专题1.4矩形、菱形、正方形精讲精练（13大易错题型深度导练，八下苏科）-2023-2024学年八年级数学下学期期末复习高分攻略(苏科版)

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【知识梳理】
1.菱形的性质：
（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
（2）菱形的性质：
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的___________都相等；
③菱形的两条对角线_________，并且每一条对角线___________；
④菱形是___________图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（3）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积=．（a、b是两条对角线的长度）
2.菱形的判定：
①菱形定义：______________________的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等=菱形）；
②___________都相等的四边形是菱形．
③______________________的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
3.矩形的性质：
（1）矩形的定义：______________________的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是_______；
③边：邻边______；
④对角线：矩形的对角线______________________；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
4. 矩形的判定：
①矩形的定义：___________的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③___________的平行四边形是矩形（或“______________________的四边形是矩形”）
5. 正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线______________________，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
6.正方形的判定：
正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
【典例剖析】
【考点1】菱形的性质
【例1】如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E、F分别为AD、DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度（ ）
A．逐渐增加
B．逐渐减小
C．保持不变且与EF的长度相等
D．保持不变且与AB的长度相等
【变式训练】
1．（2022春·江苏徐州·八年级校考阶段练习）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD．相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC＝130°，则∠AOE的大小为（ ）
A．21B．65C．42D．56
2．（2022春·江苏扬州·八年级校联考期末）如图，点E，F在菱形ABCD的对角线AC上，∠ADC＝120°，∠BEC＝∠CBF＝50°，ED与BF的延长线交于点M．
则对于以下结论：
①∠BME＝30°；
②△ADE≌△ABE；
③EM＝BC．
其中正确结论的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
3．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=4，E、F分别为AB、BC的中点，P是AC上的一个动点，则PE+PF的最小值是（ ）
A．3B．33C．4D．43
【考点2】菱形的判定条件
【例2】如图，ABCD是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法如下：则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的为（ ）
A．仅甲正确B．仅乙正确
C．甲、乙均正确D．甲、乙均错误
【变式训练】
4．（2022春·江苏苏州·八年级校考期中）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB=BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当∠ABC=90°时，它是矩形D．当AC=BD时，它是正方形
5．（2020春·江苏连云港·八年级统考期末）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四种说法，其中正确的有（ ）个
①四边形AEDF是平行四边形：
②如果∠BAC=90°，则四边形AEDF是矩形：
③如果AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形：
④如果AD⊥BC且AB=AC，则四边形AEDF是菱形，
A．1B．2C．3D．4
6．（2022春·江苏苏州·八年级星海实验中学校考期末）如图，ABCD是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法如下：
则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的为（ ）A．仅甲正确B．仅乙正确C．甲、乙均正确D．甲、乙均错误
