还剩35页未读，
继续阅读
所属成套资源：北师大版八年级数学下册举一反三（原卷版+解析）
成套系列资料，整套一键下载
- 北师大版八年级数学下册举一反三 专题2.5 一元一次不等式组-重难点题型（举一反三）（原卷版+解析） 试卷 0 次下载
- 北师大版八年级数学下册举一反三 专题2.7 一元一次不等式（组）中的含参问题专项训练（30道）（举一反三）（原卷版+解析） 试卷 0 次下载
- 北师大版八年级数学下册举一反三 专题2.8 一元一次不等式（组）的应用专项训练（30道）（举一反三）（原卷版+解析） 试卷 0 次下载
- 北师大版八年级数学下册举一反三 专题2.9 一元一次不等式和一元一次不等式组章末重难点突破（举一反三）（原卷版+解析） 试卷 0 次下载
- 北师大版八年级数学下册举一反三 专题5.2 分式的运算-重难点题型（举一反三）（原卷版+解析） 试卷 0 次下载
八年级下册1 因式分解课后测评
展开
这是一份八年级下册1 因式分解课后测评，共38页。
【考点1 因式分解的意义】
【例1】(2023秋•钢城区期末）多项式x2+mx+6因式分解得（x﹣2）（x+n），则m＝ ．
【变式1-1】(2023春•龙口市月考）若关于x的二次三项式x2﹣3x+k有一个因式是（x﹣2），则k的值是 ．
【变式1-2】(2023•杭州模拟）若多项式x3+x+m含有因式x2﹣x+2，则m的值是 ．
【变式1-3】(2023春•永嘉县校级期末）若多项式x2+mx+n（m、n是常数）分解因式后，有一个因式是x+1，则m﹣n的值为 ．
【考点2 用常规方法进行因式分解】
【例2】(2023春•滕州市校级月考）分解因式：
（1）﹣2x3+12x2﹣18x；
（2）（a2+4）2﹣16a2；
（3）2（y﹣x）2﹣6（x﹣y）；
（4）16（a﹣b）2﹣9（a+b）2．
【变式2-1】(2023秋•桐柏县月考）分解因式：
（1）a（x﹣y）+b（y﹣x）；
（2）3m2n﹣12mn+12n；
（3）（x+2y）2﹣4（x+2y﹣1）；
（4）（x2+9）2﹣36x2．
【变式2-2】(2023秋•陵城区月考）把下列各式分解因式：
（1）6ab3﹣24a3b；
（2）x4﹣8x2+16；
（3）a2（x+y）﹣b2（y+x）；
（4）4m2n2﹣（m2+n2）2．
【变式2-3】(2023春•槐荫区校级月考）把下列各多项式因式分解：
（1）﹣3x3y2+6x2y3﹣3xy4；
（2）3x（a﹣b）﹣6y（b﹣a）；
（3）18b（a﹣b）2+12（b﹣a）3；
（4）（x2+16y2）2﹣64x2y2；
（5）（m2﹣5）2+8（m2﹣5）+16；
（6）16x4﹣72x2y2+81y4．
【考点3 用分组分解法进行因式分解】
【例3】(2023秋•永吉县期末）阅读下列材料：
一般地，没有公因式的多项式，当项数为四项或四项以上时，经常把这些项分成若干组，然后各组运用提取公因式法或公式法分别进行分解，之后各组之间再运用提取公因式法或公式法进行分解，这种因式分解的方法叫做分组分解法．如：
因式分解：am+bm+an+bn
＝（am+bm）+（an+bn）
＝m（a+b）+n（a+b）
＝（a+b）（m+n）．
（1）利用分组分解法分解因式：
①3m﹣3y+am﹣ay；
②a2x+a2y+b2x+b2y．
（2）因式分解：a2+2ab+b2﹣1＝ （直接写出结果）．
【变式3-1】(2023春•盐湖区校级期末）先阅读下面材料，再完成后面的问题：要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成组，并提出a，再把它的后两项分成组，并提出b，从而得到am+an+bm+bn＝a（m+n）+b（m+n）这时，由于a（m+n）+b（m+n）中又有公因式（m+n），于是提取公因式（m+n），从而得到（m+n）（a+b），因此有am+an+bm+bn＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b）这种因式分解的方法叫做分组分解法，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解．请用上面材料中提供的方法因式分解：
（1）ab﹣ac+bc﹣b2＝a（b﹣c）﹣b（b﹣c）（请你完成分解因式下面的过程）＝ ．
（2）m2﹣mn+mx﹣nx．
（3）x2y2﹣2x2y﹣4y2+16．
【变式3-2】分解因式
（1）x2﹣2xy﹣3y2+2x+10y﹣8；
（2）4x2﹣4xy﹣3y2﹣4x+10y﹣3．
【变式3-3】因式分解：2ax+2ay﹣3bx+4cy+4cx﹣3by．
【考点4 用十字相乘法进行因式分解】
【例4】(2023秋•微山县期末）【知识背景】
八年级上册第121页“阅读与思考”中，我们利于因式分解是与整式乘法方向相反的变形这种关系得到：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．
【方法探究】
对于多项式x2+（p+q）x+pq我们也可这样分析：它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项pq分解成p与q的积，按图1所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数+（p+q）．
所以x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．
例如，分解因式：x2+5x+6．
它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项6分解成2与3的积，按图2所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数5．
所以x2+5x+6＝（x+2）（x+3）．
类比探究：当二次项系数不是1时，我们也可仿照上述方式进行因式分解．
例如，分解因式：2x2﹣x﹣6．
分析：二次项系数2分解成2与1的积；常数项﹣6分解成﹣1与6（或﹣6与1，﹣2与3，﹣3与2）的积，但只有当﹣2与3时按如图3所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数﹣1．所以2x2﹣x﹣6＝（2x+3）（x﹣2）．
【方法归纳】
一般地，在分解形如关于x的二次三项式ax2+bx+c时，二次项系数a分解成a1与a2的积，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；常数项c分解成c1与c2的积，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，把a1，a2，c1，c2按如图4所示方式排列，当且仅当a1c2+a2c1＝b（一次项系数）时，ax2+bx+c可分解因式．即ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．
我们把这种分解因式的方法叫做十字相乘法．
【方法应用】
利用上面的方法将下列各式分解因式：
（1）x2﹣5x+6；
（2）10x2+x﹣21；
（3）（x2﹣4x）2+7（x2﹣4x）+12．
【变式4-1】(2023秋•建昌县期末）阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：
（x+2）（x+3）＝x2+5x+6；（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3．
而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：
x2+5x+6＝（x+2）（x+3）；x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）．
通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子x2+2x﹣3分解因式．这个式子的二次项系数是1＝1×1，常数项﹣3＝（﹣1）×3，一次项系数2＝（﹣1）+3，可以用下图十字相乘的形式表示为：
先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．这样，我们就可以得到：x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）．
利用这种方法，将下列多项式分解因式：
（1）x2+7x+10＝ ；
（2）x2﹣2x﹣3＝ ；
（3）y2﹣7y+12＝ ；
（4）x2+7x﹣18＝ ．
【变式4-2】(2023秋•新泰市期中）提出问题：你能把多项式x2+5x+6因式分解吗？
探究问题：如图1所示，设a，b为常数，由面积相等可得：（x+a）（x+b）＝x2+ax+bx+ab＝x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，就可以对形如x2+（a+b）x+ab的多项式进行因式分解即x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）．观察多项式x2+（a+b）x+ab的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和．
解决问题：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+3）（x+2）．
运用结论：
（1）基础运用：把多项式x2+4x﹣21进行因式分解．
（2）知识迁移：对于多项式4x2﹣4x﹣15进行因式分解还可以这样思考：
将二次项4x2分解成如图2所示中的两个2x的积，再将常数项﹣15分解成﹣5与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为﹣4x，就是4x2﹣4x﹣15的一次项，所以有4x2﹣4x﹣15＝（2x﹣5）（2x+3）．这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”．
请用十字相乘法进行因式分解：①3x2﹣19x﹣14；②6a2﹣13ab+6b2．
【变式4-3】(2023春•奉化区校级期末）【阅读与思考】
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式ax2+bx+c进行因式分解呢？我们已经知道，（a1x+c1）（a2x+c2）＝a1a2x2+a1c2x+a2c1x+c1c2＝a1a2x2+（a1c2+a2c1）x+c1c2．反过来，就得到：a1a2x2+（a1c2+a2c1）x+c1c2＝（a1x+c1）（a2x+c2）．
我们发现，二次项的系数a分解成a1a2，常数项c分解成c1c2，并且把a1，a2，c1，c2，如图①所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到a1c2+a2c1，如果a1c2+a2c1的值正好等于ax2+bx+c的一次项系数b，那么ax2+bx+c就可以分解为（a1x+c1）（a2x+c2），其中a1，c1位于图的上一行，a2，c2位于下一行．
像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．
例如，将式子x2﹣x﹣6分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1＝1×1，把常数项﹣6也分解为两个因数的积，即﹣6＝2×（﹣3）；然后把1，1，2，﹣3按图②所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到1×（﹣3）+1×2＝﹣1，恰好等于一次项的系数﹣1，于是x2﹣x﹣6就可以分解为（x+2）（x﹣3）．
请同学们认真观察和思考，尝试在图③的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”
分解因式：x2+x﹣6＝ ．
【理解与应用】
请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：
（1）2x2+5x﹣7 ；（2）6x2﹣7xy+2y2＝ ．
【探究与拓展】
对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的关于x，y的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图④，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np＝b，pk+qj＝e，mk+nj＝d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式＝（mx+py+j）（nx+qy+k），请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：
（1）分解因式3x2+5xy﹣2y2+x+9y﹣4＝ ．
（2）若关于x，y的二元二次式x2+7xy﹣18y2﹣5x+my﹣24可以分解成两个一次因式的积，求m的值．
（3）已知x，y为整数，且满足x2+3xy+2y2+2x+3y＝﹣1，请写出一组符合题意的x，y的值．
【考点5 用整体思想进行因式分解】
【例45】(2023秋•濮阳期末）先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成整体，设x+y＝m，则原式＝m2+2m+1＝（m+1）2．
再将x+y＝m代入，得原式＝（x+y+1）2．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法．请你完成下列各题：
（1）因式分解：1﹣2（x﹣y）+（x﹣y）2；
（2）因式分解：25（a+2）2﹣10（a+2）+1；
（3）因式分解：（y2﹣6y）（y2﹣6y+18）+81．
【变式5-1】(2023秋•开封期末）阅读下列材料：
材料1：将一个形如x2+px+q的二次三项式分解因式时，如果能满足q＝mn，且p＝m+n，则可以把x2+px+q分解因式成（x+m）（x+n）．例如：①x2+5x+6＝（x+2）（x+3）；②x2﹣5x﹣6＝（x﹣6）（x+1）．
材料2：因式分解：4（x+y）2+4（x+y）+1．
解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝m，则原式＝4m2+4m+1＝（2m+1）2．
再将“m”还原，得原式＝（2x+2y+1）2．
上述解题用到了整体思想，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题．
（1）根据材料1，分解因式：x2﹣7x+12．
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：
①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3；
②分解因式：x（x+2）（x2+2x﹣2）﹣3．
【变式5-2】(2023春•南山区校级期中）先阅读材料：
分解因式：（a+b）2+2（a+b）+1．
解：令a+b＝M，
则（a+b）2+2（a+b）+1＝M2+2M+1＝（M+1）2，
所以（a+b）2+2（a+b）+1＝（a+b+1）2．
材料中的解题过程用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你运用这种思想方法解答下列问题：
（1）分解因式：（x+y）2﹣2（x+y）+1＝ ．
（2）分解因式：（m+n）（m+n﹣4）+4；
（3）证明：若n为正整数，则式子（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某个整数的平方．
【变式5-3】(2023春•驿城区校级月考）阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看成一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．
下面是小涵同学用换元法对多项式（x2+2x+3）（x2+2x﹣1）+4进行因式分解的过程．
解：设x2+2x＝y．
原式＝（y+3）（y﹣1）+4（第一步）
＝y2+2y+1（第二步）
＝（y+1）2（第三步）
＝（x2+2x+1）2（第四步）．
请根据上述材料回答下列问题：
（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 ；
A．提取公因式法
B．平方差公式法
C．差的完全平方公式
D．和的完全平方公式
（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果： ；
（3）请你用换元法对多项式（9x2﹣6x+3）（9x2﹣6x﹣1）+4进行因式分解．
【考点6 用拆项法进行因式分解】
【例6】(2023秋•隆昌市校级月考）阅读理解：因式分解有多种方法，除了提公因式法，公式法，十字相乘法等，还有分组分解法，拆项法，配方法等．一般情况下，我们需要综合运用多种方法才能解决问题．
