【江苏专用】2023年中考数学易错题汇编——01 数与式（原卷版+解析版）

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2． 整式的认识及计算
3． 分式的认识、运算及应用
4． 二次根式的化简
易错分析 01
有理数、无理数以及实数的有关概念理解错误，相反数、倒数、绝对值的意义概念混淆。弄不清绝对值与数的分类。熟练掌握相关概念，理解知识点之间的衔接关系是解题的关键．
（2022秋•海港区期末）下列各数：0，，（﹣7）2022，|﹣5|中，非负数的个数是（ ）
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
【答案】A
【易错点拨】本题答案错误，根据非负性的意义，逐一判断即可解答．
【规范解答】解：在0，，（﹣7）2022，|﹣5|中，
非负数有：0，（﹣7）2022，|﹣5|，总共有3个，
故选：C．
【考点解读】本题考查了有理数，绝对值，熟练掌握非负数的意义是解题的关键．
【变式训练01】（2022秋•天山区校级期末）已知a，b，c在数轴上位置如图所示，则|a﹣b|﹣|b﹣c|+|c﹣a|可化简为（ ）
A．0B．2b﹣2aC．2a﹣2bD．﹣2a
【易错点拨】先由数轴确定a，b，c的符号和大小，再分别确定a﹣b，b﹣c，c﹣a的符号，最后化简绝对值并计算求解．
【规范解答】解：由题意得，a＜b＜0＜c且|a|＞|b|＞|c|，
∴a﹣b＜0，b﹣c＜0，c﹣a＞0，
∴|a﹣b|﹣|b﹣c|+|c﹣a|
＝b﹣a+b﹣c+c﹣a
＝2b﹣2a，
故选：B．
【考点解读】此题考查了运用数轴进行绝对值的化简、计算能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
【变式训练02】（2022秋•开江县校级期末）已知a，b，c为三个有理数，它们在数轴上的对应位置如图所示，则|c﹣b|﹣|b﹣a|﹣|a﹣c|＝ ．
【易错点拨】根据图示，可知有理数a，b，c的取值范围b＞1＞a＞0＞c＞﹣1，然后根据它们的取值范围去绝对值并求|c﹣b|﹣|b﹣a|﹣|a﹣c|的值．
【规范解答】解：根据图示知：b＞1＞a＞0＞c＞﹣1，
∴|c﹣b|﹣|b﹣a|﹣|a﹣c|
＝﹣c+b﹣b+a﹣a+c
＝0
故答案是0．
【考点解读】本题主要考查了关于数轴的知识以及有理数大小的比较．
【变式训练03】（2022秋•崆峒区校级期末）已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，求|b﹣a|﹣|a﹣c|+|b﹣c|的值．
【易错点拨】根据数轴得出c＜b＜0＜a，去掉绝对值符号，再合并即可．
【规范解答】解：∵从数轴可知：c＜b＜0＜a，
∴b﹣a＜0，a﹣c＞0，b﹣c＞0，
∴|b﹣a|﹣|a﹣c|+|b﹣c|＝a﹣b﹣（a﹣c）+b﹣c＝a﹣b﹣a+c+b﹣c＝0．
【考点解读】本题考查了绝对值，数轴，整式的加减的应用，能正确去掉绝对值符号是解此题的关键．
易错分析 02
关于实数的运算，要掌握好与实数的有关概念、性质，灵活地运用各种运算律，关键是把好符号关；在较复杂的运算中，不注意运算顺序或者不合理使用运算律，从而使运算出现错误。
（2022春•昌平区校级月考）．
解：
＝5-3﹣
＝5-3﹣（﹣）
＝5-3+
＝2．
【易错点拨】本题答案错误，概念不清，先化简各式，注意平方根去根号后都为非负数，然后再按照计算顺序即可解答．
【规范解答】解：
＝5+3﹣
＝5+3﹣（﹣）
＝5+3+
＝8．
【考点解读】本题考查了实数的运算，准确熟练地化简各式是解题的关键．
【变式训练01】（2022春•舒城县校级月考）计算：﹣12+|﹣2|++．
【易错点拨】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【规范解答】解：﹣12+|﹣2|++
＝﹣1+2+（﹣2）+3
＝﹣1+2﹣2+3
＝2．
【考点解读】本题考查了实数的运算，准确熟练地化简各式是解题的关键．
【变式训练02】（2022秋•泰兴市期末）（1）计算：；
（2）求3（x﹣1）3＝81中的x的值．
【易错点拨】（1）先计算二次根式与绝对值，再计算加减；
（2）通过变形后运用开立方进行求解．
【规范解答】解：（1）
＝3+π﹣3﹣3
＝π﹣3；
（2）两边都除以3，得
（x﹣1）3＝27，
开立方，得x﹣1＝3，
解得x＝4．
