专题17 比例线段重难点题型专训（6大题型）-2023-2024学年九年级数学上册重难点高分突破（浙教版）

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题型一 比例的性质
题型二 线段的比
题型三 成比例线段
题型四 由平行判断成比例的线段
题型五 由平行截线求相关线段的长或比值
题型六 黄金分割
【知识梳理】
知识点一、线段的比与成比例线段
知识点二、比例的性质
知识点三、黄金分割
知识点四、相似图形
知识点五、平行线分线段成比例定理
【经典例题一 比例的性质】
1．（2023春·江苏苏州·八年级苏州市胥江实验中学校校考阶段练习）下列比例式中，不能由比例式得到的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据比例的基本性质，等比性质，合比性质依次判断即可．
【详解】A． ∵
∴
故A选项正确，不符合题意；
B．∵
根据合比性质得
故B选项正确，不符合题意；
C．
根据等比性质得
故C选项正确，不符合题意；
D．由不能得到，
故D选项错误，符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了比例的基本性质，等比性质，合比性质，熟练掌握以上性质是解题的关键．
2．（2023秋·陕西西安·九年级校考开学考试）若，则的值为（ ）
A．B．1C．1.5D．3
【答案】A
【分析】先用b、d、f分别表示出a、c、e，再代入要求的式子即可．
【详解】解： 由，
，
，
故选：A．
【点睛】此题考查比例的性质，解题关键在于掌握其性质定义．
3．（2023秋·八年级课时练习）已知（，，均不为0），则式子的值是 ．
【答案】1
【分析】设，则，，，然后把，，代入代数式中进行分式的化简运算即可．
【详解】解：设，则，，，
所以．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的基本性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质等）是解决问题的关键．
4．（2023春·山东泰安·八年级统考期末）已知，若，则
【答案】20
【分析】根据已知等式可得，再根据即可得．
【详解】解：，
，
，
，
故答案为：20．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．
5．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知a，b，c，d四个数满足：，，其中a，b，c为非负数．
(1)若，则___________．
(2)d可取的整数有___________个．
【答案】(1)
(2)15
【分析】（1）设，可得，，再根据求出k的值即可求解；
（2）设，可得，，，再根据a，b，c为非负数即可求出k的取值范围，从而求出d的取值范围即可求解．
【详解】（1）设，
，，，
，
，
，
，
故答案为：；
（2），
，，，
∵a，b，c为非负数，
，，，
，
，
，
∴d可取的整数有15个，
故答案为：15．
【点睛】本题考查了比例的性质和不等式的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
【经典例题二 线段的比】
1．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知点 是线段 上的一点，线段是和的比例中项，下列结论中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设AB=1，AP=x，则PB=1－x，由比例中项得出AP2=PB·AB，代入解一元二次方程即可解答．
【详解】解：设AB=1，AP=x，则PB=1－x，
∵线段是和的比例中项，
∴AP2=PB·AB，即x2=1－x，
∴x2+x－1=0，
解得：，（舍去），
∴PB=1－= ，
∴ ，，，，
故选：C．
【点睛】本题考查比例中项、线段的比、解一元二次方程，熟知比例中项的定义是解答的关键．
2．（2023春·河北承德·九年级统考阶段练习）如图，将矩形纸片按照以下方法裁剪：剪去矩形边长的，边长的（称为第一次裁剪）；剪去剩下的矩形（阴影部分）边长的，长的（称为第二次裁剪）；如此操作下去，若第五次裁剪后，剩下的图形恰好是正方形，则原矩形的长宽比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设原矩形的长为x，宽为y，则第一次裁剪所得矩形的长为，宽为，以此类推得出第五次剪所得矩形有，即可求出答案．
【详解】设原矩形的长为x，宽为y，
则第一次裁剪所得矩形的长为，宽为，
第二次裁剪所得矩形的长为，宽为，
第三次裁剪所得矩形的长为，宽为，
第四次裁剪所得矩形的长为，宽为，
第五次裁剪所得剩下的图形恰好是正方形，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查矩形的性质，正方形的性质，熟悉掌握该知识点是解题关键．
3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点P把线段分成两部分，且为与的比例中项．如果，那么 ．
【答案】/
【分析】根据黄金分割的定义结合已知条件得，即可得出结论．
【详解】解：∵点P把线段分成两部分，且为与的比例中项，
∴，
∴根据黄金分割的定义可得出：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割．
4．（2023秋·广东佛山·九年级统考期末）如图，在中，，以点B为圆心，长为半径画弧，交线段于点D；以点A为圆心，长为半径画弧，交线段于点E，若E为中点，则 ．
【答案】/0.75
【分析】设，由题意得，，根据勾股定理得，即，解得，即可得到答案．
【详解】解：设，
由题意得，，
在中，，则，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，正确掌握勾股定理及设定未知数求解是解题的关键．
5．（2023秋·全国·九年级专题练习）阅读、操作与探究：
小亮发现一种方法，可以借助某些直角三角形画矩形，使矩形邻边比的最简形式（如的最简形式为）为两个连续自然数的比，具体操作如下：
如图1，中，的长分别为3，4，5，先以点B为圆心，线段的长为半径画弧，交的延长线于点D，再过D，A两点分别作的平行线，交于点E．得到矩形，则矩形的邻边比为 ．
请仿照小亮的方法解决下列问题：
（1）如图2，已知中，，请你在图2中画一个矩形，使所画矩形邻边比的最简形式为两个连续自然数的比，并写出这个比值；
（2）若已知直角三角形的三边比为（n为正整数），则所画矩形（邻边比的最简形式为两个连续自然数的比）的邻边比为 ．

