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【专项练习】全套专题数学八年级上册专题10 阅读理解、拓展探究（解析版）
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这是一份【专项练习】全套专题数学八年级上册专题10 阅读理解、拓展探究（解析版），共48页。
10华师版数学八上阅读理解、拓展探究 1．探究 如图①，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式___________，（用含，的等式表示） 应用 请应用这个公式完成下列各题： (1)已知，，则的值为___________． (2)计算：． 拓展 (3)计算：． 【答案】(1)；；(2)；(3) 【详解】（1）根据题意得到， 由得，， ∵， ∴， 故答案为：； （2） ； （3） ． 2．问题提出 在学完乘法公式后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你能求代数式的最大值吗？ 初步思考 同学们经过交流、讨论，总结出如下方法： 解： 因为， 所以． 所以当时，的值最大，最大值是0． 所以当时，的值最大，最大值是4． 所以的最大值是4． 尝试应用 (1)求代数式的最大值，并写出相应的x的值． 拓展提高 (2)将一根长的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，那么这两个正方形面积之和有最小值吗？若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度及这两个正方形面积的和；若没有，请说明理由． 【答案】(1)59，7；(2)有，12cm，12cm， 18cm2． 【详解】（1） =-(x2-14x)+10 =-( x2-14x+49-49)+10 =-( x2-14x+49)+49+10 因为， 所以， ∴当时，的值最大，最大值为59， 解方程得x=7， 所以的最大值为59，此时x的值是7． （2）设其中一段铁丝的长度为x(cm)，则另一段铁丝的长度为24-x(cm)， 所以这两段铁丝做成的正方形边长分别为和， 所以这两个正方形的面积之和为： ， ∵时，最小，最小值是18， 解方程得x=12，则24-x=12， 所以，这两个正方形面积之和有最小值，此时两段铁丝长度分别为12cm，12cm，面积之和为18cm2 3．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，但通过估算可以得出的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，也就是用来表示的小数部分，又例如： ，即， 的整数部分为2，小数部分为． （1）的整数部分是________，小数部分是________； （2）应用：若的小数部分为a，的整数部分为b，请仿照上述推理过程求的值； （3）拓展：若的整数部分为x，小数部分为y，则的相反数是________． 【答案】（1）3；；（2）1；（3） 【详解】解：（1）∵，即， ∴的整数部分是3，小数部分是； 故答案为：3，； （2）即， 的整数部分为4，小数部分为，即； ，即， 的整数部分为5，即， ； （3）∵的整数部分为x，小数部分为y， ∴， ∴的相反数是， 故答案为：． 4．【阅读理解】 对于二次三项式，能直接用公式法进行因式分解，得到，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了． 我们可以采用这样的方法：在二次三项式中先加上一项，使其成为完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，于是： 像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法． (1)【问题解决】请用上述方法将二次三项式分解因式． (2)【拓展应用】二次三项式有最小值或最大值吗？如果有，请你求出来并说明理由． (3)运用材料中的添（拆）项法分解因式：． 【答案】(1)；(2)二次三项式有最小值3，理由见解析；(3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴， ∴二次三项式有最小值3； （3）解： ． 5．利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，请阅读下列材料： 阅读材料：若，求m、n的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求a、b的值； (2)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求c的值； (3)若，，试比较A与B的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)，；(2)；(3)，详见解析 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． （2）解：∵， ∴ ∴， ∴，， 解得，， ∵a、b、c是的三边长， ∴， ∵c是正整数， ∴； （3）解：，理由如下： ∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 6．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如，把二次三项式x2-2x+3进行配方． 解：x2-2x+3=x2-2x+1+2=(x2-2x+1)+2=(x-1)2+2． 我们定义：一个整数能表示成a2+b2(a，b是整数)的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为5=22+12．再如，M=x2+2xy+2y2=(x+y)2+y2(x，y是整数)，所以M也是“完美数”． (1)解决问题： ①请你再写一个小于10的“完美数”_____；并判断40是否为“完美数”_____； ②若二次三项式x2-4x+5(x是整数)是“完美数”，可配方成(x-m)2+n(m，n为常数)，则mn的值为_____； (2)探究问题： ①已知“完美数”x2+y2-2x+4y+5(x，y是整数)的值为0，则x+y的值为____； ②已知S=x2+4y2+4x-12y+k(x，y是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出符合条件的k值． (3)拓展结论：已知实数x，y满足-x2+3x+y-5=0，求x+y的最小值． 【答案】(1)①4；是；②2；(2)①-1；②k=13；(3)4 【详解】（1） 解：①4是“完美数”，理由：4=22+02； 40是“完美数”，理由：40=62+22； 故答案为：4，是； ②∵x2-4x+5=x2-4x+4+1=(x-2)2+12， ∴m=2，n=1， ∴mn=2， 故答案为：2； （2） 解：①∵x2+y2-2x+4y+5=(x-1)2+(y+2)2=0， ∴x=1，y=-2， ∴x+y=-1； 故答案为：-1； ②S=x2+4y2+4x-12y+k=(x+2)2+(2y-3)2+k-13， 由题意得：k-13=0， ∴k=13； （3） 解：∵-x2+3x+y-5=0， ∴x+y =x2-2x+5 =(x-1)2+4≥4； ∴当x=1时，x+y最小，最小值为4． 7．先阅读以下材料，然后解答问题，分解因式． ； 也可以 ． 以上分解因式的方法称为分组分解法， (1)请用分组分解法分解下列因式： ① ② (2)拓展延伸 ①若求x，y的值； ②求当x、y分别为多少时？代数式有最小的值，最小的值是多少？ 【答案】(1)①；②；(2)①，；②，，最小值： 【详解】（1） 解：① ； ② ； （2） 解：①， ， ， ，， ，； ② ， ，， ，时，有最小值，最小值是-10， ，， ， 即当，时，代数式有最小值，最小值是-10． 8．阅读与思考：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法． 例如：． (1)【解决问题】补全下列完全平方式： ①_________；②_______． (2)【变式训练】试说明无论x取何值，代数式是正数； (3)【深入研究】若，，比较M、N的大小； (4)【拓展应用】关于x、y的二元一次方程组和的解相同，求的值． 