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沪科版八年级数学下学期核心考点精讲精练 专题17 矩形（知识点考点串编）-【专题重点突破】(原卷版+解析)
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这是一份沪科版八年级数学下学期核心考点精讲精练 专题17 矩形（知识点考点串编）-【专题重点突破】(原卷版+解析)，共62页。
【思维导图】
©知识点一：矩形的性质
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
矩形的性质：
1）矩形具有平行四边形的所有性质；
2）矩形的四个角都是直角；
几何描述：∵四边形ABCD是矩形 ∴∠BAD=∠ADC=∠BCD=∠ABC=90°
3）对角线相等；
几何描述：∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD
推论：
1、在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半。
2、直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半。
4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形。矩形的对称中心是矩形对角线的交点；矩形有两条对称轴，矩形的对称轴是过矩形对边中点的直线；矩形的对称轴过矩形的对称中心。
◎考点1：矩形性质的理解
例．(2023·河南郑州·九年级期末）矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别相等B．两组对角分别相等C．两条对角线互相平分D．两条对角线相等
练习1．(2023·全国·八年级）如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）
A．2.5B．2C．D．
练习2．(2023·广东茂名·九年级期中）一个矩形的两条对角线的一个夹角为，对角线长为，则这个矩形较短边的长为（ ）
A．B．C．D．
练习3．(2023·重庆巴蜀中学九年级开学考试）关于矩形的性质，以下说法不正确的是（ ）
A．对边平行且相等B．对角线相等C．对角线互相垂直D．是轴对称图形
◎考点2：利用性质求角度
例．(2023·河南·登封市嵩阳中学九年级阶段练习）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE的度数为( )
A．20°B．22.5°C．27.5°D．30°
练习1．(2023·广东佛山·九年级阶段练习）如图，矩形ABCD中，连接AC，延长BC至点E，使BE＝AC，连接DE．若∠E＝70°，则∠BAC的度数是（ ）
A．40°B．45°C．50°D．60°
练习2．(2023·浙江温州·八年级期末）如图，矩形中，对角线与相交于点，于点，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
练习3(2023·山东临沂·八年级期末）如图，矩形ABCD中，连接AC，延长BC至点E，使BE＝AC，连接DE．若∠E＝65°，则∠BAC的度数是（ ）
A．40°B．50°C．60°D．65°
◎考点3：利用性质与判定求线段长
例．(2023·四川·成都绵实外国语学校九年级期中）如图，矩形ABCD的周长是28，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，AC＝10，则△DOE的周长是（ ）
A．12B．13C．14D．15
练习1．(2023·福建三明·九年级期中）如图，矩形ABCD 的对角线AC与BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=3，则OC等于（ ）
A．3B．3.5C．4D．5
练习2．(2023·辽宁·沈阳市培英中学九年级阶段练习）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．若AD＝6，AE⊥BD于点E，且DE＝3BE．则AE＝（ ）
A．2B．3C．3D．4
练习3．(2023·河北保定·八年级期末）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AC＝4，则BC的长是（ ）
A．2B．3C．2D．3
◎考点4：利用性质与判定求面积
例．(2023·山东·日照市岚山区教学研究室八年级期末）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，夹角∠AOB=60°，已知AB=1，则△ABD的面积是（ ）
A．1B．2C．D．
练习1．(2023·安徽安庆·八年级期末）四边形不具有稳定性，如图，矩形ABCD当改变内角大小就变成平行四边形ABC'D'，若∠D'AB=30°，则平行四边形ABC'D'的面积与矩形ABCD的面积之比是（ ）
A．B．C．D．1
练习2．(2023·浙江·杭州外国语学校八年级期末）如图，矩形中，，四边形是平行四边形，点在边上且，的面积是矩形面积的，则平行四边形的面积是（ ）
A．2B．3C．D．
练习3．(2023·全国·八年级）如图，在矩形中，，相交于点，若的面积是，则矩形的面积是（ ）
A．B．C．D．
◎考点5：利用矩形性质证明
例．(2023·陕西西安·九年级期中）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作，，分别交AB、CD、AD、BC于E、F、G、H，连接PB．若，．则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4B．8C．12D．24
练习1．(2023·河北·石家庄市第二十八中学二模）如图，证明矩形的对角线相等．
已知：四边形是矩形．
求证：．以下是排乱的证明过程：
①，，
②四边形是矩形，
③，
④，
⑤
证明步骤正确的顺序是（ ）
A．③①②⑤④B．②①③⑤④C．②⑤③①④D．③⑤②①④
练习2．(2023·甘肃酒泉·七年级期末）如图①，在矩形中，动点从点出发，沿，，运动至点停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图②所示，则的面积是（ ）
图① 图②
A．B．C．D．
练习3．(2023·江苏·镇江市外国语学校九年级阶段练习）如图，四边形是扇形的内接矩形，顶点P在弧上，且不与M，N重合，当P点在弧上移动时，矩形的形状、大小随之变化，则的长度（ ）
A．变大B．变小C．不变D．不能确定
◎考点6：求矩形在平面直角坐标系中的坐标
例．(2023·天津河西·八年级期末）在平面直角坐标系中，已知四边形是矩形，点，，，则这个矩形的面积为（ ）
A． B． C． D．
练习1．(2023·广东广州·八年级期末）如图，四边形OABC为矩形，点A的坐标为(0，2)，点C的坐标为(4，0)，若直线y=kx−k−1将矩形OABC分成面积相等的两部分，则k的值为（ ）
A．B．C．2D．
练习2．(2023·广东广州·八年级期末）长方形ABCD的三个顶点的坐标是A（1,1）、B（3,1）、C（3,5），那么D点坐标是（ ）
A．（1,3）B．（1,5）C．（5,3）D．（5,1）
练习3．(2023·全国·八年级专题练习）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其各顶点的坐标分别为，固定点并将此矩形按顺时针方向旋转，若旋转后点的对应点的坐标为，则旋转后点的对应点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
◎考点7：矩形与折叠问题
例．(2023·河南·驻马店市第二初级中学八年级期末）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF．若AB=4，BC=8，则D′F的长为（ ）
A．5B．4C．3D．2
练习1．(2023·山东青岛·九年级期末）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点M处，点C落在点N处，已知∠DMN=30°，连接BM，则∠AMB的度数为（ ）
A．60°B．75°C．80°D．85°
练习2．(2023·广东揭阳·七年级期末）如图，将一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠后，点C落在点E处，连接BE交AD于F，再将三角形DEF沿DF折叠后，点E落在点G处，若DG刚好平分∠ADB，那么∠ADB的度数是（ ）
A．18°B．20°C．36°D．45°
练习3．(2023·江苏苏州·八年级期中）如图，在矩形纸片中，，，点是边上的一点，将沿所在的直线折叠，使点落在上的点处，则的长是（ ）
A．2B．3C．4D．5
◎考点8：直角三角形斜边上的中线问题
例．(2023·重庆永川·八年级期末）如图，在中，，，AD平分交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则的周长为（ ）
A．12B．13C．14D．18
练习1．(2023·北京昌平·八年级期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，连接EO．若菱形的周长是40，则EO的长为（ ）．
A．10B．5C．2.5D．20
练习2．(2023·河南·郑州中学九年级期末）如图，在中，，，按以下步骤作图：分别以点B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN，与边AC，BC分别交于D，E两点，连接BD，AE，若，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
练习3．(2023·江苏无锡·八年级期末）如图，在中，∠ACB=90°，为的中点，点在上，且CE=AC，∠BAE=15°，则∠CDE的大小为（ ）
A．70°B．75°C．80°D．85°
©知识点二：矩形的判定
矩形的判定：
1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形；
2）对角线相等的平行四边形是矩形；
3）有三个角是直角的四边形是矩形。
矩形的面积公式： 面积=长×宽
◎考点9：判定定理的理解
例．(2023·上海市文来中学八年级期中）下列叙述中能判定四边形是矩形的个数是（ ）．
①对角线互相平分的四边形；②对角线相等的四边形；③对角线相等的平行四边形；④对角线互相平分且相等的四边形．
A．1个B．2个C．3个D．4个
练习1．(2023·北京·和平街第一中学八年级期中）数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组4位同学拟定的方案，其中正确的是( )
A．测量对角线是否互相平分B．测量一组对角是否都为直角
C．测量对角线长是否相等D．测量3个角是否为直角
练习2．(2023·河北保定·八年级期末）如图，将平行四边形的变成直角，则平行四边形变成（ ）
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形
练习3．(2023·湖南永州·八年级期末）在数学活动课上，老师和同学们判断一块地板砖上的四边形图案是否为矩形，下面是某学习小组的四位同学拟定的方案，其中正确的是（ ）
A测量对角线是否互相平分B测量两组对边是否相等C测量对角线是否相等 D测量对角线是否平分且相等
◎考点10：添加条件成为矩形
例．(2023·江苏·八年级专题练习）下列条件中，不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．∠A＝∠CB．∠A＝∠BC．AC＝BDD．AB⊥BC
练习1．(2023·湖南·通道侗族自治县教育科学研究室八年级期中）如图，四边形的对角线互相平分，以下添加的条件不能判定四边形是矩形的是（ ）
A． B． C． D．
练习2．(2023·江苏·常州实验初中八年级期中）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠BAD＝90°，BO＝DO，那么添加下列一个条件后，仍不能判定四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．OA＝OCB．AB＝CDC．∠BCD＝90°D．AD//BC
练习3．(2023·辽宁大连·八年级期中）的对角线AC，BD交于点O，添加下列条件，仍不能使它成为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
◎考点11：证明四边形是矩形
例．(2023·贵州铜仁·模拟预测）甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，一木工师傅要他们拿尺子帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测，你认为最有说服力的是（ ）
A．甲量得窗框的一组邻边相等 B．乙量得窗框两组对边分别相等
C．丙量得窗框的对角线长相等 D．丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线也相等
练习1．(2023·重庆市凤鸣山中学九年级阶段练习）下列命题正确的是（ ）
A．四条边都相等的四边形是正方形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
练习2．(2023·河北保定·九年级期末）如图是文易同学答的试卷，文易同学应得（ ）
A．40分B．60分C．80分D．100分
练习3．(2023·四川成都·九年级期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，两条对角线交于点O，下列条件中，不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．∠ABC＝∠BCDB．∠ABC＝∠ADCC．AO＝BOD．AO＝DO
©知识点三：矩形的判定与性质的综合
◎考点12：根据性质与判定求求角度
例．(2023·全国·八年级专题练习）如图，矩形中，交于点分别为的中点，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
练习1．(2023·全国·八年级专题练习）如图，在矩形中，、相交于点，平分交于点，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
练习2．(2023·河北承德·二模）如图，在中，对角线、相交于点，且，，则的度数为（ ）
A．35°B．40°C．45°D．55°
练习3．(2023·山东济南·七年级期末）如图，四边形ABCD为矩形，依据尺规作图的痕迹，∠α与∠β的度数之间的关系为( )
A．β= 180-αB．β=180°-C．β=90°-αD．β=90°-
◎考点13：根据性质与判定求线段长
例．(2023·浙江温州·八年级期中）如图，OA⊥OB，OB＝4，P是射线OA上一动点，连接BP，以B为直角顶点向上作等腰直角三角形，在OA上取一点D，使∠CDO＝45°，当P在射线OA上自O向A运动时，PD的长度的变化（ ）
A．一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．保持不变
练习1．(2023·宁夏银川二十四中八年级期末）如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点， F是AB上的一点， EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm．矩形ABCD的周长为32cm，则AE的长是（ ）
A．5 cmB．6cmC．7cmD．8cm
练习2．(2023·浙江台州·八年级期中）如图，在四边形ABCD中，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
练习3．(2023·广西·南宁三中九年级期中）将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G．若，，则（ ）
A．3B．4C．D．
◎考点14：根据性质与判定求面积
例．(2023·台湾·模拟预测）如图，矩形ABCD、中，A点在BE上若矩形ABCD的面积为20，的面积为24，则的面积为何？（ ）
A．10B．12C．14D．16
练习1．(2023·山东威海·中考真题）如图，在平行四边形中，，．连接AC，过点B作，交DC的延长线于点E，连接AE，交BC于点F．若，则四边形ABEC的面积为（ ）
A．B．C．6D．
练习2．(2023·江苏镇江·七年级期中）如图，长方形的长为6，宽为4，将这个长方形先向上平移2个单位，再向右平移2个单位，得到长方形 ，则阴影部分的面积是（ ）
A．12B．14C．16D．18
练习3．(2023·山西晋中·九年级期末）矩形中，点M在对角线上，过M作的平行线交于E，交于F，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．12B．10C．8D．6
专题17 矩形（知识点考点串编）
【思维导图】
©知识点一：矩形的性质
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
矩形的性质：
1）矩形具有平行四边形的所有性质；
2）矩形的四个角都是直角；
几何描述：∵四边形ABCD是矩形 ∴∠BAD=∠ADC=∠BCD=∠ABC=90°
3）对角线相等；
几何描述：∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD
推论：
1、在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半。
2、直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半。
4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形。矩形的对称中心是矩形对角线的交点；矩形有两条对称轴，矩形的对称轴是过矩形对边中点的直线；矩形的对称轴过矩形的对称中心。
◎考点1：矩形性质的理解
例．(2023·河南郑州·九年级期末）矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别相等B．两组对角分别相等C．两条对角线互相平分D．两条对角线相等
答案:D
解析：
分析：
根据矩形的性质和平行四边形的性质进行判断．
【详解】
解：A.两组对边分别相等是矩形和平行四边形都具有的性质，故不符合题意；
