QG的解析式为y=−x+2，
联立方程组y=−x+2y=3x−3，
解得x=54y=34，
∴Q54,34，
∵D0,−3，
∴DQ=54−02+34−−32=2516+22516=5104.
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离的方法，解绝对值方程，待定系数法求函数的解析式是解题的关键．
B卷（模拟提升卷）
备注：本套试卷所选题目多数为近江苏省各地区中考模拟，是中考命题的中考参考，考生平时应针对性的有选择的训练，开拓眼界，举一反三，使自己的解题水平更上一层楼！
一、单选题
1． (2023·江苏无锡·校考一模）将抛物线y=x2向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ）
A．y=x+22+1B．y=x−22+1C．y=x+22−1D．y=x−22−1
【答案】B
【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线y=x2向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为y=x−22+1．
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．
2． (2023·江苏徐州·校考二模）关于抛物线y＝x2﹣4x+4，下列说法错误的是（ ）
A．开口向上B．与x轴有两个重合的交点
C．对称轴是直线x＝2D．当x＞2时，y随x的增大而减小
【答案】D
【分析】根据抛物线解析式求出顶点坐标和对称轴，利用二次函数的性质即可判断．
【详解】解∵a＝1＞0，
∴开口向上，
故A正确；
∵y=x2﹣4x+4=(x﹣2）2，
∴顶点坐标（2，0），对称轴x＝2，
∵抛物线的顶点在x轴上，
∴与x轴有两个重合的交点，
故B、C正确；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，
∴当x＞2时，y随x的增大而增大，
故D错误．
故选：D．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握配方法全等抛物线的顶点坐标，对称轴，属于中考常考题型．
3． (2023·江苏无锡·统考二模）某数学兴趣小组研究二次函数y=x2+ax+c的图象时，得出如下四个结论：
甲：图象与x轴的一个交点为3,0；
乙：图象与x轴的一个交点为1,0；
丙：图象的对称轴为过点1,0，且平行于y轴的直线；
丁：图象与x轴的交点在原点两侧；
若这四个命题中只有一个假命题，则该命题是( )
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】B
【分析】根据抛物线的对称轴、抛物线与x轴的交点判断即可；
【详解】对于y= x2+ax +b，二次项系数为1 > 0
∴抛物线开口向上，
当图象的对称轴为过点(1，0)，且平行于y轴的直线，图象与x轴的一个交点为(3， 0)时，
图象与x轴的一个交点为(-1，0)，图象与x轴的交点在原点两侧，
∴乙是假命题，
故选：B．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断、二次函数的性质，掌握抛物线的对称性、抛物线与x轴的交点情况是解题的关键．
4． (2023·江苏徐州·校考二模）在同一直角坐标系中，函数y＝ax＋a和函数y＝ax2＋x＋2(a是常数，且a≠0)的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据a>0和a<0的一次函数图象与二次函数图象的特征分析即可．
【详解】解：当a>0时，函数y=ax+a的图象经过一、二、三象限；函数y=ax2+x+2的开口向上，对称轴在y轴的左侧；
当a<0时，函数y=ax+a的图象经过二、三、四象限；函数y=ax2+x+2的开口向下，对称轴在y轴的右侧，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的图象综合，根据图象判断函数解析式中字母的取值，正确理解函数图象是解题的关键．
5． (2023·江苏苏州·苏州高新区实验初级中学校考二模）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）(0°＜x≤90°)近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a≠0)．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（ ）
A．18°B．36°C．41°D．58°
【答案】C
【分析】根据题意将函数图像补全完整，根据图像即可求得．
【详解】解：由题意可知函数图象为开口向上的抛物线，由图表数据描点连线，补全图可得如图，
∴抛物线对称轴在36和54之间，约为41°，
∴旋钮的旋转角度x在36°和54°之间，约为41°时，燃气灶烧开一壶水最节省燃气．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数图象的对称性，判断出对称轴位置是解题关键．
6． (2023·江苏盐城·统考二模）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可得到最佳加工时间为（ ）
A．4.25分钟B．4.00分钟C．3.75分钟D．3.50分钟
【答案】C
【分析】先结合函数图象，利用待定系数法求出函数解析式，将解析式配方成顶点式后，利用二次函数的性质可得答案．
