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初中数学北师大版九年级下册4 解直角三角形精品课时作业
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这是一份初中数学北师大版九年级下册4 解直角三角形精品课时作业，共39页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2023•北海一模）如图，小雅家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A处）在她家北偏东60°方向500m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（ ）
A．250mB．250mC．mD．250m
2．（2022•邯郸三模）如图，甲、乙两船同时从港口O出发，其中甲船沿北偏西30°方向航行，乙船沿南偏西70°方向航行，已知两船的航行速度相同，如果1小时后甲、乙两船分别到达点A、B处，那么点B位于点A的（ ）
A．南偏西40°B．南偏西30°C．南偏西20°D．南偏西10°
3．（2021•二道区一模）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，距离灯塔40海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔的正东方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离PB的长可以表示为（ ）
A．40海里B．40sin37°海里
C．40cs37°海里D．40tan37°海里
4．（2022秋•南岗区校级月考）如图，一条船从灯塔C南偏东42°的A处出发，向正北航行8海里到达B处，此时灯塔C在船的北偏西84°方向，则船与灯塔C距离为（ ）海里．
A．4B．8C．16D．24
5．（2022•工业园区校级一模）一艘渔船从港口A沿北偏东60°方向航行60海里到达C处时突然发生故障，位于港口A正东方向的B处的救援艇接到求救信号后，立即沿北偏东45°方向以40海里/小时的速度前去救援，救援艇到达C处所用的时间为（ ）
A．小时B．小时C．小时D．小时
6．（2022•深圳模拟）如图，点A到点C的距离为200米，要测量河对岸B点到河岸AD的距离．小明在A点测得B在北偏东60°的方向上，在C点测得B在北偏东30°的方向上，则B点到河岸AD的距离为（ ）
A．100米B．200米C．米D．100米
7．（2022秋•惠山区期中）一艘货轮从小岛A正南方向的点B处向西航行30km到达点C处，然后沿北偏西60°方向航行20km到达点D处，此时观测到小岛A在北偏东60°方向，则小岛A与出发点B之间的距离为（ ）
A．20kmB．kmC．kmD．km
8．（2022•新乐市校级模拟）某渔船在海上进行捕鱼作业，当渔船航行至B处时，发现正北方向（6+6）海里的C处有海盗出没，为了安全，请求A处的海警前往C处护航．如图，已知C位于A处的东北方向上，A位于B的北偏西30°方向上，则A和C之间的距离为（ ）海里．
A．6B．6C．12D．12
9．（2022春•汉阳区期中）如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的北偏西60°方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15°方向上，码头A到小岛C的距离AC为（+1）海里．观测站B到AC的距离BP是（ ）
A．B．1C．2D．
10．（2022•石家庄二模）如图，某渔船正在海上P处捕鱼，先向北偏东30°的方向航行10km到A处，然后右转40°再航行到B处．在点A的正南方向，点P的正东方向的C处有一条船，也计划驶往B处，那么它的航向是（ ）
A．北偏东10°B．北偏东30°C．北偏东35°D．北偏东40°
二、填空题。
11．（2022•新洲区模拟）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔50海里的A处，海轮沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时B处距离灯塔P的距离约为 海里（结果取整数，参考数据：≈1.73，sin34°≈0.56）．
12．（2022•大东区二模）如图，我国的一艘海监船在钓鱼岛A附近沿正东方向航行，船在B点时测得钓鱼岛A在船的北偏东60°方向，船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C点，此时钓鱼岛A在船的北偏东30°方向．请问船继续航行 海里与钓鱼岛A的距离最近？
13．（2022•朝阳区校级开学）一艘船向正北方向航行，在A处时看到灯塔S在船的北偏东30°的方向上，继续航行12海里到达B处，看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上．若继续沿正北方向航行，航行过程中船距灯塔S的最近距离为 海里．（结果精确到0.1海里）（参考数据：≈1.41，≈1.73）
14．（2022•丰润区二模）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为 海里；AB＝ 海里（结果保留根号）．
15．（2022•绥化三模）如图，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上，航行2小时后到达N处，观测灯塔P在西偏南46°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，求此时轮船离灯塔的距离约为 海里．（结果保留整数，参考数据：sin68°≈0.9272，sin46°≈0.7193，sin22°≈0.3746，sin44°≈0.6947．）
16．（2022秋•清江浦区月考）小红和爸爸绕着小区广场锻炼，在矩形广场ABCD边AB的中点M处有一座雕塑，在某一时刻，小红到达点P处，爸爸到达点Q处，此时雕塑在小红的南偏东45°方向，爸爸在小红的北偏东60°方向，若小红到雕塑的距离PM＝30m，则小红与爸爸的距离PQ＝ ．（结果保留根号）
17．（2022•岳阳）喜迎二十大，“龙舟故里”赛龙舟．丹丹在汨罗江国际龙舟竞渡中心广场点P处观看200米直道竞速赛．如图所示，赛道AB为东西方向，赛道起点A位于点P的北偏西30°方向上，终点B位于点P的北偏东60°方向上，AB＝200米，则点P到赛道AB的距离约为 米（结果保留整数，参考数据：≈1.732）．
18．（2022•黄石模拟）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为 km．
三、解答题。
19．（2022•锦州）如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A处时，测得码头C在北偏东60°方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东70°方向航行20海里到达码头C．求货轮从A到B航行的距离（结果精确到0.1海里．参考数据：sin50°≈0.766，cs50°≈0.643，tan50°≈1.192）．
20．（2022•榆次区一模）一款被称作“小蛮驴”的智能送快递机器人本学期在我省某高校投入使用，据悉“小蛮驴”兼具人工智能和自动驾驶技术．如图，点A为该校快递收纳站点，点B，C分别为两处宿舍楼，“小蛮驴”将会从点A出发，沿着A﹣B﹣C﹣A的路径派送快递．已知点B在点A的正北方向，点C在点A的北偏东20°方向，在点B的北偏东60°方向，点B与点C相距1000米，求点A到点B的距离．（结果精确到1m，参考数据：sin20°≈0.34，cs20°≈0.94，tan20°≈0.36，≈1.73）
21．（2022秋•莱西市期中）九年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动，当天，他们先从基地门口A处向正北方向走了220米，到达菜园B处锄草，再从B处沿正西方向走了200米，到达果园C处采摘水果，再向南偏东37°方向走了200米，到达手工坊D处进行手工制作，最后从D处回到门口A处．
（1）求从手工坊D处回到门口A处的距离．
（2）求从手工坊D处回到门口A处的方位角．
[参考数据：sin37≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75]
22．（2022秋•香坊区校级月考）如图，AC是某市环城路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，其与环城路AC的交叉路口分别是A，B，C．经测量花卉市场D位于点A的北偏东45°方向，点B的北偏东30°方向上，AB＝2km，∠DAC＝15°．求花卉市场D点到环城路AC之间的距离．
23．（2022•青岛）如图，AB为东西走向的滨海大道，小宇沿滨海大道参加“低碳生活•绿色出行”健步走公益活动，小宇在点A处时，某艘海上观光船位于小宇北偏东68°的点C处，观光船到滨海大道的距离CB为200米．当小宇沿滨海大道向东步行200米到达点E时，观光船沿北偏西40°的方向航行至点D处，此时，观光船恰好在小宇的正北方向，求观光船从C处航行到D处的距离．