【考点3】矩形的性质
【例3】如图，长方形ABCD中，AB＝3cm，BC＝2cm，点P从A出发，以1cm/s的速度沿A→B→C运动，最终到达点C，在点P运动了3秒后点Q开始以2cm/s的速度从D运动到A，在运动过程中，设点P的运动时间为t，则当△APQ的面积为2cm2时，t的值（ ）
A．2或103B．2或113C．1或103D．1或133
【变式训练】
7．（2022春·江苏徐州·八年级校考阶段练习）顺次连接矩形的四边中点所得的四边形一定是（ ）
A．菱形B．矩形C．平行四边形D．正方形
8．（2022春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB=6，BC=8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（ ）
A．485B．325C．245D．125
9．（2022秋·江苏·八年级期中）如图，小明同学在将一张矩形纸片ABCD的四个角向内折起时，发现恰好能拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH．于是他测量出EH=9cm，EF=12cm，根据这两个数据他很快求出了边AD的长，则边AD的长是( )
A．10cmB．15cmC．20cmD．21cm
【考点4】矩形的判定条件
【例4】如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AC、BD是对角线，下列条件中能判定平行四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．∠BAC＝∠ABDB．∠BAC＝∠DACC．∠BAC＝∠DCAD．∠BAC＝∠ADB
【变式训练】
10．（2022春·江苏常州·八年级统考期中）如图，△ABC中，∠BAC=90°，中线AF与中位线DE相交于点O，则四边形ADFE是（ ）
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形
11．（2020春·江苏南通·八年级校联考阶段练习）矩形ABCD的边BC上有一动点E，连接AE、DE，以AE、DE为边作平行四边形AEDF．在点E从点B移动到点C的过程中，平行四边形AEDF的面积（ ）
A．先变大后变小B．先变小后变大C．一直变大D．保持不变
12．（2022春·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点(P不与B、C重合)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值是( )
A．2B．3C．1.2D．2
【考点5】正方形
【例5】如图，在正方形ABCD中，点M、N为边BC和CD上的动点（不含端点），∠MAN＝45°下列三个结论：①当MN=2MC时，则∠BAM＝22.5°；②2∠AMN﹣∠MNC＝90°；③△MNC的周长不变．
其中正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【变式训练】
13．（2021春·江苏淮安·八年级校考期中）正方形、矩形、菱形都具有的特征是（ ）
A．对角线互相平分B．对角线相等
C．对角线互相垂直D．对角线平分一组对角
14．（2022秋·江苏·八年级统考期中）如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF．若DF=3，则BE的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
15．（2022·江苏·八年级假期作业）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AD＞AB，点E从点B出发（不含点B）沿BC向点C运动，移动到点C停止，延长EO交AD于点F，则四边形BEDF形状的变化依次为（ ）
A．平行四边形→菱形→正方形→矩形
B．平行四边形→正方形→菱形→矩形
C．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
D．平行四边形→正方形→平行四边形一矩形
【考点6】菱形的性质与判定综合问题
【例6】如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，CE∥DB．
（1）求证：四边形OBEC是菱形；
（2）若AD＝4，AB＝2，求菱形OBEC的面积．
【变式训练】
16．（2022春·江苏南通·八年级校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AB ∥ DC，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若AB= 5，BD=2，求OE的长．
17．（2021春·江苏南京·八年级校考期中）已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE=CF．
(1)求证：DE∥BF．
(2)若四边形ABCD是正方形，且AD=4，AE=2，则四边形DEBF的面积为_____________．
18．（2022春·江苏盐城·八年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
(1)求证：四边形ADCF是菱形；
(2)若AC=6，AB=8，求菱形ADCF的面积．
【考点7】矩形的性质与判定综合问题
【例7】平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF＝AE，连接BF，AF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AF平分∠BAD，且AE＝2，DE＝4，求矩形BFDE的面积．
【变式训练】
