人教版八年级数学上册教案：第十四章 整式的乘法与因式分解

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第十四章 整式的乘法与因式分解 14．1　整式的乘法 14．1.1　同底数幂的乘法 本节课是在掌握了有理数运算、整式的加减运算等知识的基础上进一步学习同底数幂的乘法运算，为学习整式的乘法运算打下基础．本课时从特殊到一般，从具体到抽象，有层次的探究同底数幂的乘法运算法则，教学中注意适当复习幂、指数、底数等概念，要引导学生弄清正整数指数幂的意义． 【复习导入】 复习旧知识、引入新课： (1)n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，则a·__a·__a·…·a,\s\do4(n个a))写成乘方的形式为an，其中a叫底数，n叫指数，an读作a的n次幂． (2)x3表示3个x相乘，把x3写成乘法的形式为：x3＝x·x·x． (3)x3，x5，x，x2，它们的指数相同吗？它们的底数相同吗？ (4)式子103×102的意义是什么？这个积中的两个因式有何特点？ (5)怎样计算103×102？谈谈你的想法． (6)怎样计算x3·x2？谈谈你的想法． 【说明与建议】　说明：通过乘方概念的形成过程推导出同底数幂的乘法性质，由特殊到一般的逻辑推理方式，符合学生的认知特点．建议：分小组讨论后教师引导学生完成解答并形成总结．在教学时教师要充分利用实例，多用鼓励性的语言激发学生探究知识的兴趣！ 命题角度1　直接利用同底数幂的乘法性质进行计算 1．(盐城中考)计算a2·a的结果是(B) A．a2 B．a3 C．a D．2a2 2．若am＝10，an＝6，则am＋n＝60． 命题角度2　同底数幂的乘法性质的逆应用 3．若am＝2，am＋n＝10，则an＝(B) A．3 B．5 C．8 D．9 4．(潍坊中考)若2x＝3，2y＝5，则2x＋y＝15． 幂的含义及其历史 在我国古代，“幂”字的早期含义是泛指方形的东西，到了三国时代，刘徽给《九章算术》作注时第一次在数学中使用幂表示乘积，到明朝徐光启翻译《几何原本》时，用“自乘之数曰幂”来解释幂，明确地给幂下了定义． 在西方，作为数学术语的幂，在英语里是power，原意是权力、威力或能力，后来引申为数学术语，1591年法国数学家韦达的代数名著《分析方法入门》中已有现代意义的幂的概念了． 20世纪初，五四运动前后，我国数学逐渐学习西方，译名很不统一.1935年，当时的教育部公布《数学名词》，确定将“involution”译为乘方，“power”译为幂或乘幂.1956年中国科学院编订《数学名词》，重新明确“involution”为乘方，而“power”确定为幂或乘方，为了与“involution”相区别，通常认为“power”(幂)作为乘方的结果，而不是乘方． 详见电子资源 14.1.2　幂的乘方 本节课是继同底数幂的乘法的又一种幂的运算，为后面进行整式的乘法奠定基础．本课时从“数”的相应运算入手，类比过渡到“式”的运算，从中探索、归纳“式”的运算法则，使新的运算规律自然而然地同化到原有的知识之中，并使原有的知识得到扩充和发展，在教学过程中要培养学生知其然更要知其所以然的学习精神． 【情景导入】 如果太阳、木星和地球可近似看作球体，那么大家知道太阳、木星和地球的体积的大致比例吗？我可以告诉你，木星的半径是地球半径的10倍，太阳的半径是地球半径的102倍，假设地球的半径为r，那么，请同学们计算一下太阳和木星的体积是多少．(球的体积公式为V＝eq \f(4,3)πr3) 学生在练习本上演算．教师总结，并引出课题． 【说明与建议】　说明：教师引导学生利用幂的意义来推导．如果有些同学感到无从下手，教师要注意启发：请同学们思考一下a3代表什么？(102)3呢？学生回答：a3＝a·a·a，指3个a相乘．(102)3＝102×102×102，就变成了同底数幂的乘法运算，根据同底数幂乘法的性质，底数不变，指数相加，得102×102×102＝102＋2＋2＝106，因此(102)3＝106.建议：教师可利用刚才的推导方法讲解下面几个题目：(1)(a2)3；(2)(24)3；(3)(bn)3.进而归纳总结并进行小组讨论，最后得出结论：(am)n＝eq^\o(m,\s\do4(n个am))＝＝amn. 命题角度1　直接利用幂的乘方的性质进行计算 1．(淮安中考)计算(x5)2的结果是(C) A．x3 B．x7 C．x10 D．x25 命题角度2　幂的乘方与同底数幂乘法的混合运算 2．计算a·(a2)3＝a7． 命题角度3　幂的乘方的性质的逆应用 3．3m＝4，3n＝6，则3m＋2n＝144． 命题角度4　运用幂的乘方进行数的大小比较 4．已知a＝240，b＝332，c＝424，则a，b，c的大小关系为(B) A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a 详见电子资源 14.1.3　积的乘方 本节课是学生在学习了同底数幂的乘法，幂的乘方两种幂的运算性质之后紧接着的第三种运算性质，是幂指数运算不可或缺的一部分，它同幂的意义，乘法交换律、结合律有着紧密的联系．结合同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项等概念将幂的运算部分内容自然的引入到整式的运算，为整式的运算打下基础和提供依据．这节课的内容无论从其内容还是所处的地位来说都是十分重要的，是后继学习整式乘除与因式分解的桥梁，教学时注意引导学生对积的乘方、幂的乘方及同底数幂的乘法进行区分． 【情景导入】 在手工制作课上，小明做了一个正方体的模型，已知其棱长为3×102 mm，如何求该正方体的表面积与体积． 表面积为6×(3×102)2 mm2. 体积为(3×102)3 mm3. 怎样计算这两个结果呢？今天我们就来学习它的计算方法． 【说明与建议】　说明：通过设置具体的实际问题情境导入新课，激发学生学习的积极性及兴趣．建议：教学中教师可以利用实际问题展开教学，突出数学与现实的联系，可类比前边幂的乘方及同底数幂的乘法的学习过程，总结归纳出新的规律． 命题角度1　直接利用积的乘方性质进行计算 1．(南京中考)计算(a2b)3的结果是(D) A．a2b3 B．a5b3 C．a6b D．a6b3 2．(黄石中考)计算(－5x3y)2正确的是(B) A．25x5y2 B．25x6y2 C．－5x3y2 D．－10x6y2 3．(佛山中考)计算：(－x)3·x2＝－x5． 命题角度2　综合利用幂的运算性质进行计算 4．x4·x3·x＋(x4)2＋(－2x2)4. 解：原式＝x8＋x8＋16x8 ＝18x8. 命题角度3　幂的运算性质的逆应用 5．计算：(－eq \f(3,10))2 021×(3eq \f(1,3))2 020×(－1)2 022. 解：原式＝(－eq \f(3,10)×3eq \f(1,3))2 020×(－eq \f(3,10))×1 ＝1×(－eq \f(3,10))×1 ＝－eq \f(3,10) 详见电子资源 14.1.4　整式的乘法 第1课时　单项式与单项式相乘 本节课是在学习了幂的运算的基础上继续学习单项式与单项式相乘，为后面学习单项式乘以多项式、多项式乘以多项式做好准备，更是单项式除以单项式的基础．本课时从不同角度探索单项式与单项式相乘的法则，教学时注意加强练习并培养学生探求事物发展的内在规律的良好习惯． 【情景导入】 探索火星、月球以及其他星球的奥秘已逐渐被世人关注，飞向月球、进入太空也不再是遥远的事，浩瀚的宇宙期待着人们的光临． (1)天文学上计算星球之间的距离的一种单位叫“光年”，即光在一年里通过的距离.1年约等于3×107 s，光的速度约为 3×105 km/s，则1光年大约是多少千米？ (2)光的速度约为3×105 km/s，从太阳系以外的一颗恒星发出的光需要1.2×108 s到达地球，求这颗恒星与地球的距离．学生列式，教师提出问题：那么如何计算(3×107)×(3×105)和(3×105)×(1.2×108)呢？学完了这节课，你一定会迎刃而解的．(揭示课题) 【说明与建议】　说明：通过设置具体的实际问题情境导入新课，激发学生学习的积极性及兴趣．建议：教学中适当突出数学与现实之间的联系，对于问题的答案不做深究，留有悬念，提高学生兴趣． 命题角度1　利用单项式乘法的运算法则进行计算 1．(山西中考)计算：3a2b3·2a2b＝6a4b4． 2．(－ab5)2·(－2a2b)3＝－8a8b13． 命题角度2　单项式乘法在实际生活中的应用 3．一块长方形草坪的长是3xa＋1 m，宽是2xb－1 m(a，b为大于1的正整数)，则长方形草坪的面积是(B) A．6xa－b m2 B．6xa＋b m2 C．6xa＋b－1 m2 D．6xa＋b－2 m2 详见电子资源 第2课时　 单项式与多项式相乘 本节课是在学习了幂运算及单项式与单项式相乘以后进一步学习单项式与多项式相乘，是后面学习多项式乘以多项式以及平方差公式和完全平方公式的基础．本课时由图形面积引入单项式乘以多项式的法则，体现了数形结合的思想，教学时注意引导学生在计算时不要漏乘． 【置疑导入】 小学时，我们曾利用乘法对加法的分配律简化一些计算问题，如6×(eq \f(1,2)＋eq \f(2,3)－eq \f(1,6))＝6×eq \f(1,2)＋6×eq \f(2,3)－6×eq \f(1,6)＝3＋4－1＝6. 分配律对于字母是否也同样适用？我们来看下面的问题． 三家连锁店以相同的价格m(单位：元)销售某种商品，它们在某个月内的销售量分别是a，b，c(单位：瓶)．你能用不同的方法计算它们在这个月内销售这种商品的总收入吗？ 【说明与建议】　说明：教师根据学生的讨论情况适当提醒和启发，然后对讨论结果m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc进行分析，指出这个等式提供了单项式与多项式相乘的方法．建议：教师要注意引导学生体会单项式与多项式相乘，就是利用分配律转化为单项式与单项式相乘． 命题角度1　直接利用单项式乘多项式的法则进行计算 1．计算：(－3x2)2·(－x2＋2x－1)． 解：原式＝9x4·(－x2＋2x－1) ＝－9x6＋18x5－9x4. 命题角度2　与单项式乘多项式相关的化简求值问题 2．先化简，再求值：3a(2a2－4a＋3)－2a2(3a＋4)，其中a＝－2. 解：原式＝6a3－12a2＋9a－6a3－8a2 ＝－20a2＋9a. 当a＝－2时，原式＝－20×4＋9×(－2)＝－98. 3．已知代数式7a(a－kb)－3(b2－14ab－1)经化简后不含ab项，求k的值． 解：原式＝7a2－7abk－3b2＋42ab＋3 ＝7a2－3b2＋(42－7k)ab＋3. ∵化简后不含ab项，∴42－7k＝0， 解得k＝6. 命题角度3　利用单项式与多项式相乘的法则解决实际问题 4．一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽a米，下底宽(a＋2b)米，坝高eq \f(1,2)a米． (1)求防洪堤坝的横断面积； (2)如果防洪堤坝长100米，那么这段防洪堤坝的体积是多少立方米？ 解：(1)防洪堤坝的横断面积S＝eq \f(1,2)[a＋(a＋2b)]×eq \f(1,2)a＝eq \f(1,4)a(2a＋2b)＝eq \f(1,2)a2＋eq \f(1,2)ab. 故防洪堤坝的横断面积为(eq \f(1,2)a2＋eq \f(1,2)ab)平方米． (2)堤坝的体积V＝Sh＝(eq \f(1,2)a2＋eq \f(1,2)ab)×100＝50a2＋50ab. 故这段防洪堤坝的体积是(50a2＋50ab)立方米． 详见电子资源 第3课时　多项式与多项式相乘 本节课是在学习了单项式与单项式相乘，单项式与多项式相乘以后进一步学习多项式与多项式相乘的法则，对学生初中阶段学好必备的基础知识与基本技能、解决实际问题起到基础作用，在提高学生的运算能力方面有重要的作用．本课时通过几何图形面积问题研究多项式与多项式相乘，教学时注意强调多项式的每一项的符号以及不能漏乘． 【置疑导入】 前面我们学习了单项式乘单项式及单项式乘多项式，那么怎么计算形如(a＋b)(m＋n)这样的式子呢？本节课我们就来探究一下这个问题． 【说明与建议】　说明：由单项式乘单项式及单项式乘多项式的运算方法，直接导入多项式乘多项式，则其法则呼之欲出！建议：教师引导学生分析，如果把(m＋n)看成一个整体，那么两个多项式(a＋b)与(m＋n)相乘的问题就转化为单项式与多项式相乘的问题，这是我们已经解决的问题． 命题角度1　利用多项式乘多项式的运算法则进行计算 1．计算：(a－2b)(1＋a＋2b)． 解：原式＝a＋a2＋2ab－2b－2ab－4b2 ＝a＋a2－2b－4b2. 命题角度2　与多项式乘法有关的求值问题 2．若计算(x＋2m)(2x－3)－5x所得的结果中不含x的一次项，则常数m的值为(D) A．－2 B．－1 C．0 D．2 3．(1)先化简，再求值：(2x＋1)(x－5)－(3x＋1)(5x－2)，其中x＝－1； (2)解方程：(2x＋3)(x－4)－(x＋2)(x－3)＝x2＋6. 解：(1)原式＝2x2－10x＋x－5－(15x2－6x＋5x－2) ＝2x2－9x－5－15x2＋x＋2 ＝－13x2－8x－3. ∵x＝－1， ∴原式＝－13×1＋8－3＝－8. (2)2x2－8x＋3x－12－(x2－3x＋2x－6)＝x2＋6. 2x2－5x－12－x2＋x＋6＝x2＋6. x2－4x－6＝x2＋6. －4x＝12. x＝－3. 4.小轩计算一道整式乘法的题：(x＋m)(5x－4)，由于小轩将第一个多项式中的“＋m”抄成“－m”，得到的结果为5x2－34x＋24. (1)求m的值； (2)请计算出这道题的正确结果． 解：(1)∵(x－m)(5x－4)＝5x2－34x＋24， ∴5x2－4x－5mx＋4m＝5x2－34x＋24. ∴－4－5m＝－34， 解得m＝6. (2)由(1)，得(x＋m)(5x－4) ＝(x＋6)(5x－4) ＝5x2－4x＋30x－24 ＝5x2＋26x－24. 命题角度3　多项式乘多项式的实际应用 5．如图，矩形ABCD的面积为x2＋5x＋6(用含x的代数式表示)． 6．在高铁站广场前有一块长为(2a＋b)米、宽为(a＋b)米的长方形空地(如图)．计划在中间留两个长方形喷泉(图中阴影部分)，两喷泉及周边留有宽度为b米的人行通道． (1)请用式子表示广场面积并化简． (2)请用式子表示两个长方形喷泉(图中阴影部分)的面积并化简． 解：(1)广场面积为(a＋b)(2a＋b)＝(2a2＋3ab＋b2)平方米． (2)两个长方形喷泉(图中阴影部分)的面积为 　(a＋b－b－b)(2a＋b－3b) ＝(a－b)(2a－2b) ＝(2a2－4ab＋2b2)平方米． 详见电子资源 第4课时　整式的除法 本节课是在学习整式的乘法后，从逆运算的角度介绍整式的除法的相关内容，主要包括同底数幂的除法、单项式除以单项式、多项式除以单项式等内容，是今后学习因式分解、负整数指数幂、分式运算等内容的基础．本课时通过乘除运算的互逆过程由浅入深得到整式的除法法则，教学时要注意强调在进行同底数幂相除时，底数不为0，在进行单项式除以单项式以及多项式除以单项式时，每一项的系数及符号问题． 【置疑导入】 1．人类探索自然的脚步一刻也没停止．