例如：分解因式x3﹣4x2+x+6．步骤：
解：原式＝x3﹣3x2﹣x2+x+6 第1步：拆项法，将﹣4x2拆成﹣3x2和﹣x2；
＝（x3﹣3x2）﹣（x2﹣x﹣6）第2步：分组分解法，通过添括号进行分组；
＝x2（x﹣3）﹣（x+2）（x﹣3）第3步：提公因式法和十字相乘法（局部）；
＝（x﹣3）（x2﹣x﹣2）第4步：提公因式法（整体）；
＝（x﹣3）（x﹣2）（x+1）第5步：十字相乘法：最后结果分解彻底．
（1）请你试一试分解因式x3﹣7x+6．
（2）请你试一试在实数范围内分解因式x4﹣5x2+6．
【变式6-1】(2023春•南京月考）在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．先阅读，再分解因式：
x4+4＝（x4+4x2+4）﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2﹣2x+2）（x2+2x+2）．
（1）按照这种方法把多项式x4+4y4分解因式；
（2）分解因式：a4+a2b2+b4．
【变式6-2】(2023秋•沂南县期末）先阅读下列材料：
我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．
如：ax+by+bx+ay，x2+2xy+y2﹣1分组分解法：
解：原式＝（ax+bx）+（ay+by）＝x（a+b）+y（a+b）＝（a+b）（x+y）
解：原式＝（x+y）2﹣1＝（x+y+1）（x+y﹣1）
（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．
如：x2+2x﹣3
解：原式＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
（1）分解因式：a2﹣b2+a﹣b；
（2）分解因式：x2﹣6x﹣7．
【变式6-3】(2023秋•微山县月考）【阅读材料】
对于二次三项式a2+2ab+b2可以直接分解为（a+b）2的形式，但对于二次三项式a2+2ab﹣8b2，就不能直接用公式了，我们可以在二次三项式a2+2ab﹣8b2中先加上一项b2，使其成为完全平方式，再减去b2这项，（这里也可把﹣8b2拆成+b2与﹣9b2的和），使整个式子的值不变．于是有：a2+2ab﹣8b2＝a2+2ab﹣8b2+b2﹣b2＝（a2+2ab+b2）﹣8b2﹣b2＝（a+b）2﹣9b2＝[（a+b）+3b][（a+b）﹣3b]＝（a+4b）（a﹣2b）．我们把像这样将二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．
【应用材料】
（1）上式中添（拆）项后先把完全平方式组合在一起，然后用 法实现分解因式．
（2）请你根据材料中提供的因式分解的方法，将下面的多项式分解因式：①m2+6m+8；②a4+10a2b2+9b4．
【考点7 由因式分解求值】
【例7】(2023秋•铁西区期中）若c2﹣a2﹣2ab﹣b2＝10，a+b+c＝﹣5，则a+b﹣c的值是（ ）
A．2B．5C．20D．9
【变式7-1】(2023秋•思明区校级期中）已知m2＝2﹣n，n2＝m+2（m+n≠0），则m3+2mn﹣n3＝（ ）
A．0B．1C．2D．﹣2
【变式7-2】(2023秋•东兴区校级期中）若a＝x+19，b＝x+20，c＝x+21，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝ ．
【变式7-3】(2023秋•源汇区校级期中）若实数x满足x2﹣2x﹣1＝0，则2x3﹣2x2﹣6x+2020＝ ．
【考点8 因式分解的应用】
【例8】(2023秋•松滋市期末）如图，将一块长方形纸板沿图中的虚线裁剪成9块，其中2块是边长为a的小正方形，5块是长为b，宽为a的小长方形，2块是边长为b的大正方形．
（1）观察图形，可以发现代数式2a2+5ab+2b2可以分解因式为 ；
（2）若这块长方形纸板的面积为177，每块长为b，宽为a的小长方形的面积是15．
①则图中1块边长为a的小正方形和1块边长为b的大正方形的面积之和为 ；
②试求图中所有剪裁线（虚线部分）长的和．
【变式8-1】(2023秋•朝阳区校级期末）如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a厘米的大正方形，2块是边长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的相同的小长方形，且a＞b．
（1）观察图形，可以发现代数式2a2+5ab+2b2可以因式分解为 ．
（2）若图中阴影部分的面积为20平方厘米，大长方形纸板的周长为24厘米，求图中空白部分的面积．
【变式8-2】(2023春•镇江期中）【活动材料】若干个如图1所示的长方形和正方形硬纸片
【活动要求】用若干块这样的长方形和正方形硬纸片拼成一个新的长方形，通过不同的方法计算面积，探求相应的等式．
例如，由图2，我们可以得到a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b），或（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
【问题解决】
（1）选取正方形、长方形硬纸片共8块，拼出如图3的长方形，直接写出相应的 ；
（2）尝试借助拼图的方法，把二次三项式2a2+3ab+b2分解因式，并把所拼的图形画在图4的虚线方框内；
（3）将2b2﹣3ab+a2分解因式： （直接写出结果，不需要画图）．
【变式8-3】(2023春•沭阳县期中）如图，正方形纸片A类，B类和长方形纸片C类若干张，
（1）①请你选取适当数量的三种纸片，拼成一个长为（a+2b）、宽为（a+b）的长方形，画出拼好后的图形；
②观察拼图共用 张A类纸片， 张B类纸片， 张C类纸片．通过面积计算可以发现（a+2b）（a+b）＝ ．
（2）①请你用这三类卡片拼出面积为3a2+4ab+b2的长方形，画出拼好后的图形．
②观察拼图共用 张A类纸片， 张B类纸片， 张C类纸片．通过面积计算可以发现3a2+4ab+b2＝ ．
③利用拼图，把下列多项式因式分解
a2+3ab+2b2＝ ；3a2+5ab+2b2＝ ．
专题4.1 因式分解章末重难点突破
【北师大版】
【考点1 因式分解的意义】
【例1】(2023秋•钢城区期末）多项式x2+mx+6因式分解得（x﹣2）（x+n），则m＝ ．
分析：根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积，可得答案．
【解答】解：x2+mx+6因式分解得（x﹣2）（x+n），得
x2+mx+6＝（x﹣2）（x+n），（x﹣2）（x+n）＝x2+（n﹣2）x﹣2n，
x2+mx+6＝x2+（n﹣2）x﹣2n，
﹣2n＝6，m＝n﹣2．
解得n＝﹣3，m＝﹣5，
故答案为：﹣5．
【变式1-1】(2023春•龙口市月考）若关于x的二次三项式x2﹣3x+k有一个因式是（x﹣2），则k的值是 ．
分析：设另一个因式为x+m，则x2﹣3x+k＝（x+m）（x﹣2），根据多项式乘以多项式法则展开，即可得出答案．
【解答】解：设另一个因式为x+m，则x2﹣3x+k＝（x+m）（x﹣2），
而（x+m）（x﹣2）＝x2+（m﹣2）x﹣2m，
∴m﹣2＝﹣3，
解得m＝﹣1，
∴k＝﹣2m＝2．
故答案为：2．
【变式1-2】(2023•杭州模拟）若多项式x3+x+m含有因式x2﹣x+2，则m的值是 ．
分析：设另一个因式是x+a，根据已知得出（x2﹣x+2）（x+a）＝x3+x+m，再进行化简，即可求出a、m值．
【解答】解：∵多项式x3+x+m含有因式x2﹣x+2，
∴设另一个因式是x+a，
则（x2﹣x+2）（x+a）＝x3+x+m，
∵（x2﹣x+2）（x+a）
＝x3+ax2﹣x2﹣ax+2x+2a
＝x3+（a﹣1）x2+（﹣a+2）x+2a，
∴a﹣1＝0，2a＝m，
解得：a＝1，m＝2，
故答案为：2．
【变式1-3】(2023春•永嘉县校级期末）若多项式x2+mx+n（m、n是常数）分解因式后，有一个因式是x+1，则m﹣n的值为 ．
分析：设另一个因式为x+a，因为整式乘法是因式分解的逆运算，所以将两个因式相乘后结果得x2+mx+n，根据各项系数相等列式，计算可得m﹣n的值．
【解答】解：设另一个因式为x+a，
则x2+mx+n＝（x+1）（x+a）＝x2+ax+x+a＝x2+（a+1）x+a，
由此可得a+1=m①n=a②，
由①得：a＝m﹣1③，
把③代入②得：n＝m﹣1，
m﹣n＝1，
故答案为：1．
【考点2 用常规方法进行因式分解】
【例2】(2023春•滕州市校级月考）分解因式：
（1）﹣2x3+12x2﹣18x；
（2）（a2+4）2﹣16a2；
（3）2（y﹣x）2﹣6（x﹣y）；
（4）16（a﹣b）2﹣9（a+b）2．
分析：（1）先提公因式，然后利用完全平方公式继续分解即可；
（2）先利用平方差公式分解，然后利用完全平方公式继续分解即可；
（3）利用提公因式法分解即可；
（4）利用平方差公式分解即可．
【解答】解：（1）﹣2x3+12x2﹣18x
＝﹣2x（x2﹣6x+9）
＝﹣2（x﹣3）2；
（2）（a2+4）2﹣16a2
＝（a2+4+4a）（a2+4﹣4a）
＝（a+2）2（a﹣2）2；
（3）2（y﹣x）2﹣6（x﹣y）
＝2（x﹣y）2﹣6（x﹣y）
＝2（x﹣y）（x﹣y﹣3）；
（4）16（a﹣b）2﹣9（a+b）2
＝[4（a﹣b）+3（a+b）][4（a﹣b）﹣3（a+b）]
＝（4a﹣4b+3a+3b）（4a﹣4b﹣3a﹣3b）
＝（7a﹣b）（a﹣7b）．
【变式2-1】(2023秋•桐柏县月考）分解因式：
（1）a（x﹣y）+b（y﹣x）；
（2）3m2n﹣12mn+12n；
（3）（x+2y）2﹣4（x+2y﹣1）；
（4）（x2+9）2﹣36x2．
分析：（1）将y﹣x变形为﹣（x﹣y），提公因式即可；
（2）先提公因式再用完全平方公式分解因式即可；
（3）把（x+2y）看作整体，利用完全平方公式分解因式即可；
（4）先用平方差公式，再用完全平方公式即可．
【解答】解：（1）原式＝a（x﹣y）﹣b（x﹣y）
＝（x﹣y）（a﹣b）；
（2）原式＝3n（m2﹣4m+4）
＝3n（m﹣2）2；
（3）原式＝（x+2y）2﹣4（x+2y）+4
＝（x+2y﹣2）2；
（4）原式＝（x2+9+6x）（x2+9﹣6x）
＝（x+3）2（x﹣3）2．
【变式2-2】(2023秋•陵城区月考）把下列各式分解因式：
（1）6ab3﹣24a3b；
（2）x4﹣8x2+16；
（3）a2（x+y）﹣b2（y+x）；
（4）4m2n2﹣（m2+n2）2．
分析：（1）先提取公因式，再用平方差公式分解因式；
（2）先用完全平方公式，再用平方差公式分解因式，最后用积的乘方；
（3）先提取公因式，再用平方差公式分解因式；
（4）先用平方差公式，再用完全平方公式分解因式．
【解答】解：（1）原式＝6ab（b2﹣4a2）
＝6ab（b+2a）（b﹣2a）；
（2）原式＝（x2﹣4）2
＝[（x+2）（x﹣2）]2
＝（x﹣2）2（x+2）2；
（3）原式＝（x+y）（a2﹣b2）
＝（x+y）（a+b）（a﹣b）；
（4）原式＝（2mn+m2+n2）（2mn﹣m2﹣n2）
＝﹣（m+n）2（m﹣n）2．
【变式2-3】(2023春•槐荫区校级月考）把下列各多项式因式分解：
（1）﹣3x3y2+6x2y3﹣3xy4；
（2）3x（a﹣b）﹣6y（b﹣a）；
（3）18b（a﹣b）2+12（b﹣a）3；
（4）（x2+16y2）2﹣64x2y2；
（5）（m2﹣5）2+8（m2﹣5）+16；
（6）16x4﹣72x2y2+81y4．
分析：（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解；
（2）（3）先把（b﹣a）用﹣（a﹣b）表示，再提取公因式；
（4）先利用平方差公式再利用完全平方公式分解；
（5）把m2﹣5看成一个整体，先利用完全平方公式，再用平方差公式因式分解；
（6）先利用完全平方公式，再利用平方差公式因式分解．
【解答】解：（1）﹣3x3y2+6x2y3﹣3xy4
＝﹣3xy2（x2﹣2xy+y2）
＝﹣3xy2（x﹣y）2；
（2）3x（a﹣b）﹣6y（b﹣a）
＝3x（a﹣b）+6y（a﹣b）
＝3（a﹣b）（x+2y）；
（3）18b（a﹣b）2+12（b﹣a）3
＝18b（a﹣b）2﹣12（a﹣b）3
＝6（a﹣b）2[3b﹣2（a﹣b）]
＝6（a﹣b）2（3b﹣2a+2b）
＝6（a﹣b）2（5b﹣2a）；
（4）（x2+16y2）2﹣64x2y2；
＝（x2+16y2）2﹣（8xy）2
＝（x2+16y2+8xy）（x2+16y2﹣8xy）
＝（x+4y）2（x﹣4y）2；
（5）（m2﹣5）2+8（m2﹣5）+16
＝（m2﹣5+4）2
＝（m2﹣1）2
＝[（m+1）（m﹣1）]2
＝（m+1）2（m﹣1）2；
（6）16x4﹣72x2y2+81y4
＝（4x2﹣9y2）2
＝[（2x+3y）（2x﹣3y）]2
＝（2x+3y）2（2x﹣3y）2．
【考点3 用分组分解法进行因式分解】
【例3】(2023秋•永吉县期末）阅读下列材料：
一般地，没有公因式的多项式，当项数为四项或四项以上时，经常把这些项分成若干组，然后各组运用提取公因式法或公式法分别进行分解，之后各组之间再运用提取公因式法或公式法进行分解，这种因式分解的方法叫做分组分解法．如：
因式分解：am+bm+an+bn
＝（am+bm）+（an+bn）
＝m（a+b）+n（a+b）
＝（a+b）（m+n）．
（1）利用分组分解法分解因式：
①3m﹣3y+am﹣ay；
②a2x+a2y+b2x+b2y．
（2）因式分解：a2+2ab+b2﹣1＝ （a+b+1）（a+b﹣1） （直接写出结果）．
分析：（1）①直接将前两项和后两项组合，提取公因式，进而分解因式即可；
②直接将前两项和后两项组合，提取公因式，进而分解因式即可；
（2）将前三项利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：（1）①原式＝（3m﹣3y）+（am﹣ay）
＝3（m﹣y）+a（m﹣y）
＝（m﹣y）（3+a）；
②原式＝（a2x+a2y）+（b2x+b2y）
＝a2（x+y）+b2（x+y）
＝（x+y）（a2+b2）；
（2）a2+2ab+b2﹣1
＝（a+b）2﹣1
＝（a+b+1）（a+b﹣1）．
故答案为：（a+b+1）（a+b﹣1）．
【变式3-1】(2023春•盐湖区校级期末）先阅读下面材料，再完成后面的问题：要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成组，并提出a，再把它的后两项分成组，并提出b，从而得到am+an+bm+bn＝a（m+n）+b（m+n）这时，由于a（m+n）+b（m+n）中又有公因式（m+n），于是提取公因式（m+n），从而得到（m+n）（a+b），因此有am+an+bm+bn＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b）这种因式分解的方法叫做分组分解法，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解．请用上面材料中提供的方法因式分解：
（1）ab﹣ac+bc﹣b2＝a（b﹣c）﹣b（b﹣c）（请你完成分解因式下面的过程）＝ （b﹣c）（a﹣b） ．
（2）m2﹣mn+mx﹣nx．
（3）x2y2﹣2x2y﹣4y2+16．
分析：（1）提公因式（b﹣c）即可；
（2）先分组，使因式分解先在组内进行，再使分组在组与组之间进行即可；
（3）前两项提公因式x2y，后两项利用平方差公式，再进行提公因式即可．
【解答】解：（1）提公因式（b﹣c）得，（b﹣c）（a﹣b），
故答案为：（b﹣c）（a﹣b）；
（2）m2﹣mn+mx﹣nx
＝m（m﹣n）+x（m﹣n）
＝（m﹣n）（m+x）；
（3）x2y2﹣2x2y﹣4y2+16
＝x2y（y﹣2）﹣（4y+8）（y﹣2）
＝（y﹣2）（x2y﹣4y﹣8）．
【变式3-2】分解因式
（1）x2﹣2xy﹣3y2+2x+10y﹣8；
（2）4x2﹣4xy﹣3y2﹣4x+10y﹣3．
分析：（1）首先利用补项法再利用完全平方公式分解即可，再利用平方差公式分解得出；
（2）先利用十字相乘法把前三项化为两个因式积的形式，再把后三项凑出前两项中任意整式，提取公因式即可．
【解答】解：（1）x2﹣2xy﹣3y2+2x+10y﹣8
＝x2+2x（1﹣y）﹣3y2+10y﹣8
＝x2+2x（1﹣y）+（1﹣y）2﹣（1﹣y）2﹣3y2+10y﹣8
＝[x+（1﹣y）]2﹣1+2y﹣y2+﹣3y2+10y﹣8
＝[x+（1﹣y）]2﹣（4y2﹣12y+9）
＝[x+（1﹣y）]2﹣（2y﹣3）2
＝[x+（1﹣y）﹣（2y﹣3）][x+（1﹣y）+（2y﹣3）]
＝（x﹣3y+4）（x+y﹣2）；
（2）4x2﹣4xy﹣3y2﹣4x+10y﹣3
＝（2x﹣3y）（2x+y）﹣3（2x﹣3y）+（2x+y）﹣3
＝（2x﹣3y）（2x+y﹣3）+（2x+y﹣3）
＝（2x﹣3y+1）（2x+y﹣3）．