（参考数据：sin40°≈0.64，cs40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin68°≈0.93，cs68°≈0.37，tan68°≈2.48）
24．（2022秋•九龙坡区校级期中）期中测试临近学生都在紧张的复习中，小甘和小西相约阳末去图书馆复习，如图，小甘从家A地沿着正东方向走900m到小西家B地，经测量图书馆C地在B地的北偏东15°，C地在A地的东北方向，
（1）求AC的距离；
（2）两人准备从B地出发，突然接到疾控中心通知，一名确诊的新冠阳性患者昨天经过了C地，并沿着C地南偏东22°走了1800m到达D地，根据相关要求，凡是确诊者途径之处800m区域以内都会划为管控区，问：小西家会被划为管控区吗？请说明理由（参考数据：≈1.73，≈1.41，≈2.45，sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75）．
25．（2022春•沙坪坝区校级期中）如图，A，B，C，D，E为同一地区的五个景点．已知景点B位于景点A的南偏西30°方向，位于景点C的东南方向800米处，若景点A，C与E，D都位于东西方向，且景点D位于景点C的北偏西30°方向1000米处，景点E位于景点A的西北方向．
（1）求景点A与景点C相距多少米？（结果保留根号）
（2）为了方便旅客游览，景区决定在景点D和E之间修一条笔直的道路，求道路DE的长度．（参考数据：＝1.732，结果精确到1米）
26．（2022春•江北区校级期中）某景区A、B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A到景点B须经过C处才能到达．测得景点B在景点A的北偏东30°方向，从景点A出发向正北方向步行600米到达C处，测得景点B在C的北偏东75°方向．当地政府为了方便游客浏览，打算修建一条从景区A到景区B的笔直的跨湖栈道AB．
（1）求点C到直线AB的距离；
（2）栈道修通后，从景点A到景点B走栈道比原路线少走多少米？
（结果保留整数，参考数据：≈1.414，≈1.732）
27．（2022秋•九龙坡区校级月考）今年暑假，妈妈带着明明去草原骑马．如图，妈妈位于游客中心A的正北方向的B处，其中AB＝2km．明明位于游客中心A的西北方向的C处．烈日当空，妈妈准备把包里的太阳帽给明明送去，于是，妈妈向正西方向匀速步行，同时明明骑马向南偏东60°方向缓慢前进．15分钟后，他们在游客中心A的北偏西37°方向的点D处相遇．
（1）求妈妈步行的速度；
（2）求明明从C处到D处的距离．
（参考数据：sin37°≈0.8，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.73，≈1.41，结果保留两位小数）
专题1.6 解直角三角形的应用-方向角问题（能力提升）
一、选择题。
1．（2022•北海一模）如图，小雅家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A处）在她家北偏东60°方向500m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（ ）
A．250mB．250mC．mD．250m
【答案】A。
【解答】解：∠AOB＝90°﹣60°＝30°，
∵∠ABO＝90°，OA＝500m，
∴AB＝OA＝250m，
故选：A．
2．（2022•邯郸三模）如图，甲、乙两船同时从港口O出发，其中甲船沿北偏西30°方向航行，乙船沿南偏西70°方向航行，已知两船的航行速度相同，如果1小时后甲、乙两船分别到达点A、B处，那么点B位于点A的（ ）
A．南偏西40°B．南偏西30°C．南偏西20°D．南偏西10°
【答案】C。
【解答】解：∵甲船沿北偏西30°方向航行，乙船沿南偏西70°方向航行，两船的航行速度相同，
∴AO＝BO，∠BOA＝80°，∠OAD＝30°，
∴∠BAO＝∠ABO＝50°，
∴∠BAD＝∠BAO﹣∠OAD＝50°﹣30°＝20°，
∴点B位于点A的南偏西20°的方向上，
故选：C．
3．（2021•二道区一模）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，距离灯塔40海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔的正东方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离PB的长可以表示为（ ）
A．40海里B．40sin37°海里
C．40cs37°海里D．40tan37°海里
【答案】B。
【解答】解：∵一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，
∴∠BAP＝37°，
∵AP＝40海里，
∴BP＝AP•sin37°＝40sin37°海里；
故选：B．
4．（2022秋•南岗区校级月考）如图，一条船从灯塔C南偏东42°的A处出发，向正北航行8海里到达B处，此时灯塔C在船的北偏西84°方向，则船与灯塔C距离为（ ）海里．
A．4B．8C．16D．24
【答案】B。
【解答】解：由题意得，∠BAC＝42°，∠BCA＝84°﹣42°＝42°，AB＝8海里，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴BC＝AB＝8海里，
即船与灯塔C距离为8海里．
故选：B．
5．（2022•工业园区校级一模）一艘渔船从港口A沿北偏东60°方向航行60海里到达C处时突然发生故障，位于港口A正东方向的B处的救援艇接到求救信号后，立即沿北偏东45°方向以40海里/小时的速度前去救援，救援艇到达C处所用的时间为（ ）
A．小时B．小时C．小时D．小时
【答案】D。
【解答】解：过点C作CD⊥AB交AB的延长线于D，
在Rt△CAD中，∠CAD＝30°，AC＝60海里，
则CD＝AC＝30海里，
在Rt△CBD中，∠CBD＝45°，
则BC＝CD＝30海里，
∴救援艇到达C处所用的时间＝＝（小时），
故选：D．
6．（2022•深圳模拟）如图，点A到点C的距离为200米，要测量河对岸B点到河岸AD的距离．小明在A点测得B在北偏东60°的方向上，在C点测得B在北偏东30°的方向上，则B点到河岸AD的距离为（ ）
A．100米B．200米C．米D．100米
【答案】D。
【解答】解：过点B作BE⊥AD，垂足为E，
由题意得：
∠BAD＝90°﹣60°＝30°，∠BCD＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ABC＝∠BCD﹣∠BAD＝30°，
∴∠ABC＝∠BAD＝30°，
∴AC＝BC＝200米，
在Rt△BCE中，BE＝BC•sin60°＝200×＝100（米），
∴B点到河岸AD的距离为100米，
故选：D．
7．（2022秋•惠山区期中）一艘货轮从小岛A正南方向的点B处向西航行30km到达点C处，然后沿北偏西60°方向航行20km到达点D处，此时观测到小岛A在北偏东60°方向，则小岛A与出发点B之间的距离为（ ）
A．20kmB．kmC．kmD．km
【答案】B。
【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，如图所示：
∵∠ABC＝90°，
∴四边形BCFE是矩形，
∴EF＝BC＝30km，CF＝BE，
由题意得：∠DCF＝60°，∠ADE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠CDF＝90°﹣60°＝30°，
∴CF＝CD＝×20＝10（km），
∴BE＝10km，
DF＝sin60°×CD＝×20＝10（km），
∴DE＝DF+EF＝（10+30）（km），
∴AE＝tan∠ADE•DE＝tan30°×DE＝×（10+30）＝（10+10）（km），
∴AB＝AE+BE＝10+10+10＝（10+20）（km），
故选：B．
8．（2022•新乐市校级模拟）某渔船在海上进行捕鱼作业，当渔船航行至B处时，发现正北方向（6+6）海里的C处有海盗出没，为了安全，请求A处的海警前往C处护航．如图，已知C位于A处的东北方向上，A位于B的北偏西30°方向上，则A和C之间的距离为（ ）海里．
A．6B．6C．12D．12
【答案】A。
【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，
由题意得，BC＝（6+6）海里，∠CAD＝45°，∠ABD＝30°，
设AD＝x海里，
在Rt△ACD中，∠CAD＝45°，
∴AD＝CD＝x海里，
在Rt△ABD中，tan30°＝，
解得BD＝x，
∴x+x＝6+6，
解得x＝6，
∴AD＝CD＝6海里，
∴AC＝＝6海里．
故选：A．
9．（2022春•汉阳区期中）如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的北偏西60°方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15°方向上，码头A到小岛C的距离AC为（+1）海里．观测站B到AC的距离BP是（ ）
A．B．1C．2D．
【答案】B。
【解答】解：由题意得：∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∠ABC＝90°+15°＝105°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝45°，
∵BP⊥AC，
∴∠BPA＝∠BPC＝90°，
