北师大版七年级上册3.3 整式复习练习题

这是一份北师大版七年级上册3.3 整式复习练习题，共33页。试卷主要包含了掌握单项式的规律题的方法；，掌握多项式的升幂、降幂排列方法等内容，欢迎下载使用。

1.掌握单项式、多项式、整式的概念；
2.掌握单项式的系数与次数和多项式的项数、系数与次数；
3.掌握单项式的规律题的方法；
4.掌握多项式的升幂、降幂排列方法.
知识点01 单项式的概念
如，，0，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．
【注意】（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母．
（2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成。但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积．
知识点02 单项式的系数与次数
1.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．
（1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数；
（2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数；
（3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；
（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数.
2.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点：
（1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏；
（2）不能将数字的指数一同计算．
知识点03 多项式
1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式．
2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．
【注意】（1）多项式的每一项包括它前面的符号．
（2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式．
3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．
【注意】（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数．
（2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出．
知识点04 整式
单项式与多项式统称为整式．

【注意】（1）单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示．即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立．
（2）分母中含有字母的式子一定不是整式．
题型01 单项式的判断
【典例1】（2022秋·福建漳州·七年级福建省漳州第一中学校考期中）下列代数式，，，，，，中，单项式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1】（2023秋·福建宁德·七年级校考期末）在这五个代数式中，单项式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式2】（2023秋·全国·七年级专题练习）下列式子：0，，a，，，，，单项式的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
题型02 单项式的系数、次数
【典例2】（2022秋·黑龙江大庆·七年级期末）单项式的系数是 ，次数是 ．
【变式1】（2023秋·山东济南·六年级统考期末）单项式的次数是 ，系数是 ．
【变式2】（2023秋·甘肃天水·七年级校考期末）单项式的系数是 ，次数是 次．
题型03 写出满足某些特征的单项式
【典例3】（2022秋·上海青浦·七年级校考期中）写出一个系数为，且含字母和的3次单项式 ．
【变式1】（2023秋·广东中山·七年级校考期末）请写出一个系数是，并且含字母x、y的三次单项式 ．
【变式2】（2022秋·北京西城·七年级统考期末）写出一个同时满足以下两个条件的单项式：①系数是负数；②次数是5．这个单项式可以是： ．
题型04 单项式规律题
【典例4】（2023秋·云南昭通·七年级统考期末）观察下列单项式：，……，按此规律第10个单项式可以表示为 ．
【变式1】（2022秋·广东汕头·七年级统考期末）观察下面的单项式：……根据你发现的规律，写出第7个式子是 ．
【变式2】（2023·全国·七年级假期作业）有一组单项式依次为，根据它们的规律，请写出第8个单项式 ．
题型05 多项式的判断
【典例5】（2023秋·江苏·七年级专题练习）在下列代数式：，，，，，，中，多项式有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【变式1】（2022秋·河南郑州·七年级校考期中）下列说法正确的有（ ）个．
①单项式x的系数和次数都是0；②的次数是11；③多项式是由1，，三项组成；④在，，，0中整式有2个；⑤的系数是 ．
A．1B．2C．3D．4
【变式2】（2022秋·河南信阳·七年级统考期中）在式子，，，中，多项式的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
题型06 多项式的项、项数或次数
【典例6】（2023秋·江苏·七年级专题练习）对于多项式，下列说法正确的是（ ）
A．它是三次三项式B．它的常数项是6
C．它的一次项系数是D．它的二次项系数是2
【变式1】（2023秋·河南商丘·七年级统考期末）下列关于多项式的说法中，错误的是（ ）
A．该多项式是二次三项式B．该多项式的最高次项的系数是1
C．该多项式的一次项系数是3D．该多项式的常数项是2
【变式2】（2022秋·广东肇庆·七年级校考期中）下列说法正确的是（ ）
A．是六次六项式 B．是多项式 C．是三次二项式 D．是二次二项式