【变式3-3】因式分解：2ax+2ay﹣3bx+4cy+4cx﹣3by．
分析：首先将第1，2项组合以及将第3，6相结合和第4，5项结合提取公因式求出即可．
【解答】解：2ax+2ay﹣3bx+4cy﹣4cx﹣3by
＝2a（x+y）﹣3b（x+y）+4c（y+x）
＝（x+y）（2a﹣3b+4c）．
【考点4 用十字相乘法进行因式分解】
【例4】(2023秋•微山县期末）【知识背景】
八年级上册第121页“阅读与思考”中，我们利于因式分解是与整式乘法方向相反的变形这种关系得到：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．
【方法探究】
对于多项式x2+（p+q）x+pq我们也可这样分析：它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项pq分解成p与q的积，按图1所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数+（p+q）．
所以x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．
例如，分解因式：x2+5x+6．
它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项6分解成2与3的积，按图2所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数5．
所以x2+5x+6＝（x+2）（x+3）．
类比探究：当二次项系数不是1时，我们也可仿照上述方式进行因式分解．
例如，分解因式：2x2﹣x﹣6．
分析：二次项系数2分解成2与1的积；常数项﹣6分解成﹣1与6（或﹣6与1，﹣2与3，﹣3与2）的积，但只有当﹣2与3时按如图3所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数﹣1．所以2x2﹣x﹣6＝（2x+3）（x﹣2）．
【方法归纳】
一般地，在分解形如关于x的二次三项式ax2+bx+c时，二次项系数a分解成a1与a2的积，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；常数项c分解成c1与c2的积，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，把a1，a2，c1，c2按如图4所示方式排列，当且仅当a1c2+a2c1＝b（一次项系数）时，ax2+bx+c可分解因式．即ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．
我们把这种分解因式的方法叫做十字相乘法．
【方法应用】
利用上面的方法将下列各式分解因式：
（1）x2﹣5x+6；
（2）10x2+x﹣21；
（3）（x2﹣4x）2+7（x2﹣4x）+12．
分析：（1）根据6＝﹣2×（﹣3），﹣5＝﹣2+（﹣3），进行分解即可；
（2）根据10＝2×5，﹣21＝3×（﹣7），1＝2×（﹣7）+5×3，进行分解即可；
（3）先把x2﹣4x看成一个整体，利用十字相乘法分解成（x2﹣4x+4）（x2﹣4x+3），然后再利用十字相乘法继续分解即可．
【解答】解：（1）x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）；
（2）10x2+x﹣21＝（2x+3）（5x﹣7）；
（3）（x2﹣4x）2+7（x2﹣4x）+12
＝（x2﹣4x+4）（x2﹣4x+3）
＝（x﹣2）2（x﹣1）（x﹣3）．
【变式4-1】(2023秋•建昌县期末）阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：
（x+2）（x+3）＝x2+5x+6；（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3．
而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：
x2+5x+6＝（x+2）（x+3）；x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）．
通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子x2+2x﹣3分解因式．这个式子的二次项系数是1＝1×1，常数项﹣3＝（﹣1）×3，一次项系数2＝（﹣1）+3，可以用下图十字相乘的形式表示为：
先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．这样，我们就可以得到：x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）．
利用这种方法，将下列多项式分解因式：
（1）x2+7x+10＝ （x+2）（x+5） ；
（2）x2﹣2x﹣3＝ （x﹣3）（x+1） ；
（3）y2﹣7y+12＝ （y﹣3）（y﹣4） ；
（4）x2+7x﹣18＝ （x+9）（x﹣2） ．
分析：（1）把10分解成2×5；
（2）把﹣3分解成﹣3×1；
（3）把12分解成（﹣3）×（﹣4）；
（4）把﹣18分解成（﹣2）×9；
【解答】（1）x2+7x+10＝（x+2）（x+5）；
（2）x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）；
（3）y2﹣7y+12＝（y﹣3）（y﹣4）；
（4）x2+7x﹣18＝（x+9）（x﹣2）．
故答案为：（1）（x+2）（x+5），（2）（x﹣3）（x+1），（3）（y﹣3）（y﹣4），（4）（x+9）（x﹣2）．
【变式4-2】(2023秋•新泰市期中）提出问题：你能把多项式x2+5x+6因式分解吗？
探究问题：如图1所示，设a，b为常数，由面积相等可得：（x+a）（x+b）＝x2+ax+bx+ab＝x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，就可以对形如x2+（a+b）x+ab的多项式进行因式分解即x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）．观察多项式x2+（a+b）x+ab的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和．
解决问题：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+3）（x+2）．
运用结论：
（1）基础运用：把多项式x2+4x﹣21进行因式分解．
（2）知识迁移：对于多项式4x2﹣4x﹣15进行因式分解还可以这样思考：
将二次项4x2分解成如图2所示中的两个2x的积，再将常数项﹣15分解成﹣5与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为﹣4x，就是4x2﹣4x﹣15的一次项，所以有4x2﹣4x﹣15＝（2x﹣5）（2x+3）．这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”．
请用十字相乘法进行因式分解：①3x2﹣19x﹣14；②6a2﹣13ab+6b2．
分析：根据十字相乘法的分解方法和特点，分解即可．
【解答】解：①原式＝（3x+2）（x﹣7）；
②原式＝（2a﹣3b）（3a﹣2b）．
【变式4-3】(2023春•奉化区校级期末）【阅读与思考】
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式ax2+bx+c进行因式分解呢？我们已经知道，（a1x+c1）（a2x+c2）＝a1a2x2+a1c2x+a2c1x+c1c2＝a1a2x2+（a1c2+a2c1）x+c1c2．反过来，就得到：a1a2x2+（a1c2+a2c1）x+c1c2＝（a1x+c1）（a2x+c2）．
我们发现，二次项的系数a分解成a1a2，常数项c分解成c1c2，并且把a1，a2，c1，c2，如图①所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到a1c2+a2c1，如果a1c2+a2c1的值正好等于ax2+bx+c的一次项系数b，那么ax2+bx+c就可以分解为（a1x+c1）（a2x+c2），其中a1，c1位于图的上一行，a2，c2位于下一行．
像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．
例如，将式子x2﹣x﹣6分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1＝1×1，把常数项﹣6也分解为两个因数的积，即﹣6＝2×（﹣3）；然后把1，1，2，﹣3按图②所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到1×（﹣3）+1×2＝﹣1，恰好等于一次项的系数﹣1，于是x2﹣x﹣6就可以分解为（x+2）（x﹣3）．
请同学们认真观察和思考，尝试在图③的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”
分解因式：x2+x﹣6＝ （x+3）（x﹣2） ．
【理解与应用】
请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：
（1）2x2+5x﹣7 （x﹣1）（2x+7） ；（2）6x2﹣7xy+2y2＝ （2x﹣y）（3x﹣2y） ．
【探究与拓展】
对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的关于x，y的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图④，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np＝b，pk+qj＝e，mk+nj＝d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式＝（mx+py+j）（nx+qy+k），请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：
（1）分解因式3x2+5xy﹣2y2+x+9y﹣4＝ （x+2y﹣1）（3x﹣y+4） ．
（2）若关于x，y的二元二次式x2+7xy﹣18y2﹣5x+my﹣24可以分解成两个一次因式的积，求m的值．
（3）已知x，y为整数，且满足x2+3xy+2y2+2x+3y＝﹣1，请写出一组符合题意的x，y的值．
分析：【阅读与思考】根据阅读材料中的方法分解即可；
【理解与应用】利用得出的十字相乘法分解即可；
【探究与拓展】（1）仿照十字相乘方法分解即可；
（2）根据题意确定出m的值即可；
（3）写出一组符合题意x与y的值即可．
【解答】解：【阅读与思考】
分解因式：x2+x﹣6＝（x+3）（x﹣2）；
故答案为：（x+3）（x﹣2）；
【理解与应用】
（1）2x2+5x﹣7＝（x﹣1）（2x+7）；
（2）6x2﹣7xy+2y2＝（2x﹣y）（3x﹣2y）；
故答案为：（1）（x﹣1）（2x+7）；（2）（2x﹣y）（3x﹣2y）；
【探究与拓展】
（1）分解因式3x2+5xy﹣2y2+x+9y﹣4＝（x+2y﹣1）（3x﹣y+4）；
故答案为：（x+2y﹣1）（3x﹣y+4）
（2）∵关于x，y的二元二次式x2+7xy﹣18y2﹣5x+my﹣24可以分解成两个一次因式的积，
∴存在其中1×1＝1，9×（﹣2）＝﹣18，（﹣8）×3＝﹣24；
而7＝1×（﹣2）+1×9，﹣5＝1×（﹣8）+1×3，
∴m＝27+16＝43或m＝﹣72﹣6＝﹣78，
故m的值为43或﹣78；
（3）x，y为整数，且满足x2+3xy+2y2+2x+3y＝﹣1，可以是x＝﹣1，y＝0（答案不唯一）．
【考点5 用整体思想进行因式分解】
【例45】(2023秋•濮阳期末）先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成整体，设x+y＝m，则原式＝m2+2m+1＝（m+1）2．
再将x+y＝m代入，得原式＝（x+y+1）2．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法．请你完成下列各题：
（1）因式分解：1﹣2（x﹣y）+（x﹣y）2；
（2）因式分解：25（a+2）2﹣10（a+2）+1；
（3）因式分解：（y2﹣6y）（y2﹣6y+18）+81．
分析：（1）把x﹣y看作一个整体，利用完全平方公式分解即可；
（2）把a+2看作一个整体，利用完全平方公式分解即可；
（3）把y2﹣6y看作一个整体，利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：（1）设x﹣y＝m，
原式＝1﹣2m+m2
＝（1﹣m）2
＝[1﹣（x﹣y）]2
＝（1﹣x+y）2；
（2）设a+2＝m，
原式＝25m2﹣10m+1
＝（5m﹣1）2
＝[5（a+2）﹣1]2
＝（5a+9）2；
（3）设y2﹣6y＝m，
原式＝m（m+18）+81
＝m2+18m+81
＝（m+9）2
＝（y2﹣6y+9）2
＝（y﹣3）4．
【变式5-1】(2023秋•开封期末）阅读下列材料：
材料1：将一个形如x2+px+q的二次三项式分解因式时，如果能满足q＝mn，且p＝m+n，则可以把x2+px+q分解因式成（x+m）（x+n）．例如：①x2+5x+6＝（x+2）（x+3）；②x2﹣5x﹣6＝（x﹣6）（x+1）．
材料2：因式分解：4（x+y）2+4（x+y）+1．
解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝m，则原式＝4m2+4m+1＝（2m+1）2．
再将“m”还原，得原式＝（2x+2y+1）2．
上述解题用到了整体思想，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题．
（1）根据材料1，分解因式：x2﹣7x+12．
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：
①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3；
②分解因式：x（x+2）（x2+2x﹣2）﹣3．
分析：（1）将x2﹣7x+12写成x2+（﹣3﹣4）x+（﹣3）×（﹣4），根据材料1的方法可得（x﹣3）（x﹣4）即可；
（2）①令x﹣y＝A，原式可变为A2+4A+3，再利用十字相乘法分解因式即可；
②令B＝x（x+2）＝x2+2x，原式可变为B（B﹣2）﹣3，即B2﹣2B﹣3，利用十字相乘法可分解为（B﹣3）（B+1），再代换后利用十字相乘法和完全平方公式即可．
【解答】解：（1）x2﹣7x+12＝x2+（﹣3﹣4）x+（﹣3）×（﹣4）＝（x﹣3）（x﹣4）；
（2）①令A＝x﹣y，
则原式＝A2+4A+3＝（A+1）（A+3），
所以（x﹣y）2+4（x﹣y）+3＝（x﹣y+1）（x﹣y+3）；
②令B＝x（x+2）＝x2+2x，
则原式＝B（B﹣2）﹣3
＝B2﹣2B﹣3，
＝（B+1）（B﹣3），
所以原式＝（x2+2x+1）（x2+2x﹣3）
＝（x+1）2（x﹣1）（x+3）．
【变式5-2】(2023春•南山区校级期中）先阅读材料：
分解因式：（a+b）2+2（a+b）+1．
解：令a+b＝M，
则（a+b）2+2（a+b）+1＝M2+2M+1＝（M+1）2，
所以（a+b）2+2（a+b）+1＝（a+b+1）2．
材料中的解题过程用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你运用这种思想方法解答下列问题：
（1）分解因式：（x+y）2﹣2（x+y）+1＝ （x+y﹣1）2 ．
（2）分解因式：（m+n）（m+n﹣4）+4；
（3）证明：若n为正整数，则式子（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某个整数的平方．
分析：（1）将（x+y）看作一个整体进行因式分解；
（2）将（m+n）看作一个整体进行因式分解；
（3）先计算（n+1）（n+2）得n2+3n+2，再将n2+3n看作整体因式分解得原式＝（n2+3n+1）2，继而由n2+3n+1为正整数可得答案．
【解答】解：（1）令x+y＝M，
则（x+y）2﹣2（x+y）+1＝M2﹣2M+1＝（M﹣1）2，
所以（x+y）2﹣2（x+y）+1＝（x+y﹣1）2．
故答案为：（x+y﹣1）2；
（2）令A＝m+n，
则（m+n）（m+n﹣4）+4＝A（A﹣4）+4＝A2﹣4A+4＝（A﹣2）2，
所以（m+n）（m+n﹣4）+4＝（m+n﹣2）2；
（3）（n+1）（n+2）（n2+3n）+1
＝（n2+3n）[（n+1）（n+2）]+1
＝（n2+3n）（n2+3n+2）+1
＝（n2+3n）2+2（n2+3n）+1．
令n2+3n＝A，
则原式＝A2+2A+1
＝（A+1）2
＝（n2+3n+1）2．
∵n是正整数，
∴n2+3n+1也为正整数．