近年来，我们国家的航天事业飞速发展，“神舟”系列飞船遨游太空，“嫦娥”系列卫星飞向月球．现在提出一个数学问题：月球是距离地球最近的天体，它与地球的平均距离约为3.8×108米．如果宇宙飞船以1.12×104米/秒的速度飞行，到达月球大约需要多少时间？ 2．小明在班级联欢晚会上表演的一个魔术节目如下： 请你在心中想一个自然数，并且按下列程序运算后直接告诉他答案： eq \x(n)→eq \x(平方)→eq \x(加n)→eq \x(除以n)→eq \x(答案) 他能马上说出你所想的自然数你知道其中的奥妙在哪里吗？ 命题角度1　同底数幂的除法的计算 1．计算a6÷a2的结果是(C) A．a2 B．a3 C．a4 D．a5 2．计算：已知am＝2，an＝3，则am－n＝eq \f(2,3)． 3．(a－b)10÷(b－a)3÷(b－a)3. 解：原式＝(b－a)10÷(b－a)3÷(b－a)3 ＝(b－a)10－3－3 ＝(b－a)4. 命题角度2　零指数幂的运用 4．若(2x－1)0有意义，则x的取值范围是(C) A．x＝－2 B．x≠0 C．x≠eq \f(1,2) D．x＝eq \f(1,2) 5．计算：(－2)2＋4×(－1)2 021－|－23|＋(π－5)0. 解：原式＝4＋4×(－1)－8＋1 ＝4－4－8＋1 ＝－7. 命题角度3　单项式除以单项式 6．计算：－3a6b2c÷9a2b的结果是(D) A．－eq \f(1,3)a3b2c B．－3a4bc C．－3a3b2c D．－eq \f(1,3)a4bc 7．如果一个单项式与－5ab的积为－eq \f(5,8)a2bc，则这个单项式为(B) A.eq \f(1,8)a2c B.eq \f(1,8)ac C.eq \f(25,8)a3b2c D.eq \f(25,8)ac 命题角度4　多项式除以单项式 8．一个长方形操场，面积为3a2b＋6a，其中一边长为3a，则另一边长为(A) A．ab＋2 B．ab＋2a C．a＋2 D．a2b＋a 9．已知M·(－2x2)＝8x5－18x3y3－2x2，则M＝(B) A．－4x3－9xy3－1 B．－4x3＋9xy3＋1 C．－4x3＋9xy3 D．4x3＋9xy3－1 10．计算：(2a2·8a2＋8a3－4a2)÷2a. 解：原式＝(16a4＋8a3－4a2)÷2a ＝16a4÷2a＋8a3÷2a－4a2÷2a ＝8a3＋4a2－2a. 详见电子资源 14.2　乘法公式 14．2.1　平方差公式 平方差公式这一内容是在学习整式乘法的基础上得到的，它在整式乘法、因式分解、分式运算及其它代数式的变形中起着十分重要的作用．可以说，它是构建学生代数知识结构，培养学生化归、换元、整体的数学思想方法的重要载体，让学生感受数学的再创造性．是构建学生有价值的数学知识体系并形成相应技能的重要内容． 【置疑导入】 想一想：(1)计算下列各组算式，并观察它们的共同特征． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6×8＝？,7×7＝？))　eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(13×15＝？,14×14＝？))　eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(61×63＝？,62×62＝？))　eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(59×61＝？,60×60＝？)) (2)从以上的过程中，你能寻找出什么规律？ (3)请你用字母表示你所发现的规律，并得出结论． 【说明与建议】　说明：通过列举算式的简便运算，引起学生的学习兴趣．教学中教师注意引导、鼓励学生用简便方法计算，教师根据情况可讲解、分析其中一题．建议：教学中教师要充分引导学生体会特例、进行归纳．用符号表示并给出证明这一重要的探索过程，要让学生体会符号对证明猜想的作用． 【归纳导入】 计算下列多项式的积： (1)(x＋1)(x－1)＝x2－x＋x－1＝x2－1;__ (2)(m＋2)(m－2)＝m2－2m＋2m－4＝m2－4;__ (3)(2x＋1)(2x－1)＝4x2－2x＋2x－1＝4x2－1． 观察上述算式，你发现什么规律？计算出结果后，你又发现了什么规律？ 思考：你能根据下图中的面积关系说明你发现的公式吗？ 【说明与建议】　说明：以探索、归纳公式和简单运用公式这一数学情景，增强学习数学的信心，培养学生观察－发现－归纳－验证－使用这一数学方法．建议：鼓励学生大胆表达意见，积极与小组同伴合作、讨论、交流，然后统一看法． 命题角度1　直接应用平方差公式计算 1．计算：(1)(3＋a)(3－a)；(2)(3x＋2)(3x－2)＋x(x－2)． 解：(1)原式＝9－a2. (2)原式＝9x2－4＋x2－2x＝10x2－2x－4. 命题角度2　利用平方差公式进行数字计算 2．计算：(1)522－482; (2)99×101 解：(1)原式＝(52＋48)×(52－48)＝100×4＝400. (2)原式＝(100－1)(100＋1)＝1002－12＝9 999. 命题角度3　添项后运用平方差公式 3．先阅读理解，再解答问题． 如何计算(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)的值呢？我们注意到平方差公式的特征，可以将原式乘以(2－1)，所以原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)＝232－1. 试用上述方法求(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)－1的值． 解：(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)－1 ＝eq \f(1,2)×(3－1)(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)－1 ＝eq \f(1,2)×(32－1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)－1 ＝eq \f(1,2)×(316－1)－1 ＝eq \f(316－3,2). 详见电子资源 14.2.2　完全平方公式 第1课时　完全平方公式 完全平方公式是初中代数的一个重要组成部分，是学生在已经掌握单项式乘法、多项式乘法及平方差公式基础上的拓展，本节课通过学生合作学习，利用多项式相乘法则进行推导，并利用计算图形面积进行验证，进而理解和运用完全平方公式，对以后学习因式分解、解一元二次方程、配方法、勾股定理及图形面积计算都有举足轻重的作用．此外本节课在教学过程中力图向学生渗透数形结合思想以及换元思想，为今后数学方法的学习奠定了基础． 【悬念激趣】 请同学们探究下列问题： 一位老人非常喜欢孩子．每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们．来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块塘，来三个孩子，老人就给每个孩子三块塘…… (1)第一天有a个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？ (2)第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？ (3)第三天这(a＋b)个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？ (4)这些孩子第三天得到的糖果总数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？ [生](1)第一天老人一共给了这些孩子a2块糖． (2)第二天老人一共给了这些孩子b2块糖． (3)第三天老人一共给了这些孩子(a＋b)2块糖． (4)孩子们第三天得到的糖块总数与前两天他们得到的糖块总数比较，应用减法．即(a＋b)2－(a2＋b2)． [师]我们上一节学了平方差公式，即(a＋b)(a－b)＝a2－b2，现在遇到了两个数的和的平方，该怎样处理呢？ 【说明与建议】　说明：采用“情境——探究”教学方法，让学生在所创设的情境中领会完全平方公式的内涵．建议：教师可进一步设计如下问题：能不能将(a＋b)2转化为我们学过的知识去解决呢？像研究平方差公式一样，我们来研究一下(a＋b)2的运算结果有什么规律吧！研究出这个公式后教师要及时将问题的结果展示给学生，可以让学生进一步理解完全平方公式的结构特征．(现在，大家可以轻松解决老人用糖招待孩子的问题了！(a＋b)2－(a2＋b2)＝a2＋2ab＋b2－a2－b2＝2ab.) 命题角度1　直接运用完全平方公式计算 1．计算： (1)(2x＋3)2；(2)(x＋2)2－(x－1)(x－2)． 解：(1)原式＝4x2＋12x＋9. (2) 原式＝x2＋4x＋4－(x2－2x－x＋2) ＝x2＋4x＋4－x2＋2x＋x－2 ＝7x＋2. 命题角度2　利用完全平方公式进行数字计算 2．计算：1032. 解：原式＝(100＋3)2 ＝1002＋2×100×3＋32 ＝10 000＋600＋9 ＝10 609. 命题角度3　完全平方公式的变形 3．已知(a＋b)2＝11，ab＝1. (1)求a2＋b2的值； (2)求a－b的值． 解：(1)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝11－2＝9； (2)∵(a－b)2＝a2＋b2－2ab＝9－2＝7， ∴a－b＝±eq \r(7). 命题角度4　利用乘法公式研究图形特征 4．你能根据如图图形的面积关系得到的数学公式是(C) A．a(a－b)＝a2－ab B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 D．a(a＋b)＝a2＋ab 详见电子资源 第2课时　添括号法则 本节课是在学生学习去括号及整式乘法公式的基础上，重点研究了如何通过去括号法则探究添括号法则、运用添括号法则进行整式变形的课题．添括号是本章的一个难点，为今后学习因式分解、分式的运算以及解方程等内容做好铺垫．因此，本节课的内容在初中数学学习中起着承前启后的作用，通过本节课的学习可以使学生的思维变得更加开阔，也对以后更好的学习数学知识有很大的帮助． 【复习导入】 1．去括号法则的内容是什么？ 2．根据去括号法则填空： a＋(b＋c)＝________；a－(b＋c)＝________． 3．把以上各式反过来，即交换等式的左右两边，可得： a＋b＋c＝a＋(________)；a－b－c＝a－(________)． 4．仿照去括号法则，叙述添括号法则： ①添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都________符号； ②如果括号前面是负号，括到括号里的各项都________符号． 【说明与建议】　说明：通过已学知识进行逆向变形，获得新知识，体现新旧知识之间的联系，有利于构建知识网络．建议：学生在教师引导下积极思考问题，教师鼓励学生举出其他例子来验证自己的发现．用数学符号和语言来表达，提高概括能力． 【归纳导入】 1．请直接写出下列各式的值： ①10＋5－3＝________，10＋(5－3)＝________，10－(－5＋3)＝________； ②－6＋7－2＝________，－6＋(7－2)＝________，－6－(－7＋2)＝________； ③8－1＋9＝________，8＋(－1＋9)＝________，8－(1－9)＝________； ④26－12－8＝________，26＋(－12－8)＝________，26－(12＋8)＝________； ⑤－15＋3＋7＝________，－15＋(3＋7)＝________，－15－(－3－7)＝________； ⑥60－20＋4＝________，60＋(－20＋4)＝________，60－(20－4)＝________． 2．思考并解决以下问题： (1)比较每组中的三个算式的结果，它们相等吗？ (2)比较每组中的三个算式的左边，有什么共同之处？ (3)请再写出一组符合以上特征的三个算式进行计算，以此验证你的想法． (4)你能把发现的规律用以下等式表示出来吗？ a＋b＋c＝a＋(________)＝a－(________); a＋b－c＝a＋(________)＝a－(________); a－b＋c＝a＋(________)＝a－(________); a－b－c＝a＋(________)＝a－(________)． (5)你能用语言表达以上规律吗？ 【说明与建议】　说明：通过对个例的分析比较，归纳得到添括号法则．建议：一方面引导学生通过计算、观察、比较、归纳得到结论；另一方面鼓励学生多举例子验证结论，体会“特殊——一般”的数学思想方法． 命题角度1　直接利用添括号法则对整式进行变形 1．下列添括号，正确的是(C) A．b＋c＝－(b＋c) B．－2x＋4y＝－2(x－4y) C．a－b＝＋(a－b) D．2x－y－1＝2x－(y－1) 命题角度2　利用添括号法则综合运用乘法公式进行计算 2．计算：(1)(3x－2y－1)(3x＋2y－1)；(2)(a－2b＋1)2. (1)解：原式＝(3x－1－2y)(3x－1＋2y) ＝[(3x－1)－2y][(3x－1)＋2y] ＝(3x－1)2－(2y)2 ＝9x2－6x＋1－4y2. (2)解：原式＝(a－2b)2＋2(a－2b)·1＋12 ＝a2－4ab＋4b2＋2a－4b＋1. 详见电子资源 14.3　因式分解 14．3.1　提公因式法 本节课的内容是用提公因式法对多项式进行因式分解．之前已经学习了整式的乘法公式，为本节课的学习起到铺垫作用．同时本节课的内容也为后面继续学习用公式法和因式分解法打下了基础．有着承上启下的重要作用． 【置疑导入】 问题：计算375×2.8＋375×4.9＋375×2.3. (1)讨论上题的计算方法，分别提出各自的依据，然后比较哪种方法简便； (2)类似地，ab＋ac＋ad＝a(b＋c＋d);__ (3)引入“因式分解”及“公因式”的概念． 【说明与建议】　说明：此例让学生结合数的运算进行联想、类比以达到理解的目的．多项式的因式分解和整式乘法的联系与区别是本节教学的难点．建议：教师教学中要注意留出时间让学生讨论、交流，引导学生进行归纳、概括． 【归纳导入】 因式分解的意义 1．运用前两节所学的知识填空： (1)m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc； (2)(a＋b)(a－b)＝a2－b2;__ (3)(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2． 2．试一试，填空： (1)ma＋mb＋mc＝m·(a＋b＋c)； (2)a2－b2＝(a＋b)(a－b); (3)a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2. 请同学们自己总结1，2两题的特点和联系． 教师由此引出因式分解和公因式的概念． 