19．（2022春·江苏宿迁·八年级校考阶段练习）如图，▱ABCD的对角线AC,BD交于点O，过点D作DE⊥BC于E，延长CB到点F，使BF=CE，连接AF,OF．
(1)求证：四边形AFED是矩形．
(2)若AD=7,BE=2,∠ABF=45°，试求OF的长．
20．（2022春·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若∠BDE＝15°，求∠EOC的度数；
(3)在（2）的条件下，若AB＝2，求矩形ABCD的面积．
21．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0⩽t⩽10
(1)若G，H分别是AD，BC中点，则四边形EGFH一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？
答： ；（直接填空，不用说理）
(2)在（1）条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值；
(3)在（1）条件下，若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形EGFH为菱形，求t的值．
【考点8】正方形的性质与判定综合问题
【例8】已知点E是正方形ABCD内一点，连接AE，CE．
（1）如图1，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，若∠BEC＝90°，BF＝2，四边形ABCE的面积为352．
①证明：AF＝BE；
②求线段AE的长．
（2）如图2，若AB＝4，∠AEC＝135°，2AE+2CE＝46，求线段AE，CE的长．
【变式训练】
22．（2022春·江苏南通·八年级统考期末）如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交边BC于点F．
(1)求证：EA＝EF：
(2)写出线段FC，DE的数量关系并加以证明；
(3)若AB＝4，FE＝FC，求DE的长．
23．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）已知，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，点H为CF的中点．
(1)连接BH、GH．
①如图1，若点G在边AB上，猜想BH和GH的关系，并给予证明：
②若将图1中的正方形AEFG绕点A顺时针旋转，使点E落在对角线CA的延长线上，请你在图2中补全图形，猜想BH和GH的关系，并给予证明．
(2)如图3，若AC=5，AF=3，将正方形AEFG绕点A旋转，连接EH．请你直接写出EH的取值范围___________．
24．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，AH=2．
(1)如图1，当DG=2时，求证：菱形EFGH是正方形．
(2)如图2，连接CF，当△FCG的面积等于1时，求线段DG的长度．
考点9.中点四边形
【例9】（2021春·江苏南京·八年级校联考期中）如图，四边形ABCD中，AD=BC，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点．
（1）判断四边形EFGH是怎样的四边形，并证明你的结论；
（2）当四边形ABCD再满足______________时，四边形EFGH为正方形？（只添一个条件）
【变式训练】
25．（2023春·江苏·八年级专题练习）四边形ABCD，点M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、AD的中点．
(1)如图1，顺次连结M、N、P、Q得到四边形ANPQ，试猜想四边形MNPQ的形状并证明；
(2)如图2，若∠B＝∠C，AB＝CD，顺次连结M、N、P、Q得到四边形MNPQ，试猜想四边形MNPQ的形状并证明；
(3)如图3，若∠BCD＝90°，BC＝8，CD＝6，AB＝3，设线段CQ的长度为m，则m的取值范围是______．
26．（2023春·江苏·八年级专题练习）综合与探究：如图1，四边形ABDC中，E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，顺次连接E、F、G、H．
(1)猜想四边形EFGH的形状是________（直接回答，不必说明理由）．
(2)如图2，P在四边形ABDC内一点，使PC=PA，PD=PB，∠APC=∠BPD，其他条件不变，试探究四边形EFGH的形状，并说明理由．
(3)在（2）的条件下，PA=6，PB=23，∠APC=∠BPD=60°，∠CPD=90°，求四边形EFGH的面积．
27．（2023春·江苏·八年级专题练习）问题背景：
△ABC和△CDE均为等边三角形，且边长分别为a，b，点D，E分别在边AC，BC上，点F，G，H，I分别为AB，BE，ED，AD的中点，连接FG，GH，HI，IF
猜想证明：
(1)如图①，判断四边形FGHI是什么特殊四边形，并说明理由．
(2)当a＝6，b＝2时，求四边形FGHI的周长．
拓展延伸：
(3)如图②，当四边形FGHI是正方形时，连接AE，BD相交于点N，点N，H恰好在FC上．求证：△ABN和△DEN均为等腰直角三角形．
考点10.四边形与最值问题
【例10】（2023春·江苏·八年级专题练习）问题提出
(1)如图，点M、N是直线l外两点，在直线l上找一点K，使得MK+NK最小．
问题探究
(2)在等边三角形ABC内有一点P，且PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB度数的大小．
问题解决
(3)如图，矩形ABCD是某公园的平面图，AB=303米，BC=60米，现需要在对角线BD上修一凉亭E，使得到公园出口A、B，C的距离之和最小．问：是否存在这样的点E？若存在，请画出点E的位置，并求出EA+EB+EC的和的最小值；若不存在，请说明理由．