∴式子（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方．
【变式5-3】(2023春•驿城区校级月考）阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看成一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．
下面是小涵同学用换元法对多项式（x2+2x+3）（x2+2x﹣1）+4进行因式分解的过程．
解：设x2+2x＝y．
原式＝（y+3）（y﹣1）+4（第一步）
＝y2+2y+1（第二步）
＝（y+1）2（第三步）
＝（x2+2x+1）2（第四步）．
请根据上述材料回答下列问题：
（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 D ；
A．提取公因式法
B．平方差公式法
C．差的完全平方公式
D．和的完全平方公式
（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果： （x+1）4 ；
（3）请你用换元法对多项式（9x2﹣6x+3）（9x2﹣6x﹣1）+4进行因式分解．
分析：（1）直接由第三步的式子得到结果；
（2）由x2+2x+1＝（x+1）2得到最后结果；
（3）设9x2﹣6x＝y，然后代入原式因式分解．
【解答】解：（1）由（y+1）2可知第二步到第三步运用了和的完全平方公式，
故选：D．
由y2+2y+1＝（y+1）2可知，小涵运用了因式分解的完全平方公式法，故选C．
（2）∵x2+2x+1＝（x+1）2，
∴（x2+2x+1）2＝（x+1）4，
故答案为：（x+1）4．
（3）设9x2﹣6x＝y，
原式＝（y+3）（y﹣1）+4
＝y2+2y+1
＝（y+1）2
＝（9x2﹣6x+1）2
＝（3x﹣1）4．
【考点6 用拆项法进行因式分解】
【例6】(2023秋•隆昌市校级月考）阅读理解：因式分解有多种方法，除了提公因式法，公式法，十字相乘法等，还有分组分解法，拆项法，配方法等．一般情况下，我们需要综合运用多种方法才能解决问题．
例如：分解因式x3﹣4x2+x+6．步骤：
解：原式＝x3﹣3x2﹣x2+x+6 第1步：拆项法，将﹣4x2拆成﹣3x2和﹣x2；
＝（x3﹣3x2）﹣（x2﹣x﹣6）第2步：分组分解法，通过添括号进行分组；
＝x2（x﹣3）﹣（x+2）（x﹣3）第3步：提公因式法和十字相乘法（局部）；
＝（x﹣3）（x2﹣x﹣2）第4步：提公因式法（整体）；
＝（x﹣3）（x﹣2）（x+1）第5步：十字相乘法：最后结果分解彻底．
（1）请你试一试分解因式x3﹣7x+6．
（2）请你试一试在实数范围内分解因式x4﹣5x2+6．
分析：（1）将﹣7x拆分为﹣x﹣6x，分组后分别提公因式，可得出答案；
（2）直接利用十字相乘法分解因式，再利用平方差公式得出答案．
【解答】解：（1）x3﹣7x+6
＝x3﹣x﹣6x+6
＝x（x2﹣1）﹣6（x﹣1）
＝x（x﹣1）（x+1）﹣6（x﹣1）
＝（x﹣1）（x2+x﹣6）
＝（x﹣1）（x+3）（x﹣2）；
（2）x4﹣5x2+6
＝（x2﹣2）（x2﹣3）
＝（x+2）（x−2）（x+3）（x−3）．
【变式6-1】(2023春•南京月考）在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．先阅读，再分解因式：
x4+4＝（x4+4x2+4）﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2﹣2x+2）（x2+2x+2）．
（1）按照这种方法把多项式x4+4y4分解因式；
（2）分解因式：a4+a2b2+b4．
分析：（1）将原式变形为x4+4y4＝x4+4x2y2+4y4﹣4x2y2，进一步分解可得；
（2）将原式变形为a4+2a2b2+b4﹣a2b2＝（a2+b2）2﹣（ab）2再进一步分解可得．
【解答】解：（1）x4+4y4
＝x4+4x2y2+4y4﹣4x2y2
＝（x2+2y2）2﹣4x2y2
＝（x2+2y2+2xy）（x2+2y2﹣2xy）；
（2）a4+a2b2+b4
＝a4+2a2b2+b4﹣a2b2
＝（a2+b2）2﹣（ab）2
＝（a2+b2+ab）（a2+b2﹣ab）．
【变式6-2】(2023秋•沂南县期末）先阅读下列材料：
我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．
如：ax+by+bx+ay，x2+2xy+y2﹣1分组分解法：
解：原式＝（ax+bx）+（ay+by）＝x（a+b）+y（a+b）＝（a+b）（x+y）
解：原式＝（x+y）2﹣1＝（x+y+1）（x+y﹣1）
（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．
如：x2+2x﹣3
解：原式＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
（1）分解因式：a2﹣b2+a﹣b；
（2）分解因式：x2﹣6x﹣7．
分析：（1）将前两项利用平方差公式分解因式，进而利用提取公因式法分解因式得出答案；
（2）直接利用十字相乘法分解因式得出答案．
【解答】解：（1）原式＝（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）
＝（a﹣b）（a+b+1）；
（2）原式＝（x2﹣6x+9﹣16）
＝（x﹣3）2﹣16
＝（x﹣3﹣4）（x﹣3+4）
＝（x﹣7）（x+1）．
【变式6-3】(2023秋•微山县月考）【阅读材料】
对于二次三项式a2+2ab+b2可以直接分解为（a+b）2的形式，但对于二次三项式a2+2ab﹣8b2，就不能直接用公式了，我们可以在二次三项式a2+2ab﹣8b2中先加上一项b2，使其成为完全平方式，再减去b2这项，（这里也可把﹣8b2拆成+b2与﹣9b2的和），使整个式子的值不变．于是有：a2+2ab﹣8b2＝a2+2ab﹣8b2+b2﹣b2＝（a2+2ab+b2）﹣8b2﹣b2＝（a+b）2﹣9b2＝[（a+b）+3b][（a+b）﹣3b]＝（a+4b）（a﹣2b）．我们把像这样将二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．
【应用材料】
（1）上式中添（拆）项后先把完全平方式组合在一起，然后用 添（拆）项 法实现分解因式．
（2）请你根据材料中提供的因式分解的方法，将下面的多项式分解因式：①m2+6m+8；②a4+10a2b2+9b4．
分析：（1）根据给出材料方法，直接得答案；
（2）①把8变为9﹣1，利用添（拆）项法分解；
②把9b4变为25b4﹣16b4，利用添（拆）项法分解．
【解答】解：（1）二次三项式a2+2ab﹣8b2的因式分解，利用了添（拆）项法．
故答案为：添（拆）项．
（2）①m2+6m+8
＝m2+6m+9﹣1
＝（m+3）2﹣1
＝（m+3+1）（m+3﹣1）
＝（m+4）（m+2）；
②a4+10a2b2+9b4
＝a4+10a2b2+25b4﹣16b4
＝（a2+5b2）2﹣（4b2）2
＝（a2+5b2+4b2）（a2+5b2﹣4b2）
＝（a2+9b2）（a2+b2）．
【考点7 由因式分解求值】
【例7】(2023秋•铁西区期中）若c2﹣a2﹣2ab﹣b2＝10，a+b+c＝﹣5，则a+b﹣c的值是（ ）
A．2B．5C．20D．9
分析：根据分组分解法分解因式得c2﹣（a+b）2＝10，从而（c+a+b）（c﹣a﹣b）＝10，根据a+b+c＝﹣5即可得出答案．
【解答】解：∵c2﹣a2﹣2ab﹣b2＝10，
∴c2﹣（a2+2ab+b2）＝10，
∴c2﹣（a+b）2＝10，
∴（c+a+b）（c﹣a﹣b）＝10，
∵a+b+c＝﹣5，
∴c﹣a﹣b＝﹣2，
∴a+b﹣c＝2，
故选：A．
【变式7-1】(2023秋•思明区校级期中）已知m2＝2﹣n，n2＝m+2（m+n≠0），则m3+2mn﹣n3＝（ ）
A．0B．1C．2D．﹣2
分析：由m2＝2﹣n，n2＝m+2及平方差公式可得m﹣n＝﹣1，由m3＝m•m2＝m（2﹣n）＝2m﹣mn，n3＝n•n2＝n（m+2）＝mn+2n可得原式＝2（m﹣n）＝﹣2．
【解答】解：∵m2＝2﹣n，n2＝m+2，
∴m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）＝2﹣n﹣m﹣2＝﹣（m+n），
∴m﹣n＝﹣1，
∵m3＝m•m2＝m（2﹣n）＝2m﹣mn，n3＝n•n2＝n（m+2）＝mn+2n，
∴m3+2mn﹣n3＝2m﹣mn+2mn﹣mn﹣2n＝2（m﹣n）＝﹣2，
故选：D．
【变式7-2】(2023秋•东兴区校级期中）若a＝x+19，b＝x+20，c＝x+21，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝ ．
分析：由已知a，b，c求出a﹣b，a﹣c以及b﹣c的值，原式乘以2变形，利用完全平方公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．
【解答】解：∵a＝x+19，b＝x+20，c＝x+21，
∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，
原式=12（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）
=12[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]
＝3，
故答案为：3．
【变式7-3】(2023秋•源汇区校级期中）若实数x满足x2﹣2x﹣1＝0，则2x3﹣2x2﹣6x+2020＝ 2022 ．
分析：先将x2＝2x+1，x2﹣2x＝1，再代入计算可求解．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣1＝0，
∴x2＝2x+1，x2﹣2x＝1，
∴原式＝2x•x2﹣2x2﹣6x+2020
＝2x（2x+1）﹣2x2﹣6x+2020
＝4x2+2x﹣2x2﹣6x+2020
＝2x2﹣4x+2020
＝2（x2﹣2x）+2020
＝2×1+2020
＝2022．
【考点8 因式分解的应用】
【例8】(2023秋•松滋市期末）如图，将一块长方形纸板沿图中的虚线裁剪成9块，其中2块是边长为a的小正方形，5块是长为b，宽为a的小长方形，2块是边长为b的大正方形．
（1）观察图形，可以发现代数式2a2+5ab+2b2可以分解因式为 （a+2b）（2a+b） ；
（2）若这块长方形纸板的面积为177，每块长为b，宽为a的小长方形的面积是15．
①则图中1块边长为a的小正方形和1块边长为b的大正方形的面积之和为 51 ；
②试求图中所有剪裁线（虚线部分）长的和．
分析：（1）按照整体思想和分割思想利用面积法分析求解；
（2）①利用整体思想代入求值；
②利用平移思想分析求解．
【解答】解：（1）如图，
∵矩形ABCD由2块边长为a的小正方形，5块长为b，宽为a的小长方形，2块边长为b的大正方形组成，
∴S矩形ABCD＝2a2+5ab+2b2，
又∵矩形ABCD的长为（a+2b），宽为（2a+b），
∴S矩形ABCD＝（a+2b）（2a+b），
∴2a2+5ab+2b2＝（a+2b）（2a+b），
故答案为：（a+2b）（2a+b）；
（2）①∵这块长方形纸板的面积为177，每块长为b，宽为a的小长方形的面积是15，
∴2a2+5ab+2b2＝177，ab＝15，
∴2（a2+b2）+5ab＝177，
2（a2+b2）+5×15＝177，
2（a2+b2）＝177﹣75，
2（a2+b2）＝102，
a2+b2＝51，
即1块边长为a的小正方形和1块边长为b的大正方形的面积之和为51，
故答案为：51；
②通过平移的性质可知，图中所有剪裁线（虚线部分）长的和即为矩形ABCD的周长，
2[（2a+b）+（a+2b）]
＝2（2a+b+a+2b）
＝2（3a+3b）
＝6a+6b，
∴图中所有剪裁线（虚线部分）长的和6a+6b．
【变式8-1】(2023秋•朝阳区校级期末）如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a厘米的大正方形，2块是边长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的相同的小长方形，且a＞b．
（1）观察图形，可以发现代数式2a2+5ab+2b2可以因式分解为 （a+2b）（2a+b） ．
（2）若图中阴影部分的面积为20平方厘米，大长方形纸板的周长为24厘米，求图中空白部分的面积．
分析：（1）根据长方形面积的两种表达方式求解．
（2）由阴影部分面积及大长方形周长可得两方程，联立方程求解．
【解答】解：（1）观察图形可得图形面积为2a2+5ab+2b2，
利用长方形面积公式可得面积为（a+2b）（2a+b），
∴2a2+5ab+2b2＝（a+2b）（2a+b），
故答案为：（a+2b）（2a+b）．
（2）∵图中阴影部分的面积为20平方厘米，
∴2a2+2b2＝20，
∵大长方形纸板的周长为24厘米，
∴6a+6b＝24，
联立方程2a2+2b2=206a+6b=24，
解得ab＝3．
∴空白部分面积为5ab＝15平方厘米．
【变式8-2】(2023春•镇江期中）【活动材料】若干个如图1所示的长方形和正方形硬纸片
【活动要求】用若干块这样的长方形和正方形硬纸片拼成一个新的长方形，通过不同的方法计算面积，探求相应的等式．
例如，由图2，我们可以得到a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b），或（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
【问题解决】
（1）选取正方形、长方形硬纸片共8块，拼出如图3的长方形，直接写出相应的 3b²+4ab+a²＝（a+b）（3b+a） ；
（2）尝试借助拼图的方法，把二次三项式2a2+3ab+b2分解因式，并把所拼的图形画在图4的虚线方框内；
（3）将2b2﹣3ab+a2分解因式： 2b²﹣3ab+a²＝（b﹣a）（2b﹣a） （直接写出结果，不需要画图）．
分析：运用不同方法求解矩形面积：分割法求解、公式法求解，所得的结果是一样的，由此可得出答案．
【解答】解：（1）如图3，用分割法求解图3的矩形，可发现是由3个边长为b的正方形和1个边长为a的正方形以及4个长宽分别为b、a的长方形组成，所以矩形面积可为（3b2+4ab+a2），矩形面积求解还可以用长乘宽计算，长为（3b+a），宽为（a+b），所以矩形面积可为（3b+a）（a+b），面积相等，即：3b2+4ab+a2＝（a+b）（3b+a）．
（2）如图所示，2a2+3ab+b2可看作由2个边长为a的正方形，1个边长为b的正方莆，3个长宙斯分别为b、a的长方形组成的矩形的面积，所以可画图．由（1）的方法可得2a2+3ab+b2＝（2a+b）（a+b）．
（3）由几何思想可利用已有图形拼凑，拼凑成2个边长为b的正方形减去3个长宽分别为b、a的矩形，再加上一个边长为a的正方形即可，再用公式法算出剩下图形的面积，即可得到式子：2b2﹣3ab+a2＝（b﹣a）（2b﹣a）．
【变式8-3】(2023春•沭阳县期中）如图，正方形纸片A类，B类和长方形纸片C类若干张，
（1）①请你选取适当数量的三种纸片，拼成一个长为（a+2b）、宽为（a+b）的长方形，画出拼好后的图形；
②观察拼图共用 1 张A类纸片， 2 张B类纸片， 3 张C类纸片．通过面积计算可以发现（a+2b）（a+b）＝ a2+3ab+2b2 ．
（2）①请你用这三类卡片拼出面积为3a2+4ab+b2的长方形，画出拼好后的图形．
②观察拼图共用 3 张A类纸片， 1 张B类纸片， 4 张C类纸片．通过面积计算可以发现3a2+4ab+b2＝ （3a+b）（a+b） ．
③利用拼图，把下列多项式因式分解
a2+3ab+2b2＝ （a+2b）（a+b） ；3a2+5ab+2b2＝ （3a+b）（a+2b） ．
分析：（1）①根据长方形长为（a+2b）、宽为（a+b）即可画出图形；②通过观察拼好的图形即可得知A、B、C种图形的张数，用两种方法表示图形的面积即可得出等式；
（2）①根据长方形的面积即可得出图形的长和宽从而画出图形；②根据观察即可得知A、B、C类纸片的数量，通过两种方法表示图形的面积即可得出等式；③利用拼图即可对多项式进行因式分解．
【解答】解：（1）①如图所示：
②观察拼图共用1张A纸片，2张B纸片3张C纸片．
图形的面积＝（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
故答案为：1，2，3；a2+3ab+2b2．
（2）①如图所示：
②观察拼图共用3张A类纸片，1张B类纸片，4张C类纸片．
根据图形面积可知3a2+4ab+b2＝（3a+b）（a+b）．
③因式分解：a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b），
3a2+5ab+2b2＝（3a+2b）（a+b）．
