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- 第01讲 二次根式的概念（2个知识点+3类热点题型讲练+习题巩固）-2023-2024学年八年级数学下册高效导与练（人教版） 试卷 1 次下载
- 第02讲 二次根式的性质（3个知识点+4类热点题型讲练+习题巩固）-2023-2024学年八年级数学下册高效导与练（人教版） 试卷 1 次下载
- 第04讲 二次根式的加减法（3个知识点+5类热点题型讲练+习题巩固）-2023-2024学年八年级数学下册高效导与练（人教版） 试卷 1 次下载
- 第05讲 二次根式易错易混专题集训-2023-2024学年八年级数学下册高效导与练（人教版） 试卷 1 次下载
- 第06讲 二次根式的混合运算与化简求值-2023-2024学年八年级数学下册高效导与练（人教版） 试卷 1 次下载
初中数学人教版八年级下册16.2 二次根式的乘除优秀同步训练题
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这是一份初中数学人教版八年级下册16.2 二次根式的乘除优秀同步训练题，文件包含第03讲二次根式的乘除法6个知识点+6类热点题型讲练+习题巩固解析版docx、第03讲二次根式的乘除法6个知识点+6类热点题型讲练+习题巩固docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共32页， 欢迎下载使用。
知识点01 二次根式的乘法法则
二次根式的乘法法则：
。
拓展：
【即学即练1】
1．计算：＝ ．
【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算．
【解答】解：＝，
故答案为：．
知识点02 积的算术平方根的性质
积的算术平方根的性质：
两个非负数的积的算术平方根等于 这两个非负数的算术平方根的积 。即 。
【即学即练1】
2．化简．
（1）．
（2）•（a≥0）．
（3）•．
【分析】原式各项利用二次根式的乘法法则计算，化为最简即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝＝6；
（2）∵a≥0，
∴原式＝＝|4a|＝4a；
（3）原式＝6＝30．
知识点03 二次根式的除法法则
二次根式的除法法则：
拓展：
【即学即练1】
3．下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次根式的除法法则计算．
【解答】解：A、，不符合题意；
B、，符合题意；
C、，不符合题意；
D、，不符合题意；
故选：B．
知识点04 商的算术平方根与分母有理化
商的算术平方根的性质：
分母有理化：
，分子分母所乘的式子叫做分母的有理化因式。
【即学即练1】
4．化简：
（1） （2） （3） （4）
（5） （6） （7）÷．
【分析】（1）直接进行化简即可；
（2）直接进行化简即可；
（3）先进行加法运算，然后进行化简即可；
（4）先计算根号下的数值，然后进行化简即可；
（5）先计算根号下的数值，然后进行化简即可；
（6）先进行除法运算，然后进行化简；
（7）先进行除法运算，然后进行化简．
【解答】解：（1）原式＝；
（2）原式＝；
（3）原式＝＝；
（4）原式＝＝；
（5）原式＝＝；
（6）原式＝＝2；
（7）原式＝＝3．
知识点05 最简二次根式
最简二次根式满足的三个条件：
①被开方数不含开方开的尽的数。
②根号下面不含分母。
③分母里面不含根号。
化简二次根式：
利用积的算术平方根与商的算术平方根以及二次根式的性质进行化简。
【即学即练1】
5．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可．
【解答】解：A，B选项的被开方数含有分母，故不符合题意；
C选项，是最简二次根式，故该选项符合题意；
D选项，＝2，故该选项不符合题意；
故选：C．
【即学即练2】
6．把下列各式化成最简二次根式：
（1）； （2）； （3）； （4）．
【分析】（1）根据二次根式的性质进行化简即可；
（2）根据二次根式的性质，和分母有理化，进行化简即可；
（3）根据二次根式的性质，和分母有理化，进行化简即可；
（4）根据二次根式的性质进行化简即可．
【解答】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【即学即练3】
7．的一个有理化因式是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据有理化因式的定义进行判断．
【解答】解：的有理化因式可以为．
故选：A．
【即学即练4】
8．﹣的有理化因式可以是（ ）
A．﹣B．+C．D．
【分析】一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子，据此作答．
【解答】解：+与﹣互为有理化因式．
故选：B．
【即学即练5】
9．计算＝ ﹣﹣2 ．
【分析】直接利用二次根式的性质找出有理化因式，进而计算得出答案．
【解答】解：
＝
＝
＝﹣﹣2．
故答案为：﹣﹣2．
知识点06 二次根式的乘除混合运算