【考点解读】此题考查了实数混合运算的能力，关键是能准确确定运算方法和顺序，并能进行正确地计算．
【变式训练03】（2022秋•西安期末）（﹣tan45°）2023+|sin30°﹣cs30°|．
【易错点拨】把特殊角的三角函数值，代入进行计算即可解答．
【规范解答】解：（﹣tan45°）2023+|sin30°﹣cs30°|
＝（﹣1）2023+|﹣|
＝﹣1+﹣
＝．
【考点解读】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
易错分析 03
正确区分平方根、算术平方根、立方根。熟练掌握三个知识点，运用注意反思概念，正确运用
（2022秋•港南区期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．一个数的立方根有两个，它们互为相反数
B．一个非零数的立方根与这个数同号
C．如果一个数有立方根，那么它一定有平方根
D．一个数的立方根是非负数
【答案】D
【易错点拨】本题答案错误，根据正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0判断即可．
【规范解答】解：A、一个数的立方根有1个，故该选项不符合题意；
B、一个非零数的立方根与这个数同号，故该选项符合题意；
C、负数有立方根，但负数没有平方根，故该选项不符合题意；
D、正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0，故该选项不符合题意；
故选：B．
【考点解读】本题考查了立方根，掌握正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0是解题的关键．
【变式训练01】（2022秋•娄底期末）化简：＝ ．
【易错点拨】根据算术平方根的定义解答即可．
【规范解答】解：2＝2×2＝4．
故答案为：4．
【考点解读】本题考查了算术平方根．掌握算术平方根的定义是解题的关键．
【变式训练02】（2022秋•兴庆区校级月考）下列说法中，正确的个数是（ ）
①﹣8的立方根是﹣2；
②81的算术平方根是±9；
③的立方根是；
④﹣的平方根是±．
A．1B．2C．3D．4
【易错点拨】根据平方根、算术平方根、立方根的定义逐个进行判断即可．
【规范解答】解：①﹣8的立方根是﹣2，因此①正确；
②81的算术平方根是9，因此②不正确；
③的立方根是，因此③正确；
④﹣没有平方根，因此④不正确；
因此正确的结论有：①③，共2个，
故选：B．
【变式训练03】（2022秋•工业园区校级期中）求下列各式中x的值：
（1）8x3+1＝0；
（2）25（x﹣1）2﹣100＝0．
【易错点拨】（1）根据立方根的意义，进行计算即可解答；
（2）根据平方根的意义，进行计算即可解答．
【规范解答】解：（1）8x3+1＝0，
8x3＝﹣1，
x3＝﹣，
x＝﹣；
（2）25（x﹣1）2﹣100＝0，
25（x﹣1）2＝100，
（x﹣1）2＝4，
x﹣1＝±2，
x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，
x＝3或x＝﹣1．
【考点解读】本题考查了平方根，立方根，熟练掌握平方根，立方根的意义是解题的关键．
易错分析 04
分式值为零时易忽略分母不能为零，理解分式值为零的条件（分子为零且分母不等于零）是解题关键．
（2021秋•罗庄区期末）若分式的值为0，则x的值为 ．
【答案】1或3
【易错点拨】本题答案错误，根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算即可．
【规范解答】解：由题意得：|x﹣2|﹣1＝0且x2﹣2x+1≠0，
解得：x＝3，
故答案为：3．
【考点解读】本题考查的是分式的值为零的条件，掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解
题的关键．
【变式训练01】（2022春•黔江区校级期中）能使分式的值为零的所有x的值是（ ）
A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝1或x＝﹣1D．x＝2或x＝1
【易错点拨】根据题意列方程和不等式求解．
【规范解答】解：由题意可得|x|﹣1＝0且x2﹣2x+1≠0，
解得x＝﹣1，
故选：B．
【考点解读】本题考查分式值为零的条件，理解分式值为零的条件（分子为零且分母不等于零）是解题关键．
