专题19 相似三角形的应用经典60题-2023-2024学年九年级数学上册重难点高分突破（浙教版）

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【题型目录】
1．（2023秋·九年级课时练习）如图，左、右并排的两棵大树的高分别为，，两树底部的距离，王红估计自己眼睛距地面1.6m．她沿着连接这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，在前进的过程中，她发现看不到右边较高的树的顶端C．此时，她与左边较低的树的水平距离（ ）

A．小于8mB．小于9mC．大于8mD．大于9m
【答案】A
【分析】连接并延长交于点N，过N作于点M，设，证明，由相似三角形的性质即可求得x的值，从而确定答案．
【详解】解：如图，连接并延长交于点N，过N作于点M，
∵，均垂直于直线，
∴，
∴，；
由题意知，四边形是矩形，则；
设，则，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：；
当王红刚好看到右边较高的树的顶端C时，她与左边较低的树的水平距离为，当她看不到较高的树的顶端C时，则她与左边较低的树的水平距离应小于；
故选：A．

【点睛】本题考查了相似三角形的实际应用，正确理解题意，灵活利用相似三角形的性质是解题的关键．
2．（2023·河北沧州·模拟预测）将一把直尺与纸片按如图的方式摆放，与直尺的一边重合，、分别与直尺的另一边交于点，，若点，，，分别与直尺上的刻度4.5，8.5，5，7对应，直尺的宽为，则点到边的距离为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意可得：，然后作于点G，交于点H，如图，证明，根据相似三角形的性质求解即可.
【详解】解：由题意可得：，
作于点G，交于点H，如图，
则，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，即点到边的距离为2cm；
故选：B.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正确理解题意、熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键.
3．（2023·河北保定·统考二模）西周数学家商高总结了用“矩”(如图1)测量物高的方法：把矩的两边放置成如图2的位置，从矩的一端A(人眼)望点E，使视线通过点C，记人站立的位置为点B，量出长，即可算得物高．若，，，量得，则物体的高为( )

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意和图形，可以得到 然后根据相似三角形的性质，可以得到．
【详解】解：由图2可得，，
∴，
∵
∴
∴
∴，
即
解得： ，
故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质的应用，利用相似三角形对应边成比例求线段长是答题的关键．
4．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，某同学在A处看见河对岸有一大树．想测得A与的距离，他先从A向正西走90米到达的正南方处，再回到A向正南走30米到处，再从处向正东走到处，使得，A，三点恰好在一条直线上，测得米，则A与的距离为（ ）