【详解】解：由题意知，函数p=at2+bt+c经过点3,0.7,4,0.8,5,0.5，
则9a+3b+c=0.716a+4b+c=0.825a+5b+c=0.5，
解得：a=−0.2b=1.5c=−2，
∴p=at2+bt+c=−0.2t2+1.5t−2=−0.2(t−3.75)2+0.8125，
∴当t=3.75时，可食用率最高，
∴最佳加工时间为3.75分钟，
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式及利用二次函数的图象和性质求最值问题是解题的关键．
7． (2023·江苏南京·统考二模）已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如上表，以下结论正确的是（ ）
A．抛物线y=ax2+bx+c的开口向下B．当x<3时，y随x增大而增大
C．当y>0时，x的取值范围是0【答案】D
【分析】根据表格中的数据，可以得到该抛物线的对称轴和顶点坐标，再观察表格中的数据，即可得到该函数图象开口方向，从而可以判断A；判断当x＜3时，y随x的增大如何变化，从而可以判断B；当y＞0时x的取值范围，从而可以判断C；写出方程ax2+bx+c=0的根，从而可以判断D．
【详解】解：由表格可得，二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=−1+32=1，
∴顶点坐标为（1，−1），该抛物线开口向上，故选项A错误，不符合题意；
当1＜x＜3时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，故选项B错误，不符合题意；
当y＞0时，x的取值范围是x＜0或x＞2，故选项C错误，不符合题意；
方程ax2+bx+c=0的根为0和2，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
8． (2023·江苏南通·统考二模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，动点P沿折线CA−AB运动，到点B停止，动点Q沿BA−AC运动到点C停止，点P运动速度为2cm/s，点Q的运动速度为2.5cm/s，设运动时间为ts，△APQ的面积为S，则S与t0≤t≤4.5对应关系的的图象大致是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分别求出当0≤t≤2时，2【详解】解：由题意得：AB=BC2+AC2=32+42=5cm，
当0≤t≤2时，点P在AC上，点Q在AB上，
则AP＝AC－CP＝4－2t，AQ＝AB－BQ＝5－2.5t，
如图，过点Q作QM⊥AC于M，
∴sin∠A＝QMAQ=BCAB，即QM5−2.5t=35，
∴QM=3−1.5t，
此时S=12AP⋅QM=12×4−2t3−1.5t=32t2−6t+6，
当2则AP＝2t－4，AQ＝2.5t－5，
如图，过点P作PN⊥AC于N，
同理可得：PN=6t−125，
此时S=12AQ⋅PN=12×2.5t−56t−125=32t2−6t+6，
∵二次函数S=32t2−6t+6的图象开口向上，对称轴为x=−−62×32=2，
∴当0≤t≤3.6时，函数图象为二次函数S=32t2−6t+6的图象的一部分，
当3.6此时S=12AC⋅PN=12×4×6t−125=125t−245，
∴当3.6故选：B．
【点睛】此题考查了动点问题的函数图象，正确表示出△APQ的面积并能够根据函数解析式选择相应的函数图象是解题的关键．
二、填空题
9． (2023·江苏南通·校联考一模）一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y=−112x2+23x+53．则他将铅球推出的成绩是 ___________m．
【答案】10
【分析】成绩就是当y=0时x的值，所以将y=0代入y=−112x2+23x+53解方程即可．
【详解】当y=0时,则
−112x2+23x+53=0，
解得：x1=10，x2=−2（不符合题意，舍去），
故答案为：10
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，把函数问题转化为方程问题来解，渗透函数与方程相结合的解题思想方法．
10． (2023·江苏无锡·校考二模）若二次函数y=mx2+2(m−1)x+m，当m=______时，与x轴有唯一的交点．
【答案】12##0.5
【分析】由二次函数y=mx2+2(m−1)x+m与x轴有唯一的交点，可得△=2m−12−4m2=0，再解方程即可．
【详解】解：∵二次函数y=mx2+2(m−1)x+m与x轴有唯一的交点，
∴△=2m−12−4m2=0，
解得：m=12，
故答案为：m=12．
【点睛】本题考查的是二次函数与x轴的交点问题，掌握“当△=0时，二次函数与x轴有一个交点”是解本题的关键．
11． (2023·江苏常州·校考二模）已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下：那么当y>5时，x的取值范围为_____．
【答案】x<0或x>4
【分析】根据表格数据，利用二次函数的对称性判断出x=4时，y=5，然后再判断出开口方向，写出y>5时，x的取值范围即可．
【详解】解：根据表格可知，二次函数y=ax2+bx+c对应抛物线图像的对称轴为直线x=2，开口向上，
∵当x=0时，y=5，
∴当x=2×2−0=4时，y=5，
∴当y>5时，x<0或x>4，
故答案为：x<0或x>4．
【点睛】本题考查二次函数的基本性质，解题关键在于判断出抛物线的对称轴以及开口方向.