二次根式的混合运算步骤：
①将算式中的除法转化成乘法。
②将根号前面的系数和被开方数分别相乘。
③化成最简二次根式。
【即学即练1】
10．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据二次根式乘除法运算法则进行计算；
（2）根据二次根式乘除法运算法则进行计算．
【解答】解：（1）原式＝×
＝；
（2）原式＝3×8x2
＝24x2
＝24x2
＝24x2•
＝24y2．
题型01 最简二次根式的判断
【典例1】下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式分析即可．
【解答】解：A、是最简二次根式，符合题意；
B、，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，不是最简二次根式，不符合题意．
故选：A．
【变式1】下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可．
【解答】解：A、故该选项不符合题意；
B、原式＝3，故该选项不符合题意；
C、原式是最简二次根式，故该选项符合题意；
D、原式＝＝|a+1|，故该选项不符合题意；
故选：C．
【变式2】下列各式：①，②，③，④中，最简二次根式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】利用最简二次根式的概念分析得出答案．
【解答】解：①是最简二次根式；
②＝，不是最简二次根式；
③＝2，不是最简二次根式；
④＝，不是最简二次根式；
最简二次根式有1个，
故选：A．
【变式3】下列二次根式中：，，，，，属于最简二次根式的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【解答】解：、是最简二次根式，
＝＝|x﹣1|，＝，＝12不是最简二次根式，
故选：B．
题型02 分母有理化因式
【典例1】下列二次根式中，与互为有理化因式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接根据有理化因式的定义得出答案．
【解答】解：∵，
∴二次根式的有理化因式是：．
故选：A．
【变式1】下列式子中，是的有理化因式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用平方差公式和有理化因式的意义解答即可．
【解答】解：∵（）（a﹣b）＝a2x﹣b2y，
∴的有理化因式为a﹣b．
故选：A．
【变式2】已知a＝，b＝2+，则a，b的关系是（ ）
A．相等B．互为相反数
C．互为倒数D．互为有理化因式
【分析】求出a与b的值即可求出答案．
【解答】解：∵a＝＝+2，b＝2+，
∴a＝b，
故选：A．
题型03 二次根式的化简
【典例1】将化成最简二次根式为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据最简二次根式的定义解答即可．
【解答】解：＝2．
故选：C．
【变式1】将化成最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：＝＝＝．
故选：A．
【变式2】若xy＜0，则化简后的结果是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式有意义可得出y≥0，再由xy＜0，得出x＜0，y＞0，从而化简即可．
【解答】解：∵x2y≥0，
∴y≥0，
∵xy＜0，
∴x＜0，y＞0，
∴＝﹣x．
故选：D．
【变式3】化简二次根式（x＜0），得（ ）
A．B．C．D．
【分析】先把被开方数的分母变成平方的形式，再根据二次根式的性质开出来即可．
【解答】解：∵x＜0，
∴＝＝﹣，
故选：C．
【变式4】化简的结果为（ ）
A．2+B．2﹣C．﹣2+D．﹣2﹣
【分析】分子和分母都乘以2+，再求出即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝2+．
故选：A．
题型04 二次根式的还原型化简
【典例1】化简二次根式得（ ）
A．B．C．D．
【分析】先判断出3﹣x＞0，再由二次根式的性质即可得出结论．
【解答】解：∵二次根式有意义，
∴3﹣x＞0，
＝
＝
＝
＝
故选：C．
【变式1】把（a﹣b）（a＜b）化成最简二次根式，正确的是（ ）
A．B．C．﹣D．﹣
【分析】根据二次根式的性质，可得答案．
【解答】解：（a﹣b）得a﹣b＜0，
（a﹣b）＝﹣＝﹣，
故选：C．
【变式2】已知xy＞0，化简代数式结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式有意义即被开方数为非负数，结合已知xy＞0判断出x＜0，y＜0，然后化简即可．
【解答】解：∵xy＞0，
∴x≠0，y≠0，
∴，
∵x2＞0，
∴y＜0，
∴x＜0，
∴，
故选：D．
【变式3】化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用二次根式的形式进行化简即可．
【解答】解：由题意可得：m﹣1＜0，
则原式＝﹣＝﹣，
故选：B．