因式分解与整式乘法的关系： 多项式eq \o(,\s\up11(因式分解),\s\do4(整式乘法))整式×整式…×整式 教师由此总结，引出因式分解的方法——提公因式法． 【说明与建议】　说明：通过练习归纳，类比得到因式分解及公因式的概念，符合学生的认知规律，利于思考归纳能力的培养．建议：教师要多鼓励学生发现多项式中公因式的一些特点，以便于进一步学习应用提公因式法分解因式． 命题角度1　判断因式分解与整式乘法 1．下列从左到右的变形属于因式分解的是(D) A．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1 B．－7ab2c3＝－abc·7bc2 C．m(m＋3)＝m2＋3m D．2x2－5x＝x(2x－5) 命题角度2　利用提公因式法分解因式 2．分解因式： (1)m2－12m＝m(m－12)． (2)3mx－9my＝3m(x－3y)． (3)3x(a－b)－6y(b－a)＝3(a－b)(x＋2y)． 命题角度3　化简求值 3．求(2x－y)(2x＋3y)－(2y＋x)(2x－y)的值，其中x＝2，y＝1. 解：原式＝(2x－y)(2x＋3y－2y－x) ＝(2x－y)(x＋y) ＝2x2＋xy－y2. 当x＝2，y＝1时，原式＝2×22＋2×1－12＝9. 详见电子资源 14.3.2　公式法 第1课时　运用平方差公式因式分解 本课时主要是让学生经历通过整式乘法的平方差公式的逆向运用得出因式分解的平方差公式的过程，发展学生的观察能力和逆向思维能力，让学生进一步了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系．同时还体现了数学的众多思想，如：“类比”思想、“整体”思想、“换元”思想等．它既是对前面所学知识的应用，又是为后续学习作铺垫，因此本节课在教材中起到了承上启下的重要的作用． 【置疑导入】 同学们，你能很快知道992－1是否是100的倍数吗？你是怎么想的？ 新课讲解： 我们容易得到992－1＝(99＋1)(99－1)，这种方法利用了我们刚学过的哪一个乘法公式？ 首先我们来做下面两题： 1．计算下列各式： (1)(a＋2)(a－2)＝a2－4； (2)(a＋b)(a－b)＝a2－b2;__ (3)(3a＋2b)(3a－2b)＝9a2－4b2． 2．下面请你根据上面的算式填空： (1)a2－4＝(a＋2)(a－2)； (2)a2－b2＝(a＋b)(a－b);__ (3)9a2－4b2＝(3a＋2b)(3a－2b)． 请同学们对比以上两题，你发现了什么？ 事实上，像上面第2题那样的因式分解是利用平方差公式进行的，这种利用乘法公式进行因式分解的方法称为公式法． 【说明与建议】　说明：采用“问题解决”的教学方法，让学生在问题的牵引下，推进自己的思维．建议：对于开始提出的问题如果学生还有其他不同的解决方法，教师要给予充分的肯定． 命题角度1　利用平方差公式分解因式 1．下列多项式能使用平方差公式进行因式分解的是(B) A．4x2＋1 B．－m2＋1 C．－a2－b2 D．2x2－y2 2．已知x2－y2＝16，x＋y＝2，则x－y＝8． 命题角度2　平方差公式分解因式的应用 3．在一个边长为12.75 cm的正方形内剪去一个边长为7.25 cm的正方形，求剩余部分的面积． 解：12.752－7.252 ＝(12.75＋7.25)×(12.75－7.25) ＝11 (cm2)． 所以剩余部分的面积为11 cm2. 详见电子资源 第2课时　 运用完全平方公式因式分解 在学习本节课之前，已经学过了因式分解的有关概念和方法，特别是学过了运用平方差公式分解因式与本节课有类似之处，为本节课打下了基础．运用完全平方公式分解因式不仅是现阶段的学习重点，而且为后面分解二次三项式奠定了一定的基础．教学时注意类比平方差公式分解因式得出完全平方公式分解因式的意义，并分析完全平方式的特点． 【归纳导入】 1．用整式乘法的完全平方公式填空： (1)(a＋1)2＝(a)2＋2·a·1＋(1)2＝a2－2a＋1;__ (2)(a－b)2＝(a)2－2·a·b＋(b)2＝a2－2ab＋b2． 2．观察第1题你会有什么发现？用你的发现尝试把下列多项式分解因式： (1)a2－2a＋1＝(a)2－2·a·1＋(1)2＝(a－1)2； (2)a2－2ab＋b2＝(a)2－2·a·b＋(b)2＝(a－b)2． 3．根据上面的填空完成下面的知识归纳． (1)第1题由左到右的变形是整式乘法，第2题由左到右的变形是因式分解； (2)我们知道整式乘法的完全平方公式： (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2,__ 反过来就得到因式分解的完全平方公式： a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2；a2－2ab＋b2＝(a－b)2. 用文字语言描述为：两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方； (3)我们把a2＋2ab＋b2和a2－2ab＋b2叫完全平方式． 【说明与建议】　说明：学生通过自主探究，归纳总结出运用完全平方公式分解因式．建议：学生自学时教师要深入到学生中，发现问题要及时启发引导，使各个层面的学生都能学有所获．教师要鼓励学生大胆猜测，积极发言． 命题角度1　利用完全平方公式分解因式 1．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是(D) A．4x2－1 B．4x2＋4x－1 C．x2－xy＋y2 D．x2－x＋eq \f(1,4) 命题角度2　先提公因式后运用完全平方公式分解因式 2．因式分解：－y3＋4xy2－4x2y. 解：原式＝－y(y2－4xy＋4x2) ＝－y(y－2x)2 详见电子资源 课题14.1.1　同底数幂的乘法授课人素养目标1．理解同底数幂的乘法法则． 2．运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题. 3．会用数学的思维推导“同底数幂的乘法法则”，使学生初步理解特殊到一般、一般到特殊的认知规律． 4．通过对公式的应用，进一步发展学生观察、归纳、类比等能力，发展有条理的思考能力. 5．体会科学的思想方法，接受数学文化的熏陶，激发学生探索创新的精神.教学重点正确理解同底数幂的乘法法则.教学难点正确理解和应用同底数幂的乘法法则.授课类型新授课课时教学步骤师生活动设计意图回顾1.a表示的意义是什么？其中 a，n，an分别叫做什么？ 2．把下列各式写成幂的形式： ①10×10×10＝________； ②3×3×3×3×3＝________； ③a·a·a·a·a·a＝________； ④可以写成________的形式．通过回顾旧知为学习新知做好准备.活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】 问题　一种电子计算机每秒可进行1千万亿(1015)次运算，它工作103 s可进行多少次运算？ 在2010年全球超级计算机排行榜中，中国首台千万亿次超级计算机系统“天河一号”雄居第一，其实测运算速度可以达到每秒2 570万亿次． 它工作103 s可进行运算的次数为1015×103.怎样计算1015×103呢？通过探究问题让学生体会生活的周围存在着大量的较大的数据，数的世界充满着神奇，让学生去探索研究.活动二：实践探究、交流新知【探究新知】 根据乘方的意义可知 1015×103＝(10×…×10)×(10×10×10) ＝ ＝1018. 试一试，闯一闯： (1)23×24＝(2×2×2)×(2×2×2×2)＝2()； (2)73×74＝____________＝7(); (3)a3·a4＝____________＝a()． 猜一猜：am·an＝a()． (板书)am·an＝________(m，n都是正整数)． 教师把结论板书在黑板上． 师生活动：教师引导学生试着用文字概括这个性质． 同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 提出问题：当三个或三个以上同底数幂相乘时，是否也具有这一性质呢？ 学生活动：观察am·an·ap(m，n，p都是正整数)，然后回答得出结论． am·an·ap＝am＋n＋p(m，n，p都是正整数)．1.通过观察，比较抽象概括出同底数幂的乘法运算的本质特征，同时调动学生的积极性． 2．大胆猜想、适当拓展，为发展学生思维助力.活动三：开放训练、体现应用【典型例题】 例1　(教材第96页例1)计算： (1)x2·x5； 解：原式＝x2＋5＝x7. (2)a·a6； 解：原式＝a1＋6＝a7. 温馨提示：a＝a1，不要漏掉单独字母的指数1. (3)(－2)×(－2)4×(－2)3； 解：原式＝(－2)1＋4＋3＝(－2)8＝256. (4)xm·x3m＋1. 解：原式＝xm＋3m＋1＝x4m＋1. 例2　计算： (1)－x6·(－x)10； 解：原式＝－x6·x10＝－x16. 点拨：把不同底数幂转化为同底数幂时要注意符号的变化． (2)(a＋2)2·(a＋2)3； 解：原式＝(a＋2)2＋3＝(a＋2)5. 点拨：当底数为一个多项式时，把这个多项式看成一个整体． (3)am·an·ap. 解：原式＝am＋n＋p. 点拨：如果三个或者三个以上的同底数幂相乘，同底数幂的法则同样适用． 师生活动：学生先独立思考，教师提问并让学生代表上台演板，最后进行讲解，并在讲解过程中让学生从三方面正确理解“同底数幂的乘法法则”： (1)底数必须相同； (2)相乘时，底数不能发生变化； (3)指数相加的和作为结果幂的指数． 【变式训练】 1．若2a＝3，2b＝5，2c＝15，则(A) A．a＋b＝c B．a＋b＋1＝c C．2a＋b＝c D．2a＋2b＝c 2．若9×32m×33m＝322，则m的值为4． 3．若am＝2，am＋n＝6，则an＝3． 师生活动：学生先独立思考并完成解答，教师适当给予指导，最后进行统一讲解.1.让学生运用性质进行计算，在积累解题经验的同时，体会将同底数幂的乘法运算转化为指数的加法运算的思想． 2．变式训练可体现知识的延伸，同时增强学生的灵活性思维． 3．根据做题出现的问题，总结学好同底数幂乘法的性质要注意的事项，为提高学生的运算能力奠定基础.活动四：课堂检测【课堂检测】 1．计算：a3·a2的结果(D) A．a6 B．5a C．6a D．a5 2．下列各式中，计算正确的是(B) A．m5·m5＝2m10 B．m4·m4＝m8 C．m3·m3＝m9 D．m6＋m6＝2m12 3．已知a2·ax－3＝a6，那么x的值为7． 4．计算： (1)105×104; (2)(eq \f(1,4))2×(eq \f(1,4))4； 解：原式＝105＋4＝109. 解：原式＝(eq \f(1,4))2＋4＝(eq \f(1,4))6. (3)(－2)2·(－2)5; (4)b2·b4·b5. 解：原式＝(－2)2＋5＝(－2)7＝－27. 解：原式＝b2＋4＋5＝b11. 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　通过设置课堂检测，进一步巩固所学新知，同时检测学习效果，做到“堂堂清”.课堂小结1.课堂小结： (1)本节课主要学习了哪些知识？ (2)本节课还有哪些疑惑？ 教学说明：教师提问并引导学生总结归纳同底数幂的乘法运算的性质并强调计算过程中要注意的地方． 2．布置作业： 教材第96页练习．通过课堂小结的形式，使学生能够对本课时所学知识进行整理，同时明确学习重点.板书设计14.1.1　同底数幂的乘法 同底数幂的乘法eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(法则\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(文字表述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加,字母表示：am·an＝am＋n（m，n都是正整数）)),运用\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(利用法则计算,逆用公式求值))))提纲挈领，重点突出.教学反思反思，更进一步提升.课题14.1.2　幂的乘方授课人素养目标1．知道幂的乘方的意义． 2．会进行幂的乘方计算. 3．会用数学的思维探索幂的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力． 4．了解幂的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题. 5．通过分组探究，培养学生合作交流的意识，提高学生勇于探究数学的品质.教学重点会进行幂的乘方的运算.教学难点幂的乘方法则的总结及运用.授课类型新授课课时教学步骤师生活动设计意图回顾上节课我们学习了同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 即am·an＝am＋n(m，n都是正整数)． 学生回忆并回答，以此来巩固知识，为探索幂的乘方性质做好准备.活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】 一个正方体的棱长是102毫米，你能计算出它的体积吗？如果将这个正方体的棱长扩大为原来的10倍，那么这个正方体的体积是原来的多少倍？ 正方体的体积等于棱长的立方．所以棱长为102毫米的正方体的体积V＝(102)3立方毫米；如果棱长扩大为原来的10倍，即棱长变为102×10毫米，即103毫米，此时正方体的体积变为V1＝(103)3立方毫米．(102)3，(103)3很显然不是最简，接下来我们就来学习怎样将其化为最简．通过实际问题引入本节课内容，调动学生学习的积极性以及体会数学来源于生活.活动二：实践探究、交流新知【探究新知】 对于上面的问题，我们可以根据幂的意义知，(102)3表示三个102相乘，于是就有(102)3＝102×102×102＝102＋2＋2＝106；同样根据幂的意义可知(103)3＝103×103×103＝103＋3＋3＝109.于是就求出了V＝106立方毫米，V1＝109立方毫米． 根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空，观察计算结果；你能发现什么规律？ (1)(32)3＝32×32×32＝3() (2)(a2)3＝a2·a2·a2＝a() (3)(am)3＝am·am· am＝a()(m是正整数)． 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， (am)n＝eq^\o(m,\s\do4(n个am))＝＝amn. 因此，我们有(am)n＝amn(m，n都是正整数)． 即幂的乘方，底数不变，指数相乘．通过问题的提出，再依据解决问题时所导出的规律，利用乘方的意义和同底数幂的乘法性质，让学生主动建构，获取新知.活动三：开放训练、体现应用【典型例题】 例1　(教材第96页例2)计算： (1)(103)5；(2)(a4)4；(3)(am)2；(4)－(x4)3. 