12． (2023·江苏盐城·校考二模）将二次函数y=x2+2x+n的图像先向右平移2个单位，再向上平移mm>0个单位，得到函数y=x2−2x+4的图像，则m+n的值为________．
【答案】4
【分析】根据二次函数的平移规律进行求解即可：左加右减，上加下减．
【详解】解：∵将二次函数y=x2+2x+n=x+12+n−1的图像先向右平移2个单位，再向上平移mm>0个单位，得到函数y=x2−2x+4，
∴y=x2−2x+4=x+1−22+m+n−1，
∴x2−2x+4=x2−2x+m+n，
∴m+n=4，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，代数式求值，熟知二次函数图象的平移规律是解题的关键．
13． (2023·江苏苏州·苏州市振华中学校校考二模）如图，抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A−1,p，B3,q两点，则不等式ax2+mx+c【答案】−3【分析】根据二次函数和一次函数的图象和性质即可求解．
【详解】解：∵抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A−1,p，B3,q两点，
∴−m+n=p，3m+n=q，
∴抛物线y=ax2+c与直线y=−mx+n交于P1,p，Q−3,q两点，
观察函数图象可知：当−3直线y=−mx+n在抛物线y=ax2+c的上方，
∴不等式ax2+mx+c故答案为−3【点睛】本题考查了二次函数和不等式、二次函数与一次函数的交点，解决本题的关键是利用图象解决问题．
14． (2023·江苏苏州·苏州市振华中学校校考模拟预测）若二次函数y=ax2−bx+2有最大值6，则y=−ax+12+bx+1+2的最小值为____．
【答案】−2
【分析】根据题意设二次函数y=ax2−bx+2的顶点坐标为m,6，且开口向下，根据平移可知y=ax+12−bx+1+2的顶点坐标为m−1,6，根据关于x轴对称可知y=−ax+12+bx+1−2的顶点坐标为m−1,−6，且开口向上，有最小值，根据向上平移4个单位即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数y=ax2−bx+2有最大值6，
∴设二次函数y=ax2−bx+2的顶点坐标为m,6，
∵y=ax2−bx+2向左平移1个单位得到y=ax+12−bx+1+2，
∴y=ax+12−bx+1+2的顶点坐标为m−1,6，
∵y=−ax+12+bx+1−2与y=ax+12−bx+1+2关于x轴对称
∴y=−ax+12+bx+1−2的顶点坐标为m−1,−6，且开口向上，
∵y=−ax+12+bx+1−2向上平移4个单位得到：
y=−ax+12+bx+1+2
此时顶点坐标为m−1,−2，则最小值为−2
故答案为：−2
【点睛】本题考查了二次函数图像的平移，关于坐标轴对称的点的坐标特征；利用顶点坐标变换是解题的关键．
15． (2023·江苏泰州·校考一模）定义新运算：[a，b，c]＝a（c＜a＜b），即[a，b，c]的取值为a，b，c的中位数，例如，[1，2，3]＝2，[3，4，8]＝4，已知函数y＝[x+2，x2+1，﹣x+2]与直线y＝12x+b有3个交点时，则b的值为____．
【答案】9−54或b＝2
【分析】画出函数的数y＝[x＋2，x2＋1，−x＋2]的图象，观察图象，利用图象法解决问题即可．
【详解】解：由题意：函数y＝[x＋2，x2＋1，−x＋2]的图象如图所示（图中实线）．
由y=x2+1y=x+2，解得x=1+52y=5+52或x=1−52y=5−52，
∴A（1−52，5−52），
直线y＝x＋2交y轴于B（0，2），
观察图象可知：当直线y=12x+b经过点A或点B时，函数y＝[x＋2，x2＋1，−x＋2]与直线y=12x+b有3个交点，
∴5−55=1−54+b或b＝2，
∴b＝9−54或b＝2，
故答案为：9−54或b＝2．
【点睛】本题考查中位数，函数的图象等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
16． (2023·江苏盐城·滨海县第一初级中学校考三模）如图1，对于平面内的点A、P，如果将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PB，就称点B是点A关于点P的“放垂点”．如图2，已知点A4,0，点P是y轴上一点，点B是点A关于点P的“放垂点”，连接AB、OB，则OB的最小值是______．
【答案】22
【分析】①当P点纵坐标≥0时，过点B作BC⊥y轴于C，由△BPC≌△PAO可得BC=PO，PC=AO，设OP长度为x由两点距离公式建立二次函数，再由二次函数的性质求值即可；②当P点纵坐标＜0时，过点B作BC⊥y轴于C，同理可得OB的表达式，再由二次函数的性质求值即可；