B.两组对角分别相等是矩形和平行四边形都具有的性质，故不符合题意；
C.两组对角线互相平分是矩形和平行四边形都具有的性质，故不符合题意；
D.两条对角线相等是矩形具有而平行四边形不具有的性质，故符合题意．
故选D
【点睛】
本题主要考查了矩形和平行四边形的性质，熟练掌握矩形和平行四边形的性质是解答本题的关键．
练习1．(2023·全国·八年级）如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）
A．2.5B．2C．D．
答案:D
解析：
分析：
利用矩形的性质，求证明，进而在中利用勾股定理求出的长度，弧长就是的长度，利用数轴上的点表示，求出弧与数轴交点表示的实数即可．
【详解】
解：四边形OABC是矩形，
，
在中，由勾股定理可知：，
，
弧长为，故在数轴上表示的数为，
故选：．
【点睛】
本题主要是考查了矩形的性质、勾股定理解三角形以及数轴上的点的表示，熟练利用矩形性质，得到直角三角形，然后通过勾股定理求边长，是解决该类问题的关键．
练习2．(2023·广东茂名·九年级期中）一个矩形的两条对角线的一个夹角为，对角线长为，则这个矩形较短边的长为（ ）
A．B．C．D．
答案:C
解析：
分析：
根据题意画出图，根据矩形的性质可得OA=OB=8cm，且∠AOB=60゜，从而可得△AOB为等边三角形，故可得AB的长度．
【详解】
如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD交于点O，且∠AOB=60゜
∵四边形ABCD是矩形
∴
∵∠AOB=60゜
∴△AOB为等边三角形
∴AB=OA=8cm
故选：C
【点睛】
本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，掌握这些知识是解题的关键．
练习3．(2023·重庆巴蜀中学九年级开学考试）关于矩形的性质，以下说法不正确的是（ ）
A．对边平行且相等B．对角线相等C．对角线互相垂直D．是轴对称图形
答案:C
解析：
分析：
根据矩形的性质逐项分析即可．
【详解】
矩形是特殊的平行四边形，矩形的对边平行且相等，对角线相等，是轴对称图形，故A,B,D选项正确，不符合题意，
对角线互相垂直是菱形的性质，故C不正确，符合题意．
故选C．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．
◎考点2：利用性质求角度
例．(2023·河南·登封市嵩阳中学九年级阶段练习）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE的度数为( )
A．20°B．22.5°C．27.5°D．30°
答案:B
解析：
分析：
根据矩形的性质可证明，再由三角形外角性质可证明出，即得出，根据题意即可知是等腰直角三角形，得出，从而求出，最后即可求出的大小．
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴．
∵，即，
∴，
∴．
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查矩形的性质，三角形外角性质，等腰直角三角形的判定和性质．熟练掌握各知识点并利用数形结合的思想是解答本题的关键．
练习1．(2023·广东佛山·九年级阶段练习）如图，矩形ABCD中，连接AC，延长BC至点E，使BE＝AC，连接DE．若∠E＝70°，则∠BAC的度数是（ ）
A．40°B．45°C．50°D．60°
答案:C
解析：
分析：
连接BD，交AC于O，由矩形的性质得∠ABC＝90°，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝DB，则OA＝OB，得∠BAC＝∠OBA，再证BE＝BD，由等腰三角形的性质得∠BDE＝∠E＝70°，则∠DBE＝50°，即可求解．
【详解】
解：连接BD，交AC于O，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝DB，
∴OA＝OB，
∴∠BAC＝∠OBA，
∵BE＝AC，
∴BE＝BD，
∴∠BDE＝∠E＝70°，
∴∠DBE＝180°−70°−70°＝40°，
∴∠BAC＝∠OBA＝90°−40°＝50°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质，求出∠DBE的度数是解题的关键．
练习2．(2023·浙江温州·八年级期末）如图，矩形中，对角线与相交于点，于点，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
答案:D
解析：
分析：
根据矩形的性质得到∠OAB=∠OBA，再根据∠BAE=2∠OAE，结合垂线的定义得到2∠OAE+3∠OAE=90°，解之可得∠OAE，从而求出∠AOB．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵∠BAE=2∠OAE，
∴∠OBA=∠OAB=3∠OAE，
∵AE⊥OB，
∴∠BAE+∠OBA=90°，
∴2∠OAE+3∠OAE=90°，
解得：∠OAE=18°，
∴∠AOB=90°-18°=72°，
故选D．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，三角形内角和，等边对等角等知识，利用矩形的性质得到∠OBA=∠OAB是解题的关键．
练习3(2023·山东临沂·八年级期末）如图，矩形ABCD中，连接AC，延长BC至点E，使BE＝AC，连接DE．若∠E＝65°，则∠BAC的度数是（ ）
A．40°B．50°C．60°D．65°
答案:A
解析：
分析：
连接BD，交AC于O，由矩形的性质得∠ABC＝90°，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝DB，则OA＝OB，得∠BAC＝∠OBA，再证BE＝BD，由等腰三角形的性质得∠BDE＝∠E＝65°，则∠DBE＝50°，即可求解．
【详解】
解：连接BD，交AC于O，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝DB，
∴OA＝OB，
∴∠BAC＝∠OBA，
∵BE＝AC，
∴BE＝BD，
∴∠BDE＝∠E＝65°，
∴∠DBE＝180°−65°−65°＝50°，
∴∠BAC＝∠OBA＝90°−50°＝40°，
故选：A．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质，求出∠DBE＝50°是解题的关键．
◎考点3：利用性质与判定求线段长
例．(2023·四川·成都绵实外国语学校九年级期中）如图，矩形ABCD的周长是28，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，AC＝10，则△DOE的周长是（ ）
A．12B．13C．14D．15
答案:A
解析：
分析：
先求解再证明再利用三角形的周长公式即可得到答案.
【详解】
解： 矩形ABCD的周长是28，
为CD的中点，
故选A
【点睛】
本题考查的是矩形的性质，三角形的中位线的性质，掌握“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边”是解题的关键.
练习1．(2023·福建三明·九年级期中）如图，矩形ABCD 的对角线AC与BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=3，则OC等于（ ）
A．3B．3.5C．4D．5
答案:A
解析：
分析：
由矩形的性质得出OA=OB，由已知条件证出△AOB是等边三角形，得出OA=AB=3，得出OA=OC=3即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=AC，OB=BD，AC=BD，
∴OA=OB，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=AB=3，
∴OA=OC=3；
故选：A．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证是解题的关键．
练习2．(2023·辽宁·沈阳市培英中学九年级阶段练习）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．若AD＝6，AE⊥BD于点E，且DE＝3BE．则AE＝（ ）
A．2B．3C．3D．4
答案:C
解析：
分析：
根据矩形的性质可得，，进而可得，根据，可得为等边三角形，进而即可求得，根据含30度角的直角三角形的性质，可得，即可求得的长．
【详解】
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
．
故选D．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质与判定，矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边对等角，求得为等边三角形是解题的关键．
练习3．(2023·河北保定·八年级期末）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AC＝4，则BC的长是（ ）
A．2B．3C．2D．3
答案:C
解析：
分析：
由矩形的性质可得，由题意可得为等边三角形，再由勾股定理即可求解．
【详解】
解：在矩形ABCD中，，
∵∠AOB＝60°
∴为等边三角形
∴
在中，
故选C
【点睛】
此题考查了矩形的性质，等边三角形的判定以及勾股定理，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
◎考点4：利用性质与判定求面积
例．(2023·山东·日照市岚山区教学研究室八年级期末）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，夹角∠AOB=60°，已知AB=1，则△ABD的面积是（ ）
A．1B．2C．D．
答案:C
解析：
分析：
根据矩形的性质可知，，，，含30°的直角三角形中，，计算求解即可．
【详解】
解：由题意知，
∵∠AOB=60°
∴△AOB是等边三角形
∴
∴
∴
∴
∴
故选C．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，含30°的直角三角形，等边三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用．
练习1．(2023·安徽安庆·八年级期末）四边形不具有稳定性，如图，矩形ABCD当改变内角大小就变成平行四边形ABC'D'，若∠D'AB=30°，则平行四边形ABC'D'的面积与矩形ABCD的面积之比是（ ）
A．B．C．D．1
答案:A
解析：
分析：
过D'点作D'E⊥AB，垂足为E，由含30°角的直角三角形的性质可得AD'=2D'E，根据正方形及旋转的性质可得AB=AD'=2D'E，再利用正方形及平行四边形的面积公式可求解．
【详解】
解：过D'点作D'E⊥AB，垂足为E，
∵∠D'AE=30°，
∴AD'=2D'E，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB，
由旋转可知：AD'=AD，
∴AB=AD'=2D'E，
∵S正方形ABCD=AB•AD，S平行四边形ABC′D′=AB•D'E．
∴平行四边形ABC'D'的面积与矩形ABCD的面积之比是，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质，平行四边形的性质，旋转的性质，含30°角的直角三角形，利用含30°角的直角三角形的性质求得AD'=2D'E是解题的关键．
练习2．(2023·浙江·杭州外国语学校八年级期末）如图，矩形中，，四边形是平行四边形，点在边上且，的面积是矩形面积的，则平行四边形的面积是（ ）
A．2B．3C．D．
答案:C
解析：
分析：
根据三角形与矩形的面积关系得出BD1与AD1的数量关系，然后结合勾股定理列方程求解．
【详解】
解：∵点D1在BC边上，且△ABD1的面积是矩形ABCD面积的，
∴AB•BD1＝AB•AD，
∴BD1＝AD，
又∵AD1＝AD，
∴BD1＝AD1，
设BD1＝2x，则AD1＝3x，
在Rt△ABD1中，BD12＋AB2＝AD12，
∴（2x）2＋（）2＝（3x）2，
解得：x＝±1（负值舍去），
∴BD1＝2，AD1＝3，
∵点D1在BC边上，
∴平行四边形ABC1D1的面积＝2S△ABD1＝2×××2＝2，
故选：C．
【点睛】
本题考查矩形的性质，平行四边形的性质以及勾股定理解直角三角形，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．
练习3．(2023·全国·八年级）如图，在矩形中，，相交于点，若的面积是，则矩形的面积是（ ）
A．B．C．D．
答案:C
解析：
分析：
根据矩形的性质可知矩形的面积，又可知，进而可得矩形的面积．
【详解】
四边形是矩形，
，，
，
，矩形，
的面积是．
矩形的面积．
故选C．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．
◎考点5：利用矩形性质证明
例．(2023·陕西西安·九年级期中）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作，，分别交AB、CD、AD、BC于E、F、G、H，连接PB．若，．则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4B．8C．12D．24
答案:C
解析：
分析：
连接PD，根据，，推出四边形AEPG、四边形BEPH、四边形PFCH、四边形DFPG都是矩形，得到，由矩形的性质求出答案．
【详解】
解：连接PD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴， ，
∵，，
∴四边形AEPG、四边形BEPH、四边形PFCH、四边形DFPG都是矩形，
∴，GP=，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】
此题考查矩形的判定及性质，熟记矩形的判定定理并熟练应用是解题的关键．
练习1．(2023·河北·石家庄市第二十八中学二模）如图，证明矩形的对角线相等．
已知：四边形是矩形．
求证：．以下是排乱的证明过程：
①，，
②四边形是矩形，
③，
④，
⑤
证明步骤正确的顺序是（ ）
A．③①②⑤④B．②①③⑤④C．②⑤③①④D．③⑤②①④
答案:B
解析：
分析：
根据SAS定理证明三角形全等，进而得出对应边相等.
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形
∴AB=CD、∠ABC=∠DCB
∵BC=CB
∴ΔABC≌ΔDCB
∴AC=DB
所以正确顺序为②①③⑤④．
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的证明，矩形的性质．理清证明过程是排序的关键．
练习2．(2023·甘肃酒泉·七年级期末）如图①，在矩形中，动点从点出发，沿，，运动至点停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图②所示，则的面积是（ ）
图① 图②
A．B．C．D．
答案:C
解析：
分析：
由图①易知：当点P在CD上运动时，的值不变，结合图②从而求出BC和CD的长，然后根据矩形的性质求出AB，即可求出结论．
【详解】
解：由图①易知：当点P在CD上运动时，的值不变，再由②可知：BC=4，CD=9－4=5
∵四边形是矩形
∴AB=CD=5，∠ABC=90°
∴的面积为AB·BC=10
故选C．
【点睛】
此题考查的是函数图象与几何图形，掌握函数图象与几何图形中长度的对应关系是解决此题的关键．
练习3．(2023·江苏·镇江市外国语学校九年级阶段练习）如图，四边形是扇形的内接矩形，顶点P在弧上，且不与M，N重合，当P点在弧上移动时，矩形的形状、大小随之变化，则的长度（ ）
A．变大B．变小C．不变D．不能确定
答案:C
解析：
分析：
四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，根据矩形的性质AB=OP=半径，所以AB长度不变．
【详解】
解：∵四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，
∴AB=OP=半径，
当P点在弧MN上移动时，半径一定，所以AB长度不变，
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆的认识，矩形的性质，用到的知识点为：矩形的对角线相等；圆的半径相等．
◎考点6：求矩形在平面直角坐标系中的坐标
例．(2023·天津河西·八年级期末）在平面直角坐标系中，已知四边形是矩形，点，，，则这个矩形的面积为（ ）
A． B． C． D．
答案:A
解析：
分析：
在平面直角坐标系中画出三个已知点的位置，然后根据矩形性质求得、的长，最后即可求解面积．
【详解】
在平面直角坐标系中作出三个点，如下图所示，
，
根据矩形的性质得到点的位置，
∴，，
∴，
故选A．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，和平面直角坐标系，关键是在平面直角坐标系中画出已知点的位置．
练习1．(2023·广东广州·八年级期末）如图，四边形OABC为矩形，点A的坐标为(0，2)，点C的坐标为(4，0)，若直线y=kx−k−1将矩形OABC分成面积相等的两部分，则k的值为（ ）
A．B．C．2D．
答案:C
解析：
分析：
由条件可先求得矩形OABC的中心坐标，再由直线分矩形面积相等的两部分可知直线过矩形的中心，代入可求得k的值．
【详解】
解：如图，连接OB、AC交于点D，
∵四边形OABC为矩形，点A的坐标为(0，2)，点C的坐标为(4，0)，
∴点D的坐标为（2，1），
∵直线y=kx−k−1（k是常数）将四边形OABC分成面积相等的两部分，
∴直线过点D，
则2k-k-1=1，
解得：k=2，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查矩形的性质，掌握过矩形中心的直线平分矩形面积是解题的关键．
练习2．(2023·广东广州·八年级期末）长方形ABCD的三个顶点的坐标是A（1,1）、B（3,1）、C（3,5），那么D点坐标是（ ）
A．（1,3）B．（1,5）C．（5,3）D．（5,1）
答案:B
解析：
【详解】
试题分析：由题意可知BC ∥AD∥y轴，所以点D的横坐标等于A的横坐标是1，纵坐标与C点的纵坐标相同都是5，所以D点坐标是（1,5）.
