沪科版八年级数学下学期核心考点精讲精练 专题01 二次根式的有关概念和性质 （知识点考点串编）-【专题重点突破】(原卷版+解析)

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◉知识点一：二次根式的定义
知识点技巧：
二次根式概念：一般地，我们把形如（?≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
【注意】
1.二次根式，被开方数a可以是一个具体的数，也可以是代数式。
2.二次根式是一个非负数。
3.二次根式与算术平方根有着内在联系，（?≥0）就表示a的算术平方根。

◎考点1：二次根式的值
例．（2022·浙江·九年级专题练习）当时，二次根式的值等于（ ）
A．4B．2C．D．0
练习1．(2023·全国·八年级专题练习）当为实数时，下列各式中是二次根式的是（ ）个
，，，，，
A．个B．个C．个D．个
练习2．(2023·河北·中考真题）与结果相同的是（ ）．
A． B． C． D．
练习3．(2023·河南林州·八年级期末）已知当时，代数式的值是（ ）
A．B．C．D．
◎考点2：求二次根式中的参数
例．(2023·天津一中八年级期中）已知是整数，则正整数n的最小值是（ ）
A．2B．4C．6D．8
练习1．（2020·甘肃·酒泉市第二中学八年级期中）若、为实数，且，则的值 ( )
A．-2B．1C．2D．-1
练习2．（2020·江苏·丰县欢口镇欢口初级中学八年级阶段练习）如果，则的平方根是（ ）
A．-7B．1C．7D．±1
练习3．(2023·全国·八年级）已知是整数，则满足条件的最小的正整数n的值是( )
A．0B．1C．2D．5
◉知识点二：二次根式有意义的条件
知识点技巧：
二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
例．（2022·全国·九年级专题练习）在函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜2B．x≥2C．x＞2D．x≠2
练习1．（2022·全国·九年级专题练习）函数中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥2B．x＞﹣2C．x≤2D．x＜2
练习2．（2022·全国·九年级专题练习）函数y＝中自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣3且x≠0B．x≠0C．x＞﹣3D．x≠﹣3或x≠0
练习3．（2022·湖南南县·八年级期末）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A．且B．C．且D．
◉知识点三：二次根式的性质和化简
知识点技巧：
二次根式的性质：


1．含有两种相同的运算，两者都需要进行平方和开方。
2．结果的取值范围相同，两者的结果都是非负数。
3．当a≧0时，
◎考点3：二次根式的性质化简
例．（2022·湖南·长沙市湘一立信实验学校八年级期末）实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简的结果是（ ）
A．2aB．2bC．﹣2bD．﹣2a
练习1．（2022·江苏·沭阳县怀文中学八年级期末）若成立，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．任意实数
练习2．(2023·江苏·苏州工业园区星湾学校八年级期中）下列各式中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
练习3．（2022·福建省福州第十六中学八年级期末）化简的结果是（ ）
A．B．C．D．1
◎考点4：复合二次根式的化简
考点技巧：二次根式的性质：
（1）
（2）
例．(2023·湖北鄂州·八年级期末）把(2-x) 的根号外的（2-x）适当变形后移入根号内，得（ ）
A． B． C． D．
练习1．(2023·全国·八年级单元测试）化简﹣（）2得（ ）
A．2B．﹣4x+4C．xD．5x﹣2
练习2．（2020·安徽铜陵·八年级期末）下列计算正确的是（ ）
A．30B．4
C．9D．5+4=9
练习3．(2023·河南原阳·九年级期中）化简二次根式的正确结果是（ ）
A．B．C．D．
专题01二次根式的概念和性质（知识点考点串编）
【思维导图】
◉知识点一：二次根式的定义
知识点技巧：
二次根式概念：一般地，我们把形如（?≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
【注意】
1.二次根式，被开方数a可以是一个具体的数，也可以是代数式。
2.二次根式是一个非负数。
3.二次根式与算术平方根有着内在联系，（?≥0）就表示a的算术平方根。

