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人教版 (2019)选择性必修 第二册3 带电粒子在匀强磁场中的运动优秀导学案及答案
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这是一份人教版 (2019)选择性必修 第二册3 带电粒子在匀强磁场中的运动优秀导学案及答案，共11页。
一、带电粒子在匀强磁场中的运动规律
如果沿着与磁场垂直的方向发射一束带电粒子(不计重力)，这束粒子在匀强磁场中的运动轨迹会是什么样的呢？
答案 洛伦兹力提供向心力，故只在洛伦兹力的作用下，粒子将做匀速圆周运动。
1．若v∥B，带电粒子(不计重力)所受洛伦兹力F＝0，所以粒子在磁场中做匀速直线运动。
2．若v⊥B，此时初速度方向、洛伦兹力的方向均与磁场方向垂直，粒子在垂直于磁场方向的平面内运动。
(1)洛伦兹力与粒子的运动方向垂直，只改变粒子速度的方向，不改变粒子速度的大小。
(2)带电粒子在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力。
3．带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径和周期
(1)由qvB＝meq \f(v2,r)，可得r＝eq \f(mv,qB)。
(2)由r＝eq \f(mv,qB)和T＝eq \f(2πr,v)，可得T＝eq \f(2πm,qB)。
(1)运动电荷进入磁场后(无其他场)可能做类平抛运动。( × )
(2)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，轨道半径跟粒子的速率成正比。( √ )
(3)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期与轨道半径成正比。( × )
(4)带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的周期随速度的增大而减小。( × )
例1 (多选)(2022·通化市期中)两个粒子A和B带有等量的同种电荷，粒子A和B以垂直于磁场的方向射入同一匀强磁场，A、B均不计重力，则下列说法正确的是( )
A．如果两粒子的速度vA＝vB，则两粒子的半径RA＝RB
B．如果两粒子的动能EkA＝EkB，则两粒子的周期TA＝TB
C．如果两粒子的质量mA＝mB，则两粒子的周期TA＝TB
D．如果两粒子的质量与速度的乘积mAvA＝mBvB，则两粒子的半径RA＝RB
答案 CD
解析 因为粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径r＝eq \f(mv,qB)，周期T＝eq \f(2πm,qB)，又粒子电荷量相等且在同一磁场中，所以q、B相等，r与m、v有关，T只与m有关，所以A、B错误，C、D正确。
例2 (2023·北京海淀区人大附中高二校考期末)图甲是洛伦兹力演示仪结构图，玻璃泡内充有稀薄的气体，由电子枪发射电子束，在电子束通过时能够显示电子的径迹。图乙是励磁线圈的原理图，两线圈之间产生的磁场近似匀强磁场，线圈中电流越大磁场越强，磁场的方向与两个线圈中心的连线平行。电子速度的大小和磁感应强度可以分别通过电子枪的加速电压和励磁线圈的电流来调节。若电子枪垂直磁场方向发射电子，给励磁线圈通电后，能看到电子束的径迹呈圆形。关于电子束的轨道半径，下列说法正确的是( )
A．只增大励磁线圈中的电流，轨道半径变小
B．只增大励磁线圈中的电流，轨道半径不变
C．只增大电子枪的加速电压，轨道半径不变
D．只增大电子枪的加速电压，轨道半径变小
答案 A
解析 电子在电子枪中被加速电场加速，由动能定理得：eU＝eq \f(1,2)mv2
电子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力充当向心力，由牛顿第二定律得：eBv＝meq \f(v2,r)
解得：r＝eq \f(1,B)eq \r(\f(2mU,e))
增大励磁线圈中的电流，磁感应强度B增大，可知轨道半径r变小，故B错误，A正确；
只增大电子枪的加速电压U，可知轨道半径变大，故C、D错误。
二、带电粒子在匀强磁场中运动的基本分析思路
1．圆心的确定
圆心位置的确定通常有以下两种基本方法：
(1)已知入射方向和出射方向时，可以过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图甲所示，P为入射点，M为出射点)。
(2)已知入射方向和出射点的位置时，可以过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作连线的中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图乙所示，P为入射点，M为出射点)。
2．半径的确定
(1)r＝eq \f(mv,qB)；(2)几何关系。