【详解】解：①当P点纵坐标≥0时如图，过点B作BC⊥y轴于C，
∠CBP+∠CPB=90°，∠OPA+∠CPB=90°，则∠CBP=∠OPA，
由旋转的性质可得：PB=PA，
△BPC和△PAO中：∠PBC=∠APO，∠BCP=∠POA=90°，BP=PA，
∴△BPC≌△PAO（AAS），
∴BC=PO，PC=AO，
设OP长度为x，则PC=AO=4，BC=x，B（x，x+4）
∴OB=x2+x+42=2x+22+8
∵x≥0，
∴x=0时OB最小，最小值为4，
②当P点纵坐标＜0时，如图，过点B作BC⊥y轴于C，
同理可得△BPC≌△PAO（AAS），BC=PO，PC=AO，
设OP长度为x，则PC=AO=4，BC=x，B（-x，4-x）
∴OB=x2+4−x2=2x−22+8
∵x＞0，
∴x=2时OB最小，最小值为22，
综上所述：OB最小值为22，
故答案为：22；
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的性质；根据P点位置分类讨论是解题关键．
三、解答题
17． (2023·江苏泰州·模拟预测）用总长为60m的篱笆围成矩形场地．
(1)根据题意，填写下表：
(2)设矩形一边长为xm，矩形面积为Sm2，当x是多少时，矩形场地的面积S最大？并求出矩形场地的最大面积；
(3)当矩形的长为______m，宽为______m时，矩形场地的面积为216m2．
【答案】(1)见解析
(2)当x是15m时，矩形场地的面积S最大，最大面积为225m2
(3)18，12
【分析】（1）根据一边长及周长求出另一边长，再根据矩形面积公式计算可得；
（2）先表示出矩形的另一边长，再根据：矩形面积公式，可得面积S关于x的函数解析式，配方成顶点式可得其最值情况；
（3）在以上函数解析式中令S=216，解方程可得x的值．
【详解】（1）解：若矩形一边长为10m，则另一边长为602−10=20m，
此时矩形面积为：10×20=200m2，
若矩形一边长为15m，则另一边长为602−15=15m，
此时矩形面积为：15×15=225m2，
若矩形一边长为20m，则另一边长为602−20=10m，
此时矩形面积为：10×20=200m2，
完成表格如下：
（2）解：设矩形一边长为xm，则另一边长为602−x=30−xm，
∴矩形场地的面积S=x30−x=−x2+30x=−x−152+225，
当x=15时，S取得最大值，最大值为225m2，
答：当x是15m时，矩形场地的面积S最大，最大面积为225m2；
（3）解：根据题意，得：−x2+30x=216，
解得：x=12或x=18，
∴当矩形的长为18m，宽为12m时，矩形场地的面积为216m2，
故答案为：18，12．
【点睛】此题考查了一元二次方程和二次函数的实际应用，根据题意表示出另一边长，将长乘以宽得出面积并配方找最大值是解题的关键．
18． (2023·江苏南通·南通市新桥中学校考一模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，经过（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣3）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）不等式ax2+bx+c＞0的解集为 ；
（3）方程ax2+bx+c＝m有两个实数根，m的取值范围为 ．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）x＜﹣1或x＞3；（3）m≥﹣4．
【分析】（1）把（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c解方程组即可得到结论；
（2）根据图象即可得到结论；
（3）设y＝ax2+bx+c和y＝m，方程ax2+bx+c＝m有两个实数根，即二次函数图象与直线y＝m有两个交点或一个交点，结合一元二次方程根的判别式即可求出m的取值范围．
【详解】解：（1）把（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c得a−b+c=09a+3b+c=0c=−3，
解得：a=1b=−2c=−3，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）由函数图象可知抛物线和x轴的两个交点横坐标为﹣1，3，
所以不等式ax2+bx+c＞0的解集为x＜﹣1或x＞3；
（3）设y＝ax2+bx+c和y＝m，
方程ax2+bx+c＝m有两个实数根，则二次函数图象与直线y＝m有两个交点或一个交点，