解：(1)(103)5＝103×5＝1015. (2)(a4)4＝a4×4＝a16. (3)(am)2＝am×2＝a2m. (4)－(x4)3＝－x4×3＝－x12. 例2　计算： (1)(am＋1)3； 解：原式＝a3m＋3. (2)[(x－y)3]2； 解：原式＝(x－y)6. (3)[(x2)3]7. 解：原式＝(x6)7＝x42. 师生活动：学生在教师引导下，完成例题的问题，并进一步理解幂的乘方性质．教师强调练习幂的乘方运算时，不要着急直接套入公式(am)n＝amn中，而应进一步体会乘方的意义和幂的意义，熟悉后方可直接代入，最后教师提问并针对学生的解答共同分析可能存在的问题． 【变式训练】 1．逆用幂的乘方性质填空．(1)x13·x7＝x(20)＝(x4)5＝(x5)4＝(x2)10； (2)a2m＝(am)2＝(a2)m(m为正整数)． 2．(1)已知10m＝2，10n＝3，求103m＋2n的值； (2)已知9·32x·27x＝317，求x的值． 解：(1)∵10m＝2，10n＝3， ∴原式＝(10m)3·(10n)2＝8×9＝72. (2)由已知等式整理，得35x＋2＝317， ∴5x＋2＝17， 解得x＝3. 师生活动：学生先独立思考并讨论以后，教师引导幂的乘方的逆应用，帮助学生进行正确的底数变形及指数拆分，最后由学生完成解答．学生通过典型例题及变式训练进一步巩固刚刚学习的新知识，在此基础上加深知识的应用，增强学生思维的灵活性.活动四：课堂检测【课堂检测】 1．下列运算正确的是(D) A．a·a3＝a3 B．2(a－b)＝2a－b C．(a3)2＝a5 D．a2－2a2＝－a2 2．计算(a3)2·a2的结果是(B) A．a7 B．a8 C．a10 D．a11 3．计算： (1)(x2)3·x5； (2)(y4)2＋(y2)3·y2. 解：(1)原式＝x11. (2)原式＝2y8. 4．已知：3x＋5y＝8，求8x·32y的值． 解：∵3x＋5y＝8， ∴8x·32y＝23x·25y＝23x＋5y＝28＝256. 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　学以致用，当堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.课堂小结1.课堂小结： (1)本节课主要学习了哪些知识？ (2)本节课还有哪些疑惑？ 教学说明：教师提问并引导学生总结归纳幂的乘方的性质及逆应用并强调其与同底数幂的乘法的区别． 2．布置作业： 教材第97页练习．通过课堂小结的形式，使学生能够对本课时所学知识进行整理，同时明确学习重点.板书设计14.1.2　幂的乘方 幂的乘方eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(法则\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(文字表达：幂的乘方，底数不变，指数相乘,字母表示：（am）n＝amn（m，n都是正整数）)),运用\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(利用法则计算,逆用公式求值)))) 提纲挈领，重点突出.教学反思反思，更进一步提升.课题14.1.3　积的乘方授课人素养目标1．经历探索积的乘方的运算法则的过程，进一步体会幂的意义． 2．理解积的乘方运算法则，能解决一些实际问题. 3．在探究积的乘方的运算法则的过程中，会用数学的思维发展推理能力和有条理的表达能力． 4．在发展推理能力和有条理的语言、符号表达能力的同时，进一步体会学习数学的乐趣，提高学习数学的信心，感受数学的简洁美.教学重点积的乘方运算法则及其应用.教学难点积的乘方的运算法则的灵活运用.授课类型新授课课时教学步骤师生活动设计意图回顾1.同底数幂的乘法和幂的乘方的运算法则是什么？ 2．计算：(1)(x4)3＝________；(2)a·a5＝________； (3)x7·x9＝________；(4)(x2)3＝________．通过复习旧知为学习新知做好铺垫.活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】 情景导入：同学们一起利用球的体积公式V＝eq \f(4,3)πr3计算出地球的体积约是1.08×1012 km3，接着老师问道：“太阳的半径约是地球的102 倍，那么太阳的体积约是多少立方千米呢”，你能迅速求出结果吗？ 解：设地球的半径为r，则根据题意，太阳的半径为102r. V太＝eq \f(4,3)π·(102r)3，如果想要找到V太和V地之间的关系，需要知道如何计算(102r)3，也就是我们今天要研究的积的乘方． 承接上节课内容，通过学生感兴趣的问题入手，调动学生学习的积极性，让学生参与到课堂中来.活动二：实践探究、交流新知【探究新知】 问题1： 观察计算结果你能发现什么规律？ (1) (3×4)2＝________；32×42＝________； (2)(ab)2＝(ab)·(ab)＝(a·a)·(b·b)＝a()b() (3)(ab)3＝____________＝____________＝a()b() 学生独立思考后，教师讲解． (1)32×42＝144；32×42＝144； (2)(ab)2＝(ab)·(ab)＝(a·a)·(b·b)＝a(2)b(2)； (3)(ab)3＝(ab)·(ab)·(ab)＝(a·a·a)·(b·b·b)＝a(3)b(3) 根据乘方的意义以及乘法交换律和结合律得到计算结果． 追问1：你能再举一个例子，不写计算过程直接说出它的运算结果． (ab)5＝a5b5. 追问2：你能用符号表示你发现的规律吗？ (ab)n＝anbn (n是正整数)． 学生观察并独立思考，初步获得结论．通过再举例子，进一步验证自己的发现，最后用符号概括出所发现的规律． 问题2：你能将上述发现的规律推导出来吗？ 学生独立思考写出推导过程后，教师展示讲解． (ab)n＝　　　乘方的意义 ＝ 乘法交换律和乘法结合律 ＝anbn. 乘方的意义 积的乘方的运算性质：(ab)n＝anbn(n是正整数) 追问1：通过上面的探索和推导，你能用文字语言概括出积的乘方的运算性质吗？ 用文字语言概括出积的乘方的运算性质：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 追问2：推广：三个或三个以上因式积的乘方，是否依旧具有这样的运算性质？ (abc)n＝ ＝＝anbncn. 一般地，(abc)n＝anbncn(n是正整数)． 解决情景导入中的问题：(102r)3＝(102)3·r3＝106r3. ∴V太＝eq \f(4,3)π·(102r)3＝eq \f(4,3)π·106r3＝106×eq \f(4,3)πr3＝106·V地． ∵V地＝1.08×1012 km3， ∴V太＝106×1.08×1012＝1.08×1018 km3.1.通过学生自己观察、概括总结，既培养了学生的参与意识，又训练了他们的归纳及口头表达能力． 2．通过追问形式，深入探究，拓展学生的思维，提高学生分析问题及解决问题的能力.活动三：开放训练、体现应用【典型例题】 例1　 计算： (1)(2a)3；　　　　(2)(－5b)3；　　　　　(3)(xy2)2； (4)(－2x3)4; (5)[(x＋y)(x－y)]5; (6)(－2ab)3. 解：(1)原式＝23·a3＝8a3. (2)原式＝(－5)3·b3＝－125b3. (3)原式＝x2·(y2)2＝x2y4. (4)原式＝(－2)4·(x3)4＝16x12. 提示：(3)(4)涉及到幂的乘方和积的乘方的综合运用． (5)原式＝(x＋y)5(x－y)5. 提示：当底数为多项式时将多项式看作整体进行计算． (6)原式＝(－2)3·a3·b3＝－8a3b3. 例2　计算： (1)(－a3b)4＋2(a6b2)2； (2)(x3)2·x3－(3x3)3＋(5x)2·x7. (1)原式＝(－1)4·(a3)4·b4＋2(a6)2(b2)2 ＝a12b4＋2a12b4 ＝3a12b4. (2)原式＝x6·x3－33(x3)3＋52·x2·x7 ＝x9－27x9＋25x9 ＝－26x9＋25x9 ＝－x9. 师生活动：师生共同分析解答，教师引导学生运用性质一步步进行计算． 重点提醒学生正确应用法则，一定不要将同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方混淆．混合运算的顺序依旧是先乘方，再乘除，后加减合并同类项． 【变式训练】 1．计算： (1)0.254·45； (2)(0.04)2 004×[(－5)2 004]2. 解：(1)原式＝0.254×44×4＝(0.25×4)4×4＝4. (2)原式＝(0.04)2 004×54 008 ＝[(0.2)2]2 004×54 008 ＝0.24 008×54 008 ＝(0.2×5)4 008 ＝1. 2．如果(an·bm·b)3＝a9b15，求m, n的值． 解：∵(an·bm·b)3＝a9b15， ∴(an)3·(bm)3·b3＝a9b15. ∴a3n·b3m＋3＝a9b15. ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3n＝9，,3m＋3＝15.)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n＝3，,m＝4.)) 师生活动：此类题的关键是逆用积的乘方，学生独立思考完成后，教师讲解．1.通过教师有意识的引导，让学生在现有知识的基础上开动脑筋、积极思考，这是理解性质、推导性质的关键． 2．知识的综合与拓展提高学生运用新知解决问题的能力． 3．教师引导学生进行探索，必要时进行适当的启发和提示，提高学生学习数学的自信心.活动四：课堂检测【课堂检测】 1．(泉州中考)(x2y)3的结果是(D) A．x5y3 B．x6y C．3x2y D．x6y3 2．(遵义中考)下列运算正确的是(C) A．(－a2)3＝－a5 B．a3·a5＝a15 C．(－a2b3)2＝a4b6 D．3a2－2a2＝1 3．计算：－(－2x3y4)4＝－16x12y16． 4．(安顺中考)计算：(－3)2 022· (－eq \f(1,3))2 021＝－3． 5．计算： (1)(－2anb3n)2＋(a2b6)n； (2)(－3x3)2－(－x2)3＋(－2x)2－(－x)3. 解：(1)原式＝4a2nb6n＋a2nb6n ＝5a2nb6n. (2)原式＝9x6－(－x6)＋4x2－(－x3) ＝9x6＋x6＋4x2＋x3 ＝10x6＋x3＋4x2. 6．已知x2n＝2，求(3x3n)2－4(x2)2n的值． 解：∵x2n＝2， ∴(3x3n)2－4(x2)2n ＝9x6n－4x4n ＝9(x2n)3－4(x2n)2 ＝9×23－4×22 ＝9×8－4×4 ＝72－16 ＝56. 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　针对本课时的主要问题，从多个角度，分层次进行检测，达到学有所成，了解课堂学习效果的目的.课堂小结1.课堂小结： (1)本节课主要学习了哪些知识？ (2)本节课还有哪些疑惑？ 教学说明：教师提问并引导学生总结归纳积的乘方及其逆应用，同时强调与幂的乘方及同底数幂的乘法的区别与联系． 2．布置作业： 教材第98页练习．通过课堂小结的形式，使学生能够对本课时所学知识进行整理，同时明确学习重点.板书设计14.1.3　积的乘方 eq \a\vs4\al(积的乘方)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(法则\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(文字表述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得,　　 的幂相乘,字母表示：（ab）n＝anbn（n为正整数）)),运用\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(利用法则计算,逆用公式求值))))提纲挈领，重点突出.教学反思反思，更进一步提升.课题14.1.4　第1课时　单项式与单项式相乘授课人素养目标1．探索并了解单项式与单项式的法则，并运用它们进行计算. 2．让学生主动参与到探索过程中去，逐步形成独立思考、主动探索的习惯，培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的能力． 3．在探索整式运算的过程中，会用乘法的运算律将问题转化，使学生从中获得成就感，培养学习数学的兴趣.教学重点单项式与单项式相乘的运算法则及其应用.教学难点灵活地进行单项式与单项式相乘的运算.授课类型新授课课时教学步骤师生活动设计意图回顾　　前面我们已经学习了幂的运算性质，从本节开始，我们学习整式的乘法．我们回忆一下，整式包括什么？(包括单项式和多项式)．这节课我们就来学习整式的乘法中最简单的一种：单项式与单项式相乘．学生回忆并回答，以此达到温故知新的目的.活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】 一位画家设计了一幅长为6 000米，名为“奥运龙”的宣传画．受他的启发，京京用两张同样大小的纸，精心制作了两幅画．如图所示，第一幅画的画面大小与纸的大小相同，第二幅画的画面与纸的上、下方各留有eq \f(1,8)x米的空白． (1)第一幅画的画面面积是多少？ (2)第二幅画的画面面积是多少？ A生：第一幅画的画面面积是x·(mx)平方米，第二幅画的画面面积是(mx)·eq \f(3,4)x平方米． B生：第一幅画的画面面积是mx2平方米，第二幅画的画面面积是eq \f(3,4)mx2平方米． 根据上述问题的讨论，回答下列问题： 问题1：他们的结果是否正确？若不正确，请判断谁对或给出你的答案；若都正确，它们之间又有什么关系？B生的答案又是怎样得来的？ 问题2：单项式乘单项式时，结果的系数是怎样得到的？相同的字母怎么办？仅在一个单项式里出现的字母怎么办？ 接下来我们带着疑问来进行本节课的学习．从学生的已有的知识出发，利用多媒体，激发学生强烈的好奇心和求知欲，从而使学生经历将实际问题转化为数学问题的建模过程.活动二：实践探究、交流新知【探究新知】 单项式与单项式相乘法则 问题光的速度约为3×105千米/秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗？ 学生看题并思考，回答． (3×105)×(5×102) 怎样计算(3×105)×(5×102)呢？ 根据乘法的交换律和结合律有 (3×105)×(5×102)＝(3×5)×(105×102)＝15×107. 思考：如果将上式中的数字改为字母，比如ac5·bc2，这是什么运算？怎样计算这个式子呢？ ac5·bc2＝(a·c5)·(b·c2) ＝(a·b)·(c5·c2)(乘法交换律和结合律) ＝abc5＋2(同底数的幂相乘) ＝abc7. 学生小组合作交流，教师引导归纳单项式相乘法则． 单项式与单项式相乘法则： (1)各单项式的系数相乘； (2)同底数幂分别相乘； (3)只在一个单项式因式里含有的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式． 