【答案】(1)①1；② 4y2；(2)见解析；(3)M≥N；(4)2 【详解】（1） 解：①1 ；② 4y2 ＋4y＋1. （2） x2﹣12x＋37 ＝ x2﹣12x＋36＋37﹣36 ＝（x﹣6）2＋1 ∵（x﹣6）2≥0 ∴（x﹣6）2＋1＞0 ∴无论x取何值，代数式x2﹣12x＋37是正数 （3） M﹣N＝（2x2＋4x＋5＋y2）﹣（x2＋6x＋4） ＝2x2＋4x＋5＋y2﹣x2﹣6x﹣4 ＝x2﹣2x＋1＋y2 ＝（x﹣1）2＋y2 ∵（x﹣1）2≥0 y2≥0 ∴（x﹣1）2＋y2 ≥0 ∴M≥N （4） 解二元一次方程组 得 把代入中得 ①＋②得：2m2＋2mn＋n2＋4m＋4＝0 ∴m2＋2mn＋n2＋m2＋4m＋4＝0 ∴（m＋n）2＋（m＋2）2＝0 ∴ ∴ ∴m＋2n＝﹣2＋2×2＝2 ∴m＋2n的值为2 9．阅读材料：若m2－2mn＋2n2－8n＋16＝0，求m、n的值． 解：∵m2－2mn＋2n2－8n＋16＝0， ∴（m2－2mn＋n2）＋（n2－8n＋16）＝0， ∴（m－n）2＋（n－4）2＝0， ∴（m－n）2＝0，（n－4）2＝0， ∴n＝4，m＝4． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知x2－2xy＋2y2＋6y＋9＝0，求、的值； (2)已知△АВС的三边长分别为а，b，с都是正整数，且满足a2＋b2－10a－12b＋61＝0，求△ABC的边a、b的值； (3)已知a－b＝8，ab＋c2－16c＋80＝0，求a＋b＋c的值． 【答案】(1)，．(2)，；(3)8 【详解】（1）解：， ， ， ，， ，． （2）解：， ， ， ，， ，． （3）解：，， ， ， ，， ，，， ， 即的值是8． 10．（1）仔细观察，发现规律： (1－x)(1＋x)＝1－x2， (1－x)(1＋x＋x2)＝1－x3， (1－x)(1＋x＋x2＋x3)＝1－x4 (1－x)(1＋x＋x2＋x3＋x4)＝ ． (1－x)(1＋x＋x2＋…＋xn-1)＝ ． （2）类比探索，解决问题： (a－b)(a＋b)＝． ①(a－b)(a2＋ab＋b2)＝ ． ②(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝ ． （3）应用规律，拓展延伸： ①分解因式：（ ）．（直接写出结果） ②计算：1＋2＋22＋…＋22018＋22019＋22020 【答案】（1）1－x5，1－xn；（2）①a3－b3，②a4－b4；（3）①；②22021－1 【详解】解：（1）由前四个运算式的信息总结可得： (1－x)(1＋x＋x2＋x3＋x4)＝ ． (1－x)(1＋x＋x2＋…＋xn-1)＝． 故答案为：1－x5，1－xn （2）①(a－b)(a2＋ab＋b2)＝． ②(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝． 故答案为：①，④a4－b4 （3）① 故答案为： ②1＋2＋22＋… ＋22018 ＋22019 ＋22020 ＝－(1－2)( 1＋2＋22＋… ＋22018 ＋22019 ＋22020 ) ＝ 22021 －1 11．【背景知识】用两种方法计算同一个图形的面积，就可以得到一个等式．例如：图1是一个边长为的正方形，从整体来看，它的面积可以表示为，从分块来看，这个正方形有四块，其中面积为的正方形有1块，面积为的正方形有1块，面积为ab的长方形有2块，因此，该正方形的面积还可以表示为，这两种方法都是求同一个正方形的面积，于是得到． (1)【能力提升】请你根据背景知识和图2推导等式______； (2)【能力提升】请你根据背景知识和图3推导等式______； (3)【拓展应用】若，，利用（2）得到的结论，求图3中阴影部分的面积． 【答案】(1)；(2)；(3)25 【详解】（1）解：从整体来看，它的面积可以表示为，从分块来看，这个正方形有九块，其中面积为的正方形有2块，面积为的正方形有2块，面积为ab的长方形有5块，∴该正方形的面积还可以表示为，∴；故答案为：； （2）解：从整体来看，它的面积可以表示为；从分块来看，这个正方形有九块，其中面积为的正方形有1块，面积为的正方形有1块，面积为的正方形有1块，面积为ab的长方形有2块，面积为ac的长方形有2块，面积为bc的长方形有2块，∴该正方形的面积还可以表示为；∴；故答案为： （3）解：根据题意得：，由（2）得：，当，时，，解得：，即阴影部分的面积为25． 12．【探究】 若满足，求的值． 设，，则，， ∴； (1)【应用】请仿照上面的方法求解下面问题： 若满足，求的值； (2)【拓展】已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是8，分别以、为边作正方形． ①_________，_________；（用含的式子表示） ②求阴影部分的面积． 【答案】(1)5；(2)①，，②12 【详解】（1） 设，， 则，， ∴ ． （2） ①∵四边形是长方形，，四边形是正方形， ∴，， ∴， ， 故答案为：，． ②∵长方形的面积是8， ∴， 阴影部分的面积 设，，则，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 即阴影部分的面积是12． 13．阅读材料：若满足 （8-x）（x-6）=-3，求（8-x）2+（x-6）2的值． 解：设8-x=a，x-6=b，则（8-x）（x-6）=ab=-3，a+b=8-x+x-6=2 所以（8-x）2+（x-6）2=a2+b2=（a+b）2-2ab=22-2×（-3）=10 请仿照上例解决下面的问题： (1)问题发现：若x满足（3-x）（x-2）=-10，求（3-x）2+（x-2）2的值； (2)若（6-x）2+（x-4）2=8求（6-x）（x-4）的值； (3)类比探究：若x满足（2022-x）2+（2021-x）2=2020；求（2022-x）（2021-x）的值； 【答案】(1)21；(2)-2；(3) 【详解】（1） 解：设3-x=a，x-2=b， 则ab=（3-x）（x-2）=-10，a+b=（3-x）+（x-2）=1 ∵ ∴ ∴ （2） 解：设6-x=a，x-4=b， 则a+b=（6-x）+（x-4）=2， ∵ 即 ∴ab=-2 （3） 解：2022-x=a，2021-x=b， 则a-b=（2022-x）-（2021-x）=1， ∵ ∴ ∴ 14．已知，是一条角平分线． 【探究发现】如图1，若是的角平分线．可得到结论：． 小红的解法如下： 过点D作于点E，于点F，过点A作于点G， ∵是的角平分线，且， ∴______． ∴______， 又∵， ∴______． 【类比探究】如图2，若是的外角平分线，与的延长线交于点D． 求证： 【拓展应用】如图3，在中，，分别是的角平分线且相交于点D，，直接写出的值是______． 【答案】（1）；；；（2）见解析；（3） 【详解】探究发现：解：过点D作于点E，于点F，过点A作于点G， ∵是的角平分线，且， ∴ ∴， 又∵， ∴， 故答案为：，；； 类比探究：证明：过点D作于N，过点D作于M．过点A作于点P． ∵平分， ∴． ∴， ∴ 拓展应用：在BC上取点G，使得，连接， ∵分别是的角平分线且相交于点D， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴是的角平分线 由（1）知，， 设，，， 由（1）知，，． 15．(1)阅读理解：如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，再连接(或将绕着点逆时针旋转得到)，把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是______； (2)问题解决：如图2，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：； (3)问题拓展：如图3，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于，两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)；(2)见解析；(3)，证明见解析 【详解】（1）解：延长至，使，连接，如图①所示： ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在中，由三角形的三边关系得：， ∴，即， ∴； 故答案为：； （2）证明：延长至点，使，连接，，如图所示 同（1）得，， ，， ， 在中，由三角形的三边关系得， （3） 证明如下： 延长至点，使，连接，如图所示 ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ． ， 16．【问题背景】 小明遇到这样一个问题：如图1，在中，，平分，试判断和之间的数量关系． 【初步探索】 小明发现，将沿翻折，使点A落在边上的E处，展开后连接，则得到一对全等的三角形，从而将问题解决（如图2） （1）写出图2中全等的三角形____________________； （2）直接写出和之间的数量关系__________________； 【类比运用】 （3）如图3，在中，，平分，求的周长． 