3．粒子速度偏向角
速度的偏向角φ＝圆弧所对的圆心角(回旋角)θ＝弦切角α的2倍。(如图)
4．粒子在匀强磁场中运动时间的确定
方法一：周期一定时，由圆心角求：t＝eq \f(θ,2π)·T；
方法二：v一定时，由弧长求：t＝eq \f(s,v)＝eq \f(θR,v)。
例3 如图所示，一带电荷量为2.0×10－9 C、质量为1.8×10－16 kg的粒子，从直线上一点O沿与PO方向成30°角的方向进入磁感应强度为B的匀强磁场中，经过1.5×10－6 s后到达直线上的P点，求：
(1)粒子做圆周运动的周期；
(2)磁感应强度B的大小；
(3)若O、P之间的距离为0.1 m，则粒子的运动速度的大小。
答案 (1)1.8×10－6 s (2)0.314 T (3)3.49×105 m/s
解析 (1)作出粒子的运动轨迹，如图所示，由图可知粒子由O到P的大圆弧所对的圆心角为300°，
则eq \f(t,T)＝eq \f(300°,360°)＝eq \f(5,6)，周期T＝eq \f(6,5)t＝eq \f(6,5)×1.5×10－6 s＝1.8×10－6 s
(2)由qvB＝eq \f(mv2,r)，T＝eq \f(2πr,v)，知B＝eq \f(2πm,qT)＝eq \f(2×3.14×1.8×10－16,2.0×10－9×1.8×10－6) T＝0.314 T
(3)由几何知识可知，半径r＝eq \x\t(OP)＝0.1 m
则qvB＝eq \f(mv2,r)得，粒子的运动速度大小为
v＝eq \f(Bqr,m)＝eq \f(0.314×2.0×10－9×0.1,1.8×10－16) m/s≈3.49×105 m/s。
例4 (2022·江门市高二期中)如图所示，空间存在范围足够大的垂直xOy平面向里的匀强磁场(图中未画出)，一质量为m、带电荷量为＋q(q>0)的带电粒子(不计所受重力)从坐标原点O沿x轴正方向以速度v0射出，带电粒子恰好经过点A(eq \f(\r(3),3)h，h)，求：
(1)匀强磁场的磁感应强度大小B；
(2)粒子从O点运动到A点所用的时间t。
答案 (1)eq \f(3mv0,2qh) (2)eq \f(4πh,9v0)
解析 (1)根据洛伦兹力提供向心力，结合几何关系有qv0B＝eq \f(mv02,R)，(eq \f(\r(3),3)h)2＋(h－R)2＝R2
解得R＝eq \f(2,3)h，B＝eq \f(3mv0,2qh)
(2)由几何关系知粒子从O到A轨迹的圆心角为120°，设带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期为T，则有T＝eq \f(2πR,v0)，t＝eq \f(120°,360°)T
解得t＝eq \f(4πh,9v0)。
带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的解题方法
课时对点练
考点一 周期公式与半径公式的基本应用
1．在匀强磁场中，一个带电粒子做匀速圆周运动，如果又顺利垂直进入另一磁感应强度是原来磁感应强度一半的匀强磁场，则( )
A．粒子的速率加倍，周期减半
B．粒子的速率不变，轨道半径减半
C．粒子的速率不变，周期变为原来的2倍
D．粒子的速率减半，轨道半径变为原来的2倍
答案 C
解析 因洛伦兹力对粒子不做功，故粒子的速率不变；当磁感应强度减半后，由r＝eq \f(mv,Bq)可知，轨道半径变为原来的2倍；由T＝eq \f(2πm,Bq)可知，粒子的周期变为原来的2倍，故C正确，A、B、D错误。
2．质子p(eq \\al(1,1)H)和α粒子(eq \\al(4,2)He)以相同的速率在同一匀强磁场中做匀速圆周运动，轨道半径分别为Rp和Rα，周期分别为Tp和Tα，则下列选项中正确的是( )
A．Rp∶Rα＝1∶2，Tp∶Tα＝1∶2
B．Rp∶Rα＝1∶1，Tp∶Tα＝1∶1
C．Rp∶Rα＝1∶1，Tp∶Tα＝1∶2
D．Rp∶Rα＝1∶2，Tp∶Tα＝1∶1
答案 A
解析 质子p(eq \\al(1,1)H)和α粒子(eq \\al(4,2)He)的带电荷量之比为qp∶qα＝1∶2，质量之比mp∶mα＝1∶4。由带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的规律可知，轨道半径R＝eq \f(mv,qB)，周期T＝eq \f(2πm,qB)，因为两粒子速率相同，代入q、m，可得Rp∶Rα＝1∶2，Tp∶Tα＝1∶2，故选项A正确，B、C、D错误。
3.一个带电粒子沿垂直于磁场的方向射入一匀强磁场。粒子的一段径迹如图所示。径迹上的每一小段都可近似看成圆弧。由于带电粒子能使沿途的空气电离，粒子的能量逐渐减小(电荷量不变)。从图中情况可以确定( )
A．粒子从a到b，带正电B．粒子从a到b，带负电
C．粒子从b到a，带正电D．粒子从b到a，带负电
答案 C