故答案为：3，1，4；（3a+b）（a+b）；（a+2b）（a+b），（3a+2b）（a+b）．
【考点1 因式分解的意义】
【例1】(2023秋•钢城区期末）多项式x2+mx+6因式分解得（x﹣2）（x+n），则m＝ ．
【变式1-1】(2023春•龙口市月考）若关于x的二次三项式x2﹣3x+k有一个因式是（x﹣2），则k的值是 ．
【变式1-2】(2023•杭州模拟）若多项式x3+x+m含有因式x2﹣x+2，则m的值是 ．
【变式1-3】(2023春•永嘉县校级期末）若多项式x2+mx+n（m、n是常数）分解因式后，有一个因式是x+1，则m﹣n的值为 ．
【考点2 用常规方法进行因式分解】
【例2】(2023春•滕州市校级月考）分解因式：
（1）﹣2x3+12x2﹣18x；
（2）（a2+4）2﹣16a2；
（3）2（y﹣x）2﹣6（x﹣y）；
（4）16（a﹣b）2﹣9（a+b）2．
【变式2-1】(2023秋•桐柏县月考）分解因式：
（1）a（x﹣y）+b（y﹣x）；
（2）3m2n﹣12mn+12n；
（3）（x+2y）2﹣4（x+2y﹣1）；
（4）（x2+9）2﹣36x2．
【变式2-2】(2023秋•陵城区月考）把下列各式分解因式：
（1）6ab3﹣24a3b；
（2）x4﹣8x2+16；
（3）a2（x+y）﹣b2（y+x）；
（4）4m2n2﹣（m2+n2）2．
【变式2-3】(2023春•槐荫区校级月考）把下列各多项式因式分解：
（1）﹣3x3y2+6x2y3﹣3xy4；
（2）3x（a﹣b）﹣6y（b﹣a）；
（3）18b（a﹣b）2+12（b﹣a）3；
（4）（x2+16y2）2﹣64x2y2；
（5）（m2﹣5）2+8（m2﹣5）+16；
（6）16x4﹣72x2y2+81y4．
【考点3 用分组分解法进行因式分解】
【例3】(2023秋•永吉县期末）阅读下列材料：
一般地，没有公因式的多项式，当项数为四项或四项以上时，经常把这些项分成若干组，然后各组运用提取公因式法或公式法分别进行分解，之后各组之间再运用提取公因式法或公式法进行分解，这种因式分解的方法叫做分组分解法．如：
因式分解：am+bm+an+bn
＝（am+bm）+（an+bn）
＝m（a+b）+n（a+b）
＝（a+b）（m+n）．
（1）利用分组分解法分解因式：
①3m﹣3y+am﹣ay；
②a2x+a2y+b2x+b2y．
（2）因式分解：a2+2ab+b2﹣1＝ （直接写出结果）．
【变式3-1】(2023春•盐湖区校级期末）先阅读下面材料，再完成后面的问题：要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成组，并提出a，再把它的后两项分成组，并提出b，从而得到am+an+bm+bn＝a（m+n）+b（m+n）这时，由于a（m+n）+b（m+n）中又有公因式（m+n），于是提取公因式（m+n），从而得到（m+n）（a+b），因此有am+an+bm+bn＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b）这种因式分解的方法叫做分组分解法，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解．请用上面材料中提供的方法因式分解：
（1）ab﹣ac+bc﹣b2＝a（b﹣c）﹣b（b﹣c）（请你完成分解因式下面的过程）＝ ．
（2）m2﹣mn+mx﹣nx．
（3）x2y2﹣2x2y﹣4y2+16．
【变式3-2】分解因式
（1）x2﹣2xy﹣3y2+2x+10y﹣8；
（2）4x2﹣4xy﹣3y2﹣4x+10y﹣3．
【变式3-3】因式分解：2ax+2ay﹣3bx+4cy+4cx﹣3by．
【考点4 用十字相乘法进行因式分解】
【例4】(2023秋•微山县期末）【知识背景】
八年级上册第121页“阅读与思考”中，我们利于因式分解是与整式乘法方向相反的变形这种关系得到：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．
【方法探究】
对于多项式x2+（p+q）x+pq我们也可这样分析：它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项pq分解成p与q的积，按图1所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数+（p+q）．
所以x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．
例如，分解因式：x2+5x+6．
它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项6分解成2与3的积，按图2所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数5．
所以x2+5x+6＝（x+2）（x+3）．
类比探究：当二次项系数不是1时，我们也可仿照上述方式进行因式分解．
例如，分解因式：2x2﹣x﹣6．
分析：二次项系数2分解成2与1的积；常数项﹣6分解成﹣1与6（或﹣6与1，﹣2与3，﹣3与2）的积，但只有当﹣2与3时按如图3所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数﹣1．所以2x2﹣x﹣6＝（2x+3）（x﹣2）．
【方法归纳】
一般地，在分解形如关于x的二次三项式ax2+bx+c时，二次项系数a分解成a1与a2的积，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；常数项c分解成c1与c2的积，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，把a1，a2，c1，c2按如图4所示方式排列，当且仅当a1c2+a2c1＝b（一次项系数）时，ax2+bx+c可分解因式．即ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．
我们把这种分解因式的方法叫做十字相乘法．
【方法应用】
利用上面的方法将下列各式分解因式：
（1）x2﹣5x+6；
（2）10x2+x﹣21；
（3）（x2﹣4x）2+7（x2﹣4x）+12．
【变式4-1】(2023秋•建昌县期末）阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：
（x+2）（x+3）＝x2+5x+6；（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3．
而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：
x2+5x+6＝（x+2）（x+3）；x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）．
通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子x2+2x﹣3分解因式．这个式子的二次项系数是1＝1×1，常数项﹣3＝（﹣1）×3，一次项系数2＝（﹣1）+3，可以用下图十字相乘的形式表示为：
先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．这样，我们就可以得到：x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）．
利用这种方法，将下列多项式分解因式：
（1）x2+7x+10＝ ；
（2）x2﹣2x﹣3＝ ；
（3）y2﹣7y+12＝ ；
（4）x2+7x﹣18＝ ．
【变式4-2】(2023秋•新泰市期中）提出问题：你能把多项式x2+5x+6因式分解吗？
探究问题：如图1所示，设a，b为常数，由面积相等可得：（x+a）（x+b）＝x2+ax+bx+ab＝x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，就可以对形如x2+（a+b）x+ab的多项式进行因式分解即x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）．观察多项式x2+（a+b）x+ab的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和．
解决问题：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+3）（x+2）．
运用结论：
（1）基础运用：把多项式x2+4x﹣21进行因式分解．
（2）知识迁移：对于多项式4x2﹣4x﹣15进行因式分解还可以这样思考：
将二次项4x2分解成如图2所示中的两个2x的积，再将常数项﹣15分解成﹣5与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为﹣4x，就是4x2﹣4x﹣15的一次项，所以有4x2﹣4x﹣15＝（2x﹣5）（2x+3）．这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”．
请用十字相乘法进行因式分解：①3x2﹣19x﹣14；②6a2﹣13ab+6b2．
【变式4-3】(2023春•奉化区校级期末）【阅读与思考】
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式ax2+bx+c进行因式分解呢？我们已经知道，（a1x+c1）（a2x+c2）＝a1a2x2+a1c2x+a2c1x+c1c2＝a1a2x2+（a1c2+a2c1）x+c1c2．反过来，就得到：a1a2x2+（a1c2+a2c1）x+c1c2＝（a1x+c1）（a2x+c2）．
我们发现，二次项的系数a分解成a1a2，常数项c分解成c1c2，并且把a1，a2，c1，c2，如图①所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到a1c2+a2c1，如果a1c2+a2c1的值正好等于ax2+bx+c的一次项系数b，那么ax2+bx+c就可以分解为（a1x+c1）（a2x+c2），其中a1，c1位于图的上一行，a2，c2位于下一行．
像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．
例如，将式子x2﹣x﹣6分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1＝1×1，把常数项﹣6也分解为两个因数的积，即﹣6＝2×（﹣3）；然后把1，1，2，﹣3按图②所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到1×（﹣3）+1×2＝﹣1，恰好等于一次项的系数﹣1，于是x2﹣x﹣6就可以分解为（x+2）（x﹣3）．
请同学们认真观察和思考，尝试在图③的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”
分解因式：x2+x﹣6＝ ．
【理解与应用】
请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：
（1）2x2+5x﹣7 ；（2）6x2﹣7xy+2y2＝ ．
【探究与拓展】
对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的关于x，y的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图④，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np＝b，pk+qj＝e，mk+nj＝d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式＝（mx+py+j）（nx+qy+k），请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：
（1）分解因式3x2+5xy﹣2y2+x+9y﹣4＝ ．
（2）若关于x，y的二元二次式x2+7xy﹣18y2﹣5x+my﹣24可以分解成两个一次因式的积，求m的值．
（3）已知x，y为整数，且满足x2+3xy+2y2+2x+3y＝﹣1，请写出一组符合题意的x，y的值．
【考点5 用整体思想进行因式分解】
【例45】(2023秋•濮阳期末）先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成整体，设x+y＝m，则原式＝m2+2m+1＝（m+1）2．
再将x+y＝m代入，得原式＝（x+y+1）2．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法．请你完成下列各题：
（1）因式分解：1﹣2（x﹣y）+（x﹣y）2；
（2）因式分解：25（a+2）2﹣10（a+2）+1；
（3）因式分解：（y2﹣6y）（y2﹣6y+18）+81．
【变式5-1】(2023秋•开封期末）阅读下列材料：
材料1：将一个形如x2+px+q的二次三项式分解因式时，如果能满足q＝mn，且p＝m+n，则可以把x2+px+q分解因式成（x+m）（x+n）．例如：①x2+5x+6＝（x+2）（x+3）；②x2﹣5x﹣6＝（x﹣6）（x+1）．
材料2：因式分解：4（x+y）2+4（x+y）+1．
解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝m，则原式＝4m2+4m+1＝（2m+1）2．
再将“m”还原，得原式＝（2x+2y+1）2．
上述解题用到了整体思想，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题．
（1）根据材料1，分解因式：x2﹣7x+12．
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：
①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3；
②分解因式：x（x+2）（x2+2x﹣2）﹣3．
【变式5-2】(2023春•南山区校级期中）先阅读材料：
分解因式：（a+b）2+2（a+b）+1．
解：令a+b＝M，
则（a+b）2+2（a+b）+1＝M2+2M+1＝（M+1）2，
所以（a+b）2+2（a+b）+1＝（a+b+1）2．
材料中的解题过程用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你运用这种思想方法解答下列问题：
（1）分解因式：（x+y）2﹣2（x+y）+1＝ ．
（2）分解因式：（m+n）（m+n﹣4）+4；
（3）证明：若n为正整数，则式子（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某个整数的平方．
【变式5-3】(2023春•驿城区校级月考）阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看成一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．
下面是小涵同学用换元法对多项式（x2+2x+3）（x2+2x﹣1）+4进行因式分解的过程．
解：设x2+2x＝y．
原式＝（y+3）（y﹣1）+4（第一步）
＝y2+2y+1（第二步）
＝（y+1）2（第三步）
＝（x2+2x+1）2（第四步）．
请根据上述材料回答下列问题：
（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 ；
A．提取公因式法
B．平方差公式法
C．差的完全平方公式
D．和的完全平方公式
（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果： ；
（3）请你用换元法对多项式（9x2﹣6x+3）（9x2﹣6x﹣1）+4进行因式分解．
【考点6 用拆项法进行因式分解】
【例6】(2023秋•隆昌市校级月考）阅读理解：因式分解有多种方法，除了提公因式法，公式法，十字相乘法等，还有分组分解法，拆项法，配方法等．一般情况下，我们需要综合运用多种方法才能解决问题．
例如：分解因式x3﹣4x2+x+6．步骤：
解：原式＝x3﹣3x2﹣x2+x+6 第1步：拆项法，将﹣4x2拆成﹣3x2和﹣x2；
＝（x3﹣3x2）﹣（x2﹣x﹣6）第2步：分组分解法，通过添括号进行分组；
＝x2（x﹣3）﹣（x+2）（x﹣3）第3步：提公因式法和十字相乘法（局部）；
＝（x﹣3）（x2﹣x﹣2）第4步：提公因式法（整体）；
＝（x﹣3）（x﹣2）（x+1）第5步：十字相乘法：最后结果分解彻底．
（1）请你试一试分解因式x3﹣7x+6．
（2）请你试一试在实数范围内分解因式x4﹣5x2+6．
【变式6-1】(2023春•南京月考）在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．先阅读，再分解因式：
x4+4＝（x4+4x2+4）﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2﹣2x+2）（x2+2x+2）．