题型05 利用二次根式的化简求值
【典例1】已知是整数，非负整数n的最小值是（ ）
A．4B．3C．2D．0
【分析】根据是整数，得到2n是完全平方数，再利用二次根式有意义的条件即可得到答案．
【解答】解：∵，且是整数，
∴是整数，即2n是完全平方数，
∴2n≥0，
∴n的最小非负整数值为0，
故选：D．
【变式1】若是整数，则正整数a的最小值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】先将54写成平方数乘以非平方数的形式，再根据二次根式的基本性质即可确定出a的最小整数值．
【解答】解：；
由是整数，得a最小值为6，
故选：C．
【变式2】已知是整数，则自然数m的最小值是（ ）
A．2B．4C．8D．11
【分析】根据算术平方根的定义可得被开方数是16，进而求出答案．
【解答】解：若是整数，则自然数m的最小值是4，
故选：B．
【变式3】已知是正整数，则实数n的最大值为（ ）
A．2022B．2023C．2024D．2025
【分析】根据是正整数和n最大得出2023﹣n＝1，再求出n即可．
【解答】解：∵是正整数，n为最大值，
∴2023﹣n＝1，
解得：n＝2022，
故选：A．
题型06 二次根式的乘除运算
【典例1】计算÷× 的结果是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的乘除法运算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝
＝
＝，
故选：D．
【变式1】下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据算术平方根的定义和性质计算即可．
【解答】解：A． ，故该选项错误；
B． ，故该选项正确；
C． ，故该选项错误；
D． ，故该选项错误；
故选：B．
【变式2】计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）根据二次根式的乘法和除法法则进行计算即可；
（2）根据二次根式的乘法和除法法则进行计算即可；
（3）根据二次根式的乘法和除法法则进行计算即可．
【解答】解：（1）×
＝2÷3×3
＝2×
＝2；
（2）×
＝÷×
＝
＝
＝1；
（3）×4÷（）
＝
＝3
＝3×6
＝18．
【变式3】计算：．
【分析】利用二次根式的乘除法则及性质计算即可．
【解答】解：原式＝b•（﹣a）÷
＝b•（﹣a）•
＝﹣（b•a•）•（••）
＝﹣a•a
＝﹣a2．
1．下列各式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用最简二次根式定义判断即可．
【解答】解：A、是最简二次根式，符合题意；
B、原式＝a|b|，不符合题意；
C、原式＝2，不符合题意；
D、原式＝，不符合题意．
故选：A．
2．将化成最简二次根式的结果为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据最简二次根式定义进行化简即可．
【解答】解：＝＝×＝5．
故选：A．
3．下列等式不成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则化简得出答案．
【解答】解：A．÷＝2，故此选项不合题意；
B．×＝6，故此选项不合题意；
C．＝2，故此选项不合题意；
D．＝，故此选项符合题意．
故选：D．
4．下列各等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、4×2＝40，故A不符合题意；
B、4×3＝12，故B不符合题意；
C、3×4＝12，故C不符合题意；
D、4×2＝8，故D符合题意；
故选：D．
5．的有理化因式是（ ）
A．B．C．D．
【分析】找出所求有理化因式即可．
【解答】解：的有理数因式是，
故选：A．
6．若a＝1+，b＝，则a与b的关系是（ ）
A．互为相反数B．互为倒数
C．相等D．互为负倒数
【分析】把b＝的分子分母同乘（1+），进一步化简与a比较得出结论即可．
【解答】解：b＝＝＝﹣（1+），a＝1+，
∴a与b互为相反数．
故选：A．
7．如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①＝，②•＝1，③÷＝﹣b，其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
【分析】先根据题意判断出a，b的符号，再对各小题进行解答即可．
【解答】解：∵ab＞0，a+b＜0，
∴a＜0，b＜0，
∴①＝，原计算错误；
②•＝＝1，正确；
③÷＝＝＝﹣b，正确．
故选：B．
8．在将式子（m＞0）化简时，
小明的方法是：；
小亮的方法是：；
小丽的方法是：．
则下列说法正确的是（ ）
A．小明、小亮的方法正确，小丽的方法不正确
B．小明、小丽的方法正确，小亮的方法不正确
C．小明、小亮、小丽的方法都正确
D．小明、小丽、小亮的方法都不正确
【分析】小明的方法为原式分子分母乘以有理化因式，化简得到结果；小亮的方法为将分子利用二次根式性质化简，约分即可得到结果；小丽得方法为分子利用二次根式性质化简，再利用二次根式除法法则逆运算变形，计算即可得到结果．