小明的思路：借鉴上述方法，将沿翻折，使点C落在边上的E处，展开后连接，这样可以将问题解决（如图4）； 请帮小明写出解答过程： 【实践拓展】 （4）如图5，在一块形状为四边形ABCD的空地上，养殖场丁师傅想把这块地用栅栏围成两个小型的养殖场，即图5中的和，若平分．请你帮丁师傅算一下需要买多长的栅栏． 【答案】（1）；（2）；（3）的周长为5；（4）需要买长的栅栏 【详解】解：（1）如图2， 沿翻折得到 ； （2）， 理由：， ， 由翻折得，， ， ， ， ， ； （3）如图4，将沿翻折，使点C落在边上的点E处，展开后连接， 由翻折得，， ， ， ， ， ， ， ， 的周长为5； （4）如下图5，将沿翻折，使点C落在边上的点E处，连接，作于F， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， 解得：， ， ， ， 需要买长的栅栏． 17．【探究】如图，P是等边三角形内的一点，连接，以为边作，且，连接． (1)直接写出与之间的关系． (2)若，，，连接，判断的形状，并说明理由． (3)【应用】如图，P是等腰直角三角形内的一点，，，且，，，求的大小． 【答案】(1)；(2)是直角三角形，理由见解析；(3) 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴； （2）解：是直角三角形，理由如下： 如图，连接， 由（1）得：， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴是直角三角形； （3）解：如图，把绕点C逆时针旋转得到，则， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 在中，， ∵， ∴为直角三角形，即， ∴． 18．【问题背景】在中，，，三边的边长分别为，，，求这个三角形的面积．小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为），再在网格中画出格点，如图所示．这样不需求的高，借助网格就能计算三角形的面积． (1)直接写出的面积， ． (2)【思维拓展】若 三边的长分别为，，，请利用图的正方形网格中画出（每个小正方形的边长为），并直接写出的面积， ． (3)【探索创新】若 的三边长分别为，，（，，且），请直接写出的面积， ． 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）∵， ∴如图：即为所作： ， 故答案为：； （3）根据题意可得： ， 故答案为：． 19．背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明精彩粉呈，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，，，请用a，b，c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： (1)________，__________，___________，则它们满足的关系式为____________，经化简，可得到勾股定理．（提示：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半） 知识运用： (2)如图2，铁路上A，B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C，D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为_________千米（直接填空）； (3)在（2）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图3中作出P点的位置并求出的距离． (4)知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式+的最小值__________（0＜x＜16）． 【答案】(1)，，，；(2)41；(3)P点的位置见解析，千米．(4) 【详解】（1）解：， ， ， ． ∴， ∴， 故答案为：，，， ； （2）如图2①，连接，作于点E， ∵，， ∴，， ∴千米， ∴千米， ∴两个村庄相距41千米． 故答案为：41． （3）尺规作图如图2②所示： 设千米，则千米， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， 即千米． （4）如图3， 作点C关于的对称点，连接交于点P， ∴， ∴的最小值， ∵，， ∴代数式的最小值为：． 20．【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决此类问题时一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则． 例：已知，，其中．求证：．证明：． ∵， ∴． ∴． 【新知应用】 （1）比较大小：______． （2）甲、乙两个长方形的长和宽如图所示（m为正整数），其面积分别为、．试比较、的大小关系． 【实际应用】 （3）请用“作差法”解决下列问题： 某游泳馆在暑假期间对学生优惠开放，有A、B两种方案可供选择，A方案：每次按原价打八五折；B方案：第一次按照原价，从第二次起每次打八折．请问游泳的同学选择哪种方案更合算？ 【拓展提升】 （4）已知x、y、z满足，，比较代数式与的大小． 【答案】（1）；（2）（3）当时， A方案合算；当时，此时两个方案的总价相同；当时， B方案合算；（4） 【详解】解：（1）根据材料得， ∴ 故填； （2）由图知： ∴ ∵m是正整数 ∴ ∴ ∴ （3）设原价为a（），去的次数为x（x为正整数），总价分别为 根据题意可知：， ∵，x为正整数， ∴当时，，故，此时A方案合算； 当时，，故，此时两个方案的总价相同； 当时，，故，此时B方案合算； （4）由、得、， 联立方程组并解得 ∴== ∴ 21．先阅读理解下面例题，再按要求解答下列问题： 例：解不等式． 解：∵， ∴原不等式可化为． 由有理数乘法法则：两数相乘，异号得负，得： ① ，或②． 解不等式组①得，解不等式组②无解， ∴原不等式的解集为． 请你模仿例题的解法，解决下列问题： (1)不等式解集为 ； (2)不等式解集为 ； (3)拓展延伸：解不等式． 【答案】(1)或；(2)；(3)． 【详解】（1）∵， ∴原不等式可化为 ， 由有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，得 ① ②， 解不等式组①得， 解不等式组②得： ∴原不等式 的解集为或； （2）解：∵， ∴原不等式可化为 ， 由有理数乘法法则：两数相乘，异号得负，得 ① ② 解不等式组①无解，解不等式组②，得， ∴原不等式的解集为； （3）由有理数除法法则：两数相除，异号得负，且分数的分母不为0，得 ① ② 解不等式组①无解，解不等式组②，得， ∴原不等式的解集为． 22．【阅读材料】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． 【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题： (1)由图2可得等式：__________；由图3可得等式：__________； (2)利用图3得到的结论，解决问题：若，，则__________； (3)如图4，若用其中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形（无空隙、无重叠地拼接），则______； (4)如图4，若有3张边长为的正方形纸片，4张边长分别为的长方形纸片，5张边长为的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为______． 【方法拓展】 (5)已知正数，，和，，，满足．试通过构造边长为的正方形，利用图形面积来说明． 