即x2−2x−3=m有两个实数根，
∴Δ≥0，即−22−4×1×−3−m≥0，
解得m≥﹣4．
【点睛】本题考查二次函数与不等式，抛物线与x轴的交点问题，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此，同学们要引起重视．
19． (2023·江苏徐州·校考二模）小爱同学学习二次函数后，对函数y=−(|x|−1)2进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：
(1)写出该函数的一条性质： ；
(2)方程−(|x|−1)2=−1的解为： ；
(3)若方程−(|x|−1)2=a有四个实数根，则a的取值范围是 ．
【答案】(1)函数图象关于y轴对称
(2)x=-2或x=0或x=2
(3)-1＜a＜0
【分析】（1）根据图象即可求得；
（2）根据图象的性质，找到纵坐标等于-1，对应的横坐标的值，即可求得；
（2）根据图象的性质，即可得到结论．
【详解】（1）解：观察图象，该函数的一条性质为：函数图象关于y轴对称；
故答案为：函数图象关于y轴对称；
（2）解：方程−(|x|−1)2=−1的解为：x=-2或x=0或x=2；
故答案为：x=-2或x=0或x=2；
（3）解：若方程−(|x|−1)2=a有四个实数根，则a的取值范围是-1＜a＜0．
故答案为：-1＜a＜0．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象，二次函数图象和性质，数形结合是解题的关键．
20． (2023·江苏南京·统考一模）某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是出价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：
注：周销售利润=周销售量×（售价-进价）
(1)求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)当售价是多少元/件时，周销售利润最大，此时最大利润是多少元．
【答案】(1)y=-2x+200
(2)当售价是70元时，最大利润是1800元
【分析】（1）设函数解析式为y＝kx+b，再运用待定系数法解答即可；
（2）先确定进价，然后再利用销售利润＝销售量×（售价﹣进价）确定二次函数解析式，然后再确定函数解析式即可．
【详解】（1）解：设一次函数解析式为y＝kx+b，
根据题意，得
{50k+b=10060k+b=80，
解得{k=−2b=200
所以y与x的函数表达式为y＝﹣2x+200．
（2）解：进价为50﹣（1000÷100）＝40元每件，
所以w＝（﹣2x+200）（x﹣40）
＝﹣2（x﹣70）2+1800
所以当x＝70元时，周销售利润最大，最大利润为1800元．
【点睛】本题考查了一次函数解析式和二次函数的应用，解题的关键在于对待定系数法和二次函数求最值的应用．
21． (2023·江苏南京·统考一模）已知二次函数y=x2−2mx+2m−1（m为常数）．
(1)求证：不论m为何值，该二次函数的图象与x轴总有公共点．
(2)求证：不论m为何值，该二次函数的图象的顶点都在函数y=−x−12的图象上．
(3)已知点Aa,−1,Ba+2,−1，线段AB与函数y=−x−12的图象有公共点，则a的取值范围是 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)−2≤a≤2
【分析】（1 ）计算判别式的值得到△≥0，从而根据判别式的意义得到结论；
（ 2）利用配方法得到二次函数y=x2−2mx+2m−1的顶点坐标为m,−m−12，然后根据二次函数图象上点的坐标特征进行判断；
（ 3）先计算出抛物线y=−x−12与直线y=−1的交点的横坐标，然后结合图象得到a+2≥0且a≤2．
【详解】（1）证明：∵△=4m2−42m−1
=4m2−8m+4
=4m−12≥0，
所以不论m为何值，该二次函数的图象与x轴总有公共点；
（2）证明：y=x2−2mx+2m−1=x−m2−m−12，
二次函数y=x2−2mx+2m−1的顶点坐标为m,−m−12
当x=m时，y=−x−12=−m−12，
所以不论m为何值，该二次函数的图象的顶点都在函数y=−x−12的图象上；
（3）当y=−1时，y=−(x−1)2=−1，解得x1=0，x2=2，
当a+2≥0且a≤2时，线段AB与函数y=−x−12的图象有公共点，
所以a的范围为−2≤a≤2．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
22． (2023·江苏无锡·统考二模）如图，已知抛物线y=12x2+bx过点A(−4,0)、顶点为B，一次函数y=12x+2的图像交y轴于M，对称轴与x轴交于点H．