【变式训练】
28．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，菱形ABCD的边长为1，∠ABC=60°，点E是边AB上任意一点(端点除外)，线段CE的垂直平分线交BD，CE分别于点F，C，AE，EF的中点分别为M，N．
(1)求证：AF=EF；
(2)求MN+NG的最小值．
29．（2022春·江苏镇江·八年级校联考阶段练习）如图，在□ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G．
(1)求证：DE∥BF；
(2)当△ABD满足什么条件时，四边形DEBF是菱形（不需要证明）
(3)请利用备用图分析，在（2）的条件下，若BE=2，∠DEB=120°，点M为BF的中点，当点P在BD边上运动时，求PF+PM的最小值．
30．（2021春·江苏苏州·八年级校考期中）已知，如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A26,0,C0,12，点D是OA的中点，动点P在线段BC上以每秒2个单位长度的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒．
（1）当t何值时，四边形PODB是平行四边形；
（2）在直线CB上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标：若不存在，请说明理由；
（3）在线段PB上有一点M，且PM=13，当P运动_______秒时，四边形OAMP的周长最小，并在图3中画图标出点M的位置．
考点11.四边形与动点问题
【例11】（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．
(1)如图1－1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；
(2)如图1－2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿ΔAFB和ΔCDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，
①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值；
②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．
【变式训练】
31．（2022秋·江苏苏州·八年级苏州高新区第二中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A，B的坐标分别为A9,0，B(9,4)，AD=1，CE=5，动点P从O点出发，以每秒1个单位长度的速度，沿着O→A→B→C运动，设点P运动的时间为t秒（0(1)点D的坐标是 ；点E的坐标是 ；
(2)当点P在OA上运动时，连接PE，ED，当∠PED为直角时，求点P的坐标；
(3)在整个运动过程中，当△PED是以PE为腰的等腰三角形时，求t的值．
32．（2022春·江苏苏州·八年级校考期末）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，AB=BC=4，CD=5．
(1)求梯形ABCD的面积S；
(2)动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B→A→D→C方向，向点C运动：动点Q从点C出发，以1cm/s的速度，沿C→D→A方向，向点A运动，过点Q作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：
①在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DP为底的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△COE相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
33．（2022春·江苏泰州·八年级校考期中）如图，四边形ABCD中，AD//BC，∠ADC=90°，AD=8，BC=CD=6，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP⊥AD于点P，连接AC交NP于点Q，连接MQ，设运动时间为t秒（0(1)求点B到线段AC的距离；
(2)当NP经过线段AC中点时，求t的值并直接写出此时线段MQ、NQ的关系；
(3)连接AN、CP，在点M、N运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形ANCP的面积与四边形ABNP的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(4)将△AQM沿AD翻折，得到△AKM．在点M、N运动过程中，
①是否存在某时刻t，使四边形AQMK为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
②是否存在某时刻t，使四边形AQMK为正方形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
考点12.四边形综合问题
【例12】
（2021春·江苏泰州·八年级统考期中）如图1，正方形ABCD和正方形GECF，点E、F分别在边BC、CD上，将正方形GECF绕点C顺时针方向旋转，旋转角为a（0°＜a＜180°）．
(1)如图2，连接BE、DF，求证：BE＝DF；
(2)如图3，若BC＝2+1，EC＝1，当点E旋转到CD边上时，连接BE、连接DF，并将延长BE交DF于点H，求证：BH垂直平分DF；
(3)如图4，连接BF、DE，若P是DE的中点，连接CP，判断CP与BF的关系，并证明你的结论．