【答案】(1)（2a+b）（a+b）=2a2+b2+3ab；（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；(2)150；(3)8；(4)a+2b；(5)见解析 【详解】（1） 解：由图2知，大长方形的面积=（2a+b）（a+b）， 大长方形的面积=3个小正方形的面积+3个小长方形的面积=a2+a2+b2+3ab=2a2+b2+3ab， ∴（2a+b）（a+b）=2a2+b2+3ab； 由图3知，大正方形的面积=（a+b+c）2， 大正方形的面积=3个正方形的面积+2个小长方形的面积+2个小长方形的面积+2个小长方形的面积=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc， ∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； 故答案为：（2a+b）（a+b）=2a2+b2+3ab； =a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； （2） 由图3得（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc， ∴a2+b2+c2=（a+b+c）2-（2ab+2ac+2bc）=（a+b+c）2-2（ab+ac+bc）， 当，时， a2+b2+c2=152-2×35=150； 故答案为：150 （3） 解：∵（2a+b）（a+2b）=2a2+4ab+ab+2b2=2a2+5ab+2b2，2， ∴长方形可以看成2张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为a、b的长方形纸片拼成的大长方形， ∴x=1，y=2，z=5， ∴x+y+z=8； 故答案为：8 （4） 解：3张边长为a的正方形纸片的面积为3a2，4张边长分别为ab的长方形纸片的面积为4ab，5张边长为b的正方形纸片的面积为5b2， ∵想从中取出若干张纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接）， ∴选取的纸片的面积和必须构成完全平方式， ∴可以选取1张边长为a的正方形纸片、2张边长分别为ab的长方形纸片、1张边长为b的正方形纸片， 此时围成的正方形面积为a2+2ab+b2=（a+b）2， ∴此时正方形的边长=a+b； 选取1张边长为a的正方形纸片、4张边长分别为ab的长方形纸片、4张边长为b的正方形纸片， 此时围成的正方形面积为a2+4ab+4b2=（a+2b）2， ∴此时正方形的边长=a+2b， ∵a+b＜a+2b， ∴拼成的正方形的边长最长为a+2b； 故答案为：a+2b； （5） 解：如图， 如图，构造了一个边长为k的正方形，AC=CE=EG=AG=k， 在正方形的4个边上分别截取AB=a，CD=b，EF= HG=c， ∵a+m=b+n=c+l=k， ∴BC=m，DE=n，FG=l，AH=l， ∴3个长方形的面积和为al+bm+cn，大正方形的面积为k2， ∴． 23．（1）【问题情境】 如图：在中，，点为边上的任意一点，过点作，，垂足分别为点，，过点作，垂足为点．求证：． （2）【变化一下】 ①当点在延长线上时，请画图探究，，三者之间的数量关系并给出证明； ②如图，满足，点为内任意一点，过点分别作，，，垂足分别为点，，，请直接写出，，和之间的关系． （3）【深入探究】 如图，在中，点为内任意一点，过点分别作，，，垂足分别为点，，，过点，，分别作，，，垂足分别为点，，，记，，分别为，，，请直接写出，，和，，之间的关系． 【答案】（1）见解析；（2）①，理由见解析；②；（3） 【详解】证明：（1）如下图中，连接． ， ， ， ． （2）①，理由如下： 连接，如下图： ， ， ， ． ②，理由如下： 连接，，，如下图 ∵ ∴ 由题意可得： ∴ （3）， 连接，，，如下图： 由题意可得： ∴， ∵ ∴ 则 则， 即 24．【问题提出】如图1，在等边三角形内部有一点P，，，，求的度数． (1)【尝试解决】将绕点A逆时针旋转，得到，连接，则为等边三角形． ∵，，， ∴ ∴为 三角形 ∴的度数为 ． (2)【类比探究】如图2，在等边三角形ABC外部有一点P，若∠BPA＝30°，求证． (3)【联想拓展】如图3，在中，，．点P在直线上方且，，求的长． 【答案】(1)直角；；(2)见详解；(3) 【详解】（1）解：如图1，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，则为等边三角形． ∵，，， ∴， ∴为直角三角形． ∴的度数为． 故答案为：直角；． （2）证明：如图2中，将绕点B逆时针旋转得到，连接． ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， 由旋转的性质可知：， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴． （3）解：过点C作于T，连接，设交于O．∵，， ∴， ∵， ， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得或（负值舍弃）， ∴， ∴． 25．（1）方法感悟： 如图①，在正方形中，点E、F分别为边上的点，且满足，连接．将绕点A顺时针旋转90°得到，易证，从而得到结论：，根据这个结论，若正方形的边长为1，则的周长为______ （2）方法迁移： 如图②，若在四边形中，，，E、F分别是 上的点，且，试猜想之间有何数量关系，证明你的结论 （3）问题拓展：如图③，在四边形中，，，B、F分别是边延长线上的点，且，试探究线段之间的数量关系，请直接写出你的猜想（不必说明理由） 【答案】（1）2，（2），证明见解析，（3） 【详解】解：（1） ∵， ∴， ∴的周长． （2） 证明如下： 如图，延长到G，使，连接， ， 在和中， ∵ ， 在和中， ， ， （3）结论：， 证明：如图所示，在上截取，使，连接． ∵在和中， ， ． ， ， ， ， ． 26．综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为，，，，显然． (1)请用，，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为______． (3)如图4，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 【答案】(1)见解析；(2)；(3) 【详解】（1）证明：∵，，， ∴ ∴ ∴ （2）， ， ， 即AB边上的高是 （3）解：在中，由勾股定理得 ∵， ∴ 在中，由勾股定理得 ∴， ∴ 27．十九世纪英国赫赫有名的谜题创作者在1903年的英国报纸上发表的“蚂蚁爬行”的问题．问题是：如图1，在一个长、宽、高分别为的长方体房间内，一只蚂蚁在右面墙的高度一半位置（即M点处），并且距离前面墙，苍蝇正好在左面墙高度一半的位置（即N点处），并且距离后面墙，蚂蚁爬到苍蝇处应该怎样爬行所走路程最短，最短路程是多少m？这只蚂蚁在长方体表面爬行的问题，引起了当时很多数学爱好者的研究与讨论，今天我们也一起来研究一下这个当时非常热门的数学问题！ 【基础研究】如图2，在长、宽、高分别为a，b，c的长方体一个顶点A处有一只蚂蚁，欲从长方体表面爬行去另一个顶点处吃食物，探究哪种爬行路径是最短的？ (1)观察发现：蚂蚁从A点出发，为了走出最短路线，根据两点之间线段最短的知识，并结合展开与折叠原理，一共有3种不同的爬行路线，即图3、图4、图5所示. 填空：图5是由______面与______面展开得到的平面图形；（填“前”、“后”、“左”、“右”、“上”、“下”） (2)推理验证：如图3，由勾股定理得，， 如图4，由勾股定理得，， 如图5，． 要使得的值最小， ∵ ……（请补全推理过程） ∴ ∴选择如图______情况，此时的值最小，则的值最小，即这种爬行路径是最短的． (3)【简单应用】如图6，长方体的长，宽，高分别为，点P是的中点，一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点P，则爬行的最短路程长为______cm． (4)【问题回归】 最后让我们再回到那道十九世纪英国报纸上发表的“蚂蚁爬行”的问题（如图1），那只蚂蚁所走的最短路程是______m． 【答案】(1)图5是由右、下或左、上展开得到的平面图形 (2)补全推理过程见解析，4；(3)50；(4)13 【详解】（1）由图可得，图5是由右、下或左、上展开得到的平面图形， 故答案为：右；下或左；上； （2）∵， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴情况为图4时，此时的值最小，则的值最小， 故答案为：4； （3）根据（2）可得，当为下图展开时为最短路程，作于， ∴， ∴ ∴在中，， 故答案为：； （4）由题意可得，当路线为如下所示时，为最短距离， ∵一个长方体的长、宽、高分别为且一只蚂蚁在右面墙的高度一半位置（即M点处），并且距离前面墙，苍蝇正好在左面墙高度一半的位置（即N点处），并且距离后面墙， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴那只蚂蚁所走的最短路程是， 故答案为：13． 28．阅读以下材料： 指数与对数之间有密切的联系，它们之间可以互化．对数的定义：一般地，若（且），那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式，可以转化为指数式． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： （，，，）； 设，，则，， ，由对数的定义得 又， 请解决以下问题： (1)将指数式转化为对数式______； (2)求证：（，，，）； (3)拓展运用：计算______． 【答案】(1)；(2)见解析；(3)2 【详解】(1)解：（或）； 故答案为：（或）； （2）解：设，，则，， ∴，由对数的定义得， 又∵， ∴； (3)解： ．