(1)求抛物线的表达式；
(2)已知P是抛物线上一动点，点M关于AP的对称点为N．
①若点N恰好落在抛物线的对称轴上，求点N的坐标；
②请直接写出△MHN面积的最大值．
【答案】(1)抛物线的表达式为y=12x2+2x
(2)①（-2，-4）或（-2，4）；②210+2
【分析】（1）把点A(−4,0)代入，即可求解；
（2）①连接MN，AN，先求出抛物线对称轴为直线x=-2，可设点N（-2，n），根据M、N关于直线AP对称，可得AM=AN，即可求解；②根据题意可得点N的运动轨迹为在以点A为圆心，AM长为半径的圆上，过点N作NF⊥MH于点F，可得当△MHN面积的最大值时，NF最长，而此时NF过圆心A，然后分别求出NF和MH，即可求解．
(1)
解∶ ∵抛物线经过点A(−4,0)，
∴0=12×16−4b，解得：b=2，
∴抛物线的表达式为y=12x2+2x．
(2)
解：①如图，连接MN，AN，
∵y=12x2+2x=12x+22−2，
∴抛物线对称轴为直线x=-2，
∴可设点N（-2，n），
∵一次函数y=12x+2的图像交y轴于M，
∴点M（0，2），
∵M、N关于直线AP对称，
∴AM=AN，
∴42+22=−2+42+n2，
解得：n=±4，
∴点N的坐标为（-2，-4）或（-2，4）；
②如图，∵M、N关于直线AP对称，
∴AM=AN，
∴点N的运动轨迹为在以点A为圆心，AM长为半径的圆A上，
过点N作NF⊥MH于点F，
∴S△MNH=12NF⋅MH，
当△MHN面积的最大值时，NF最长，而此时NF过圆心A，
根据题意得∶OH=OM=2，∠MOH=90°，OA=4，
∴∠OHM=45°， AH=2， HM=22，
∴∠AHF=45°，
∵∠AFH=90°，
∴∠FAH=45°，
∴△AFH为等腰直角三角形，
∴AF=FH，
∵AH2=AF2+FH2=2AF2，
∴FH=2，
在Rt△AOM中，AM=AO2+OM2=25，
∴AN=25，
∴NF=AN+AF=25+2，
∴此时△MHN的面积为12NF⋅MH=1225+2×22=210+2，
即△MHN的面积的最大值为210+2．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，垂径定理，熟练掌握二次函数的图象和性质，（2）②得到点N的运动轨迹是解题的关键．
23． (2023·江苏苏州·苏州高新区实验初级中学校考一模）2022年2月8日北京冬奥会中自由滑雪空中技巧项目备受大家关注，中国优秀运动员沿跳台斜坡AB加速加速至B处腾空而起，沿抛物线BEF运动，在空中完成翻滚动作，着陆在跳台的背面着陆坡DC．建立如图所示的平面直角坐标系，BD∥x轴，C在x轴上，B在y轴上，已知跳台的背面DC近似是抛物线y＝a（x﹣7）2（1≤x≤7）的一部分，D点的坐标为（1，6），抛物线BEF的表达式为y＝b（x﹣2）2+k．
(1)当k＝10时，求a、b的值；
(2)在（1）的条件下，运动员在离x轴3.75m处完成动作并调整好身姿，求此时他距DC的竖直距离（竖直距离指的是运动员所在位置的点向x轴的垂线与DC的交点之间线段的长）；
(3)若运动员着落点与B之间的水平距离需要在不大于7m的位置（即着落点的横坐标x满足x≤7），求b的取值范围．
【答案】(1)a=16，b=−1；
(2)6524(m)；
(3)−27≤b<0
【分析】（1）根据B、D两点的坐标可得a和b的值；
（2）把y＝3.75代入y＝﹣（x﹣2）2+10中，可得x＝4.5，再把x＝4.5代入y=16（x﹣7）2中可得y的值，进而可得答案；
（3）根据抛物线BEF最远经过点C，最近经过点D可得b的范围
（1）
解：根据题意得：点B（0，6），
当k＝10时，抛物线BEF的表达式为y＝b（x﹣2）2+10，
把B（0，6）代入解析式为6＝4b+10，
解得b＝﹣1，
把D（1，6）代入抛物线DC的表达式y＝a（x﹣7）2，
6＝36a，解得a=16，
∴a=16，b＝﹣1；
（2）
解：把y＝3.75代入y＝﹣（x﹣2）2+10中，
解得x＝4.5或﹣0.5（舍去），
把x＝4.5代入y=16（x﹣7）2中，
y=2524，
∴他距DC的竖直距离为3.75−2524=6524（m）；
（3）
解：在y＝a（x﹣7）2中，当x＝7时，y＝0，
∴C（7，0）．
把B、C的坐标代入y＝b（x﹣2）2+k可得：
4b+k=625b+k=0，
解得b=−27，
把B、D的坐标代入y＝b（x﹣2）2+k可得：
4b+k=6b+k=6，
解得b＝0，
∴b的取值范围是−27≤b＜0．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，根据题意得到二次函数的解析式是解题关键．
