专题22 相似三角形的常见模型（10大题型）-2023-2024学年九年级数学上册重难点高分突破（浙教版）

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题型一 A字型相似
题型二 8字型相似
题型三 AX型相似
题型四 母子型相似
题型五 三角形内接矩形相似
题型六 射影定理相似
题型七 旋转相似
题型八 k字型相似
题型九 折叠相似
题型十 动态相似
【经典例题一 A字型相似】
【模型解读】
①如图，在中，点D在上，点E在上，，则，．
②模型拓展1：斜交A字型条件：，图2结论：；

③模型拓展2： 如图，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔．
1．（2023秋·江苏无锡·九年级江苏省天一中学校考阶段练习）如图，在中，，、分别是、边上的高，连接，若，则的长为( )

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据垂直及各角之间的关系可得与是等腰直角三角形，得出，利用相似三角形的判定和性质可得，，代入求解即可得到答案．
【详解】解：、分别是、边上的高，
，
，
与是等腰直角三角形，
，，
，
又，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等，熟练掌握运用各个知识点是解题的关键．
2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，矩形 ABCD 中，，，AC 为对角线，E、F 分别为边 AB、CD 上的动点，且 于点 M，连接 AF、CE，求的最小值是 ．
【答案】5
【分析】AF与EC两条线段不在同一条直线上，只需将两条线段转换在同一条直线上即可，作，且，连接AG，又因点F是DC上是一动点，由三角形的边与边关系，只有当点F在直线AG上时，最小，由平行四边形CEFG可知时，可求的最小值
【详解】解：如图所示：过点C作，且，连接FG，
设，则,
当点A、F、G三点共线时，的最值小，
∵，且，
∴四边形CEFG是平行四边形；
∴，，
又∵点A、F、G三点共线，
∴，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴，，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵，
∴四边形AECF是菱形，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
又∵，，则，
∴，
解得：，
∴，
在中，由勾股定理得，
，所以
∴，
又∵，
∴，，
∴，
∴，
即，
∴，
又∵，，
∴，即最小值是5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理和最短距离问题等知识点，解题的关键是掌握辅助线的作法以及相似三角形的性质与判定．
3．（2023秋·上海长宁·九年级上海市第三女子初级中学校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E．
(1)求线段DE的长；
(2)取线段AD的中点M，连接BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求的值．
【答案】(1)4
(2)
【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可；
（2）根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可．
【详解】（1）解：∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，
∴∠DAC＝30°，
在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，
∠DAC＝30°，AC＝6，
∴CD＝，
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，
∴BC＝，
∴BD＝BC－CD＝，
∵DE∥CA，
∴，
∴DE＝4；
（2）解：如图．
∵点M是线段AD的中点，
∴DM＝AM，
∵DE∥CA，
∴＝．
∴DF＝AG．
∵DE∥CA，
∴＝，＝．
∴＝．
∵BD＝4， BC＝6， DF＝AG，
∴．
【点睛】考查了平行线分线段成比例定理，注意线段之间的对应关系．
4．（2023·全国·九年级专题练习）中，，，于，点在线段上，点在射线上，连接，，满足．
(1)如图1，若，，求的长；
(2)如图2，若，求证：；
(3)如图3，将绕点逆时针旋转得到，连接，点为的中点，连接，若，．当最小时，直接写出的面积．
【答案】(1)；
(2)见解析；
(3)．
【分析】（1）过点作于，通过解直角三角形可求出的长；
（2）过点作交于，通过证明，得，设，设，用和的代数式表示出和的长，即可解决问题；
（3）取的中点，连接，，其中交于，过作于，过点作于，设，可表示出和的长，再根据的长，可求出，可求得，则点在以为圆心，2为半径的圆上运动，且点与点重合时，最小，再利用相似三角形的性质求出的长即可．
【详解】（1）如图，过点作于，则，
在中，，，
，，
，，，
，
又，，
，
在中，由勾股定理得：
，
；
（2）如图，过点作交于，则，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，
，
设，
则，
设，
则，
，
，
，
，
，
；
（3）如图，取的中点，连接，，其中交于，过作于，过点作于，
设，
，，
，
，
，
，
，，
，
点在以为圆心，2为半径的圆上运动，
点与点重合时，最小，
是等腰直角三角形，，
，
，
在中，由勾股定理得，
当点与点重合时，，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述：当最小时，的面积为．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理等知识，综合性较强，对学生的逻辑思维能力要求较高，属于中考压轴题．
【经典例题二 8字型相似】
【模型解读】
①如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔；
②如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔．

③模型拓展：如图，∠A＝∠C⇔△AJB∽△CJD⇔．
1．（2022春·九年级课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，，连接BE交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据平行四边形的性质得到AB∥CD，则可判断△ABG∽△CFG，△ABE∽△DFE，于是根据相似三角形的性质和AE＝2ED即可得结果．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△ABG∽△CFG，
∴＝
∵△ABE∽△DFE，
∴＝，
∵AE＝2ED，
∴AB＝2DF，
∴＝，
∴＝．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质进行解题．
2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，正方形边长为，点是上一点，且，连接，过作，垂足为，交对角线于，将沿翻折得到，交对角线于，则 ．
【答案】
【分析】过点G作GR⊥BC于R，过点H作HN∥BC交BD于N，由正方形性质可证明：△ABE∽△FCB，由勾股定理可求BF，由翻折性质可得△HGC≌△BGC，进而可证明：△BHN∽△BED，可求得HN，再由△HNM∽△CBM，可求得，再由△CGR∽△CBF即可求得结论．
【详解】解：如图，过点作于，过点作交于
则，
∵