所以选B.
考点：直角坐标系中的坐标、长方形的性质.
练习3．(2023·全国·八年级专题练习）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其各顶点的坐标分别为，固定点并将此矩形按顺时针方向旋转，若旋转后点的对应点的坐标为，则旋转后点的对应点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
答案:A
解析：
分析：
根据旋转的性质，画出图形，即可得到答案.
【详解】
解：由图可知，
由旋转后点的对应点的坐标为，旋转后点的对应点在轴上，
∵，
∴旋转后点的对应点D＇的坐标为．
故选A．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转过后点坐标的变化.
◎考点7：矩形与折叠问题
例．(2023·河南·驻马店市第二初级中学八年级期末）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF．若AB=4，BC=8，则D′F的长为（ ）
A．5B．4C．3D．2
答案:C
解析：
分析：
由折叠的性质得出AF=AE=CE，设AF=AE=CE=x，则BE=8-x，在Rt△ABE中，由勾股定理得出方程，解方程得出AF=5，在Rt△AFD'中，由勾股定理即可得出结果．
【详解】
解：∵四边形ABCD是长方形，
∴∠B=∠D=90°，CD=AB=4，AD∥BC，
∴∠AFE=∠CEF，
由折叠的性质得：∠AEF=∠CEF，AE=CE，∠D'=∠D=90°，AD'=CD=4，
∴∠AFE=∠AEF，
∴AF=AE=CE，
设AF=AE=CE=x，则BE=8-x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+BE2=AE2，
即42+（8-x）2=x2，
解得：x=5，
∴AF=5，
在Rt△AFD'中，由勾股定理得：D'F==3；
故选：C．
【点睛】
本题考查了折叠的性质、矩形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
练习1．(2023·山东青岛·九年级期末）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点M处，点C落在点N处，已知∠DMN=30°，连接BM，则∠AMB的度数为（ ）
A．60°B．75°C．80°D．85°
答案:B
解析：
分析：
由四边形ABCD是矩形，得∠A=∠ABC=90°，根据矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点M处，点C落在点N处，得∠NME=∠ABC=90°，ME=BE，而∠DMN=30°，即知∠AME=60°，∠AEM=30°，即∠EMB+∠EBM=30°，可得∠EMB=∠EBM=15°，故∠AMB=∠AME+∠EMB=75°．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=90°，
∵矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点M处，点C落在点N处，
∴∠NME=∠ABC=90°，ME=BE，
∵∠DMN=30°，
∴∠AME=180°-∠NME-∠DMN=60°，
∴∠AEM=90°-∠AME=30°，
∴∠EMB+∠EBM=30°，
∵ME=BE，
∴∠EMB=∠EBM=15°，
∴∠AMB=∠AME+∠EMB=75°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了矩形中的折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质：折叠前后能够重合的线段相等、能够重合的角相等．
练习2．(2023·广东揭阳·七年级期末）如图，将一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠后，点C落在点E处，连接BE交AD于F，再将三角形DEF沿DF折叠后，点E落在点G处，若DG刚好平分∠ADB，那么∠ADB的度数是（ ）
A．18°B．20°C．36°D．45°
答案:C
解析：
分析：
根据折叠的性质可得∠BDC=∠BDE，∠EDF=∠GDF，由角平分线的定义可得∠BDA=∠GDF+∠BDG=2∠GDF，然后根据矩形的性质及角的运算可得答案．
【详解】
解：由折叠可知，∠BDC=∠BDE，∠EDF=∠GDF，
∵DG平分∠ADB，
∴∠BDG=∠GDF，
∴∠EDF=∠BDG，
∴∠BDE=∠EDF+∠GDF+∠BDG=3∠GDF，
∴∠BDC=∠BDE=3∠GDF，
∠BDA=∠GDF+∠BDG=2∠GDF，
∵∠BDC+∠BDA=90°=3∠GDF+2∠GDF=5∠GDF，
∴∠GDF=90°5=18°，
∴∠ADB=2∠GDF=2×18°=36°．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是矩形与折叠，正确掌握折叠的性质是解决此题的关键．
练习3．(2023·江苏苏州·八年级期中）如图，在矩形纸片中，，，点是边上的一点，将沿所在的直线折叠，使点落在上的点处，则的长是（ ）
A．2B．3C．4D．5
答案:B
解析：
分析：
根据折叠的性质可得 ，再由矩形的性质可得 ，从而得到 ，然后设 ，则 ，在 中，由勾股定理，即可求解．
【详解】
解：根据题意得： ，
在矩形纸片中， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，解得： ，
即 ．
故选：B
【点睛】
本题主要考查了矩形与折叠，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，折叠图形的性质是解题的关键．
◎考点8：直角三角形斜边上的中线问题
例．(2023·重庆永川·八年级期末）如图，在中，，，AD平分交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则的周长为（ ）
A．12B．13C．14D．18
答案:C
解析：
分析：
根据AB＝AC，可知△ABC为等腰三角形，由等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，AD为△ABC的中线，故CD＝BC，∠ADC＝90°，又因为点E为AC的中点，可得DE＝AC，从而可以得到△CDE的周长．
【详解】
解：∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
又∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，AD是△ABC的中线，
∴∠ADC＝90°，CD＝BC=4，
∵点E为AC的中点，
∴DE=CE＝AC=5，
∴△CDE的周长为：DE＋EC＋CD＝5＋5＋4＝14．
故选：C．
【点睛】
本题考查三角形的周长，等腰三角形的相关性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键是正确分析题目，从中得出需要的信息．
练习1．(2023·北京昌平·八年级期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，连接EO．若菱形的周长是40，则EO的长为（ ）．
A．10B．5C．2.5D．20
答案:B
解析：
分析：
由题意易得AO⊥BD，AB=10，然后根据直角三角形斜边中线定理可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，且周长为40，
∴AO⊥BD，AB=BC=CD=AD=10，
∵E是AB的中点，
∴；
故选B．
【点睛】
本题主要考查菱形的性质及直角三角形斜边中线定理，熟练掌握菱形的性质及直角三角形斜边中线定理是解题的关键．
练习2．(2023·河南·郑州中学九年级期末）如图，在中，，，按以下步骤作图：分别以点B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN，与边AC，BC分别交于D，E两点，连接BD，AE，若，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
答案:C
解析：
分析：
根据作图可知为的垂直平分线，进而可得，，根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得进而即可求得的周长．
【详解】
解：∵为的垂直平分线，
∴，，
，，
，
在中，
,
的周长为
故选C
【点睛】
本题考查了作垂直平分线，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
练习3．(2023·江苏无锡·八年级期末）如图，在中，∠ACB=90°，为的中点，点在上，且CE=AC，∠BAE=15°，则∠CDE的大小为（ ）
A．70°B．75°C．80°D．85°
答案:B
解析：
分析：
根据等腰直角三角形的性质得到∠CAE=∠AEC=45°，求得∠CAB=60°，得到∠B=30°，根据直角三角形的性质得到CD=BD=AD=AB，得到△ADC是等边三角形，∠DCB=∠B=30°，于是得到结论．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，CE=AC，
∴∠CAE=∠AEC=45°，
∵∠BAE=15°，
∴∠CAB=60°，
∴∠B=30°，
∵∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴CD=BD=AD=AB，
∴△ADC是等边三角形，∠DCB=∠B=30°，
∴AC=DC=CE，
∴∠CDE=∠CED=×（180°-30°）=75°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
©知识点二：矩形的判定
矩形的判定：
1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形；
2）对角线相等的平行四边形是矩形；
3）有三个角是直角的四边形是矩形。
矩形的面积公式： 面积=长×宽
◎考点9：判定定理的理解
例．(2023·上海市文来中学八年级期中）下列叙述中能判定四边形是矩形的个数是（ ）．
①对角线互相平分的四边形；
②对角线相等的四边形；
③对角线相等的平行四边形；
④对角线互相平分且相等的四边形．
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案:B
解析：
分析：
根据矩形的判定定理逐项进行判断即可．
【详解】
解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，故①不符合题意；
②对角线相等的四边形可以是等腰梯形，故②不符合题意；
③对角线相等的平行四边形是矩形，故③符合题意；
④对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故④符合题意．
∴正确的是③④．
故选B．
【点睛】
本题考查了矩形的判定，解题关键是熟记矩形的判定定理，准确进行判断．
练习1．(2023·北京·和平街第一中学八年级期中）数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组4位同学拟定的方案，其中正确的是( )
A．测量对角线是否互相平分B．测量一组对角是否都为直角
C．测量对角线长是否相等D．测量3个角是否为直角
答案:D
解析：
分析：
矩形的判定方法有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；由矩形的判定方法即可求解．
【详解】
解：A、对角线是否互相平分，能判定是否是平行四边形，故不符合题意；
B、测量一组对角是否都为直角，不能判定形状，故不符合题意；
C、测量对角线长是否相等，不能判定形状，故不符合题意；
D、测量3个角是否为直角，若四边形中三个角都为直角，能判定矩形，故符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查的是矩形的判定、平行四边形的判定等知识；熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
练习2．(2023·河北保定·八年级期末）如图，将平行四边形的变成直角，则平行四边形变成（ ）
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形
答案:B
解析：
分析：
根据矩形的判定条件：有一个角是直角的平行四边形是矩形，进行求解即可．
【详解】
解：∵平行四边形ABCD中，∠ABC变成直角，
∴四边形ABCD是矩形，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了矩形的判定条件，解题的关键在于能够熟练掌握矩形的判定条件．
练习3．(2023·湖南永州·八年级期末）在数学活动课上，老师和同学们判断一块地板砖上的四边形图案是否为矩形，下面是某学习小组的四位同学拟定的方案，其中正确的是（ ）
A测量对角线是否互相平分B测量两组对边是否相等C测量对角线是否相等 D测量对角线是否平分且相等
答案:D
解析：
分析：
由矩形的判定定理和平行四边形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可．
【详解】
解：A、测量对角线是否互相平分，能判定平行四边形，不能判定矩形，故选项A不符合题意；
B、测量两组对边是否相等，能判定平行四边形，不能判定矩形，故选项B不符合题意；
C、测量对角线是否相等，不能判定平行四边形，也不能判定矩形，故选项C不符合题意；
D、测量对角线是否平分且相等，能判定矩形；
故选：D．
【点睛】
本题考查的是矩形的判定、平行四边形的判定与性质；熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
◎考点10：添加条件成为矩形
例．(2023·江苏·八年级专题练习）下列条件中，不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．∠A＝∠CB．∠A＝∠BC．AC＝BDD．AB⊥BC
答案:A
解析：
分析：
由矩形的判定方法分别对各个选项进行判断，即可得出结论．
【详解】
解：A、在▱ABCD，若∠A=∠C，
则四边形ABCD还是平行四边形；故选项A符合题意；
B、在▱ABCD中，AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A=∠B，
∴∠A=∠B=90°，
∴▱ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、在▱ABCD中，AC=BD，
则▱ABCD是矩形；故选项C不符合题意；
D、在▱ABCD中，AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴▱ABCD是矩形，故选项D不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了矩形的判定以及平行四边形的性质；熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键．
练习1．(2023·湖南·通道侗族自治县教育科学研究室八年级期中）如图，四边形的对角线互相平分，以下添加的条件不能判定四边形是矩形的是（ ）
A． B． C． D．
答案:C
解析：
分析：
先确定四边形ABCD为平行四边形，添加的条件，可得AO=CO=BO=DO，可证AC=2AO=BD，故能判定选项A；添加的条件，由四边形ABCD为平行四边形，可得∠ABC+∠BCD=180°，可求=90°，故能判定选项B；添加的条件，由四边形ABCD为平行四边形，可得四边形ABCD为菱形，故不能判定选项C；添加的条件，由四边形ABCD为平行四边形，可得四边形ABCD为矩形，故能判定选项D ．
【详解】
解：四边形的对角线相交于O，
∵四边形的对角线互相平分，
∴AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD为平行四边形，
A选项添加的条件，
∴AO=CO=BO=DO，
∴AC=2AO=BD，
∴四边形ABCD为矩形，
故选项A能判定；
B选项添加的条件，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴=90°，
∴四边形ABCD为矩形，
故选项B能判定；
C选项添加的条件，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD为菱形，
故选项C不能判定；
D添加的条件，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD为矩形，
故选项D能判定．
故选C．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定，通过添加条形判定四边形ABCD为矩形，掌握平行四边形的判定，矩形的判定方法是解题关键．
练习2．(2023·江苏·常州实验初中八年级期中）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠BAD＝90°，BO＝DO，那么添加下列一个条件后，仍不能判定四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．OA＝OCB．AB＝CDC．∠BCD＝90°D．AD//BC
答案:B
解析：
分析：
根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形分别进行分析即可．
【详解】
解：A、∵∠BAD＝90°，BO＝DO，
∴OA＝OB＝OD，
∵AO＝OC，
∴AO＝OB＝OD＝OC，
即对角线平分且相等，
∴四边形ABCD为矩形，不符合题意；
B、∵∠BAD＝90°，BO＝DO，AB＝CD，
无法得出△ABO≌△DCO，
故无法得出四边形ABCD是平行四边形，
进而无法得出四边形ABCD是矩形，符合题意；
C、∵∠BAD＝90°，BO＝DO，
∴OA＝OB＝OD，
∵∠BCD＝90°，
∴AO＝OB＝OD＝OC，
即对角线平分且相等，
∴四边形ABCD为矩形，不符合题意；
D、∵AD//BC，∠BAD＝90°,BO＝DO，
∴∠CBO＝∠ADO，
∵∠COB＝∠DOA，
∴△AOD≌△BOC（ASA），
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠BAD＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，不符合题意；
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了矩形的判定，关键是熟练掌握矩形的判定定理．
练习3．(2023·辽宁大连·八年级期中）的对角线AC，BD交于点O，添加下列条件，仍不能使它成为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
答案:C
解析：
分析：
根据矩形的判定条件进行逐一判断求解即可.
