【专项练习】全套专题数学八年级上册专题08 三角形最值问题（解析版）

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08最值问题 1．如图，点P是的平分线上一点，于点E，点F为射线上一点．若，则长的最小值是（　 　 ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】解：∵点到直线垂线段最短， ∴时长有最小值， ∵点P是的平分线上一点，于点E，， ∴时, 故选：C． 2．如图：等腰的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接，． 是等腰三角形，点是边的中点， ， ，解得， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点，， ， 的长为的最小值， 的周长的最小值为 ． 故选：C． 3．如图，等边三角形的边长为2，A、B、三点在一条直线上，且．若D为线段上一动点，则的最小值是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】解：连接交于点， ，，共线， 过点作直线， ， 与关于直线对称， ， ， ， ， ，， ，关于直线对称， 当点与重合时，的值最小，最小值为线段的长， 故选：B． 4．如图，中，，垂直平分，点为直线上一动点，则的最小值为（     ） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】解：∵垂直平分， ∴关于对称， 设交于， ∴当和重合时，的值最小，最小值等于的长， 的最小值是5. 故选：B． 5．如图，在中，，，是的中点，垂直平分，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为（　 　） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【详解】解：垂直平分， ， ， 当，，在同一直线上时，， 即的长度的最小值， 的最小值为12， 故选：． 6．如图，在中，，，垂足为，点，分别为，上的动点，且，，则的最小值是（     ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【详解】解：过作于，交于，连接，则最小根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短， ，， 和关于直线对称， ，即，   ∵，， ∴，即， 故选：B． 7．如图，在中，，，是的平分线，．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（     ） A． B．4 C．5 D． 【答案】A 【详解】解：过点B作于点Q，交 于点P，如图所示： ，是的平分线， ， 垂直平分， ， 要使取最小值，则当时，为最小值， ， 又， ， ， 故选：A． 8．如图，在等边中，为中点，点，分别为，上的点，，，在上有一动点，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【详解】解：是等边三角形， ， ∵在等边三角形中，D为AC的中点， ∴BD为的中线， ，，， ， 如图，作点关于的对称点Q'，连接PQ'交于，连接， 此时的值最小，最小值EQ'=PQ'， ，， DQ'=2， ∴CQ'=， =AQ'=7， ， 是等边三角形， ∴PQ'=， 的最小值为7， 故选：A． 9．如图，过边长为2的等边的顶点C作直线，然后作关于直线l对称的，P为线段上一动点，连接，，则的最小值是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】解：如图，连接， ∵与关于直线l对称， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ，，， ∴， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点P与点C重合，即点B，P，共线时，取得最小值，最小值为， 即的最小值为4． 故选：A． 10．如图，在锐角三角形中，，的面积为，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，作N关于的对称点，连结，与交于点O，过C作于E， ∵平分 ∴在上，且 ∴， ∴根据两点之间线段最短可得 的最小值为，即C点到线段某点的连线， ∴根据垂线段最短，的最小值为C点到的垂线段的长度， ∵ 的面积为 10 ∴ ∴ 故选B． 11．如图，在中，，是的中点，垂直平分，点是直线上一个动点，连接，．若，，则的最小值是（    ） A．12 B．13 C．15 D．20 【答案】B 【详解】解：连接， 垂直平分， ， ， 当、、三点在同一直线上，最短，最短距离为长． ，， ， 即的最小值是13， 故选：B． 12．如图， 中，，，， 平分 ，如果 、 分别为 、 上的动点，那么 的最小值是（     ） A．2.4 B．3 C．4 D．4.8 【答案】A 【详解】过点作于，交于点，过点作于点， ∵平分， ∴， ∴， ∵中，，，，，， ∵， ∴， ∴，即的最小值是 故选A． 13．如图，在等腰中，，平分，平分，M、N分别为射线、上的动点，若，则的最小值为（     ） A．7 B．6 C．5 D．10 【答案】C 【详解】过点C作，交的延长线于点F，则的最小值为， 延长两线交于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴的最小值为5， 故选D． 14．如图，在中，，，，、、分别是边、、上的动点，连接、、，则的最小值是______． 【答案】 【详解】在中， ∵， ∴ ∵ ∴当点、与点重合，且点运动至时，值最小． ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 15．如图，点为内部一定点，点、分别为边、上动点，当周长最小值等于时，则_______． 