正方形
，

∽
在中，
，即
，
由翻折知：，，，≌
∽
，即
∽

，
，
，
是等腰直角三角形，设，则，
∽
，即，解得



，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形性质，翻折变换的性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质，三角形面积等知识点；解题关键是利用平行线证明相似三角形进行转化，有一定难度，属于中考填空压轴题类型．
3．（2023·全国·九年级专题练习）（1）某学校“学习落实”数学兴趣小组遇到这样一个题目
如图，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝，BO：CO＝2：1，求AB的长经过数学小组成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）
请回答：∠ADB＝ °，AB＝
（2）请参考以上解决思路，解决问题：
如图3在四边形ABCD中对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO＝，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO：OD＝2：1，求DC的长
【答案】（1）75，3；（2）CD＝
【分析】（1）根据平行线的性质可得出∠ADB=∠OAC=75°，结合∠BOD=∠COA可得出△BOD∽△COA，利用相似三角形的性质可求出OD的值，进而可得出AD的值，由三角形内角和定理可得出∠ABD=75°=∠ADB，由等角对等边可得出AB=AD即可求解；
（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，同（1）可得出AE=，在Rt△AEB中，利用勾股定理可求出BE的长度，再在Rt△CAD中，利用勾股定理即可求出DC的长．
【详解】解：（1）如图2中，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，
∵BD∥AC，
∴∠ADB＝∠OAC＝75°．
∵∠BOD＝∠COA，
∴△BOD∽△COA，
∴＝2，．
又∵AO＝，
∴OD＝2AO＝2，
∴AD＝AO+OD＝3．
∵∠BAD＝30°，∠ADB＝75°，
∴∠ABD＝180°﹣∠BAD﹣∠ADB＝75°＝∠ADB，
∴AB＝AD＝3；
故答案为：75，3．
（2）如图3中，过点B作BE∥AD交AC于点E．
∵AC⊥AD，BE∥AD，
∴∠DAC＝∠BEA＝90°．
∵∠AOD＝∠EOB，
∴△AOD∽△EOB，
∴＝2．
∵BO：OD＝1：3，
∵AO＝，
∴EO＝2，
∴AE＝3．
∵∠ABC＝∠ACB＝75°，
∴∠BAC＝30°，AB＝AC，
∴AB＝2BE．
在Rt△AEB中，BE2+AE2＝AB2，即（4BE2）2+BE2＝（2BE）2，
解得：BE＝3，
∴AB＝AC＝6，AD＝
在Rt△CAD中，AC2+AD2＝CD2，即62+（）2＝CD2，
解得：CD＝（负根已经舍弃）．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及平行线的性质，掌握平行线的性质、相似三角形的性质以及判定定理、勾股定理是解题的关键．
4．（2023春·河南·九年级专题练习）综合与实践：
数学活动课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答．
问题情境：在中，点P是边上一点．将沿直线折叠，点D的对应点为E．
“兴趣小组”提出的问题是：如图1，若点P与点A重合，过点E作，与交于点F，连接，则四边形是菱形．
(1)数学思考：请你证明“兴趣小组”提出的问题；
(2)拓展探究：“智慧小组”提出的问题是：如图2，当点P为的中点时，延长交于点F，连接．试判断与的位置关系，并说明理由．
请你帮助他们解决此问题．
(3)问题解决：“创新小组”在前两个小组的启发下，提出的问题是：如图3，当点E恰好落在边上时，，，．则的长为___________．（直接写出结果）
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）先证明，得到两组对边分别平行，再用邻边相等的平行四边形是菱形判定，也可以用四条边相等的四边形是菱形进行判断；
（2）证明△PAF≌△PEF，得到∠APF=∠FPE，再由折叠得到∠DPC=∠EPC，从而证明∠FPC=90°；
（3）延长BA、CP相交于点F，得△AFP∽△DCP，再证EF=CE即可求出结果．
【详解】（1）证法一：由折叠得，，，
∵
∴
∴
∴
∴四边形是平行四边形
∵
∴四边形是菱形．
证法二：
证明：由折叠得，，，
∵
∴
∴
∴
∴
∴四边形是菱形．
（2）解： ．
连接
由折叠可得，，
∵四边形是平行四边形
∴
又∵
∴
∵点P是的中点
∴
∴
∴
∴
∴
∴（SSS）
∴
又∵，即
∴
∴．
（3）解：延长BA、CP相交于点F，
由题意，△AFP∽△DCP
∴ 即
∴
∵∠DCP=∠ECP，∠DCP=∠F
∴∠F=∠ECP
∴EF=EC=DC=10
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查折叠、平行四边形、相似、菱形的判定等，属于综合性题目，解题关键在于灵活运用几何知识，构造常见的模型．
【经典例题三 AX型相似】
【模型解读】
A字型及X字型两者相结合，通过线段比进行转化.
1、（2022·河南新乡·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBG，
∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G，
∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k，
∴CG＝CD+DG＝3k，
∵AB∥DG，
∴△ABE∽△CGE，
∴，
故选：C．
2、（2022·河北石家庄·九年级期末）已知中，，（如图）．以线段为边向外作等边三角形，点是线段的中点，连接并延长交线段于点．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）连接，交于点．
①若，求的长；
②作，垂足为，求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）①；②证明见解析．
【详解】（1）∵是等边三角形
∴，
在中，
∴
∵点是线段的中点
∴
∴是等边三角形
∴，
∴
∴
∴
∴四边形为平行四边形；
（2）①如图，连接，交于点
∵
∴
∴
∵，
∴
∵
∴；
②如图，作，垂足为
∵，，
∴
∴，
∴，
∴
∴．
3、（2022·河南·鹤壁市淇滨中学九年级期中）已知，平行四边形中，点是的中点，在直线上截取，连接，交于，则___________．
【答案】； ．
【详解】解：（1）点F在线段AD上时，设EF与CD的延长线交于H，
∵AB//CD，∴△EAF∽△HDF,
∴HD：AE=DF：AF=1:2，即HD=AE，
∵AB//CD，∴△CHG∽△AEG，∴AG：CG=AE：CH，
∵AB=CD=2AE，∴CH=CD+DH=2AE+AE=AE，
∴AG：CG=2：5，
∴AG：（AG+CG）=2：（2+5），
即AG：AC=2：7；
（2）点F在线段AD的延长线上时，设EF与CD交于H，
∵AB//CD，
∴△EAF∽△HDF，
∴HD：AE=DF：AF=1：2，即HD=AE，
∵AB//CD，
∴AG：CG=AE：CH
∵AB=CD=2AE，
∴CH=CD-DH=2AE-AE=AE，
∴AG：CG=2：3，
∴AG：（AG+CG）=2：（2+3），
即AG：AC=2：5．
故答案为：或．
4、（2022·湖南株洲·九年级期末）如图（1）所示：等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，过D点的直线B1C1⊥AC于C1交AB的延长线于B1．
（1）请你探究：，是否都成立？
（2）请你继续探究：若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角角平分线，请问一定成立吗？并证明你的判断．
（3）如图（2）所示Rt△ABC中，∠ACB＝90︒，AC＝8，BC＝，DE∥AC交AB于点E，试求的值．
【答案】（1）成立，理由见解析；（2）成立，理由见解析；（3）
【详解】解：（1） 等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，

因为B1C1⊥AC于C1交AB的延长线于B1，
∠CAB＝60°，∠B1＝∠CAD＝∠BAD＝30°，
AD＝B1D，

综上：这两个等式都成立；
（2）可以判断结论仍然成立，证明如下：
如图所示，△ABC为任意三角形，过B点作BE∥AC交AD的延长线于E点，
线段AD为其内角角平分线
∠E＝∠CAD＝∠BAD，△EBD∽△ACD
∴BE＝AB，
又∵BE＝AB．
∴，
即对任意三角形结论仍然成立；
（3）如图（2）所示，因为Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，，
∵AD为△ABC的内角角平分线，
∴
∵DE∥AC，