【详解】
解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD=90°，∴四边形ABCD是矩形，故此选项不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，故此选项不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，无法判断是否为矩形，故此选项符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴四边形ABCD是矩形，故此选项不符合题意；
故选C.
【点睛】
本题主要考查了矩形的判定条件，解题的关键在于能够熟练掌握矩形的判定条件.
◎考点11：证明四边形是矩形
例．(2023·贵州铜仁·模拟预测）甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，一木工师傅要他们拿尺子帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测，你认为最有说服力的是（ ）
A．甲量得窗框的一组邻边相等 B．乙量得窗框两组对边分别相等
C．丙量得窗框的对角线长相等 D．丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线也相等
答案:D
解析：
分析：
根据矩形的判断定理：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
【详解】
解：A，只是一组邻边相等的四边形不能判断是矩形，故甲的判断不准确；
B，两组对边分别相等可以是平行四边形，菱形，矩形，正方形；故乙的判断不准确；
C，对角线长相等可以是等腰梯形，矩形，正方形；故丙的判断不准确；
D，两组对边分别相等是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，正方形；故丁的判断最有说服力；
故选：D
【点睛】
本题主要考查矩形的特征，掌握常见四边形如：平行四边形，菱形，矩形，等腰梯形，正方形的特征和区别是解题关键 ．
练习1．(2023·重庆市凤鸣山中学九年级阶段练习）下列命题正确的是（ ）
A．四条边都相等的四边形是正方形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
答案:C
解析：
分析：
利用平行四边形及特殊的平行四边形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
解：A、四条边都相等的四边形是菱形，故原命题错误，不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，不符合题意；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确，符合题意；
D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故原命题错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形及特殊的平行四边形的判定方法，难度不大．
练习2．(2023·河北保定·九年级期末）如图是文易同学答的试卷，文易同学应得（ ）
A．40分B．60分C．80分D．100分
答案:C
解析：
分析：
（1）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形判断即可；
（2）根据对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形判断即可；
（3）根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可；
（4）根据菱形的对角线互相垂直平分判断即可；
（5）根据矩形是中心对称图形，对角线相等且交点是对称中心判断即可．
【详解】
解：（1）∵AC、BD是对角线，且，
∴是菱形，
∴（1）判断正确；
（2）∵AC、BD是对角线，，
∴是菱形，
∵，
∴是正方形，
∴（2）判断正确；
（3）∵AC、BD是对角线，且，
∴是矩形，
∴（3）判断正确；
（4）菱形的对角线互相垂直，但不一定相等，
∴（4）判断错误；
（5）矩形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心，
∴对称中心到四个顶点的距离相等，
∴（5）判断正确；
∴只有第（4）题做错，
∴得分为80分，
故选：C．
【点睛】
本题考查特殊四边形的判定与性质，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题的关键．
练习3．(2023·四川成都·九年级期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，两条对角线交于点O，下列条件中，不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．∠ABC＝∠BCDB．∠ABC＝∠ADCC．AO＝BOD．AO＝DO
答案:B
解析：
分析：
利用矩形的判定、平行四边形的性质对各个选项进行逐一判断即可．
【详解】
解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC＝∠BCD，
∴∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD为矩形，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC，
∴不能判定平行四边形ABCD为矩形，故选项B符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD，
∵AO＝BO，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD为矩形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD，
∵AO＝DO，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD为矩形，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质和判定，矩形的判定，能熟练掌握和运用矩形的判定定理是解决本题的关键．
©知识点三：矩形的判定与性质的综合
◎考点12：根据性质与判定求求角度
例．(2023·全国·八年级专题练习）如图，矩形中，交于点分别为的中点，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
答案:A
解析：
分析：
根据三角形中位线的性质可求出OD的长，根据矩形的性质可得AC的长，根据直角三角形的性质即可得答案.
【详解】
∵E、F分别为AO、AD的中点，
∴EF是△AOD的中位线，
∴OD=2EF=2×4=8，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD=OA=OC=8，即：AC=16，
∵AB=8，
∴AC=2AB，
∵∠ABC=90°，
∴∠ACB=30°．
故选A．
【点睛】
本题主要考查矩形的性质和直角三角形的性质以及中位线的性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；掌握矩形的对角线互相平分且相等是解题的关键．
练习1．(2023·全国·八年级专题练习）如图，在矩形中，、相交于点，平分交于点，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
答案:B
解析：
分析：
由题意根据矩形的性质及AE平分∠BAD分别判定BE=BA及△OAB为等边三角形，进一步推出∠BOE=∠BEO，然后求得∠OBE=30°，则可在△BOE中求得∠BOE的度数．
【详解】
解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD=45°，AD∥BC，OA=OB，
∴∠AEB=∠EAD=45°，
∴BE=BA．
∵∠CAE=15°，∠BAE=45°，
∴∠BAC=60°，
又∵OA=OB，
∴△OAB为等边三角形，
∴BO=BA，
∴BO=BE，
∴∠BOE=∠BEO，
∵△OAB为等边三角形，
∴∠ABO=60°，
∴∠OBE=90°-60°=30°，
∴∠BOE=（180°-30°）÷2=75°．
故选：B．
【点睛】
本题考查矩形的性质和等边三角形和等腰三角形的判定及三角形的内角和等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
练习2．(2023·河北承德·二模）如图，在中，对角线、相交于点，且，，则的度数为（ ）
A．35°B．40°C．45°D．55°
答案:A
解析：
分析：
由在中，对角线、相交于点，且可推出是矩形，可得∠DAB=90°进而可以计算的度数.
【详解】
解：在中
∵
∴AC=BD
∵在中， AC=BD
∴是矩形
所以∠DAB=90°
∵
∴
故选A
【点睛】
本题考查的是矩形的判定和性质.掌握是矩形的判定和性质是解题的关键.
练习3．(2023·山东济南·七年级期末）如图，四边形ABCD为矩形，依据尺规作图的痕迹，∠α与∠β的度数之间的关系为( )
A．β= 180-αB．β=180°-C．β=90°-αD．β=90°-
答案:D
解析：
分析：
如图，根据题意得∠DAC=∠α，∠EAO=∠α，∠AEO=∠β,∠EOA=90°，再根据三角形内角和定理可得β=90°-.
【详解】
如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠α
由作图痕迹可得AE平分∠DAC，EO⊥AC
∴∠EAO=∠α， ∠EOA=90°
又∠AEO=∠β，
∠EAO+∠AOE+∠AEO=180°，
∴∠α+∠β+90°=180°，
∴β=90°-
故选D.
【点睛】
本题考查了矩形的性质，角平分线以及线段垂直平分线的性质，熟练掌握和运用相关的知识是解题的关键.
◎考点13：根据性质与判定求线段长
例．(2023·浙江温州·八年级期中）如图，OA⊥OB，OB＝4，P是射线OA上一动点，连接BP，以B为直角顶点向上作等腰直角三角形，在OA上取一点D，使∠CDO＝45°，当P在射线OA上自O向A运动时，PD的长度的变化（ ）
A．一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．保持不变
答案:D
解析：
分析：
过点作于，于，先根据矩形的判定与性质可得，再根据三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据等腰直角三角形的判定与性质可得，最后根据线段的和差、等量代换即可得出结论．
【详解】
解：如图，过点作于，于，
则四边形是矩形，
，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴的长度保持不变，
故选：D．
【点睛】
本题考查了矩形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造矩形和全等三角形是解题关键．
练习1．(2023·宁夏银川二十四中八年级期末）如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点， F是AB上的一点， EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm．矩形ABCD的周长为32cm，则AE的长是（ ）
A．5 cmB．6cmC．7cmD．8cm
答案:B
解析：
分析：
先证∠AEF=∠ECD，再证Rt△AEF≌Rt△DCE，然后结合题目中已知的线段关系求解．
【详解】
解：在Rt△AEF和Rt△DEC中，EF⊥CE．
∴∠FEC=90°．
∴∠AEF+∠DEC=90°．
而∠ECD+∠DEC=90°．
∴∠AEF=∠ECD，
在△AEF与△DCE中，
，
∴△AEF≌△DCE（AAS）．
∴AE=CD，
AD=AE+4．
∵矩形ABCD的周长为32cm．
∴2（AE+ED+DC）=32，即2（2AE+4）=32，
整理得：2AE+4=16
解得：AE=6（cm）．
故选择：B
【点睛】
本题综合考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
练习2．(2023·浙江台州·八年级期中）如图，在四边形ABCD中，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
答案:A
解析：
分析：
作DE⊥AB于E，CF⊥DE于F，根据含30度直角三角形的性质求出DE，根据矩形的性质求出EF，得到DF的长，进而求出CD即可．
【详解】
解：作DE⊥AB于E，CF⊥DE于F，
∵∠AED=90°，∠A=30°，
∴DE=AD=2，
∵∠BED=90°，∠B=90°，∠CFE=90°，
∴四边形BCFE为矩形，
∴EF=BC=1，
∴DF=DE-EF=1，
∵∠ADC=120°，∠ADE=60°，
∴∠CDF=120°-60°=60°，
在Rt△CFD中，∠DCF=30°，
∴CD=2DF=2，
故选：A．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质，矩形的判定和性质，掌握在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
练习3．(2023·广西·南宁三中九年级期中）将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G．若，，则（ ）
A．3B．4C．D．
答案:D
解析：
分析：
过点作于，交于点，先根据正方形的性质和矩形的判定与性质可得，再结合折叠性质可证得，由此可得，再利用勾股定理即可求得答案．
【详解】
解：如图，过点作于，交于点，
则，
∵四边形ABCD为正方形，
∴，，
∵，
∴四边形CDHF为矩形，
∴，
∴，
由折叠的性质得，
∴，
，
∵，
，
，
在和中，
，
，
，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
◎考点14：根据性质与判定求面积
例．(2023·台湾·模拟预测）如图，矩形ABCD、中，A点在BE上若矩形ABCD的面积为20，的面积为24，则的面积为何？（ ）
A．10B．12C．14D．16
答案:C
解析：
分析：
在矩形ABCD中，易证≌，可得；因为，所以．
【详解】
解：四边形ABCD是矩形，
，．
在和中，
，
≌．
；
，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质、三角形的面积，利用全等三角形的面积相等是解题的关键．
练习1．(2023·山东威海·中考真题）如图，在平行四边形中，，．连接AC，过点B作，交DC的延长线于点E，连接AE，交BC于点F．若，则四边形ABEC的面积为（ ）
A．B．C．6D．
答案:B
解析：
分析：
先证明四边形ABEC为矩形，再求出AC，即可求出四边形ABEC的面积．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD=2，BC=AD=3，∠D=∠ABC，
∵，
∴四边形ABEC为平行四边形，
∵，
∴，
∵∠AFC=∠ABF+∠BAF，
∴∠ABF=∠BAF，
∴AF=BF，
∴2AF=2BF，
即BC=AE，
∴平行四边形ABEC是矩形，
∴∠BAC=90°，
∴,
∴矩形ABEC的面积为．
故选：B
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，熟知相关定理，证明四边形ABEC为矩形是解题关键．
练习2．(2023·江苏镇江·七年级期中）如图，长方形的长为6，宽为4，将这个长方形先向上平移2个单位，再向右平移2个单位，得到长方形 ，则阴影部分的面积是（ ）
A．12B．14C．16D．18
答案:C
解析：
分析：
延长交于，交于，交于，根据长方形先向上平移2个单位，再向右平移2个单位得到长方形，可得，，并且四边形、四边形都为矩形，可求得，根据求解即可．
【详解】
解：如图示，延长交于，交于，交于，
∵长方形先向上平移2个单位，再向右平移2个单位得到长方形，
∴，，
∴，
∴，，并且四边形、四边形都为矩形，
∴，，
∴ =4×2=8，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
练习3．(2023·山西晋中·九年级期末）矩形中，点M在对角线上，过M作的平行线交于E，交于F，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．12B．10C．8D．6
答案:C
解析：
分析：
根据矩形的性质和三角形面积关系可证明S△DEM=S△BFM，即可求解．
【详解】
解：过M作MP⊥AB于P，交DC于Q，如图所示：
则四边形DEMQ，四边形QMFC，四边形AEMP，四边形MPBF都是矩形，
∴S△DEM=S△DQM，S△QCM=S△MFC，S△AEM=S△APM，S△MPB=S△MFB，S△ABC=S△ADC，
∴S△ABC-S△AMP-S△MCF=S△ADC-S△AEM-S△MQC，
∴S四边形DEMQ=S四边形MPBF，
∵DE=CF=2，
∴S△DEM=S△MFB=×2×4=4，
∴S阴=4+4=8，
故选：C．
【点睛】
本题考查了矩形的判定与性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S四边形DEMQ=S四边形MPBF．
【思维导图】
©知识点一：矩形的性质
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
矩形的性质：
1）矩形具有平行四边形的所有性质；
2）矩形的四个角都是直角；
几何描述：∵四边形ABCD是矩形 ∴∠BAD=∠ADC=∠BCD=∠ABC=90°
3）对角线相等；
几何描述：∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD
推论：