【变式训练02】（2022秋•和硕县校级期末）如果分式的值为0，那么x的值为 1 ．
【易错点拨】根据分式的值为零的条件解决此题．
【规范解答】解：如果分式的值为0，
则，
解得：x＝1．
故答案为：1．
【考点解读】本题主要考查分式的值为零的条件，熟练掌握分式的值为零的条件是解决本题的关键．
【变式训练03】（2021春•奉化区校级期末）当m为何值时，分式的值为0？
【易错点拨】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算．
【规范解答】解：由题意得，m2﹣4＝0，m2﹣m﹣6≠0，
解得，m＝2，
则当m＝2时，此分式的值为零．
【考点解读】本题考查是的是分式有意义和分式的值为0的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于零、分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
易错分析 05
分式运算要注意运算法则和符号的变化。当分式的分子分母是多项式时要先因式分解，因式分解要分解到不能再分解为止，注意计算方法，不能去分母，把分式化为最简分式。
（2022秋•朝阳区校级期末）计算：．
【答案】解：
＝3m-4•mm+4 - 24m²-16.mm+4
＝3m(m-4)(m+4)•24m(m-4)(m+4)
＝72(m-4)(m+4)
【易错点拨】本题答案错误，利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
【规范解答】解：
＝•
＝•
＝•
＝．
【考点解读】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握因式分解是解题的关键．
【变式训练01】（2022春•滕州市月考）化简：
（1）（1﹣）（1+）；
（2）．
【易错点拨】（1）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答；
（2）利用异分母分式加减法法则，进行计算即可解答．
【规范解答】解：（1）（1﹣）（1+）
＝•
＝•
＝1；
（2）
＝﹣（x﹣1）
＝
＝．
【考点解读】本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【变式训练02】（2022秋•和平区校级期末）计算：
（1）；
（2）．
【易错点拨】（1）利用异分母分式加减法法则，进行计算即可解答；
（2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
【规范解答】解：（1）
＝﹣
＝
＝
＝﹣；
（2）
＝÷[﹣（a﹣1）]
＝÷
＝•
＝﹣．
【考点解读】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握因式分解是解题的关键．
【变式训练03】（2022秋•江北区期中）计算：
（1）（）3•（﹣）2；
（2）（﹣x）÷．
【易错点拨】（1）先算乘方，再算乘法，即可解答；
（2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
【规范解答】解：（1）（）3•（﹣）2
＝•
＝；
（2）（﹣x）÷
＝•
＝•
＝•
＝x+1．
【考点解读】本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
易错分析 06
非负数的性质：几个非负数的和为0，每个式子都为0；整体代入法；完全平方式。互为相反数的两个数的性质可知：互为相反数的两个数的和0．再结合绝对值的意义解答；二次根式的和为0关键是掌握算术平方根具有非负性．
（2021春•洛阳期中）若+＝0，则x2018+y2019值为（ ）
A．0B．1C．﹣1D．2
【答案】A
【易错点拨】本题答案错误，根据非负数的性质可得x﹣1＝0，x+y＝0，再解可得x、y的值，然后代入计算可得答案．
【规范解答】解：由题意得：x﹣1＝0，x+y＝0，
解得：x＝1，y＝﹣1，
∴x2018+y2019＝12018+（﹣1）2019＝1﹣1＝0，
故选：A．
【考点解读】此题主要考查了非负数的性质，解题的关键是掌握算术平方根具有非负性．
【变式训练01】（2022•南京模拟）若|x+3|与|y+2|互为相反数，求x+y的值．
【易错点拨】根据互为相反数的两个数的性质可知：互为相反数的两个数的和0．再结合绝对值的意义分析：几个非负数的和为0，它们同时为0．