∵DE∥AC，
∴△DEF∽△ACF，
∴

【经典例题四 母子型相似】
【模型解读】
如图为斜“A”字型基本图形．当时，，则有．．
如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型．
当时，，则有．
1．（2021春·全国·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BA＝CA＝6，D为BC边的中点，点E是CA延长线上一点，把ACDE沿DE翻折，点C落在处，与AB交于点F，连接．当时，BC’的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】如图，连接CC′，过点C′作C′H⊥EC于H．设AB交DE于N，过点N作NT⊥EF于T，过点D作DM⊥EC于M．证明∠CC′B=90°，求出CC′，BC即可解决问题．
【详解】解：如图，连接CC′，过点C′作C′H⊥EC于H．设AB交DE于N，过点N作NT⊥EF于T，过点D作DM⊥EC于M．
∵∠FAE=∠CAB=90°，，
∴EF：AF：AE=5：4：3，
∵C′H∥AF，
∴△EAF∽△EHC′，
∴EC′：C′H：EH=EF：AF：AE=5：4：3，
设EH=3k，C′H=4k，EC′=EC=5k，则CH =2k，
由翻折可知，∠AEN=∠TEN，
∵NA⊥EA，NT⊥ET，
∴∠NAE=∠NTE，
∵NE=NE，
∴△NEA≌△NET（AAS），
∴AN=NT，EA=ET，
设AE=3m，AF=4m，EF=5m，AN=NT=x，则AE=ET=3m，TF=2m，
在Rt△FNT中，FN2=NT2+FT2，
∴（4mx）2=x2+（2m）2，
解得：，
∵AC=AB=，∠CAB=90°，
∴BC=AC=，
∴CD=BD=，
∵DM⊥CM，∠DCM=45°，
∴CM=DM=，
∵AN∥DM，
∴，
∴，
∴EM=，
∴EC=，
∴，
∴CH=，C′H=，
∴CC′=，
∵DC=DC′=DB，
∴∠CC′B=90°，
∴BC′=，
故选：D．
【点睛】本题考查翻折变换，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
2．（2022秋·江西抚州·九年级统考期中）如图，在中，点D在AB上，请再添一个适当的条件，使，那么可添加的条件是 ．
【答案】 （答案不唯一，也可以增加条件：或）．
【分析】题目中相似的两个三角形已经有一个公共角，可以再增加一对相等的角，用两组角相等判定两三角形相似，也可以增加两组对应边成比例，利用两组边对应成比例及夹角相等判定两三角形相似．
【详解】若增加条件：∠ACD=∠ABC，
∵∠ACD=∠ABC，且∠A=∠A，
∴．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，比较简单，熟练掌握相似三角形的三种判定方法是解题的关键．
3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，中，点在边上，且，若，，则的长为 ．
【答案】2
【分析】由∠ACD=∠ABC、∠A=∠A，即可得出△ABC∽△ACD，根据相似三角形的性质可得出，代入AC、AD的值可求出AB的长，再根据BD=AB-AD即可求出结论．
【详解】解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD，
∴．
∵AC=，AD=1，
∴，
∴AB=3，
∴BD=AB-AD=3-1=2．
故答案为2
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的判定定理是解题的关键．
4．（2023春·陕西榆林·九年级校考期中）【操作发现】
（1）如图1，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，的顶点都在格点上，将绕点按顺时针方向旋转得到，点的对应点分别是，，连接，则______．
【问题探究】
（2）如图2，在中，为斜边上的一点，点分别在上，，，且四边形是正方形，求阴影部分的面积．
小明运用图形旋转的方法，将绕点逆时针旋转，得到（如图3所示）
请你利用小明的方法求阴影部分的面积；
【问题解决】
（3）如图4，有一个四边形的试验田，其中米，米，，与互余．点处是一个肥料池，点是的中点，且点到的距离等于之间的距离，为使灌溉方便，现要沿修建一条水渠，请你帮助管理者计算出水渠的长度．
【答案】（1）；（2）1；（3）100米
【分析】（1）根据旋转的性质可得为等腰直角三角形，即可求得的度数；
（2）首先根据正方形的性质及旋转的性质可得，，，点在一条直线上，然后利用三角形面积公式计算阴影部分的面积即可；
（3）连接，由题意可得垂直平分，则有；将绕点A逆时针旋转得到，连接DG，证明，由相似三角形的性质可解得米，再证明，然后在中由勾股定理解得（米），即可获得答案．
【详解】解：（1）由旋转的性质可得，，
．
故答案为：；
（2）∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵绕点D逆时针旋转，得到，
∴，，，，
∴，点在一条直线上，
∴；
（3）如下图，连接，
由题意知，，即垂直平分，
∴，
将绕点A逆时针旋转得到，连接DG，
则，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴米，
∵与互余，即，
∴，
∴，
∴（米），
∴米．
【点睛】本题主要考查了旋转变换、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、勾股定理等知识，理解并掌握旋转的性质、正确作出辅助线是解题关键．
【经典例题五 三角形内接矩形相似】
【模型解读】
由之前的基本模型（A型或AX型）推导出来的。

结论：AH⊥GF，△AGF∽△ABC，
1．（2022秋·山东日照·九年级日照市新营中学校考阶段练习）如图，中，，点E在上，于点F，，已知的面积为a，的面积为b，则矩形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先证明四边形是矩形，得到，进而证明，得到，再根据三角形面积公式得到，据此即可得到答案．
【详解】解：∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵的面积为a，的面积为b，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，三角形面积，证明，得到是解题的关键．
2．（2022秋·安徽阜阳·九年级校考期中）如图所示，在中，，，．

（1）若四边形为的内接正方形，则正方形的边长为 ；
（2）若四边形为的内接矩形，当这个矩形面积最大时，则矩形的边长为 ．
【答案】
【分析】（1）根据，判定，根据矩形的性质，相似三角形的相似比等于对应高之比计算即可．
（2）设，根据，判定，用x表示，构造面积的二次函数，根据二次函数的最值判定计算即可．
【详解】解：（1）如图，过作于，交于，

∵正方形，
∴，， ，
∴，
∴，
∵，，．
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即正方形的边长为．
（2）如图，过作于，交于，
∵矩形，
∴，， ，，
∴，
∴，

设，则，
同理：，
∴，则，
设矩形的面积为y， 则．
∴当时，面积最大，此时，，
故当矩形的面积最大时，这个矩形的边长．
故答案为：，
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的性质，构造二次函数求最值，熟练掌握相似三角形的判定和性质，构造二次函数求最值是解题的关键．
3．（2022秋·湖北宜昌·九年级校考期中）如图，在中，，高．矩形的一边在边上，E、F两点分别在、上，交于点H．