∵∠C＝45°，
∴△BCP是等腰直角三角形，
∴BP＝PC，
∵∠BAC＝30°，
∴PA＝BP，
∵PA+PC＝AC，
∴BP+BP＝+1，
解得：BP＝1（海里），
故选：B．
10．（2022•石家庄二模）如图，某渔船正在海上P处捕鱼，先向北偏东30°的方向航行10km到A处，然后右转40°再航行到B处．在点A的正南方向，点P的正东方向的C处有一条船，也计划驶往B处，那么它的航向是（ ）
A．北偏东10°B．北偏东30°C．北偏东35°D．北偏东40°
【答案】C。
【解答】解：如图，连接BC，
由题意得：∠ACP＝∠ACD＝90°，∠PAC＝30°，PA＝10km，∠BAE＝40°，AB＝，
∴∠BAC＝180°﹣∠PAC﹣∠BAE＝180°﹣30°﹣40°＝110°，
∵cs∠PAC＝＝cs30°＝，
∴AC＝PA＝×10＝5（km），
∴AC＝AB，
∴∠ACB＝∠ABC＝×（180°﹣∠BAC）＝×（180°﹣110°）＝35°，
即B处在C处的北偏东35°方向，
故选：C．
二、填空题。
11．（2022•新洲区模拟）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔50海里的A处，海轮沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时B处距离灯塔P的距离约为 134 海里（结果取整数，参考数据：≈1.73，sin34°≈0.56）．
【答案】134。
【解答】解：过点P作PM⊥AB于点M，
由题意可得，EF∥AB，∠EPA＝60°，∠FPB＝34°，
∴∠PAM＝∠EPA＝60°，∠PBM＝∠FPB＝34°，
∵AP＝50，
在Rt△PAM中，
sin∠PAM＝＝＝，
∴PM＝75，
在Rt△PBM中，
sin∠PBM＝sin34°＝≈0.56，
∴PB≈134．
故答案为：134．
12．（2022•大东区二模）如图，我国的一艘海监船在钓鱼岛A附近沿正东方向航行，船在B点时测得钓鱼岛A在船的北偏东60°方向，船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C点，此时钓鱼岛A在船的北偏东30°方向．请问船继续航行 50 海里与钓鱼岛A的距离最近？
【答案】50。
【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，则∠ABC＝30°，∠ACD＝60°，
∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝30°，
∴CA＝CB．
∵CB＝50×2＝100（海里），
∴CA＝100（海里），
在直角△ADC中，∠ACD＝60°，
∴CD＝AC＝×100＝50（海里）．
则船继续航行50海里与钓鱼岛A的距离最近；
故答案为：50．
13．（2022•朝阳区校级开学）一艘船向正北方向航行，在A处时看到灯塔S在船的北偏东30°的方向上，继续航行12海里到达B处，看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上．若继续沿正北方向航行，航行过程中船距灯塔S的最近距离为 10.4 海里．（结果精确到0.1海里）（参考数据：≈1.41，≈1.73）
【答案】10.4。
【解答】解：过点S作SC⊥AB，交AB的延长线于点C，
由题意得，∠BAS＝30°，AB＝12海里，∠CBS＝60°，
设BC＝x海里，则AC＝（x+12）海里，
在Rt△BCS中，tan60°＝，
解得CS＝x，
在Rt△ACS中，tan30°＝，
解得x＝6，
∴CS＝≈10.4海里，
即航行过程中船距灯塔S的最近距离为10.4海里．
故答案为：10.4．
14．（2022•丰润区二模）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为 海里；AB＝ （25+25） 海里（结果保留根号）．
【答案】25，（25+25）。
【解答】解：过P作PC⊥AB于C，如图所示：
由题意得：∠APC＝30°，∠BPC＝45°，PA＝50海里，
在Rt△APC中，∵∠ACP＝90°，∠APC＝30°，
∴AC＝PA＝25海里，PC＝AC＝25海里，
在Rt△PCB中，∵∠BCP＝90°，∠BPC＝45°，
∴BC＝PC＝25海里，BP＝PC＝25海里，
∴AB＝AC+BC＝（25+25）海里．
故答案为：25，（25+25）．
15．（2022•绥化三模）如图，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上，航行2小时后到达N处，观测灯塔P在西偏南46°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，求此时轮船离灯塔的距离约为 42 海里．（结果保留整数，参考数据：sin68°≈0.9272，sin46°≈0.7193，sin22°≈0.3746，sin44°≈0.6947．）
【答案】42。
【解答】解：作PA⊥MN，交MN的延长线与A，
由题意知MN＝2×30＝60（海里），∠PMN＝90°﹣68°＝22°，∠PNA＝90°﹣46°＝44°，
∴∠MPN＝∠PNA﹣∠PMN＝22°，
∴∠MPN＝∠PMN，
∴PN＝MN＝60，
则PA＝PNsin∠PNA≈60×0.6947≈42（海里），
故答案为：42．
16．（2022秋•清江浦区月考）小红和爸爸绕着小区广场锻炼，在矩形广场ABCD边AB的中点M处有一座雕塑，在某一时刻，小红到达点P处，爸爸到达点Q处，此时雕塑在小红的南偏东45°方向，爸爸在小红的北偏东60°方向，若小红到雕塑的距离PM＝30m，则小红与爸爸的距离PQ＝ m ．（结果保留根号）
【答案】m。
【解答】解：过点Q作QE⊥AD于点E，
由题意可得EQ＝AB，
在Rt△APM中，sin45°＝＝，
解得AM＝，
∵M为AB的中点，
∴AB＝EQ＝2AM＝m，
在Rt△EPQ中，sin60°＝，
解得PQ＝，
经检验，PQ＝是原方程的解且符合题意，
∴小红与爸爸的距离PQ＝m．
故答案为：m．
17．（2022•岳阳）喜迎二十大，“龙舟故里”赛龙舟．丹丹在汨罗江国际龙舟竞渡中心广场点P处观看200米直道竞速赛．如图所示，赛道AB为东西方向，赛道起点A位于点P的北偏西30°方向上，终点B位于点P的北偏东60°方向上，AB＝200米，则点P到赛道AB的距离约为 87 米（结果保留整数，参考数据：≈1.732）．
【答案】87。
【解答】解：过点P作PC⊥AB，垂足为C，
设PC＝x米，
在Rt△APC中，∠APC＝30°，
∴AC＝PC•tan30°＝x（米），
在Rt△CBP中，∠CPB＝60°，
∴BC＝CP•tan60°＝x（米），
∵AB＝200米，
∴AC+BC＝200，
∴x+x＝200，
∴x＝50≈87，
∴PC＝87米，
∴点P到赛道AB的距离约为87米，
故答案为：87．
18．（2022•黄石模拟）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为 （30+10） km．
【答案】（30+10）。
【解答】解：如图，过B作BE⊥AC于E，过C作CF∥AD，
则CF∥AD∥BG，∠AEB＝∠CEB＝90°，
∴∠ACF＝∠CAD＝20°，∠BCF＝∠CBG＝40°，
∴∠ACB＝20°+40°＝60°，
由题意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，AB＝30km，
在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∵AB＝30km，
∴AE＝BE＝AB＝30（km），
在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，tan∠ACB＝，
∴CE＝＝＝10（km），
∴AC＝AE+CE＝30+10（km），
∴A，C两港之间的距离为（30+10）km，
故答案为：（30+10）．
三、解答题。
19．（2022•锦州）如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A处时，测得码头C在北偏东60°方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东70°方向航行20海里到达码头C．求货轮从A到B航行的距离（结果精确到0.1海里．参考数据：sin50°≈0.766，cs50°≈0.643，tan50°≈1.192）．
【解答】解：过B作BD⊥AC于D，
由题意可知∠ABE＝30°，∠BAC＝30°，则∠C＝180°﹣30°﹣30°﹣70°＝50°，
在Rt△BCD中，∠C＝50°，BC＝20（海里），
∴BD＝BCsin50°≈20×0.766＝15.32（海里），
在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，BD＝15.32（海里），
∴AB＝2BD＝30.64≈30.6（海里），
答：货轮从A到B航行的距离约为30.6海里．
20．（2022•榆次区一模）一款被称作“小蛮驴”的智能送快递机器人本学期在我省某高校投入使用，据悉“小蛮驴”兼具人工智能和自动驾驶技术．如图，点A为该校快递收纳站点，点B，C分别为两处宿舍楼，“小蛮驴”将会从点A出发，沿着A﹣B﹣C﹣A的路径派送快递．已知点B在点A的正北方向，点C在点A的北偏东20°方向，在点B的北偏东60°方向，点B与点C相距1000米，求点A到点B的距离．（结果精确到1m，参考数据：sin20°≈0.34，cs20°≈0.94，tan20°≈0.36，≈1.73）