题型07 多项式系数、指数中字母求值
【典例7】（2023秋·福建泉州·七年级统考期末）多项式是关于的二次三项式，则取值为（ ）
A．3B．C．3或D．或1
【变式1】（2023·江苏·七年级假期作业）多项式是关于的四次三项式，则的值是（ ）
A．B．C．D．或
【变式2】（2023秋·全国·七年级专题练习）若多项式是一个关于，的四次四项式，则的值为 ．
题型08 将多项式按某个字母升幂(降幂)排列
【典例8】（2023秋·河南驻马店·七年级统考期末）把多项式按m的升幂排列为 ．
【变式1】（2023秋·重庆·七年级统考期末）把多项式按的降幂排列可写成 ．
【变式2】（2023秋·上海浦东新·七年级校考期末）将多项式 按字母x降幂排列，结果是 ．
题型09 整式的判断
【典例9】（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考期中）在代数式，，，，，，中，整式有( )
A．3个B．1个C．5个D．6个
【变式1】（2023·全国·七年级假期作业）代数式，，，，中是整式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式2】（2023秋·甘肃金昌·七年级统考期末）代数式中，整式有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
一、单选题
1．（2023秋·河南安阳·七年级校考期末）的系数与次数分别是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·广东中山·七年级校联考期中）在式子，，，，中，整式有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
3．（2022秋·黑龙江大庆·七年级期末）下列说法正确的是（ ）
A．的系数是B．的次数是
C．二次项系数是D．是多项式
4．（2023春·新疆阿克苏·九年级校联考开学考试）观察下列关于x的单项式，探究其规律：x，…按照上述规律，第2021个单项式是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023秋·全国·七年级专题练习）如果多项式是关于x的四次三项式，那么的值为（ ）
A．B．4C．5D．
二、填空题
6．（2022秋·湖南永州·七年级统考期中）单项式的系数是 ，多项式的次数是 ．
7．（2022秋·吉林松原·七年级校联考期中）已知多项式，它是 次三项式，常数项为 ．
8．（2022秋·吉林松原·七年级校联考期中）多项式按字母的降幂排列是 ．
9．（2022秋·安徽宿州·七年级校考阶段练习）若单项式与的次数相同，则 ．
10．（2023春·云南昭通·八年级校联考期中）观察下列式子：
，，，，…
请你找出其中规律，并将第个式子写出来： ．
三、解答题
11．（2023春·广东肇庆·七年级广东肇庆中学校考阶段练习）已知多项式，按要求解答下列问题：
(1)写出该多项式的二次项是______，常数项______；
(2)该多项式是______次______项式．
12．（2022秋·湖南衡阳·七年级校考期中）已知下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦
(1)其中单项式有_______（写序号），它们的系数分别是_________（按前一空答案的顺序作答）．
(2)其中多项式有_______（写序号），它们的次数分别是_________（按前一空答案的顺序作答）．
13．（2022秋·安徽芜湖·七年级校考期中）有一个关于、的多项式，每项的次数都是．
(1)分别写出项数最多的一个多项式：______；项数最少的一个多项式：______；
(2)写出同时满足下列要求的一个多项式：
①项数为；②各项系数之和为；③按字母降幂排列．
14．（2022秋·陕西西安·七年级校考期中）已知下面6个式子：，，，，，．回答下列问题：
(1)上面式子中是单项式的有 ，是多项式的有 ；
(2)多项式中次数最高的是 ，它是 次 项式．
15．（2022秋·全国·七年级专题练习）指出下列各式中，哪些是单项式、哪些是多项式、哪些是整式？填在相应的横线上：
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩
单项式：_________________________；
多项式：_________________________；
整式：___________________________．
16．（2022秋·重庆彭水·七年级校考期中）已知多项式是六次四项式，单项式与该多项式的次数相同．
(1)求的值
(2)若，，求该多项式的值．
17．（2022秋·安徽芜湖·七年级校考期中）【观察与发现】
，，，，，，…，
(1)直接写出：第7个单项式是______；第8个单项式是______；
(2)第2n（n大于0的整数）个单项式是什么？并指出它的系数和次数．
18．（2022秋·吉林·七年级统考期中）观察下列各式：，，，，．回答下列问题：
(1)单项式分别为：______________________________；
(2)多项式分别为：_________________________________；
(3)整式有___________个；
(4)的系数为__________；
(5)次数最高的多项式为__________________．
19．（2022秋·湖南长沙·七年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“青一多项式”，称这个多项式的各项系数之和为“青一和”．例如：多项式的系数和为，所以多项式是“青一多项式”，它的“青一和”为．请根据这个定义解答下列问题：
(1)在下列多项式中，属于“青一多项式”的是 ；（在横线上填写序号）
①；②；③．
(2)若关于x的“青一多项式”的“青一和”为7，且均为正整数，求的值；
(3)若多项式是关于x，y的“青一多项式”，则多项式也是关于x，y的“青一多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例．
第02讲 整式(单项式与多项式)
1.掌握单项式、多项式、整式的概念；
2.掌握单项式的系数与次数和多项式的项数、系数与次数；
3.掌握单项式的规律题的方法；
4.掌握多项式的升幂、降幂排列方法.