(1)若矩形为正方形，求该正方形的边长．
(2)设，当x为何值时，矩形的面积最大？并求其最大值．
【答案】(1)
(2)当时,矩形的面积有最大值
【分析】根据正方形的性质可知，利用相似三角形的性质可得，可得的值；
根据矩形的面积公式，可以把面积表示成关于的长的函数，根据函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设该正方形的边长为，
∵矩形为正方形，
∴，
∴，
，
，
，
答：该正方形的边长为．
（2）由(1)中的得 ，
，
，
，
，
当时,矩形的面积有最大值．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
4．（2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图①，在中，，，，，动点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，过点作的垂线交于点，以为边向上作矩形，点在或的延长线上，，当点与点重合时点停止运动，设点运动的时间为（秒）．

(1)求的长；
(2)当平分矩形的周长时，求的值；
(3)当点在的直角边的垂直平分线上时，直接写出的值；
(4)如图②，当点在的延长线上时，、分别交边于点、，当与图中某个三角形全等时，求的值．
【答案】(1)
(2)秒
(3)秒或秒
(4)秒或秒或秒
【分析】（1）利用勾股定理解答即可；
（2）连接，取的中点，则，当点在上时，先证明，得出，从而说明平分矩形的周长，再证明、，由相似三角形的性质可得出，，然后通过建立关于的方程，求解即可；
（3）分两种情况讨论即可；
（4）分三种情况讨论即可．
【详解】（1）解：∵在中，，，，
∴，
∴的长为．
（2）如图，连接，取的中点，则，
当点在上时，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
此时平分矩形的周长，
∵动点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，过点作的垂线交于点，，点运动的时间为，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，，，
∵当点与点重合时点停止运动，
∴此时，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴（秒）．
∴的值为秒．

（3）①当点在的直角边的垂直平分线上时，可得：
，
∴，
∴（秒）；
②当点在的直角边的垂直平分线上时，可得：
，
∴，
∴（秒）．
综上所述，的值为秒或秒．
（4）∵在中，，，，，
∴，
∴，
∴，
∵点在的延长线上，
∴，
①当时，如图，
∴，
∴，
∴，
∴（秒）；

②当时，如图，
∴，
∴
∴，
∴（秒）；

③当时，如图，
∴，
∴，
∴（秒）．
综上所述，的值为秒或秒或秒．

【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，等积法等知识，运用了分类讨论和方程的思想．解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
【经典例题六 射影定理相似】
【模型解读】
①如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常见的结论有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.
②拓展：
（1）正方形、长方形中经常会出现射影定理模型，如图，在和内均有射影定理模型．
（2）如图，在圆中也会出现射影定理模型．

1、（2022秋•青羊区校级月考）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E为AB上一点，分别以ED、EC为折痕将
两个角(∠A、∠B)向内折起，点A、B恰好落在CD边的点F处，若AD＝3，BC＝5，则EF的长是（ ）
A.eq \r(15) B．2eq \r(15) C.eq \r(17) D．2eq \r(17)
【解析】∵AD∥BC，
∴∠ADF＋∠FCB＝180°.
根据折叠前后的图形全等得到DF＝DA＝3，
∠ADE＝∠FDE，CF＝CB＝5，∠BCE＝∠FCE，∠EFC＝∠B＝90°，
∴∠FDE＋∠FCE＝90°，∠FCE＋∠FEC＝90°，
∠DFE＝∠EFC＝90°，
∴∠FDE＝∠FEC，
∴△DEF∽△ECF，
∴eq \f(EF,CF)＝eq \f(DF,EF)，
∴EF2＝DF·CF＝3×5＝15，
∴EF＝eq \r(15).故选A.
2、（2022秋•杜尔伯特县期末）如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，DE⊥BC，垂足分别为D、E两点，则图中与△ABC相似的三角形有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【解析】∵在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，DE⊥BC，
∴∠A＝∠EBD＝∠CDE，
∴△ADB∽△BED∽△DEC∽△BDC∽△ABC，
∴共有四个三角形与Rt△ABC相似．
故选：A．
【变式6-2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝．
（1）求证 △ACD∽△ABC；
（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）∵，，
∴；
（2）∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
3、（2022秋•汝州市校级月考）中，，，点E为的中点，连接并延长交于点F，且有，过F点作于点H．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4．
【详解】证明：（1），
，
，
，
在和中，，
；
（2）点为的中点，
，
由（1）已证：，
，
设，则，，
，
（等腰三角形的三线合一），
，
又，
，
即；
（3）由（2）已证：，
，
，
，
，即，
解得，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
由（2）可知，设，则，
，
解得或（不符题意，舍去），
，
则在中，．
【经典例题七 旋转相似】
【模型解读】
①如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE.
②如图所示，和都是等腰直角三角形，的延长线与相交于点P，则，且相似比为，与的夹角为．

总结：旋转相似型中由公共旋转顶点、一点及其旋转后的对应点组成的三角形与由公共旋转顶点、另一点及其旋转后的对应点组成的三角形相似．
③如图所示，，则，，且．
1．（2023·全国·九年级专题练习）如图，中，，，，点，分别在，上，，．把绕点旋转，得到，点落在线段上．若点在的平分线上，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据计算可知，结合定理两边成比例且夹角相等的三角形相似证明△PQC∽△BAC，再根据相似三角形的性质得出∠CPQ=∠B，由此可得出PQ∥AB；连接AD，根据PQAB和点D在∠BAC的平分线上可证∠ADQ=∠DAQ，由此可得AQ＝DQ，分别表示AQ和DQ由此可得方程12﹣4x＝2x，解出x，即可求出CP．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，AB＝15，BC＝9，
∴AC＝＝＝12．
∵＝＝，＝＝，
∴＝．
∵∠C＝∠C，
∴△PQC∽△BAC，
∴∠CPQ＝∠B，
∴PQAB；
连接AD，
∵PQAB，
∴∠ADQ＝∠DAB．
∵点D在∠BAC的平分线上，
∴∠DAQ＝∠DAB，
∴∠ADQ＝∠DAQ，
∴AQ＝DQ．
∵PD＝PC＝3x，QC=4x
∴在Rt△CPQ中，根据勾股定理PQ=5x.
∴DQ＝2x．
∵AQ＝12﹣4x，
∴12﹣4x＝2x，解得x＝2，
∴CP＝3x＝6．
故选C．
【点睛】本题考查几何变换——旋转综合题，勾股定理，相似三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，熟练掌握定理并能灵活运用是解决此题的关键．
2．（2022春·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B在x轴上，OB=5，OA=2，点C是y轴上一动点，连接，将绕点A顺时针方向旋转得到，连接，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】构造等边三角形OAE，过点E作AE⊥EF，垂足为E，交x轴于点F，截取ED=OC,证明△AOC≌△AED，得到AC=AD，且∠CAD=60°，从而得到点D在直线EF上，过点B作BD⊥EF，此时BD最小．
【详解】构造等边三角形OAE，过点E作AE⊥EF，垂足为E，交x轴于点F，截取ED=OC,
∵等边三角形OAE，
∴AO=AE，∠OAE=∠AOE=60°，
∵ED=OC, ∠AED=∠AOC=90°，
∴△AOC≌△AED，
∴AC=AD，且∠CAD=60°，
∴点D在直线EF上，过点B作BD⊥EF，此时BD最小，
∵OB=5，OA=2，
∴AE∥BD，∠OEF=∠OFE=30°，
∴OF=OE=OA=AE=2，AB=3，
∴FA=4，FB=7，，
∴，
解得BD=，
故选A．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，熟练掌握三角形相似的判定，垂线段最短原理是解题的关键．
3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，中，点在边上，且，若，，则的长为 ．
【答案】2
【分析】由∠ACD=∠ABC、∠A=∠A，即可得出△ABC∽△ACD，根据相似三角形的性质可得出，代入AC、AD的值可求出AB的长，再根据BD=AB-AD即可求出结论．
【详解】解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD，
∴．
∵AC=，AD=1，
∴，
∴AB=3，
∴BD=AB-AD=3-1=2．
故答案为2
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的判定定理是解题的关键．
4．（2023·福建泉州·统考模拟预测）如图，点D是等边边上的一动点(不与端点重合)，点D绕点C引顺时针方向旋转得点E，所得的边与交于点F，则的最小值为 ．