【规范解答】解：∵|x+3|与|y+2|互为相反数，
∴|x+3|+|y+2|＝0，
∴|x+3|＝0，|y+2|＝0，即x+3＝0，y+2＝0，
∴x＝﹣3，y＝﹣2．
∴x+y＝﹣3+（﹣2）＝﹣5，
即x+y的值是﹣5．
【考点解读】本题考查的是非负数的性质，掌握当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键．
【变式训练02】（2020秋•浦北县校级月考）若|x﹣1|+|y+2|＝0，求x﹣y的相反数．
【易错点拨】先根据非负数的性质“两个非负数相加，和为0，这两个非负数的值都为0”解
出x、y的值，再代入x﹣y中求值，最后根据相反数的定义求出x﹣y的相反数．
【规范解答】解：∵|x﹣1|+|y+2|＝0，
∴x﹣1＝0，y+2＝0，
解得x＝1，y＝﹣2，
∴x﹣y＝1﹣（﹣2）＝3，
∴x﹣y的相反数是﹣3．
【考点解读】本题考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．
【变式训练03】（2021春•蜀山区校级期中）当x取 5 时，代数式2﹣取值最大，并求出这个最大值 2 ．
【易错点拨】根据二次根式的性质解答．
【规范解答】解：当5﹣x＝0，即x＝5时，
代数式2﹣取值最大，
此时这个最大值2．
故答案为：5，2．
【考点解读】本题考查二次根式的性质，解决本题的关键是能够正确运用二次根式的性质．
易错分析 07
五个基本数的计算：0指数，三角函数，绝对值，负指数，二次根式的化简。
容易在符号、数字、计算上出错，正确解答此类问题关键是能准确确定运算方法和顺序，并能进行正确地计算
（2022秋•泰兴市期末）（1）计算：；
（2）求3（x﹣1）3＝81中的x的值．
【答案】解：（1）
＝3+3-π﹣3
＝3-π；
（2）两边都除以3，得
（x﹣1）3＝27，
开立方，得x﹣1＝3，
解得x＝4．
【易错点拨】（1）计算错误，先计算二次根式与绝对值，注意去绝对值内的特殊数字，再计算加减；
（2）正确，通过变形后运用开立方进行求解．
【规范解答】解：（1）
＝3+π﹣3﹣3
＝π﹣3；
（2）两边都除以3，得
（x﹣1）3＝27，
开立方，得x﹣1＝3，
解得x＝4．
【考点解读】此题考查了实数混合运算的能力，关键是能准确确定运算方法和顺序，并能进行正确地计算．
【变式训练01】（2022秋•邹城市校级期末）计算：
（1）（ab2）2•（﹣a3b）3÷（﹣5ab）；
（2）2（x﹣3）（x+2）﹣（3+x）（﹣x+3）；
因式分解：（3）a（x﹣1）2﹣2a（x﹣1）+a；
解方程：（4）．
【易错点拨】（1）先算乘方，再算乘除，即可解答；
（2）先去括号，再合并同类项，即可解答；
（3）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答；
（4）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【规范解答】解：（1）（ab2）2•（﹣a3b）3÷（﹣5ab）
＝a2b4•（﹣a9b3）÷（﹣5ab）
＝﹣a11b7÷（﹣5ab）
＝a10b6；
（2）2（x﹣3）（x+2）﹣（3+x）（﹣x+3）
＝2（x2﹣x﹣6）﹣（9﹣x2）
＝2x2﹣2x﹣12﹣9+x2
＝3x2﹣2x﹣21；
（3）a（x﹣1）2﹣2a（x﹣1）+a
＝a[（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+1]
＝a（x﹣1﹣1）2
＝a（x﹣2）2；
（4），
x（x+2）+2＝（x+2）（x﹣2），
解得：x＝﹣3，
检验：当x＝﹣3时，（x+2）（x﹣2）≠0，
∴x＝﹣3是原方程的根．
【考点解读】本题考查了整式的混合运算，提公因式法与公式法的综合运用，解分式方程，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【变式训练02】（2022秋•徐汇区期末）计算：4cs230°﹣|ct30°﹣ct45°|﹣．
【易错点拨】把特殊角的三角函数值，代入进行计算即可解答．
【规范解答】解：4cs230°﹣|ct30°﹣ct45°|﹣
＝4×（）2﹣|﹣1|﹣
＝4×﹣（﹣1）﹣
＝3﹣+1+2（+2）
＝3﹣+1+2+4
＝8+．
【考点解读】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