【解答】解：如图，作CH⊥AB交AB的延长线于H．
在Rt△BCH中，∵∠BHC＝90°，∠CBH＝60°，BC＝1000米，
∴BH＝500米，CH＝500米，
在Rt△AHC中，∵∠CAH＝20°，
∴AH＝CH÷tan20°≈500÷0.36≈2403（米），
AB＝AH﹣BH≈2403﹣500＝1903（米）．
故点A到点B的距离大约为1903米．
21．（2022秋•莱西市期中）九年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动，当天，他们先从基地门口A处向正北方向走了220米，到达菜园B处锄草，再从B处沿正西方向走了200米，到达果园C处采摘水果，再向南偏东37°方向走了200米，到达手工坊D处进行手工制作，最后从D处回到门口A处．
（1）求从手工坊D处回到门口A处的距离．
（2）求从手工坊D处回到门口A处的方位角．
[参考数据：sin37≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75]
【解答】解：（1）过点D作DE⊥AB于点E，过点D作DF⊥BC于点F，
则四边形EDFB是矩形，
∴ED＝BF，DF＝EB，
由题意得，CD＝200米，∠CDF＝37°，
∴DF＝CD•cs∠CDF≈200×0.80＝160（米），CF＝CD•sin∠CDF≈200×0.60＝120（米），
∴AE＝AB﹣BE＝220﹣160＝60（米），DE＝200﹣120＝80（米），
由勾股定理得，AD＝＝＝100（米），
答：从手工坊D处回到门口A处的距离约为100米；
（2）在Rt△ADE中，sin∠ADE＝＝0.6，
∴∠ADE＝37°，
∴90°﹣37°＝53°，
答：从手工坊D处回到门口A处的方位角为南偏东53°．
22．（2022秋•香坊区校级月考）如图，AC是某市环城路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，其与环城路AC的交叉路口分别是A，B，C．经测量花卉市场D位于点A的北偏东45°方向，点B的北偏东30°方向上，AB＝2km，∠DAC＝15°．求花卉市场D点到环城路AC之间的距离．
【解答】解：如图，过D作DH⊥AB于H，
由题意得，∠EAD＝45°，∠FBD＝30°，
∴∠EAC＝∠EAD+∠DAC＝45°+15°＝60°．
∵AE∥BF∥CD，
∴∠FBC＝∠EAC＝60°．
∵∠FBD＝30°，
∴∠DBC＝∠FBC﹣∠FBD＝30°．
又∵∠DBC＝∠DAB+∠ADB，
∴∠ADB＝15°，
∴∠DAB＝∠ADB，∴BD＝AB＝2km．
∵∠DBC＝∠DAB+∠ADB＝30°，
∴DH＝BD＝1（km），
答：花卉市场D点到环城路AC之间的距离为1km．
23．（2022•青岛）如图，AB为东西走向的滨海大道，小宇沿滨海大道参加“低碳生活•绿色出行”健步走公益活动，小宇在点A处时，某艘海上观光船位于小宇北偏东68°的点C处，观光船到滨海大道的距离CB为200米．当小宇沿滨海大道向东步行200米到达点E时，观光船沿北偏西40°的方向航行至点D处，此时，观光船恰好在小宇的正北方向，求观光船从C处航行到D处的距离．
（参考数据：sin40°≈0.64，cs40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin68°≈0.93，cs68°≈0.37，tan68°≈2.48）
【解答】解：过点C作CF⊥DE于F，
由题意得，∠D＝40°，∠ACB＝68°，
在Rt△ABC中，∠CBA＝90°，
∵tan∠ACB＝，
∴AB＝CB×tan68°≈200×2.48＝496（m），
∴BE＝AB﹣AE＝496﹣200＝296（m），
∵∠CFE＝∠FEB＝∠CBE＝90°，
∴四边形FEBC为矩形，
∴CF＝BE＝296m，
在Rt△CDF中，∠DFC＝90°，
∵sin∠D＝，
∴CD≈＝462.5（m），
答：观光船从C处航行到D处的距离约为462.5m．
24．（2022秋•九龙坡区校级期中）期中测试临近学生都在紧张的复习中，小甘和小西相约阳末去图书馆复习，如图，小甘从家A地沿着正东方向走900m到小西家B地，经测量图书馆C地在B地的北偏东15°，C地在A地的东北方向，
（1）求AC的距离；
（2）两人准备从B地出发，突然接到疾控中心通知，一名确诊的新冠阳性患者昨天经过了C地，并沿着C地南偏东22°走了1800m到达D地，根据相关要求，凡是确诊者途径之处800m区域以内都会划为管控区，问：小西家会被划为管控区吗？请说明理由（参考数据：≈1.73，≈1.41，≈2.45，sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75）．
【解答】解：（1）如图，过点B作BE⊥AC于点E，
根据题意可知：∠BAE＝45°，∠CBA＝90°+15°＝105°，AB＝900m，
∴∠BCE＝180°﹣45°﹣105°＝30°，
∴BE＝AE＝AB＝450m，
∴CE＝BE＝450m，
∴AC＝AE+CE＝450+450＝450（+）≈450×3.86≈1737（m）；
∴AC的距离约为1737m；
（2）小西家会被划为管控区，理由如下：
如图，过点B作BF⊥CD于点F，
根据题意可知：∠GBC＝∠BCH＝15°，∠DCH＝22°，
∴∠BCF＝15°+22°＝37°，
在Rt△CBF中，CB＝2BE＝2×450＝900（m），
∴BF＝CB•sin37°≈900×0.6≈764（m），
∵764＜800，
∴小西家会被划为管控区．
25．（2022春•沙坪坝区校级期中）如图，A，B，C，D，E为同一地区的五个景点．已知景点B位于景点A的南偏西30°方向，位于景点C的东南方向800米处，若景点A，C与E，D都位于东西方向，且景点D位于景点C的北偏西30°方向1000米处，景点E位于景点A的西北方向．
（1）求景点A与景点C相距多少米？（结果保留根号）
（2）为了方便旅客游览，景区决定在景点D和E之间修一条笔直的道路，求道路DE的长度．（参考数据：＝1.732，结果精确到1米）
【解答】解：（1）过点B作BF⊥AC于点F，
由题意得，BC＝800米，∠CBF＝45°，∠ABF＝30°，
∴BF＝CF＝＝＝（米），
在Rt△ABF中，tan30°＝＝，
解得AF＝800，
∴AC＝CF+AF＝（800+）米．
∴景点A与景点C相距（800+）米．
（2）过点C作CG⊥DE于点G，过点E作EH⊥AC于点H，
由题意得，CD＝1000米，∠DCG＝30°，∠AEH＝45°，CG＝EH，EG＝CH，
在Rt△CDG中，sin30°＝，cs30°＝，
解得DG＝500，CG＝，
∴EH＝米，
在Rt△AEH中，∠AEH＝45°，
可得EH＝AH＝米，
∴CH＝EG＝AC﹣AH＝800+﹣＝（800+）米，
∴DE＝DG+EG＝500+800+≈1820米．
∴道路DE的长度约为1820米．
26．（2022春•江北区校级期中）某景区A、B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A到景点B须经过C处才能到达．测得景点B在景点A的北偏东30°方向，从景点A出发向正北方向步行600米到达C处，测得景点B在C的北偏东75°方向．当地政府为了方便游客浏览，打算修建一条从景区A到景区B的笔直的跨湖栈道AB．
（1）求点C到直线AB的距离；
（2）栈道修通后，从景点A到景点B走栈道比原路线少走多少米？
（结果保留整数，参考数据：≈1.414，≈1.732）
【解答】解：（1）过点C作CD⊥AB于点D，
由题意得，∠CAD＝30°，AC＝600米，
在Rt△ACD中，sin30°＝，
解得CD＝300，
∴点C到直线AB的距离为300米．
（2）在Rt△ACD中，cs30°＝，
解得AD＝，
在Rt△BCD中，∠CBD＝75°﹣30°＝45°，CD＝300米，
∴BD＝300米，BC＝米，
∴AB＝AD+BD＝（300+）米，AC+BC＝（600+）米，
∵600+﹣（300+）≈205（米），
∴从景点A到景点B走栈道比原路线少走205米．
27．（2022秋•九龙坡区校级月考）今年暑假，妈妈带着明明去草原骑马．如图，妈妈位于游客中心A的正北方向的B处，其中AB＝2km．明明位于游客中心A的西北方向的C处．烈日当空，妈妈准备把包里的太阳帽给明明送去，于是，妈妈向正西方向匀速步行，同时明明骑马向南偏东60°方向缓慢前进．15分钟后，他们在游客中心A的北偏西37°方向的点D处相遇．
（1）求妈妈步行的速度；
（2）求明明从C处到D处的距离．
（参考数据：sin37°≈0.8，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.73，≈1.41，结果保留两位小数）
【解答】解：（1）根据题意可知：AB＝2km，∠BAD＝37°，
∴BD＝AB•tan37°≈2×0.75＝1.5（km），
∴1.5÷＝6（km/h），
答：妈妈步行的速度为6km/h；
（2）如图，过点C作CE⊥AB交AB延长线于点E，
∵∠CAE＝45°，∠AEC＝90°，
∴△AEC是等腰直角三角形，
∴AE＝CE，
设AE＝CE＝akm，
过点D作DF⊥CE于点F，得矩形BEFD，
∴EF＝DB＝1.5（km），DF＝BE＝AE﹣AB＝（a﹣2）km，
∴CF＝CE﹣EF＝（a﹣1.5）km，
在Rt△CDF中，tan∠DCF＝，