【变式训练】
34．（2022春·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足．
(1)求证：四边形ABCD是正方形．
(2)已知AB的长为6，求（BE+6）（DF+6）的值．
(3)借助于上面问题的解题思路，解决下列问题：若锐角三角形PQR中，∠QPR＝45°，一条高是PH，长度为6，QH＝2，求HR长度．
35．（2022春·江苏南通·八年级校考阶段练习）在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF＝∠CEF＝45°．
(1)若点G在边CB的延长线上，且BG＝DF，（如图①），求证：△AEG≌△AEF；
(2)若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图②），求证：EF2=ME2+NF2；
(3)将正方形改为长与宽不相等的矩形（如图③），∠EAF＝∠CEF＝45°，BE＝4，DF＝1，请你直接写出△CEF的面积．
36．（2022春·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O．
(1)如图1，设E、F分别是AD、AB上的点，且∠EOF＝90°，线段AF、BF和EF之间存在一定的数量关系．请你用等式直接写出这个数量关系；
(2)如图2，设E、F分别是AB上不同的两个点，且∠EOF＝45°，请你用等式表示线段AE、BF和EF之间的数量关系，并证明．
(3)如图3，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=4x+8的图像分别交x、y轴于点A、B，将正方形ABCD中Rt△AOB置于直线AB右侧Rt△ACB位置，斜边恰好与线段AB重合，请直接写出直角顶点C到原点O的距离．
考点13.四边形与新定义阅读问题
【例13】（2022春·江苏南通·八年级统考期中）【了解概念】
定义：两条对角线相等的凸四边形叫做等线四边形，两条对角线所夹锐角为60°的等线四边形叫做强等线四边形．
(1)【理解运用】
下列四边形中，一定是等线四边形的是________（只填序号）；
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．
(2)【拓展提升】
如图，ΔABC中，∠ACB=90°，分别以AC，AB为边向ΔACB外作菱形ACFG和 菱形ABDE，且∠CAG=∠BAE=60°，连接CG，BE，GE．
①求证：四边形BCGE是强等线四边形；
②若AB=4，∠BAC=30°，P，Q分别是BC，GE的中点，连接PQ，直接写出PQ的长．
【变式训练】
37．（2022春·江苏扬州·八年级统考期末）在四边形ABCD中，若DA=DC，且对角线BD是∠ABC的角平分线，则这个四边形ABCD就叫做“翼四边形”．
(1)）如图1，已知四边形ABCD的对角线BD既是∠ABC的角平分线，又是∠ADC的角平分线，判断四边形ABCD是不是“翼四边形”吗？说明理由；
(2)如图2，已知四边形ABCD中，AB(3)如图3，已知四边形ABCD是“翼四边形”，AB>BC，DA=DC，对角线BD是∠ABC的角平分线，判断∠A与∠C的数量关系，说明理由．
38．（2022春·江苏南京·八年级统考期末）我们知道，四边形有两组对边，两组对角，两条对角线．已经研究了，如果四边形满足下列条件之一：①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③一组对边平行且相等；④对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形．由此，进一步探究
(1)如图①，在四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D．求证：四边形ABCD是平行四边形．
(2)命题：如果四边形满足一组对边平行且另一组对边相等，那么这个四边形是平行四边形．如果这个命题是真命题，请证明；否则，请画出一个反例示意图，并标明所满足的条件．
(3)命题：如果四边形满足一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线，那么这个四边形是平行四边形．
①小明认为这是假命题，尝试画出反例．如图②，他先画出四边形ABCD的一条边AB，一条对角线BD．请你利用无刻度直尺和圆规在图②中画出反例．（保留作图痕迹，不写作法）
②小明进一步探索发现，在四边形ABCD中，AB＝CD，对角线AC、BD相交于点O，且OB＝OD，BD＝8，∠AOB＝60°，对于满足条件的平行四边形ABCD的个数随着AB长度的变化而变化，直接写出平行四边形ABCD的个数及对应的AB的长的取值范围．
39．（2022秋·江苏镇江·八年级统考期末）四边形ABCD若满足∠A+∠C＝180°，则我们称该四边形为“对角互补四边形”．
(1)四边形ABCD为对角互补四边形，且∠B：∠C：∠D=2：3：4，则∠A的度数为_______；
(2)如图1，四边形ABCD为对角互补四边形，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD．
求证：AC平分∠BCD．
小云同学是这么做的：延长CD至M，使得DM=BC，连AM，可证明△ABC≌△ADM，得到△ACM是等腰直角三角形，由此证明出AC平分∠BCD，还可以知道CB、CD、CA三者关系为_______；
(3)如图2，四边形ABCD为对角互补四边形，且满足∠BAD=60°，AB=AD，试证明：
①AC平分∠BCD；
②CA=CB+CD；
(4)如图3，四边形ABCD为对角互补四边形，，且满足∠ABC=60°，AD=CD，则BA、BC、BD三者关系为_______．
甲：连接AC，作AC的中垂线交AD、BC于E、F，则四边形AFCE是菱形．
乙：分别作∠A与∠B的平分线AE、BF，分别交BC于点E，交AD于点F，则四边形ABEF是菱形．