A．米B．120米C．135米D．150米
【答案】D
【分析】证明，根据相似三角形的性质和勾股定理即可求出．
【详解】解：由题意可得：，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵米，米，米，
∴米，
∴，解得：米，
∴点A与P的距离为150米，
故选：D．
【点睛】本题考查了简单几何问题，涉及到相似三角形的判定与性质、勾股定理，灵活运用所学知识是解题关键．
5．（2023·广东深圳·校联考二模）如图是物体在焦距为（即）的凸透镜下成倒立放大实像的光路示意图．从点发出的平行于的光束折射后经过右焦点，而经过光心点的光束不改变方向，最后点发出的光汇聚于点，点发出的光汇聚于点，从而得到最清晰的实像．若物距，则像距为（ ）cm．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意可得，，易推出，，根据相似三角形的性质及得，设，则，列出关于的分式方程，解方程即可．
【详解】解：由题意得：，，
，，，
，，
，，
，
，
设，则，
，
解得：，
经检验为原分式方程的解，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，分式方程，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．
6．（2023春·山西临汾·九年级统考开学考试）西周数学家商高总结了用“矩”（如图1）测量物高的方法：把矩的两边按图2放置，从“矩”的一端（人眼）望点，使视线通过“矩”的另一端点，记人站立的位置为点，量出长，即可算得物高．若，，，，则的高度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意和图形，可以得到 然后根据相似三角形的性质，可以得到．
【详解】解：由图2可得，
∴，
∵
∴
∴
∴，
即
解得， ，
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数的应用、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
7．（2023春·浙江杭州·九年级杭州市杭州中学校考阶段练习）在上完相似三角形一课后，小方设计了一个实验来测量学校教学楼的高度．如图，在距离教学楼为18米的点处竖立一个长度为2.8米的直杆，小方调整自己的位置，使得他直立时眼睛所在位置点、直杆顶点和教学楼顶点三点共线．测得人与直杆的距离为2米，人眼高度为1.6米，则教学楼的高度为（ ）米．
A．12B．12.4C．13.6D．15.2
【答案】C
【分析】过点C作CH⊥MN于点H，交AB于点E，则四边形CDBE，四边形CDNH都是矩形．利用相似三角形的性质求出MH，可得结论．
【详解】如图，过点C作CH⊥MN于点H，交AB于点E，则四边形CDBE，四边形CDNH都是矩形．
∴CD=BE=NH=1.6米，BD=CE=2米，BN=EH=18米，
∴CH=CE+EH=20，
∵AB=2.8米．
∴AE=AB-BE=2.8-1.6=1.2（米），
∵AE∥MH，
∴△CEA∽△CHM，
∴，
∴，
∴HM=12（米），
∴CD=CH+DH=12+1.6=13.6（米），
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
8．（2022春·湖北十堰·九年级专题练习）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验（如图①），并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端．”在如图②所示的小孔成像实验中，若物距为20cm，像距为30cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是4.5cm，则蜡烛火焰的高度（ ）
A．3B．4C．6D．9
【答案】A
【分析】直接利用相似三角形的对应边成比例解答．
【详解】解：设蜡烛火焰的高度是x cm，
由相似三角形对应高的比等于相似比得到：20：30＝x：4.5．
解得x＝3．
即蜡烛火焰的高度是3cm．
故选：A．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，记住相似三角形对应高的比等于相似比．
9．（2022秋·黑龙江牡丹江·九年级统考期末）如图，小明到操场测量旗杆AB的高度，他手拿一支铅笔MN，边观察边移动（铅笔MN始终与地面垂直）．当小明移动到D点时，眼睛C与铅笔，旗杆的顶端M，A共线，同时眼睛C与它们的底端N，B也恰好共线．此时测得DB＝50m，小明的眼睛C到铅笔的距离为0.6m，铅笔MN的长为0.16m，则旗杆AB的高度为（ ）
A．15mB．mC．mD．14m
【答案】C
【分析】利用相似三角形对应边的比等于对应高的比，过作于,交于，先证四边形是矩形，再明，得出，从而求出．
【详解】解：过作于,交于，
根据题意 ，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
，
又，
∴∠CMN=∠A，∠CNM=∠CBA，
，
，
，
．
故选择C．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，矩形的判定与性质，三角形相似判定与性质，掌握相似三角形的应用于测量的方法，矩形的判定与性质，三角形相似判定与性质是解题关键．
10．（2022春·八年级单元测试）如图所示，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于（ ）
A．4.5米B．6米C．7.2米D．8米
【答案】B
【分析】根据同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似解答．
【详解】解：如图所示，GC⊥BC，AB⊥BC，
∵，
当王华在CG处时，Rt△DCG∽Rt△DBA，即，
当王华在EH处时，Rt△FEH∽Rt△FBA，即，
∴，
∵CG＝EH＝1.5米，CD＝1米，CE＝3米，EF＝2米，
设AB＝x，BC＝y，
∴，
解得y＝3，
则，
解得，x＝6米．
即路灯A的高度AB＝6米．
故选：B．
【点睛】本题综合考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用．解题的关键是利用中心投影的特点可知在这两组相似三角形中有一组公共边，利用其作为相等关系求出所需要的线段，再求公共边的长度．
11．（2022春·九年级课时练习）如图1，某温室屋顶结构外框为△ABC，立柱AD垂直平分横梁BC，AD=2 m，斜梁AC=4 m．为增大向阳面的面积，将立柱增高并改变位置，使屋顶结构外框变为△EBC（点E在BA的延长线上），立柱EF⊥BC，如图2所示．若EF=3 m，则斜梁增加部分AE的长为（ ）
A．0.5 mB．1 mC．1.5 mD．2 m
【答案】D
【分析】根据已知条件证明△ABD∽△EBF，得到，即可得解；
【详解】∵EF⊥BC，AD⊥BC，
∴AD∥EF，
∴△ABD∽△EBF，
∴，
∵AD垂直平分横梁BC，
∴，
∴，解得EB=6(m)，
∴AE=EB-AB=6-4=2(m)．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，准确计算是解题的关键．
12．（2022春·九年级课时练习）《九章算术》是我国数学经典，上面记载：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门三十步有木，出西门七百五十步见木．问邑方几何？”其意思是：如图，已知正方形小城ABCD，点E，G分别为CD，AD的中点，EF⊥CD，GH⊥AD，点F，D，H在一条直线上，EF＝30步，GH＝750步．正方形小城ABCD的边长是（ ）
A．150步B．200步C．250步D．300步
【答案】D
【分析】根据题意可知，从而可以得到对应边的比相等，从而可以求解；
【详解】∵点E，G分别为CD，AD的中点，
∴，，
∴，
又题意可得，，
∴，
∴，
而EF＝30步，GH＝750步，
即，
∴，
解得：，
∴步；
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质，准确计算是解题的关键．
13．（2023秋·九年级课时练习）如图，圆桌上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面形成阴影，已知桌面的直径为，桌面距离地面，若灯泡距离地面，则地面上阴影部分面积为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】欲求投影圆的面积，可先求出其直径，而直径可通过构造相似三角形，由相似三角形性质求出．
【详解】解：构造几何模型如图：

依题意知，，
∴，
∴，即，
∴，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
14．（2023·河北唐山·统考二模）凸透镜成像的原理如图所示，，若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则该物体缩小为原来的（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先证出四边形为矩形，得到，再根据，求出，从而得到物体被缩小到原来的几分之几．
【详解】解：，，，
四边形为矩形，
，
物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，
，
，，
，
，
，
物体被缩小到原来的倍，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，从实际问题中找到相似三角形并利用相似三角形的性质进行求解是解题的关键．
15．（2023·河北衡水·校联考二模）如图，在一把尺子（单位：cm）上自左向右的三个位置（都为整十数刻度），依次放置了点光源，竖立的木条，竖直安装的投影幕，已知，且可以在尺子上左右移动，木条在投影幕上的投影为．现将木条从图示位置向左移动，下列说法正确的是（ ）．