【答案】/
【分析】由旋转的性质得为等边三角形，由得到，即，从而得到当最小时，比值最小，再由“垂线段最短”得到当时，值最小，作出对应图形，利用“是含角的直角三角形”求出，从而得解．
【详解】解：由旋转的性质得：，，
为等边三角形，
，
∵，
，即
为定值，
当最小时，比值最小．
根据“垂线段最短”可知：当时，值最小，
过点C作于D，并补全图形如下：

是等边三角形，，
∴
设，则
∴，
∴此时，
即的最小值为．
故答案为：．
【点睛】此题考查图形的旋转变化与性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，垂线段最短，理解“垂线段最短”和利用相似三角形的性质将转化为是解题的关键．
5．（2023·山西长治·统考模拟预测）综合与实践
问题情境：
在和中，，．将的顶点放在底边的中点处，的顶点与底边的中点重合．

猜想证明：
（1）如图1，与的交点记为，与的交点记为，试判断四边形的形状，并说明理由；
问题解决：
将绕点旋转，边与交于点．
（2）如图2，在旋转过程中，当平分时，求线段的长；
（3）如图3，在旋转过程中，当时，直接写出线段的长．
【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析；（2）；（3）
【分析】（1）利用两组对边分别平行先证明四边形是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形判定结论；
（2）证明，利用相似比即可求出答案；
（3）利用中位线求出，再根据三线合一求出，根据和相似求出，再根据平行于的相关线段成比例，即可求出．
【详解】解：（1）四边形是菱形，
理由如下：
如图，连接，
，
∵，是的中点，
∴，
∵，是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形是菱形；
（2）如图，连接，
∵，是中点，
∴，，，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
（3）如图，连接，作于点，于点，
，
，
点为中点，，
，
，
，
，
由（1）知，
，
，
，
，
，，
，
，即，
，
，
，
，即，
．
【点睛】本题主要考查了证明四边形是菱形、相似三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解题的关键．
6．（2023·河南周口·校联考三模）（1）问题发现：如图1，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得．请求出线段与的数量关系；
（2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，则线段与的数量关系是否发生变化?如果变化，请写出变化后的数量关系，并给出证明；
（3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长．

【答案】（1）；（2）发生变化，，证明见解析；（3）
【分析】（1）结合“一线三等角”推出，从而证得结论即可；
（2）利用条件证明，然后根据相似三角形的性质证明即可；
（3）作延长线于点，过点作，交于点，交于点，结合“一线三垂直”证明，从而利用全等三角形的性质求出和，最后利用勾股定理计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴．
在和中，
∴，
∴．
（2）发生变化，．
证明：由（1）得，，，
∴，
∴，
∴．
（3）如图所示，作延长线于点，过点作，交于点，交于点，
则，，，
由（1）同理可证，，
∴，，
∴，，
∴．

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等，准确证明三角形全等或相似，并熟练运用其性质是解题关键．
【经典例题八 k字型相似】
【模型解读】
(1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE.
(2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE.
特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE.

补充：其他常见的一线三等角图形

1．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，边长为10的等边中，点在边上，且，将含30°角的直角三角板（）绕直角顶点旋转，、分别交边、于、．连接，当时，长为（ ）
A．6B．C．10D．
【答案】B
【分析】过点作于，根据等边三角形，和含角的直角三角形，易证得
，从而求得线段，，，，，，的长度，最后在中利用勾股定理可以求得的长度．
【详解】解：过点作于，
在等边中，，，
在中，，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
又∵∠A=∠B=60°，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
∴，
已知
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
而,
∴，
∴，
在中，，
∴，
即．
故选：B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，特殊三角函数值，一线三等角的相似模型，正确找到相似三角形是解题的关键．
2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，为等边三角形，点D，E分别在边AB，AC上，，将沿直线DE翻折得到，当点F落在边BC上，且时，的值为 ．
【答案】
【分析】根据△ABC为等边三角形，△ADE与△FDE关于DE成轴对称，可证△BDF∽△CFE，根据BF=4CF，可得CF=4，根据AF为轴对称图形对应点的连线,DE为对称轴，可得DE⊥AF，
根据S四边形ADFE==S△CEF=-S△ABC-S△CEF，进而可求．
【详解】解：如图，作△ABC的高AL，作△BDF的高DH，
∵△ABC为等边三角形，△ADE与△FDE关于DE成轴对称，
∴∠DFE=∠DAE= 60°，AD = DF，
∴∠CFE+∠FEC=∠CFE+∠DFB= 120°，
∴∠DFB= ∠CEF，
又∠B=∠C= 60°，
∴△BDF∽△CFE，
∴ ，
即 ，
设CF= x(x > 0)，
∵BF=4CF，
∴BF= 4x，
∵BD=3，
∴，
∵，
∴，，
∵△BDF∽△CFE，
∴，
∴
解得：x=2，
∴CF=4，
∴BC=5x=10，
∵在Rt△ABL中，∠B=60°，
∴AL=ABsin60°=10×=5，
∴S△ABC=，
∵在Rt△BHD中，BD=3，∠B=60°，
∴DH=BDsin60°=，
∴S△BDF=，
∵△BDF∽△CFE，
∴，
∵S△BDF=，
∴S△CEF=，
又∵AF为轴对称图形对应点的连线,DE为对称轴，
∴AD=DF，△ADF为等腰三角形，DE⊥AF，
∴S四边形ADFE==S△CEF=-S△ABC-S△CEF
=，
∴．
故答案为:．
【点睛】本题主要考查等边三角形的和折叠的性质，一线三等角证明k型相似，以及“垂美四边形”的性质：对角线互相垂直的四边形的面积＝对角线乘积的一半．
3．（2023·河南周口·校联考三模）（1）问题发现：如图1，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得．请求出线段与的数量关系；
（2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，则线段与的数量关系是否发生变化?如果变化，请写出变化后的数量关系，并给出证明；
（3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长．