【解答】解：在将式子（m＞0）化简时，
小明的方法是：＝＝＝，正确；
小亮的方法是：＝＝，正确；
小丽的方法是：＝＝＝，正确，
则小明、小亮、小丽的方法都正确．
故选：C．
9．若是整数，则正整数n的最小值是（ ）
A．3B．7C．9D．63
【分析】因为是整数，且＝3，则7n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为7．
【解答】解：∵＝3，且是整数；
∴3是整数，即7n是完全平方数；
∴n的最小正整数值为7．
故选：B．
10．若x＝，y＝5﹣，则x•y的值为（ ）
A．5﹣5B．5﹣5C．5﹣2D．﹣
【分析】根据二次根式的乘法运算即可求出答案．
【解答】解：原式＝（5﹣）
＝5﹣5，
故选：A．
11．下列各式，，，中，是最简二次根式的有 ．
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【解答】解：＝，不是最简二次根式；
是最简二次根式；
＝3，不是最简二次根式；
＝＝，不是最简二次根式；
所以最简二次根式有．
故答案为：．
12．计算：÷×＝ ．
【分析】利用二次根式的乘除法则计算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝，
故答案为：．
13．若最简二次根式与最简二次根式相等，则m+n＝ 8 ．
【分析】根据最简二次根式的定义可得n﹣1＝2，2n+1＝4n﹣m，从而可得n＝3，m＝5，然后代入式子中，进行计算即可解答．
【解答】解：∵最简二次根式与最简二次根式相等，
∴n﹣1＝2，2n+1＝4n﹣m，
解得：n＝3，m＝5，
∴m+n＝8，
故答案为：8．
14．已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值3×7＝21．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为 2 ．
【分析】根据n为正整数，是大于1的整数，先求出n的值可以为2、8、32，128，再结合是大于1的整数来求解．
【解答】解：∵，是大于1的整数，
∴．
∵n为正整数，
∴n的值可以为2、8、32，128，
n的最小值是2，
故答案为：2．
15．已知m＝，n＝，则（m﹣1）•（n﹣1）＝ ﹣2 ．
【分析】先化简m、n，求出m+n、mn，再将所求式子变形，代入即可算得答案．
【解答】解：∵m＝＝＝，
n＝＝＝，
∴mn＝1．m+n＝2，
∴（m﹣1）•（n﹣1）
＝mn﹣（m+n）+1
＝1﹣2+1
＝﹣2．
故答案为：﹣2．
16．计算：
（1）；
（2）．
（3）．
【分析】（1）根据二次根式的乘法运算即可求出答案．
根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案．
（3）根据二次根式的乘除混合运算法则进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝××（﹣27）
＝××（﹣27）
＝×（﹣27）
＝﹣45．
（2）原式＝×÷（﹣）
＝÷（﹣）
＝×（﹣）
＝﹣．
（3）
＝
＝
＝
＝
＝．
17．（1）若＝﹣1﹣x，则x的取值范围为 x≤﹣1 ；
（2）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简﹣|c﹣a|+．
【分析】（1）根据二次根式的性质得出﹣1﹣x≥0，从而求出x的取值范围；
（2）由数轴得，a＜b＜0＜c，进一步得出c﹣a＞0，b﹣c＜0，再根据二次根式的性质化简即可．
【解答】解：（1）∵，
∴﹣1﹣x≥0，
∴x≤﹣1，
故答案为：x≤﹣1；
（2）由数轴得，a＜b＜0＜c，
∴c﹣a＞0，b﹣c＜0，
∴
＝﹣a﹣（c﹣a）+（c﹣b）
＝﹣a﹣c+a+c﹣b
＝﹣b．
18．已知 ，，求下列代数式的值．
（1）x2﹣2xy+y2．
（2）．
【分析】（1）先将x，y进行分母有理化，然后根据完全平方公式，即可；
（2）先将x，y进行分母有理化，再求出x+y和xy的值，然后根据完全平方公式求出x2+y2，再将所求式子变形为，再整体代入即可．
【解答】解：（1）∵＝2+，＝2﹣，
∴x2﹣2xy+y2
＝（x﹣y）2
＝[（2+）﹣（2﹣）]2
＝（2）2
＝12；
（2）∵＝2+，＝2﹣，
∴xy＝（2+）（2﹣）＝1，
（x+y）2＝[（2+）+（2﹣）]2＝16，
∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝16﹣2×1＝14，
∴．
19．先阅读下列材料，再解决问题：
阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．
例如：＝＝＝＝||＝1+．
解决问题：
化简下列各式：
（1）；
（2）．
【分析】（1）将被开方数配成完全平方和的形式并开方即可；
（2）将被开方数配成完全平方差的形式并开方即可．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝
＝1+；
（2）
＝