知识点01 单项式的概念
如，，0，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．
【注意】（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母．
（2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成。但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积．
知识点02 单项式的系数与次数
1.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．
（1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数；
（2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数；
（3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；
（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数.
2.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点：
（1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏；
（2）不能将数字的指数一同计算．
知识点03 多项式
1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式．
2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．
【注意】（1）多项式的每一项包括它前面的符号．
（2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式．
3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．
【注意】（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数．
（2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出．
知识点04 整式
单项式与多项式统称为整式．

【注意】（1）单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示．即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立．
（2）分母中含有字母的式子一定不是整式．
题型01 单项式的判断
【典例1】（2022秋·福建漳州·七年级福建省漳州第一中学校考期中）下列代数式，，，，，，中，单项式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】单项式是由数或字母的乘积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式．
【详解】解：，，，，，，中，单项式有，，，共3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了单项式的定义，熟练掌握单项式的定义是解题的关键．
【变式1】（2023秋·福建宁德·七年级校考期末）在这五个代数式中，单项式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据单项式的定义解决此题
【详解】解：根据单项式的定义，数字或字母的乘积组成的代数式（单个数字或单个字母也是单项式），
∴单项式有，共3个
故选：C.
【点睛】本题主要考查单项式的定义，熟练掌握单项式的定义是解决本题的关键
【变式2】（2023秋·全国·七年级专题练习）下列式子：0，，a，，，，，单项式的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】数与字母乘积的代数式是单项式，注意单个数和字母也是单项式．
【详解】解：单项式有0，a，，，共有4个，
其它：，是多项式，中分母含有字母，不是单项式．
故选：D．
【点睛】本题考查单项式的定义，注意单项式只含有数与字母的乘积，且单个数、字母也是单项式．
题型02 单项式的系数、次数
【典例2】（2022秋·黑龙江大庆·七年级期末）单项式的系数是 ，次数是 ．
【答案】 8
【分析】根据单项式的系数和次数的定义解答即可；单项式中的数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做单项式的次数．
【详解】解：单项式的系数是，次数是8；
故答案为：，8．
【点睛】本题考查了单项式的有关概念，熟知单项式的系数和次数的定义是关键．
【变式1】（2023秋·山东济南·六年级统考期末）单项式的次数是 ，系数是 ．
【答案】 5
【分析】单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．根据单项式的系数和次数定义进行解答即可．
【详解】解：单项式的次数是5，系数是，
故答案为：5；．
【点睛】本题考查了单项式的系数和次数，理解单相关定义是解题关键．