【变式训练03】（2022秋•通川区期末）计算下列各题．
（1）；
（2）．
【易错点拨】（1）先化简每一个二次根式，然后再进行计算即可解答；
（2）先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答．
【规范解答】解：（1）
＝2﹣3+
＝2﹣3﹣2（+）
＝2﹣3﹣2﹣2
＝﹣5；
（2）
＝﹣（﹣）+﹣
＝﹣（﹣）+﹣
＝﹣2++﹣
＝2﹣2．
【考点解读】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键．
易错分析 08
掌握科学记数法，精确度概念。熟练掌握概念：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
（2022秋•沈丘县期末）2021年末河南省常住人口9883万人，其中城镇常住人口5579万人，乡村常住人口4304万人；常住人口城镇化率为56.45%，比上年末提高1.02个百分点，数据“9883万”用科学记数法可以表示为（ ）
A．9.883×107B．9.883×108C．98.83×107D．98.83×106
【答案】B
【易错点拨】答案错误，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【规范解答】解：9883万＝98830000＝9.883×107．
故选：A．
【考点解读】本题考查了科学记数法表示绝对值较大的数的方法，掌握科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数是关键．
【变式训练01】（2022秋•慈溪市期中）在宇宙之中，光速是目前知道的最快的速度，可以达到3×108m/s，如果我们用光速行驶3.6×103s，请问我们行驶的路程为多少m？
【易错点拨】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【规范解答】解：3×108×3.6×103＝3×3.6×108×103＝10.8×1011＝1.08×1012（m）．
答：行驶的路程为1.08×1012m．
【考点解读】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【变式训练02】（2021秋•山西期末）将如图所示的长为1.5×102cm，宽为1.2×102cm，高为0.8×102cm的大理石运往某地进行建设革命历史博物馆．
（1）求每块大理石的体积．（结果用科学记数法表示）
（2）如果一列火车总共运送了3×104块大理石，每块大理石约重4×103千克，请问这列火车总共运送了约重多少千克大理石？（结果用科学记数法表示）
【易错点拨】（1）根据长方体的体积＝长×宽×高，先求出它的体积，再用科学记数法表示．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数；
（2）根据总重量＝大理石块数×每块大理石的重量列出代数式，再计算求值并用科学记数法表示即可．
【规范解答】解：（1）根据题意，得1.5×102×1.2×102×0.8×102＝（1.5×1.2×0.8）×（102×102×102）＝1.44×106．
答：每块大理石的体积为1.44×106cm3；
（2）根据题意，得3×104×4×103＝（3×4）×104×103＝1.2×108．
答：这列火车总共运送了约重1.2×108千克大理石．
【考点解读】本题主要考查了长方体的体积公式，科学记数法的表示方法，及同底数的幂的
乘法．解题的关键是明确同底数幂的乘法的运算法则：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加．
【变式训练03】（2022秋•天山区校级期末）已知某种新型感冒病毒的直径为0.000000815米，用科学记数法表示为 8.15×10﹣7 米．
【易错点拨】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【规范解答】解：将0.000000815用科学记数法表示为8.15×10﹣7．
故答案为：8.15×10﹣7．
【考点解读】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
易错分析 08
分式代入求值要使式子有意义。注意分母不为0，各种数式的计算方法要掌握，一定要注意计算顺序，注意运算符号，乘法公式以及多个解问题