10华师版数学八上阅读理解、拓展探究 1．探究 如图①，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式___________，（用含，的等式表示） 应用 请应用这个公式完成下列各题： (1)已知，，则的值为___________． (2)计算：． 拓展 (3)计算：． 【答案】(1)；；(2)；(3) 【详解】（1）根据题意得到， 由得，， ∵， ∴， 故答案为：； （2） ； （3） ． 2．问题提出 在学完乘法公式后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你能求代数式的最大值吗？ 初步思考 同学们经过交流、讨论，总结出如下方法： 解： 因为， 所以． 所以当时，的值最大，最大值是0． 所以当时，的值最大，最大值是4． 所以的最大值是4． 尝试应用 (1)求代数式的最大值，并写出相应的x的值． 拓展提高 (2)将一根长的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，那么这两个正方形面积之和有最小值吗？若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度及这两个正方形面积的和；若没有，请说明理由． 【答案】(1)59，7；(2)有，12cm，12cm， 18cm2． 【详解】（1） =-(x2-14x)+10 =-( x2-14x+49-49)+10 =-( x2-14x+49)+49+10 因为， 所以， ∴当时，的值最大，最大值为59， 解方程得x=7， 所以的最大值为59，此时x的值是7． （2）设其中一段铁丝的长度为x(cm)，则另一段铁丝的长度为24-x(cm)， 所以这两段铁丝做成的正方形边长分别为和， 所以这两个正方形的面积之和为： ， ∵时，最小，最小值是18， 解方程得x=12，则24-x=12， 所以，这两个正方形面积之和有最小值，此时两段铁丝长度分别为12cm，12cm，面积之和为18cm2 3．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，但通过估算可以得出的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，也就是用来表示的小数部分，又例如： ，即， 的整数部分为2，小数部分为． （1）的整数部分是________，小数部分是________； （2）应用：若的小数部分为a，的整数部分为b，请仿照上述推理过程求的值； （3）拓展：若的整数部分为x，小数部分为y，则的相反数是________． 【答案】（1）3；；（2）1；（3） 【详解】解：（1）∵，即， ∴的整数部分是3，小数部分是； 故答案为：3，； （2）即， 的整数部分为4，小数部分为，即； ，即， 的整数部分为5，即， ； （3）∵的整数部分为x，小数部分为y， ∴， ∴的相反数是， 故答案为：． 4．【阅读理解】 对于二次三项式，能直接用公式法进行因式分解，得到，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了． 我们可以采用这样的方法：在二次三项式中先加上一项，使其成为完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，于是： 像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法． (1)【问题解决】请用上述方法将二次三项式分解因式． (2)【拓展应用】二次三项式有最小值或最大值吗？如果有，请你求出来并说明理由． (3)运用材料中的添（拆）项法分解因式：． 【答案】(1)；(2)二次三项式有最小值3，理由见解析；(3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴， ∴二次三项式有最小值3； （3）解： ． 5．利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，请阅读下列材料： 阅读材料：若，求m、n的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求a、b的值； (2)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求c的值； (3)若，，试比较A与B的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)，；(2)；(3)，详见解析 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． （2）解：∵， ∴ ∴， ∴，， 解得，， ∵a、b、c是的三边长， ∴， ∵c是正整数， ∴； （3）解：，理由如下： ∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 6．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如，把二次三项式x2-2x+3进行配方． 解：x2-2x+3=x2-2x+1+2=(x2-2x+1)+2=(x-1)2+2． 我们定义：一个整数能表示成a2+b2(a，b是整数)的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为5=22+12．再如，M=x2+2xy+2y2=(x+y)2+y2(x，y是整数)，所以M也是“完美数”． (1)解决问题： ①请你再写一个小于10的“完美数”_____；并判断40是否为“完美数”_____； ②若二次三项式x2-4x+5(x是整数)是“完美数”，可配方成(x-m)2+n(m，n为常数)，则mn的值为_____； (2)探究问题： ①已知“完美数”x2+y2-2x+4y+5(x，y是整数)的值为0，则x+y的值为____； ②已知S=x2+4y2+4x-12y+k(x，y是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出符合条件的k值． (3)拓展结论：已知实数x，y满足-x2+3x+y-5=0，求x+y的最小值． 【答案】(1)①4；是；②2；(2)①-1；②k=13；(3)4 【详解】（1） 解：①4是“完美数”，理由：4=22+02； 40是“完美数”，理由：40=62+22； 故答案为：4，是； ②∵x2-4x+5=x2-4x+4+1=(x-2)2+12， ∴m=2，n=1， ∴mn=2， 故答案为：2； （2） 解：①∵x2+y2-2x+4y+5=(x-1)2+(y+2)2=0， ∴x=1，y=-2， ∴x+y=-1； 故答案为：-1； ②S=x2+4y2+4x-12y+k=(x+2)2+(2y-3)2+k-13， 由题意得：k-13=0， ∴k=13； （3） 解：∵-x2+3x+y-5=0， ∴x+y =x2-2x+5 =(x-1)2+4≥4； ∴当x=1时，x+y最小，最小值为4． 7．先阅读以下材料，然后解答问题，分解因式． ； 也可以 ． 以上分解因式的方法称为分组分解法， (1)请用分组分解法分解下列因式： ① ② (2)拓展延伸 ①若求x，y的值； ②求当x、y分别为多少时？代数式有最小的值，最小的值是多少？ 【答案】(1)①；②；(2)①，；②，，最小值： 【详解】（1） 解：① ； ② ； （2） 解：①， ， ， ，， ，； ② ， ，， ，时，有最小值，最小值是-10， ，， ， 即当，时，代数式有最小值，最小值是-10． 8．阅读与思考：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法． 例如：． (1)【解决问题】补全下列完全平方式： ①_________；②_______． (2)【变式训练】试说明无论x取何值，代数式是正数； (3)【深入研究】若，，比较M、N的大小； (4)【拓展应用】关于x、y的二元一次方程组和的解相同，求的值． 【答案】(1)①1；② 4y2；(2)见解析；(3)M≥N；(4)2 【详解】（1） 解：①1 ；② 4y2 ＋4y＋1. （2） x2﹣12x＋37 ＝ x2﹣12x＋36＋37﹣36 ＝（x﹣6）2＋1 ∵（x﹣6）2≥0 ∴（x﹣6）2＋1＞0 ∴无论x取何值，代数式x2﹣12x＋37是正数 （3） M﹣N＝（2x2＋4x＋5＋y2）﹣（x2＋6x＋4） ＝2x2＋4x＋5＋y2﹣x2﹣6x﹣4 ＝x2﹣2x＋1＋y2 ＝（x﹣1）2＋y2 ∵（x﹣1）2≥0 y2≥0 ∴（x﹣1）2＋y2 ≥0 ∴M≥N （4） 解二元一次方程组 得 把代入中得 ①＋②得：2m2＋2mn＋n2＋4m＋4＝0 ∴m2＋2mn＋n2＋m2＋4m＋4＝0 ∴（m＋n）2＋（m＋2）2＝0 ∴ ∴ ∴m＋2n＝﹣2＋2×2＝2 ∴m＋2n的值为2 9．