∴tan30°≈，
∴（a﹣1.5）＝a﹣2，
∴a＝，
∴DF＝a﹣2＝，
∴CD＝2DF＝≈1.37（km）．
答：明明从C处到D处的距离约为1.37km
1．（2023•北海一模）如图，小雅家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A处）在她家北偏东60°方向500m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（ ）
A．250mB．250mC．mD．250m
2．（2022•邯郸三模）如图，甲、乙两船同时从港口O出发，其中甲船沿北偏西30°方向航行，乙船沿南偏西70°方向航行，已知两船的航行速度相同，如果1小时后甲、乙两船分别到达点A、B处，那么点B位于点A的（ ）
A．南偏西40°B．南偏西30°C．南偏西20°D．南偏西10°
3．（2021•二道区一模）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，距离灯塔40海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔的正东方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离PB的长可以表示为（ ）
A．40海里B．40sin37°海里
C．40cs37°海里D．40tan37°海里
4．（2022秋•南岗区校级月考）如图，一条船从灯塔C南偏东42°的A处出发，向正北航行8海里到达B处，此时灯塔C在船的北偏西84°方向，则船与灯塔C距离为（ ）海里．
A．4B．8C．16D．24
5．（2022•工业园区校级一模）一艘渔船从港口A沿北偏东60°方向航行60海里到达C处时突然发生故障，位于港口A正东方向的B处的救援艇接到求救信号后，立即沿北偏东45°方向以40海里/小时的速度前去救援，救援艇到达C处所用的时间为（ ）
A．小时B．小时C．小时D．小时
6．（2022•深圳模拟）如图，点A到点C的距离为200米，要测量河对岸B点到河岸AD的距离．小明在A点测得B在北偏东60°的方向上，在C点测得B在北偏东30°的方向上，则B点到河岸AD的距离为（ ）
A．100米B．200米C．米D．100米
7．（2022秋•惠山区期中）一艘货轮从小岛A正南方向的点B处向西航行30km到达点C处，然后沿北偏西60°方向航行20km到达点D处，此时观测到小岛A在北偏东60°方向，则小岛A与出发点B之间的距离为（ ）
A．20kmB．kmC．kmD．km
8．（2022•新乐市校级模拟）某渔船在海上进行捕鱼作业，当渔船航行至B处时，发现正北方向（6+6）海里的C处有海盗出没，为了安全，请求A处的海警前往C处护航．如图，已知C位于A处的东北方向上，A位于B的北偏西30°方向上，则A和C之间的距离为（ ）海里．
A．6B．6C．12D．12
9．（2022春•汉阳区期中）如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的北偏西60°方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15°方向上，码头A到小岛C的距离AC为（+1）海里．观测站B到AC的距离BP是（ ）
A．B．1C．2D．
10．（2022•石家庄二模）如图，某渔船正在海上P处捕鱼，先向北偏东30°的方向航行10km到A处，然后右转40°再航行到B处．在点A的正南方向，点P的正东方向的C处有一条船，也计划驶往B处，那么它的航向是（ ）
A．北偏东10°B．北偏东30°C．北偏东35°D．北偏东40°
二、填空题。
11．（2022•新洲区模拟）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔50海里的A处，海轮沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时B处距离灯塔P的距离约为 海里（结果取整数，参考数据：≈1.73，sin34°≈0.56）．
12．（2022•大东区二模）如图，我国的一艘海监船在钓鱼岛A附近沿正东方向航行，船在B点时测得钓鱼岛A在船的北偏东60°方向，船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C点，此时钓鱼岛A在船的北偏东30°方向．请问船继续航行 海里与钓鱼岛A的距离最近？
13．（2022•朝阳区校级开学）一艘船向正北方向航行，在A处时看到灯塔S在船的北偏东30°的方向上，继续航行12海里到达B处，看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上．若继续沿正北方向航行，航行过程中船距灯塔S的最近距离为 海里．（结果精确到0.1海里）（参考数据：≈1.41，≈1.73）
14．（2022•丰润区二模）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为 海里；AB＝ 海里（结果保留根号）．
15．（2022•绥化三模）如图，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上，航行2小时后到达N处，观测灯塔P在西偏南46°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，求此时轮船离灯塔的距离约为 海里．（结果保留整数，参考数据：sin68°≈0.9272，sin46°≈0.7193，sin22°≈0.3746，sin44°≈0.6947．）
16．（2022秋•清江浦区月考）小红和爸爸绕着小区广场锻炼，在矩形广场ABCD边AB的中点M处有一座雕塑，在某一时刻，小红到达点P处，爸爸到达点Q处，此时雕塑在小红的南偏东45°方向，爸爸在小红的北偏东60°方向，若小红到雕塑的距离PM＝30m，则小红与爸爸的距离PQ＝ ．（结果保留根号）
17．（2022•岳阳）喜迎二十大，“龙舟故里”赛龙舟．丹丹在汨罗江国际龙舟竞渡中心广场点P处观看200米直道竞速赛．如图所示，赛道AB为东西方向，赛道起点A位于点P的北偏西30°方向上，终点B位于点P的北偏东60°方向上，AB＝200米，则点P到赛道AB的距离约为 米（结果保留整数，参考数据：≈1.732）．
18．（2022•黄石模拟）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为 km．
三、解答题。
19．（2022•锦州）如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A处时，测得码头C在北偏东60°方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东70°方向航行20海里到达码头C．求货轮从A到B航行的距离（结果精确到0.1海里．参考数据：sin50°≈0.766，cs50°≈0.643，tan50°≈1.192）．
20．（2022•榆次区一模）一款被称作“小蛮驴”的智能送快递机器人本学期在我省某高校投入使用，据悉“小蛮驴”兼具人工智能和自动驾驶技术．如图，点A为该校快递收纳站点，点B，C分别为两处宿舍楼，“小蛮驴”将会从点A出发，沿着A﹣B﹣C﹣A的路径派送快递．已知点B在点A的正北方向，点C在点A的北偏东20°方向，在点B的北偏东60°方向，点B与点C相距1000米，求点A到点B的距离．（结果精确到1m，参考数据：sin20°≈0.34，cs20°≈0.94，tan20°≈0.36，≈1.73）
21．（2022秋•莱西市期中）九年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动，当天，他们先从基地门口A处向正北方向走了220米，到达菜园B处锄草，再从B处沿正西方向走了200米，到达果园C处采摘水果，再向南偏东37°方向走了200米，到达手工坊D处进行手工制作，最后从D处回到门口A处．
（1）求从手工坊D处回到门口A处的距离．
（2）求从手工坊D处回到门口A处的方位角．
[参考数据：sin37≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75]
22．（2022秋•香坊区校级月考）如图，AC是某市环城路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，其与环城路AC的交叉路口分别是A，B，C．经测量花卉市场D位于点A的北偏东45°方向，点B的北偏东30°方向上，AB＝2km，∠DAC＝15°．求花卉市场D点到环城路AC之间的距离．
23．（2022•青岛）如图，AB为东西走向的滨海大道，小宇沿滨海大道参加“低碳生活•绿色出行”健步走公益活动，小宇在点A处时，某艘海上观光船位于小宇北偏东68°的点C处，观光船到滨海大道的距离CB为200米．当小宇沿滨海大道向东步行200米到达点E时，观光船沿北偏西40°的方向航行至点D处，此时，观光船恰好在小宇的正北方向，求观光船从C处航行到D处的距离．
（参考数据：sin40°≈0.64，cs40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin68°≈0.93，cs68°≈0.37，tan68°≈2.48）
24．（2022秋•九龙坡区校级期中）期中测试临近学生都在紧张的复习中，小甘和小西相约阳末去图书馆复习，如图，小甘从家A地沿着正东方向走900m到小西家B地，经测量图书馆C地在B地的北偏东15°，C地在A地的东北方向，