【答案】；（1）；（2）．
【分析】根据题意求出与的值，即可求出矩形邻边之比；
（1）根据题中的方法画出矩形，求出矩形邻边之比即可；
（2）归纳总结得到一般性规律，求出所画矩形(邻边比的最简形式为两个连续自然数的比)的邻边比即可．
【详解】解：根据题意得：，
则矩形的邻边比为；
故答案为：．
（1）根据题意画出矩形，如图2所示，

∵，，，
∴矩形邻边比的最简形式为两个连续自然数的比；
（2）解：根据题意得： ．
故答案为：．
【点睛】此题属于四边形综合题，认真阅读题中画矩形的方法，弄清题中矩形(邻边比的最简形式为两个连续自然数的比)邻边之比的规律是解本题的关键．
【经典例题三 成比例线段】
51．（2023·全国·九年级假期作业）如果四条线段、、、构成，，则下列式子中，成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据比例的性质变形，再进行判断．
【详解】解：、∵，，∴；故本选项错误；
、∵，，∴；故本选项错误；
、∵，，∴；故本选项错误；
、∵，，∴；故本选项正确．
故选．
【点睛】本题考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．
2．（2023秋·黑龙江大庆·九年级校考开学考试）下面四组线段中，不能成比例的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据成比例线段的定义，对各选项进行计算判断即可．
【详解】解：，即，A成比例，故不符合要求；
，即，B成比例，故不符合要求；
，C不成比例，故符合要求；
，即，D成比例，故不符合要求；
故选：A．
【点睛】本题考查了成比例线段．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确运算．
3．（2023春·广东河源·八年级校考开学考试）如图，线段OA与函数y（x＞0）的图象交于点B，且AB＝2OB，点C也在函数y（x＞0）图象上，连结AC并延长AC交x轴正半轴于点D，且AC＝3CD，连结BC，若△BCD的面积为3，则k的值为 ．
【答案】
【分析】分别过点A，B，C作x轴的垂线，垂足分别为M，E，F．设点B的坐标为（a，b），由平行线分线段成比例分别求出点C的坐标，OD的长；由△BCD的面积为3，根据等高三角形的面积比等于对应底的比可得出△BOD的面积，利用△BOD的面积得出等式求解即可．
【详解】解：如图，分别过点A，B，C作x轴的垂线，垂足分别为M，E，F．
∴BE∥CF∥AM，
∴OB：OA＝BE：AM＝OE：OM＝1：3，
CD：AD＝DF：DM＝CF：AM＝1：4，
设点B的坐标为（a，b），
∴OE＝a，BE＝b，
∴AM＝3BE＝3b，OM＝3OE＝3a，
∴CFAMb，
∴C（a，b），
∴OFa，
∴EM＝OM﹣OEa，
∴DFFMa，
∴OD＝OM﹣DF﹣FMa．
∵△BCD的面积为3，
∴△ABC的面积＝3×△BCD的面积＝9，
∴△ABD的面积＝12．
∴△BOD的面积△ABD的面积＝6．
∴•OD•BEa×b＝6．
解得k＝ab．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行线分线段成比例等知识，由△BCD的面积推导出△BOD的面积，设出点B的坐标，表达出△BOD的面积是解题关键．
4．（2023·山东济南·校考一模）如图，在边长为2的正方形ABCD中，以BC为边作等边△BCM，连接AM并延长交CD于N，则CN的长为 ．
【答案】
【分析】作于，于，根据含30°直角三角形的性质和勾股定理分别求出MH，CH，再利用DH=NH，进而求出．
【详解】解：作于，于，
则，，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，
∵△BCM是等边三角形，四边形ABCD是正方形，
∴，
，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、熟记正方形的各种性质以及平行线的性质是解题的关键．
5．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，已知点，分别在边，上，，交于点，，，，，．
(1)求的长；
(2)若的面积为70，求的面积．
【答案】(1)，
(2)28
【分析】（1）先求得，再根据求得；由求得；
（2）先由“高相等的两个三角形的面积的比等于底的比”求得，则，再由，求得的面积．
【详解】（1），，，，
，
，
；
，
，
，；
（2）设点到的距离为，点到的距离为，
，
，
，
，
的面积是28．
【点睛】此题重点考查成比例线段、高相等的两个三角形的面积的比等于底的比等知识，根据线段成比例求出线段的长是解题的关键．
【经典例题四 由平行判断成比例的线段】
1．（2023春·天津和平·九年级校考阶段练习）如图，在中，、、分别是边、、上的点，连接，相交于点，若四边形是平行四边形，则下列说法不正确的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质得出，，，根据相似三角形的判定得出，再根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质逐个判断即可．
【详解】解：．四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，故本选项错误；
B．四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，故本选项错误；
C．，，
，故本选项正确；
D．，
，故本选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在中，，，．点F是中点，连接，把线段沿射线方向平移到，点D在上．则线段在平移过程中扫过区域形成的四边形的周长和面积分别是( )