【答案】（1）；（2）发生变化，，证明见解析；（3）
【分析】（1）结合“一线三等角”推出，从而证得结论即可；
（2）利用条件证明，然后根据相似三角形的性质证明即可；
（3）作延长线于点，过点作，交于点，交于点，结合“一线三垂直”证明，从而利用全等三角形的性质求出和，最后利用勾股定理计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴．
在和中，
∴，
∴．
（2）发生变化，．
证明：由（1）得，，，
∴，
∴，
∴．
（3）如图所示，作延长线于点，过点作，交于点，交于点，
则，，，
由（1）同理可证，，
∴，，
∴，，
∴．

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等，准确证明三角形全等或相似，并熟练运用其性质是解题关键．
4．（2023春·山东泰安·八年级统考期末）（1）问题
如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：．
（2）探究
若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
（3）应用
如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）5
【分析】（1）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（2）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（3）证明,求出，再证,可求,进而解答即可．
【详解】解：（1）证明：如图1，
，
，
，
又
，
；
（2）结论仍成立；
理由：如图2，
，
又，
，
，
，
又，
，
；
（3）,
,
,
是等腰直角三角形

是等腰直角三角形
又
即
解得．
【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似，正切值的求法，能够通过构造角将问题转化为一线三角是解题的关键．
【经典例题九 折叠相似】
1（2022·河北邯郸·校考三模）如图，在矩形中，，．将矩形沿对角线折叠，点B的对称点为，连接，则的长是（ ）
A．1.5B．C．1.4D．1
【答案】C
【分析】设与交于，根据平行线的性质得到．求得．根据折叠的性质得到，．根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理得到．设，则．根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：设与交于，
，
．
由翻折的性质可知：．
．
．
由翻折的性质可知：，．
，．
在和中，
，
．
，
在矩形中，，，，
．
设，则．
在中，依据勾股定理得：，
解得：．
．
，，，
，
，
，
即，
解得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
2．（2023秋·河南南阳·九年级校考期末）如图，在中，，，，点、分别在边、上，连接，沿折叠该三角形，使点的对应点落在边上，若是直角三角形，则的长为 ．

【答案】或
【分析】由勾股定理可知，，由折叠的性质可知，，设，分两种情况讨论：①当时；②当时，利用相似三角形的判定和性质分别求解，即可得到答案．
【详解】解：在中，，，，
，
由折叠的性质可知，，
设，则，，
①如图，当时，此时是直角三角形，

，，
，
，
，
解得：，即；
②如图，当时，此时是直角三角形，

，，
，
，
，
解得：，即；
综上可知，的长为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，利用分类讨论的思想，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
3．（2023春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，将矩形沿折叠，使点D落在边的点E处，过点E作交于点G，连接．

(1)求证：四边形是菱形．
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接交于H，先根据，判定四边形是平行四边形，再根据，即可得出四边形是菱形；
（2）根据条件得到，，再根据中，，可得，进而求出．
【详解】（1）证明：连接交于H，如图，

由折叠可得：，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴，
∵在中，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵四边形是菱形，
∴；
【点睛】本题主要考查了折叠问题，菱形的判定和性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．
4．（2023·云南昆明·统考二模）（1）如图，正方形中，点为边上一点，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点落在点处，连接，当点恰好落在上时，求的值；
（2）在（1）的条件下，如图，若把正方形改成菱形，且，，其他条件不变，请求出的值；

【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据正方形及折叠的性质得到，再根据全等的性质得到，最后利用相似三角形的判定及性质即可解答；
（2）根据等边三角形的判定与性质得到，再根据相似三角形的判定与性质得到即可解答．
【详解】解：（1）在正方形中，由折叠得：
，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∴，
在 和中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∵
∴，
∴ ，
∴
∵
∴
∴，
（2）在 上截取 ，使得 ，连接 ，在 上截取 ，使得 ，连接 ，如下图：

∵在菱形中，
∴，
∵，
∴，
由折叠得：
，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 均为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵，
∴ ，
∵，
∴，
在 和中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵，
∴ ，
∵，
∴，
∴ ，
∴，
设 ，，
∵，
∴，
∴ ，
∴ ，
解得 ，负值已舍去，
∴，
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，折叠的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
【经典例题十 动态相似】
1．（2023春·重庆渝中·八年级统考期末）如图，中，，，，D为的中点，若动点E以的速度从A点出发，沿着A→B的方向运动，设E点的运动时间为t秒（），连接，当以B、D、E为顶点的三角形与相似时，t的值为（ ）

A．2B．2.5或3.5C．2或3.5D．2或2.5
【答案】C
【分析】求出，分两种情况：①当时，，，得出，即可得出；②当时，证出，得出，因此，得出，；即可得出结果．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
分两种情况：
①当时，
，，
∵D为的中点，
∴，E为的中点，，
∴；
②当时，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述：当以B、D、E为顶点的三角形与相似时，t的值为2或3.5；
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定、平行线的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识；熟记相似三角形的判定方法是解决问题的关键，注意分类讨论．
2．（2023·陕西咸阳·校考一模）如图，在中，连接，恰好与垂直，，，点O是对角线上一动点（不与点A、C重合），过点O作，交于点E，连接，点F是的中点，连接，则的最小值为 ．

【答案】
【分析】延长交于点G，根据全等的判定得到，由可得，设，则，，在中，利用勾股定理得到，根据二次函数的性质可求得的最小值，从而得到的最小值.
【详解】解：延长交于点G，

∵恰好与垂直，，
∴，
∴，
∵点F是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
在中，，
当时，有最小值，
∵，
∴的最小值为，
∴的最小值为，
故答案为：
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质、勾股定理、二次函数的最值等知识，求出的最小值是解题的关键.
3．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨德强学校校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系内已知点和点的坐标分别为，，动点从点开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点移动，同时动点从点开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点移动，设点，移动的时间为秒．

(1)求直线的解析式；
(2)当为何值时，与相似？
(3)当为何值时，的面积为个平方单位？
【答案】(1)直线的解析式为
(2)或秒
(3)2或3秒
【分析】（1）设直线的解析式为，解得，即可；
（2）由，得，当时，，利用其对应边成比例解．当时，，利用其对应边成比例解得．
（3）过点作于．根据，得出，得，求出，再根据的面积为，即可得出结论．
【详解】（1）解：设直线的解析式为，则
将点，代入，可得，解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：由，，可得，，，
∴在直角三角形中，，
∵，，
∴，
∵，∴分两种情况讨论：
当时，，即，解得，
当时，，即，解得，
综上，当或秒时，和相似；
（3）解：过点作于，