（1）求AC的距离；
（2）两人准备从B地出发，突然接到疾控中心通知，一名确诊的新冠阳性患者昨天经过了C地，并沿着C地南偏东22°走了1800m到达D地，根据相关要求，凡是确诊者途径之处800m区域以内都会划为管控区，问：小西家会被划为管控区吗？请说明理由（参考数据：≈1.73，≈1.41，≈2.45，sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75）．
25．（2022春•沙坪坝区校级期中）如图，A，B，C，D，E为同一地区的五个景点．已知景点B位于景点A的南偏西30°方向，位于景点C的东南方向800米处，若景点A，C与E，D都位于东西方向，且景点D位于景点C的北偏西30°方向1000米处，景点E位于景点A的西北方向．
（1）求景点A与景点C相距多少米？（结果保留根号）
（2）为了方便旅客游览，景区决定在景点D和E之间修一条笔直的道路，求道路DE的长度．（参考数据：＝1.732，结果精确到1米）
26．（2022春•江北区校级期中）某景区A、B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A到景点B须经过C处才能到达．测得景点B在景点A的北偏东30°方向，从景点A出发向正北方向步行600米到达C处，测得景点B在C的北偏东75°方向．当地政府为了方便游客浏览，打算修建一条从景区A到景区B的笔直的跨湖栈道AB．
（1）求点C到直线AB的距离；
（2）栈道修通后，从景点A到景点B走栈道比原路线少走多少米？
（结果保留整数，参考数据：≈1.414，≈1.732）
27．（2022秋•九龙坡区校级月考）今年暑假，妈妈带着明明去草原骑马．如图，妈妈位于游客中心A的正北方向的B处，其中AB＝2km．明明位于游客中心A的西北方向的C处．烈日当空，妈妈准备把包里的太阳帽给明明送去，于是，妈妈向正西方向匀速步行，同时明明骑马向南偏东60°方向缓慢前进．15分钟后，他们在游客中心A的北偏西37°方向的点D处相遇．
（1）求妈妈步行的速度；
（2）求明明从C处到D处的距离．
（参考数据：sin37°≈0.8，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.73，≈1.41，结果保留两位小数）
专题1.6 解直角三角形的应用-方向角问题（能力提升）
一、选择题。
1．（2022•北海一模）如图，小雅家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A处）在她家北偏东60°方向500m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（ ）
A．250mB．250mC．mD．250m
【答案】A。
【解答】解：∠AOB＝90°﹣60°＝30°，
∵∠ABO＝90°，OA＝500m，
∴AB＝OA＝250m，
故选：A．
2．（2022•邯郸三模）如图，甲、乙两船同时从港口O出发，其中甲船沿北偏西30°方向航行，乙船沿南偏西70°方向航行，已知两船的航行速度相同，如果1小时后甲、乙两船分别到达点A、B处，那么点B位于点A的（ ）
A．南偏西40°B．南偏西30°C．南偏西20°D．南偏西10°
【答案】C。
【解答】解：∵甲船沿北偏西30°方向航行，乙船沿南偏西70°方向航行，两船的航行速度相同，
∴AO＝BO，∠BOA＝80°，∠OAD＝30°，
∴∠BAO＝∠ABO＝50°，
∴∠BAD＝∠BAO﹣∠OAD＝50°﹣30°＝20°，
∴点B位于点A的南偏西20°的方向上，
故选：C．
3．（2021•二道区一模）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，距离灯塔40海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔的正东方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离PB的长可以表示为（ ）
A．40海里B．40sin37°海里
C．40cs37°海里D．40tan37°海里
【答案】B。
【解答】解：∵一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，
∴∠BAP＝37°，
∵AP＝40海里，
∴BP＝AP•sin37°＝40sin37°海里；
故选：B．
4．（2022秋•南岗区校级月考）如图，一条船从灯塔C南偏东42°的A处出发，向正北航行8海里到达B处，此时灯塔C在船的北偏西84°方向，则船与灯塔C距离为（ ）海里．
A．4B．8C．16D．24
【答案】B。
【解答】解：由题意得，∠BAC＝42°，∠BCA＝84°﹣42°＝42°，AB＝8海里，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴BC＝AB＝8海里，
即船与灯塔C距离为8海里．
故选：B．
5．（2022•工业园区校级一模）一艘渔船从港口A沿北偏东60°方向航行60海里到达C处时突然发生故障，位于港口A正东方向的B处的救援艇接到求救信号后，立即沿北偏东45°方向以40海里/小时的速度前去救援，救援艇到达C处所用的时间为（ ）
A．小时B．小时C．小时D．小时
【答案】D。
【解答】解：过点C作CD⊥AB交AB的延长线于D，
在Rt△CAD中，∠CAD＝30°，AC＝60海里，
则CD＝AC＝30海里，
在Rt△CBD中，∠CBD＝45°，
则BC＝CD＝30海里，
∴救援艇到达C处所用的时间＝＝（小时），
故选：D．
6．（2022•深圳模拟）如图，点A到点C的距离为200米，要测量河对岸B点到河岸AD的距离．小明在A点测得B在北偏东60°的方向上，在C点测得B在北偏东30°的方向上，则B点到河岸AD的距离为（ ）
A．100米B．200米C．米D．100米
【答案】D。
【解答】解：过点B作BE⊥AD，垂足为E，
由题意得：
∠BAD＝90°﹣60°＝30°，∠BCD＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ABC＝∠BCD﹣∠BAD＝30°，
∴∠ABC＝∠BAD＝30°，
∴AC＝BC＝200米，
在Rt△BCE中，BE＝BC•sin60°＝200×＝100（米），
∴B点到河岸AD的距离为100米，
故选：D．
7．（2022秋•惠山区期中）一艘货轮从小岛A正南方向的点B处向西航行30km到达点C处，然后沿北偏西60°方向航行20km到达点D处，此时观测到小岛A在北偏东60°方向，则小岛A与出发点B之间的距离为（ ）
A．20kmB．kmC．kmD．km
【答案】B。
【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，如图所示：
∵∠ABC＝90°，
∴四边形BCFE是矩形，
∴EF＝BC＝30km，CF＝BE，
由题意得：∠DCF＝60°，∠ADE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠CDF＝90°﹣60°＝30°，
∴CF＝CD＝×20＝10（km），
∴BE＝10km，
DF＝sin60°×CD＝×20＝10（km），
∴DE＝DF+EF＝（10+30）（km），
∴AE＝tan∠ADE•DE＝tan30°×DE＝×（10+30）＝（10+10）（km），
∴AB＝AE+BE＝10+10+10＝（10+20）（km），
故选：B．
8．（2022•新乐市校级模拟）某渔船在海上进行捕鱼作业，当渔船航行至B处时，发现正北方向（6+6）海里的C处有海盗出没，为了安全，请求A处的海警前往C处护航．如图，已知C位于A处的东北方向上，A位于B的北偏西30°方向上，则A和C之间的距离为（ ）海里．
A．6B．6C．12D．12
【答案】A。
【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，
由题意得，BC＝（6+6）海里，∠CAD＝45°，∠ABD＝30°，
设AD＝x海里，
在Rt△ACD中，∠CAD＝45°，
∴AD＝CD＝x海里，
在Rt△ABD中，tan30°＝，
解得BD＝x，
∴x+x＝6+6，
解得x＝6，
∴AD＝CD＝6海里，
∴AC＝＝6海里．
故选：A．
9．（2022春•汉阳区期中）如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的北偏西60°方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15°方向上，码头A到小岛C的距离AC为（+1）海里．观测站B到AC的距离BP是（ ）
A．B．1C．2D．
【答案】B。
【解答】解：由题意得：∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∠ABC＝90°+15°＝105°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝45°，
∵BP⊥AC，
∴∠BPA＝∠BPC＝90°，
∵∠C＝45°，
∴△BCP是等腰直角三角形，
∴BP＝PC，
∵∠BAC＝30°，
∴PA＝BP，
∵PA+PC＝AC，
∴BP+BP＝+1，
解得：BP＝1（海里），
故选：B．