【变式2】（2023秋·甘肃天水·七年级校考期末）单项式的系数是 ，次数是 次．
【答案】 6
【分析】直接根据单项式的系数与次数的定义得出答案，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
【详解】解：单项式的系数和次数分别是：，．
故答案为：，6．
【点睛】本题考查了单项式的系数，单项式的次数，理解单项式的系数与次数是解题的关键．
题型03 写出满足某些特征的单项式
【典例3】（2022秋·上海青浦·七年级校考期中）写出一个系数为，且含字母和的3次单项式 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据单项式的系数与次数的含义即可求解．单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
【详解】解：依题意，一个系数为，且只含有字母，的3次单项式为：，
故答案为：（答案不唯一）
【点睛】本题考查了单项式的系数与次数，熟记概念是解题的关键．
【变式1】（2023秋·广东中山·七年级校考期末）请写出一个系数是，并且含字母x、y的三次单项式 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据单项式的定义可知，所求单项式中x和y的指数之和为3，系数为．
【详解】解：根据单项式的系数和次数的定义可知，符合条件的一个单项式为，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了单项式，解题的关键是掌握单项式的定义．单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数之和叫作单项式的次数．
【变式2】（2022秋·北京西城·七年级统考期末）写出一个同时满足以下两个条件的单项式：①系数是负数；②次数是5．这个单项式可以是： ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据题目要求写出这个单项式即可，答案不唯一．
【详解】根据题意可得：
．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】此题考查了单项式的概念，解题的关键是熟悉单项式的概念．
题型04 单项式规律题
【典例4】（2023秋·云南昭通·七年级统考期末）观察下列单项式：，……，按此规律第10个单项式可以表示为 ．
【答案】
【分析】由，，，，，即可得出规律第个式子为：，令即可得出答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
……，
第个式子为：，
当时，，
按此规律第10个单项式可以表示为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了单项式的规律，根据题意正确得出规律：第个式子为：，是解题的关键．
【变式1】（2022秋·广东汕头·七年级统考期末）观察下面的单项式：……根据你发现的规律，写出第7个式子是 ．
【答案】
【分析】根据题意可得出变化规律：n为奇数项符号为负，n为偶数项符号为正，数字变化规律是，字母变化规律是，根据变化规律即可写出式子．
【详解】解：第1个单项式为，
第2个单项式为，
第3个单项式为，
第4个单项式为，
…
∴可以得到规律第n个单项式为，
∴第7个单项式为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了单项式的规律，解题关键在于根据题意找出式子的变化规律．
【变式2】（2023·全国·七年级假期作业）有一组单项式依次为，根据它们的规律，请写出第8个单项式 ．
【答案】
【分析】不难看出，单项式的系数部分是，字母的指数部分是，据此可解答．
【详解】，
，
,
，
第个单项式为：，
∴第8个单项式为：
故答案为：．
【点睛】本题主要考查数字的变化类规律，解答的关键是由所给的单项式总结出存在的规律．
题型05 多项式的判断
【典例5】（2023秋·江苏·七年级专题练习）在下列代数式：，，，，，，中，多项式有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】多项式是几个单项式的和，可得答案．
【详解】解：在：，，，，，，中，
，π+2是单项式，
，不是整式，不是多项式，
多项式有：，，，有3个．
故选：B．
【点睛】本题考查了多项式的定义，熟记多项式的定义（由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式）是解题关键．
【变式1】（2022秋·河南郑州·七年级校考期中）下列说法正确的有（ ）个．
①单项式x的系数和次数都是0；②的次数是11；③多项式是由1，，三项组成；④在，，，0中整式有2个；⑤的系数是 ．
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】根据多项式、单项式、整式的相关概念解答即可．
【详解】解：①单项式的系数和次数都是，原说法错误；
②的次数是，原说法错误；
③多项式是由，，三项组成，原说法正确；
④在，，，中整式有个，原说法错误；
⑤的系数是，原说法错误．