1、在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半。
2、直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半。
4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形。矩形的对称中心是矩形对角线的交点；矩形有两条对称轴，矩形的对称轴是过矩形对边中点的直线；矩形的对称轴过矩形的对称中心。
◎考点1：矩形性质的理解
例．(2023·河南郑州·九年级期末）矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别相等B．两组对角分别相等C．两条对角线互相平分D．两条对角线相等
练习1．(2023·全国·八年级）如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）
A．2.5B．2C．D．
练习2．(2023·广东茂名·九年级期中）一个矩形的两条对角线的一个夹角为，对角线长为，则这个矩形较短边的长为（ ）
A．B．C．D．
练习3．(2023·重庆巴蜀中学九年级开学考试）关于矩形的性质，以下说法不正确的是（ ）
A．对边平行且相等B．对角线相等C．对角线互相垂直D．是轴对称图形
◎考点2：利用性质求角度
例．(2023·河南·登封市嵩阳中学九年级阶段练习）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE的度数为( )
A．20°B．22.5°C．27.5°D．30°
练习1．(2023·广东佛山·九年级阶段练习）如图，矩形ABCD中，连接AC，延长BC至点E，使BE＝AC，连接DE．若∠E＝70°，则∠BAC的度数是（ ）
A．40°B．45°C．50°D．60°
练习2．(2023·浙江温州·八年级期末）如图，矩形中，对角线与相交于点，于点，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
练习3(2023·山东临沂·八年级期末）如图，矩形ABCD中，连接AC，延长BC至点E，使BE＝AC，连接DE．若∠E＝65°，则∠BAC的度数是（ ）
A．40°B．50°C．60°D．65°
◎考点3：利用性质与判定求线段长
例．(2023·四川·成都绵实外国语学校九年级期中）如图，矩形ABCD的周长是28，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，AC＝10，则△DOE的周长是（ ）
A．12B．13C．14D．15
练习1．(2023·福建三明·九年级期中）如图，矩形ABCD 的对角线AC与BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=3，则OC等于（ ）
A．3B．3.5C．4D．5
练习2．(2023·辽宁·沈阳市培英中学九年级阶段练习）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．若AD＝6，AE⊥BD于点E，且DE＝3BE．则AE＝（ ）
A．2B．3C．3D．4
练习3．(2023·河北保定·八年级期末）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AC＝4，则BC的长是（ ）
A．2B．3C．2D．3
◎考点4：利用性质与判定求面积
例．(2023·山东·日照市岚山区教学研究室八年级期末）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，夹角∠AOB=60°，已知AB=1，则△ABD的面积是（ ）
A．1B．2C．D．
练习1．(2023·安徽安庆·八年级期末）四边形不具有稳定性，如图，矩形ABCD当改变内角大小就变成平行四边形ABC'D'，若∠D'AB=30°，则平行四边形ABC'D'的面积与矩形ABCD的面积之比是（ ）
A．B．C．D．1
练习2．(2023·浙江·杭州外国语学校八年级期末）如图，矩形中，，四边形是平行四边形，点在边上且，的面积是矩形面积的，则平行四边形的面积是（ ）
A．2B．3C．D．
练习3．(2023·全国·八年级）如图，在矩形中，，相交于点，若的面积是，则矩形的面积是（ ）
A．B．C．D．
◎考点5：利用矩形性质证明
例．(2023·陕西西安·九年级期中）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作，，分别交AB、CD、AD、BC于E、F、G、H，连接PB．若，．则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4B．8C．12D．24
练习1．(2023·河北·石家庄市第二十八中学二模）如图，证明矩形的对角线相等．
已知：四边形是矩形．
求证：．以下是排乱的证明过程：
①，，
②四边形是矩形，
③，
④，
⑤
证明步骤正确的顺序是（ ）
A．③①②⑤④B．②①③⑤④C．②⑤③①④D．③⑤②①④
练习2．(2023·甘肃酒泉·七年级期末）如图①，在矩形中，动点从点出发，沿，，运动至点停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图②所示，则的面积是（ ）
图① 图②
A．B．C．D．
练习3．(2023·江苏·镇江市外国语学校九年级阶段练习）如图，四边形是扇形的内接矩形，顶点P在弧上，且不与M，N重合，当P点在弧上移动时，矩形的形状、大小随之变化，则的长度（ ）
A．变大B．变小C．不变D．不能确定
◎考点6：求矩形在平面直角坐标系中的坐标
例．(2023·天津河西·八年级期末）在平面直角坐标系中，已知四边形是矩形，点，，，则这个矩形的面积为（ ）
A． B． C． D．
练习1．(2023·广东广州·八年级期末）如图，四边形OABC为矩形，点A的坐标为(0，2)，点C的坐标为(4，0)，若直线y=kx−k−1将矩形OABC分成面积相等的两部分，则k的值为（ ）
A．B．C．2D．
练习2．(2023·广东广州·八年级期末）长方形ABCD的三个顶点的坐标是A（1,1）、B（3,1）、C（3,5），那么D点坐标是（ ）
A．（1,3）B．（1,5）C．（5,3）D．（5,1）
练习3．(2023·全国·八年级专题练习）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其各顶点的坐标分别为，固定点并将此矩形按顺时针方向旋转，若旋转后点的对应点的坐标为，则旋转后点的对应点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
◎考点7：矩形与折叠问题
例．(2023·河南·驻马店市第二初级中学八年级期末）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF．若AB=4，BC=8，则D′F的长为（ ）
A．5B．4C．3D．2
练习1．(2023·山东青岛·九年级期末）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点M处，点C落在点N处，已知∠DMN=30°，连接BM，则∠AMB的度数为（ ）
A．60°B．75°C．80°D．85°
练习2．(2023·广东揭阳·七年级期末）如图，将一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠后，点C落在点E处，连接BE交AD于F，再将三角形DEF沿DF折叠后，点E落在点G处，若DG刚好平分∠ADB，那么∠ADB的度数是（ ）
A．18°B．20°C．36°D．45°
练习3．(2023·江苏苏州·八年级期中）如图，在矩形纸片中，，，点是边上的一点，将沿所在的直线折叠，使点落在上的点处，则的长是（ ）
A．2B．3C．4D．5
◎考点8：直角三角形斜边上的中线问题
例．(2023·重庆永川·八年级期末）如图，在中，，，AD平分交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则的周长为（ ）
A．12B．13C．14D．18
练习1．(2023·北京昌平·八年级期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，连接EO．若菱形的周长是40，则EO的长为（ ）．
A．10B．5C．2.5D．20
练习2．(2023·河南·郑州中学九年级期末）如图，在中，，，按以下步骤作图：分别以点B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN，与边AC，BC分别交于D，E两点，连接BD，AE，若，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
练习3．(2023·江苏无锡·八年级期末）如图，在中，∠ACB=90°，为的中点，点在上，且CE=AC，∠BAE=15°，则∠CDE的大小为（ ）
A．70°B．75°C．80°D．85°
©知识点二：矩形的判定
矩形的判定：
1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形；
2）对角线相等的平行四边形是矩形；
3）有三个角是直角的四边形是矩形。
矩形的面积公式： 面积=长×宽
◎考点9：判定定理的理解
例．(2023·上海市文来中学八年级期中）下列叙述中能判定四边形是矩形的个数是（ ）．
①对角线互相平分的四边形；②对角线相等的四边形；③对角线相等的平行四边形；④对角线互相平分且相等的四边形．
A．1个B．2个C．3个D．4个
练习1．(2023·北京·和平街第一中学八年级期中）数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组4位同学拟定的方案，其中正确的是( )
A．测量对角线是否互相平分B．测量一组对角是否都为直角
C．测量对角线长是否相等D．测量3个角是否为直角
练习2．(2023·河北保定·八年级期末）如图，将平行四边形的变成直角，则平行四边形变成（ ）
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形
练习3．(2023·湖南永州·八年级期末）在数学活动课上，老师和同学们判断一块地板砖上的四边形图案是否为矩形，下面是某学习小组的四位同学拟定的方案，其中正确的是（ ）
A测量对角线是否互相平分B测量两组对边是否相等C测量对角线是否相等 D测量对角线是否平分且相等
◎考点10：添加条件成为矩形
例．(2023·江苏·八年级专题练习）下列条件中，不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．∠A＝∠CB．∠A＝∠BC．AC＝BDD．AB⊥BC
练习1．(2023·湖南·通道侗族自治县教育科学研究室八年级期中）如图，四边形的对角线互相平分，以下添加的条件不能判定四边形是矩形的是（ ）
A． B． C． D．
练习2．(2023·江苏·常州实验初中八年级期中）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠BAD＝90°，BO＝DO，那么添加下列一个条件后，仍不能判定四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．OA＝OCB．AB＝CDC．∠BCD＝90°D．AD//BC
练习3．(2023·辽宁大连·八年级期中）的对角线AC，BD交于点O，添加下列条件，仍不能使它成为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
◎考点11：证明四边形是矩形
例．(2023·贵州铜仁·模拟预测）甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，一木工师傅要他们拿尺子帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测，你认为最有说服力的是（ ）
A．甲量得窗框的一组邻边相等 B．乙量得窗框两组对边分别相等
C．丙量得窗框的对角线长相等 D．丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线也相等
练习1．(2023·重庆市凤鸣山中学九年级阶段练习）下列命题正确的是（ ）
A．四条边都相等的四边形是正方形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
练习2．(2023·河北保定·九年级期末）如图是文易同学答的试卷，文易同学应得（ ）
A．40分B．60分C．80分D．100分
练习3．(2023·四川成都·九年级期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，两条对角线交于点O，下列条件中，不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．∠ABC＝∠BCDB．∠ABC＝∠ADCC．AO＝BOD．AO＝DO
©知识点三：矩形的判定与性质的综合
◎考点12：根据性质与判定求求角度
例．(2023·全国·八年级专题练习）如图，矩形中，交于点分别为的中点，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
练习1．(2023·全国·八年级专题练习）如图，在矩形中，、相交于点，平分交于点，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
练习2．(2023·河北承德·二模）如图，在中，对角线、相交于点，且，，则的度数为（ ）
A．35°B．40°C．45°D．55°
练习3．(2023·山东济南·七年级期末）如图，四边形ABCD为矩形，依据尺规作图的痕迹，∠α与∠β的度数之间的关系为( )
A．β= 180-αB．β=180°-C．β=90°-αD．β=90°-
◎考点13：根据性质与判定求线段长
例．(2023·浙江温州·八年级期中）如图，OA⊥OB，OB＝4，P是射线OA上一动点，连接BP，以B为直角顶点向上作等腰直角三角形，在OA上取一点D，使∠CDO＝45°，当P在射线OA上自O向A运动时，PD的长度的变化（ ）
A．一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．保持不变
练习1．(2023·宁夏银川二十四中八年级期末）如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点， F是AB上的一点， EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm．矩形ABCD的周长为32cm，则AE的长是（ ）
A．5 cmB．6cmC．7cmD．8cm
练习2．(2023·浙江台州·八年级期中）如图，在四边形ABCD中，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
练习3．(2023·广西·南宁三中九年级期中）将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G．若，，则（ ）
A．3B．4C．D．
◎考点14：根据性质与判定求面积
例．(2023·台湾·模拟预测）如图，矩形ABCD、中，A点在BE上若矩形ABCD的面积为20，的面积为24，则的面积为何？（ ）
A．10B．12C．14D．16
练习1．(2023·山东威海·中考真题）如图，在平行四边形中，，．连接AC，过点B作，交DC的延长线于点E，连接AE，交BC于点F．若，则四边形ABEC的面积为（ ）
A．B．C．6D．
练习2．(2023·江苏镇江·七年级期中）如图，长方形的长为6，宽为4，将这个长方形先向上平移2个单位，再向右平移2个单位，得到长方形 ，则阴影部分的面积是（ ）
A．12B．14C．16D．18
练习3．(2023·山西晋中·九年级期末）矩形中，点M在对角线上，过M作的平行线交于E，交于F，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．12B．10C．8D．6
专题17 矩形（知识点考点串编）
【思维导图】
©知识点一：矩形的性质
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
矩形的性质：
1）矩形具有平行四边形的所有性质；
2）矩形的四个角都是直角；
几何描述：∵四边形ABCD是矩形 ∴∠BAD=∠ADC=∠BCD=∠ABC=90°
3）对角线相等；
几何描述：∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD
推论：
1、在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半。
2、直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半。
4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形。矩形的对称中心是矩形对角线的交点；矩形有两条对称轴，矩形的对称轴是过矩形对边中点的直线；矩形的对称轴过矩形的对称中心。
◎考点1：矩形性质的理解
例．(2023·河南郑州·九年级期末）矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别相等B．两组对角分别相等C．两条对角线互相平分D．两条对角线相等
答案:D
解析：
分析：
根据矩形的性质和平行四边形的性质进行判断．
【详解】
解：A.两组对边分别相等是矩形和平行四边形都具有的性质，故不符合题意；
B.两组对角分别相等是矩形和平行四边形都具有的性质，故不符合题意；
C.两组对角线互相平分是矩形和平行四边形都具有的性质，故不符合题意；
D.两条对角线相等是矩形具有而平行四边形不具有的性质，故符合题意．
故选D
【点睛】
本题主要考查了矩形和平行四边形的性质，熟练掌握矩形和平行四边形的性质是解答本题的关键．
练习1．(2023·全国·八年级）如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）