＝
＝
＝﹣2．
20．阅读下面问题：
＝＝﹣1；
＝＝﹣；
＝＝﹣2．
（1）求的值；
（2）计算：+++…++．
【分析】（1）原式根据阅读材料中的方法变形即可得到结果；
（2）原式各项变形后，抵消合并即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝＝﹣；
（2）原式＝﹣1+﹣+…+﹣+﹣＝10﹣1＝9．
课程标准
学习目标
①二次根式的乘除法法则
②积与商的算术平方根的性质
③最简二次根式
掌握二次根式的乘除法运算法则，能够熟练的对二次根式进行乘除法运算。
掌握积与商的算术平方根的性质，能够熟练的运用其化简。
掌握最简二次根式的概念
知识点01 二次根式的乘法法则
二次根式的乘法法则：
。
拓展：
【即学即练1】
1．计算：＝ ．
【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算．
【解答】解：＝，
故答案为：．
知识点02 积的算术平方根的性质
积的算术平方根的性质：
两个非负数的积的算术平方根等于 这两个非负数的算术平方根的积 。即 。
【即学即练1】
2．化简．
（1）．
（2）•（a≥0）．
（3）•．
【分析】原式各项利用二次根式的乘法法则计算，化为最简即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝＝6；
（2）∵a≥0，
∴原式＝＝|4a|＝4a；
（3）原式＝6＝30．
知识点03 二次根式的除法法则
二次根式的除法法则：
拓展：
【即学即练1】
3．下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次根式的除法法则计算．
【解答】解：A、，不符合题意；
B、，符合题意；
C、，不符合题意；
D、，不符合题意；
故选：B．
知识点04 商的算术平方根与分母有理化
商的算术平方根的性质：
分母有理化：
，分子分母所乘的式子叫做分母的有理化因式。
【即学即练1】
4．化简：
（1） （2） （3） （4）
（5） （6） （7）÷．
【分析】（1）直接进行化简即可；
（2）直接进行化简即可；
（3）先进行加法运算，然后进行化简即可；
（4）先计算根号下的数值，然后进行化简即可；
（5）先计算根号下的数值，然后进行化简即可；
（6）先进行除法运算，然后进行化简；
（7）先进行除法运算，然后进行化简．
【解答】解：（1）原式＝；
（2）原式＝；
（3）原式＝＝；
（4）原式＝＝；
（5）原式＝＝；
（6）原式＝＝2；
（7）原式＝＝3．
知识点05 最简二次根式
最简二次根式满足的三个条件：
①被开方数不含开方开的尽的数。
②根号下面不含分母。
③分母里面不含根号。
化简二次根式：
利用积的算术平方根与商的算术平方根以及二次根式的性质进行化简。
【即学即练1】
5．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可．
【解答】解：A，B选项的被开方数含有分母，故不符合题意；
C选项，是最简二次根式，故该选项符合题意；
D选项，＝2，故该选项不符合题意；
故选：C．
【即学即练2】
6．把下列各式化成最简二次根式：
（1）； （2）； （3）； （4）．
【分析】（1）根据二次根式的性质进行化简即可；
（2）根据二次根式的性质，和分母有理化，进行化简即可；
（3）根据二次根式的性质，和分母有理化，进行化简即可；
（4）根据二次根式的性质进行化简即可．
【解答】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【即学即练3】
7．的一个有理化因式是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据有理化因式的定义进行判断．
【解答】解：的有理化因式可以为．
故选：A．
【即学即练4】
8．﹣的有理化因式可以是（ ）
A．﹣B．+C．D．
【分析】一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子，据此作答．
【解答】解：+与﹣互为有理化因式．
故选：B．
【即学即练5】
9．计算＝ ﹣﹣2 ．
【分析】直接利用二次根式的性质找出有理化因式，进而计算得出答案．
【解答】解：
＝
＝
＝﹣﹣2．
故答案为：﹣﹣2．
知识点06 二次根式的乘除混合运算
二次根式的混合运算步骤：
①将算式中的除法转化成乘法。
②将根号前面的系数和被开方数分别相乘。
③化成最简二次根式。
【即学即练1】
10．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据二次根式乘除法运算法则进行计算；
（2）根据二次根式乘除法运算法则进行计算．
【解答】解：（1）原式＝×
＝；
（2）原式＝3×8x2
＝24x2
＝24x2
＝24x2•
＝24y2．
题型01 最简二次根式的判断
【典例1】下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式分析即可．
【解答】解：A、是最简二次根式，符合题意；
B、，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，不是最简二次根式，不符合题意．