10．（2022•石家庄二模）如图，某渔船正在海上P处捕鱼，先向北偏东30°的方向航行10km到A处，然后右转40°再航行到B处．在点A的正南方向，点P的正东方向的C处有一条船，也计划驶往B处，那么它的航向是（ ）
A．北偏东10°B．北偏东30°C．北偏东35°D．北偏东40°
【答案】C。
【解答】解：如图，连接BC，
由题意得：∠ACP＝∠ACD＝90°，∠PAC＝30°，PA＝10km，∠BAE＝40°，AB＝，
∴∠BAC＝180°﹣∠PAC﹣∠BAE＝180°﹣30°﹣40°＝110°，
∵cs∠PAC＝＝cs30°＝，
∴AC＝PA＝×10＝5（km），
∴AC＝AB，
∴∠ACB＝∠ABC＝×（180°﹣∠BAC）＝×（180°﹣110°）＝35°，
即B处在C处的北偏东35°方向，
故选：C．
二、填空题。
11．（2022•新洲区模拟）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔50海里的A处，海轮沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时B处距离灯塔P的距离约为 134 海里（结果取整数，参考数据：≈1.73，sin34°≈0.56）．
【答案】134。
【解答】解：过点P作PM⊥AB于点M，
由题意可得，EF∥AB，∠EPA＝60°，∠FPB＝34°，
∴∠PAM＝∠EPA＝60°，∠PBM＝∠FPB＝34°，
∵AP＝50，
在Rt△PAM中，
sin∠PAM＝＝＝，
∴PM＝75，
在Rt△PBM中，
sin∠PBM＝sin34°＝≈0.56，
∴PB≈134．
故答案为：134．
12．（2022•大东区二模）如图，我国的一艘海监船在钓鱼岛A附近沿正东方向航行，船在B点时测得钓鱼岛A在船的北偏东60°方向，船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C点，此时钓鱼岛A在船的北偏东30°方向．请问船继续航行 50 海里与钓鱼岛A的距离最近？
【答案】50。
【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，则∠ABC＝30°，∠ACD＝60°，
∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝30°，
∴CA＝CB．
∵CB＝50×2＝100（海里），
∴CA＝100（海里），
在直角△ADC中，∠ACD＝60°，
∴CD＝AC＝×100＝50（海里）．
则船继续航行50海里与钓鱼岛A的距离最近；
故答案为：50．
13．（2022•朝阳区校级开学）一艘船向正北方向航行，在A处时看到灯塔S在船的北偏东30°的方向上，继续航行12海里到达B处，看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上．若继续沿正北方向航行，航行过程中船距灯塔S的最近距离为 10.4 海里．（结果精确到0.1海里）（参考数据：≈1.41，≈1.73）
【答案】10.4。
【解答】解：过点S作SC⊥AB，交AB的延长线于点C，
由题意得，∠BAS＝30°，AB＝12海里，∠CBS＝60°，
设BC＝x海里，则AC＝（x+12）海里，
在Rt△BCS中，tan60°＝，
解得CS＝x，
在Rt△ACS中，tan30°＝，
解得x＝6，
∴CS＝≈10.4海里，
即航行过程中船距灯塔S的最近距离为10.4海里．
故答案为：10.4．
14．（2022•丰润区二模）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为 海里；AB＝ （25+25） 海里（结果保留根号）．
【答案】25，（25+25）。
【解答】解：过P作PC⊥AB于C，如图所示：
由题意得：∠APC＝30°，∠BPC＝45°，PA＝50海里，
在Rt△APC中，∵∠ACP＝90°，∠APC＝30°，
∴AC＝PA＝25海里，PC＝AC＝25海里，
在Rt△PCB中，∵∠BCP＝90°，∠BPC＝45°，
∴BC＝PC＝25海里，BP＝PC＝25海里，
∴AB＝AC+BC＝（25+25）海里．
故答案为：25，（25+25）．
15．（2022•绥化三模）如图，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上，航行2小时后到达N处，观测灯塔P在西偏南46°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，求此时轮船离灯塔的距离约为 42 海里．（结果保留整数，参考数据：sin68°≈0.9272，sin46°≈0.7193，sin22°≈0.3746，sin44°≈0.6947．）
【答案】42。
【解答】解：作PA⊥MN，交MN的延长线与A，
由题意知MN＝2×30＝60（海里），∠PMN＝90°﹣68°＝22°，∠PNA＝90°﹣46°＝44°，
∴∠MPN＝∠PNA﹣∠PMN＝22°，
∴∠MPN＝∠PMN，
∴PN＝MN＝60，
则PA＝PNsin∠PNA≈60×0.6947≈42（海里），
故答案为：42．
16．（2022秋•清江浦区月考）小红和爸爸绕着小区广场锻炼，在矩形广场ABCD边AB的中点M处有一座雕塑，在某一时刻，小红到达点P处，爸爸到达点Q处，此时雕塑在小红的南偏东45°方向，爸爸在小红的北偏东60°方向，若小红到雕塑的距离PM＝30m，则小红与爸爸的距离PQ＝ m ．（结果保留根号）
【答案】m。
【解答】解：过点Q作QE⊥AD于点E，
由题意可得EQ＝AB，
在Rt△APM中，sin45°＝＝，
解得AM＝，
∵M为AB的中点，
∴AB＝EQ＝2AM＝m，
在Rt△EPQ中，sin60°＝，
解得PQ＝，
经检验，PQ＝是原方程的解且符合题意，
∴小红与爸爸的距离PQ＝m．
故答案为：m．
17．（2022•岳阳）喜迎二十大，“龙舟故里”赛龙舟．丹丹在汨罗江国际龙舟竞渡中心广场点P处观看200米直道竞速赛．如图所示，赛道AB为东西方向，赛道起点A位于点P的北偏西30°方向上，终点B位于点P的北偏东60°方向上，AB＝200米，则点P到赛道AB的距离约为 87 米（结果保留整数，参考数据：≈1.732）．
【答案】87。
【解答】解：过点P作PC⊥AB，垂足为C，
设PC＝x米，
在Rt△APC中，∠APC＝30°，
∴AC＝PC•tan30°＝x（米），
在Rt△CBP中，∠CPB＝60°，
∴BC＝CP•tan60°＝x（米），
∵AB＝200米，
∴AC+BC＝200，
∴x+x＝200，
∴x＝50≈87，
∴PC＝87米，
∴点P到赛道AB的距离约为87米，
故答案为：87．
18．（2022•黄石模拟）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为 （30+10） km．
【答案】（30+10）。
【解答】解：如图，过B作BE⊥AC于E，过C作CF∥AD，
则CF∥AD∥BG，∠AEB＝∠CEB＝90°，
∴∠ACF＝∠CAD＝20°，∠BCF＝∠CBG＝40°，
∴∠ACB＝20°+40°＝60°，
由题意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，AB＝30km，
在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∵AB＝30km，
∴AE＝BE＝AB＝30（km），
在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，tan∠ACB＝，
∴CE＝＝＝10（km），
∴AC＝AE+CE＝30+10（km），
∴A，C两港之间的距离为（30+10）km，
故答案为：（30+10）．
三、解答题。
19．（2022•锦州）如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A处时，测得码头C在北偏东60°方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东70°方向航行20海里到达码头C．求货轮从A到B航行的距离（结果精确到0.1海里．参考数据：sin50°≈0.766，cs50°≈0.643，tan50°≈1.192）．
【解答】解：过B作BD⊥AC于D，
由题意可知∠ABE＝30°，∠BAC＝30°，则∠C＝180°﹣30°﹣30°﹣70°＝50°，
在Rt△BCD中，∠C＝50°，BC＝20（海里），
∴BD＝BCsin50°≈20×0.766＝15.32（海里），
在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，BD＝15.32（海里），
∴AB＝2BD＝30.64≈30.6（海里），
答：货轮从A到B航行的距离约为30.6海里．
20．（2022•榆次区一模）一款被称作“小蛮驴”的智能送快递机器人本学期在我省某高校投入使用，据悉“小蛮驴”兼具人工智能和自动驾驶技术．如图，点A为该校快递收纳站点，点B，C分别为两处宿舍楼，“小蛮驴”将会从点A出发，沿着A﹣B﹣C﹣A的路径派送快递．已知点B在点A的正北方向，点C在点A的北偏东20°方向，在点B的北偏东60°方向，点B与点C相距1000米，求点A到点B的距离．（结果精确到1m，参考数据：sin20°≈0.34，cs20°≈0.94，tan20°≈0.36，≈1.73）
【解答】解：如图，作CH⊥AB交AB的延长线于H．
在Rt△BCH中，∵∠BHC＝90°，∠CBH＝60°，BC＝1000米，