（2022秋•北京期末）先化简÷（），然后在|x|＜3中选一个合适整数值代入，求出代数式的值．
【答案】解：÷（）
＝÷
＝•
＝
＝，
∵|x|＜3，
∴﹣3＜x＜3，
当x＝0时，原式＝0
【易错点拨】答案错误，没有考虑到每个步骤分母不为0，先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【规范解答】解：÷（）
＝÷
＝•
＝
＝，
∵|x|＜3，
∴﹣3＜x＜3，
∴x的整数解为：﹣2，﹣1，0，1，2，
∴x2﹣1≠0，x≠0，x﹣2≠0，
∴x≠±1，x≠0，x﹣2≠0，
∴当x＝﹣2时，原式＝
＝
＝﹣．
【考点解读】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
【变式训练01】（2022秋•固始县期末）已知m2﹣4m﹣7＝0，求代数式（+1）÷的值．
【易错点拨】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把m2﹣4m＝7代入化简后的式子，进行计算即可解答．
【规范解答】解：（+1）÷
＝•
＝•
＝（m﹣1）（m﹣3）
＝m2﹣4m+3，
∵m2﹣4m﹣7＝0，
∴m2﹣4m＝7，
∴当m2﹣4m＝7时，原式＝7+3＝10．
【考点解读】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
【变式训练02】（2022秋•阳泉期末）先化简，再求值：，然后在0，1，2，3中选一个你认为合适的a的值代入求值．
【易错点拨】先计算分式的除法，再算加法，然后把a的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【规范解答】解：
＝•+
＝﹣a﹣a
＝﹣2a，
∵a2﹣9≠0，a﹣1≠0，a≠0，
∴a≠±3，a≠1，a≠0，
∴当a＝2时，原式＝﹣2×2＝﹣4．
【考点解读】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
【变式训练03】（2022秋•栾城区校级期末）先化简，再求值：，其中x＝5．
【易错点拨】先计算分式的除法，再算加法，然后把x的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
【规范解答】解：
＝•+
＝+
＝
＝
＝x，
当x＝5时，原式＝5．
【考点解读】本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
一、选择题
1．（2022·镇江）下列运算中，结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【规范解答】解：A、 ，故A计算错误，不符合题意；
B、 ，故B计算错误，不符合题意；
C、 ，故C计算正确，符合题意；
D、 ，故D计算错误，不符合题意．
故答案为：C.
【易错点拨】合并同类项法则：同类项的系数相加减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此判断A、B；同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断C；幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此判断D.
2．（2022·镇江）如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【规范解答】解：由题意得：a＜0＜b，且 ＜ ，
∴ ，故A选项的结论不成立；
，故B选项的结论不成立；
，故C选项的结论不成立；
，故D选项的结论成立.
故答案为：D.
【易错点拨】由数轴可得a<03．（2022·南通）沪渝蓉高铁是国家中长期铁路网规划“八纵八横”之沿江高铁通道的主通道，其中南通段总投资约39000000000元，将39000000000用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【规范解答】解：39000000000=3.9×1010.
故答案为：C.
【易错点拨】根据科学记数法的表示形式为：a×10n，其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较大的数，因此n=整数数位-1.