A．2.5B．2C．D．
答案:D
解析：
分析：
利用矩形的性质，求证明，进而在中利用勾股定理求出的长度，弧长就是的长度，利用数轴上的点表示，求出弧与数轴交点表示的实数即可．
【详解】
解：四边形OABC是矩形，
，
在中，由勾股定理可知：，
，
弧长为，故在数轴上表示的数为，
故选：．
【点睛】
本题主要是考查了矩形的性质、勾股定理解三角形以及数轴上的点的表示，熟练利用矩形性质，得到直角三角形，然后通过勾股定理求边长，是解决该类问题的关键．
练习2．(2023·广东茂名·九年级期中）一个矩形的两条对角线的一个夹角为，对角线长为，则这个矩形较短边的长为（ ）
A．B．C．D．
答案:C
解析：
分析：
根据题意画出图，根据矩形的性质可得OA=OB=8cm，且∠AOB=60゜，从而可得△AOB为等边三角形，故可得AB的长度．
【详解】
如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD交于点O，且∠AOB=60゜
∵四边形ABCD是矩形
∴
∵∠AOB=60゜
∴△AOB为等边三角形
∴AB=OA=8cm
故选：C
【点睛】
本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，掌握这些知识是解题的关键．
练习3．(2023·重庆巴蜀中学九年级开学考试）关于矩形的性质，以下说法不正确的是（ ）
A．对边平行且相等B．对角线相等C．对角线互相垂直D．是轴对称图形
答案:C
解析：
分析：
根据矩形的性质逐项分析即可．
【详解】
矩形是特殊的平行四边形，矩形的对边平行且相等，对角线相等，是轴对称图形，故A,B,D选项正确，不符合题意，
对角线互相垂直是菱形的性质，故C不正确，符合题意．
故选C．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．
◎考点2：利用性质求角度
例．(2023·河南·登封市嵩阳中学九年级阶段练习）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE的度数为( )
A．20°B．22.5°C．27.5°D．30°
答案:B
解析：
分析：
根据矩形的性质可证明，再由三角形外角性质可证明出，即得出，根据题意即可知是等腰直角三角形，得出，从而求出，最后即可求出的大小．
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴．
∵，即，
∴，
∴．
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查矩形的性质，三角形外角性质，等腰直角三角形的判定和性质．熟练掌握各知识点并利用数形结合的思想是解答本题的关键．
练习1．(2023·广东佛山·九年级阶段练习）如图，矩形ABCD中，连接AC，延长BC至点E，使BE＝AC，连接DE．若∠E＝70°，则∠BAC的度数是（ ）
A．40°B．45°C．50°D．60°
答案:C
解析：
分析：
连接BD，交AC于O，由矩形的性质得∠ABC＝90°，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝DB，则OA＝OB，得∠BAC＝∠OBA，再证BE＝BD，由等腰三角形的性质得∠BDE＝∠E＝70°，则∠DBE＝50°，即可求解．
【详解】
解：连接BD，交AC于O，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝DB，
∴OA＝OB，
∴∠BAC＝∠OBA，
∵BE＝AC，
∴BE＝BD，
∴∠BDE＝∠E＝70°，
∴∠DBE＝180°−70°−70°＝40°，
∴∠BAC＝∠OBA＝90°−40°＝50°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质，求出∠DBE的度数是解题的关键．
练习2．(2023·浙江温州·八年级期末）如图，矩形中，对角线与相交于点，于点，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
答案:D
解析：
分析：
根据矩形的性质得到∠OAB=∠OBA，再根据∠BAE=2∠OAE，结合垂线的定义得到2∠OAE+3∠OAE=90°，解之可得∠OAE，从而求出∠AOB．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵∠BAE=2∠OAE，
∴∠OBA=∠OAB=3∠OAE，
∵AE⊥OB，
∴∠BAE+∠OBA=90°，
∴2∠OAE+3∠OAE=90°，
解得：∠OAE=18°，
∴∠AOB=90°-18°=72°，
故选D．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，三角形内角和，等边对等角等知识，利用矩形的性质得到∠OBA=∠OAB是解题的关键．
练习3(2023·山东临沂·八年级期末）如图，矩形ABCD中，连接AC，延长BC至点E，使BE＝AC，连接DE．若∠E＝65°，则∠BAC的度数是（ ）
A．40°B．50°C．60°D．65°
答案:A
解析：
分析：
连接BD，交AC于O，由矩形的性质得∠ABC＝90°，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝DB，则OA＝OB，得∠BAC＝∠OBA，再证BE＝BD，由等腰三角形的性质得∠BDE＝∠E＝65°，则∠DBE＝50°，即可求解．
【详解】
解：连接BD，交AC于O，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝DB，
∴OA＝OB，
∴∠BAC＝∠OBA，
∵BE＝AC，
∴BE＝BD，
∴∠BDE＝∠E＝65°，
∴∠DBE＝180°−65°−65°＝50°，
∴∠BAC＝∠OBA＝90°−50°＝40°，
故选：A．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质，求出∠DBE＝50°是解题的关键．
◎考点3：利用性质与判定求线段长
例．(2023·四川·成都绵实外国语学校九年级期中）如图，矩形ABCD的周长是28，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，AC＝10，则△DOE的周长是（ ）
A．12B．13C．14D．15
答案:A
解析：
分析：
先求解再证明再利用三角形的周长公式即可得到答案.
【详解】
解： 矩形ABCD的周长是28，
为CD的中点，
故选A
【点睛】
本题考查的是矩形的性质，三角形的中位线的性质，掌握“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边”是解题的关键.
练习1．(2023·福建三明·九年级期中）如图，矩形ABCD 的对角线AC与BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=3，则OC等于（ ）
A．3B．3.5C．4D．5
答案:A
解析：
分析：
由矩形的性质得出OA=OB，由已知条件证出△AOB是等边三角形，得出OA=AB=3，得出OA=OC=3即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=AC，OB=BD，AC=BD，
∴OA=OB，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=AB=3，
∴OA=OC=3；
故选：A．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证是解题的关键．
练习2．(2023·辽宁·沈阳市培英中学九年级阶段练习）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．若AD＝6，AE⊥BD于点E，且DE＝3BE．则AE＝（ ）
A．2B．3C．3D．4
答案:C
解析：
分析：
根据矩形的性质可得，，进而可得，根据，可得为等边三角形，进而即可求得，根据含30度角的直角三角形的性质，可得，即可求得的长．
【详解】
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
．
故选D．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质与判定，矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边对等角，求得为等边三角形是解题的关键．
练习3．(2023·河北保定·八年级期末）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AC＝4，则BC的长是（ ）
A．2B．3C．2D．3
答案:C
解析：
分析：
由矩形的性质可得，由题意可得为等边三角形，再由勾股定理即可求解．
【详解】
解：在矩形ABCD中，，
∵∠AOB＝60°
∴为等边三角形
∴
在中，
故选C
【点睛】
此题考查了矩形的性质，等边三角形的判定以及勾股定理，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
◎考点4：利用性质与判定求面积
例．(2023·山东·日照市岚山区教学研究室八年级期末）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，夹角∠AOB=60°，已知AB=1，则△ABD的面积是（ ）
A．1B．2C．D．
答案:C
解析：
分析：
根据矩形的性质可知，，，，含30°的直角三角形中，，计算求解即可．
【详解】
解：由题意知，
∵∠AOB=60°
∴△AOB是等边三角形
∴
∴
∴
∴
∴
故选C．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，含30°的直角三角形，等边三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用．
练习1．(2023·安徽安庆·八年级期末）四边形不具有稳定性，如图，矩形ABCD当改变内角大小就变成平行四边形ABC'D'，若∠D'AB=30°，则平行四边形ABC'D'的面积与矩形ABCD的面积之比是（ ）
A．B．C．D．1
答案:A
解析：
分析：
过D'点作D'E⊥AB，垂足为E，由含30°角的直角三角形的性质可得AD'=2D'E，根据正方形及旋转的性质可得AB=AD'=2D'E，再利用正方形及平行四边形的面积公式可求解．
【详解】
解：过D'点作D'E⊥AB，垂足为E，
∵∠D'AE=30°，
∴AD'=2D'E，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB，
由旋转可知：AD'=AD，
∴AB=AD'=2D'E，
∵S正方形ABCD=AB•AD，S平行四边形ABC′D′=AB•D'E．
∴平行四边形ABC'D'的面积与矩形ABCD的面积之比是，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质，平行四边形的性质，旋转的性质，含30°角的直角三角形，利用含30°角的直角三角形的性质求得AD'=2D'E是解题的关键．
练习2．(2023·浙江·杭州外国语学校八年级期末）如图，矩形中，，四边形是平行四边形，点在边上且，的面积是矩形面积的，则平行四边形的面积是（ ）
A．2B．3C．D．
答案:C
解析：
分析：
根据三角形与矩形的面积关系得出BD1与AD1的数量关系，然后结合勾股定理列方程求解．
【详解】
解：∵点D1在BC边上，且△ABD1的面积是矩形ABCD面积的，
∴AB•BD1＝AB•AD，
∴BD1＝AD，
又∵AD1＝AD，
∴BD1＝AD1，
设BD1＝2x，则AD1＝3x，
在Rt△ABD1中，BD12＋AB2＝AD12，
∴（2x）2＋（）2＝（3x）2，
解得：x＝±1（负值舍去），
∴BD1＝2，AD1＝3，
∵点D1在BC边上，
∴平行四边形ABC1D1的面积＝2S△ABD1＝2×××2＝2，
故选：C．
【点睛】
本题考查矩形的性质，平行四边形的性质以及勾股定理解直角三角形，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．
练习3．(2023·全国·八年级）如图，在矩形中，，相交于点，若的面积是，则矩形的面积是（ ）
A．B．C．D．
答案:C
解析：
分析：
根据矩形的性质可知矩形的面积，又可知，进而可得矩形的面积．
【详解】
四边形是矩形，
，，
，
，矩形，
的面积是．
矩形的面积．
故选C．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．
◎考点5：利用矩形性质证明
例．(2023·陕西西安·九年级期中）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作，，分别交AB、CD、AD、BC于E、F、G、H，连接PB．若，．则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4B．8C．12D．24
答案:C
解析：
分析：
连接PD，根据，，推出四边形AEPG、四边形BEPH、四边形PFCH、四边形DFPG都是矩形，得到，由矩形的性质求出答案．
【详解】
解：连接PD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴， ，
∵，，
∴四边形AEPG、四边形BEPH、四边形PFCH、四边形DFPG都是矩形，
∴，GP=，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】
此题考查矩形的判定及性质，熟记矩形的判定定理并熟练应用是解题的关键．
练习1．(2023·河北·石家庄市第二十八中学二模）如图，证明矩形的对角线相等．
已知：四边形是矩形．
求证：．以下是排乱的证明过程：
①，，
②四边形是矩形，
③，
④，
⑤
证明步骤正确的顺序是（ ）
A．③①②⑤④B．②①③⑤④C．②⑤③①④D．③⑤②①④
答案:B
解析：
分析：
根据SAS定理证明三角形全等，进而得出对应边相等.
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形
∴AB=CD、∠ABC=∠DCB
∵BC=CB
∴ΔABC≌ΔDCB
∴AC=DB
所以正确顺序为②①③⑤④．
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的证明，矩形的性质．理清证明过程是排序的关键．
练习2．(2023·甘肃酒泉·七年级期末）如图①，在矩形中，动点从点出发，沿，，运动至点停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图②所示，则的面积是（ ）
图① 图②
A．B．C．D．
答案:C
解析：
分析：
由图①易知：当点P在CD上运动时，的值不变，结合图②从而求出BC和CD的长，然后根据矩形的性质求出AB，即可求出结论．
【详解】
解：由图①易知：当点P在CD上运动时，的值不变，再由②可知：BC=4，CD=9－4=5
∵四边形是矩形
∴AB=CD=5，∠ABC=90°
∴的面积为AB·BC=10
故选C．
【点睛】
此题考查的是函数图象与几何图形，掌握函数图象与几何图形中长度的对应关系是解决此题的关键．
练习3．(2023·江苏·镇江市外国语学校九年级阶段练习）如图，四边形是扇形的内接矩形，顶点P在弧上，且不与M，N重合，当P点在弧上移动时，矩形的形状、大小随之变化，则的长度（ ）
A．变大B．变小C．不变D．不能确定
答案:C
解析：
分析：
四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，根据矩形的性质AB=OP=半径，所以AB长度不变．
【详解】
解：∵四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，
∴AB=OP=半径，
当P点在弧MN上移动时，半径一定，所以AB长度不变，
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆的认识，矩形的性质，用到的知识点为：矩形的对角线相等；圆的半径相等．
◎考点6：求矩形在平面直角坐标系中的坐标
例．(2023·天津河西·八年级期末）在平面直角坐标系中，已知四边形是矩形，点，，，则这个矩形的面积为（ ）
A． B． C． D．
答案:A
解析：
分析：
在平面直角坐标系中画出三个已知点的位置，然后根据矩形性质求得、的长，最后即可求解面积．
【详解】
在平面直角坐标系中作出三个点，如下图所示，
，
根据矩形的性质得到点的位置，
∴，，
∴，
故选A．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，和平面直角坐标系，关键是在平面直角坐标系中画出已知点的位置．
练习1．(2023·广东广州·八年级期末）如图，四边形OABC为矩形，点A的坐标为(0，2)，点C的坐标为(4，0)，若直线y=kx−k−1将矩形OABC分成面积相等的两部分，则k的值为（ ）
A．B．C．2D．
答案:C
解析：
分析：
由条件可先求得矩形OABC的中心坐标，再由直线分矩形面积相等的两部分可知直线过矩形的中心，代入可求得k的值．
【详解】
解：如图，连接OB、AC交于点D，
∵四边形OABC为矩形，点A的坐标为(0，2)，点C的坐标为(4，0)，
∴点D的坐标为（2，1），
∵直线y=kx−k−1（k是常数）将四边形OABC分成面积相等的两部分，
∴直线过点D，
则2k-k-1=1，
解得：k=2，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查矩形的性质，掌握过矩形中心的直线平分矩形面积是解题的关键．
练习2．(2023·广东广州·八年级期末）长方形ABCD的三个顶点的坐标是A（1,1）、B（3,1）、C（3,5），那么D点坐标是（ ）
A．（1,3）B．（1,5）C．（5,3）D．（5,1）
答案:B
解析：
【详解】
试题分析：由题意可知BC ∥AD∥y轴，所以点D的横坐标等于A的横坐标是1，纵坐标与C点的纵坐标相同都是5，所以D点坐标是（1,5）.