（1）按照这种方法把多项式x4+4y4分解因式；
（2）分解因式：a4+a2b2+b4．
【变式6-2】(2023秋•沂南县期末）先阅读下列材料：
我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．
如：ax+by+bx+ay，x2+2xy+y2﹣1分组分解法：
解：原式＝（ax+bx）+（ay+by）＝x（a+b）+y（a+b）＝（a+b）（x+y）
解：原式＝（x+y）2﹣1＝（x+y+1）（x+y﹣1）
（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．
如：x2+2x﹣3
解：原式＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
（1）分解因式：a2﹣b2+a﹣b；
（2）分解因式：x2﹣6x﹣7．
【变式6-3】(2023秋•微山县月考）【阅读材料】
对于二次三项式a2+2ab+b2可以直接分解为（a+b）2的形式，但对于二次三项式a2+2ab﹣8b2，就不能直接用公式了，我们可以在二次三项式a2+2ab﹣8b2中先加上一项b2，使其成为完全平方式，再减去b2这项，（这里也可把﹣8b2拆成+b2与﹣9b2的和），使整个式子的值不变．于是有：a2+2ab﹣8b2＝a2+2ab﹣8b2+b2﹣b2＝（a2+2ab+b2）﹣8b2﹣b2＝（a+b）2﹣9b2＝[（a+b）+3b][（a+b）﹣3b]＝（a+4b）（a﹣2b）．我们把像这样将二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．
【应用材料】
（1）上式中添（拆）项后先把完全平方式组合在一起，然后用 法实现分解因式．
（2）请你根据材料中提供的因式分解的方法，将下面的多项式分解因式：①m2+6m+8；②a4+10a2b2+9b4．
【考点7 由因式分解求值】
【例7】(2023秋•铁西区期中）若c2﹣a2﹣2ab﹣b2＝10，a+b+c＝﹣5，则a+b﹣c的值是（ ）
A．2B．5C．20D．9
【变式7-1】(2023秋•思明区校级期中）已知m2＝2﹣n，n2＝m+2（m+n≠0），则m3+2mn﹣n3＝（ ）
A．0B．1C．2D．﹣2
【变式7-2】(2023秋•东兴区校级期中）若a＝x+19，b＝x+20，c＝x+21，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝ ．
【变式7-3】(2023秋•源汇区校级期中）若实数x满足x2﹣2x﹣1＝0，则2x3﹣2x2﹣6x+2020＝ ．
【考点8 因式分解的应用】
【例8】(2023秋•松滋市期末）如图，将一块长方形纸板沿图中的虚线裁剪成9块，其中2块是边长为a的小正方形，5块是长为b，宽为a的小长方形，2块是边长为b的大正方形．
（1）观察图形，可以发现代数式2a2+5ab+2b2可以分解因式为 ；
（2）若这块长方形纸板的面积为177，每块长为b，宽为a的小长方形的面积是15．
①则图中1块边长为a的小正方形和1块边长为b的大正方形的面积之和为 ；
②试求图中所有剪裁线（虚线部分）长的和．
【变式8-1】(2023秋•朝阳区校级期末）如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a厘米的大正方形，2块是边长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的相同的小长方形，且a＞b．
（1）观察图形，可以发现代数式2a2+5ab+2b2可以因式分解为 ．
（2）若图中阴影部分的面积为20平方厘米，大长方形纸板的周长为24厘米，求图中空白部分的面积．
【变式8-2】(2023春•镇江期中）【活动材料】若干个如图1所示的长方形和正方形硬纸片
【活动要求】用若干块这样的长方形和正方形硬纸片拼成一个新的长方形，通过不同的方法计算面积，探求相应的等式．
例如，由图2，我们可以得到a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b），或（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
【问题解决】
（1）选取正方形、长方形硬纸片共8块，拼出如图3的长方形，直接写出相应的 ；
（2）尝试借助拼图的方法，把二次三项式2a2+3ab+b2分解因式，并把所拼的图形画在图4的虚线方框内；
（3）将2b2﹣3ab+a2分解因式： （直接写出结果，不需要画图）．
【变式8-3】(2023春•沭阳县期中）如图，正方形纸片A类，B类和长方形纸片C类若干张，
（1）①请你选取适当数量的三种纸片，拼成一个长为（a+2b）、宽为（a+b）的长方形，画出拼好后的图形；
②观察拼图共用 张A类纸片， 张B类纸片， 张C类纸片．通过面积计算可以发现（a+2b）（a+b）＝ ．
（2）①请你用这三类卡片拼出面积为3a2+4ab+b2的长方形，画出拼好后的图形．
②观察拼图共用 张A类纸片， 张B类纸片， 张C类纸片．通过面积计算可以发现3a2+4ab+b2＝ ．
③利用拼图，把下列多项式因式分解
a2+3ab+2b2＝ ；3a2+5ab+2b2＝ ．
专题4.1 因式分解章末重难点突破
【北师大版】
【考点1 因式分解的意义】
【例1】(2023秋•钢城区期末）多项式x2+mx+6因式分解得（x﹣2）（x+n），则m＝ ．
分析：根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积，可得答案．
【解答】解：x2+mx+6因式分解得（x﹣2）（x+n），得
x2+mx+6＝（x﹣2）（x+n），（x﹣2）（x+n）＝x2+（n﹣2）x﹣2n，
x2+mx+6＝x2+（n﹣2）x﹣2n，
﹣2n＝6，m＝n﹣2．
解得n＝﹣3，m＝﹣5，
故答案为：﹣5．
【变式1-1】(2023春•龙口市月考）若关于x的二次三项式x2﹣3x+k有一个因式是（x﹣2），则k的值是 ．
分析：设另一个因式为x+m，则x2﹣3x+k＝（x+m）（x﹣2），根据多项式乘以多项式法则展开，即可得出答案．
【解答】解：设另一个因式为x+m，则x2﹣3x+k＝（x+m）（x﹣2），
而（x+m）（x﹣2）＝x2+（m﹣2）x﹣2m，
∴m﹣2＝﹣3，
解得m＝﹣1，
∴k＝﹣2m＝2．
故答案为：2．
【变式1-2】(2023•杭州模拟）若多项式x3+x+m含有因式x2﹣x+2，则m的值是 ．
分析：设另一个因式是x+a，根据已知得出（x2﹣x+2）（x+a）＝x3+x+m，再进行化简，即可求出a、m值．
【解答】解：∵多项式x3+x+m含有因式x2﹣x+2，
∴设另一个因式是x+a，
则（x2﹣x+2）（x+a）＝x3+x+m，
∵（x2﹣x+2）（x+a）
＝x3+ax2﹣x2﹣ax+2x+2a
＝x3+（a﹣1）x2+（﹣a+2）x+2a，
∴a﹣1＝0，2a＝m，
解得：a＝1，m＝2，
故答案为：2．
【变式1-3】(2023春•永嘉县校级期末）若多项式x2+mx+n（m、n是常数）分解因式后，有一个因式是x+1，则m﹣n的值为 ．
分析：设另一个因式为x+a，因为整式乘法是因式分解的逆运算，所以将两个因式相乘后结果得x2+mx+n，根据各项系数相等列式，计算可得m﹣n的值．
【解答】解：设另一个因式为x+a，
则x2+mx+n＝（x+1）（x+a）＝x2+ax+x+a＝x2+（a+1）x+a，
由此可得a+1=m①n=a②，
由①得：a＝m﹣1③，
把③代入②得：n＝m﹣1，
m﹣n＝1，
故答案为：1．
【考点2 用常规方法进行因式分解】
【例2】(2023春•滕州市校级月考）分解因式：
（1）﹣2x3+12x2﹣18x；
（2）（a2+4）2﹣16a2；
（3）2（y﹣x）2﹣6（x﹣y）；
（4）16（a﹣b）2﹣9（a+b）2．
分析：（1）先提公因式，然后利用完全平方公式继续分解即可；
（2）先利用平方差公式分解，然后利用完全平方公式继续分解即可；
（3）利用提公因式法分解即可；
（4）利用平方差公式分解即可．
【解答】解：（1）﹣2x3+12x2﹣18x
＝﹣2x（x2﹣6x+9）
＝﹣2（x﹣3）2；
（2）（a2+4）2﹣16a2
＝（a2+4+4a）（a2+4﹣4a）
＝（a+2）2（a﹣2）2；
（3）2（y﹣x）2﹣6（x﹣y）
＝2（x﹣y）2﹣6（x﹣y）
＝2（x﹣y）（x﹣y﹣3）；
（4）16（a﹣b）2﹣9（a+b）2
＝[4（a﹣b）+3（a+b）][4（a﹣b）﹣3（a+b）]
＝（4a﹣4b+3a+3b）（4a﹣4b﹣3a﹣3b）
＝（7a﹣b）（a﹣7b）．
【变式2-1】(2023秋•桐柏县月考）分解因式：
（1）a（x﹣y）+b（y﹣x）；
（2）3m2n﹣12mn+12n；
（3）（x+2y）2﹣4（x+2y﹣1）；
（4）（x2+9）2﹣36x2．
分析：（1）将y﹣x变形为﹣（x﹣y），提公因式即可；
（2）先提公因式再用完全平方公式分解因式即可；
（3）把（x+2y）看作整体，利用完全平方公式分解因式即可；
（4）先用平方差公式，再用完全平方公式即可．
【解答】解：（1）原式＝a（x﹣y）﹣b（x﹣y）
＝（x﹣y）（a﹣b）；
（2）原式＝3n（m2﹣4m+4）
＝3n（m﹣2）2；
（3）原式＝（x+2y）2﹣4（x+2y）+4
＝（x+2y﹣2）2；
（4）原式＝（x2+9+6x）（x2+9﹣6x）
＝（x+3）2（x﹣3）2．
【变式2-2】(2023秋•陵城区月考）把下列各式分解因式：
（1）6ab3﹣24a3b；
（2）x4﹣8x2+16；
（3）a2（x+y）﹣b2（y+x）；
（4）4m2n2﹣（m2+n2）2．
分析：（1）先提取公因式，再用平方差公式分解因式；
（2）先用完全平方公式，再用平方差公式分解因式，最后用积的乘方；
（3）先提取公因式，再用平方差公式分解因式；
（4）先用平方差公式，再用完全平方公式分解因式．
【解答】解：（1）原式＝6ab（b2﹣4a2）
＝6ab（b+2a）（b﹣2a）；
（2）原式＝（x2﹣4）2
＝[（x+2）（x﹣2）]2
＝（x﹣2）2（x+2）2；
（3）原式＝（x+y）（a2﹣b2）
＝（x+y）（a+b）（a﹣b）；
（4）原式＝（2mn+m2+n2）（2mn﹣m2﹣n2）
＝﹣（m+n）2（m﹣n）2．
【变式2-3】(2023春•槐荫区校级月考）把下列各多项式因式分解：
（1）﹣3x3y2+6x2y3﹣3xy4；
（2）3x（a﹣b）﹣6y（b﹣a）；
（3）18b（a﹣b）2+12（b﹣a）3；
（4）（x2+16y2）2﹣64x2y2；
（5）（m2﹣5）2+8（m2﹣5）+16；
（6）16x4﹣72x2y2+81y4．
分析：（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解；
（2）（3）先把（b﹣a）用﹣（a﹣b）表示，再提取公因式；
（4）先利用平方差公式再利用完全平方公式分解；
（5）把m2﹣5看成一个整体，先利用完全平方公式，再用平方差公式因式分解；
（6）先利用完全平方公式，再利用平方差公式因式分解．
【解答】解：（1）﹣3x3y2+6x2y3﹣3xy4
＝﹣3xy2（x2﹣2xy+y2）
＝﹣3xy2（x﹣y）2；
（2）3x（a﹣b）﹣6y（b﹣a）
＝3x（a﹣b）+6y（a﹣b）
＝3（a﹣b）（x+2y）；
（3）18b（a﹣b）2+12（b﹣a）3
＝18b（a﹣b）2﹣12（a﹣b）3
＝6（a﹣b）2[3b﹣2（a﹣b）]
＝6（a﹣b）2（3b﹣2a+2b）
＝6（a﹣b）2（5b﹣2a）；
（4）（x2+16y2）2﹣64x2y2；
＝（x2+16y2）2﹣（8xy）2
＝（x2+16y2+8xy）（x2+16y2﹣8xy）
＝（x+4y）2（x﹣4y）2；
（5）（m2﹣5）2+8（m2﹣5）+16
＝（m2﹣5+4）2
＝（m2﹣1）2
＝[（m+1）（m﹣1）]2
＝（m+1）2（m﹣1）2；
（6）16x4﹣72x2y2+81y4
＝（4x2﹣9y2）2
＝[（2x+3y）（2x﹣3y）]2
＝（2x+3y）2（2x﹣3y）2．
【考点3 用分组分解法进行因式分解】
【例3】(2023秋•永吉县期末）阅读下列材料：
一般地，没有公因式的多项式，当项数为四项或四项以上时，经常把这些项分成若干组，然后各组运用提取公因式法或公式法分别进行分解，之后各组之间再运用提取公因式法或公式法进行分解，这种因式分解的方法叫做分组分解法．如：
因式分解：am+bm+an+bn
＝（am+bm）+（an+bn）
＝m（a+b）+n（a+b）
＝（a+b）（m+n）．
（1）利用分组分解法分解因式：
①3m﹣3y+am﹣ay；
②a2x+a2y+b2x+b2y．
（2）因式分解：a2+2ab+b2﹣1＝ （a+b+1）（a+b﹣1） （直接写出结果）．
分析：（1）①直接将前两项和后两项组合，提取公因式，进而分解因式即可；
②直接将前两项和后两项组合，提取公因式，进而分解因式即可；
（2）将前三项利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：（1）①原式＝（3m﹣3y）+（am﹣ay）
＝3（m﹣y）+a（m﹣y）
＝（m﹣y）（3+a）；
②原式＝（a2x+a2y）+（b2x+b2y）
＝a2（x+y）+b2（x+y）
＝（x+y）（a2+b2）；
（2）a2+2ab+b2﹣1
＝（a+b）2﹣1
＝（a+b+1）（a+b﹣1）．
故答案为：（a+b+1）（a+b﹣1）．
【变式3-1】(2023春•盐湖区校级期末）先阅读下面材料，再完成后面的问题：要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成组，并提出a，再把它的后两项分成组，并提出b，从而得到am+an+bm+bn＝a（m+n）+b（m+n）这时，由于a（m+n）+b（m+n）中又有公因式（m+n），于是提取公因式（m+n），从而得到（m+n）（a+b），因此有am+an+bm+bn＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b）这种因式分解的方法叫做分组分解法，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解．请用上面材料中提供的方法因式分解：
（1）ab﹣ac+bc﹣b2＝a（b﹣c）﹣b（b﹣c）（请你完成分解因式下面的过程）＝ （b﹣c）（a﹣b） ．
（2）m2﹣mn+mx﹣nx．
（3）x2y2﹣2x2y﹣4y2+16．
分析：（1）提公因式（b﹣c）即可；
（2）先分组，使因式分解先在组内进行，再使分组在组与组之间进行即可；
（3）前两项提公因式x2y，后两项利用平方差公式，再进行提公因式即可．
【解答】解：（1）提公因式（b﹣c）得，（b﹣c）（a﹣b），
故答案为：（b﹣c）（a﹣b）；
（2）m2﹣mn+mx﹣nx
＝m（m﹣n）+x（m﹣n）
＝（m﹣n）（m+x）；
（3）x2y2﹣2x2y﹣4y2+16
＝x2y（y﹣2）﹣（4y+8）（y﹣2）
＝（y﹣2）（x2y﹣4y﹣8）．
【变式3-2】分解因式
（1）x2﹣2xy﹣3y2+2x+10y﹣8；
（2）4x2﹣4xy﹣3y2﹣4x+10y﹣3．
分析：（1）首先利用补项法再利用完全平方公式分解即可，再利用平方差公式分解得出；
（2）先利用十字相乘法把前三项化为两个因式积的形式，再把后三项凑出前两项中任意整式，提取公因式即可．
【解答】解：（1）x2﹣2xy﹣3y2+2x+10y﹣8
＝x2+2x（1﹣y）﹣3y2+10y﹣8
＝x2+2x（1﹣y）+（1﹣y）2﹣（1﹣y）2﹣3y2+10y﹣8
＝[x+（1﹣y）]2﹣1+2y﹣y2+﹣3y2+10y﹣8
＝[x+（1﹣y）]2﹣（4y2﹣12y+9）
＝[x+（1﹣y）]2﹣（2y﹣3）2
＝[x+（1﹣y）﹣（2y﹣3）][x+（1﹣y）+（2y﹣3）]
＝（x﹣3y+4）（x+y﹣2）；
（2）4x2﹣4xy﹣3y2﹣4x+10y﹣3
＝（2x﹣3y）（2x+y）﹣3（2x﹣3y）+（2x+y）﹣3
＝（2x﹣3y）（2x+y﹣3）+（2x+y﹣3）
＝（2x﹣3y+1）（2x+y﹣3）．
【变式3-3】因式分解：2ax+2ay﹣3bx+4cy+4cx﹣3by．
分析：首先将第1，2项组合以及将第3，6相结合和第4，5项结合提取公因式求出即可．
【解答】解：2ax+2ay﹣3bx+4cy﹣4cx﹣3by
＝2a（x+y）﹣3b（x+y）+4c（y+x）
＝（x+y）（2a﹣3b+4c）．
【考点4 用十字相乘法进行因式分解】
【例4】(2023秋•微山县期末）【知识背景】
八年级上册第121页“阅读与思考”中，我们利于因式分解是与整式乘法方向相反的变形这种关系得到：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．
【方法探究】
对于多项式x2+（p+q）x+pq我们也可这样分析：它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项pq分解成p与q的积，按图1所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数+（p+q）．