∴说法正确的有个．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了整式的有关概念．要能准确的分清什么是整式．整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．单项式是字母和数的乘积，只有乘法，没有加减法．多项式是若干个单项式的和，有加减法．
【变式2】（2022秋·河南信阳·七年级统考期中）在式子，，，中，多项式的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】直接利用多项式的定义，几个单项式的和叫做多项式，进而得出答案．
【详解】解：在式子，，，中，
多项式有，，共有2个．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了多项式的定义，正确把握多项式的定义是解题的关键．
题型06 多项式的项、项数或次数
【典例6】（2023秋·江苏·七年级专题练习）对于多项式，下列说法正确的是（ ）
A．它是三次三项式B．它的常数项是6
C．它的一次项系数是D．它的二次项系数是2
【答案】C
【分析】分别判断多项式的项数、次数、常数项，各项的次数和系数后，即可得到答案．
【详解】解：A、它是二次三项式，故选项错误；
B、它的常数项是，故选项错误；
C、它的一次项系数是，故选项正确；
D、它的二次项系数是1，故选项错误；
故选：C．
【点睛】此题考查了多项式，熟练掌握多项式项数、次数、常数项，各项的次数和系数是解题的关键．
【变式1】（2023秋·河南商丘·七年级统考期末）下列关于多项式的说法中，错误的是（ ）
A．该多项式是二次三项式B．该多项式的最高次项的系数是1
C．该多项式的一次项系数是3D．该多项式的常数项是2
【答案】D
【分析】根据多项式的定义逐项判断．
【详解】解：多项式，
该多项式是二次三项式，故选项A正确；
该多项式的最高次项的系数是1，选项B正确；
该多项式的一次项系数是3，选项C正确；
该多项式的常数项是，选项D错误；
故选：D．
【点睛】此题考查了多项式的定义，熟练掌握多项式的定义及各项的意义是解题的关键．
【变式2】（2022秋·广东肇庆·七年级校考期中）下列说法正确的是（ ）
A．是六次六项式 B．是多项式 C．是三次二项式 D．是二次二项式
【答案】B
【分析】几个单项式的和是多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数．
【详解】解：A. 是五次二项式，故A错误，不符合题意；
B. 是多项式，故B正确，符合题意；
C. 中是常数项，是二次二项式，故C错误，不符合题意；
D. 是三次二项式，故D错误，不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查多项式的定义、次数和项数等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
题型07 多项式系数、指数中字母求值
【典例7】（2023秋·福建泉州·七年级统考期末）多项式是关于的二次三项式，则取值为（ ）
A．3B．C．3或D．或1
【答案】B
【分析】根据题意可得：且，即可求解．
【详解】解：∵多项式是关于的二次三项式，
∴且且，
解得：．
故选：B
【点睛】本题主要考查了多项式，熟练掌握多项式的次数：多项式中最高次项的次数，叫做多项式的次数；一个多项式有几项就叫几项式是解题的关键．
【变式1】（2023·江苏·七年级假期作业）多项式是关于的四次三项式，则的值是（ ）
A．B．C．D．或
【答案】C
【分析】根据多项式次数和项的定义进行求解即可．
【详解】解；∵多项式是关于的四次三项式，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了多项式的次数和项定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数．
【变式2】（2023秋·全国·七年级专题练习）若多项式是一个关于，的四次四项式，则的值为 ．
【答案】2
【分析】根据多项式的次数和项数的定义，即可求解．
【详解】解：∵多项式是一个关于，的四次四项式，
∴且，
解得：，
故答案为：2
【点睛】本题主要考查了多项式，熟练掌握一个多项式有几项就叫几项式，次数最高的项的次数是几就叫几次多项式是解题的关键．
题型08 将多项式按某个字母升幂(降幂)排列
【典例8】（2023秋·河南驻马店·七年级统考期末）把多项式按m的升幂排列为 ．
【答案】
【分析】先分清多项式的各项，然后按多项式按升幂排列的定义排列．
【详解】解：多项式按m的升幂排列为，
故答案为．
【点睛】本题考查多项式，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号．
【变式1】（2023秋·重庆·七年级统考期末）把多项式按的降幂排列可写成 ．
【答案】
【分析】按字母按x的降幂排列即可得答案．
【详解】按字母按x的降幂排列，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了多项式的定义，关键是要知道：把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．
【变式2】（2023秋·上海浦东新·七年级校考期末）将多项式 按字母x降幂排列，结果是 ．
【答案】
【分析】按字母x降幂排列即按照字母x次数从高到低进行排序，据此求解即可．