A．伸长了B．伸长了
C．缩短了D．缩短了
【答案】B
【分析】先证可得，再分别求出向左移动前后的长度，进而求出向左移动前后的长度即可解答．
【详解】解：由题意可得：,
∴,
∴,
∴,
∵，,,
∴，解得：，
将木条从图示位置向左移动,则，
∴，解得：．
∴现将木条从图示位置向左移动，伸长了．
故选B．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、相似三角形的应用等知识点，理解题意、证得是解答本题的关键．
16．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，小李身高，在路灯O的照射下，影子不全落在地面上．小李离路灯的距离，落在地面上影长，留在墙上的影高，则路灯高为（ ）
A．5mB．6mC．7.5mD．8m
【答案】B
【分析】解：如图，过作于，过作交于，交于，则四边形和为矩形，则，，，，，证明，则，即，求的值，然后根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，过作于，过作交于，交于，则四边形和为矩形，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，矩形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
17．（2023春·浙江宁波·九年级校考阶段练习）有一块锐角三角形余料，边的长为，边上的高为，现要把它分割成若干个邻边长分别为和的小长方形零件，分割方式如图所示（分割线的耗料不计），使最底层的小长方形的长为的边在上，则按如图方式分割成的小长方形零件最多有（ ）
A．5个B．6个C．7个D．8个
【答案】B
【分析】如图：当最上层的小长方形的一边与交于点E、F时，，于，交于，利用求得，然后求得，这样就可以计算得小长方形一共有3层，然后再次利用相似比，可求得每层可分割几个小长方形，最后确定小长方形的总数即可．
【详解】解：如图：当最上层的小长方形的一边与交于点E、F时，，于，交于，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
∵小长方形的宽为
∴能分割三层小长方形，且最上一层正好能分割一个小长方形，
设第二层靠近点A的边为x，
根据三角形相似可得：，
解得，即第二层正好能分割两个小长方形，
设最下层靠近点A的边为，
根据三角形相似可得：，
解得，即最下层正好能分割三个小长方形，
∴按如图方式分割成的小长方形零件最多有个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了相似三角形在实际生活中的应用．能够灵活应用相似比求解对应的边是解决问题的关键．
18．（2023春·河北衡水·九年级校考阶段练习）如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸岸边每隔有一棵树，嘉淇站在离南岸的点处看北岸，在两棵树之间的空隙中，恰好看见一条龙舟的龙头和龙尾（假设龙头、龙尾和嘉淇的眼睛位于同一水平平面内）．已知龙舟的长为，且龙舟与河岸平行，则龙舟到南岸的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意画出示意图，过点P作于点F，交AB于点E，证明，再借助相似三角形的性质计算的长，再由题意计算龙舟到南岸的距离即可．
【详解】解：根据题意画出示意图，过点P作于点F，交AB于点E，
由题意可知，两树之间的距离，龙舟的长，点P到南岸的距离，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
即：龙舟到南岸的距离为，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了利用相似三角形解决实际问题，解题关键是根据题意作出示意图，构建相似三角形．
19．（2023春·河北·九年级专题练习）《海岛算经》是我国最早的一部测量数学专著，书中第一个问题的大意是：如图，要测量海岛上一座山峰的高度，立两根长度相等的标杆和，两杆之间的距离步，，，共线；从到走123步，此时A，，三点共线；从到走127步，此时A，，三点共线．计算山峰的高度及的长．若设步，所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】证明，得到，由得到，根据已知条件代入即可得到结论．
【详解】解：由题意可得，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：D
【点睛】此题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
20．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，九年级（1）班课外活动小组利用平面镜测量学校旗杆的高度，在观测员与旗杆之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记E，当观测到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合时，测得观测员的眼睛到地面的高度为，观测员到标记E的距离为，旗杆底部到标记E的距离为，则旗杆的高度约是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据相似三角形的判定证出，再根据相似三角形的性质求解即可得．
【详解】解：∵镜子垂直于地面，
∴入射角等于反射角，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正确找出两个相似三角形是解题关键．
21．（2023春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）瑞光塔，位于江苏省苏州市区西南隅盘门内，始建于北宋景德元年．某数学兴趣小组决定利用所学知识测量瑞光塔的高度，如图2，瑞光塔的高度为，在地面上取E，G两点，分别竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且瑞光塔，标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到D处（即），从D处观察A点，A、F、D三点成一线；从标杆后退到C处（即），从C处观察A点，A、H、C三点也成一线．已知B、E、D、G、C在同一直线上，，，，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出瑞光塔的高度 （结果精确到）．

【答案】
【分析】设，则，证明，得到，，根据，得到 ，解方程即可得到答案．
【详解】解：设，则，
，，，
，，
，，
，，
，
，
即，
解得：，
经检验，是原方程的解，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的实际应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题及熟练掌握三角形相似比的灵活运用．
22．（2023春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，和是两等高的路灯，相距，身高的小明站在两路灯之间（D、B、F共线），被两路灯同时照射留在地面的影长，则路灯高度为 ．

【答案】/6米
【分析】证得，那么可得，同理可得，根据，可求出，再代入相关数值，计算可得路灯高度．
【详解】解：设，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
即,
由得，
∴，
即路灯高．
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的应用；利用线段相等得到相关比例式是解决本题的突破点．
23．（2023秋·黑龙江大庆·九年级校考开学考试）兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为米的竹竿的影长为米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得该影子的长为米，一级台阶高为米，如图所示，若此时落在地面上的影长为米，则树高为

【答案】
【分析】现根据题意画出几何图形，延长交于，，，，易得，，再根据在同一时刻物高与影长的比相等，得到，从而可以算出，然后计算即可．
【详解】解：如图，表示树高，表示树在地上的影长，表示树在台阶上的影长，为第一级台阶的高，延长交于，，，，易得为矩形，
，，
，
，
，
，
故答案为：．

【点睛】本题考查了相似三角形的应用：通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等，熟练画出几何模型是解题的关键．
24．（2023春·山东泰安·八年级统考期末）教学楼前有一棵树，小明想利用树影测量树高．在阳光下他测得一根长为的竹竿的影长是，但当他马上测量树高时，发现树的影子不全在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），经过思考，他认为继续测量也可以求出树高．他测得，落在地面上的影长是，落在墙壁上的影长是，则这棵树实际高度为 m．