所以选B.
考点：直角坐标系中的坐标、长方形的性质.
练习3．(2023·全国·八年级专题练习）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其各顶点的坐标分别为，固定点并将此矩形按顺时针方向旋转，若旋转后点的对应点的坐标为，则旋转后点的对应点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
答案:A
解析：
分析：
根据旋转的性质，画出图形，即可得到答案.
【详解】
解：由图可知，
由旋转后点的对应点的坐标为，旋转后点的对应点在轴上，
∵，
∴旋转后点的对应点D＇的坐标为．
故选A．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转过后点坐标的变化.
◎考点7：矩形与折叠问题
例．(2023·河南·驻马店市第二初级中学八年级期末）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF．若AB=4，BC=8，则D′F的长为（ ）
A．5B．4C．3D．2
答案:C
解析：
分析：
由折叠的性质得出AF=AE=CE，设AF=AE=CE=x，则BE=8-x，在Rt△ABE中，由勾股定理得出方程，解方程得出AF=5，在Rt△AFD'中，由勾股定理即可得出结果．
【详解】
解：∵四边形ABCD是长方形，
∴∠B=∠D=90°，CD=AB=4，AD∥BC，
∴∠AFE=∠CEF，
由折叠的性质得：∠AEF=∠CEF，AE=CE，∠D'=∠D=90°，AD'=CD=4，
∴∠AFE=∠AEF，
∴AF=AE=CE，
设AF=AE=CE=x，则BE=8-x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+BE2=AE2，
即42+（8-x）2=x2，
解得：x=5，
∴AF=5，
在Rt△AFD'中，由勾股定理得：D'F==3；
故选：C．
【点睛】
本题考查了折叠的性质、矩形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
练习1．(2023·山东青岛·九年级期末）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点M处，点C落在点N处，已知∠DMN=30°，连接BM，则∠AMB的度数为（ ）
A．60°B．75°C．80°D．85°
答案:B
解析：
分析：
由四边形ABCD是矩形，得∠A=∠ABC=90°，根据矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点M处，点C落在点N处，得∠NME=∠ABC=90°，ME=BE，而∠DMN=30°，即知∠AME=60°，∠AEM=30°，即∠EMB+∠EBM=30°，可得∠EMB=∠EBM=15°，故∠AMB=∠AME+∠EMB=75°．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=90°，
∵矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点M处，点C落在点N处，
∴∠NME=∠ABC=90°，ME=BE，
∵∠DMN=30°，
∴∠AME=180°-∠NME-∠DMN=60°，
∴∠AEM=90°-∠AME=30°，
∴∠EMB+∠EBM=30°，
∵ME=BE，
∴∠EMB=∠EBM=15°，
∴∠AMB=∠AME+∠EMB=75°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了矩形中的折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质：折叠前后能够重合的线段相等、能够重合的角相等．
练习2．(2023·广东揭阳·七年级期末）如图，将一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠后，点C落在点E处，连接BE交AD于F，再将三角形DEF沿DF折叠后，点E落在点G处，若DG刚好平分∠ADB，那么∠ADB的度数是（ ）
A．18°B．20°C．36°D．45°
答案:C
解析：
分析：
根据折叠的性质可得∠BDC=∠BDE，∠EDF=∠GDF，由角平分线的定义可得∠BDA=∠GDF+∠BDG=2∠GDF，然后根据矩形的性质及角的运算可得答案．
【详解】
解：由折叠可知，∠BDC=∠BDE，∠EDF=∠GDF，
∵DG平分∠ADB，
∴∠BDG=∠GDF，
∴∠EDF=∠BDG，
∴∠BDE=∠EDF+∠GDF+∠BDG=3∠GDF，
∴∠BDC=∠BDE=3∠GDF，
∠BDA=∠GDF+∠BDG=2∠GDF，
∵∠BDC+∠BDA=90°=3∠GDF+2∠GDF=5∠GDF，
∴∠GDF=90°5=18°，
∴∠ADB=2∠GDF=2×18°=36°．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是矩形与折叠，正确掌握折叠的性质是解决此题的关键．
练习3．(2023·江苏苏州·八年级期中）如图，在矩形纸片中，，，点是边上的一点，将沿所在的直线折叠，使点落在上的点处，则的长是（ ）
A．2B．3C．4D．5
答案:B
解析：
分析：
根据折叠的性质可得 ，再由矩形的性质可得 ，从而得到 ，然后设 ，则 ，在 中，由勾股定理，即可求解．
【详解】
解：根据题意得： ，
在矩形纸片中， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，解得： ，
即 ．
故选：B
【点睛】
本题主要考查了矩形与折叠，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，折叠图形的性质是解题的关键．
◎考点8：直角三角形斜边上的中线问题
例．(2023·重庆永川·八年级期末）如图，在中，，，AD平分交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则的周长为（ ）
A．12B．13C．14D．18
答案:C
解析：
分析：
根据AB＝AC，可知△ABC为等腰三角形，由等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，AD为△ABC的中线，故CD＝BC，∠ADC＝90°，又因为点E为AC的中点，可得DE＝AC，从而可以得到△CDE的周长．
【详解】
解：∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
又∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，AD是△ABC的中线，
∴∠ADC＝90°，CD＝BC=4，
∵点E为AC的中点，
∴DE=CE＝AC=5，
∴△CDE的周长为：DE＋EC＋CD＝5＋5＋4＝14．
故选：C．
【点睛】
本题考查三角形的周长，等腰三角形的相关性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键是正确分析题目，从中得出需要的信息．
练习1．(2023·北京昌平·八年级期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，连接EO．若菱形的周长是40，则EO的长为（ ）．
A．10B．5C．2.5D．20
答案:B
解析：
分析：
由题意易得AO⊥BD，AB=10，然后根据直角三角形斜边中线定理可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，且周长为40，
∴AO⊥BD，AB=BC=CD=AD=10，
∵E是AB的中点，
∴；
故选B．
【点睛】
本题主要考查菱形的性质及直角三角形斜边中线定理，熟练掌握菱形的性质及直角三角形斜边中线定理是解题的关键．
练习2．(2023·河南·郑州中学九年级期末）如图，在中，，，按以下步骤作图：分别以点B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN，与边AC，BC分别交于D，E两点，连接BD，AE，若，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
答案:C
解析：
分析：
根据作图可知为的垂直平分线，进而可得，，根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得进而即可求得的周长．
【详解】
解：∵为的垂直平分线，
∴，，
，，
，
在中，
,
的周长为
故选C
【点睛】
本题考查了作垂直平分线，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
练习3．(2023·江苏无锡·八年级期末）如图，在中，∠ACB=90°，为的中点，点在上，且CE=AC，∠BAE=15°，则∠CDE的大小为（ ）
A．70°B．75°C．80°D．85°
答案:B
解析：
分析：
根据等腰直角三角形的性质得到∠CAE=∠AEC=45°，求得∠CAB=60°，得到∠B=30°，根据直角三角形的性质得到CD=BD=AD=AB，得到△ADC是等边三角形，∠DCB=∠B=30°，于是得到结论．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，CE=AC，
∴∠CAE=∠AEC=45°，
∵∠BAE=15°，
∴∠CAB=60°，
∴∠B=30°，
∵∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴CD=BD=AD=AB，
∴△ADC是等边三角形，∠DCB=∠B=30°，
∴AC=DC=CE，
∴∠CDE=∠CED=×（180°-30°）=75°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
©知识点二：矩形的判定
矩形的判定：
1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形；
2）对角线相等的平行四边形是矩形；
3）有三个角是直角的四边形是矩形。
矩形的面积公式： 面积=长×宽
◎考点9：判定定理的理解
例．(2023·上海市文来中学八年级期中）下列叙述中能判定四边形是矩形的个数是（ ）．
①对角线互相平分的四边形；
②对角线相等的四边形；
③对角线相等的平行四边形；
④对角线互相平分且相等的四边形．
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案:B
解析：
分析：
根据矩形的判定定理逐项进行判断即可．
【详解】
解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，故①不符合题意；
②对角线相等的四边形可以是等腰梯形，故②不符合题意；
③对角线相等的平行四边形是矩形，故③符合题意；
④对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故④符合题意．
∴正确的是③④．
故选B．
【点睛】
本题考查了矩形的判定，解题关键是熟记矩形的判定定理，准确进行判断．
练习1．(2023·北京·和平街第一中学八年级期中）数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组4位同学拟定的方案，其中正确的是( )
A．测量对角线是否互相平分B．测量一组对角是否都为直角
C．测量对角线长是否相等D．测量3个角是否为直角
答案:D
解析：
分析：
矩形的判定方法有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；由矩形的判定方法即可求解．
【详解】
解：A、对角线是否互相平分，能判定是否是平行四边形，故不符合题意；
B、测量一组对角是否都为直角，不能判定形状，故不符合题意；
C、测量对角线长是否相等，不能判定形状，故不符合题意；
D、测量3个角是否为直角，若四边形中三个角都为直角，能判定矩形，故符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查的是矩形的判定、平行四边形的判定等知识；熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
练习2．(2023·河北保定·八年级期末）如图，将平行四边形的变成直角，则平行四边形变成（ ）
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形
答案:B
解析：
分析：
根据矩形的判定条件：有一个角是直角的平行四边形是矩形，进行求解即可．
【详解】
解：∵平行四边形ABCD中，∠ABC变成直角，
∴四边形ABCD是矩形，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了矩形的判定条件，解题的关键在于能够熟练掌握矩形的判定条件．
练习3．(2023·湖南永州·八年级期末）在数学活动课上，老师和同学们判断一块地板砖上的四边形图案是否为矩形，下面是某学习小组的四位同学拟定的方案，其中正确的是（ ）
A测量对角线是否互相平分B测量两组对边是否相等C测量对角线是否相等 D测量对角线是否平分且相等
答案:D
解析：
分析：
由矩形的判定定理和平行四边形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可．
【详解】
解：A、测量对角线是否互相平分，能判定平行四边形，不能判定矩形，故选项A不符合题意；
B、测量两组对边是否相等，能判定平行四边形，不能判定矩形，故选项B不符合题意；
C、测量对角线是否相等，不能判定平行四边形，也不能判定矩形，故选项C不符合题意；
D、测量对角线是否平分且相等，能判定矩形；
故选：D．
【点睛】
本题考查的是矩形的判定、平行四边形的判定与性质；熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
◎考点10：添加条件成为矩形
例．(2023·江苏·八年级专题练习）下列条件中，不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．∠A＝∠CB．∠A＝∠BC．AC＝BDD．AB⊥BC
答案:A
解析：
分析：
由矩形的判定方法分别对各个选项进行判断，即可得出结论．
【详解】
解：A、在▱ABCD，若∠A=∠C，
则四边形ABCD还是平行四边形；故选项A符合题意；
B、在▱ABCD中，AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A=∠B，
∴∠A=∠B=90°，
∴▱ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、在▱ABCD中，AC=BD，
则▱ABCD是矩形；故选项C不符合题意；
D、在▱ABCD中，AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴▱ABCD是矩形，故选项D不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了矩形的判定以及平行四边形的性质；熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键．
练习1．(2023·湖南·通道侗族自治县教育科学研究室八年级期中）如图，四边形的对角线互相平分，以下添加的条件不能判定四边形是矩形的是（ ）
A． B． C． D．
答案:C
解析：
分析：
先确定四边形ABCD为平行四边形，添加的条件，可得AO=CO=BO=DO，可证AC=2AO=BD，故能判定选项A；添加的条件，由四边形ABCD为平行四边形，可得∠ABC+∠BCD=180°，可求=90°，故能判定选项B；添加的条件，由四边形ABCD为平行四边形，可得四边形ABCD为菱形，故不能判定选项C；添加的条件，由四边形ABCD为平行四边形，可得四边形ABCD为矩形，故能判定选项D ．
【详解】
解：四边形的对角线相交于O，
∵四边形的对角线互相平分，
∴AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD为平行四边形，
A选项添加的条件，
∴AO=CO=BO=DO，
∴AC=2AO=BD，
∴四边形ABCD为矩形，
故选项A能判定；
B选项添加的条件，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴=90°，
∴四边形ABCD为矩形，
故选项B能判定；
C选项添加的条件，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD为菱形，
故选项C不能判定；
D添加的条件，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD为矩形，
故选项D能判定．
故选C．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定，通过添加条形判定四边形ABCD为矩形，掌握平行四边形的判定，矩形的判定方法是解题关键．
练习2．(2023·江苏·常州实验初中八年级期中）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠BAD＝90°，BO＝DO，那么添加下列一个条件后，仍不能判定四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．OA＝OCB．AB＝CDC．∠BCD＝90°D．AD//BC
答案:B
解析：
分析：
根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形分别进行分析即可．
【详解】
解：A、∵∠BAD＝90°，BO＝DO，
∴OA＝OB＝OD，
∵AO＝OC，
∴AO＝OB＝OD＝OC，
即对角线平分且相等，
∴四边形ABCD为矩形，不符合题意；
B、∵∠BAD＝90°，BO＝DO，AB＝CD，
无法得出△ABO≌△DCO，
故无法得出四边形ABCD是平行四边形，
进而无法得出四边形ABCD是矩形，符合题意；
C、∵∠BAD＝90°，BO＝DO，
∴OA＝OB＝OD，
∵∠BCD＝90°，
∴AO＝OB＝OD＝OC，
即对角线平分且相等，
∴四边形ABCD为矩形，不符合题意；
D、∵AD//BC，∠BAD＝90°,BO＝DO，
∴∠CBO＝∠ADO，
∵∠COB＝∠DOA，
∴△AOD≌△BOC（ASA），
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠BAD＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，不符合题意；
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了矩形的判定，关键是熟练掌握矩形的判定定理．
练习3．(2023·辽宁大连·八年级期中）的对角线AC，BD交于点O，添加下列条件，仍不能使它成为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
答案:C
解析：
分析：
根据矩形的判定条件进行逐一判断求解即可.