A．16，6B．18，18C．16.12D．12，16
【答案】C
【分析】先论证四边形是平行四边形，再分别求出、、，继而用平行四边形的周长公式和面积公式求解即可．
【详解】由平移的性质可知：，
∴四边形是平行四边形，
在中，，，，
∴
在中，，，点F是中点
∴
∵，点F是中点
∴，，
∴点D是的中点，
∴
∵D是的中点，点F是中点，
∴是的中位线，
∴
∴四边形的周长为：，
四边形的面积为：．
故选：C．
【点睛】本题考查平移的性质，平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，平行线分线段成比例，三角形中位线定理等知识，推导四边形是平行四边形和是的中位线是解题的关键．
3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在中，平分，交于点，且，，交于点．若，则的长是 ．

【答案】6
【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可得，根据等边对等角可得，然后根据平行线分线段成比例定理，可得，结合即可得出答案．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，平行线分线段成比例定理等知识，理解并掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．
4．（2023春·山西吕梁·八年级统考期末）如图，矩形中，，把沿着翻折得到，连接交于点，点是的中点，点是的中点，连接，则的长为 ．

【答案】/
【分析】如图所示，连接，过点作于点，与交于点，可证都是等腰直角三角形，点是的中点，可得是的中位线，是的中位线，再证，可得，在中根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，与交于点，

∵四边形是矩形，，
∴，，，
∵沿着翻折得到，
∴，，则，
∴是等腰直角三角形，，
∵，
∴，且，
∴是等腰直角三角形，则，
在中，点是的中点，，，
∴，
∴，即，
∴，即点是的中点，
∴是的中位线，则，
∵，，
∴点是的中点，
∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
在中，
，
∴，
∴，，
∴点是的中点，
∴，
∴在中，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，等腰三角形的性质，中位线的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判断和性质的综合，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．
5．（2023春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）已知：如图，在中，，，．直线从点出发，以的速度向点方向运动，并始终与平行，与线段交于点．同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，设运动时间为．