所以x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．
例如，分解因式：x2+5x+6．
它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项6分解成2与3的积，按图2所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数5．
所以x2+5x+6＝（x+2）（x+3）．
类比探究：当二次项系数不是1时，我们也可仿照上述方式进行因式分解．
例如，分解因式：2x2﹣x﹣6．
分析：二次项系数2分解成2与1的积；常数项﹣6分解成﹣1与6（或﹣6与1，﹣2与3，﹣3与2）的积，但只有当﹣2与3时按如图3所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数﹣1．所以2x2﹣x﹣6＝（2x+3）（x﹣2）．
【方法归纳】
一般地，在分解形如关于x的二次三项式ax2+bx+c时，二次项系数a分解成a1与a2的积，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；常数项c分解成c1与c2的积，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，把a1，a2，c1，c2按如图4所示方式排列，当且仅当a1c2+a2c1＝b（一次项系数）时，ax2+bx+c可分解因式．即ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．
我们把这种分解因式的方法叫做十字相乘法．
【方法应用】
利用上面的方法将下列各式分解因式：
（1）x2﹣5x+6；
（2）10x2+x﹣21；
（3）（x2﹣4x）2+7（x2﹣4x）+12．
分析：（1）根据6＝﹣2×（﹣3），﹣5＝﹣2+（﹣3），进行分解即可；
（2）根据10＝2×5，﹣21＝3×（﹣7），1＝2×（﹣7）+5×3，进行分解即可；
（3）先把x2﹣4x看成一个整体，利用十字相乘法分解成（x2﹣4x+4）（x2﹣4x+3），然后再利用十字相乘法继续分解即可．
【解答】解：（1）x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）；
（2）10x2+x﹣21＝（2x+3）（5x﹣7）；
（3）（x2﹣4x）2+7（x2﹣4x）+12
＝（x2﹣4x+4）（x2﹣4x+3）
＝（x﹣2）2（x﹣1）（x﹣3）．
【变式4-1】(2023秋•建昌县期末）阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：
（x+2）（x+3）＝x2+5x+6；（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3．
而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：
x2+5x+6＝（x+2）（x+3）；x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）．
通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子x2+2x﹣3分解因式．这个式子的二次项系数是1＝1×1，常数项﹣3＝（﹣1）×3，一次项系数2＝（﹣1）+3，可以用下图十字相乘的形式表示为：
先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．这样，我们就可以得到：x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）．
利用这种方法，将下列多项式分解因式：
（1）x2+7x+10＝ （x+2）（x+5） ；
（2）x2﹣2x﹣3＝ （x﹣3）（x+1） ；
（3）y2﹣7y+12＝ （y﹣3）（y﹣4） ；
（4）x2+7x﹣18＝ （x+9）（x﹣2） ．
分析：（1）把10分解成2×5；
（2）把﹣3分解成﹣3×1；
（3）把12分解成（﹣3）×（﹣4）；
（4）把﹣18分解成（﹣2）×9；
【解答】（1）x2+7x+10＝（x+2）（x+5）；
（2）x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）；
（3）y2﹣7y+12＝（y﹣3）（y﹣4）；
（4）x2+7x﹣18＝（x+9）（x﹣2）．
故答案为：（1）（x+2）（x+5），（2）（x﹣3）（x+1），（3）（y﹣3）（y﹣4），（4）（x+9）（x﹣2）．
【变式4-2】(2023秋•新泰市期中）提出问题：你能把多项式x2+5x+6因式分解吗？
探究问题：如图1所示，设a，b为常数，由面积相等可得：（x+a）（x+b）＝x2+ax+bx+ab＝x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，就可以对形如x2+（a+b）x+ab的多项式进行因式分解即x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）．观察多项式x2+（a+b）x+ab的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和．
解决问题：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+3）（x+2）．
运用结论：
（1）基础运用：把多项式x2+4x﹣21进行因式分解．
（2）知识迁移：对于多项式4x2﹣4x﹣15进行因式分解还可以这样思考：
将二次项4x2分解成如图2所示中的两个2x的积，再将常数项﹣15分解成﹣5与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为﹣4x，就是4x2﹣4x﹣15的一次项，所以有4x2﹣4x﹣15＝（2x﹣5）（2x+3）．这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”．
请用十字相乘法进行因式分解：①3x2﹣19x﹣14；②6a2﹣13ab+6b2．
分析：根据十字相乘法的分解方法和特点，分解即可．
【解答】解：①原式＝（3x+2）（x﹣7）；
②原式＝（2a﹣3b）（3a﹣2b）．
【变式4-3】(2023春•奉化区校级期末）【阅读与思考】
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式ax2+bx+c进行因式分解呢？我们已经知道，（a1x+c1）（a2x+c2）＝a1a2x2+a1c2x+a2c1x+c1c2＝a1a2x2+（a1c2+a2c1）x+c1c2．反过来，就得到：a1a2x2+（a1c2+a2c1）x+c1c2＝（a1x+c1）（a2x+c2）．
我们发现，二次项的系数a分解成a1a2，常数项c分解成c1c2，并且把a1，a2，c1，c2，如图①所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到a1c2+a2c1，如果a1c2+a2c1的值正好等于ax2+bx+c的一次项系数b，那么ax2+bx+c就可以分解为（a1x+c1）（a2x+c2），其中a1，c1位于图的上一行，a2，c2位于下一行．
像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．
例如，将式子x2﹣x﹣6分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1＝1×1，把常数项﹣6也分解为两个因数的积，即﹣6＝2×（﹣3）；然后把1，1，2，﹣3按图②所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到1×（﹣3）+1×2＝﹣1，恰好等于一次项的系数﹣1，于是x2﹣x﹣6就可以分解为（x+2）（x﹣3）．
请同学们认真观察和思考，尝试在图③的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”
分解因式：x2+x﹣6＝ （x+3）（x﹣2） ．
【理解与应用】
请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：
（1）2x2+5x﹣7 （x﹣1）（2x+7） ；（2）6x2﹣7xy+2y2＝ （2x﹣y）（3x﹣2y） ．
【探究与拓展】
对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的关于x，y的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图④，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np＝b，pk+qj＝e，mk+nj＝d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式＝（mx+py+j）（nx+qy+k），请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：
（1）分解因式3x2+5xy﹣2y2+x+9y﹣4＝ （x+2y﹣1）（3x﹣y+4） ．
（2）若关于x，y的二元二次式x2+7xy﹣18y2﹣5x+my﹣24可以分解成两个一次因式的积，求m的值．
（3）已知x，y为整数，且满足x2+3xy+2y2+2x+3y＝﹣1，请写出一组符合题意的x，y的值．
分析：【阅读与思考】根据阅读材料中的方法分解即可；
【理解与应用】利用得出的十字相乘法分解即可；
【探究与拓展】（1）仿照十字相乘方法分解即可；
（2）根据题意确定出m的值即可；
（3）写出一组符合题意x与y的值即可．
【解答】解：【阅读与思考】
分解因式：x2+x﹣6＝（x+3）（x﹣2）；
故答案为：（x+3）（x﹣2）；
【理解与应用】
（1）2x2+5x﹣7＝（x﹣1）（2x+7）；
（2）6x2﹣7xy+2y2＝（2x﹣y）（3x﹣2y）；
故答案为：（1）（x﹣1）（2x+7）；（2）（2x﹣y）（3x﹣2y）；
【探究与拓展】
（1）分解因式3x2+5xy﹣2y2+x+9y﹣4＝（x+2y﹣1）（3x﹣y+4）；
故答案为：（x+2y﹣1）（3x﹣y+4）
（2）∵关于x，y的二元二次式x2+7xy﹣18y2﹣5x+my﹣24可以分解成两个一次因式的积，
∴存在其中1×1＝1，9×（﹣2）＝﹣18，（﹣8）×3＝﹣24；
而7＝1×（﹣2）+1×9，﹣5＝1×（﹣8）+1×3，
∴m＝27+16＝43或m＝﹣72﹣6＝﹣78，
故m的值为43或﹣78；
（3）x，y为整数，且满足x2+3xy+2y2+2x+3y＝﹣1，可以是x＝﹣1，y＝0（答案不唯一）．
【考点5 用整体思想进行因式分解】
【例45】(2023秋•濮阳期末）先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成整体，设x+y＝m，则原式＝m2+2m+1＝（m+1）2．
再将x+y＝m代入，得原式＝（x+y+1）2．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法．请你完成下列各题：
（1）因式分解：1﹣2（x﹣y）+（x﹣y）2；
（2）因式分解：25（a+2）2﹣10（a+2）+1；
（3）因式分解：（y2﹣6y）（y2﹣6y+18）+81．
分析：（1）把x﹣y看作一个整体，利用完全平方公式分解即可；
（2）把a+2看作一个整体，利用完全平方公式分解即可；
（3）把y2﹣6y看作一个整体，利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：（1）设x﹣y＝m，
原式＝1﹣2m+m2
＝（1﹣m）2
＝[1﹣（x﹣y）]2
＝（1﹣x+y）2；
（2）设a+2＝m，
原式＝25m2﹣10m+1
＝（5m﹣1）2
＝[5（a+2）﹣1]2
＝（5a+9）2；
（3）设y2﹣6y＝m，
原式＝m（m+18）+81
＝m2+18m+81
＝（m+9）2
＝（y2﹣6y+9）2
＝（y﹣3）4．
【变式5-1】(2023秋•开封期末）阅读下列材料：
材料1：将一个形如x2+px+q的二次三项式分解因式时，如果能满足q＝mn，且p＝m+n，则可以把x2+px+q分解因式成（x+m）（x+n）．例如：①x2+5x+6＝（x+2）（x+3）；②x2﹣5x﹣6＝（x﹣6）（x+1）．
材料2：因式分解：4（x+y）2+4（x+y）+1．
解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝m，则原式＝4m2+4m+1＝（2m+1）2．
再将“m”还原，得原式＝（2x+2y+1）2．
上述解题用到了整体思想，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题．
（1）根据材料1，分解因式：x2﹣7x+12．
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：
①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3；
②分解因式：x（x+2）（x2+2x﹣2）﹣3．
分析：（1）将x2﹣7x+12写成x2+（﹣3﹣4）x+（﹣3）×（﹣4），根据材料1的方法可得（x﹣3）（x﹣4）即可；
（2）①令x﹣y＝A，原式可变为A2+4A+3，再利用十字相乘法分解因式即可；
②令B＝x（x+2）＝x2+2x，原式可变为B（B﹣2）﹣3，即B2﹣2B﹣3，利用十字相乘法可分解为（B﹣3）（B+1），再代换后利用十字相乘法和完全平方公式即可．
【解答】解：（1）x2﹣7x+12＝x2+（﹣3﹣4）x+（﹣3）×（﹣4）＝（x﹣3）（x﹣4）；
（2）①令A＝x﹣y，
则原式＝A2+4A+3＝（A+1）（A+3），
所以（x﹣y）2+4（x﹣y）+3＝（x﹣y+1）（x﹣y+3）；
②令B＝x（x+2）＝x2+2x，
则原式＝B（B﹣2）﹣3
＝B2﹣2B﹣3，
＝（B+1）（B﹣3），
所以原式＝（x2+2x+1）（x2+2x﹣3）
＝（x+1）2（x﹣1）（x+3）．
【变式5-2】(2023春•南山区校级期中）先阅读材料：
分解因式：（a+b）2+2（a+b）+1．
解：令a+b＝M，
则（a+b）2+2（a+b）+1＝M2+2M+1＝（M+1）2，
所以（a+b）2+2（a+b）+1＝（a+b+1）2．
材料中的解题过程用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你运用这种思想方法解答下列问题：
（1）分解因式：（x+y）2﹣2（x+y）+1＝ （x+y﹣1）2 ．
（2）分解因式：（m+n）（m+n﹣4）+4；
（3）证明：若n为正整数，则式子（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某个整数的平方．
分析：（1）将（x+y）看作一个整体进行因式分解；
（2）将（m+n）看作一个整体进行因式分解；
（3）先计算（n+1）（n+2）得n2+3n+2，再将n2+3n看作整体因式分解得原式＝（n2+3n+1）2，继而由n2+3n+1为正整数可得答案．
【解答】解：（1）令x+y＝M，
则（x+y）2﹣2（x+y）+1＝M2﹣2M+1＝（M﹣1）2，
所以（x+y）2﹣2（x+y）+1＝（x+y﹣1）2．
故答案为：（x+y﹣1）2；
（2）令A＝m+n，
则（m+n）（m+n﹣4）+4＝A（A﹣4）+4＝A2﹣4A+4＝（A﹣2）2，
所以（m+n）（m+n﹣4）+4＝（m+n﹣2）2；
（3）（n+1）（n+2）（n2+3n）+1
＝（n2+3n）[（n+1）（n+2）]+1
＝（n2+3n）（n2+3n+2）+1
＝（n2+3n）2+2（n2+3n）+1．
令n2+3n＝A，
则原式＝A2+2A+1
＝（A+1）2
＝（n2+3n+1）2．
∵n是正整数，
∴n2+3n+1也为正整数．
∴式子（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方．
【变式5-3】(2023春•驿城区校级月考）阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看成一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．
下面是小涵同学用换元法对多项式（x2+2x+3）（x2+2x﹣1）+4进行因式分解的过程．
解：设x2+2x＝y．
原式＝（y+3）（y﹣1）+4（第一步）
＝y2+2y+1（第二步）
＝（y+1）2（第三步）
＝（x2+2x+1）2（第四步）．
请根据上述材料回答下列问题：
（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 D ；
A．提取公因式法