解析 由于带电粒子使沿途的空气电离，粒子的能量逐渐减小，可知速度逐渐减小；根据粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径公式r＝eq \f(mv,qB)可知，粒子的运动半径逐渐减小，所以粒子的运动方向是从b到a；再根据左手定则可知粒子带正电，选项C正确，A、B、D错误。
4.如图所示，水平导线中有恒定电流I通过，导线正下方的电子初速度的方向与电流I的方向相同，则电子将( )
A．沿路径a运动，轨迹是圆
B．沿路径a运动，轨迹半径越来越大
C．沿路径a运动，轨迹半径越来越小
D．沿路径b运动，轨迹半径越来越小
答案 B
解析 电流在导线下方产生的磁场方向垂直纸面向外，离导线越远，磁感应强度B越小。由左手定则可知电子运动轨迹向下弯曲，又由r＝eq \f(mv,qB)可知，B减小，r越来越大，则电子的轨迹是a，故选B。
考点二 带电粒子做匀速圆周运动的分析
5.如图，ABCD是一个正方形的匀强磁场区域，两相同的粒子甲、乙分别以不同的速率从A、D两点沿图示方向射入磁场，均从C点射出，则它们的速率之比v甲∶v乙和它们通过该磁场所用时间之比t甲∶t乙分别为( )
A．1∶1 2∶1 B．2∶1 2∶1
C．2∶1 1∶2 D．1∶2 1∶1
答案 C
解析 根据qvB＝meq \f(v2,r)，得v＝eq \f(qBr,m)，根据题图可知，甲、乙两粒子的半径之比为2∶1，又因为两粒子相同，故v甲∶v乙＝r甲∶r乙＝2∶1，粒子在磁场中的运动周期T＝eq \f(2πm,qB)，两粒子相同，可知甲、乙两粒子的周期之比为1∶1，根据题图可知，甲、乙两粒子转过的圆心角之比为1∶2，故两粒子在磁场中运动的时间之比t甲∶t乙＝1∶2，选C。
6.如图所示，在平面坐标系xOy的第一象限内，存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一带正电的粒子，沿x轴正方向以速度v0从y轴上的点P1(0，a)射入磁场，从x轴上的点P2(2a,0)射出磁场，不计粒子受到的重力，则粒子的比荷为( )
A.eq \f(v0,5aB) B.eq \f(2v0,5aB)
C.eq \f(3v0,5aB) D.eq \f(4v0,5aB)
答案 B
解析 粒子运动轨迹对应的圆心在y轴上，如图所示，设轨迹的半径为R，有(R－a)2＋4a2＝R2，
解得R＝eq \f(5a,2)，
由牛顿第二定律可得qv0B＝eq \f(mv02,R)，
解得eq \f(q,m)＝eq \f(2v0,5aB)，故选B。
7.如图所示，两个速度大小不同的同种带电粒子1、2沿水平方向从同一点垂直射入匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里，当它们从磁场下边界飞出时相对入射方向的偏转角分别为90°、60°，则粒子1、2在磁场中运动的( )
A．轨迹半径之比为2∶1 B．速度之比为1∶2
C．时间之比为2∶3 D．周期之比为1∶2
答案 B
解析 带电粒子在匀强磁场中运动时，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律有qvB＝meq \f(v2,r)，可得r＝eq \f(mv,qB)，又T＝eq \f(2πr,v)，联立可得T＝eq \f(2πm,qB)，故两粒子运动的周期相同，D错误；速度的偏转角等于轨迹所对的圆心角，故粒子1的运动时间t1＝eq \f(90°,360°)T＝eq \f(1,4)T，粒子2的运动时间t2＝eq \f(60°,360°)T＝eq \f(1,6)T，则时间之比为3∶2，C错误；粒子1和粒子2运动轨迹的圆心O1和O2如图所示，设粒子1的轨迹半径R1＝d，对于粒子2，由几何关系可得R2sin 30°＋d＝R2，解得R2＝2d，故轨迹半径之比为1∶2，A错误；由r＝eq \f(mv,qB)可知，速度之比为1∶2，B正确。
8．(2022·衡阳市高二期中)如图所示，一个质量为m、电荷量为q、不计重力的带电粒子从x轴上的P点以速度v沿与x轴成60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限。已知OP＝a。
(1)判断粒子带电的正负并作图求出粒子运动轨迹半径；
(2)求磁感应强度的大小；
(3)求带电粒子穿过第一象限所用的时间。
答案 (1)粒子带负电 见解析图 eq \f(2\r(3),3)a (2)eq \f(\r(3)mv,2qa) (3)eq \f(4\r(3)πa,9v)
解析 (1)由左手定则可知粒子带负电，轨迹如图所示
由几何关系有rsin 60°＝a
解得r＝eq \f(2\r(3),3)a
(2)由洛伦兹力提供向心力有qvB＝meq \f(v2,r)
解得B＝eq \f(\r(3)mv,2qa)
(3)粒子的周期为T＝eq \f(2πr,v)，带电粒子穿过第一象限所用的时间为t＝eq \f(120°,360°)T＝eq \f(1,3)T＝eq \f(4\r(3)πa,9v)。