有了单项式与单项式的乘法法则，我们就不难得知A生和B生的答案均是正确的．1.通过创设问题情境，借助生活实例让学生独立思考数学问题，同时激起了学生学习的欲望和兴趣． 2．通过小组交流讨论，培养学生的归纳总结能力.活动三：开放训练、体现应用【典型例题】 例　(教材第98页例4)计算： (1)(－5a2b)(－3a)；(2)(2x)3(－5xy2)． 解：(1)原式＝[(－5)×(－3)](a2·a)·b＝15a3b. (2)原式＝8x3·(－5xy2)＝[8×(－5)](x3·x)·y2＝－40x4y2. 师生活动：先让学生观察题中涉及的运算有哪些？分析后再动手，同时强调单项式乘单项式的“三点注意”： (1)在计算时，应先确定积的符号； (2)按计算顺序进行； (3)不要丢掉只在一个单项式里含有的字母． 【变式训练】 计算： (1)3ab2c·(2a2b)·(－abc2)3； 解：原式＝3ab2c·(2a2b)·(－a3b3c6)＝－6a6b6c7. 师生活动：学生独立完成后教师进行讲解并强调在混合运算中：①先算乘方，再算乘除，最后算加减；②有同类项的一定要合并同类型，使结果最简． (2)－6x2y·(a－b)3·eq \f(1,3)xy2·(b－a)2. 解：原式＝－6x2y·eq \f(1,3)xy2·(a－b)3·(a－b)2 ＝－2x3y3(a－b)5. 师生活动：学生先进行观察分析，教师适当提示将(a－b)看作一个整体，并且在一般情况下选择偶数次幂变形符号简单一些，引导学生进行求解．1.通过典型例题讲解使学生掌握解题过程及书写格式，同时培养学生良好的学习习惯． 2．变式训练进一步巩固新知，拓展学生思维，从而提高综合运用知识的能力.活动四：课堂检测【课堂检测】 1．计算3a·2b的结果是(D) A．3ab B．5ab C．6a D．6ab 2．计算－3a2·a3的结果是(A) A．－3a5 B．3a6 C．－3a6 D．3a5 3．下列运算中，正确的是(C) A．(－a)2·(a3)2＝－a8 B．(－a)(－a3)2＝a7 C．(－2a2)3＝－8a6 D．(ab2)2(a2b)＝a3b5 4．计算： (1)3a·a3－(2a2)2； (2)2x6y2·x3y＋(－25x8y2)(－xy)； (3)(－2a2)·(－ab2)3·2a2b3. 解：(1)原式＝－a4.(2)原式＝27x9y3.(3)原式＝4a7b9. 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　通过设置课堂检测，进一步巩固所学新知，同时检测学习效果，做到“堂堂清”.课堂小结1.课堂小结： (1)本节课主要学习了哪些知识？ (2)本节课还有哪些疑惑？ 2．布置作业： 教材第99页练习第1，2题．通过课堂小结的形式，使学生能够对本课时所学知识进行整理，同时明确学习重点.板书设计14.1.4　整式的乘法 第1课时　单项式与单项式相乘 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．提纲挈领，重点突出.教学反思反思，更进一步提升.课题14.1.4　第2课时　单项式与多项式相乘授课人素养目标1．探索并了解单项式与多项式的乘法运算法则． 2．会进行简单的整式乘法运算. 3．经历探索单项式与多项式相乘的运算过程，体会分配律的作用和转化思想，发展有条理的思考及语言表达能力. 4．培养良好的探究意识与合作交流的能力，体会整式运算的应用价值，培养学生学习的兴趣.教学重点单项式与多项式相乘的法则.教学难点单项式与单项式相乘的法则及单项式与多项式相乘的法则的综合运用.授课类型新授课课时教学步骤师生活动设计意图回顾　　计算： (1)(－2a2)(－eq \f(1,8)ab2)； (2)(－12)×(eq \f(1,3)＋eq \f(1,4)－eq \f(1,6))． 复习有理数的运算和乘法分配律及单项式乘单项式的法则，为这节课做准备.活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】 问题：为了扩大 绿地的面积，要把街心花园的一块长p 米，宽b 米的长方形绿地，向两边分别加宽a米和c米，你能用几种方法表示扩大后的绿地的面积？ 教师提出问题让学生大胆探索，引起学生的求知欲.活动二：实践探究、交流新知【探究新知】 1．针对上面问题，我们可以用几种不同的方法表示： p(a＋b＋c)； p(a＋b)＋pc； pa＋p(b＋c)； pa＋pb＋pc. 2．思考：p(a＋b＋c)和pa＋pb＋pc之间有着怎样的关系？为什么？ 学生观察可知：p(a＋b＋c)＝pa＋pb＋pc，它们都表示长方形绿地的面积． 3．学生观察等式，等号左边是什么和什么相乘？ 4．思考：你能根据分配律得到这个等式吗？怎么得到？ 5．鼓励学生用自己的语言概括单项式乘以多项式的法则． 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．1.引导学生概括单项式乘多项式的法则，培养学生的概括能力和语言的严谨性． 2．通过概括单项式乘以多项式的法则的过程引导学 生复习相关知识.活动三：开放训练、体现应用【典型例题】 例1　(教材第100页例5)计算： (1)(－4x2)(3x＋1)；　　　　　(2)(eq \f(2,3)ab2－2ab)·eq \f(1,2)ab. 解：(1)原式＝(－4x2)(3x)＋(－4x2)＝(－4×3)(x2·x)＋(－4x2)＝－12x3－4x2. (2)原式＝eq \f(2,3)ab2·eq \f(1,2)ab＋(－2ab)·eq \f(1,2)ab＝eq \f(1,3)a2b3－a2b2. 例2　先化简，再求值：x2(3－x)＋x(x2－2x)＋1，其中x＝3. 解：原式＝3x2－x3＋x3－2x2＋1＝x2＋1. 当x＝3时，原式＝32＋1＝10. 师生活动：学生先独立完成，然后小组内讨论解答过程，最后派学生代表演板，最后教师进行统一讲解并指出易错的符号问题． 【变式训练】 1．已知(－2x2)(3x2－ax－6)－3x3＋x2中不含x的三次项，求a的值． 解：原式＝－6x4＋2ax3＋12x2－3x3＋x2 ＝－6x4＋(2a－3)x3＋13x2. ∵不含x的三次项，∴2a－3＝0. 解得a＝eq \f(3,2). 2．(1)如图是小颖家新房的户型图，小颖的爸爸打算把两个卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果某种地砖的价格为每平方米a元，那么购买地砖至少需要多少元？ (2)如果房屋的高度是h米，现在需要在客厅和两个卧室四周的墙上贴墙纸，那么至少需要多少平方米的墙纸？如果某种墙纸的价格为每平方米b元，那么购买所需的墙纸至少要多少元？(计算时不扣除门、窗所占的面积，忽略墙的厚度) 解：(1)由题意知，两个卧室以外的部分面积为 3y·y＋2y·(3x－x－y)＝3y2＋4xy－2y2＝(y2＋4xy)平方米． ∴购买地砖所需的费用为(y2＋4xy)a＝(ay2＋4axy)元． (2)客厅贴墙纸的面积为(2y＋6y)h＝8yh平方米， 两个卧室贴墙纸的面积为(4x＋6y)h＝(4xh＋6yh)平方米， ∴贴墙纸的总面积为8yh＋4xh＋6yh＝(14yh＋4xh)平方米． ∴购买墙纸所需的费用为(14yh＋4xh)b＝(14yhb＋4xhb)元． 师生活动：学生在教师引导下正确转化题意，从而完成解答．1.典型例题巩固新知，让学生进一步熟悉单项式乘以多项式的法则，强调书写规范，并提出几个注意事项． 2．变式训练在巩固新知的同时，拓展学生的思维，培养学生对所学知识的综合应用能力.活动四：课堂检测【课堂检测】 1．计算2a(a2－1)的结果是(A) A．2a3－2a B．2a3＋a C．2a3＋2a D．a3＋2a 2．计算(－4m2)·(3m＋2)的结果是(C) A．－12m3＋8m2 B．12m3－8m2 C．－12m3－8m2 D．12m3＋8m2 3．如果一个三角形的底边长为2x2y＋xy－y2，高为6xy，则这个三角形的面积为6x3y2＋3x2y2－3xy3． 4．化简： (1)2(2x2－xy)＋x(x－y)； 解：原式＝4x2－2xy＋x2－xy ＝5x2－3xy. (2)ab(2ab2－a2b)－(2ab)2b＋a3b2. 解：原式＝2a2b3－a3b2－4a2b3＋a3b2 ＝－2a2b3. 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　学以致用，当堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.课堂小结1.课堂小结： (1)本节课你学到了什么？有什么体会？在计算过程中，你认为应该注意哪些问题？ (2)探索单项式与多项式相乘的法则的过程，体现了哪些思想方法？ 2．布置作业： 教材第100页练习第1，2题．通过课堂小结的形式，使学生能够对本课时所学知识进行整理，同时明确学习重点.板书设计14.1.4　整式的乘法 第2课时　单项式与多项式相乘 单项式与多项式相乘，就是用单项式去成多项式的每一项，再把所的的积相加．提纲挈领，重点突出.教学反思反思，更进一步提升.课题14.1.4　第3课时　多项式与多项式相乘授课人素养目标1．经历探索多项式乘法法则的过程，理解多项式乘法法则； 2．灵活运用多项式乘多项式的运算法则. 3．用数学的思维体会乘法分配律的作用与转化思想，发展有条理的思考及语言表达能力. 4．充分调动学生学习的积极性、主动性，提高与他人沟通交流的能力.教学重点多项式乘法法则的理解及运用.教学难点 探索多项式乘法的法则，注意多项式乘法的运算中“漏项”、“符号”的问题.授课类型新授课课时教学步骤师生活动设计意图回顾1.单项式乘单项式、单项式乘多项式的法则分别是什么？ 2．计算m(a＋b)． 复习旧知为学习新知做好准备.活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】 拿出准备好的硬纸板，画出如图所示的图形，并标上字母． 教师活动：要求学生根据图中的数据，求一下这个长方形的面积． 学生活动：与同伴交流，表示出它的面积为(m＋b)(n＋a)．从学生的已有的知识出发引入新课，为新课的学习做好铺垫.活动二：实践探究、交流新知【探究新知】 请同学们将纸板上的长方形沿中间的竖线剪开，分成两部分，如图．剪开之后，分别求一下这两部分的面积，再求一下它们的和． 学生活动：分成小组，合作探究，求出第一块的面积为m(n＋a)，第二块的面积为b(n＋a)，它们的和为m(n＋a)＋b(n＋a)． 教师活动：组织学生继续沿着横的线段剪开，将图形分成四部分，如图，然后再求这四块长方形的面积． 学生活动：分成小组，合作学习，求出S1＝mn；S2＝nb；S3＝am；S4＝ab，它们的和为S＝mn＋nb＋am＋ab. 教师提问：依据上面的操作中求得的图形面积，探索(m＋b)(n＋a)应该等于什么？ 学生活动：分成小组讨论，并交流自己的看法． (m＋b)(n＋a)＝m(n＋a)＋b(n＋a)＝mn＋nb＋am＋ab. 因为以上三次计算是按照不同的方法对同一个长方形的面积进行的计算，那么，每次的计算结果应该是相同的，所以(m＋b)(n＋a)＝m(n＋a)＋b(n＋a)＝mn＋nb＋am＋ab. 你能类比单项式与多项式相乘的法则，叙述多项式与多项式相乘的法则吗？ 师生共同归纳：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 字母呈现：.1.通过动手操作，培养学生的实践应用能力，并让学生体会数形结合的数学思想． 2．通过归纳多项式乘多项式的法则，培养了学生归纳、概括解决问题的能力，让学生体会转化、类比和整体的数学思想.活动三：开放训练、体现应用【典型例题】 例1　(教材第101页例6)计算： (1)(3x＋1)(x＋2)； (2)(x－8y)(x－y)； (3)(x＋y)(x2－xy＋y2)． 解：(1)(3x＋1)(x＋2)＝(3x)·x＋(3x)×2＋1·x＋1×2＝3x2＋6x＋x＋2＝3x2＋7x＋2. (2)(x－8y)(x－y)＝x2－xy－8xy＋8y2＝x2－9xy＋8y2. (3)(x＋y)(x2－xy＋y2)＝x3－x2y＋xy2＋x2y－xy2＋y3＝x3＋y3. 例2　先化简，再求值：(x－2y)(x＋3y)－(2x－y)(x－4y)，其中x＝－1，y＝2. 解：原式＝x2＋3xy－2xy－6y2－(2x2－8xy－xy＋4y2) ＝x2＋3xy－2xy－6y2－2x2＋8xy＋xy－4y2 ＝－x2＋10xy－10y2. 当x＝－1，y＝2时，原式＝－(－1)2＋10×(－1)×2－10×22＝－61. 师生活动：学生独立完成后派学生代表演板，最后教师给出最终解答并强调多项式与多项式相乘需注意以下几点： (1)相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏； (2)多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数等于原多项式的项数之积； (3)相乘后，若有同类项，则合并同类项； (4)每一项进行相乘时，避免出现符号问题． 【变式训练】 1．在计算时我们如果能总结规律，并加以归纳，得出数学公式，一定会提高解题的速度，在解答下面问题中请留意其中的规律． (1)计算后填空：(x＋1)(x＋2)＝x2＋3x＋2；(x＋3)(x－1)＝x2＋2x－3； (2)归纳、猜想后填空：(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab； (3)运用(2)猜想的结论，直接写出计算结果：(x＋2)(x＋m)＝x2＋(2＋m)x＋2m． 2．已知：小刚同学在计算(2x＋a)(3x－2)时，由于他抄错了a前面的符号，把“＋”写成了“－”，导致他在后面每一步都算对的情况下得到的结果为6x2＋bx＋10. (1)求a，b的值； (2)计算这道题的正确结果． 解：(1)由题意，得(2x－a)(3x－2)＝6x2＋(－4－3a)x＋2a＝6x2＋bx＋10. ∴－4－3a＝b，2a＝10， 解得a＝5，b＝－19. (2)(2x＋5)(3x－2) ＝6x2－4x＋15x－10 ＝6x2＋11x－10. 师生活动：学生在独立思考的基础上，以小组合作的形式思考解答两道变式训练题，教师巡视并参与讨论，选派两组代表展示解法，最后师生共同订正．1.通过典型例题巩固新知，让学生学会解题格式并思考过程．同时让学生领会多项式乘法的运用方法以及需注意的问题． 2．变式训练提高学生的发散思维，体会对应思想的具体应用.活动四：课堂检测【课堂检测】 1．计算(2x＋1)(x－5)的结果是(A) A．2x2－9x－5 B．2x2－9x＋5 C．2x2－11x－5 D．2x2－11x＋5 2．若(y＋3)(y－2)＝y2＋my＋n，则m＋n的值为__－5． 3．计算： (1)(2a－3b)(a＋2b)－a(2a－b)； (2)(x＋7)(x＋5)－(x＋1)(x＋5)． 解：(1)原式＝2ab－6b2. (2)原式＝6x＋30. 4．按村镇建设规划的要求，需将小张家一块正方形土地的一边增加5米，另一边减少5米，这块土地的面积改变了吗？