◎考点1：二次根式的值
例．（2022·浙江·九年级专题练习）当时，二次根式的值等于（ ）
A．4B．2C．D．0
【答案】B
【解析】
【分析】
把代入解题即可
【详解】
解：把代入得，
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次根式的定义和二次根式的性质，能灵活运用二次根式的性质进行计算是解题的关键．
练习1．(2023·全国·八年级专题练习）当为实数时，下列各式中是二次根式的是（ ）个
，，，，，
A．个B．个C．个D．个
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用二次根式的定义，形如的代数进行分析得出答案．
【详解】
解：是二次根式的有：、、、共4个．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的定义，形如的代数式，正确把握定义是解题关键．
练习2．(2023·河北·中考真题）与结果相同的是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据有理数运算和二次根式的性质计算，即可得到答案．
【详解】
∵，且选项B、C、D的运算结果分别为：4、6、0
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次根式、有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、含乘方的有理数混合运算的性质，即可得到答案．
练习3．(2023·河南林州·八年级期末）已知当时，代数式的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意直接根据二次根式的性质以及去绝对值的方法，进行分析运算即可.
【详解】
解：∵，
∴.
故选：C.
【点睛】
本题考查二次根式和去绝对值，熟练掌握二次根式的性质以及去绝对值的方法是解题的关键.
◎考点2：求二次根式中的参数
例．(2023·天津一中八年级期中）已知是整数，则正整数n的最小值是（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】C
【解析】
【分析】
因为是整数，且，则6n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为6．
【详解】
解：，且是整数，
∴是整数，即6n是完全平方数；
∴n的最小正整数值为6．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了二次根式的定义，关键是根据乘除法则和二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件时被开方数是非负数进行解答
练习1．（2020·甘肃·酒泉市第二中学八年级期中）若、为实数，且，则的值 ( )
A．-2B．1C．2D．-1
【答案】D
【解析】
【分析】
根据非负数的性质可求出x、y的值，然后把x、y的值代入所求式子计算即可．
【详解】
解：∵，
∴x+2=0，y－2=0，
∴x=﹣2，y=2，
∴．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了非负数的性质，明确实数绝对值和二次根式的非负性以及﹣1的奇次幂的性质是解题关键．
练习2．（2020·江苏·丰县欢口镇欢口初级中学八年级阶段练习）如果，则的平方根是（ ）
A．-7B．1C．7D．±1
【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次根式的性质求出x、y的值，再代入求解即可．
【详解】
解：由题意可得：，
解得：，
故，则，
故的平方根是：±1．
故选：D．
【点睛】
本题考查了关于二次根式的运算问题，掌握二次根式的性质、平方根的性质是解题的关键．
练习3．(2023·全国·八年级）已知是整数，则满足条件的最小的正整数n的值是( )
A．0B．1C．2D．5
【答案】D
【解析】
【分析】
首先化简二次根式进而得出n的最小值．
【详解】
∵2是整数，∴最小正整数n的值是5．
故选D．
【点睛】
本题考查了二次根式的定义，正确化简二次根式得出是解题的关键．
◉知识点二：二次根式有意义的条件
知识点技巧：
二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
例．（2022·全国·九年级专题练习）在函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜2B．x≥2C．x＞2D．x≠2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据分式有意义的条件以及二次根式有意义的条件列出不等式组，解不等式组求解即可．
【详解】
解：根据题意得：，
解得：x＞2．
故选：C．
【点睛】
本题考查了函数解析式，分式有意义的条件以及二次根式有意义的条件，注意同时满足条件是解题的关键．
练习1．（2022·全国·九年级专题练习）函数中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥2B．x＞﹣2C．x≤2D．x＜2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，建立不等式求解即可．
【详解】
解：由题意得：﹣2x+4≥0，
解得：x≤2，
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件，解不等式，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
练习2．（2022·全国·九年级专题练习）函数y＝中自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣3且x≠0B．x≠0C．x＞﹣3D．x≠﹣3或x≠0
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次根式及分式有意义的条件求解即可得．
【详解】
解：根据二次根式有意义的条件可得：，
解得：，
∵在分母上，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】
题目主要考查二次根式及分式有意义的条件，理解题意，熟练掌握运用两个有意义的条件是解题关键．
练习3．（2022·湖南南县·八年级期末）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A．且B．C．且D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据分式有意义的条件：分母不等于零、二次根式有意义的条件：被开方数是非负数解答即可．
【详解】
依题意，有
解得：且 ．
故选A．
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．掌握使分式有意义的条件即分母不等于零和二次根式有意义的条件即被开方数是非负数，是解答本题的关键．
◉知识点三：二次根式的性质和化简
知识点技巧：
二次根式的性质：