【详解】将多项式按字母x降幂排列为，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了多项式的降幂排序，解题的关键是熟知降幂排序的定义．
题型09 整式的判断
【典例9】（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考期中）在代数式，，，，，，中，整式有( )
A．3个B．1个C．5个D．6个
【答案】C
【分析】根据整式包括单项式和多项式进行解答即可．单项式就是数与字母的乘积，以及单独的数与单独的字母都是单项式，几个单项式的和叫做多项式．
【详解】解：代数式，，，，，，中，
整式有：，，，，，共5个，
故选：C．
【点睛】本题考查了整式的定义，熟记定义是解本题的关键．
【变式1】（2023·全国·七年级假期作业）代数式，，，，中是整式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】根据单项式和多项式统称为整式，进而判断得出答案．
【详解】解：的分母含有字母，不是整式；
是整式；是整式；是整式；是整式；
综上，整式的个数是4个．
故选：D．
【点睛】本题考查了整式的定义．解题的关键是熟练掌握整式的定义．要注意虽然有分数线，但是分母中不含有表示未知数的字母，所以它仍是整式．在整式中除式不能含有字母．
【变式2】（2023秋·甘肃金昌·七年级统考期末）代数式中，整式有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】B
【分析】根据整式包括单项式和多项式进行解答即可．
【详解】解：代数式中，
是整式，共4个，
故选B．
【点睛】本题考查整式的识别，熟记整式的定义是解题的关键．
一、单选题
1．（2023秋·河南安阳·七年级校考期末）的系数与次数分别是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据单项式系数、次数的定义求解即可．
【详解】解：单项式的系数与次数分别为，
故选：A．
【点睛】本题考查了单项式，熟练掌握单项式的系数、次数的定义是解题的关键．
2．（2022秋·广东中山·七年级校联考期中）在式子，，，，中，整式有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【分析】根据单项式与多项式统称整式，可得答案．
【详解】解：整式有，，，，
故选：C．
【点睛】本题考查了整式，熟练掌握单项式与多项式统称整式是解题的关键．
3．（2022秋·黑龙江大庆·七年级期末）下列说法正确的是（ ）
A．的系数是B．的次数是
C．二次项系数是D．是多项式
【答案】D
【分析】根据单项式和多项式的相关定义，逐个进行判断即可．
【详解】解：A、的系数是，故A不正确，不符合题意；
B、的次数是，故B不正确，不符合题意；
C、二次项系数是，故C不正确，不符合题意；
D、是多项式，故D正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查单项式、多项式及相关概念，解题的关键是掌握单项式系数、次数及多项式项数、次数等相关概念．单项式中，所有字母的指数和叫单项式的次数，数字因数叫单项式的系数，通常系数不为0，多项式的每一项都有次数，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数；多项式的项数就是多项式中包含的单项式的个数．
4．（2023春·新疆阿克苏·九年级校联考开学考试）观察下列关于x的单项式，探究其规律：x，…按照上述规律，第2021个单项式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题目中的单项式，可以发现单项式的系数是从1开始的一些连续的奇数，字母的指数幂是从1开始的一些连续的整数，从而可以写出第n个单项式，然后即可得到第2021个单项式．
【详解】解：∵x，…，
∴第n个单项式为，
∴当时，这个单项式是，
故选：C．
【点睛】本题考查数字的变化类、单项式，解答本题的关键是发现单项式系数与数字的变化特点，写出相应的单项式．
5．（2023秋·全国·七年级专题练习）如果多项式是关于x的四次三项式，那么的值为（ ）
A．B．4C．5D．
【答案】A
【分析】根据多项式的定义，每个单项式叫做多项式的项，次数最好的项次数叫做多项式的次数，多项式含有几项，就叫做几项式，多项式的次数是几就叫做几次式，由题意可求出a，b的值，即可求出的值．
【详解】∵多项式是关于x的四次三项式，
∴，，
即，，
得．
故选：A．
【点睛】本题考查多项式的定义，几次几项式定义的由来，根据定义和题意，解决问题．
二、填空题
6．（2022秋·湖南永州·七年级统考期中）单项式的系数是 ，多项式的次数是 ．
【答案】 5
【分析】根据单项式的系数和多项式的次数的定义即可求解．
【详解】解：单项式的系数是，多项式的次数是5，
故答案为：①，②5．
【点睛】本题考查了单项式的系数和多项式的次数，熟练掌握其定义是解题的关键．
7．（2022秋·吉林松原·七年级校联考期中）已知多项式，它是 次三项式，常数项为 ．
【答案】 二
【分析】根据多项式的概念解答即可．
【详解】解：是二次三项式，常数项为．
故答案为：二，．