阅读材料：若m2－2mn＋2n2－8n＋16＝0，求m、n的值． 解：∵m2－2mn＋2n2－8n＋16＝0， ∴（m2－2mn＋n2）＋（n2－8n＋16）＝0， ∴（m－n）2＋（n－4）2＝0， ∴（m－n）2＝0，（n－4）2＝0， ∴n＝4，m＝4． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知x2－2xy＋2y2＋6y＋9＝0，求、的值； (2)已知△АВС的三边长分别为а，b，с都是正整数，且满足a2＋b2－10a－12b＋61＝0，求△ABC的边a、b的值； (3)已知a－b＝8，ab＋c2－16c＋80＝0，求a＋b＋c的值． 【答案】(1)，．(2)，；(3)8 【详解】（1）解：， ， ， ，， ，． （2）解：， ， ， ，， ，． （3）解：，， ， ， ，， ，，， ， 即的值是8． 10．（1）仔细观察，发现规律： (1－x)(1＋x)＝1－x2， (1－x)(1＋x＋x2)＝1－x3， (1－x)(1＋x＋x2＋x3)＝1－x4 (1－x)(1＋x＋x2＋x3＋x4)＝ ． (1－x)(1＋x＋x2＋…＋xn-1)＝ ． （2）类比探索，解决问题： (a－b)(a＋b)＝． ①(a－b)(a2＋ab＋b2)＝ ． ②(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝ ． （3）应用规律，拓展延伸： ①分解因式：（ ）．（直接写出结果） ②计算：1＋2＋22＋…＋22018＋22019＋22020 【答案】（1）1－x5，1－xn；（2）①a3－b3，②a4－b4；（3）①；②22021－1 【详解】解：（1）由前四个运算式的信息总结可得： (1－x)(1＋x＋x2＋x3＋x4)＝ ． (1－x)(1＋x＋x2＋…＋xn-1)＝． 故答案为：1－x5，1－xn （2）①(a－b)(a2＋ab＋b2)＝． ②(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝． 故答案为：①，④a4－b4 （3）① 故答案为： ②1＋2＋22＋… ＋22018 ＋22019 ＋22020 ＝－(1－2)( 1＋2＋22＋… ＋22018 ＋22019 ＋22020 ) ＝ 22021 －1 11．【背景知识】用两种方法计算同一个图形的面积，就可以得到一个等式．例如：图1是一个边长为的正方形，从整体来看，它的面积可以表示为，从分块来看，这个正方形有四块，其中面积为的正方形有1块，面积为的正方形有1块，面积为ab的长方形有2块，因此，该正方形的面积还可以表示为，这两种方法都是求同一个正方形的面积，于是得到． (1)【能力提升】请你根据背景知识和图2推导等式______； (2)【能力提升】请你根据背景知识和图3推导等式______； (3)【拓展应用】若，，利用（2）得到的结论，求图3中阴影部分的面积． 【答案】(1)；(2)；(3)25 【详解】（1）解：从整体来看，它的面积可以表示为，从分块来看，这个正方形有九块，其中面积为的正方形有2块，面积为的正方形有2块，面积为ab的长方形有5块，∴该正方形的面积还可以表示为，∴；故答案为：； （2）解：从整体来看，它的面积可以表示为；从分块来看，这个正方形有九块，其中面积为的正方形有1块，面积为的正方形有1块，面积为的正方形有1块，面积为ab的长方形有2块，面积为ac的长方形有2块，面积为bc的长方形有2块，∴该正方形的面积还可以表示为；∴；故答案为： （3）解：根据题意得：，由（2）得：，当，时，，解得：，即阴影部分的面积为25． 12．【探究】 若满足，求的值． 设，，则，， ∴； (1)【应用】请仿照上面的方法求解下面问题： 若满足，求的值； (2)【拓展】已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是8，分别以、为边作正方形． ①_________，_________；（用含的式子表示） ②求阴影部分的面积． 【答案】(1)5；(2)①，，②12 【详解】（1） 设，， 则，， ∴ ． （2） ①∵四边形是长方形，，四边形是正方形， ∴，， ∴， ， 故答案为：，． ②∵长方形的面积是8， ∴， 阴影部分的面积 设，，则，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 即阴影部分的面积是12． 13．阅读材料：若满足 （8-x）（x-6）=-3，求（8-x）2+（x-6）2的值． 解：设8-x=a，x-6=b，则（8-x）（x-6）=ab=-3，a+b=8-x+x-6=2 所以（8-x）2+（x-6）2=a2+b2=（a+b）2-2ab=22-2×（-3）=10 请仿照上例解决下面的问题： (1)问题发现：若x满足（3-x）（x-2）=-10，求（3-x）2+（x-2）2的值； (2)若（6-x）2+（x-4）2=8求（6-x）（x-4）的值； (3)类比探究：若x满足（2022-x）2+（2021-x）2=2020；求（2022-x）（2021-x）的值； 【答案】(1)21；(2)-2；(3) 【详解】（1） 解：设3-x=a，x-2=b， 则ab=（3-x）（x-2）=-10，a+b=（3-x）+（x-2）=1 ∵ ∴ ∴ （2） 解：设6-x=a，x-4=b， 则a+b=（6-x）+（x-4）=2， ∵ 即 ∴ab=-2 （3） 解：2022-x=a，2021-x=b， 则a-b=（2022-x）-（2021-x）=1， ∵ ∴ ∴ 14．已知，是一条角平分线． 【探究发现】如图1，若是的角平分线．可得到结论：． 小红的解法如下： 过点D作于点E，于点F，过点A作于点G， ∵是的角平分线，且， ∴______． ∴______， 又∵， ∴______． 【类比探究】如图2，若是的外角平分线，与的延长线交于点D． 求证： 【拓展应用】如图3，在中，，分别是的角平分线且相交于点D，，直接写出的值是______． 【答案】（1）；；；（2）见解析；（3） 【详解】探究发现：解：过点D作于点E，于点F，过点A作于点G， ∵是的角平分线，且， ∴ ∴， 又∵， ∴， 故答案为：，；； 类比探究：证明：过点D作于N，过点D作于M．过点A作于点P． ∵平分， ∴． ∴， ∴ 拓展应用：在BC上取点G，使得，连接， ∵分别是的角平分线且相交于点D， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴是的角平分线 由（1）知，， 设，，， 由（1）知，，． 15．(1)阅读理解：如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，再连接(或将绕着点逆时针旋转得到)，把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是______； (2)问题解决：如图2，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：； (3)问题拓展：如图3，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于，两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)；(2)见解析；(3)，证明见解析 【详解】（1）解：延长至，使，连接，如图①所示： ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在中，由三角形的三边关系得：， ∴，即， ∴； 故答案为：； （2）证明：延长至点，使，连接，，如图所示 同（1）得，， ，， ， 在中，由三角形的三边关系得， （3） 证明如下： 延长至点，使，连接，如图所示 ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ． ， 16．【问题背景】 小明遇到这样一个问题：如图1，在中，，平分，试判断和之间的数量关系． 【初步探索】 小明发现，将沿翻折，使点A落在边上的E处，展开后连接，则得到一对全等的三角形，从而将问题解决（如图2） （1）写出图2中全等的三角形____________________； （2）直接写出和之间的数量关系__________________； 【类比运用】 （3）如图3，在中，，平分，求的周长． 小明的思路：借鉴上述方法，将沿翻折，使点C落在边上的E处，展开后连接，这样可以将问题解决（如图4）； 请帮小明写出解答过程： 【实践拓展】 （4）如图5，在一块形状为四边形ABCD的空地上，养殖场丁师傅想把这块地用栅栏围成两个小型的养殖场，即图5中的和，若平分．请你帮丁师傅算一下需要买多长的栅栏． 