故选：A．
【变式1】下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可．
【解答】解：A、故该选项不符合题意；
B、原式＝3，故该选项不符合题意；
C、原式是最简二次根式，故该选项符合题意；
D、原式＝＝|a+1|，故该选项不符合题意；
故选：C．
【变式2】下列各式：①，②，③，④中，最简二次根式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】利用最简二次根式的概念分析得出答案．
【解答】解：①是最简二次根式；
②＝，不是最简二次根式；
③＝2，不是最简二次根式；
④＝，不是最简二次根式；
最简二次根式有1个，
故选：A．
【变式3】下列二次根式中：，，，，，属于最简二次根式的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【解答】解：、是最简二次根式，
＝＝|x﹣1|，＝，＝12不是最简二次根式，
故选：B．
题型02 分母有理化因式
【典例1】下列二次根式中，与互为有理化因式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接根据有理化因式的定义得出答案．
【解答】解：∵，
∴二次根式的有理化因式是：．
故选：A．
【变式1】下列式子中，是的有理化因式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用平方差公式和有理化因式的意义解答即可．
【解答】解：∵（）（a﹣b）＝a2x﹣b2y，
∴的有理化因式为a﹣b．
故选：A．
【变式2】已知a＝，b＝2+，则a，b的关系是（ ）
A．相等B．互为相反数
C．互为倒数D．互为有理化因式
【分析】求出a与b的值即可求出答案．
【解答】解：∵a＝＝+2，b＝2+，
∴a＝b，
故选：A．
题型03 二次根式的化简
【典例1】将化成最简二次根式为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据最简二次根式的定义解答即可．
【解答】解：＝2．
故选：C．
【变式1】将化成最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：＝＝＝．
故选：A．
【变式2】若xy＜0，则化简后的结果是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式有意义可得出y≥0，再由xy＜0，得出x＜0，y＞0，从而化简即可．
【解答】解：∵x2y≥0，
∴y≥0，
∵xy＜0，
∴x＜0，y＞0，
∴＝﹣x．
故选：D．
【变式3】化简二次根式（x＜0），得（ ）
A．B．C．D．
【分析】先把被开方数的分母变成平方的形式，再根据二次根式的性质开出来即可．
【解答】解：∵x＜0，
∴＝＝﹣，
故选：C．
【变式4】化简的结果为（ ）
A．2+B．2﹣C．﹣2+D．﹣2﹣
【分析】分子和分母都乘以2+，再求出即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝2+．
故选：A．
题型04 二次根式的还原型化简
【典例1】化简二次根式得（ ）
A．B．C．D．
【分析】先判断出3﹣x＞0，再由二次根式的性质即可得出结论．
【解答】解：∵二次根式有意义，
∴3﹣x＞0，
＝
＝
＝
＝
故选：C．
【变式1】把（a﹣b）（a＜b）化成最简二次根式，正确的是（ ）
A．B．C．﹣D．﹣
【分析】根据二次根式的性质，可得答案．
【解答】解：（a﹣b）得a﹣b＜0，
（a﹣b）＝﹣＝﹣，
故选：C．
【变式2】已知xy＞0，化简代数式结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式有意义即被开方数为非负数，结合已知xy＞0判断出x＜0，y＜0，然后化简即可．
【解答】解：∵xy＞0，
∴x≠0，y≠0，
∴，
∵x2＞0，
∴y＜0，
∴x＜0，
∴，
故选：D．
【变式3】化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用二次根式的形式进行化简即可．
【解答】解：由题意可得：m﹣1＜0，
则原式＝﹣＝﹣，
故选：B．
题型05 利用二次根式的化简求值
【典例1】已知是整数，非负整数n的最小值是（ ）
A．4B．3C．2D．0
【分析】根据是整数，得到2n是完全平方数，再利用二次根式有意义的条件即可得到答案．
【解答】解：∵，且是整数，
∴是整数，即2n是完全平方数，
∴2n≥0，
∴n的最小非负整数值为0，
故选：D．
【变式1】若是整数，则正整数a的最小值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】先将54写成平方数乘以非平方数的形式，再根据二次根式的基本性质即可确定出a的最小整数值．
【解答】解：；
由是整数，得a最小值为6，
故选：C．
【变式2】已知是整数，则自然数m的最小值是（ ）
A．2B．4C．8D．11