∴BH＝500米，CH＝500米，
在Rt△AHC中，∵∠CAH＝20°，
∴AH＝CH÷tan20°≈500÷0.36≈2403（米），
AB＝AH﹣BH≈2403﹣500＝1903（米）．
故点A到点B的距离大约为1903米．
21．（2022秋•莱西市期中）九年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动，当天，他们先从基地门口A处向正北方向走了220米，到达菜园B处锄草，再从B处沿正西方向走了200米，到达果园C处采摘水果，再向南偏东37°方向走了200米，到达手工坊D处进行手工制作，最后从D处回到门口A处．
（1）求从手工坊D处回到门口A处的距离．
（2）求从手工坊D处回到门口A处的方位角．
[参考数据：sin37≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75]
【解答】解：（1）过点D作DE⊥AB于点E，过点D作DF⊥BC于点F，
则四边形EDFB是矩形，
∴ED＝BF，DF＝EB，
由题意得，CD＝200米，∠CDF＝37°，
∴DF＝CD•cs∠CDF≈200×0.80＝160（米），CF＝CD•sin∠CDF≈200×0.60＝120（米），
∴AE＝AB﹣BE＝220﹣160＝60（米），DE＝200﹣120＝80（米），
由勾股定理得，AD＝＝＝100（米），
答：从手工坊D处回到门口A处的距离约为100米；
（2）在Rt△ADE中，sin∠ADE＝＝0.6，
∴∠ADE＝37°，
∴90°﹣37°＝53°，
答：从手工坊D处回到门口A处的方位角为南偏东53°．
22．（2022秋•香坊区校级月考）如图，AC是某市环城路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，其与环城路AC的交叉路口分别是A，B，C．经测量花卉市场D位于点A的北偏东45°方向，点B的北偏东30°方向上，AB＝2km，∠DAC＝15°．求花卉市场D点到环城路AC之间的距离．
【解答】解：如图，过D作DH⊥AB于H，
由题意得，∠EAD＝45°，∠FBD＝30°，
∴∠EAC＝∠EAD+∠DAC＝45°+15°＝60°．
∵AE∥BF∥CD，
∴∠FBC＝∠EAC＝60°．
∵∠FBD＝30°，
∴∠DBC＝∠FBC﹣∠FBD＝30°．
又∵∠DBC＝∠DAB+∠ADB，
∴∠ADB＝15°，
∴∠DAB＝∠ADB，∴BD＝AB＝2km．
∵∠DBC＝∠DAB+∠ADB＝30°，
∴DH＝BD＝1（km），
答：花卉市场D点到环城路AC之间的距离为1km．
23．（2022•青岛）如图，AB为东西走向的滨海大道，小宇沿滨海大道参加“低碳生活•绿色出行”健步走公益活动，小宇在点A处时，某艘海上观光船位于小宇北偏东68°的点C处，观光船到滨海大道的距离CB为200米．当小宇沿滨海大道向东步行200米到达点E时，观光船沿北偏西40°的方向航行至点D处，此时，观光船恰好在小宇的正北方向，求观光船从C处航行到D处的距离．
（参考数据：sin40°≈0.64，cs40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin68°≈0.93，cs68°≈0.37，tan68°≈2.48）
【解答】解：过点C作CF⊥DE于F，
由题意得，∠D＝40°，∠ACB＝68°，
在Rt△ABC中，∠CBA＝90°，
∵tan∠ACB＝，
∴AB＝CB×tan68°≈200×2.48＝496（m），
∴BE＝AB﹣AE＝496﹣200＝296（m），
∵∠CFE＝∠FEB＝∠CBE＝90°，
∴四边形FEBC为矩形，
∴CF＝BE＝296m，
在Rt△CDF中，∠DFC＝90°，
∵sin∠D＝，
∴CD≈＝462.5（m），
答：观光船从C处航行到D处的距离约为462.5m．
24．（2022秋•九龙坡区校级期中）期中测试临近学生都在紧张的复习中，小甘和小西相约阳末去图书馆复习，如图，小甘从家A地沿着正东方向走900m到小西家B地，经测量图书馆C地在B地的北偏东15°，C地在A地的东北方向，
（1）求AC的距离；
（2）两人准备从B地出发，突然接到疾控中心通知，一名确诊的新冠阳性患者昨天经过了C地，并沿着C地南偏东22°走了1800m到达D地，根据相关要求，凡是确诊者途径之处800m区域以内都会划为管控区，问：小西家会被划为管控区吗？请说明理由（参考数据：≈1.73，≈1.41，≈2.45，sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75）．
【解答】解：（1）如图，过点B作BE⊥AC于点E，
根据题意可知：∠BAE＝45°，∠CBA＝90°+15°＝105°，AB＝900m，
∴∠BCE＝180°﹣45°﹣105°＝30°，
∴BE＝AE＝AB＝450m，
∴CE＝BE＝450m，
∴AC＝AE+CE＝450+450＝450（+）≈450×3.86≈1737（m）；
∴AC的距离约为1737m；
（2）小西家会被划为管控区，理由如下：
如图，过点B作BF⊥CD于点F，
根据题意可知：∠GBC＝∠BCH＝15°，∠DCH＝22°，
∴∠BCF＝15°+22°＝37°，
在Rt△CBF中，CB＝2BE＝2×450＝900（m），
∴BF＝CB•sin37°≈900×0.6≈764（m），
∵764＜800，
∴小西家会被划为管控区．
25．（2022春•沙坪坝区校级期中）如图，A，B，C，D，E为同一地区的五个景点．已知景点B位于景点A的南偏西30°方向，位于景点C的东南方向800米处，若景点A，C与E，D都位于东西方向，且景点D位于景点C的北偏西30°方向1000米处，景点E位于景点A的西北方向．
（1）求景点A与景点C相距多少米？（结果保留根号）
（2）为了方便旅客游览，景区决定在景点D和E之间修一条笔直的道路，求道路DE的长度．（参考数据：＝1.732，结果精确到1米）
【解答】解：（1）过点B作BF⊥AC于点F，
由题意得，BC＝800米，∠CBF＝45°，∠ABF＝30°，
∴BF＝CF＝＝＝（米），
在Rt△ABF中，tan30°＝＝，
解得AF＝800，
∴AC＝CF+AF＝（800+）米．
∴景点A与景点C相距（800+）米．
（2）过点C作CG⊥DE于点G，过点E作EH⊥AC于点H，
由题意得，CD＝1000米，∠DCG＝30°，∠AEH＝45°，CG＝EH，EG＝CH，
在Rt△CDG中，sin30°＝，cs30°＝，
解得DG＝500，CG＝，
∴EH＝米，
在Rt△AEH中，∠AEH＝45°，
可得EH＝AH＝米，
∴CH＝EG＝AC﹣AH＝800+﹣＝（800+）米，
∴DE＝DG+EG＝500+800+≈1820米．
∴道路DE的长度约为1820米．
26．（2022春•江北区校级期中）某景区A、B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A到景点B须经过C处才能到达．测得景点B在景点A的北偏东30°方向，从景点A出发向正北方向步行600米到达C处，测得景点B在C的北偏东75°方向．当地政府为了方便游客浏览，打算修建一条从景区A到景区B的笔直的跨湖栈道AB．
（1）求点C到直线AB的距离；
（2）栈道修通后，从景点A到景点B走栈道比原路线少走多少米？
（结果保留整数，参考数据：≈1.414，≈1.732）
【解答】解：（1）过点C作CD⊥AB于点D，
由题意得，∠CAD＝30°，AC＝600米，
在Rt△ACD中，sin30°＝，
解得CD＝300，
∴点C到直线AB的距离为300米．
（2）在Rt△ACD中，cs30°＝，
解得AD＝，
在Rt△BCD中，∠CBD＝75°﹣30°＝45°，CD＝300米，
∴BD＝300米，BC＝米，
∴AB＝AD+BD＝（300+）米，AC+BC＝（600+）米，
∵600+﹣（300+）≈205（米），
∴从景点A到景点B走栈道比原路线少走205米．
27．（2022秋•九龙坡区校级月考）今年暑假，妈妈带着明明去草原骑马．如图，妈妈位于游客中心A的正北方向的B处，其中AB＝2km．明明位于游客中心A的西北方向的C处．烈日当空，妈妈准备把包里的太阳帽给明明送去，于是，妈妈向正西方向匀速步行，同时明明骑马向南偏东60°方向缓慢前进．15分钟后，他们在游客中心A的北偏西37°方向的点D处相遇．
（1）求妈妈步行的速度；
（2）求明明从C处到D处的距离．
（参考数据：sin37°≈0.8，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.73，≈1.41，结果保留两位小数）
【解答】解：（1）根据题意可知：AB＝2km，∠BAD＝37°，
∴BD＝AB•tan37°≈2×0.75＝1.5（km），
∴1.5÷＝6（km/h），
答：妈妈步行的速度为6km/h；
（2）如图，过点C作CE⊥AB交AB延长线于点E，
∵∠CAE＝45°，∠AEC＝90°，
∴△AEC是等腰直角三角形，
∴AE＝CE，
设AE＝CE＝akm，
过点D作DF⊥CE于点F，得矩形BEFD，
∴EF＝DB＝1.5（km），DF＝BE＝AE﹣AB＝（a﹣2）km，
∴CF＝CE﹣EF＝（a﹣1.5）km，
在Rt△CDF中，tan∠DCF＝，
∴tan30°≈，
∴（a﹣1.5）＝a﹣2，
∴a＝，
∴DF＝a﹣2＝，
∴CD＝2DF＝≈1.37（km）．
答：明明从C处到D处的距离约为1.37km
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