B．平方差公式法
C．差的完全平方公式
D．和的完全平方公式
（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果： （x+1）4 ；
（3）请你用换元法对多项式（9x2﹣6x+3）（9x2﹣6x﹣1）+4进行因式分解．
分析：（1）直接由第三步的式子得到结果；
（2）由x2+2x+1＝（x+1）2得到最后结果；
（3）设9x2﹣6x＝y，然后代入原式因式分解．
【解答】解：（1）由（y+1）2可知第二步到第三步运用了和的完全平方公式，
故选：D．
由y2+2y+1＝（y+1）2可知，小涵运用了因式分解的完全平方公式法，故选C．
（2）∵x2+2x+1＝（x+1）2，
∴（x2+2x+1）2＝（x+1）4，
故答案为：（x+1）4．
（3）设9x2﹣6x＝y，
原式＝（y+3）（y﹣1）+4
＝y2+2y+1
＝（y+1）2
＝（9x2﹣6x+1）2
＝（3x﹣1）4．
【考点6 用拆项法进行因式分解】
【例6】(2023秋•隆昌市校级月考）阅读理解：因式分解有多种方法，除了提公因式法，公式法，十字相乘法等，还有分组分解法，拆项法，配方法等．一般情况下，我们需要综合运用多种方法才能解决问题．
例如：分解因式x3﹣4x2+x+6．步骤：
解：原式＝x3﹣3x2﹣x2+x+6 第1步：拆项法，将﹣4x2拆成﹣3x2和﹣x2；
＝（x3﹣3x2）﹣（x2﹣x﹣6）第2步：分组分解法，通过添括号进行分组；
＝x2（x﹣3）﹣（x+2）（x﹣3）第3步：提公因式法和十字相乘法（局部）；
＝（x﹣3）（x2﹣x﹣2）第4步：提公因式法（整体）；
＝（x﹣3）（x﹣2）（x+1）第5步：十字相乘法：最后结果分解彻底．
（1）请你试一试分解因式x3﹣7x+6．
（2）请你试一试在实数范围内分解因式x4﹣5x2+6．
分析：（1）将﹣7x拆分为﹣x﹣6x，分组后分别提公因式，可得出答案；
（2）直接利用十字相乘法分解因式，再利用平方差公式得出答案．
【解答】解：（1）x3﹣7x+6
＝x3﹣x﹣6x+6
＝x（x2﹣1）﹣6（x﹣1）
＝x（x﹣1）（x+1）﹣6（x﹣1）
＝（x﹣1）（x2+x﹣6）
＝（x﹣1）（x+3）（x﹣2）；
（2）x4﹣5x2+6
＝（x2﹣2）（x2﹣3）
＝（x+2）（x−2）（x+3）（x−3）．
【变式6-1】(2023春•南京月考）在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．先阅读，再分解因式：
x4+4＝（x4+4x2+4）﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2﹣2x+2）（x2+2x+2）．
（1）按照这种方法把多项式x4+4y4分解因式；
（2）分解因式：a4+a2b2+b4．
分析：（1）将原式变形为x4+4y4＝x4+4x2y2+4y4﹣4x2y2，进一步分解可得；
（2）将原式变形为a4+2a2b2+b4﹣a2b2＝（a2+b2）2﹣（ab）2再进一步分解可得．
【解答】解：（1）x4+4y4
＝x4+4x2y2+4y4﹣4x2y2
＝（x2+2y2）2﹣4x2y2
＝（x2+2y2+2xy）（x2+2y2﹣2xy）；
（2）a4+a2b2+b4
＝a4+2a2b2+b4﹣a2b2
＝（a2+b2）2﹣（ab）2
＝（a2+b2+ab）（a2+b2﹣ab）．
【变式6-2】(2023秋•沂南县期末）先阅读下列材料：
我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．
如：ax+by+bx+ay，x2+2xy+y2﹣1分组分解法：
解：原式＝（ax+bx）+（ay+by）＝x（a+b）+y（a+b）＝（a+b）（x+y）
解：原式＝（x+y）2﹣1＝（x+y+1）（x+y﹣1）
（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．
如：x2+2x﹣3
解：原式＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
（1）分解因式：a2﹣b2+a﹣b；
（2）分解因式：x2﹣6x﹣7．
分析：（1）将前两项利用平方差公式分解因式，进而利用提取公因式法分解因式得出答案；
（2）直接利用十字相乘法分解因式得出答案．
【解答】解：（1）原式＝（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）
＝（a﹣b）（a+b+1）；
（2）原式＝（x2﹣6x+9﹣16）
＝（x﹣3）2﹣16
＝（x﹣3﹣4）（x﹣3+4）
＝（x﹣7）（x+1）．
【变式6-3】(2023秋•微山县月考）【阅读材料】
对于二次三项式a2+2ab+b2可以直接分解为（a+b）2的形式，但对于二次三项式a2+2ab﹣8b2，就不能直接用公式了，我们可以在二次三项式a2+2ab﹣8b2中先加上一项b2，使其成为完全平方式，再减去b2这项，（这里也可把﹣8b2拆成+b2与﹣9b2的和），使整个式子的值不变．于是有：a2+2ab﹣8b2＝a2+2ab﹣8b2+b2﹣b2＝（a2+2ab+b2）﹣8b2﹣b2＝（a+b）2﹣9b2＝[（a+b）+3b][（a+b）﹣3b]＝（a+4b）（a﹣2b）．我们把像这样将二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．
【应用材料】
（1）上式中添（拆）项后先把完全平方式组合在一起，然后用 添（拆）项 法实现分解因式．
（2）请你根据材料中提供的因式分解的方法，将下面的多项式分解因式：①m2+6m+8；②a4+10a2b2+9b4．
分析：（1）根据给出材料方法，直接得答案；
（2）①把8变为9﹣1，利用添（拆）项法分解；
②把9b4变为25b4﹣16b4，利用添（拆）项法分解．
【解答】解：（1）二次三项式a2+2ab﹣8b2的因式分解，利用了添（拆）项法．
故答案为：添（拆）项．
（2）①m2+6m+8
＝m2+6m+9﹣1
＝（m+3）2﹣1
＝（m+3+1）（m+3﹣1）
＝（m+4）（m+2）；
②a4+10a2b2+9b4
＝a4+10a2b2+25b4﹣16b4
＝（a2+5b2）2﹣（4b2）2
＝（a2+5b2+4b2）（a2+5b2﹣4b2）
＝（a2+9b2）（a2+b2）．
【考点7 由因式分解求值】
【例7】(2023秋•铁西区期中）若c2﹣a2﹣2ab﹣b2＝10，a+b+c＝﹣5，则a+b﹣c的值是（ ）
A．2B．5C．20D．9
分析：根据分组分解法分解因式得c2﹣（a+b）2＝10，从而（c+a+b）（c﹣a﹣b）＝10，根据a+b+c＝﹣5即可得出答案．
【解答】解：∵c2﹣a2﹣2ab﹣b2＝10，
∴c2﹣（a2+2ab+b2）＝10，
∴c2﹣（a+b）2＝10，
∴（c+a+b）（c﹣a﹣b）＝10，
∵a+b+c＝﹣5，
∴c﹣a﹣b＝﹣2，
∴a+b﹣c＝2，
故选：A．
【变式7-1】(2023秋•思明区校级期中）已知m2＝2﹣n，n2＝m+2（m+n≠0），则m3+2mn﹣n3＝（ ）
A．0B．1C．2D．﹣2
分析：由m2＝2﹣n，n2＝m+2及平方差公式可得m﹣n＝﹣1，由m3＝m•m2＝m（2﹣n）＝2m﹣mn，n3＝n•n2＝n（m+2）＝mn+2n可得原式＝2（m﹣n）＝﹣2．
【解答】解：∵m2＝2﹣n，n2＝m+2，
∴m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）＝2﹣n﹣m﹣2＝﹣（m+n），
∴m﹣n＝﹣1，
∵m3＝m•m2＝m（2﹣n）＝2m﹣mn，n3＝n•n2＝n（m+2）＝mn+2n，
∴m3+2mn﹣n3＝2m﹣mn+2mn﹣mn﹣2n＝2（m﹣n）＝﹣2，
故选：D．
【变式7-2】(2023秋•东兴区校级期中）若a＝x+19，b＝x+20，c＝x+21，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝ ．
分析：由已知a，b，c求出a﹣b，a﹣c以及b﹣c的值，原式乘以2变形，利用完全平方公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．
【解答】解：∵a＝x+19，b＝x+20，c＝x+21，
∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，
原式=12（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）
=12[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]
＝3，
故答案为：3．
【变式7-3】(2023秋•源汇区校级期中）若实数x满足x2﹣2x﹣1＝0，则2x3﹣2x2﹣6x+2020＝ 2022 ．
分析：先将x2＝2x+1，x2﹣2x＝1，再代入计算可求解．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣1＝0，
∴x2＝2x+1，x2﹣2x＝1，
∴原式＝2x•x2﹣2x2﹣6x+2020
＝2x（2x+1）﹣2x2﹣6x+2020
＝4x2+2x﹣2x2﹣6x+2020
＝2x2﹣4x+2020
＝2（x2﹣2x）+2020
＝2×1+2020
＝2022．
【考点8 因式分解的应用】
【例8】(2023秋•松滋市期末）如图，将一块长方形纸板沿图中的虚线裁剪成9块，其中2块是边长为a的小正方形，5块是长为b，宽为a的小长方形，2块是边长为b的大正方形．
（1）观察图形，可以发现代数式2a2+5ab+2b2可以分解因式为 （a+2b）（2a+b） ；
（2）若这块长方形纸板的面积为177，每块长为b，宽为a的小长方形的面积是15．
①则图中1块边长为a的小正方形和1块边长为b的大正方形的面积之和为 51 ；
②试求图中所有剪裁线（虚线部分）长的和．
分析：（1）按照整体思想和分割思想利用面积法分析求解；
（2）①利用整体思想代入求值；
②利用平移思想分析求解．
【解答】解：（1）如图，
∵矩形ABCD由2块边长为a的小正方形，5块长为b，宽为a的小长方形，2块边长为b的大正方形组成，
∴S矩形ABCD＝2a2+5ab+2b2，
又∵矩形ABCD的长为（a+2b），宽为（2a+b），
∴S矩形ABCD＝（a+2b）（2a+b），
∴2a2+5ab+2b2＝（a+2b）（2a+b），
故答案为：（a+2b）（2a+b）；
（2）①∵这块长方形纸板的面积为177，每块长为b，宽为a的小长方形的面积是15，
∴2a2+5ab+2b2＝177，ab＝15，
∴2（a2+b2）+5ab＝177，
2（a2+b2）+5×15＝177，
2（a2+b2）＝177﹣75，
2（a2+b2）＝102，
a2+b2＝51，
即1块边长为a的小正方形和1块边长为b的大正方形的面积之和为51，
故答案为：51；
②通过平移的性质可知，图中所有剪裁线（虚线部分）长的和即为矩形ABCD的周长，
2[（2a+b）+（a+2b）]
＝2（2a+b+a+2b）
＝2（3a+3b）
＝6a+6b，
∴图中所有剪裁线（虚线部分）长的和6a+6b．
【变式8-1】(2023秋•朝阳区校级期末）如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a厘米的大正方形，2块是边长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的相同的小长方形，且a＞b．
（1）观察图形，可以发现代数式2a2+5ab+2b2可以因式分解为 （a+2b）（2a+b） ．
（2）若图中阴影部分的面积为20平方厘米，大长方形纸板的周长为24厘米，求图中空白部分的面积．
分析：（1）根据长方形面积的两种表达方式求解．
（2）由阴影部分面积及大长方形周长可得两方程，联立方程求解．
【解答】解：（1）观察图形可得图形面积为2a2+5ab+2b2，
利用长方形面积公式可得面积为（a+2b）（2a+b），
∴2a2+5ab+2b2＝（a+2b）（2a+b），
故答案为：（a+2b）（2a+b）．
（2）∵图中阴影部分的面积为20平方厘米，
∴2a2+2b2＝20，
∵大长方形纸板的周长为24厘米，
∴6a+6b＝24，
联立方程2a2+2b2=206a+6b=24，
解得ab＝3．
∴空白部分面积为5ab＝15平方厘米．
【变式8-2】(2023春•镇江期中）【活动材料】若干个如图1所示的长方形和正方形硬纸片
【活动要求】用若干块这样的长方形和正方形硬纸片拼成一个新的长方形，通过不同的方法计算面积，探求相应的等式．
例如，由图2，我们可以得到a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b），或（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
【问题解决】
（1）选取正方形、长方形硬纸片共8块，拼出如图3的长方形，直接写出相应的 3b²+4ab+a²＝（a+b）（3b+a） ；
（2）尝试借助拼图的方法，把二次三项式2a2+3ab+b2分解因式，并把所拼的图形画在图4的虚线方框内；
（3）将2b2﹣3ab+a2分解因式： 2b²﹣3ab+a²＝（b﹣a）（2b﹣a） （直接写出结果，不需要画图）．
分析：运用不同方法求解矩形面积：分割法求解、公式法求解，所得的结果是一样的，由此可得出答案．
【解答】解：（1）如图3，用分割法求解图3的矩形，可发现是由3个边长为b的正方形和1个边长为a的正方形以及4个长宽分别为b、a的长方形组成，所以矩形面积可为（3b2+4ab+a2），矩形面积求解还可以用长乘宽计算，长为（3b+a），宽为（a+b），所以矩形面积可为（3b+a）（a+b），面积相等，即：3b2+4ab+a2＝（a+b）（3b+a）．
（2）如图所示，2a2+3ab+b2可看作由2个边长为a的正方形，1个边长为b的正方莆，3个长宙斯分别为b、a的长方形组成的矩形的面积，所以可画图．由（1）的方法可得2a2+3ab+b2＝（2a+b）（a+b）．
（3）由几何思想可利用已有图形拼凑，拼凑成2个边长为b的正方形减去3个长宽分别为b、a的矩形，再加上一个边长为a的正方形即可，再用公式法算出剩下图形的面积，即可得到式子：2b2﹣3ab+a2＝（b﹣a）（2b﹣a）．
【变式8-3】(2023春•沭阳县期中）如图，正方形纸片A类，B类和长方形纸片C类若干张，
（1）①请你选取适当数量的三种纸片，拼成一个长为（a+2b）、宽为（a+b）的长方形，画出拼好后的图形；
②观察拼图共用 1 张A类纸片， 2 张B类纸片， 3 张C类纸片．通过面积计算可以发现（a+2b）（a+b）＝ a2+3ab+2b2 ．
（2）①请你用这三类卡片拼出面积为3a2+4ab+b2的长方形，画出拼好后的图形．
②观察拼图共用 3 张A类纸片， 1 张B类纸片， 4 张C类纸片．通过面积计算可以发现3a2+4ab+b2＝ （3a+b）（a+b） ．
③利用拼图，把下列多项式因式分解
a2+3ab+2b2＝ （a+2b）（a+b） ；3a2+5ab+2b2＝ （3a+b）（a+2b） ．
分析：（1）①根据长方形长为（a+2b）、宽为（a+b）即可画出图形；②通过观察拼好的图形即可得知A、B、C种图形的张数，用两种方法表示图形的面积即可得出等式；
（2）①根据长方形的面积即可得出图形的长和宽从而画出图形；②根据观察即可得知A、B、C类纸片的数量，通过两种方法表示图形的面积即可得出等式；③利用拼图即可对多项式进行因式分解．
【解答】解：（1）①如图所示：
②观察拼图共用1张A纸片，2张B纸片3张C纸片．
图形的面积＝（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
故答案为：1，2，3；a2+3ab+2b2．
（2）①如图所示：
②观察拼图共用3张A类纸片，1张B类纸片，4张C类纸片．
根据图形面积可知3a2+4ab+b2＝（3a+b）（a+b）．
③因式分解：a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b），
3a2+5ab+2b2＝（3a+2b）（a+b）．
故答案为：3，1，4；（3a+b）（a+b）；（a+2b）（a+b），（3a+2b）（a+b）．
相关试卷
专题4.1 因式分解章末重难点突破（举一反三）（学生版） 2022年七年级数学下册举一反三系列（浙教版）： 这是一份专题4.1 因式分解章末重难点突破（举一反三）（学生版） 2022年七年级数学下册举一反三系列（浙教版），共11页。
初中数学北师大版八年级下册1 因式分解达标测试： 这是一份初中数学北师大版八年级下册<a href="/sx/tb_c15841_t7/?tag_id=28" target="_blank">1 因式分解达标测试</a>，共39页。
初中数学北师大版八年级下册第三章 图形的平移与旋转1 图形的平移巩固练习： 这是一份初中数学北师大版八年级下册<a href="/sx/tb_c94882_t7/?tag_id=28" target="_blank">第三章 图形的平移与旋转1 图形的平移巩固练习</a>，共39页。