【答案】 【详解】如图，作关于，的对称点，连接．则当是与的交点时， 的周长等于． 又 ∴当周长最小值等于时，是等边三角形， ∴， 根据对称性可知 故答案为： 16．如图，是等边三角形，，在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、，则的周长最小值是_____________． 【答案】 【详解】解：∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为， ∴当最小时，的周长最小， 当，时，最小， 过作于， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的周长最小值是． 故答案为：． 17．如图，等边三角形中，是边上的中线，F是边上的动点，E是边的中点．当的周长取得最小值时，的度数为________°． 【答案】60 【详解】解：过E作，交于N，连接交于F，连接， ∴， ∵是等边三角形， E是边的中点． ∴， ∴， 为等边三角形， ∴， ∴， ∵是边上的中线，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴E和M关于对称， 则此时的值最小，的周长最小， ∵是等边三角形， ∴， ∵，   ∴，， ∴ 由轴对称的性质可得：， ∴， 故答案为： 18．如图，在等边中，平分，为上一动点，为的中点，连接、，且的最小值为，则______． 【答案】13 【详解】解：如图，连接，，首先根据等边三角形的性质得到垂直平分，然后根据垂直平分线的性质得到当点，，在一条直线上时，取值最小，最后根据等边三角形的性质求解即可． ∵是等边三角形中的平分线， ∴垂直平分， ∴， ∴， 由两点间线段距离最短可知，当点，，在一条直线上时，取值最小，最小值为， ∵为等边三角形，为的中点， ∴． 故答案为：13． 19．如图，等腰三角形的底边长为4，面积是12，腰的垂直平分线分别交，边于F，E点．若点D为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值为______． 【答案】8 【详解】解：连接，， ∵腰的垂直平分线分别交，边于F，E点 ∴ ∴的周长为 ∴周长的最小值为 ∵等腰三角形，点D为边的中点 ∴， ∵，即 ∴解得 ∴周长的最小值为． 故答案为：8． 20．有一个四边形场地，则的最大值为_____． 【答案】25 【详解】解：以为边向外作等边三角形，连接，如图所示： 则， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； 当C、B、E三点共线时，最大， ∴的最大值为25， 故答案为：25． 21．如图，长方形中，，，E为边上的动点，F为的中点，连接、，则的最小值为_____． 【答案】15 【详解】作F关于的对称点，连接，交于点E，则的长即为的最小值． 【分析】解：作F关于的对称点，连接，交于点E，则的长即为的最小值． ∵长方形中，，F为的中点， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为15． 故答案为：15． 22．如图，在中，，，点是边上的一个动点，连接，以为边作，使，为的中点，连接，则线段的最小值为______． 【答案】2 【详解】解：如图，取中点，连接，， ，点是中点，点是中点， ∴， ，， ∴， ∴， ， ，， 在和中，， ≌， ∴， 有最小值，也有最小值， 当时，有最小值， ，，， ∴， 线段的最小值为． 故答案为：． 23．如图，中，，，，点在上，将沿折叠，点落在点处，与相交于点，则的最大值为________． 【答案】 【详解】解：在中，，，， ， ，， 当最小时，最大， 当时最小， 又，解得， 的最小值为， 的最大值为， 故答案为：． 24．如图，在中，，，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则的最小值是________． 【答案】 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点，过点作于点， ∵是的平分线， ∴， 则此时有最小值，最小值为的长， ∵，，，， 又∵， ∴， ∴的最小值是． 故答案为： 25．如图，边长为9的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接．则在点M运动过程中，线段长度的最小值是______． 【答案】 【详解】解：如图，取的中点G，连接， ∵线段绕点逆时针旋转得到， ∴， 又∵是等边三角形， ∴， 即， ∴， ∵是等边三角形的高， ∴， ∴， 又∵旋转到， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， 根据垂线段最短，当时，最短，即最短， 此时， ∴， ∴， ∴． ∴线段长度的最小值是． 故答案为：． 26．如图，将沿折叠，使顶点C恰好落在边上的点M处，点D在上，点P在线段上移动，若，则周长的最小值为________． 【答案】 【详解】解：如图，连接， 由翻折的性质可知，，垂直平分， ∴， ∵，， ∴，， ∴M点为上一个固定点，则长度固定， ∴， ∵周长， ∴要使得周长最小，即使得最小， ∵， ∴满足最小即可， 当P、B、C三点共线时，满足最小， 此时，P点与D点重合，， ∴周长最小值即为 故答案为：12． 27．如图，在中，， ，，点分别在边上，且，则的最小值为__________． 【答案】 【详解】解：过点作，截取，连接，过作，交的延长线于，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的最小值，即为的长， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为． 故答案为：． 28．如图，A、B两点在直线外的同侧，A到的距离，B到的距离，点P在直线上运动，则的最大值等于___________． 