9．(2023·北京理工大学附属中学高二上期末)光滑绝缘水平桌面上存在与桌面垂直方向的匀强磁场，有一带电粒子在桌面上做匀速圆周运动，当它运动到M点，突然与一不带电的静止粒子发生正碰合为一体(碰撞时间极短)，则粒子的运动轨迹应是图中的哪一个(实线为原轨迹，虚线为碰后轨迹)( )
答案 A
解析 带电粒子在水平方向做匀速圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，由向心力公式得qvB＝eq \f(mv2,r)，解得r＝eq \f(mv,qB)，当带电粒子运动到M点，突然与一不带电的静止粒子发生正碰合为一体，动量不变，电荷量不变，磁感应强度不变，带电粒子做圆周运动的半径不变，故A正确，B、C、D错误。
10.(2019·全国卷Ⅲ)如图，在坐标系的第一和第二象限内存在磁感应强度大小分别为eq \f(1,2)B和B、方向均垂直于纸面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子垂直于x轴射入第二象限，随后垂直于y轴进入第一象限，最后经过x轴离开第一象限。粒子在磁场中运动的时间为( )
A.eq \f(5πm,6qB) B.eq \f(7πm,6qB) C.eq \f(11πm,6qB) D.eq \f(13πm,6qB)
答案 B
解析 设带电粒子进入第二象限的速度为v，在第二象限和第一象限中运动的轨迹如图所示，对应的轨迹半径分别为R1和R2，由洛伦兹力提供向心力，有qvB＝meq \f(v2,R)、T＝eq \f(2πR,v)，可得R1＝eq \f(mv,qB)、R2＝eq \f(2mv,qB)、T1＝eq \f(2πm,qB)、T2＝eq \f(4πm,qB)，带电粒子在第二象限中运动的时间为t1＝eq \f(T1,4)，在第一象限中运动的时间为t2＝eq \f(θ,2π)T2，又由几何关系有cs θ＝eq \f(R2－R1,R2)＝eq \f(1,2)，可得t2＝eq \f(T2,6)，则粒子在磁场中运动的时间为t＝t1＋t2，联立以上各式解得t＝eq \f(7πm,6qB)，选项B正确，A、C、D错误。
11.如图，在直角三角形OPN区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外。一带正电的粒子从静止开始经电压U加速后，沿平行于x轴的方向射入磁场；一段时间后，该粒子在OP边上某点以垂直于x轴的方向射出。已知O点为坐标原点，N点在y轴上，OP与x轴的夹角为30°，粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为d，不计重力。求：
(1)带电粒子的比荷；
(2)带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间。
答案 (1)eq \f(4U ,B2d2) (2)eq \f(Bd2,4U)(eq \f(π,2)＋eq \f(\r(3),3))
解析 (1)设带电粒子的质量为m，电荷量为q，加速后的速度大小为v。由动能定理有qU＝eq \f(1,2)mv2
粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹如图所示，设粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为r，由洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力有
qvB＝meq \f(v2,r)
由几何关系知d＝eq \r(2)r
得eq \f(q,m)＝eq \f(4U,B2d2)
(2)由几何关系知，带电粒子从射入磁场到运动到x轴经过的路程为
s＝eq \f(πr,2)＋rtan 30°
带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间为
t＝eq \f(s,v)
得t＝eq \f(Bd2,4U)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\f(\r(3),3)))。
12.(2020·江苏卷改编)空间存在两个垂直于Oxy平面的匀强磁场，y轴为两磁场的边界，磁感应强度分别为2B0、3B0。质量为m、带电荷量为q的粒子从原点O沿x轴正向射入磁场，速度为v。粒子第1次、第2次经过y轴的位置分别为P、Q，其轨迹如图所示。不考虑粒子重力影响。求：
(1)Q到O的距离d；
(2)粒子两次经过P点的时间间隔Δt。
答案 (1)eq \f(mv,3qB0) (2)eq \f(2πm,qB0)
解析 (1)粒子先后在两磁场中做匀速圆周运动，设半径分别为r1、r2
由qvB＝meq \f(v2,r)可知r＝eq \f(mv,qB)
故r1＝eq \f(mv,2qB0)，r2＝eq \f(mv,3qB0)
且d＝2r1－2r2，解得d＝eq \f(mv,3qB0)
(2)粒子先后在两磁场中做匀速圆周运动，设运动时间分别为t1、t2