(1)当为何值时，四边形是矩形？
(2)当面积是的面积的倍时，求出的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据勾股定理可得的长，由，可得可求的长，当时，四边形是矩形，列出方程即可解决问题；
（2）表示出的长，求出的面积，根据计算即可．
【详解】（1）解：在中，，，，
，
，
，
，
，，
当时，四边形是矩形，
，
解得：；
（2），
，
，
，
，
解得：．
【点睛】本题考查矩形的判定和性质、一元一次方程的应用，平行线分线段成比例定理、三角形的面积、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建参数解决问题．
【经典例题五 由平行截线求相关线段的长或比值】
1．（2023秋·安徽六安·九年级校考期中）如图，点D，E，F分别在的边上，，，，点M是的中点，连接并延长交于点N，则的值是（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】过点F作交AC于点G,可证．同理，可得，，；由,得，于是；设，则，，，从而得．
【详解】解：过点F作交AC于点G,
∴
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵,
∴．
∴．
设，则，
∴
∴．
∴．
∴．
∴．
故选：A
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理；由平行线得到线段间的数量关系是解题的关键．
2．（2023春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图所示，，是线段的中点，和交于点，已知的面积是，求四边形的面积（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】如图，过点作，交于，先证得，再证明，由此得到，根据， 求出的面积，即可得到答案．
【详解】如图，过点作，交于，

∵点是的中点，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】此题考查了平行线分线段成比例，三角形中线的性质，根据线段比的关系求出三角形的面积，题中由中点引出辅助线是解题的关键．
3．（2023秋·河南郑州·九年级校考开学考试）如图，在中，D，E分别是和上的点，，，，且，则的长为 ．
【答案】
【分析】利用比例线段得到，然后根据比例性质求．
【详解】∵，即，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．本题也考查了比例的性质．解题的关键是掌握比例线段和比例的性质．
4．（2023·湖北黄石·统考模拟预测）如图，正方形的边长为，点是边上一个动点，点是边上一个动点，且，过点作于点，连接，若正方形的中心记为点，则过定点 ，长的最小值是 ．

【答案】 O /
【分析】设正方形的中心为，可证经过点．连接，取中点，连接，，则，为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可．
【详解】解：连接与相于交P，

四边形是正方形，
，
，，
，
，，
点P为的中点，即为正方形的中心，
点是正方形的中心，
点O和点P重合，
则过定点；
连接，取中点，连接，，则为定长，过点作于．则，为等腰直角三角形，
，
，为定长，
，，
,,
，
，
， ，
，
，
由勾股定理得，，
，
当，，三点共线时，最小，
故答案为：；．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，解直角三角形，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是求出，的值．
5．（2023春·江苏盐城·八年级统考期中）本学期我们研究了三角形的中位线的性质，回顾研究的过程，请回答以下问题：
(1)三角形中位线定理是： ；
(2)梯形是有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形，连接梯形两腰的中点，得到的线段叫做梯形的中位线．如图①，就是梯形的中位线，梯形的中位线具有什么性质呢？
小明思考之后给出了如下的证明思路：如图②，连接并延长，交的延长线于点G．先证和全等，再说明是△ABG的中位线．经过你的分析，请写出梯形的中位线和两底、之间的关系： 、 ；

(3)已知梯形的中位线长为，高为，则梯形面积是 ；
(4)如图③，直线l为外的任意一条直线，过A、B、C、D分别作直线l的垂线段、、、，请探索线段、、、之间的数量关系，并证明．

【答案】(1)三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半
(2)；
(3)42
(4)，证明见解析
【分析】（1）根据三角形中位线定理解答即可；
（2）先证和全等，再说明是△ABG的中位线．利用三角形中位线定理得出结论；
（3）根据梯形的中位线长为，得出梯形两底和的一半等于于，再根据梯形面积公式计算即可；
（4）连接、相交于O，过点O作于P，利用平行四边形的性质和平行线等分线段定理得出是梯形的中位线，是梯形的中位线，再利用梯形的中位线性质得出结论．
【详解】（1）解：三角形中位线定理是：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
（2）解：；．
证明：连接并延长，交的延长线于点G．如图，

∵，
∴，，
∵就是梯形的中位线，
∴
∴
∴，，
∴是的中位线，
∴，，即，
∵
∴．
（3）解：∵梯形的中位线长为，
∴梯形两底和的一半等于于，
∴
（4）解：，
证明：连接、相交于O，过点O作于P，如图，

∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，，，
∴，
∴，，
∴是梯形的中位线，是梯形的中位线，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查三角形与梯形中位线性质，全等三角形的判定与性质，平行线等分线段定理．熟练掌握三角形中位线性质和应用是解题的关键．
【经典例题六 黄金分割】
1．（2023秋·浙江·九年级专题练习）“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．如图（1），点把线段分成两部分，如果，那么称点是线段的黄金分割点．如图（2），点分别是线段的黄金分割点，（），若，则的长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题中黄金分割点定义，在图（1）中令，设，，即，解得，从而，得到黄金分割比由点分别是线段的黄金分割点，可知，，，则，，，根据，代入求解即可得到，，．
【详解】解：如图（1），点把线段分成两部分，如果，那么称点是线段的黄金分割点，
令，设，则，则由，代值得，解得，
，
，
点分别是线段的黄金分割点，
，，，
，，，
将，代入求解即可得到，，，
故选：A．
【点睛】本题查处黄金分割点定义，涉及黄金分割比求解及利用黄金分割比求线段长，读懂题意，理解黄金分割点定义得到比例是解决问题的关键．
2．（2023秋·全国·九年级专题练习）五角星是我们生活中常见的一种图形，在如图所示的正五角星中，点C，D为线段 的黄金分割点，且，则图中五边形的周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据点C，D分别为线段的右侧和左侧的黄金分割点，可得，，再根据求出的长度，然后乘以5即可求解．
【详解】解：∵点C，D分别为线段的右侧和左侧的黄金分割点，
∴，，
∴，
∴五边形的周长．
故选：C．
【点睛】本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短线段，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，则这个点叫这条线段的黄金分割点．
3．（2023春·山东威海·八年级校联考期末）在学习画线段的黄金分割点时，小明过点作的垂线，取的中点，以点为圆心，为半径画弧交射线于点，连接，再以点为圆心，为半径画弧，前后所画的两弧分别与交于，两点，最后，以为圆心，“■■”的长度为半径画弧交于点，点即为的其中一个黄金分割点，这里的“■■”指的是线段 ．

【答案】
【分析】根据作图可知，，，设，则，根据勾股定理得，，求出，得出，即可得出结论．
【详解】解：根据作图可知，，，
设，则，
根据勾股定理得，，
，
，
以为圆心，“”的长度为半径画弧交于点，点即为的其中一个黄金分割点．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，黄金分割，解的关键是求出．
4．（2023秋·九年级课时练习）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，黄金分割在日常生活中处处可见；例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长米，主持人从舞台一侧B进入，她至少走 米时恰好站在舞台的黄金分割点上．（结果保留根号）

【答案】
【分析】根据黄金分割的概念，可求出，即可求解．
【详解】由题意知 米，
，
，
米，
故主持人从舞台一侧点 进入，则他至少走 米时恰好站在舞台的黄金分割点上，
故答案为：．
【点睛】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．
5．（2023秋·全国·九年级专题练习）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
(1)【操作判断】
操作一：如图1，将矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在上的点E处，折痕为，把纸片展平，连接；
操作二：如图2，将矩形纸片再次折叠，使点A与点E重合，得到折痕为，把纸片展平；
操作三：如图3，连接，并把折到上的处，得到折痕，把纸片展平，连接．

根据以上操作，直接写出图3中的值：______；
(2)【问题解决】
请判断图3中四边形的形状，并说明理由．
(3)【拓展应用】
我们知道：将一条线段分割成长、短两条线段，，若，则点P叫做线段的黄金分割点．
在以上探究过程中，已知矩形纸片的宽为，当点M是线段的黄金分割点时，直接写出的长．
【答案】(1)
(2)四边形是菱形，理由见解析
(3)或．
【分析】（1）由操作一和操作二可得，利用勾股定理求出即可；
（2）由折叠可知，由平行线的性质可知，等量代换得到，则可得，然后根据平行四边形和菱形的判定定理得出结论；
（3）首先求出的长，然后根据黄金分割点的意义分情况列式求出，再分别求出对应的的长即可．
【详解】（1）解：由操作一可知，由操作二可知，
∴，
∵在矩形中，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）四边形是菱形，
理由：如图3，由折叠可知：，，
∵在矩形中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形；
（3）解：∵，
∴由（1）可知，，，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∵点M是线段的黄金分割点，
∴或，
即或，
∴或，
∴或，
即的长为或．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，菱形的判定和性质，黄金分割等知识，灵活运用各性质定理进行推理计算是解题的关键．
【重难点训练】
1．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，若直线，且，，则（ ）