【分析】根据算术平方根的定义可得被开方数是16，进而求出答案．
【解答】解：若是整数，则自然数m的最小值是4，
故选：B．
【变式3】已知是正整数，则实数n的最大值为（ ）
A．2022B．2023C．2024D．2025
【分析】根据是正整数和n最大得出2023﹣n＝1，再求出n即可．
【解答】解：∵是正整数，n为最大值，
∴2023﹣n＝1，
解得：n＝2022，
故选：A．
题型06 二次根式的乘除运算
【典例1】计算÷× 的结果是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的乘除法运算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝
＝
＝，
故选：D．
【变式1】下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据算术平方根的定义和性质计算即可．
【解答】解：A． ，故该选项错误；
B． ，故该选项正确；
C． ，故该选项错误；
D． ，故该选项错误；
故选：B．
【变式2】计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）根据二次根式的乘法和除法法则进行计算即可；
（2）根据二次根式的乘法和除法法则进行计算即可；
（3）根据二次根式的乘法和除法法则进行计算即可．
【解答】解：（1）×
＝2÷3×3
＝2×
＝2；
（2）×
＝÷×
＝
＝
＝1；
（3）×4÷（）
＝
＝3
＝3×6
＝18．
【变式3】计算：．
【分析】利用二次根式的乘除法则及性质计算即可．
【解答】解：原式＝b•（﹣a）÷
＝b•（﹣a）•
＝﹣（b•a•）•（••）
＝﹣a•a
＝﹣a2．
1．下列各式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用最简二次根式定义判断即可．
【解答】解：A、是最简二次根式，符合题意；
B、原式＝a|b|，不符合题意；
C、原式＝2，不符合题意；
D、原式＝，不符合题意．
故选：A．
2．将化成最简二次根式的结果为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据最简二次根式定义进行化简即可．
【解答】解：＝＝×＝5．
故选：A．
3．下列等式不成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则化简得出答案．
【解答】解：A．÷＝2，故此选项不合题意；
B．×＝6，故此选项不合题意；
C．＝2，故此选项不合题意；
D．＝，故此选项符合题意．
故选：D．
4．下列各等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、4×2＝40，故A不符合题意；
B、4×3＝12，故B不符合题意；
C、3×4＝12，故C不符合题意；
D、4×2＝8，故D符合题意；
故选：D．
5．的有理化因式是（ ）
A．B．C．D．
【分析】找出所求有理化因式即可．
【解答】解：的有理数因式是，
故选：A．
6．若a＝1+，b＝，则a与b的关系是（ ）
A．互为相反数B．互为倒数
C．相等D．互为负倒数
【分析】把b＝的分子分母同乘（1+），进一步化简与a比较得出结论即可．
【解答】解：b＝＝＝﹣（1+），a＝1+，
∴a与b互为相反数．
故选：A．
7．如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①＝，②•＝1，③÷＝﹣b，其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
【分析】先根据题意判断出a，b的符号，再对各小题进行解答即可．
【解答】解：∵ab＞0，a+b＜0，
∴a＜0，b＜0，
∴①＝，原计算错误；
②•＝＝1，正确；
③÷＝＝＝﹣b，正确．
故选：B．
8．在将式子（m＞0）化简时，
小明的方法是：；
小亮的方法是：；
小丽的方法是：．
则下列说法正确的是（ ）
A．小明、小亮的方法正确，小丽的方法不正确
B．小明、小丽的方法正确，小亮的方法不正确
C．小明、小亮、小丽的方法都正确
D．小明、小丽、小亮的方法都不正确
【分析】小明的方法为原式分子分母乘以有理化因式，化简得到结果；小亮的方法为将分子利用二次根式性质化简，约分即可得到结果；小丽得方法为分子利用二次根式性质化简，再利用二次根式除法法则逆运算变形，计算即可得到结果．
【解答】解：在将式子（m＞0）化简时，
小明的方法是：＝＝＝，正确；
小亮的方法是：＝＝，正确；
小丽的方法是：＝＝＝，正确，
则小明、小亮、小丽的方法都正确．
故选：C．
9．若是整数，则正整数n的最小值是（ ）
A．3B．7C．9D．63
【分析】因为是整数，且＝3，则7n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为7．
【解答】解：∵＝3，且是整数；
∴3是整数，即7n是完全平方数；
∴n的最小正整数值为7．
故选：B．
10．若x＝，y＝5﹣，则x•y的值为（ ）
A．5﹣5B．5﹣5C．5﹣2D．﹣
【分析】根据二次根式的乘法运算即可求出答案．
【解答】解：原式＝（5﹣）