【答案】3.6/
【分析】先根据同一时刻物高与影长成比例求出落在地上的影长对应的树的高度，再加上落在墙上的影长就是树的高度．
【详解】解：同一时刻物高与影长成比例，
，
即：，
解得落在地上的影长对应的树的高度，
树的高度为：，
故答案为：3.6．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，明确把影长分为两部分计算，然后再求和就是树的高度是解题的关键．
25．（2023春·山东济宁·九年级统考期末）如图，小华站在楼的底端A处，眺望楼的顶端D，发现视线与水平线的夹角为α；然后，小华保持身体姿势不变转身后退，当退到点F处时，发现视线与水平线的夹角也为α．已知点F恰好为的中点，点M在上，，，，，楼的高度为7米，小华眼睛距离地面的高度米，根据以上数据计算出大楼的高度为 米．

【答案】
【分析】由题意得出，得出，利用相似三角形的性质求出的长度，即可求出大楼的高度．
【详解】如图，延长交于点N，

由题意得：米，，
，，
∴，
∴，
∵米，
∴（米）
∴，
解得：，
∴（米），
答：大楼的高度为米．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定与相似三角形对应边成比例是解决问题的关键．
26．（2023春·江苏苏州·八年级统考期末）两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因，图1是小孔成像实验图，抽象为数学问题如图2：与交于点O，，若点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是 ．

【答案】//
【分析】根据相似三角形的性质，进行计算即可得到答案．
【详解】解：根据题意可得：
∵，
∴，
∵点O到的距离为，点O到的距离为，
∴由相似三角形对应高之比是相似比可得：，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质的实际应用，解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
27．（2023秋·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考开学考试）如图，小明测得长的竹竿落在地面上的影长为．在同一时刻测量树的影长时，他发现树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在墙面上．他测得这棵树落在地面上的影长为，落在墙面上的影长为，则这棵树的高度是 m．

【答案】8
【分析】根据在同一时刻物高和影长的比值相同，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，然后求解作答即可．
【详解】解：如图，延长、交于，