24． (2023·江苏扬州·校考二模）在平面直角坐标系中，已知函数y1=2x和函数y2=−x+6不论x取何值，y0都取y1与y2二者之中的较小值．
(1)求函数y1和y2图象的交点坐标，并直接写出y0关于x的函数关系式；
(2)现有二次函数y=x2−8x+c，若函数y0和y都随着x的增大而减小，求自变量x的取值范围；
(3)在（2）的结论下，若函数y0和y的图象有且只有一个公共点，求c的取值范围．
【答案】(1)（1）交点坐标为2,4；y0=2xx<2−x+6x≥2
(2)2≤x<4
(3)c的取值范围是：c=734或 16【分析】（1）联立方程组求解得出交点坐标，再根据定义和一次函数的增减性求解即可；
（2）分别根据一次函数和二次函数的增减性质求解即可；
（3）分①函数y=x2−8x+c与y0=−x+6只有一个交点，且交点在2【详解】（1）解：解方程组y=2xy=−x+6得x=2y=4，
∴交点坐标为2，4，
根据题意，y0=2xx<2−x+6x≥2；
（2）解：∵对于函数y0，y0随x的增大而减小，
∴y0=−x+6x≥2
又∵函数y=x2−8x+c的对称轴为直线x=4，且a=1>0，
∴当x<4时，y随x的增大而减小，
∴2≤x<4；
（3）解：①若函数y=x2−8x+c与y0=−x+6只有一个交点，且交点在2则x2−8x+c＝−x+6，即2x2−7x+c−6=0
∴△=−72−4c−6=73−4c=0，得c=734
此时x1=x2=72，符合2∴c=734；
②若函数y=x2−8x+c与y0=−x+6有两个交点，其中一个在2则△=73−4c＞0，得c<734，
∵对于函数y0，当x=2时，y0=4；当x=4时y0=2，
又∵当2若y=x2−8x+c与y0=−x+6在2则当x=2时y>y0；当x=4时y也即 4−16+c>416−32+c<2，解得16又c<734，∴16综上所述，c的取值范围是：c=734或16【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及二次函数与一次函数的交点问题和增减性，熟练掌握两个函数的性质、正确进行分类讨论思想求解是解答的关键．
25． (2023·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考模拟预测）如图，抛物线y=−14x2+bx+c与x轴的一个交点为A−2，0，与y轴的交点为B0，4，对称轴与x轴交于点P．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M为y轴正半轴上的一个动点，连接AM，过点M作AM的垂线，与抛物线的对称轴交于点N，连接AN．
①若△AMN与△AOB相似，求点M的坐标；
②若点M在y轴正半轴上运动到某一位置时，△AMN有一边与线段AP相等，并且此时有一边与线段AP具有对称性，我们把这样的点M称为“对称点”，请直接写出“对称点”M的坐标．
【答案】(1)y=−14x2+32x+4
(2)①M点的坐标为0，6或0，32 ；②M点的坐标为0，21或0，6或0，32
【分析】（1）利用待定系数法去求抛物线解析式；
（2）①先求出抛物线的对称轴为x=3，作MD⊥直线x=3于点D，作AE⊥MD于E，根据相似三角形的判定和性质进行如下的分类讨论即可：（1）当AMOB=MNOA时，（2）当AMOA=MNOB时进行求解即可；
②先确定AP=5进行如下的分类讨论即可：（1）当AM=AP=5时，（2）当AN=AP=5时，（3）当MN=5时进行求解即可．
【详解】（1）将点A−2，0，B0，4分别代入y=−14x2+bx+c得−1−2b+c=0c=4，
解得b=32c=4，
∴抛物线的解析式为y=−14x2+32x+4；
（2）①抛物线的对称轴为直线x=−322×−14=3，
作MD⊥直线x=3于点D，作AE⊥MD于E，
∵∠AMN=∠AOB，
∴当AMOB=MNOA，即AMMN=OBOA=42=2，
∴△AMN∽△BOA，如图1，
∵∠EAM+∠EMA=90°，∠DMN+∠EMA=90°，
∴∠EAM=∠DMN，
∵∠AEM=∠MDN=90°，
∴△AEM∽△MDN，
∴AEMD=AMMN=2，
而MD=3，
∴AE=6，
此时M点的坐标为0，6，
∴当AMOA=MNOB，即AMMN=OAOB=24=12，
∴△AMN∽△AOB，如图2，
同理可得△AEM∽△MDN，
∴AEMD=AMMN=12，
而MD=3，
∴AE=32，
此时M点的坐标为0，32，
综上所述，M点的坐标为0，6或0，32；
②∵A−2，0，P3，0，
∴AP=5，
当AM=AP=5时，OM=52−22=21，此时点M的坐标为0，21；
当AN=AP=5时，点N与点P重合，则OM2=OA·OP，
∴OM=2×3=6，此时M点的坐标为0，6；
当MN=5时，在Rt△MND中，DN=52−32=4，