4．（2020·滨湖模拟）当n≥2时，设1＋2＋3＋…＋n的末位数字为an，比如1＋2=3，末位数字为3，故a2=3，又如1＋2＋3＋4=10，末位数字为0，故a4=0，则a2＋a3＋…＋a888的末位数字为（ ）
A．0B．5C．6D．9
【答案】D
【规范解答】解：∵1＋2＋3＋…＋n的末位数字为an，
∴a1=1，a2=3，a3=6，a4=0，a5=5，a6=1，a7=8，a8=6，a9=5，a10=5，a11=6，a12=8，a13=1，
A14=5，a15=0，a16=6，a17=3，a18=1，a19=0，a20=0，a21=1，a22=3，a23=6，a24=0，a25=5，a26=1，a27=8，a28=6，a29=5，…
∴an中每20数为一个循环，即从a1开始，每20个数的和相等，
∵a2＋a3＋…＋a888=（ a1+ a2＋a3＋…＋a888）- a1
=44×（a1+ a2＋a3＋…＋a20）+（a1+ a2＋a3＋…＋a8）- a1
=44×（1+3+6+…+1+0+0）+（1+3+6+0+5+1+8+6）-1
=44×70+30-1
=3109.
∴a2＋a3＋…＋a888的末位数字为：9.
故答案为：D.
【易错点拨】根据题意，先找出数列an的变化规律，进而即可求出a2＋a3＋…＋a888的值，即可得到答案.
5．（2019·天宁模拟）某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点Pk(xk，yk)处，其中x1＝1，y1＝2，当k≥2时，xk＝xk﹣1+1﹣5（[ ]﹣[ ]），yk＝yk﹣1+[ ]﹣[ ]，[a]表示非负实数a的整数部分，例如[2.6]＝2，[0.2]＝0.按此方案，第2017棵树种植点的坐标为（ ）
A．(5，2017)B．(6，2016)C．(1，404)D．(2，404)
【答案】D
【规范解答】解：∵[ ]﹣[ ]组成的数为
1，0，0，0，0，1，0，0，0，0，1，0，0，0，0，1…，
将k＝1，2，3，4，5，…，
一一代入计算得xn为
1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，…
即xn的重复规律是x5n+1＝1，x5n+2＝2，x5n+3＝3，x5n+4＝4，x5n＝5.
∴{yn}为1，1，1，1，1，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，4，4，4，4，4，…
即yn的重复规律是y5n+k＝n，0≤k＜5.
∴y2017=y5×403+2=404
∴由题意可知第2017棵树种植点的坐标应（2，404）.
故答案为：D.
【易错点拨】根据规律找出种植点的横坐标及纵坐标的表述规律，然后代入2017进行计算即可求出结论.
二、填空题
6．（2022·镇江）“五月天山雪，无花只有寒”，反映出地形对气温的影响．大致海拔每升高100米，气温约下降．有一座海拔为2350米的山，在这座山上海拔为350米的地方测得气温是，则此时山顶的气温约为 ．
【答案】－6或零下6
【规范解答】解：山顶的气温约为
故答案为：-6或零下6.
【易错点拨】首先求出距离之差，然后除以100，再乘以0.6可得下降的气温，再用海拔350处的温度减去下降的温度即可得出答案.
7．（2022·南通）分式有意义，则x应满足的条件是 ．
【答案】x≠2
【规范解答】解：由题意得
x-2≠0
解之：x≠2.
故答案为：x≠2.
【易错点拨】利用分式有意义的条件：分母不等于0，可得到关于x的不等式，然后求出不等式的解集.
8．（2022·泰州）已知 用“＜”表示的大小关系为 .
【答案】
【规范解答】解：由题意可知：，
∵，
∴，
∴；
，当且仅当时取等号，此时与题意矛盾，
∴
∴；
，同理.
故答案为：.
【易错点拨】利用作差法及完全平方公式分别求出a-b，a-c，c-b，结合m≠n可得a-b>0，则a>b，当且仅当m=且n=0，即m=n=0时，a=c、b=c，与m≠n矛盾，据此可得a与c、c与b的关系，进而可得a、b、c的关系.