请说明理由． 解：设原来正方形土地的边长是x米，则原来正方形土地的面积是x2平方米，现在这块地的一边增加5米，另一边减少5米后的面积是(x＋5)(x－5)平方米， ∴x2－(x＋5)(x－5)＝x2－(x2－25)＝25. ∴这块土地的面积改变了． 学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　针对本课时的主要问题，从多个角度，分层次进行检测，达到学有所成，了解课堂学习效果的目的.课堂小结1.课堂小结： (1)本节课主要学习了哪些知识？ (2)本节课还有哪些疑惑？ 2．布置作业： 教材第102页练习第1，2题．通过课堂小结的形式，使学生能够对本课时所学知识进行整理，同时明确学习重点.板书设计14.1.4　整式的乘法 第3课时　多项式与多项式相乘 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．  提纲挈领，重点突出.教学反思反思，更进一步提升.课题14.1.4　第4课时　整式的除法授课人素养目标1．掌握同底数幂的除法的运算法则，会用同底数幂的除法的法则进行计算． 2．掌握单项式除以单项式的运算法则及其应用． 3．掌握多项式除以单项式的运算法则及其应用. 4．经历探索整式的除法的运算法则的过程，获得成功的体验，增强学生学好数学的自信心． 5．提倡多样化的算法，培养学生的创新精神.教学重点整式的除法的运算法则及应用.教学难点探索整式的除法的运算法则的过程.授课类型新授课课时教学步骤师生活动设计意图回顾1.叙述并写出幂的运算性质． 2．叙述单项式乘单项式的法则． 3．叙述单项式乘多项式的法则． 4．叙述多项式乘多项式的法则．回顾旧知为学习新知做铺垫.活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】 人们以分贝为单位来表示声音的强弱．通常说话的声音是50分贝，它表示声音的强度是105；摩托车发出的声音是110分贝，它表示声音的强度是1011，摩托车发出的声音强度是说话声音强度的多少倍？ 根据题意，请同学们列出算式，可得1011÷105，它是两个同底数幂相除，那么如何进行计算呢？ 活动二：实践探究、交流新知【探究新知】 1．同底数幂的除法 我们知道106×105＝1011，根据乘法与除法互为逆运算，有1011÷105＝106. 计算： (1)a9÷a3； (2)212÷27； (3)(－x)4÷(－x)． (4)am÷an. 提出问题： (1)上述式子有什么特点？ (2)能不能根据除法是乘法的逆运算，用学过的同底数幂的乘法法则来计算呢？ (3)通过计算，你发现了什么规律？ 学生活动：学生独立思考，利用除法的意义填空，根据自己所填结果，探索、归纳同底数幂的除法法则． 教师活动：教师引导学生自主探索，发现规律，归纳同底数幂的除法法则． am÷an＝am－n(a≠0，m，n都是正整数，并且m>n)． 即同底数幂相除，底数不变，指数相减． 根据除法的意义填空，你有什么发现？ (1)55÷52＝________； (2)107÷107＝________； (3)a6÷a6＝________(a≠0)． 师生活动：学生独立完成填空，根据所填结果，教师引导学生根据幂的除法法则得出结论： a0＝1(a≠0)． 即任何不等于0的数的0次幂都等于1. 在这个过程中要学生理解a不能等于0的原因． 2．单项式除以单项式 计算：12a3b2x3÷3ab2. 提出问题： (1)这是单项式除以单项式吗？怎样求解？ (2)同底数幂的除法我们是运用了乘法的逆运算来求，单项式除以单项式可不可以用同样的方法来计算？ (3)通过计算，你发现了什么规律？ 概括探究两个单项式相除的方法． 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 3．多项式除以单项式 讨论： 有了单项式除以单项式的经验，你会做多项式除以单项式的运算吗？ (1)计算：(ma＋mb＋mc)÷m； (2)从上面的计算中，你能发现什么规律？与同伴交流一下． 概括：多项式除以单项式运算的实质是把多项式除以单项式的运算转化为单项式的除法．1.通过提出问题，让学生积极参与到课堂中来，并且引导学生自主探索，发现规律，从而掌握整式的除法的运算法则． 2．探究过程由一般到特殊，符合学生的认知规律，同时培养学生分析问题以及归纳概括的能力.活动三：开放训练、体现应用【典型例题】 例1　(教材第103页例7)计算： (1)x8÷x2； (2)(ab)5÷(ab)2. 解：(1)x8÷x2＝x8－2＝x6. (2)(ab)5÷(ab)2＝(ab)5－2＝(ab)3＝a3b3. 例2　(教材第103页例8)计算： (1)28x4y2÷7x3y； (2)－5a5b3c÷15a4b； (3)(12a3－6a2＋3a)÷3a. 解：(1)28x4y2÷7x3y＝(28÷7)·x4－3·y2－1＝4xy. (2)－5a5b3c÷15a4b＝[(－5)÷15]a5－4b3－1c＝－eq \f(1,3)ab2c. (3)(12a3－6a2＋3a)÷3a＝12a3÷3a－6a2÷3a＋3a÷3a＝4a2－2a＋1. 师生活动：学生独立思考并完成解答，小组讨论运算结果的正确性，然后教师通过提问让学生发现错误的原因，在计算过程中尤其要注意符号的问题． 【变式训练】 1．计算：(1)(eq \f(2,3)x2n＋2y2－ eq \f(1,2)x2n＋1y3＋x2ny4)÷(eq \f(3,2)xny)2； 解：原式＝(eq \f(2,3)x2n＋2y2－ eq \f(1,2)x2n＋1y3＋x2ny4)÷(eq \f(9,4)x2ny2) ＝eq \f(8,27)x2－eq \f(2,9)xy＋eq \f(4,9)y2. (2)[2(a＋b)5－3(a＋b)4＋(－a－b)3]÷2(a＋b)3. 解：原式＝[2(a＋b)5－3(a＋b)4－(a＋b)3]÷2(a＋b)3 ＝(a＋b)2－eq \f(3,2)(a＋b)－eq \f(1,2) ＝a2＋2ab＋b2－eq \f(3,2)a－eq \f(3,2)b－eq \f(1,2). 2．如果m(xayb)3÷(2x3y2)2＝eq \f(1,8)x3y2，求m，a，b的值． 解：∵m(xayb)3÷(2x3y2)2＝mx3ay3b÷(4x6y4)＝eq \f(1,4)mx3a－6y3b－4， ∴eq \f(1,4)mx3a－6y3b－4＝eq \f(1,8)x3y2. 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)m＝\f(1,8)，,3a－6＝3，,3b－4＝2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,2)，,a＝3，,b＝2.)) 师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由教师完成解答．1.典型例题进一步巩固所学新知，使学生对整式除法的运算更加熟练． 2．变式训练是对知识的综合考察，提升学生的计算能力的同时拓展学生的思维，并让学生进一步体会整体思想在计算过程中的应用.活动四：课堂检测【课堂检测】 1．计算8a3÷(－2a)的结果是(D) A．4a B．－4a C．4a2 D．－4a2 2．计算a6b2÷(ab)2的结果是(B) A．a3 B．a4 C．a3b D．a4b 3．下面计算正确的是(C) A．x6÷x2＝x3 B．(－x)6÷(－x)4＝－x2 C．36a3b4÷9a2b＝4ab3 D．(2x3－3x2－x)÷(－x)＝－2x2＋3x 4．若(a－2)0＝1，则a的取值范围是a≠2． 5．长方形的面积为x2－2xy＋x，其中一边长是x，则另一边长是x－2y＋1． 6．计算： (1)(x4y＋6x3y2－x2y3)÷3x2y； (2)[a(a＋1)＋(a－1)(a－1)－1]÷(－a)． 解：(1)原式＝eq \f(1,3)x2＋2xy－eq \f(1,3)y2. (2)原式＝(a2＋a＋a2－2a＋1－1)÷(－a)＝(2a2－a)÷(－a)＝－2a＋1. 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　通过设置课堂检测，进一步巩固所学新知，同时检测学习效果，做到“堂堂清”.课堂小结1.课堂小结： (1)本节课主要学习了哪些知识？ (2)本节课还有哪些疑惑？ 2．布置作业： 教材第104页练习第1，2，3题．通过课堂小结的形式，使学生能够对本课时所学知识进行整理，同时明确学习重点.板书设计14.1.4　整式的乘法 第4课时　整式的除法 1．同底数幂的除法 am÷an＝am－n(a≠0，m，n都是正整数，并且m>n)． 即同底数幂相除，底数不变，指数相减． 注意：a0＝1(a≠0)． 即任何不等于0的数的0次幂都等于1. 2．单项式除以单项式 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 3．多项式除以单项式 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．提纲挈领，重点突出.教学反思反思，更进一步提升.课题14.2.1　平方差公式授课人素养目标1．经历探索平方差公式的过程． 2．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算，进一步培养学生逆向思维能力和数学应用意识，感悟整体思想. 3．让学生在合作探究学习的过程中体验成功的喜悦，在感悟数学美同时激发学习数学的兴趣和信心.教学重点平方差公式的推导和应用.教学难点理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式.授课类型新授课课时教学步骤师生活动设计意图回顾　　在前面我们学习了多项式与多项式相乘，大家回顾一下它的计算方法并完成下面的练习： (1)(x＋2)(x－2)；(2)(m－1)(m＋1); (3)(x＋2y)(x－2y)．回顾旧知，为讲解新知识做准备.活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】 以前，狡猾的灰太狼，把一块长为a米的正方形土地租给懒羊羊种植．今年，他对懒羊羊说：“我把这块地一边减少4米，另一边增加4米，继续租给你，你也没有吃亏，你看如何？”懒羊羊听了，觉得好像没有吃亏，就答应了．懒羊羊回到羊村，把这件事跟大伙一说，喜羊羊马上就说懒羊羊吃亏了，过了一会儿沸羊羊也说懒羊羊确实吃亏了，这是为什么呢？情境创设，引发学生学习的兴趣，同时激发了学生的好奇心和求知欲，顺利引入新课.活动二：实践探究、交流新知【探究新知】 1．计算：利用多项式的乘法法则，计算下面各题．观察、分析题目左边的算式和右边的结果，你能从中发现什么规律？(让学生进行小组讨论) (1)(x＋1)(x－1)＝x2－1； (2) (m＋2)(m－2) ＝ m2－4； (3)(2x＋1)(2x－1)＝4x2－1. 问题1：观察、分析等式左边的两个多项式有什么共同特点？等式右边的结果有什么特点？请用一句话归纳总结出等式的特点． 发现：左边为两个数的和与两个数差的积，右边为这两个数的平方差． 猜想：(a＋b)(a－b)＝ a2－b2. 问题2：你能通过计算(a＋b)(a－b)，说明猜想的合理性吗？ 代数说明：(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab－b2＝a2－b2. 问题3：你能借助图形的面积，说明猜想的正确性吗？ 几何说明： (1)请表示出图1的面积． (2)将阴影部分剪拼成了一个长方形(图2)，这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？ (3)比较前面两个结果，你有什么发现？ S阴＝a2－b2　　　　S阴＝(a＋b)(a－b) ∴(a＋b)(a－b)＝a2－b2. 归纳公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2. 文字叙述：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式叫做(乘法的)平方差公式． 问题4：现在，你知道懒羊羊为什么吃亏了吗？吃亏了多少？ (通过计算，可以看出懒羊羊吃亏了16 m2，灰太狼太狡猾了．看来懒羊羊没有好好学习，没有识破他的诡计．) 2．分析公式结构特征． 问题1：平方差公式具有什么样的结构特征呢？ 请同学们仔细观察公式，试着模仿公式写出几个可以应用平方差公式进行计算的题目，指名汇报． 问题2：想一想①(－a＋b)(a＋b)，②(－a－b)(－a＋b)，③(a－b)(－a－b)这些可以用平方差公式进行计算吗？教师引导学生从项的符号上辨析公式的特征并归纳． (1)公式左边是两个二项式相乘，并且两个二项式中有一项(a)是相同的，有一项(b与－b)互为相反数； (2)公式的右边是乘数中两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方)； (3)公式中字母可以是具体数字，也可以是多项式或单项式； (4)对于具有与此相同形式的多项式相乘，就可以直接运用公式写出结果．1.让学生运用前面已掌握的乘法法则，自己动手演算，积极思考，尝试数学表述，为后面的抽象概括做好准备． 2．由特殊到一般，通过引导，与学生共同抽象概括出平方差公式，发挥教师的主导作用，学生的主体作用，培养学生抽象概括能力.活动三：开放训练、体现应用【典型例题】 例1　(教材第108页例1)运用平方差公式计算： (1)(3x＋2)(3x－2)；(2)(－x＋2y)(－x－2y)． 分析：在(1)中，可以把3x看成a，2看成b，即 (3x＋2)(3x－2)＝(3x)2－22 ↕　 ↕ ↕　 ↕　 ↕　 ↕ (a ＋b)(a －b)＝ a2 － b2 在(2)中，可以把－x看成a，2y看成b，即 (－x＋2y)(－x－2y)＝(－x)2－(2y)2 　↕　↕　 ↕　↕　　↕　　↕ ( a ＋ b )(a － b )＝　a2　－　b2 解：(1)(3x＋2)(3x－2)＝(3x)2－22＝9x2－4. (2)(－x＋2y)(－x－2y)＝(－x)2－(2y)2＝x2－4y2. 例2　(教材第108页例2)计算： (1)(y＋2)(y－2)－(y－1)(y＋5)； (2)102×98. 解：(1)(y＋2)(y－2)－(y－1)(y＋5)＝y2－22－(y2＋4y－5)＝y2－4－y2－4y＋5＝－4y＋1. (2)102×98＝(100＋2)(100－2)＝1002－22＝10 000－4＝9 996. 【变式训练】 运用平方差公式计算： (1)(m＋2n)(m－2n)； (2)(－4a＋3)(－4a－3)； (3)1 007×993； (4)(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)． 解：(1)原式＝m2－4n2. (2)原式＝(－4a)2－32＝16a2－9. (3)原式＝(1 000＋7)×(1 000－7)＝1 0002－72＝999 951. (4)原式＝4x2－y2－(4y2－x2)＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2. 