1．含有两种相同的运算，两者都需要进行平方和开方。
2．结果的取值范围相同，两者的结果都是非负数。
3．当a≧0时，
◎考点3：二次根式的性质化简
例．（2022·湖南·长沙市湘一立信实验学校八年级期末）实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简的结果是（ ）
A．2aB．2bC．﹣2bD．﹣2a
【答案】B
【解析】
【分析】
根据数轴判断b−a、b、a与0的大小关系，然后根据二次根式以及绝对值的性质即可求出答案．
【详解】
解：由数轴可知：a＜−b＜0＜b＜−a，
∴b−a＞0，
∴原式＝b＋b−a＋a
＝2b，
故选：B．
【点睛】
本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的性质以及绝对值的性质，本题属于基础题型．
练习1．（2022·江苏·沭阳县怀文中学八年级期末）若成立，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．任意实数
【答案】A
【解析】
【分析】
根据实数的性质及去绝对值的方法即可求解．
【详解】
∵
∴x-2≤0
∴
故选A．
【点睛】
此题主要考查实数的性质，解题的关键是熟知平方根的性质及去绝对值的方法．
练习2．(2023·江苏·苏州工业园区星湾学校八年级期中）下列各式中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
直接根据二次根式的性质逐项判断即可．
【详解】
A.，该选项错误；
B.，该选项正确；
C.，该选项错误；
D.，根号里面的数不能为负数，该选项错误．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．
练习3．（2022·福建省福州第十六中学八年级期末）化简的结果是（ ）
A．B．C．D．1
【答案】D
【解析】
【分析】
根据确定的取值范围，将里面的数化成完全平方形式，利用二次根式的性质去根号，然后合并同类项即可．
【详解】
解：由可知：
故原式化简为：．
故选：D．
【点睛】
本题主要是考查了去二次根号以及二次根式的基本性质，熟练掌握二次根式的性质，求解该题的关键．
◎考点4：复合二次根式的化简
考点技巧：二次根式的性质：
（1）
（2）
例．(2023·湖北鄂州·八年级期末）把(2-x) 的根号外的（2-x）适当变形后移入根号内，得（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意易得x>2，然后根据二次根式的性质可进行求解．
【详解】
解：由题意得：
，解得：x>2，
∴；
故选D．
【点睛】
本题主要考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
练习1．(2023·全国·八年级单元测试）化简﹣（）2得（ ）
A．2B．﹣4x+4C．xD．5x﹣2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质求解可得答案.
【详解】
解:1-3x≥0,x≤,2x-1≤＜0,
原式=-(1-3x)=1-2x-1+3x=x,
故选C.
【点睛】
主要考查了根据二次根式的意义及化简.二次根式规律总结:当a＞0时, =a;当a<0时, =-a.二次根式=a,(a≥0).
练习2．（2020·安徽铜陵·八年级期末）下列计算正确的是（ ）
A．30B．4
C．9D．5+4=9
【答案】C
【解析】
【分析】
逐一进行判断即可．
【详解】
A．30，故此选项错误；
B．2，故此选项错误；
C．9，故此选项正确；
D．，故此选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查二次根式的运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
练习3．(2023·河南原阳·九年级期中）化简二次根式的正确结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次根式成立的条件确定x的取值，从而利用二次根式的性质进行化简．
【详解】
解：由题意可得：x＜0
∴
故选：D．
【点睛】
本题考查二次根式的化简，理解二次根式成立的条件及二次根式的性质正确化简计算是解题关键．