由物高与影长成正比得，，即，解得（），
∴（），
同理，即，解得（），
故答案为：8．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
28．（2023春·吉林长春·九年级统考阶段练习）如图①，西周数学家商高用“矩”测量物高的方法：把矩的两边放置成如图②的位置，从矩的一端A（人眼）望点E，使视线通过点C，记人站立的位置为点B，量出BG的长，即可算得物高EG．经测量，得，，．设，，则y与x之间的函数关系式为 ．
【答案】
【分析】根据题意可得：，，，然后证明A字模型相似三角形，从而利用相似三角形的性质，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
，，，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键．
29．（2023春·广东深圳·九年级统考阶段练习）如图，在边长为4米的正方形场地内，有一块以为直径的半圆形红外线接收“感应区”，边上的处有一个红外线发射器，红外线从点发射后，经、上某处的平面镜反射后到达 “感应区”，若米，当红外线途经的路线最短时，上平面镜的反射点距离点 米．
【答案】
【分析】由反射规律可知，物体和像是关于平面镜的对称，如图，作出点P关于直线的对称点，则有，作半圆关于直线的对称图形半圆，连接，交半圆于点，则长为红外线途经的路线最短时的值，求出此时即可．
【详解】解：如图，作出点P关于直线的对称点，作半圆关于直线的对称图形半圆，、是关于直线的对称点，连接，连接于，交半圆于点，
由反射规律和对称性质可知：，，
∴，
∴当、、、、在同一直线上时，红外线途经的路线最短，最短路径长为，
∵正方形中，，，
∴，
∴
又∵，，
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了最短路径问题，解题关键是利用轴对称性质转换线段，化折为直，从而解答问题．掌握常见最短路径模型往往会事半功倍．
30．（2023春·吉林长春·九年级统考阶段练习）如图①，西周数学家商高用“矩”测量物高的方法：把矩的两边放置成如图②的位置，从矩的一端A（人眼）望点E，使视线通过点C，记人站立的位置为点B，量出BG的长，即可算得物高EG．经测量，得，，．设，，则y与x之间的函数关系式为 ．
【答案】
【分析】根据题意可得：，，，然后证明A字模型相似三角形，从而利用相似三角形的性质，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
，，，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键．
31．（2022秋·浙江湖州·九年级统考期末）如图1是一个家用折叠梯子，使用时四个踏板都是平行于地面且全等的矩形，已知踏板宽，，将踏板往上收起时（如图2），点A与点F重合，此时，踏板可以看作与支架重合，将梯子垂直摆放时，点A离地面的高度为 ．图3是图1的简略视图，若点H恰好在点A的正下方，此时点A到地面的高度是 ．
【答案】 120
【分析】由点A与点F重合能够得出的长，从而可以求出点A离地面的高度．连接并延长，交于点Q，得到直角三角形，又由使用时四个踏板都是平行于地面且全等的矩形，得到，得到，利用相似三角形的性质可以求出的长，进而利用勾股定理可以求出点A到地面的高度．
【详解】∵将踏板往上收起时（如图2），点A与点F重合，
∴．
∴，
即点A离地面的高度为120 ．
如图，连接并延长，交于点Q，则．
∵使用时四个踏板都是平行于地面且全等的矩形，
∴，，
∴，
∴，
即，
解得．
在中，由勾股定理，得
，
即点A到地面的高度是．
故答案为：120，．
【点睛】本题是一道实际应用题，主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，正确理解题意，能够将实际问题转化成数学问题是解题的关键．
32．（2023秋·江苏南通·九年级统考期末）《海岛算经》中记载：“今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合．从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合．问岛高几何．”其大意是：如图，为了求海岛上的山峰的高度，在处和处树立高都是3丈丈步）的标杆和，，相隔1000步，并且，和在同一平面内，从处后退123步到处时，，，在一条直线上；从处后退127步到处时，，，在一条直线上，则山峰的高度为 步．
【答案】1255
【分析】先证明，利用相似比得到①，再证明得到，即②，所以，接着利用比例的性质求出，然后计算的长．
【详解】解：根据题意得步，步，步，步，
，
，
，即①，
，
，
，即②，
由①②得，
即，
，
，
，
，
（步），
即山峰的高度为1255步．
故答案为：1255．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用：通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等计算相应线段的长．
33．（2022秋·辽宁大连·九年级统考期末）如图，为了测量一棵树的高度，王青同学在她脚下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到楼的顶部．已知她的眼睛距地面高，同时量得，，则树的高度是 m．
【答案】5
【分析】如图，根据镜面反射的性质，可得到，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．
【详解】解：根据题意可得：
∵，（反射角等于入射角，它们的余角相等），
∴，
∴，
∴，
∴（）
故答案为：5．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，应用镜面反射的基本性质，得出三角形相似，再运用相似三角形对应边成比例是解决问题的关键．
34．（2023·上海徐汇·统考一模）小明和小杰去公园游玩，小明给站在观景台边缘的小杰拍照时，发现他的眼睛、凉亭顶端、小杰的头顶三点恰好在一条直线上（如图所示）．已知小明的眼睛离地面的距离为米，凉亭的高度为米，小明到凉亭的距离为米，凉亭与观景台底部的距离为米，小杰身高为米．那么观景台的高度为 米．
【答案】//
【分析】根据题意构造直角三角形，继而利用相似三角形的判定与性质解答．
【详解】解：过点作于点，交于点，
由题意得，，，，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴（米）．
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，构造直角三角形是解题关键．
35．（2022秋·贵州铜仁·九年级统考期中）小明想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如图，小明边移动边观察，发现站到点处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度，，（点，，在同一直线上），已知小明的身高是，那么楼的高度等于 ．
【答案】
【分析】过点作，交于,可得四边形、是矩形，即可证明，从而得出，进而求得的长．
【详解】解：如图，作于，交于
∴四边形、是矩形，
∴，，，
∴，
∴由题意知，，
∴，
∴，即 ，
解得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握相似三角形的判定与性质掌握．
36．（2023·浙江·一模）如图，小明借助太阳光线测量树高．在早上8时小明测得树的影长为，下午3时又测得该树的影长为，且这两次太阳光线刚好互相垂直，则树高为 ．
【答案】4
【分析】先根据题意作出相应的图，然后可根据条件得到，最后利用相似比即可得解．
【详解】解：根据题意作图，，，，，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题关键．
37．（2022秋·浙江温州·九年级校考阶段练习）如图1，为路灯主杆，为路灯的悬臂，，．为足够长的标杆，标杆垂直地面且挂有若干个灯筑．已知于点B，，高度为1.6m的小艺同学沿地面走着去看灯笼与路灯C，，绘制示意图（如图2），G，D，H三点共线，，且，连结能满足与点D、E、F为顶点的三角形相似，此时所看到的灯笼F与H点的距离为 m．
【答案】
【分析】过C作于点N，证明，即可求得结果．
【详解】过C作于点N，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于构造相似三角形，熟练掌握相似三角形的判定定理．
38．（2023秋·全国·九年级专题练习）小明把手臂水平向前伸直，手持小尺竖直，瞄准小尺的两端、，不断调整站立的位置，使在点处时恰好能看到铁塔的顶部和底部（如图）．设小明的手臂长，小尺长，点到铁塔底部的距离，则铁塔的高度为 m．
【答案】8
【分析】作于，交于，如图，则，，，证明，然后利用相似比计算出即可．
【详解】解：作于，交于，如图，则，，，
，
，
，
即，
，
即铁塔的高度为．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用：利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
39．（2022秋·九年级单元测试）为了测量校园水平地面上一棵不可攀爬的树的高度，小文同学做了如下的探索：根据物理学中的光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方穼：把一面很小的镜子放在合适的位置，刚好能在镜子里看到树梢顶点，此时小文与平面镜的水平距离为3.0米，树的底部与平面镜的水平距离为12.0米．若小文的眼睛与地面的距离为1.7米，则树的高度约为 米（注：反射角等于入射角）
【答案】6.8
【分析】先证，可得，把将已知条件代入可得即可.
【详解】解：由已知可得，
∴，
∴，即，解得 (米) .
故答案为：6.8.
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，根据题意发现相似三角形是解答本题的关键.
40．（2023秋·九年级课时练习）如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来（，，与相交于点O），已知米，米，米，米，则汽车从A处前行的距离 米时，才能发现C处的儿童．
【答案】/
【分析】先在中，利用勾股定理求出的长，再证明8字模型相似三角形，从而利用相似三角形的性质可得，然后在中，根据勾股定理求出的长，进行计算即可解答．
【详解】在中，，，
，
，，
，
，
，
，
在中，米，
，
，
汽车从处前行米，才能发现处的儿童，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
41．（2023秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）晚上放学回家，小明和大华走在路灯下，突然灵机一动，想利用所学的知识测量路灯的高度．在灯光下，当大华站在D点处时，小明测得大华的影长为3米；大华沿方向行走5米到达G点，此时又测得大华的影长为4米．如果大华的身高为米，请你根据以上信息，帮助他们计算路灯的高度．