师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由教师完成解答．1.设计了不同形式类型的典型例题，强化平方差公式的本质：即结构的不变性，字母的可变性． 2．这组练习主要是要考察学生有没有掌握平方差公式的结构.活动四：课堂检测【课堂检测】 1．下列能用平方差公式计算的是(B) A．(－x＋y)(x－y) B．(x－1)(－1－x) C．(2x＋y)(2y－x) D．(x－2)(x＋1) 2．计算(2＋x)(x－2)的结果是(D) A．2－x2 B．2＋x2 C．4＋x2 D．x2－4 3．若三角形的底边长为2a＋1，底边上的高为2a－1，则此三角形的面积为(D) A．4a2－1 B．4a2－4a＋1 C．4a2＋4a＋1 D．2a2－eq \f(1,2) 4．当x＝3，y＝1时，代数式(x＋y)(x－y)＋y2的值是9． 5．计算： (1)(3a＋2b)(3a－2b)； (2)(－2xy＋3y)(－2xy－3y)． 解：(1)原式＝9a2－4b2. (2)原式＝4x2y2－9y2. 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　针对本课时的主要问题，从多个角度、分层次进行检测，达到学有所成、了解课堂学习效果的目的.课堂小结1.课堂小结： (1)你在本节课中有哪些收获？哪些进步？ (2)学习本节课后，还存在哪些困惑？ 2．布置作业： 教材第108页练习第 1，2题，第112页习题14.2第1题．小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.板书设计14.2.1　平方差公式 (a＋b)(a－b)＝a2－b2.提纲挈领，重点突出.教学反思反思，更进一步提升.课题14.2.2　第1课时　完全平方公式授课人素养目标1．完全平方公式的推导及其应用． 2．完全平方公式的几何解释. 3．用数学的思维探索完全平方公式的推导过程，进一步发展符号感和推理能力． 4．引发和培养学生观察、分析和归纳能力，进一步培养学生的思维条理性和表达能力.教学重点完全平方公式的推导和应用.教学难点理解完全平方公式的结构特征，灵活应用完全平方公式.授课类型新授课课时教学步骤师生活动设计意图回顾1.多项式乘多项式的法则是什么？ 2．平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差． 即(a＋b)(a－b)＝a2－b2. 计算：(1)(3m－1)(3m＋1)；(2)(2a－3)2.回顾旧知，为讲解新知识做准备.活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】 问题：根据乘方的定义，我们知道：a2＝a·a，那么(a＋b)2 应该写成什么样的形式呢？(a＋b)2的运算结果有什么规律？计算下列各式，你能发现什么规律？ (1)(p＋1)2＝(p＋1)(p＋1)＝________； (m＋2)2＝________； (2)(p－1)2＝(p－1)(p－1)＝________； (m－2)2＝________； 要求学生独立完成计算．通过对两个二项式乘法的特殊化，得到完全平方公式．为后面让学生循序渐进理解公式推导过程做铺垫.活动二：实践探究、交流新知【探究新知】 1．对于【课堂引入】的问题，教师组织学生通过观察上面的运算结果中的每一项，猜测它们的共同特点． 学生活动：分成小组，讨论、观察、探讨，发现规律如下： (1)右边第一项是左边括号中第一项的平方，右边最后一项是左边括号中第二项的平方，中间一项是左边括号中第一项和第二项乘积的2倍． (2)左边如果为“＋”号，右边全是“＋”号，左边如果为“－”号，右边中间一项的符号就为“－”号，其余都为“＋”号． 教师提问：那我们就利用简单的(a＋b)2与(a－b)2进行验证，请同学们利用多项式乘法以及幂的意义进行计算． 我们可以看出，上面几个运算都是形如 (a±b)2的多项式相乘，由于 (a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2. (a－b)2＝(a－b)(a－b)＝＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2. 所以，对于具有此相同的多项式相乘，我们可以直接写出运算结果，即 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2. (a－b)2＝a2－2ab＋b2. 语言叙述：两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍． 2．几何推导验证： 问题1：一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加b米，形成四块实验田，以种植不同的新品种。(如图) (1)四块面积分别为：a2、ab、ab、b2； (2)两种形式表示实验田的总面积： ① 整体看：边长为(a＋b)的大正方形，S＝(a＋b)2； ②部分看：四块面积的和，S＝a2＋2ab＋b2． 总结：通过以上探索你发现了什么？ (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2. 问题2：如果将该正方形田地的边长缩减b米，则其边长又为多少？面积呢？通过探索你发现了什么？ 学生回答：(a－b)2＝a2－2ab＋b2. 师生共同归纳： 两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍，这个公式叫做完全平方公式． (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2. (a－b)2＝a2－2ab＋b2.1.从多项式与多项式相乘入手，推导出完全平方公式． 2．由特殊到一般，通过引导，与学生共同抽象概括出完全平方公式，发挥教师的主导作用，学生的主体作用，培养学生抽象概括能力.活动三：开放训练、体现应用【典型例题】 例1　(教材第110页例3)运用完全平方公式计算： (1)(4m＋n)2；(2)(y－eq \f(1,2))2. 解：(1)(4m＋n)2＝(4m)2＋2·(4m)·n＋n2＝16m2＋8mn＋n2. (2)(y－eq \f(1,2))2＝y2－2·y·eq \f(1,2)＋(eq \f(1,2))2＝y2－y＋eq \f(1,4). 例2　(教材第110页例4)运用完全平方公式计算： (1)1022；(2)992. 解：(1)1022＝(100＋2)2＝1002＋2×100×2＋22＝10 000＋400＋4＝10 404. (2)992＝(100－1)2＝1002－2×100×1＋12＝10 000－200＋1＝9 801. 【变式训练】 1．直接运用完全平方公式计算： (1)(－2x＋3y)2；(2)(－2a－5)2. 解：(1)原式＝4x2－12xy＋9y2. (2)原式＝4a2＋20a＋25. 2．已知a，b都是正数，a－b＝1，ab＝2，则a＋b＝3． 师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由教师完成解答．1.适时、恰当地安排例题教学，能起到巩固所学知识的目的，使学生掌握解题的步骤． 2．对乘法公式的最初运用是模仿套用，套用的前提是确定是否具备使用公式的条件，关键是正确确定“两数”，即“a”和“b”.活动四：课堂检测【课堂检测】 1．下列计算正确的是(C) A．(x＋y)2＝x2＋y2 B．(x－y)2＝x2－2xy－y2 C．(x＋1)(x－1)＝x2－1 D．(x－1)2＝x2－1 2．计算(2x－1)(1－2x)结果正确的是(C) A．4x2－1 B．1－4x2 C．－4x2＋4x－1 D．4x2－4x＋1 3．计算：(eq \f(1,2)y－x)2＝eq \f(1,4)y2－xy＋x2． 4．已知a2＋b2＝5，ab＝1，则(a＋b)2＝7． 5．计算：(x＋2)2－(x＋1)(x－1)． 解：原式＝4x＋5. 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　针对本课时的主要问题，从多个角度、分层次进行检测，达到学有所成、了解课堂学习效果的目的.课堂小结1.课堂小结： (1)你在本节课中有哪些收获？哪些进步？ (2)学习本节课后，还存在哪些困惑？ 2．布置作业： 教材第110页练习第1，2题，第112页习题14.2第2，4题．小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.板书设计14.2.2　完全平方公式 第1课时　完全平方公式 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2. (a－b)2＝a2－2ab＋b2.提纲挈领，重点突出.教学反思反思，更进一步提升.课题14.2.2　第2课时　添括号法则授课人素养目标1．使学生掌握添括号法则，会运用法则进行整式变形，进一步灵活运用乘法公式进行计算．培养学生独立思考，分析及归纳能力. 2．经历由去括号到添括号的探索过程，培养学生的逆向思维能力. 3．熟练运用添括号法则，渗透类比、转化和整体思想. 4．引导学生在独立思考的基础上，积极参与讨论，逐步培养学生的合作交流意识.教学重点添括号法则的推导与应用.教学难点掌握添括号法则.授课类型新授课课时教学步骤师生活动设计意图回顾计算： 1．利用平方差公式计算下列各式： (1)(－3x－4)(3x－4)；　　　　(2)(x2y＋2)(2－x2y)． 2．利用完全平方公式计算下列各式： (1)(－3x－y)2; (2)(－6p＋eq \f(3,4)q)2.回顾旧知，为讲解新知识做准备.活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】 请同学们完成下列运算并回忆去括号法则． (1)4＋(5＋2)；　　(2)4－(5＋2)；　　(3)a＋(b＋c)；　　(4)a－(b－c)． 解：(1)4＋(5＋2)＝4＋5＋2＝11. (2)4－(5＋2)＝4－5－2＝－3. (3)a＋(b＋c)＝a＋b＋c. (4)a－(b－c)＝a－b＋c. 去括号法则： 去括号时，如果括号前是正号，去掉括号后，括号里各项不变号；如果括号前是负号，去掉括号后，括号里的各项都变号． 学生独立完成，互相订正．复习去括号法则，为后面添括号法则的引出做铺垫.活动二：实践探究、交流新知【探究新知】 根据以上解答，仿照去括号法则，叙述添括号法则： 如：4＋5＋2＝4＋(5＋2)　　　　4－5－2＝4－(5＋2) 左边没括号，右边有括号，也就是添了括号，同学们可不可以总结出添括号法则呢？ 添括号其实就是把去括号反过来，所以添括号法则是： ①添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号； ②如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号． 师生活动：学生在教师引导下积极思考问题，教师鼓励学生举其他例子来验证自己的发现．通过类比去括号法则，让学生自主推导得出添括号法则，体会添括号法则与去括号法则是互逆变形的过程，其符号变化与去括号法则变化一样，使学生理解添括号的来源，帮助学生更好掌握法则.活动三：开放训练、体现应用【典型例题】 例　(教材第111页例5)运用乘法公式计算： (1)(x＋2y－3)(x－2y＋3)； 解：(x＋2y－3)(x－2y＋3) ＝[x＋(2y－3)][x－(2y－3)] ＝x2－(2y－3)2 ＝x2－(4y2－12y＋9) ＝x2－4y2＋12y－9.　　　　 (2)(a＋b＋c)2. 解：(a＋b＋c)2 ＝[(a＋b)＋c]2 ＝(a＋b)2＋2(a＋b)c＋c2 ＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2 ＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc. 【变式训练】 为了应用平方差公式计算(a－b＋c)(a＋b－c)，必须先适当变形，下列各变形中，正确的是(D) A．[(a＋c)－b][(a－c)＋b] B．[(a－b)＋c][(a＋b)－c] C．[(b＋c)－a][(b－c)＋a] D．[a－(b－c)][a＋(b－c)] 师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由教师完成解答．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　让学生尝试应用添括号法则进行代数式的变形，体会符号的变化规律，进一步熟练掌握法则.活动四：课堂检测【课堂检测】 1．在括号里填上适当的项： (1)a＋2b－c＝a＋(2b－c)； (2)a－b－c＋d＝a－(b＋c－d)； (3)(a－b－c)(a－b＋c)＝[a－(b＋c)][a－(b－c)]． 2．已知a－3b＝3，则代数式8－a＋3b的值是5． 3．计算： (1)(x－y－z)2； 解：原式＝x2＋y2＋z2－2xy＋2yz－2xz.(2)(2a＋b＋1)(2a＋b－1)． 解：原式＝4a2＋4ab＋b2－1. 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．进一步巩固新知，及时检测学习效果，做到“堂堂清”.课堂小结1.课堂小结： (1)你在本节课中有哪些收获？哪些进步？ (2)学习本节课后，还存在哪些困惑？ 2．布置作业： 教材第111页练习第 1，2题．小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.板书设计14.2.2　完全平方公式 第2课时　添括号法则 添括号法则是： ①添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号； ②如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．提纲挈领，重点突出.教学反思反思，更进一步提升.课题14.3.1　提公因式法授课人素养目标1．了解因式分解与整式乘法之间的关系． 2．了解因式分解的概念和提公因式法. 3．在探索提公因式法因式分解的过程中会用逆向思维，渗透化归的思想方法思考现实世界.教学重点理解因式分解的概念；会用提公因式法分解因式.教学难点理解多项式的因式分解与整式乘法的联系和区别.授课类型新授课课时教学步骤师生活动设计意图回顾算一算(看谁算得快) ①－25×4＋75×4 ②a(m＋n) ③(a＋1)(a－2) ④(x－2y)2通过算一算，让学生用已有知识解决问题，感受数学知识给自己带来收获的愉快，同时为后面学习新知作出铺垫.活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】 填一填 ①将60分解成质数的乘积的形式为2×2×3×5． ②将99分解成质数的乘积的形式为3×3×11． ③将x2＋x写成整式的乘积的形式为x(x＋1)． ④x2－1写成整式的乘积的形式为(x＋1)(x－1)．