A．5B．6
C．9D．10
【答案】C
【分析】直接根据平行线分线段成比例定理即可得．
【详解】解：直线，且，
，
又，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．
2．（2023秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，若，则长为（ ）

A．1.8B．2.7C．3.6D．4.5
【答案】A
【分析】根据平行线分线段成比例定理，得到比例式，把已知数据代入计算即可．
【详解】解：，
，
又∵，
∴
∴
，
故选：A．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，正确运用定理、找准对应关系是解题的关键．
3．（2023秋·福建莆田·九年级福建省莆田市中山中学校考开学考试）下列四条线段中，不能成比例的是（ ）
A．，，，B．，，，
C．，，，D．，，，
【答案】C
【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
【详解】解：A、，能成比例，故此选项不符合题意；
B、，能成比例，故此选项不符合题意；
C、，不能成比例，故此选项不符合题意；
D、，能成比例，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
4．（2023春·安徽合肥·八年级统考期末）如图，在中，D是边上的中点，E在上，且，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【详解】取的中点M，连接，根据三角形中位线定理得，再根据平行线分线段成比例得，即可得出答案．
【解答】解：如图，取的中点M，连接，
∵D是边上的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选:B．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理和三角形中位线定理，本题辅助线的作法是解题的关键．
5．（2023春·安徽安庆·九年级统考期末）如图，在中，，正方形顶点E、F在边上，点M在边上，点N在内部，连接并延长交于点D，若，，则长为（ ）

A．1.8B．2C．2.4D．2.5
【答案】B
【分析】根据正方形的性质可得，进而可得．在和中，设正方形的边长为x，根据平行线分线段成比例定理的推论分别列出方程，即可求解．
【详解】解：正方形顶点E、F在边上，点M在边上，
，
又，
．
设正方形的边长为x，
在中，，
，即，
解得，
，
在中，，
，即，
解得，
故选B．
【点睛】本题考查正方形的性质，平行线的判定，平行线分线段成比例定理的推论，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
6．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）已知，则 ．
【答案】
【分析】根据等式的性质，可用表示，根据分式的性质，可得答案．
【详解】解：由，得．
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出是解题关键．
7．（2023秋·安徽芜湖·九年级校考开学考试）如图，在正方形中，，是的中点，点在边上，且，为对角线上一点，则的最大值为 ．
【答案】2
【分析】以为对称轴作的对称点，连接并延长交于，连，依据，可得当，，三点共线时，取等于号，再求得，即可得出，，再根据为等腰直角三角形，即可得到．
【详解】解：如图所示，以为对称轴作的对称点，连，
根据轴对称性质可知，，
，
当，，三点共线时，
正方形边长为，
，
为中点，
，
为中点，
，
，
，
，
，
，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
即的最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
8．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在中，平分，过点作交于点，且是的中点．若，，则的长为 ．

【答案】
【分析】作交于点，由平行线分线段成比例定理可证，根据勾股定理求出的长，进而可求出的长．
【详解】解：作交于点，

，．
是的中点，
，
，
．
，
．
平分，
．
，
在与中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形的中位线，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，证明是解答本题的关键．
9．（2023·四川成都·校考三模）已知点为线段的黄金分割点，．若，则的长为 ．
【答案】/
【分析】利用黄金比例列出方程解答即可．
【详解】解：点为线段的黄金分割点，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了黄金分割点的应用，正确应用黄金比是解答本题的关键．
10．（2023秋·河南周口·九年级统考期末）如图，点分别在的边上，且，过点作，分别交、的平分线于点．若，平分线段，则 ．

【答案】//
【分析】设、交于点，结合可得；由平行线分线段成比例定理可得，即有，再证明，进一步可得，易知，可得，即可获得答案．
【详解】解：如下图，设、交于点，

∵，平分线段，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理、平行线的判定、角平分线的定义等知识，熟练运用平行线分线段定理是解题关键．
11．（2023秋·八年级课时练习）已知，求的值．
【答案】
【分析】根据，设每份为k，则，，．再代入分式计算即可．
【详解】解：∵，设每份为k，
则，，．
∴．
【点睛】本题考查了比例的性质，分式化简求值，设每份为k，得出，，是解题的关键．
12．（2023秋·福建莆田·九年级校考开学考试）如图，已知，；，，．求的长．

【答案】
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
13．（2023春·吉林长春·八年级校考期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹.