【详解】
解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD=90°，∴四边形ABCD是矩形，故此选项不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，故此选项不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，无法判断是否为矩形，故此选项符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴四边形ABCD是矩形，故此选项不符合题意；
故选C.
【点睛】
本题主要考查了矩形的判定条件，解题的关键在于能够熟练掌握矩形的判定条件.
◎考点11：证明四边形是矩形
例．(2023·贵州铜仁·模拟预测）甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，一木工师傅要他们拿尺子帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测，你认为最有说服力的是（ ）
A．甲量得窗框的一组邻边相等 B．乙量得窗框两组对边分别相等
C．丙量得窗框的对角线长相等 D．丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线也相等
答案:D
解析：
分析：
根据矩形的判断定理：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
【详解】
解：A，只是一组邻边相等的四边形不能判断是矩形，故甲的判断不准确；
B，两组对边分别相等可以是平行四边形，菱形，矩形，正方形；故乙的判断不准确；
C，对角线长相等可以是等腰梯形，矩形，正方形；故丙的判断不准确；
D，两组对边分别相等是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，正方形；故丁的判断最有说服力；
故选：D
【点睛】
本题主要考查矩形的特征，掌握常见四边形如：平行四边形，菱形，矩形，等腰梯形，正方形的特征和区别是解题关键 ．
练习1．(2023·重庆市凤鸣山中学九年级阶段练习）下列命题正确的是（ ）
A．四条边都相等的四边形是正方形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
答案:C
解析：
分析：
利用平行四边形及特殊的平行四边形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
解：A、四条边都相等的四边形是菱形，故原命题错误，不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，不符合题意；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确，符合题意；
D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故原命题错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形及特殊的平行四边形的判定方法，难度不大．
练习2．(2023·河北保定·九年级期末）如图是文易同学答的试卷，文易同学应得（ ）
A．40分B．60分C．80分D．100分
答案:C
解析：
分析：
（1）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形判断即可；
（2）根据对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形判断即可；
（3）根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可；
（4）根据菱形的对角线互相垂直平分判断即可；
（5）根据矩形是中心对称图形，对角线相等且交点是对称中心判断即可．
【详解】
解：（1）∵AC、BD是对角线，且，
∴是菱形，
∴（1）判断正确；
（2）∵AC、BD是对角线，，
∴是菱形，
∵，
∴是正方形，
∴（2）判断正确；
（3）∵AC、BD是对角线，且，
∴是矩形，
∴（3）判断正确；
（4）菱形的对角线互相垂直，但不一定相等，
∴（4）判断错误；
（5）矩形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心，
∴对称中心到四个顶点的距离相等，
∴（5）判断正确；
∴只有第（4）题做错，
∴得分为80分，
故选：C．
【点睛】
本题考查特殊四边形的判定与性质，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题的关键．
练习3．(2023·四川成都·九年级期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，两条对角线交于点O，下列条件中，不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．∠ABC＝∠BCDB．∠ABC＝∠ADCC．AO＝BOD．AO＝DO
答案:B
解析：
分析：
利用矩形的判定、平行四边形的性质对各个选项进行逐一判断即可．
【详解】
解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC＝∠BCD，
∴∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD为矩形，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC，
∴不能判定平行四边形ABCD为矩形，故选项B符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD，
∵AO＝BO，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD为矩形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD，
∵AO＝DO，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD为矩形，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质和判定，矩形的判定，能熟练掌握和运用矩形的判定定理是解决本题的关键．
©知识点三：矩形的判定与性质的综合
◎考点12：根据性质与判定求求角度
例．(2023·全国·八年级专题练习）如图，矩形中，交于点分别为的中点，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
答案:A
解析：
分析：
根据三角形中位线的性质可求出OD的长，根据矩形的性质可得AC的长，根据直角三角形的性质即可得答案.
【详解】
∵E、F分别为AO、AD的中点，
∴EF是△AOD的中位线，
∴OD=2EF=2×4=8，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD=OA=OC=8，即：AC=16，
∵AB=8，
∴AC=2AB，
∵∠ABC=90°，
∴∠ACB=30°．
故选A．
【点睛】
本题主要考查矩形的性质和直角三角形的性质以及中位线的性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；掌握矩形的对角线互相平分且相等是解题的关键．
练习1．(2023·全国·八年级专题练习）如图，在矩形中，、相交于点，平分交于点，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
答案:B
解析：
分析：
由题意根据矩形的性质及AE平分∠BAD分别判定BE=BA及△OAB为等边三角形，进一步推出∠BOE=∠BEO，然后求得∠OBE=30°，则可在△BOE中求得∠BOE的度数．
【详解】
解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD=45°，AD∥BC，OA=OB，
∴∠AEB=∠EAD=45°，
∴BE=BA．
∵∠CAE=15°，∠BAE=45°，
∴∠BAC=60°，
又∵OA=OB，
∴△OAB为等边三角形，
∴BO=BA，
∴BO=BE，
∴∠BOE=∠BEO，
∵△OAB为等边三角形，
∴∠ABO=60°，
∴∠OBE=90°-60°=30°，
∴∠BOE=（180°-30°）÷2=75°．
故选：B．
【点睛】
本题考查矩形的性质和等边三角形和等腰三角形的判定及三角形的内角和等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
练习2．(2023·河北承德·二模）如图，在中，对角线、相交于点，且，，则的度数为（ ）
A．35°B．40°C．45°D．55°
答案:A
解析：
分析：
由在中，对角线、相交于点，且可推出是矩形，可得∠DAB=90°进而可以计算的度数.
【详解】
解：在中
∵
∴AC=BD
∵在中， AC=BD
∴是矩形
所以∠DAB=90°
∵
∴
故选A
【点睛】
本题考查的是矩形的判定和性质.掌握是矩形的判定和性质是解题的关键.
练习3．(2023·山东济南·七年级期末）如图，四边形ABCD为矩形，依据尺规作图的痕迹，∠α与∠β的度数之间的关系为( )
A．β= 180-αB．β=180°-C．β=90°-αD．β=90°-
答案:D
解析：
分析：
如图，根据题意得∠DAC=∠α，∠EAO=∠α，∠AEO=∠β,∠EOA=90°，再根据三角形内角和定理可得β=90°-.
【详解】
如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠α
由作图痕迹可得AE平分∠DAC，EO⊥AC
∴∠EAO=∠α， ∠EOA=90°
又∠AEO=∠β，
∠EAO+∠AOE+∠AEO=180°，
∴∠α+∠β+90°=180°，
∴β=90°-
故选D.
【点睛】
本题考查了矩形的性质，角平分线以及线段垂直平分线的性质，熟练掌握和运用相关的知识是解题的关键.
◎考点13：根据性质与判定求线段长
例．(2023·浙江温州·八年级期中）如图，OA⊥OB，OB＝4，P是射线OA上一动点，连接BP，以B为直角顶点向上作等腰直角三角形，在OA上取一点D，使∠CDO＝45°，当P在射线OA上自O向A运动时，PD的长度的变化（ ）
A．一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．保持不变
答案:D
解析：
分析：
过点作于，于，先根据矩形的判定与性质可得，再根据三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据等腰直角三角形的判定与性质可得，最后根据线段的和差、等量代换即可得出结论．
【详解】
解：如图，过点作于，于，
则四边形是矩形，
，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴的长度保持不变，
故选：D．
【点睛】
本题考查了矩形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造矩形和全等三角形是解题关键．
练习1．(2023·宁夏银川二十四中八年级期末）如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点， F是AB上的一点， EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm．矩形ABCD的周长为32cm，则AE的长是（ ）
A．5 cmB．6cmC．7cmD．8cm
答案:B
解析：
分析：
先证∠AEF=∠ECD，再证Rt△AEF≌Rt△DCE，然后结合题目中已知的线段关系求解．
【详解】
解：在Rt△AEF和Rt△DEC中，EF⊥CE．
∴∠FEC=90°．
∴∠AEF+∠DEC=90°．
而∠ECD+∠DEC=90°．
∴∠AEF=∠ECD，
在△AEF与△DCE中，
，
∴△AEF≌△DCE（AAS）．
∴AE=CD，
AD=AE+4．
∵矩形ABCD的周长为32cm．
∴2（AE+ED+DC）=32，即2（2AE+4）=32，
整理得：2AE+4=16
解得：AE=6（cm）．
故选择：B
【点睛】
本题综合考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
练习2．(2023·浙江台州·八年级期中）如图，在四边形ABCD中，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
答案:A
解析：
分析：
作DE⊥AB于E，CF⊥DE于F，根据含30度直角三角形的性质求出DE，根据矩形的性质求出EF，得到DF的长，进而求出CD即可．
【详解】
解：作DE⊥AB于E，CF⊥DE于F，
∵∠AED=90°，∠A=30°，
∴DE=AD=2，
∵∠BED=90°，∠B=90°，∠CFE=90°，
∴四边形BCFE为矩形，
∴EF=BC=1，
∴DF=DE-EF=1，
∵∠ADC=120°，∠ADE=60°，
∴∠CDF=120°-60°=60°，
在Rt△CFD中，∠DCF=30°，
∴CD=2DF=2，
故选：A．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质，矩形的判定和性质，掌握在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
练习3．(2023·广西·南宁三中九年级期中）将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G．若，，则（ ）
A．3B．4C．D．
答案:D
解析：
分析：
过点作于，交于点，先根据正方形的性质和矩形的判定与性质可得，再结合折叠性质可证得，由此可得，再利用勾股定理即可求得答案．
【详解】
解：如图，过点作于，交于点，
则，
∵四边形ABCD为正方形，
∴，，
∵，
∴四边形CDHF为矩形，
∴，
∴，
由折叠的性质得，
∴，
，
∵，
，
，
在和中，
，
，
，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
◎考点14：根据性质与判定求面积
例．(2023·台湾·模拟预测）如图，矩形ABCD、中，A点在BE上若矩形ABCD的面积为20，的面积为24，则的面积为何？（ ）
A．10B．12C．14D．16
答案:C
解析：
分析：
在矩形ABCD中，易证≌，可得；因为，所以．
【详解】
解：四边形ABCD是矩形，
，．
在和中，
，
≌．
；
，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质、三角形的面积，利用全等三角形的面积相等是解题的关键．
练习1．(2023·山东威海·中考真题）如图，在平行四边形中，，．连接AC，过点B作，交DC的延长线于点E，连接AE，交BC于点F．若，则四边形ABEC的面积为（ ）
A．B．C．6D．
答案:B
解析：
分析：
先证明四边形ABEC为矩形，再求出AC，即可求出四边形ABEC的面积．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD=2，BC=AD=3，∠D=∠ABC，
∵，
∴四边形ABEC为平行四边形，
∵，
∴，
∵∠AFC=∠ABF+∠BAF，
∴∠ABF=∠BAF，
∴AF=BF，
∴2AF=2BF，
即BC=AE，
∴平行四边形ABEC是矩形，
∴∠BAC=90°，
∴,
∴矩形ABEC的面积为．
故选：B
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，熟知相关定理，证明四边形ABEC为矩形是解题关键．
练习2．(2023·江苏镇江·七年级期中）如图，长方形的长为6，宽为4，将这个长方形先向上平移2个单位，再向右平移2个单位，得到长方形 ，则阴影部分的面积是（ ）
A．12B．14C．16D．18
答案:C
解析：
分析：
延长交于，交于，交于，根据长方形先向上平移2个单位，再向右平移2个单位得到长方形，可得，，并且四边形、四边形都为矩形，可求得，根据求解即可．
【详解】
解：如图示，延长交于，交于，交于，
∵长方形先向上平移2个单位，再向右平移2个单位得到长方形，
∴，，
∴，
∴，，并且四边形、四边形都为矩形，
∴，，
∴ =4×2=8，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
练习3．(2023·山西晋中·九年级期末）矩形中，点M在对角线上，过M作的平行线交于E，交于F，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．12B．10C．8D．6
答案:C
解析：
分析：
根据矩形的性质和三角形面积关系可证明S△DEM=S△BFM，即可求解．
【详解】
解：过M作MP⊥AB于P，交DC于Q，如图所示：
则四边形DEMQ，四边形QMFC，四边形AEMP，四边形MPBF都是矩形，
∴S△DEM=S△DQM，S△QCM=S△MFC，S△AEM=S△APM，S△MPB=S△MFB，S△ABC=S△ADC，
∴S△ABC-S△AMP-S△MCF=S△ADC-S△AEM-S△MQC，
∴S四边形DEMQ=S四边形MPBF，
∵DE=CF=2，
∴S△DEM=S△MFB=×2×4=4，
∴S阴=4+4=8，
故选：C．
【点睛】
本题考查了矩形的判定与性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S四边形DEMQ=S四边形MPBF．
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