由T＝eq \f(2πr,v)＝eq \f(2πm,qB)得t1＝eq \f(πm,2qB0)，t2＝eq \f(πm,3qB0)，
且Δt＝2t1＋3t2
解得Δt＝eq \f(2πm,qB0)。
一、带电粒子在匀强磁场中的运动规律
如果沿着与磁场垂直的方向发射一束带电粒子(不计重力)，这束粒子在匀强磁场中的运动轨迹会是什么样的呢？
答案 洛伦兹力提供向心力，故只在洛伦兹力的作用下，粒子将做匀速圆周运动。
1．若v∥B，带电粒子(不计重力)所受洛伦兹力F＝0，所以粒子在磁场中做匀速直线运动。
2．若v⊥B，此时初速度方向、洛伦兹力的方向均与磁场方向垂直，粒子在垂直于磁场方向的平面内运动。
(1)洛伦兹力与粒子的运动方向垂直，只改变粒子速度的方向，不改变粒子速度的大小。
(2)带电粒子在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力。
3．带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径和周期
(1)由qvB＝meq \f(v2,r)，可得r＝eq \f(mv,qB)。
(2)由r＝eq \f(mv,qB)和T＝eq \f(2πr,v)，可得T＝eq \f(2πm,qB)。
(1)运动电荷进入磁场后(无其他场)可能做类平抛运动。( × )
(2)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，轨道半径跟粒子的速率成正比。( √ )
(3)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期与轨道半径成正比。( × )
(4)带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的周期随速度的增大而减小。( × )
例1 (多选)(2022·通化市期中)两个粒子A和B带有等量的同种电荷，粒子A和B以垂直于磁场的方向射入同一匀强磁场，A、B均不计重力，则下列说法正确的是( )
A．如果两粒子的速度vA＝vB，则两粒子的半径RA＝RB
B．如果两粒子的动能EkA＝EkB，则两粒子的周期TA＝TB
C．如果两粒子的质量mA＝mB，则两粒子的周期TA＝TB
D．如果两粒子的质量与速度的乘积mAvA＝mBvB，则两粒子的半径RA＝RB
答案 CD
解析 因为粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径r＝eq \f(mv,qB)，周期T＝eq \f(2πm,qB)，又粒子电荷量相等且在同一磁场中，所以q、B相等，r与m、v有关，T只与m有关，所以A、B错误，C、D正确。
例2 (2023·北京海淀区人大附中高二校考期末)图甲是洛伦兹力演示仪结构图，玻璃泡内充有稀薄的气体，由电子枪发射电子束，在电子束通过时能够显示电子的径迹。图乙是励磁线圈的原理图，两线圈之间产生的磁场近似匀强磁场，线圈中电流越大磁场越强，磁场的方向与两个线圈中心的连线平行。电子速度的大小和磁感应强度可以分别通过电子枪的加速电压和励磁线圈的电流来调节。若电子枪垂直磁场方向发射电子，给励磁线圈通电后，能看到电子束的径迹呈圆形。关于电子束的轨道半径，下列说法正确的是( )
A．只增大励磁线圈中的电流，轨道半径变小
B．只增大励磁线圈中的电流，轨道半径不变
C．只增大电子枪的加速电压，轨道半径不变
D．只增大电子枪的加速电压，轨道半径变小
答案 A
解析 电子在电子枪中被加速电场加速，由动能定理得：eU＝eq \f(1,2)mv2
电子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力充当向心力，由牛顿第二定律得：eBv＝meq \f(v2,r)
解得：r＝eq \f(1,B)eq \r(\f(2mU,e))
增大励磁线圈中的电流，磁感应强度B增大，可知轨道半径r变小，故B错误，A正确；
只增大电子枪的加速电压U，可知轨道半径变大，故C、D错误。
二、带电粒子在匀强磁场中运动的基本分析思路
1．圆心的确定
圆心位置的确定通常有以下两种基本方法：
(1)已知入射方向和出射方向时，可以过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图甲所示，P为入射点，M为出射点)。
(2)已知入射方向和出射点的位置时，可以过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作连线的中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图乙所示，P为入射点，M为出射点)。
2．半径的确定
(1)r＝eq \f(mv,qB)；(2)几何关系。
3．粒子速度偏向角
速度的偏向角φ＝圆弧所对的圆心角(回旋角)θ＝弦切角α的2倍。(如图)
4．粒子在匀强磁场中运动时间的确定
方法一：周期一定时，由圆心角求：t＝eq \f(θ,2π)·T；
方法二：v一定时，由弧长求：t＝eq \f(s,v)＝eq \f(θR,v)。