∵
则，
∴，
∴，即，
解得，
∵的面积为，，
∴，解得，，
∴当或3秒时，的面积为个平方单位．
【点睛】本题考查的是一次函数综合题，根据题意作出辅助线．构造出相似三角形是解答此题的关键．
4．（2023春·山东青岛·九年级统考开学考试）如图，在中，，．动点P从点B出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点A运动，过P点作交于点H；同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度向点C运动．设运动的时间为t秒（）．

(1)点C到边的距离为_________； _________（用含t的代数式表示）
(2)是否存在某一时刻t，使存在，求t的值；不存在说明理由；
(3)是否存在某一时刻t，使点P、Q、D共线？存在，求t的值；不存在说明理由．
【答案】(1)8，
(2)不存在，理由见解析
(3)
【分析】（1）作于，，根据勾股定理得；可证明，从而，即，从而；
（2）作于，作于，可证明，从而，进而得出从而，进一步得出结果；
（3）当、、共线时，，从而，进而得出，进而得出结果．
【详解】（1）解：如图1，作于，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：8，；
（2）如图2，作于，作于，

，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
经检验，是原方程的增根，
原方程无解，故不存在的值．
（3）如图3，

存在，使得，、、共线，理由如下：
，
，
，
，
化简得，
，
（舍去），．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练利用相似三角形知识解决有关问题．
【重难点训练】
1．（2021·山东临沂·三模）如图，在△ABC中，DE∥BC，若AE＝2，EC＝3，则△ADE与△ABC的面积之比为（ ）
A．4：25B．2：3C．4：9D．2：5
【答案】A
【分析】根据相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
【详解】解：∵AE=2，EC=3，
∴AC=AE+EC=5，
∵DEBC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
2．（2021·江苏无锡·九年级专题练习）如图，正方形的对角线、相交于点，是的中点，交于点，若，则等于
A．3B．4C．6D．8
【答案】D
【分析】因为四边形ABCD是正方形，E是BC中点，所以CE=AD，由相似三角形的判定定理得出△CEF∽△ADF，再根据相似三角形的对应边成比例可得出．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，E是BC中点，
∴CE=AD，
∵AD∥BC，
∴∠ADF=∠DEC，∠AFD=∠EFC，
∴△CEF∽△ADF，
∴
∴
解得DF=8，
故选：D．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质及正方形的性质，先根据题意判断出△CEF∽△ADF，再根据相似三角形的对应边成比例进行解答是解答此题的关键．
3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，边长为10的等边中，点在边上，且，将含30°角的直角三角板（）绕直角顶点旋转，、分别交边、于、．连接，当时，长为（ ）
A．6B．C．10D．
【答案】B
【分析】过点作于，根据等边三角形，和含角的直角三角形，易证得
，从而求得线段，，，，，，的长度，最后在中利用勾股定理可以求得的长度．
【详解】解：过点作于，
在等边中，，，
在中，，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
又∵∠A=∠B=60°，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
∴，
已知
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
而,
∴，
∴，
在中，，
∴，
即．
故选：B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，特殊三角函数值，一线三等角的相似模型，正确找到相似三角形是解题的关键．
4．（2020·安徽·校联考三模）如图，为的边上一点，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据已知证明△ADB∽△ABC,利用代值求解即可．
【详解】∵，
∴∠A=∠C，∠DBC=∠BDC，
∵∠DBC=2∠A，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A，
∴∠ABD=∠A=∠C，
∴△ADB∽△ABC，AD=BD
∴，
设BD=AD=x，则，即，
解得：（不符题意，舍去），
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键．
5．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考期中）如图，在中，点D在BC上，，连接AD，，则线段AD的长为 ．