∵△AEM∽△MDN，
∴AEMD=EMDN，即AE3=24，
解得AE=32，此时点M的坐标为0，32，
综上所述，M点的坐标为0，21或0，6或0，32．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；会灵活应用相似三角形的判定和性质进行几何计算；理解坐标与图形的性质；会利用分类讨论的思想解决数学问题．
26． (2023·江苏盐城·校考三模）我们规定：关于x的反比例函数y=a+bx称为一次函数y=ax+b的“次生函数”，关于x的二次函数y=ax2+bx−a+b称为一次函数y=ax+b的“再生函数”．
(1)按此规定：一次函数y=x−4的“次生函数”为：___________，“再生函数”为：___________；
(2)若关于x的一次函数y=x+b的“再生函数”的顶点在x轴上，求顶点坐标；
(3)若一次函数y=ax+b与其“次生函数”交于点1,−2、4,−12两点，其“再生函数”与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．
①若点D1,3，求∠CBD的正切值；
②若点E在直线x=1上，且在x轴的下方，当∠CBE=45°时，求点E的坐标．
【答案】(1)y=−3x ，y=x2−4x+3；
(2)1,0
(3)①13②E1,−1
【分析】（1）根据“次生函数”， “再生函数”的定义，进行计算求解即可；
（2）先求出一次函数y=x+b的“再生函数”，再根据顶点在x轴上，说明“再生函数”
与x轴只有一个交点，利用Δ=0，求出b，将解析式转化为顶点式，即可得到顶点坐标．
（3）①根据一次函数y=ax+b与其“次生函数”交于点1,−2、4,−12两点，求出a,b的值，然后求出一次函数的“再生函数”，求出点A,B,C的坐标，利用勾股定理逆定理得到∠CDB=90°，利用tan∠CBD=CDBD，即可得解；②过点C作CF⊥BC于C，交BE的延长线于F，过点F作FM∥y轴，过点C作MN∥x轴，过点B作BN⊥MN于N，证明△BNC≌△CMFAAS，得到F点的坐标，求出直线BF的解析式，进而求出点E的坐标即可．
【详解】（1）一次函数y=x−4中，a=1,b=−4，
∴一次函数y=x−4的“次生函数”为：y=1−4x=−3x，
“再生函数”为：y=x2−4x−1−4=x2−4x+3，
故答案为：y=−3x ，y=x2−4x+3；
（2）解：一次函数y=x+b的“再生函数”为：y=x2+bx−1+b，
∵顶点在x轴上，
∴Δ=b2−4−1+b=0，
解得：b=−2，
∴y=x2−2x+1=x−12，
∴顶点坐标为1,0；
（3）①一次函数y=ax+b与其“次生函数”交于点1,−2、4,−12，
∴ a+b=−24a+b=−12，解得： a=12b=−52，
∴其“再生函数”为：y=12x2−52x−12−52=12x2−52x+2，
当y=0时，12x2−52x+2=0，
解得︰x1=1,x2=4，
∴A1,0,B4,0，
如图1，
当x=0时，y=2，
∴C0,2，
∵D1,3，
∴CD2=12+3−22=2，BD2=4−12+32=18，BC2=42+22=20，
∴CD2+BD2=BC2，
∴∠CDB=90°，
∴ tan∠CBD=CDBD=232=13；
②如图2，过点C作CF⊥BC于C，交BE的延长线于F，过点F作FM∥y轴，过点C作MN∥x轴，过点B作BN⊥MN于N，
∵∠CBF=45°，
∴△CBF是等腰直角三角形，
∴BC=CF，
∵∠BCN+∠FCM=∠FCM+∠CFM，
∴∠BCN=∠CFM，
∵∠N=∠M=90°，
∴△BNC≌△CMFAAS，
∴BN=CM=2,CN=FM=4，
∴F−2,−2，
∵B4,0，
设直线BF的解析式为：y=kx+n，
∴4k+n=0−2k+n=−2，解得： k=13n=−43，
∴BF的解析式：y=13x−43 ，
∵点E在直线x=1上，
∴点E的横坐标为1，
当x=1时，y=−1，
∴E1,−1．
【点睛】本题考查函数的综合应用．理解并掌握“次生函数”，“再生函数”的定义，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键．同时考查了一次函数的性质，二次函数的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，属于中考压轴题．
x
……
-1
0
1
2
3
……
y
……
10
5
2
1
2
……
矩形一边长/m
5
10
15
20
矩形面积/m2
125
矩形一边长/m
5
10
15
20
矩形面积/m2
125
200
225
200
售价x（元/件）
50
60
80
周销售量y（件）
100
80
40
周销售利润w（元）
1000
1600
1600