例3 如图所示，一带电荷量为2.0×10－9 C、质量为1.8×10－16 kg的粒子，从直线上一点O沿与PO方向成30°角的方向进入磁感应强度为B的匀强磁场中，经过1.5×10－6 s后到达直线上的P点，求：
(1)粒子做圆周运动的周期；
(2)磁感应强度B的大小；
(3)若O、P之间的距离为0.1 m，则粒子的运动速度的大小。
答案 (1)1.8×10－6 s (2)0.314 T (3)3.49×105 m/s
解析 (1)作出粒子的运动轨迹，如图所示，由图可知粒子由O到P的大圆弧所对的圆心角为300°，
则eq \f(t,T)＝eq \f(300°,360°)＝eq \f(5,6)，周期T＝eq \f(6,5)t＝eq \f(6,5)×1.5×10－6 s＝1.8×10－6 s
(2)由qvB＝eq \f(mv2,r)，T＝eq \f(2πr,v)，知B＝eq \f(2πm,qT)＝eq \f(2×3.14×1.8×10－16,2.0×10－9×1.8×10－6) T＝0.314 T
(3)由几何知识可知，半径r＝eq \x\t(OP)＝0.1 m
则qvB＝eq \f(mv2,r)得，粒子的运动速度大小为
v＝eq \f(Bqr,m)＝eq \f(0.314×2.0×10－9×0.1,1.8×10－16) m/s≈3.49×105 m/s。
例4 (2022·江门市高二期中)如图所示，空间存在范围足够大的垂直xOy平面向里的匀强磁场(图中未画出)，一质量为m、带电荷量为＋q(q>0)的带电粒子(不计所受重力)从坐标原点O沿x轴正方向以速度v0射出，带电粒子恰好经过点A(eq \f(\r(3),3)h，h)，求：
(1)匀强磁场的磁感应强度大小B；
(2)粒子从O点运动到A点所用的时间t。
答案 (1)eq \f(3mv0,2qh) (2)eq \f(4πh,9v0)
解析 (1)根据洛伦兹力提供向心力，结合几何关系有qv0B＝eq \f(mv02,R)，(eq \f(\r(3),3)h)2＋(h－R)2＝R2
解得R＝eq \f(2,3)h，B＝eq \f(3mv0,2qh)
(2)由几何关系知粒子从O到A轨迹的圆心角为120°，设带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期为T，则有T＝eq \f(2πR,v0)，t＝eq \f(120°,360°)T
解得t＝eq \f(4πh,9v0)。
带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的解题方法
课时对点练
考点一 周期公式与半径公式的基本应用
1．在匀强磁场中，一个带电粒子做匀速圆周运动，如果又顺利垂直进入另一磁感应强度是原来磁感应强度一半的匀强磁场，则( )
A．粒子的速率加倍，周期减半
B．粒子的速率不变，轨道半径减半
C．粒子的速率不变，周期变为原来的2倍
D．粒子的速率减半，轨道半径变为原来的2倍
答案 C
解析 因洛伦兹力对粒子不做功，故粒子的速率不变；当磁感应强度减半后，由r＝eq \f(mv,Bq)可知，轨道半径变为原来的2倍；由T＝eq \f(2πm,Bq)可知，粒子的周期变为原来的2倍，故C正确，A、B、D错误。
2．质子p(eq \\al(1,1)H)和α粒子(eq \\al(4,2)He)以相同的速率在同一匀强磁场中做匀速圆周运动，轨道半径分别为Rp和Rα，周期分别为Tp和Tα，则下列选项中正确的是( )
A．Rp∶Rα＝1∶2，Tp∶Tα＝1∶2
B．Rp∶Rα＝1∶1，Tp∶Tα＝1∶1
C．Rp∶Rα＝1∶1，Tp∶Tα＝1∶2
D．Rp∶Rα＝1∶2，Tp∶Tα＝1∶1
答案 A
解析 质子p(eq \\al(1,1)H)和α粒子(eq \\al(4,2)He)的带电荷量之比为qp∶qα＝1∶2，质量之比mp∶mα＝1∶4。由带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的规律可知，轨道半径R＝eq \f(mv,qB)，周期T＝eq \f(2πm,qB)，因为两粒子速率相同，代入q、m，可得Rp∶Rα＝1∶2，Tp∶Tα＝1∶2，故选项A正确，B、C、D错误。
3.一个带电粒子沿垂直于磁场的方向射入一匀强磁场。粒子的一段径迹如图所示。径迹上的每一小段都可近似看成圆弧。由于带电粒子能使沿途的空气电离，粒子的能量逐渐减小(电荷量不变)。从图中情况可以确定( )
A．粒子从a到b，带正电B．粒子从a到b，带负电
C．粒子从b到a，带正电D．粒子从b到a，带负电
答案 C
解析 由于带电粒子使沿途的空气电离，粒子的能量逐渐减小，可知速度逐渐减小；根据粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径公式r＝eq \f(mv,qB)可知，粒子的运动半径逐渐减小，所以粒子的运动方向是从b到a；再根据左手定则可知粒子带正电，选项C正确，A、B、D错误。