【答案】米
【分析】由得，则，由得，则，得到，解得，则，即可求得的高度．
【详解】解：如图，于点D，于点G，

由题意可知，，米，米，米，米，
∴，
∴，
∴，即①，
∵，，
∴，
∴，
∴，即②，
由①②得，，
解得，，
经检验，是方程的根且符合题意，
∴，
解得，．
答：路灯杆AB的高度为米．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，在本题中关键是根据两组相似三角形中的公共边和身高建立关于的方程．
42．（2022·陕西西安·校考模拟预测）张红武和学习小组的同学们想利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵树的高度，经讨论之后大家决定用以下方法进行测量：首先准备一长方形的笔记本和一根笔直的长约厘米的木条．测量时，如图，由一位同学把笔记本拿在手里（笔记本封面所在平面在竖直平面内），另一位同学沿笔记本边观察树的顶端，调整角度之后使树的顶端与边在一条直线上．这时让木条的一端与点重合．用手捏住这一端，并使木条自然下垂，这时木条与边交于点．经测量点到地面的距离为米，笔记本的长厘米，宽厘米，厘米．一位同学从点的正下方走向树的底部共走了步，若该同学每一步的长为厘米，请求出这棵树的高度．

【答案】米
【分析】根据题意补全图形，利用，可得，又因为，得出比例式，解出即可．
【详解】解：如图，

根据题意可知，（米），米，米，米，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
解得，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
答：这棵树的高度为米．
【点睛】此题考查了相似三角形的应用，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
43．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，是位于西安市长安区香积寺内的善导塔，善导塔为楼阁式砖塔，塔身全用青砖砌成，平面呈正方形，原为十三层，现存十一层，建筑形式独具一格．数学兴趣小组测量善导塔的高度，有以下两种方案：
方案一：如图1，在距离塔底B点远的D处竖立一根高的标杆，小明在F处蹲下，他的眼睛所在位置E、标杆的顶端C和塔顶点A三点在一条直线上．已知小明的眼睛到地面的距离，点B、D、F、M在同一直线上．
方案二：如图2，小华拿着一把长为的直尺站在离善导塔的地方（即点E到的距离为）．他把手臂向前伸，尺子竖直，，尺子两端恰好遮住善导塔（即A、C、E在一条直线上，B、D、E在一条直线上），已知点E到直尺的距离为．

请你结合上述两个方案，选择其中的一个方案求善导塔的高度．我选择方案_______．
【答案】一（答案不唯一），善导塔的高度为．
【分析】若选择方案一：过点E作，垂足为H，延长交于点G，根据题意可得：，从而可得，，然后证明A字模型相似三角形，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答；
若选择方案二：过点E作，垂足为M，延长交于点N，根据题意可得：，然后利用平行线的性质可得，从而可得，最后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
【详解】若选择方案一：
如图：过点E作，垂足为H，延长交于点G，

由题意得：，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴善导塔的高度为；
若选择方案二：
如图：过点E作，垂足为M，延长交于点N，

∵，
∴，
由题意得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴善导塔的高度为；
故答案为：一（答案不唯一）．
【点睛】考查了相似三角形的应用，解题关键是根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线构造相似三角形．
44．（2021秋·陕西西安·九年级校考期中）某校社会实践小组为测量一建筑物（图2）的高度，测量示意图如图1所示，在地面上处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆，这时地面上的点、标杆的顶端点、该建筑物的顶部正好在同一直线上，测得米，将标杆向后平移到点处，这时地面上的点、标杆的顶端点、该建筑物的顶部正好又在同一直线上，这时测得米，米，已知点、点、点、点与该建筑物底部的点在同一直线上，，，，请你根据以上数据，计算该建筑物的高度．
【答案】米
【分析】首先证明，由相似三角形的性质可得，代入数值可得；再证明，由相似三角形的性质可得，代入数值并整理可得，易得，可解得的值，即可获得答案．
【详解】解：根据题意得米，米，米，米，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，解得米，
∴米．
【点睛】本题主要考查了运用相似三角形解决实际问题，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
45．（2022秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）某校九年级数学兴趣小组准备去测量大雁塔的高度，测量方案如下：如图，首先，小明站在B处，位于点B正前方3米点C处有一平面镜，通过平面镜小明刚好看到大雁塔的顶端M的像，此时测得小明的眼睛到地面的距离为1.5米；然后，小刚在F处竖立了一根高2米的标杆，发现地面上的点D、标杆顶点E和塔顶M在一条直线上，此时测得为6米，为58米，已知，，，点N、C、B、F、D在一条直线上，请根据以上所测数据，计算大雁塔的高度（平面镜大小忽略不计）．
【答案】大雁塔的高度为64米
【分析】设米，证明，推出，可得，再证明，推出，构建方程求解即可．
【详解】解：设米．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
经检验是分式方程的解，
答：大雁塔的高度为64米．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．
46．（2022秋·陕西榆林·九年级校考期中）位于陕西省北部神木县红碱淖景区的大门口，树立着一座精致的王昭君雕像．在当地人看来，当年王昭君就是走过神木大地，去完成和亲使命的．她因为远离家乡而伤心落泪，泪水也因此化作了一颗“沙漠明珠”——红碱淖．某校社会实践小组为了测量这座雕像（如图）的高度，如图，小明先在地面上处垂直于地面竖立了高度为米的标杆，这时地面上的点，标杆的顶端点，雕像的顶端正好在同一直线上，测得米；小明再从点出发沿着方向前进米，到达点．在点处放置一平面镜，小刚站在处时，恰好在平面镜中看到雕像的顶端的像，此时测得小刚的眼睛到地面的距离为米，米．已知点、、、与雕像的底端在同一直线上，，，，请你根据以上数据，计算该雕像的高度．（平面镜大小忽略不计）