【点睛】本题考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式．多项式中的每个单项式都叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，多项式的每一项都包括前面的符号，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．
8．（2022秋·吉林松原·七年级校联考期中）多项式按字母的降幂排列是 ．
【答案】
【分析】按照字母a的次数由高到低进行排列即可．
【详解】把多项式按照字母a降幂排列得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了多项式及多项式中各个单项式的次数，看清a的次数是解题的关键．
9．（2022秋·安徽宿州·七年级校考阶段练习）若单项式与的次数相同，则 ．
【答案】
【分析】根据单项式的次数的定义列出方程即可得出答案．
【详解】解：单项式与的次数相同，
，
解得：，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了单项式次数，掌握单项式中所有字母指数的和是单项式的次数是解题的关键．
10．（2023春·云南昭通·八年级校联考期中）观察下列式子：
，，，，…
请你找出其中规律，并将第个式子写出来： ．
【答案】
【分析】分别找到各项的规律，继而得出第n个式子．
【详解】解：，，，，…，
可发现含x的项次数为从1开始的自然数，
常数项为从1开始的自然数的平方，奇数项系数为负，偶数项系数为正，
∴第个式子为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了多项式的规律，解题的关键是从式子的各个部分出发寻找规律．
三、解答题
11．（2023春·广东肇庆·七年级广东肇庆中学校考阶段练习）已知多项式，按要求解答下列问题：
(1)写出该多项式的二次项是______，常数项______；
(2)该多项式是______次______项式．
【答案】(1)，
(2)6，5
【分析】（1）根据多项式每个单项是叫做多项式的项．
（2）根据多项式中最高单项式的次数为多项式的次数．
【详解】（1）的二次项是，常数项是．
（2）多项式是6次5项式．
【点睛】本题考查了多项式，熟练掌握其概念是解题的关键
12．（2022秋·湖南衡阳·七年级校考期中）已知下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦
(1)其中单项式有_______（写序号），它们的系数分别是_________（按前一空答案的顺序作答）．
(2)其中多项式有_______（写序号），它们的次数分别是_________（按前一空答案的顺序作答）．
【答案】(1)①②⑦；、、
(2)④⑥；、
【分析】（1）根据单项式是由数字与字母的积组成的整式即可解答；
（2）根据多项式是由若干个单项式相加组成的整式即可解答．
【详解】（1）解：∵单项式是由数字与字母的积组成的整式，
∴，，是单项式，
即①②⑦是单项式，
∴的系数为，的系数为，的系数是，
故答案为①②⑦；、、；
（2）解：∵多项式是由若干个单项式相加组成的整式，
∴，，
即④⑥，
∴的次数为，的次数为，
故答案为④⑥；、．
【点睛】本题考查了多项式是由若干个单项式相加组成的整式，单项式是由数字与字母的积组成的整式，多项式的次数，单项式的系数，掌握单项式的定义及多项式的定义是解题的关键．
13．（2022秋·安徽芜湖·七年级校考期中）有一个关于、的多项式，每项的次数都是．
(1)分别写出项数最多的一个多项式：______；项数最少的一个多项式：______；
(2)写出同时满足下列要求的一个多项式：
①项数为；②各项系数之和为；③按字母降幂排列．
【答案】(1)；（答案不唯一）
(2)（答案不唯一）
【分析】（1）根据多项式的定义进行解答即可；
（2）根据多项式的系数和次数的定义进行求解即可．
【详解】（1）解：多项式含有，，每项的次数都是，且，
各项的字母组成只能是： ，，，，
项数最多的一个多项式有四项，
项数最少的一个多项式有两项：（答案不唯一），
故答案为：，（答案不唯一）；
（2）需要同时满足：①项数为；②各项系数之和为；③按字母降幂排列，的关于、的多项式，每项的次数都是，
满足要求的多项式为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了多项式及其次数，系数，熟练掌握多项式及其次数，系数的定义是解答本题的关键．
14．（2022秋·陕西西安·七年级校考期中）已知下面6个式子：，，，，，．回答下列问题：
(1)上面式子中是单项式的有 ，是多项式的有 ；
(2)多项式中次数最高的是 ，它是 次 项式．
【答案】(1)，，；，，
(2)，四，三
【分析】（1）根据单项式的定义：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式；多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式；
（2）根据多项式相关概念：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数，多项式中含有一个单项式就有几项，据此解答即可．
【详解】（1）解：题目中是单项式的有：，，；
是多项式的有：，，；
故答案为：，，；，，；