(1)在图①中画线段，点E在边上、点F在边上，且；
(2)在图②中的线段上找一点O，使；
(3)在图③中画一条线段、将线段分为两部分.（要求：点M、N均在格点上）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）找出的中点F，的中点E，连接即可；
（2）连接交于一点，该点为点O；
（3）连接格点，根据平行线分线段成比例定理，即可．
【详解】（1）解：线段即为所求作的线段，如图所示：

∵F为的中点，E为的中点，
∴；
（2）解：点O即为所作，如图所示：

∵在和中，
，
∴，
∴；
（3）解：线段即为所求；
方法一：

∵，，，
∴．
方法二：

∵，，，
∴．
【点睛】本题考查作图−应用与设计作图，平行线分线段成比例，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
14．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，正方形的对角线交于点O，点E、F分别在、上，且，、的延长线交于点M，、的延长线交于点N，连接．

(1)求证：；
(2)若正方形的边长为6，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）证即可得到.
（2）过点O作于点H，由正方形的边长为6且，可知，，再根据勾股定理得，再由直角三角形性质知．
【详解】（1）解：四边形是正方形，
，
，
，
，
（ASA），
；
（2）解：如图，过点O作于点H，

正方形的边长为6，
，
E为的中点，，
，
，
，
，
则，
．
【点睛】本题考查正方形的性质，解题的关键是掌握正方形的四条边都相等，正方形的每条对角线平分一组对角，以及全等三角形的性质．
15．（2023秋·全国·九年级专题练习）在矩形上有一个动点，点沿运动，并且不与点重合，连接，以为直角边作等腰直角三角形．

(1)当点沿运动时，求出等腰直角三角形面积的最大值；
(2)当点在上运动时，的边与交于点，如图（1）所示，若，则等于__________________；若，则等于__________________；
(3)如图（2）所示，当点（不与点重合）在上运动时，请你判断梯形的面积是否可以为面积的4倍，若可以，请求出的长度；若不可以，请说明理由．
【答案】(1)26
(2)，
(3)不可以，理由见解析
【分析】（1）由题意可知，当点运动到点时，的面积最大，根据勾股定理求得，即可获得答案；
（2）根据题意解得，，即可获得答案；根据题意解得，，即可获得答案；
（3）设的长度为，则，在中，由勾股定理可得，易得，再解得，可知当时，可有，此方程无解，即不存在梯形的面积为面积的4倍．
【详解】（1）解：根据题意，点沿运动，
则当点运动到点时，的面积最大，
∵，为等腰直角三角形，
∴，
∴；
（2）若，
∵，
∴，
∴，
∴；
若，
则，
∴，
∴．
故答案为：，；
（3）设的长度为，则，
∵，
∴在中，，
∴，
∵，
∴，
当时，可得，
整理，得，
∵，
∴此方程无解，即不存在梯形的面积为面积的4倍．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用以及比例等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
线段的比
两条线段长度的比叫做两条线段的比.注意：求两条线段的比时必须统一单位）．
成比例线段
四条线段、、、中，如果，那么这四条线段、、、叫做成比例线段，简称比例线段．
基本性质
合比的性质
等比性质
黄金分割
若线段AB上一点C把线段AB分成两条线段AC与BC（AC>BC），如果，这时称点C是AB的黄金分割点，这个比值称为黄金比，它的值为．
相似图形
在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).
要点诠释：
(1)相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；
(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等；
相似多边形
如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．
要点诠释：
（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．
（2）相似多边形对应边的比称为相似比．
定理
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
图形：
几何语言：
∵l1∥l2∥l3，
∴，，
推论
平行于三角形一边截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。
图形：

几何语言：
∵DE∥BC，∴，
，