【答案】（1）；（2）；（3）的周长为5；（4）需要买长的栅栏 【详解】解：（1）如图2， 沿翻折得到 ； （2）， 理由：， ， 由翻折得，， ， ， ， ， ； （3）如图4，将沿翻折，使点C落在边上的点E处，展开后连接， 由翻折得，， ， ， ， ， ， ， ， 的周长为5； （4）如下图5，将沿翻折，使点C落在边上的点E处，连接，作于F， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， 解得：， ， ， ， 需要买长的栅栏． 17．【探究】如图，P是等边三角形内的一点，连接，以为边作，且，连接． (1)直接写出与之间的关系． (2)若，，，连接，判断的形状，并说明理由． (3)【应用】如图，P是等腰直角三角形内的一点，，，且，，，求的大小． 【答案】(1)；(2)是直角三角形，理由见解析；(3) 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴； （2）解：是直角三角形，理由如下： 如图，连接， 由（1）得：， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴是直角三角形； （3）解：如图，把绕点C逆时针旋转得到，则， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 在中，， ∵， ∴为直角三角形，即， ∴． 18．【问题背景】在中，，，三边的边长分别为，，，求这个三角形的面积．小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为），再在网格中画出格点，如图所示．这样不需求的高，借助网格就能计算三角形的面积． (1)直接写出的面积， ． (2)【思维拓展】若 三边的长分别为，，，请利用图的正方形网格中画出（每个小正方形的边长为），并直接写出的面积， ． (3)【探索创新】若 的三边长分别为，，（，，且），请直接写出的面积， ． 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）∵， ∴如图：即为所作： ， 故答案为：； （3）根据题意可得： ， 故答案为：． 19．背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明精彩粉呈，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，，，请用a，b，c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： (1)________，__________，___________，则它们满足的关系式为____________，经化简，可得到勾股定理．（提示：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半） 知识运用： (2)如图2，铁路上A，B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C，D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为_________千米（直接填空）； (3)在（2）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图3中作出P点的位置并求出的距离． (4)知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式+的最小值__________（0＜x＜16）． 【答案】(1)，，，；(2)41；(3)P点的位置见解析，千米．(4) 【详解】（1）解：， ， ， ． ∴， ∴， 故答案为：，，， ； （2）如图2①，连接，作于点E， ∵，， ∴，， ∴千米， ∴千米， ∴两个村庄相距41千米． 故答案为：41． （3）尺规作图如图2②所示： 设千米，则千米， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， 即千米． （4）如图3， 作点C关于的对称点，连接交于点P， ∴， ∴的最小值， ∵，， ∴代数式的最小值为：． 20．【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决此类问题时一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则． 例：已知，，其中．求证：．证明：． ∵， ∴． ∴． 【新知应用】 （1）比较大小：______． （2）甲、乙两个长方形的长和宽如图所示（m为正整数），其面积分别为、．试比较、的大小关系． 【实际应用】 （3）请用“作差法”解决下列问题： 某游泳馆在暑假期间对学生优惠开放，有A、B两种方案可供选择，A方案：每次按原价打八五折；B方案：第一次按照原价，从第二次起每次打八折．请问游泳的同学选择哪种方案更合算？ 【拓展提升】 （4）已知x、y、z满足，，比较代数式与的大小． 【答案】（1）；（2）（3）当时， A方案合算；当时，此时两个方案的总价相同；当时， B方案合算；（4） 【详解】解：（1）根据材料得， ∴ 故填； （2）由图知： ∴ ∵m是正整数 ∴ ∴ ∴ （3）设原价为a（），去的次数为x（x为正整数），总价分别为 根据题意可知：， ∵，x为正整数， ∴当时，，故，此时A方案合算； 当时，，故，此时两个方案的总价相同； 当时，，故，此时B方案合算； （4）由、得、， 联立方程组并解得 ∴== ∴ 21．先阅读理解下面例题，再按要求解答下列问题： 例：解不等式． 解：∵， ∴原不等式可化为． 由有理数乘法法则：两数相乘，异号得负，得： ① ，或②． 解不等式组①得，解不等式组②无解， ∴原不等式的解集为． 请你模仿例题的解法，解决下列问题： (1)不等式解集为 ； (2)不等式解集为 ； (3)拓展延伸：解不等式． 【答案】(1)或；(2)；(3)． 【详解】（1）∵， ∴原不等式可化为 ， 由有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，得 ① ②， 解不等式组①得， 解不等式组②得： ∴原不等式 的解集为或； （2）解：∵， ∴原不等式可化为 ， 由有理数乘法法则：两数相乘，异号得负，得 ① ② 解不等式组①无解，解不等式组②，得， ∴原不等式的解集为； （3）由有理数除法法则：两数相除，异号得负，且分数的分母不为0，得 ① ② 解不等式组①无解，解不等式组②，得， ∴原不等式的解集为． 22．【阅读材料】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． 【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题： (1)由图2可得等式：__________；由图3可得等式：__________； (2)利用图3得到的结论，解决问题：若，，则__________； (3)如图4，若用其中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形（无空隙、无重叠地拼接），则______； (4)如图4，若有3张边长为的正方形纸片，4张边长分别为的长方形纸片，5张边长为的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为______． 【方法拓展】 (5)已知正数，，和，，，满足．试通过构造边长为的正方形，利用图形面积来说明． 