4.如图所示，水平导线中有恒定电流I通过，导线正下方的电子初速度的方向与电流I的方向相同，则电子将( )
A．沿路径a运动，轨迹是圆
B．沿路径a运动，轨迹半径越来越大
C．沿路径a运动，轨迹半径越来越小
D．沿路径b运动，轨迹半径越来越小
答案 B
解析 电流在导线下方产生的磁场方向垂直纸面向外，离导线越远，磁感应强度B越小。由左手定则可知电子运动轨迹向下弯曲，又由r＝eq \f(mv,qB)可知，B减小，r越来越大，则电子的轨迹是a，故选B。
考点二 带电粒子做匀速圆周运动的分析
5.如图，ABCD是一个正方形的匀强磁场区域，两相同的粒子甲、乙分别以不同的速率从A、D两点沿图示方向射入磁场，均从C点射出，则它们的速率之比v甲∶v乙和它们通过该磁场所用时间之比t甲∶t乙分别为( )
A．1∶1 2∶1 B．2∶1 2∶1
C．2∶1 1∶2 D．1∶2 1∶1
答案 C
解析 根据qvB＝meq \f(v2,r)，得v＝eq \f(qBr,m)，根据题图可知，甲、乙两粒子的半径之比为2∶1，又因为两粒子相同，故v甲∶v乙＝r甲∶r乙＝2∶1，粒子在磁场中的运动周期T＝eq \f(2πm,qB)，两粒子相同，可知甲、乙两粒子的周期之比为1∶1，根据题图可知，甲、乙两粒子转过的圆心角之比为1∶2，故两粒子在磁场中运动的时间之比t甲∶t乙＝1∶2，选C。
6.如图所示，在平面坐标系xOy的第一象限内，存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一带正电的粒子，沿x轴正方向以速度v0从y轴上的点P1(0，a)射入磁场，从x轴上的点P2(2a,0)射出磁场，不计粒子受到的重力，则粒子的比荷为( )
A.eq \f(v0,5aB) B.eq \f(2v0,5aB)
C.eq \f(3v0,5aB) D.eq \f(4v0,5aB)
答案 B
解析 粒子运动轨迹对应的圆心在y轴上，如图所示，设轨迹的半径为R，有(R－a)2＋4a2＝R2，
解得R＝eq \f(5a,2)，
由牛顿第二定律可得qv0B＝eq \f(mv02,R)，
解得eq \f(q,m)＝eq \f(2v0,5aB)，故选B。
7.如图所示，两个速度大小不同的同种带电粒子1、2沿水平方向从同一点垂直射入匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里，当它们从磁场下边界飞出时相对入射方向的偏转角分别为90°、60°，则粒子1、2在磁场中运动的( )
A．轨迹半径之比为2∶1 B．速度之比为1∶2
C．时间之比为2∶3 D．周期之比为1∶2
答案 B
解析 带电粒子在匀强磁场中运动时，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律有qvB＝meq \f(v2,r)，可得r＝eq \f(mv,qB)，又T＝eq \f(2πr,v)，联立可得T＝eq \f(2πm,qB)，故两粒子运动的周期相同，D错误；速度的偏转角等于轨迹所对的圆心角，故粒子1的运动时间t1＝eq \f(90°,360°)T＝eq \f(1,4)T，粒子2的运动时间t2＝eq \f(60°,360°)T＝eq \f(1,6)T，则时间之比为3∶2，C错误；粒子1和粒子2运动轨迹的圆心O1和O2如图所示，设粒子1的轨迹半径R1＝d，对于粒子2，由几何关系可得R2sin 30°＋d＝R2，解得R2＝2d，故轨迹半径之比为1∶2，A错误；由r＝eq \f(mv,qB)可知，速度之比为1∶2，B正确。
8．(2022·衡阳市高二期中)如图所示，一个质量为m、电荷量为q、不计重力的带电粒子从x轴上的P点以速度v沿与x轴成60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限。已知OP＝a。
(1)判断粒子带电的正负并作图求出粒子运动轨迹半径；
(2)求磁感应强度的大小；
(3)求带电粒子穿过第一象限所用的时间。
答案 (1)粒子带负电 见解析图 eq \f(2\r(3),3)a (2)eq \f(\r(3)mv,2qa) (3)eq \f(4\r(3)πa,9v)
解析 (1)由左手定则可知粒子带负电，轨迹如图所示
由几何关系有rsin 60°＝a
解得r＝eq \f(2\r(3),3)a
(2)由洛伦兹力提供向心力有qvB＝meq \f(v2,r)
解得B＝eq \f(\r(3)mv,2qa)
(3)粒子的周期为T＝eq \f(2πr,v)，带电粒子穿过第一象限所用的时间为t＝eq \f(120°,360°)T＝eq \f(1,3)T＝eq \f(4\r(3)πa,9v)。
9．(2023·北京理工大学附属中学高二上期末)光滑绝缘水平桌面上存在与桌面垂直方向的匀强磁场，有一带电粒子在桌面上做匀速圆周运动，当它运动到M点，突然与一不带电的静止粒子发生正碰合为一体(碰撞时间极短)，则粒子的运动轨迹应是图中的哪一个(实线为原轨迹，虚线为碰后轨迹)( )
答案 A