【答案】米．
【分析】由和，可以证得 ，即可证得，从而等到与之间的等量关系式，由光的反射的性质可以得出，再结合和 ，可以证得，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
解得：，
∴该雕像的高度为米．
【点睛】此题考查相似三角形的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题．
47．（2022秋·福建莆田·九年级校考开学考试）小明对某塔进行了测量，测量方法如下，如图所示，先在点处放一平面镜，从处沿方向后退1米到点处，恰好在平面镜中看到塔的顶部点，再将平面镜沿方向继续向后移动15米放在处（即米），从点处向后退1.6米，到达点处，恰好再次在平面镜中看到塔的顶部点、已知小明眼睛到地面的距离米，请根据题中提供的相关信息，求出小雁塔的高度（平面镜大小忽略不计）

【答案】43.5米
【分析】利用相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：根据题意得，，
，
，即①；
，，
，
，即②，
由①②得，
解得，
，
解得，
答：小雁塔的高度为43.5米．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用：解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题，然后利用相似三角形的性质进行几何计算．
48．（2023秋·浙江·九年级专题练习）成都熊猫基地瞭望塔可以看到熊猫基地的全貌，还可以看到339电视塔，成为了成都的新地标，也是去成都观光旅游的新景点．小辉想利用所学知识测量瞭望塔的高度，测量方法如下：在地面上点处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，然后人向后退，直至站在点处恰好看到瞭望塔的顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合，如图，其中，，三点在同一直线上．已知小辉的眼睛距离地面的高度约为，测得，，请你帮助他求出该瞭望塔的高度．．

【答案】
【分析】根据题意可得：，，，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
【详解】解：解：由题意得：，，，
，
，
，
，
，
该瞭望塔的高度为．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
49．（2023春·陕西榆林·九年级校考开学考试）某学校九年级一班进行课外实践活动，晓玲和张华利用所学过的知识测年楼房的高．如图，是楼房附近的一棵小树，张华测得地面上的点E、小树顶端和楼顶在一条直线上，米，米；在阳光下，某一时刻，晓玲站在点处时，恰好发现她自己的影子顶端与楼房的影子顶端重合，米，晓玲的身高米，米．已知点、、、、在同一水平直线上，，，，请计算出楼房的高度．
【答案】18米
【分析】分别证明，，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，又，
∴，
∴，
∵米，米，
∴①；
∵，，
∴，又，
∴，
∴，
∵米，米，米，米，
∴②，
由①②解得(米)，(米)，
答：楼房的高度为18米．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，理解题意，会利用相似三角形的性质解决实际测高问题是解答的关键．
50．（2023·陕西宝鸡·统考二模）小红和小华决定利用所学数学知识测量出一棵大树的高度如图，小红在点处，测得大树顶端的仰角的度数；小华竖立一根标杆并沿方向平移标杆，当恰好平移到点时，发现从标杆顶端处到点的视线与标杆所夹的角与相等，此时地面上的点与标杆顶端、大树顶端在一条直线上，测得米，标杆米，米，已知、、、在一条直线上，，，请你根据测量结果求出这棵大树的高度．

【答案】这棵大树的高度为米
【分析】根据题意得：，，从而可得，进而可得，然后利用相似三角形的性质可得，再证明字模型相似三角形，最后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
【详解】解：由题意得：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
这棵大树的高度为米．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．相似三角形的对应边成比例．
51．（2022秋·河南平顶山·九年级统考期末）学完了《图形的相似》这一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量一古建筑的高度（如图1），如图2，在地面上取，两点，分别竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且古建筑，标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到处，从处观察A点，A，，三点成一线；从标杆后退到处，从处观察A点，A，，三点也成一线，请根据以上测量数据，帮助实践小组求出该古建筑的高度．

【答案】
【分析】设，由题意可知两组三角形相似，利用相似比找出关于x的方程，即可求出建筑物的高度．
【详解】解：由题意可知：，
，，
，
，
．
设，则，
解得：，
，
，
．
答：该古建筑高．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，求出的值是解题的关键．
52．（2023春·山东泰安·八年级统考期末）亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼，两人准备用测量影子的方法测算其楼高，但恰逢阴天，于是两人商定改用下面方法：如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部，颖颖的头顶及亮亮的眼睛恰在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C，D．然后测出两人之间的距离，颖颖与楼之间的距离（C，D，N在一条直线上），颖颖的身高，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离．求住宅楼的高度是多少米．

【答案】住宅楼的高度为．
【分析】过作，交于点，交于点，由相似三角形的判定定理得出，再由相似三角形的对应边成比例即可得出的长，进而得出结论．
【详解】解：如图所示，过作，交于点，交于点．

由已知可得．
．
又，
所以．
所以，即，
解得．
所以．
所以住宅楼的高度为．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，熟悉并掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
53．（2023秋·陕西西安·九年级校考开学考试）如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点、、、在同一水平面上．求灯泡到地面的高度．

【答案】
【分析】根据相似三角形的性质列方程即可求解．
【详解】证明：，
故，即，
，
，
，
光在镜面反射中的入射角等于反射角，
，
又，
，
，
，
解得：，
灯泡到地面的高度为．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，由相似得到对应线段成比例是解题的关键．
54．（2022秋·辽宁鞍山·九年级统考期中）为测量一建筑物的高度，如图，小明站在处，位于点正前方3米点处有一平面镜，通过平面镜小明刚好可以看到建筑物的顶端的像，此时测得小明的眼睛到地面的距离为米；然后，小刚在处竖立了一根高2米的标杆，发现地面上的点、标杆顶点和建筑物顶端在一条直线上，此时测得为6米，为4米，已知，，，点、、、、在一条直线上，请根据以上所测数据，计算建筑物的高度（平面镜大小忽略不计）．