【答案】(1)（2a+b）（a+b）=2a2+b2+3ab；（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；(2)150；(3)8；(4)a+2b；(5)见解析 【详解】（1） 解：由图2知，大长方形的面积=（2a+b）（a+b）， 大长方形的面积=3个小正方形的面积+3个小长方形的面积=a2+a2+b2+3ab=2a2+b2+3ab， ∴（2a+b）（a+b）=2a2+b2+3ab； 由图3知，大正方形的面积=（a+b+c）2， 大正方形的面积=3个正方形的面积+2个小长方形的面积+2个小长方形的面积+2个小长方形的面积=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc， ∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； 故答案为：（2a+b）（a+b）=2a2+b2+3ab； =a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； （2） 由图3得（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc， ∴a2+b2+c2=（a+b+c）2-（2ab+2ac+2bc）=（a+b+c）2-2（ab+ac+bc）， 当，时， a2+b2+c2=152-2×35=150； 故答案为：150 （3） 解：∵（2a+b）（a+2b）=2a2+4ab+ab+2b2=2a2+5ab+2b2，2， ∴长方形可以看成2张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为a、b的长方形纸片拼成的大长方形， ∴x=1，y=2，z=5， ∴x+y+z=8； 故答案为：8 （4） 解：3张边长为a的正方形纸片的面积为3a2，4张边长分别为ab的长方形纸片的面积为4ab，5张边长为b的正方形纸片的面积为5b2， ∵想从中取出若干张纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接）， ∴选取的纸片的面积和必须构成完全平方式， ∴可以选取1张边长为a的正方形纸片、2张边长分别为ab的长方形纸片、1张边长为b的正方形纸片， 此时围成的正方形面积为a2+2ab+b2=（a+b）2， ∴此时正方形的边长=a+b； 选取1张边长为a的正方形纸片、4张边长分别为ab的长方形纸片、4张边长为b的正方形纸片， 此时围成的正方形面积为a2+4ab+4b2=（a+2b）2， ∴此时正方形的边长=a+2b， ∵a+b＜a+2b， ∴拼成的正方形的边长最长为a+2b； 故答案为：a+2b； （5） 解：如图， 如图，构造了一个边长为k的正方形，AC=CE=EG=AG=k， 在正方形的4个边上分别截取AB=a，CD=b，EF= HG=c， ∵a+m=b+n=c+l=k， ∴BC=m，DE=n，FG=l，AH=l， ∴3个长方形的面积和为al+bm+cn，大正方形的面积为k2， ∴． 23．（1）【问题情境】 如图：在中，，点为边上的任意一点，过点作，，垂足分别为点，，过点作，垂足为点．求证：． （2）【变化一下】 ①当点在延长线上时，请画图探究，，三者之间的数量关系并给出证明； ②如图，满足，点为内任意一点，过点分别作，，，垂足分别为点，，，请直接写出，，和之间的关系． （3）【深入探究】 如图，在中，点为内任意一点，过点分别作，，，垂足分别为点，，，过点，，分别作，，，垂足分别为点，，，记，，分别为，，，请直接写出，，和，，之间的关系． 【答案】（1）见解析；（2）①，理由见解析；②；（3） 【详解】证明：（1）如下图中，连接． ， ， ， ． （2）①，理由如下： 连接，如下图： ， ， ， ． ②，理由如下： 连接，，，如下图 ∵ ∴ 由题意可得： ∴ （3）， 连接，，，如下图： 由题意可得： ∴， ∵ ∴ 则 则， 即 24．【问题提出】如图1，在等边三角形内部有一点P，，，，求的度数． (1)【尝试解决】将绕点A逆时针旋转，得到，连接，则为等边三角形． ∵，，， ∴ ∴为 三角形 ∴的度数为 ． (2)【类比探究】如图2，在等边三角形ABC外部有一点P，若∠BPA＝30°，求证． (3)【联想拓展】如图3，在中，，．点P在直线上方且，，求的长． 【答案】(1)直角；；(2)见详解；(3) 【详解】（1）解：如图1，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，则为等边三角形． ∵，，， ∴， ∴为直角三角形． ∴的度数为． 故答案为：直角；． （2）证明：如图2中，将绕点B逆时针旋转得到，连接． ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， 由旋转的性质可知：， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴． （3）解：过点C作于T，连接，设交于O．∵，， ∴， ∵， ， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得或（负值舍弃）， ∴， ∴． 25．（1）方法感悟： 如图①，在正方形中，点E、F分别为边上的点，且满足，连接．将绕点A顺时针旋转90°得到，易证，从而得到结论：，根据这个结论，若正方形的边长为1，则的周长为______ （2）方法迁移： 如图②，若在四边形中，，，E、F分别是 上的点，且，试猜想之间有何数量关系，证明你的结论 （3）问题拓展：如图③，在四边形中，，，B、F分别是边延长线上的点，且，试探究线段之间的数量关系，请直接写出你的猜想（不必说明理由） 【答案】（1）2，（2），证明见解析，（3） 【详解】解：（1） ∵， ∴， ∴的周长． （2） 证明如下： 如图，延长到G，使，连接， ， 在和中， ∵ ， 在和中， ， ， （3）结论：， 证明：如图所示，在上截取，使，连接． ∵在和中， ， ． ， ， ， ， ． 26．综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为，，，，显然． (1)请用，，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为______． (3)如图4，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 【答案】(1)见解析；(2)；(3) 【详解】（1）证明：∵，，， ∴ ∴ ∴ （2）， ， ， 即AB边上的高是 （3）解：在中，由勾股定理得 ∵， ∴ 在中，由勾股定理得 ∴， ∴ 27．十九世纪英国赫赫有名的谜题创作者在1903年的英国报纸上发表的“蚂蚁爬行”的问题．问题是：如图1，在一个长、宽、高分别为的长方体房间内，一只蚂蚁在右面墙的高度一半位置（即M点处），并且距离前面墙，苍蝇正好在左面墙高度一半的位置（即N点处），并且距离后面墙，蚂蚁爬到苍蝇处应该怎样爬行所走路程最短，最短路程是多少m？这只蚂蚁在长方体表面爬行的问题，引起了当时很多数学爱好者的研究与讨论，今天我们也一起来研究一下这个当时非常热门的数学问题！ 【基础研究】如图2，在长、宽、高分别为a，b，c的长方体一个顶点A处有一只蚂蚁，欲从长方体表面爬行去另一个顶点处吃食物，探究哪种爬行路径是最短的？ (1)观察发现：蚂蚁从A点出发，为了走出最短路线，根据两点之间线段最短的知识，并结合展开与折叠原理，一共有3种不同的爬行路线，即图3、图4、图5所示. 填空：图5是由______面与______面展开得到的平面图形；（填“前”、“后”、“左”、“右”、“上”、“下”） (2)推理验证：如图3，由勾股定理得，， 如图4，由勾股定理得，， 如图5，． 要使得的值最小， ∵ ……（请补全推理过程） ∴ ∴选择如图______情况，此时的值最小，则的值最小，即这种爬行路径是最短的． (3)【简单应用】如图6，长方体的长，宽，高分别为，点P是的中点，一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点P，则爬行的最短路程长为______cm． (4)【问题回归】 最后让我们再回到那道十九世纪英国报纸上发表的“蚂蚁爬行”的问题（如图1），那只蚂蚁所走的最短路程是______m． 【答案】(1)图5是由右、下或左、上展开得到的平面图形 (2)补全推理过程见解析，4；(3)50；(4)13 【详解】（1）由图可得，图5是由右、下或左、上展开得到的平面图形， 故答案为：右；下或左；上； （2）∵， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴情况为图4时，此时的值最小，则的值最小， 故答案为：4； （3）根据（2）可得，当为下图展开时为最短路程，作于， ∴， ∴ ∴在中，， 故答案为：； （4）由题意可得，当路线为如下所示时，为最短距离， ∵一个长方体的长、宽、高分别为且一只蚂蚁在右面墙的高度一半位置（即M点处），并且距离前面墙，苍蝇正好在左面墙高度一半的位置（即N点处），并且距离后面墙， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴那只蚂蚁所走的最短路程是， 故答案为：13． 28．阅读以下材料： 指数与对数之间有密切的联系，它们之间可以互化．对数的定义：一般地，若（且），那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式，可以转化为指数式． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： （，，，）； 设，，则，， ，由对数的定义得 又， 请解决以下问题： (1)将指数式转化为对数式______； (2)求证：（，，，）； (3)拓展运用：计算______． 【答案】(1)；(2)见解析；(3)2 【详解】(1)解：（或）； 故答案为：（或）； （2）解：设，，则，， ∴，由对数的定义得， 又∵， ∴； (3)解： ．
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