【答案】10 【详解】解：如图，延长交于点，过点B作， ∵， ∴当点P运动到点时，最大，即为的长． ∵， ∴， ∴， ∴的最大值等于10． 故答案为：10． 29．如图，在中，，．的垂直平分线分别交，边于E、D两点，若点F为边的中点，点P为线段上一动点，当周长的最小值为7时，此时的面积是_____． 【答案】10 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴A与B关于对称， 连接，交于点P， ∵， ∴， 当A、P、F三点共线时，周长最小， ∵周长的最小值为7， ∴， ∵F为边的中点，，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：10． 30．如图，等腰的直角边长为4，D、E分别为边上两个动点，且，则的最小值__________ 【答案】 【详解】解：由题意可得如图所示： 过点A作，且，连接，如图所示， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当为最小时，即为最小， ∴当点C、D、H三点共线时即为最小， 连接，交于点M， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴ ∴CD+BE的最小值为； 故答案为∶ ． 31． (1)如图，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距200米，C，D为两个菜园（看作两个点）， ， ，垂足分别为A，B， 米， 米，现在菜农要在 上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短．请在图中作出点P，保留作图痕迹，并求出 的最小值． (2)借助上面的思考过程，请直接写出当 时，代数式的最小值＝_____． 【答案】(1)250米；(2)17 【详解】（1）作点C关于 的对称点F，连接 交 于点P，连接 ，点P即为所求； 作 交 的延长线于E． 在 中，∵ 米， 米， ∴（米）， ∴ 的最小值为250米； （2）先作出点C关于 的对称点F，连接 ，作 交 的延长线于E．使 ， ， ，DF的长就是代数的最小值， ∵ ∴代数式的最小值为17． 故答案为：17． 32．在中，，，，的中垂线交于D，交于点E． (1)如图1，连接，请求出的长； (2)如图2，延长交的延长线于点F，连接，请求出的长； (3)如图3，点P为直线上一动点，点Q为直线上一动点，则的最小值为　 　． 【答案】(1)；(2)5；(3) 【详解】（1）∵是的中垂线， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：，解得：，即 （2）∵是的中垂线， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：，解得：，即的长为5； （3）的最小值为 理由：连接，过B作于M，交直线于，过作于，如图3所示： ∵是的中垂线， ∴， ∴， ∵，， ∴， 则点M与关于对称，此时， 即的值最小＝， 由（2）得，， ∴， ∵， ∴的面积， ∴ 即的最小值为 故答案为：． 33．如图，在中，，的垂直平分线交于 N，交于M，连接． (1)尺规作图：作的平分线与交于点D，与交于点E； (2)在（1）的条件下，若，求的度数； (3)若，，在直线上是否存在点P，使由P，B，C构成的的周长值最小？ 若存在，标出点P的位置并求的周长最小值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)见解析；(2)；(3)存在；的周长的最小值为14cm 【详解】（1）解：即为所求作的角平分线，如图所示： （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵垂直平分， ， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （3）解：存在；的周长的最小值为14cm． ∵垂直平分， ， ∴当点P与点M重合时，的周长最小， ∵，， 的周长的最小值为： ． 34．如图，在中，，的垂直平分线与，分别相交于点E，D，连接． (1)若，则的度数为______； (2)若，的周长为14． ①求的长； ②在直线上是否存在点P，使得的值最小？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)30°；(2)①BC=6；②存在，PB+CP的最小值为8 【详解】（1）在中，， ， ， 垂直平分， ， ． 故答案为：30°． （2）①垂直平分， ． 的周长为14，， ． ． ②存在．当P点与D点重合时，的值最小，此时， ． 即的最小值为8． 35．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力． 【知识运用】 (1)如图，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 米． (2)在（1）的背景下，若千米，千米，千米，现要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图中作出P点的位置并求出的距离． (3)【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，则代数式（其中）最小值为 ． 【答案】(1)41；(2)见解析，的距离为16千米；(3)15． 【详解】（1）解：如图1，连接，作于点E， ∵，， ∴，， ∴千米，千米， ∴千米， ∴（千米）， 即两个村庄的距离为41千米， 故答案为：41； （2）解：如图2，连接，作的垂直平分线交于P，点P即为所求， 设千米，则千米， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， 即的距离为16千米； （3）解：如图3，，，，，，设， 则， 作点C关于的对称点F，连接，过点F作于E，则是的最小值，即代数式的最小值， ∵，，， ∴代数式最小值为：， 故答案为：15．