【答案】10米
【分析】可证，从而可得，设米，可求，再证，可得，即可求解．
【详解】解：由题意得：
，
，，
，
，
，
设米，
，
，
，，
，
，
，
，
解得：，
答：建筑物的高度为10米．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，理解题意，掌握判定方法及性质是解题的关键．
55．（2023春·江苏苏州·八年级苏州市振华中学校校考期末）如图，小斌想用学过的知识测算河的宽度．在河对岸有一棵高4米的树，树在河里的倒影为，，小斌在岸边调整自己的位置，当恰好站在点B处时看到岸边点C和倒影顶点H在一条直线上，点C到水面的距离米，米，米，，，，，，视线与水面的交点为D，请你根据以上测量方法及数据求河的宽度．
【答案】7.2米
【分析】首先推知，，利用相似三角形对应边成比例求得线段米，则米．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∴，
∴，即，
∴．
∵，，
∴，
∵，
∴．
∴，即，
∴，
∴米，
∴河的宽度为7.2米．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
56．（2023春·广东惠州·九年级校考开学考试）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，求树高．

【答案】米
【分析】利用和相似求得的长后加上边到地面的高度，即可求得树高AB．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
答：树高为米．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．
57．（2022秋·广东梅州·九年级统考期末）北京时间年月日时分，神舟十五号载人飞船成功发射，为弘扬航天精神，某校在教学楼上悬挂了一幅励志条幅（即）．小亮同学想知道条幅的长度，他的测量过程如下：如图，刚开始他站在距离教学楼的点处，在点正上方点处测得，然后向教学楼条幅方向前行到达点处，在点正上方点处测得，若，，均为，的长为．
(1)如图1，请你帮助小亮计算条幅长度
(2)若小亮从点开始以每秒的速度向点行走至（正上方点），经过多少秒后，以、、为顶点的三角形与相似．
【答案】(1)
(2)秒或秒
【分析】（1）根据已知求出、和，再根据同位角相等求出，根据成比例线段求出长度；
（2）设经过秒后，以、、为顶点的三角形与相似，则，，利用三角形相似对应边成比例，分成和两种情况求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：，，，
，
，
，即，
解得，
条幅的长度为；
（2）设经过秒后，以、、为顶点的三角形与相似，则，，
当时，，即，
解得，
当时，，即，
解得，
∴经过秒或秒后，以、、为顶点的三角形与相似．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，平行线的判定，平行线分线段成比例，熟练掌握并灵活运用这些性质是解答本题的关键．
58．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，为了估算河面的宽度，即的长，在离河岸点米远的点，立一根长为米的标杆，在河对岸的岸边有一块高为米的安全警示牌，警示牌的顶端在河里的倒影为点，即，两岸均高出水平面米，即米，经测量此时、、三点在同一直线上，并且点、、、共线，点、、共线，若、、均垂直于河面，求河宽是多少米？
【答案】米
【分析】延长交的反向延长线于点，由∽求得，再由∽求得，即可解决问题，
【详解】解：延长交的反向延长线于点，

则四边形是矩形，
，，
，
∵，
∽，
，
，
，
，米，米，
（米），
，，
∴，
∽，
，
，
，
（米），
答：河宽是米．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，构造和证明三角形相似是解题的关键．
59．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）玄奘舍利塔位于陕西长安区护国兴教寺西侧的塔院内，它是现存最早的楼阁型方形砖塔．小明想用学过的知识来测量玄奘舍利塔的高度．如图所示，小明在地面处放置了一块平面镜，然后他从点向后退米至处，小明直立在处，他的眼睛恰好在镜中看到玄奘舍利塔顶端的像，他在处做好标记，将平面镜移至处，然后小明从点后退米至处，此时眼睛恰好又在镜中看到玄奘舍利塔顶端的像，已知小明眼睛距地面的高度，均为米，，，点、、、在同一条直线上，求玄奘舍利塔的高度（平面镜的大小和厚度忽略不计，结果精确到米）
【答案】
【分析】根据题意得出，，根据相似三角形的性质列出比例式，求得，，即可求解．
【详解】解：根据题意知，，，
∴，
∴，
即，
∴，
根据题意知，，
∴，
∴，
即
∴
∴，
∴建筑物的高度为．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
60．（2023·江苏盐城·统考二模）（1）【问题探究】如图①，点B，C分别在上，米，米，米，米，米．
①探究与是否相似并说明理由；
②求的长．
（2）【问题解决】如图②，四边形规划为园林绿化区，对角线将整个四边形分成面积相等的两部分，已知米，四边形的面积为平方米，为了更好地美化环境，政府计划在边上分别确定点E，F，在边上确定点P，Q，使四边形为矩形，在矩形内种植花卉，在四边形剩余区域种植草坪，为了方便市民观赏，计划在之间修一条小路，并使得最短，根据设计要求，求出的最小值，并求出当最小时，花卉种植区域的面积．

【答案】（1）①，理由见解析；②26米；（2），平方米．
【分析】（1）①通过两边对应成比例且夹角相等，证明出；②利用相似三角形的性质即可求出的长；
（2）作交于点G，通过三角形的面积求出的长，然后通过得到，用含有n的式子将需要的量表示出来，放在中，通过勾股定理得到一个二次函数解析式，利用二次函数图像和性质求出最值即可．
【详解】解：（1）①，理由如下：
∵米，米，米，米，
∴，
又∵，
∴，
②∵，
∴，
∴米．
（2）如图所示，作交于点G，
∵平方米，
∴平方米，
∴米，
∵四边形为矩形，

∴，
∴，
∴，
设，则，即，，
在中，由勾股定理得，
∴，
∵，
∴当时，最小，最小为，即最小为，
此时，，
∴，
∴最小值为，此时花卉种植区域的面积为平方米．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的图像和性质等知识点，解题的关键在于能够合理的添加辅助线，构造相似三角形，要求能够熟练运用相似三角形的性质以及二次函数性质.