【答案】
【分析】过作，交的延长线于，过作，交的延长线于，可求，，设，可证，由即可求解．
【详解】解：如图，过作，交的延长线于，过作，交的延长线于，

，
，
，
，
，
，
，，
，
设，则，，
，
，
，
，
，
，
，
整理得：，
解得：，(舍去)，
，
故答案：．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理、三角形相似的判定及性质，掌握相关的判定方法及性质，并会根据题意作出辅助线是解题的关键．
6．（2023秋·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）如图，已知D是等边边AB上的一点，现将折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC和BC上．如果，则的值为 ．
【答案】7：8
【分析】设AD=2x，DB=3x，连接DE、DF，由折叠的性质及等边三角形的性质可得△ADE∽△BFD，由相似三角形的性质即可求得CE:CF的值．
【详解】设AD=2x，DB=3x，则AB=5x
连接DE、DF，如图所示
∵△ABC是等边三角形
∴BC=AC=AB=5x，∠A=∠B=∠ACB=60°
由折叠的性质得：DE=CE，DF=CF，∠EDF=∠ACB=60°
∴∠ADE+∠BDF=180°−∠EDF=120°
∵∠BDF+∠DFB=180°−∠B=120°
∴∠ADE=∠DFB
∴△ADE∽△BFD
∴
即CE：CF=7：8
故答案为：7：8
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质等知识，证明三角形相似是本题的关键．
7．（2023春·广西南宁·八年级校考阶段练习）如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若，则 ．
【答案】2
【分析】延长CF、BA交于M，根据已知条件得出EF＝AF，CE＝DC，根据平行四边形的性质得出DC∥AB，DC＝AB，根据全等三角形的判定得出△CEF≌△MAF，根据全等三角形的性质得出CE＝AM，求出BM＝3CE，根据相似三角形的判定得出△CEG∽△MBG，根据相似三角形的性质得出比例式，再求出答案即可．
【详解】解：延长CF、BA交于M，
∵E是CD的中点，F是AE的中点，
∴EF＝AF，CE＝DC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC＝AB，
∴CE＝AB，∠ECF＝∠M，
在△CEF和△MAF中
，
∴△CEF≌△MAF（AAS），
∴CE＝AM，
∵CE＝AB，
∴BM＝3CE，
∵DC∥AB，
∴△CEG∽△MBG，
∴ ，
∵BE＝8，
∴ ，
解得：GE＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
8．（2021秋·河北邢台·八年级统考期中）如图1，在中，，，，点为边上一点，则点与点的最短距离为 ．如图2，连接，作，使得，交于，则当时，的长为 ．
【答案】 5 2
【分析】根据等腰三角形的三线合一性作BC边上的高AM，再根据三角函数值求出AM的长，根据垂线段最短即可得到点P到A的最短距离即为AM长；
，根据等腰三角形的三线合一性即可得到BN的长，利用线段的和差求出PN的长，再根据三角函数值求出AN的长，利于勾股定理即可得到AP长和AC长，再证△APQ相似于△ACP，即可得到AQ长；
【详解】
解如图1，过点A作AM⊥BC，垂足为M，
∵AB=AC，AM⊥BC，
∴BM=MC=BC=12，
又∵tanC=
∴tanB=
∴AM=BMtanB=12×=5，
根据点到直线的距离垂线段最短，可得点P与点A的最短距离为5；
∴AB=AC==13，
如图2，过点A作AN⊥BC，在Rt△APN中，PN=PC-CN=1，
又AN=5，
∴AP2=PN2+AN2=26，
在△APQ与△ACP中，
∵∠APQ=∠C，∠PAQ=∠CAP，
∴△APQ∽△ACP，
∴
∴AP2=AQAC，
∴AQ=2
故答案为：5；2．
【点睛】本题考查等腰三角形、直角三角形、锐角三角函数，相似三角形的性质和判定，综合性较强，熟练相似三角形的性质和判定以及锐角三角函数的意义以及直角三角形的边角关系是解题的关键．
9．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，延长FE与直线CD相交于点G，连接FC（AB＞AE）．
(1)求证：△AEF∽△DCE；
(2)△AEF与△ECF是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；
(3)设，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BFC相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)相似，证明见解析
(3)存在，
【分析】(1)由题意可得∠AEF＋∠DEC＝90°，又由∠AEF＋∠AFE＝90°，可得∠DEC＝∠AFE，据此证得结论；
(2)根据题意可证得Rt△AEF≌Rt△DEG(ASA)，可得EF＝EG，∠AFE＝∠EGC，可得CE垂直平分FG，△CGF是等腰三角形，据此即可证得△AEF与△ECF相似；
(3)假设△AEF与△BFC相似，存在两种情况：①当∠AFE＝∠BCF，可得∠EFC＝90°，根据题意可知此种情况不成立；②当∠AFE＝∠BFC，使得△AEF与△BFC相似，设BC＝a，则AB＝ka，可得AF＝，BF＝，再由△AEF∽△DCE，即可求得k值．
【详解】（1）证明：∵EF⊥EC，
∴∠FEC＝90°，
∴∠AEF＋∠DEC＝90°，
∵∠AEF＋∠AFE＝90°，
∴∠DEC＝∠AFE，
又∵∠A＝∠EDC＝90°，
∴△AEF∽△DCE；
（2）解：△AEF∽△ECF．
理由：∵E为AD的中点，
∴AE＝DE，
∵∠AEF＝∠DEG，∠A＝∠EDG，
∴△AEF≌△DEG(ASA)，
∴EF＝EG，∠AFE＝∠EGC．
又∵EF⊥CE，
∴CE垂直平分FG，
∴△CGF是等腰三角形．
∴∠AFE＝∠EGC＝∠EFC．
又∵∠A＝∠FEC＝90°，
∴△AEF∽△ECF；
（3）解：存在使得△AEF与△BFC相似．
理由：
假设△AEF与△BFC相似，存在两种情况：
①当∠AFE＝∠BCF，则有∠AFE与∠BFC互余，于是∠EFC＝90°，因此此种情况不成立；
②当∠AFE＝∠BFC，使得△AEF与△BFC相似，
设BC＝a，则AB＝ka，
∵△AEF∽△BCF，
∴，
∴AF＝，BF＝，
∵△AEF∽△DCE，
∴，即，
解得，．
∴存在使得△AEF与△BFC相似．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定与及性质，等腰三角形的判定及性质，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．
10．（2023·全国·九年级专题练习）在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，点A为公共顶点，．如图②，若△ABC固定不动，把△ADE绕点A逆时针旋转，使AD、AE与边BC的交点分别为M、N点M不与点B重合，点N不与点C重合．
【探究】求证：．
【应用】已知等腰直角三角形的斜边长为4．
(1)的值为______．
(2)若，则MN的长为______．
【答案】(1)8
(2)
【探究】利用三角形外角的性质可证，又由，可证明结论；
【应用】（1）首先求出等腰直角三角形的直角边长，再由，得，则；
（2）由，得，由（1）知，得，从而得出答案．
【详解】（1）∵△ABC为等腰直角三角形，，
∴，同理，，
∵，
，
∴，∴；
（2）（1）∵等腰直角三角形的斜边长为4，
∴，∵，
∴，∴，∴，
故答案为：8；
（2）∵，∴，∵，
∴，∴，
故答案为：．
【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，利用前面探索的结论解决新的问题是解题的关键．
11．（2023秋·全国·九年级专题练习）【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明）
【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长．
【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长．
【答案】【探究】3；【拓展】4或．
【分析】探究：根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；
拓展：证明△ACP∽△BPE，分CP=CE、PC=PE、EC=EP三种情况，根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】探究：证明：∵是的外角，
∴，
即，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
解得：；
拓展：∵AC=BC，
∴∠A=∠B，
∵∠CPB是△APC的外角，
∴∠CPB=∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB=∠A+∠PCA，
∵∠A=∠CPE，
∴∠ACP=∠BPE，
∵∠A=∠B，
∴△ACP∽△BPE，
当CP=CE时，∠CPE=∠CEP，
∵∠CEP＞∠B，∠CPE=∠A=∠B，
∴CP=CE不成立；
当PC=PE时，△ACP≌△BPE，
则PB=AC=8，
∴AP=AB-PB=128=4；
当EC=EP时，∠CPE=∠ECP，
∵∠B=∠CPE，
∴∠ECP=∠B，
∴PC=PB，
∵△ACP∽△BPE，
∴，
即，
解得：，
∴AP=ABPB=，
综上所述：△CPE是等腰三角形时，AP的长为4或．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
12．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．
（1）探究发现：
如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则＝ ；
（2）数学思考：
①如图2，若点E在线段AC上，则＝ （用含m，n的代数式表示）；
②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；
（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长．
【答案】（1）1；；（2）①；②；（3）或
【分析】（1）先用等量代换判断出，，得到∽，再判断出∽即可；
（2）方法和一样，先用等量代换判断出，，得到∽，再判断出∽即可；
（3）由的结论得出∽，判断出，求出DE，再利用勾股定理，计算出即可．
【详解】解：当时，即：，
，
，
，
，
，
，
，
即，
∽，
，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
∽，
，
，，
∽，
，
成立如图3，
，
，
又，
，
，
，
，
即，
∽，
，
，，
∽，
，
．
由有，∽，
，
，
，
如图4图5图6，连接EF．
在中，，，
，
如图4，当E在线段AC上时，
在中，，，
根据勾股定理得，，
，或舍
如图5，当E在AC延长线上时，
在中，，，
根据勾股定理得，，
，
，或舍，
③如图6，当E在CA延长线上时，
在中，，，
根据勾股定理得，，
，
，或（舍），
综上：或．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形相似的性质和判定，勾股定理，判断相似是解决本题的关键，求CE是本题的难点．