＝5﹣5，
故选：A．
11．下列各式，，，中，是最简二次根式的有 ．
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【解答】解：＝，不是最简二次根式；
是最简二次根式；
＝3，不是最简二次根式；
＝＝，不是最简二次根式；
所以最简二次根式有．
故答案为：．
12．计算：÷×＝ ．
【分析】利用二次根式的乘除法则计算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝，
故答案为：．
13．若最简二次根式与最简二次根式相等，则m+n＝ 8 ．
【分析】根据最简二次根式的定义可得n﹣1＝2，2n+1＝4n﹣m，从而可得n＝3，m＝5，然后代入式子中，进行计算即可解答．
【解答】解：∵最简二次根式与最简二次根式相等，
∴n﹣1＝2，2n+1＝4n﹣m，
解得：n＝3，m＝5，
∴m+n＝8，
故答案为：8．
14．已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值3×7＝21．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为 2 ．
【分析】根据n为正整数，是大于1的整数，先求出n的值可以为2、8、32，128，再结合是大于1的整数来求解．
【解答】解：∵，是大于1的整数，
∴．
∵n为正整数，
∴n的值可以为2、8、32，128，
n的最小值是2，
故答案为：2．
15．已知m＝，n＝，则（m﹣1）•（n﹣1）＝ ﹣2 ．
【分析】先化简m、n，求出m+n、mn，再将所求式子变形，代入即可算得答案．
【解答】解：∵m＝＝＝，
n＝＝＝，
∴mn＝1．m+n＝2，
∴（m﹣1）•（n﹣1）
＝mn﹣（m+n）+1
＝1﹣2+1
＝﹣2．
故答案为：﹣2．
16．计算：
（1）；
（2）．
（3）．
【分析】（1）根据二次根式的乘法运算即可求出答案．
根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案．
（3）根据二次根式的乘除混合运算法则进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝××（﹣27）
＝××（﹣27）
＝×（﹣27）
＝﹣45．
（2）原式＝×÷（﹣）
＝÷（﹣）
＝×（﹣）
＝﹣．
（3）
＝
＝
＝
＝
＝．
17．（1）若＝﹣1﹣x，则x的取值范围为 x≤﹣1 ；
（2）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简﹣|c﹣a|+．
【分析】（1）根据二次根式的性质得出﹣1﹣x≥0，从而求出x的取值范围；
（2）由数轴得，a＜b＜0＜c，进一步得出c﹣a＞0，b﹣c＜0，再根据二次根式的性质化简即可．
【解答】解：（1）∵，
∴﹣1﹣x≥0，
∴x≤﹣1，
故答案为：x≤﹣1；
（2）由数轴得，a＜b＜0＜c，
∴c﹣a＞0，b﹣c＜0，
∴
＝﹣a﹣（c﹣a）+（c﹣b）
＝﹣a﹣c+a+c﹣b
＝﹣b．
18．已知 ，，求下列代数式的值．
（1）x2﹣2xy+y2．
（2）．
【分析】（1）先将x，y进行分母有理化，然后根据完全平方公式，即可；
（2）先将x，y进行分母有理化，再求出x+y和xy的值，然后根据完全平方公式求出x2+y2，再将所求式子变形为，再整体代入即可．
【解答】解：（1）∵＝2+，＝2﹣，
∴x2﹣2xy+y2
＝（x﹣y）2
＝[（2+）﹣（2﹣）]2
＝（2）2
＝12；
（2）∵＝2+，＝2﹣，
∴xy＝（2+）（2﹣）＝1，
（x+y）2＝[（2+）+（2﹣）]2＝16，
∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝16﹣2×1＝14，
∴．
19．先阅读下列材料，再解决问题：
阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．
例如：＝＝＝＝||＝1+．
解决问题：
化简下列各式：
（1）；
（2）．
【分析】（1）将被开方数配成完全平方和的形式并开方即可；
（2）将被开方数配成完全平方差的形式并开方即可．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝
＝1+；
（2）
＝
＝
＝
＝﹣2．
20．阅读下面问题：
＝＝﹣1；
＝＝﹣；
＝＝﹣2．
（1）求的值；
（2）计算：+++…++．
【分析】（1）原式根据阅读材料中的方法变形即可得到结果；
（2）原式各项变形后，抵消合并即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝＝﹣；
（2）原式＝﹣1+﹣+…+﹣+﹣＝10﹣1＝9．
课程标准
学习目标
①二次根式的乘除法法则
②积与商的算术平方根的性质
③最简二次根式
掌握二次根式的乘除法运算法则，能够熟练的对二次根式进行乘除法运算。
掌握积与商的算术平方根的性质，能够熟练的运用其化简。
掌握最简二次根式的概念
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