9．（2022·连云港）写出一个在1到3之间的无理数： .
【答案】 （答案不唯一）
【规范解答】解：∵1＜＜3 ∴ 在1到3之间的无理数是.
故答案案为： （答案不唯一）.
【易错点拨】根据1＜＜3，即可写出在1到3之间的无理数是.
10．（2021·扬州）将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，……，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为 .
【答案】1275
【规范解答】解：第①个图形中的黑色圆点的个数为：1，
第②个图形中的黑色圆点的个数为： =3，
第③个图形中的黑色圆点的个数为： =6，
第④个图形中的黑色圆点的个数为： =10，
...
第n个图形中的黑色圆点的个数为 ，
则这列数为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，...，
其中每3个数中，都有2个能被3整除，
33÷2=，
16×3+2=50，
则第33个被3整除的数为原数列中第50个数，即 =1275，
故答案为：1275.
【易错点拨】先分别求出第①、第②、第③、第④个图形中的黑色圆点的个数，据此寻找规律，可得第n个图形中的黑色圆点的个数为 ，再判断出其中能被3整除的数，得到每3个数中，都有2个能被3整除，再计算出第33个能被3整除的数所在组，为原数列中第50个数，然后代入计算即可.
三、解答题
11．（2022·淮安）
（1）计算：；
（2）化简：.
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
.
【易错点拨】（1）首先代入特殊锐角三角函数值，同时根据绝对值的性质、0指数幂的性质分别化简，进而计算乘法，最后计算有理数的加减法即可得出答案；
（2）先通分计算括号内异分母分式的减法，同时将各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，同时将除法转变为乘法，进而约分化简即可.
12．（2021·洪泽模拟）先化简代数式：（x﹣ ）÷ ，再求当x＝﹣3时代数式的值.
【答案】解：原式＝（ ﹣ ）÷
＝ ÷
＝
＝ ，
当x＝﹣3时，原式＝ ＝ ＝
【易错点拨】通分计算括号内异分母分式的减法，再将每一个分式的分子和分母能分解因式的分别分解因式，同时将除法转变为乘法，约分即可将分式化简，再把x的值的代入化简后的分式计算可求解.
13．（2017·阜宁模拟）先化简再求值：（x+2﹣ ）÷（ + ），其中x是不等式组 的整数解．
【答案】解：（x+2﹣ ）÷（ + ）
=
=
=
=（x﹣3）（x+2）
=x2﹣x﹣6，
由不等式组 ，得1＜x＜4，
∵x是不等式组 的整数解且x﹣2≠0，x+2≠0，x+3≠0，
∴x=3，
当x=3时，原式=32﹣3﹣6=0
【易错点拨】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后根据x是不等式组 的整数解和x的值必须使得原分式有意义，从而可以求得x的值，然后代入化简后的式子即可解答本题．
14．先化简（1+）÷，再从1，2，3三个数中选一个合适的数作为x的值，代入求值．
【答案】解：原式=•=•=x﹣2，
∵x≠1、2，
∴x=3，
当x=3时，原式=3﹣2=1．
【易错点拨】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，选取使分式有意义的x值即x=3代入计算即可求出值．
15．（2021八上·苏州期中）已知5a-2的立方根是-3，2a+b﹣1的算术平方根是4，c是 的整数部分，求3a+b+c的平方根.
【答案】解：∵5a-2的立方根是-3，2a＋b－1的算术平方根是4，
∴ ，
∴ ，
∵32＜13＜42，
∴3＜ ＜4，
∵c是 的整数部分，
∴c＝3，
∴3a+b＋c＝（-5）×3+27+3=-15+30=15，
∴3a+b＋c的平方根是± .
【易错点拨】根据立方根和算数平方根的定义分别建立方程，联立求解，再根据估算无理数大小的方法求出c值，最后将a、b、c值代入原式求其立方根即可.