让学生经历从分解因数到分解因式的过程，让学生体会数学思想——类比思想.活动二：实践探究、交流新知【探究新知】 1．由【课堂引入】可知x2＋x＝ x(x＋1) ，x2－1＝(x＋1)(x－1) . 我们把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做多项式的因式分解． 议一议： (1)下列各式从左到右的变形是否为因式分解？ ①(x＋1)(x―1)＝x2―1　　　　②7x―7＝7(x―1) ③x2―4y2＝(x＋2y)(x―2y) ④2x(x―3y)＝2x2－6xy ⑤y2＋x2－4＝y2＋(x－2)(x＋2) (2)小组活动，共同探究：因式分解与整式乘法有什么关系？ x2－1eq \o(,\s\up11(因式分解),\s\do4(整式乘法))(x＋1)(x－1) (互逆变形) (3)你能很快地把下列各式进行因式分解吗？说说你的理由． ① 5a＋5b＋5c＝________；② 3x－3＝________； ③ma＋mb＋mc＝________；④ ab2－a2b＝________． 教师提问，学生共同回答，对于有疑问的地方及时处理． 2．提公因式法 研究多项式pa＋pb＋pc 各项中每个因式的特点，提出公因式的概念． 让学生体验： pa＋pb＋pc＝p(a＋b＋c)从左到右是怎样得到的，你能对ax＋2ay进行类似的变形吗？ 归纳：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．1.使学生从感性到理性理解因式分解的意义，认识因式分解这种变形的特征． 2．通过小组活动，激发学生学习的积极性，鼓励学生参与探究，合作交流，让学生自我思考归纳总结，体会数学的价值.活动三：开放训练、体现应用【典型例题】 例1　(教材第115页例1)把8a3b2＋12ab3c分解因式． 解：8a3b2＋12ab3c ＝4ab2·2a2＋4ab2·3bc ＝4ab2(2a2＋3bc) 例2　(教材第115页例2)把2a(b＋c)－3(b＋c)分解因式． 分析：b＋c是这两个式子的公因式，可以直接提出． 解：2a(b＋c)－3(b＋c)＝(b＋c)(2a－3)． 【变式训练】 1．把下列各式分解因式： (1)－3ax3＋12ax2－15ax；(2)2m(m－n)3＋6(n－m)2. 分析：(1)各项系数的最大公约数为3，相同字母为a，x，最低次数均为1.由于首项－3ax3的系数为－3，一般取公因式－3ax；(2)含有多项式m－n与n－m的乘方，由于(n－m)2＝(m－n)2，所以把m－n看成一个整体，得到各项的公因式为2(m－n)2. 解：(1)原式＝－3ax(x2－4x＋5)． (2)原式＝2m(m－n)3＋6(m－n)2 ＝2(m－n)2[m(m－n)＋3] ＝2(m－n)2(m2－mn＋3)． 2．计算：21×3.14＋62×3.14＋1.7×31.4. 解：原式＝21×3.14＋62×3.14＋17×3.14 ＝3.14×(21＋62＋17) ＝3.14×100 ＝314. 师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由教师完成解答．通过例题的练习，让学生对本节课的重点能够理解更到位.活动四：课堂检测【课堂检测】 1．多项式a2－4a分解因式，结果正确的是(A) A．a(a－4) B．(a＋2)(a－2) C．a(a＋2)(a－2) D．(a－2)2－4 2．把2(a－3)＋a(3－a)提取公因式a－3后，另一个因式为(A) A．2－a B．a＋2 C．a－2 D．－2－a 3．已知a＋b＝3，ab＝2，则a2b＋ab2＝6． 4．分解因式： (1)5a－10ab; (2)6p(p＋q)－4q(p＋q)； (3)4a2－12ab; (4)2mx－6my； (5)－3x2＋6xy－9xz; (6)4m2n3－2m3n3＋6mn2. 解：(1)原式＝5a(1－2b)． (2)原式＝2(p＋q)(3p－2q)． (3)原式＝4a(a－3b)． (4)原式＝2m(x－3y)． (5)原式＝－3x(x－2y＋3z)． (6)原式＝2mn2(2mn－m2n＋3)． 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　加深对所学知识的理解运用，在问题的选择上以基础为主，灵活运用所学知识解决问题，巩固新知.课堂小结1.课堂小结： (1)你在本节课中有哪些收获？哪些进步？ (2)学习本节课后，还存在哪些困惑？ 2．布置作业： 教材第115页练习第1，3题，第119页习题14.3第1题．小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.板书设计14.3.1　提公因式法 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．提纲挈领，重点突出.教学反思反思，更进一步提升.课题14.3.2　第1课时　运用平方差公式因式分解授课人素养目标1．能说出平方差公式的特点． 2．会用平方差公式分解因式． 3．初步会用提公因式法与公式法分解因式，并能说出提公因式在这类因式分解中的作用． 4．培养学生的观察、联想能力，会用数学的眼光观察现实世界，进一步了解换元的思想方法.教学重点应用平方差公式分解因式.教学难点灵活应用公式和提公因式法分解因式，并理解因式分解的要求.授课类型新授课课时教学步骤师生活动设计意图回顾1.你能叙述多项式因式分解的定义吗？ 2．运用提公因式法分解因式的步骤是什么？回顾旧知，温故知新活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】 请同学们计算下列各式： (1)(a＋4)(a－4)；　　　　(2)(2m＋3n)(2m－3n)． 学生活动：动笔计算出上面的两道题，并踊跃上台板演． (1)(a＋4)(a－4)＝a2－42＝a2－16. (2)(2m＋3n)(2m－3n)＝(2m)2－(3n)2＝4m2－9n2. 教师活动：引导学生完成下面的两道题目，并运用数学“互逆”的思想，寻找因式分解的规律． 分解因式： (1)a2－36；(2)16m2－n2.从学生的已有的知识出发，激发学生强烈的好奇心和求知欲，增强学生的自信心.活动二：实践探究、交流新知【探究新知】 学生活动：从逆向思维入手，很快得到下面的答案： (1)a2－36＝a2－62＝(a＋6)(a－6)． (2)16m2－n2＝(4m)2－n2＝(4m＋n)(4m－n)． 教师活动：引导学生完成a2－b2＝(a＋b)(a－b)的同时，导出课题：用平方差公式分解因式． 即两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数差的积． 评析：对于平方差公式中的字母a，b，教学中还要强调一下，它们可以表示数，也可以表示含字母的整式．通过问题培养学生的逆向思维能力.活动三：开放训练、体现应用【典型例题】 例1　(教材第116页例3)分解因式： (1)4x2－9；(2)(x＋p)2－(x＋q)2. 解：(1)4x2－9＝(2x)2－32＝(2x＋3)(2x－3)． (2)(x＋p)2－(x＋q)2＝[(x＋p)＋(x＋q)][(x＋p)－(x＋q)]＝(2x＋p＋q)(p－q). 例2　(教材第116页例4)分解因式： (1)x4－y4；(2)a3b－ab. 解：(1)x4－y4＝(x2＋y2)(x2－y2)＝(x2＋y2)(x＋y)(x－y)． (2)a3b－ab＝ab(a2－1)＝ab(a＋1)(a－1)． 【变式训练】 分解因式： (1)a3－9a；(2)(a－b)b2－4(a－b)；(3)(x＋2y)2－(x－y)2. 解：(1)原式＝a(a2－9)＝a(a＋3)(a－3)． (2)原式＝(a－b)(b2－4)＝(a－b)(b＋2)(b－2)． (3)原式＝[(x＋2y)＋(x－y)][(x＋2y)－(x－y)]＝(2x＋y)·3y＝3y(2x＋y)． 师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由教师完成解答．通过例题的练习，让学生对本节课的重点能够理解更到位.活动四：课堂检测【课堂检测】 1．对于多项式①x2－y2；②－x2－y2；③4x2－y；④x2－4，能够用平方差公式进行因式分解的是(D) A．①和② B．①和③ C．②和④ D．①和④ 2．计算：752－252＝(C) A．50 B．500 C．5 000 D．7 100 3．分解因式： (1)m2－n2＝(m＋n)(m－n)； (2)x3－x＝x(x＋1)(x－1)． 4．分解因式： (1)a2－81; (2)9a2x2－b2y2； (3)2a3－8ab2; (4)49(a－b)2－16(a＋b)2. 解：(1)原式＝(a＋9)(a－9)． (2)原式＝(3ax＋by)(3ax－by)． (3)原式＝2a(a＋2b)(a－2b)． (4)原式＝[7(a－b)＋4(a＋b)][7(a－b)－4(a＋b)]＝(11a－3b)(3a－11b)． 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　针对本课时的主要问题，从多个角度、分层次进行检测，达到学有所成、了解课堂学习效果的目的.课堂小结1.课堂小结： (1)你在本节课中有哪些收获？哪些进步？ (2)学习本节课后，还存在哪些困惑？ 2．布置作业： 教材第117页练习第 1，2题，第119页习题14.3第2题．小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.板书设计14.3.2　公式法 第1课时　运用平方差公式因式分解 a2－b2＝(a＋b)(a－b)提纲挈领，重点突出.教学反思反思，更进一步提升.课题14.3.2　第2课时　运用完全平方公式因式分解授课人素养目标1．理解因式分解的完全平方公式的特点． 2．能较熟悉地运用完全平方公式分解因式. 3．通过综合运用完全平方公式分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力．通过知识结构图培养学生归纳总结的能力.教学重点理解完全平方公式因式分解，并学会应用.教学难点灵活地应用公式法进行因式分解.授课类型新授课课时教学步骤师生活动设计意图回顾上节课我们学习了运用平方差公式分解因式，同学们能解决下面的题目吗？ 因式分解：81a4－16.学生回忆并回答．温故知新.活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】 计算： (1)(m－4n)2；(2)(m＋4n)2；(3)(a＋b)2；(4)(a－b)2. 教师活动：引导学生完成上面的题目，并运用数学“互逆”的思想，寻找因式分解的规律．从学生的已有的知识出发，利用多媒体创设问题情境，激发学生强烈的好奇心和求知欲.活动二：实践探究、交流新知【探究新知】 由【课堂引入】中所得探究规律，尝试做一做： 分解因式： (1)m2－8mn＋16n2；(2)a2－2ab＋b2. 学生活动：从逆向思维的角度入手，很快得到下面的答案． 解：(1)m2－8mn＋16n2＝(m－4n)2. (2)a2－2ab＋b2＝(a－b)2. 归纳公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2. 通过对上面各式的特征分析，比较归纳，得到“完全平方式”的概念与特征： 形如a2±2ab＋b2的式子叫做完全平方式． 如果一个二次三项式的二次项系数为1，要使它成为完全平方式，则需其常数项等于一次项系数一半的平方，即关于x的二次三项式x2＋mx＋n是完全平方式的条件为：(eq \f(m,2))2＝n.1.学生独立思考、合作交流，在前面学习利用平方差公式分解因式的经验的基础上，总结利用完全平方公式分解因式的经验． 2．通过二次三项式各部分与因式分解中完全平方公式的相应部分进行比较，培养学生的对应思想和公式化思想；通过把一个多项式视为一个整体的处理方式，培养学生的整体思想和转化思想.活动三：开放训练、体现应用【典型例题】 例1　(教材第118页例5)分解因式： (1)16x2＋24x＋9；(2)－x2＋4xy－4y2. 解：(1)16x2＋24x＋9＝(4x)2＋2·4x·3＋32＝(4x＋3)2. (2)－x2＋4xy－4y2＝－(x2－4xy＋4y2)＝－[x2－2·x·2y＋(2y)2]＝－(x－2y)2. 方法归纳：运用完全平方公式分解因式，被分解的多项式必须满足三个特点：(1)多项式为三项式；(2)其中有两项是平方项且符号相同；(3)第三项是两个平方项幂的底数的积的2倍或－2倍． 例2　(教材第118页例6)分解因式： (1)3ax2＋6axy＋3ay2；(2)(a＋b)2－12(a＋b)＋36. 教师点拨：(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解；(2)中，将a＋b看作一个整体，设a＋b＝m，则原式化为完全平方式m2－12m＋36. 解：(1)3ax2＋6axy＋3ay2＝3a(x2＋2xy＋y2)＝3a(x＋y)2. (2)(a＋b)2－12(a＋b)＋36＝(a＋b)2－2·(a＋b)·6＋62＝(a＋b－6)2. 因式分解的一般步骤： 一提：先考虑用提公因式法(公因式可以是数字、单项式或多项式)； 二套：然后考虑用公式法(平方差公式或完全平方公式)，能连续用公式分解的要继续分解； 三分解：一定要分解到每个因式不能再分解为止． 【变式训练】 分解因式：a2－2a(b＋c)＋(b＋c)2. 解：原式＝[a－(b＋c)]2＝(a－b－c)2. 师生活动：学生先独立思考并完成解答，教师适当给予指导，最后进行统一讲解．经历对例题和变式的探究过程，加深因式分解的一般解题步骤，达到巩固知识的目的，培养学生分析问题、解决问题的能力.活动四：课堂检测【课堂检测】 1．把x2－4x＋4分解因式，结果正确的是(A) A．(x－2)2 B．(x＋2)2 C．(x－4)2 D．(x＋4)2 2．若实数a，b满足a＋b＝4，则a2＋2ab＋b2的值是(D) A．2 B．4 C．8 D．16 3．若多项式x2－mxy＋9y2是一个完全平方式，则m的值是(D) A．3 B．6 C．±3 D．±6 4．分解因式：9m2－24m＋16＝(3m－4)2． 5．因式分解： (1)－x2＋2xy－y2； (2)3m2n－12mn＋12n； (3)x2－4(x－1)； (4)4x(x－3y)＋9y2. 解：(1)原式＝－(x－y)2. (2)原式＝3n(m－2)2. (3)原式＝(x－2)2. (4)原式＝(2x－3y)2. 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　当堂检测，及时反馈学习效果.课堂小结1.课堂小结： 学习因式分解内容后，你有什么收获，能将前后知识联系起来做个总结吗？ 2.布置作业： 教材第119页习题14.3第3，5题.巩固提高，形成体系.板书设计14.3.2　公式法 第2课时　运用完全平方公式因式分解 a2±2ab＋b2＝（a±b）2.提纲挈领，重点突出.教学反思反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提升自身素质.