解析 带电粒子在水平方向做匀速圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，由向心力公式得qvB＝eq \f(mv2,r)，解得r＝eq \f(mv,qB)，当带电粒子运动到M点，突然与一不带电的静止粒子发生正碰合为一体，动量不变，电荷量不变，磁感应强度不变，带电粒子做圆周运动的半径不变，故A正确，B、C、D错误。
10.(2019·全国卷Ⅲ)如图，在坐标系的第一和第二象限内存在磁感应强度大小分别为eq \f(1,2)B和B、方向均垂直于纸面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子垂直于x轴射入第二象限，随后垂直于y轴进入第一象限，最后经过x轴离开第一象限。粒子在磁场中运动的时间为( )
A.eq \f(5πm,6qB) B.eq \f(7πm,6qB) C.eq \f(11πm,6qB) D.eq \f(13πm,6qB)
答案 B
解析 设带电粒子进入第二象限的速度为v，在第二象限和第一象限中运动的轨迹如图所示，对应的轨迹半径分别为R1和R2，由洛伦兹力提供向心力，有qvB＝meq \f(v2,R)、T＝eq \f(2πR,v)，可得R1＝eq \f(mv,qB)、R2＝eq \f(2mv,qB)、T1＝eq \f(2πm,qB)、T2＝eq \f(4πm,qB)，带电粒子在第二象限中运动的时间为t1＝eq \f(T1,4)，在第一象限中运动的时间为t2＝eq \f(θ,2π)T2，又由几何关系有cs θ＝eq \f(R2－R1,R2)＝eq \f(1,2)，可得t2＝eq \f(T2,6)，则粒子在磁场中运动的时间为t＝t1＋t2，联立以上各式解得t＝eq \f(7πm,6qB)，选项B正确，A、C、D错误。
11.如图，在直角三角形OPN区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外。一带正电的粒子从静止开始经电压U加速后，沿平行于x轴的方向射入磁场；一段时间后，该粒子在OP边上某点以垂直于x轴的方向射出。已知O点为坐标原点，N点在y轴上，OP与x轴的夹角为30°，粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为d，不计重力。求：
(1)带电粒子的比荷；
(2)带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间。
答案 (1)eq \f(4U ,B2d2) (2)eq \f(Bd2,4U)(eq \f(π,2)＋eq \f(\r(3),3))
解析 (1)设带电粒子的质量为m，电荷量为q，加速后的速度大小为v。由动能定理有qU＝eq \f(1,2)mv2
粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹如图所示，设粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为r，由洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力有
qvB＝meq \f(v2,r)
由几何关系知d＝eq \r(2)r
得eq \f(q,m)＝eq \f(4U,B2d2)
(2)由几何关系知，带电粒子从射入磁场到运动到x轴经过的路程为
s＝eq \f(πr,2)＋rtan 30°
带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间为
t＝eq \f(s,v)
得t＝eq \f(Bd2,4U)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\f(\r(3),3)))。
12.(2020·江苏卷改编)空间存在两个垂直于Oxy平面的匀强磁场，y轴为两磁场的边界，磁感应强度分别为2B0、3B0。质量为m、带电荷量为q的粒子从原点O沿x轴正向射入磁场，速度为v。粒子第1次、第2次经过y轴的位置分别为P、Q，其轨迹如图所示。不考虑粒子重力影响。求：
(1)Q到O的距离d；
(2)粒子两次经过P点的时间间隔Δt。
答案 (1)eq \f(mv,3qB0) (2)eq \f(2πm,qB0)
解析 (1)粒子先后在两磁场中做匀速圆周运动，设半径分别为r1、r2
由qvB＝meq \f(v2,r)可知r＝eq \f(mv,qB)
故r1＝eq \f(mv,2qB0)，r2＝eq \f(mv,3qB0)
且d＝2r1－2r2，解得d＝eq \f(mv,3qB0)
(2)粒子先后在两磁场中做匀速圆周运动，设运动时间分别为t1、t2
由T＝eq \f(2πr,v)＝eq \f(2πm,qB)得t1＝eq \f(πm,2qB0)，t2＝eq \f(πm,3qB0)，
且Δt＝2t1＋3t2
解得Δt＝eq \f(2πm,qB0)。
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