（2）解：多项式中次数最高的是，它是4次3项式，
故答案为：，四，三．
【点睛】本题考查了单项式和多项式的有关定义，熟练掌握相关定义是解本题的关键．
15．（2022秋·全国·七年级专题练习）指出下列各式中，哪些是单项式、哪些是多项式、哪些是整式？填在相应的横线上：
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩
单项式：_________________________；
多项式：_________________________；
整式：___________________________．
【答案】②④⑦⑨；①③⑤⑧；①②③④⑤⑦⑧⑨
【分析】，的分母中含有字母，所以它们既不是单项式，也不是多项式，再根据单项式、多项式和整式的概念来分类．
【详解】解：单项式有：，，，；
多项式有：，，，；
整式有：，，，，，，，．
故答案为：单项式：②④⑦⑨；多项式：①③⑤⑧；整式：①②③④⑤⑦⑧⑨；
【点睛】本题考查了整式的定义，单项式与多项式的识别，掌握单项式、多项式、整式的定义是解题的关键．
16．（2022秋·重庆彭水·七年级校考期中）已知多项式是六次四项式，单项式与该多项式的次数相同．
(1)求的值
(2)若，，求该多项式的值．
【答案】(1)17
(2)
【分析】（1）根据多项式、单项式的项和次数的定义解得，的值，再代入计算即可；
（2）由（1）可得多项式，把，代入多项式计算即可．
【详解】（1）解：由题意得，，，
解得，，
；
（2）解：多项式为：，
当，时，
原式．
【点睛】本题考查了多项式、单项式的项和次数的定义，代数式求值，解方程，熟练掌握知识点是解题的关键．
17．（2022秋·安徽芜湖·七年级校考期中）【观察与发现】
，，，，，，…，
(1)直接写出：第7个单项式是______；第8个单项式是______；
(2)第2n（n大于0的整数）个单项式是什么？并指出它的系数和次数．
【答案】(1)；
(2)；系数为：，次数为：
【分析】（1）观察单项式的系数、字母指数，即可求解；
（2）根据题意可得出通用规律，即可求解．
【详解】（1）解：由题意可知：
单项式的系数依次为：
的指数依次为：
故第7个单项式是：
第8个单项式是：
（2）解：由（1）可得出第个单项式为：
故第个单项式是：，它的系数为：，次数为：
【点睛】本题是以单项式为背景的规律题目．确定单项式的系数规律、字母指数规律是解题关键．
18．（2022秋·吉林·七年级统考期中）观察下列各式：，，，，．回答下列问题：
(1)单项式分别为：______________________________；
(2)多项式分别为：_________________________________；
(3)整式有___________个；
(4)的系数为__________；
(5)次数最高的多项式为__________________．
【答案】(1)，
(2)，
(3)4
(4)
(5)
【分析】根据单项式的定义即可得出（1），根据多项式的定义即可得出（2），根据整式的定义即可得出（3），根据间项式的系数的定义即可得出（4），根据多项式的次数的定义即可得出（5）．
【详解】（1）解：单项式有，；
故答案为：，；
（2）多项式有，；
故答案为：，；
（3）整式有，，，共4个；
故答案为：4；
（4）的系数为；
故答案为：；
（5）次数最高的多项式为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了单项式，整式和多项式的定义，多项式的项和次数等知识点，能熟记单项式和多项式的定义是解此题的关键，注意：表示数与数或数与字母的积，叫单项式，单独一个数或字母也是单项式，两个或两个以上单项式的和，叫多项式，单项式和多项式统称整式，多项式中次数最高的项的次数，叫这个多项式的次数．
19．（2022秋·湖南长沙·七年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“青一多项式”，称这个多项式的各项系数之和为“青一和”．例如：多项式的系数和为，所以多项式是“青一多项式”，它的“青一和”为．请根据这个定义解答下列问题：
(1)在下列多项式中，属于“青一多项式”的是 ；（在横线上填写序号）
①；②；③．
(2)若关于x的“青一多项式”的“青一和”为7，且均为正整数，求的值；
(3)若多项式是关于x，y的“青一多项式”，则多项式也是关于x，y的“青一多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例．
【答案】(1)①③
(2)
(3)是，理由见解析
【分析】（1）根据“青一多项式”的定义进行解答即可；
（2）根据题意可得，整理为，因为均为正整数，则也为正整数，则分和进行讨论即可；
（3）根据题意可得（为整数），即，将之代入中分析即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，
∴属于青一多项式”；
∵（为整数），
∴不属于青一多项式”；
∵，
∴属于青一多项式”；
故属于“青一多项式”的是①③，
故答案为：①③．
（2）∵关于x的“青一多项式”的“青一和”为7，
∴，即，
∵均为正整数，
∴也为正整数，
当时，则，即，则；
当时，则，即，则；
综上：的值为；
（3）是，理由如下：
∵项式是关于x，y的“青一多项式”，
∴（为整数），
∴，
∴，
∴是的整数倍，
∴多项式也是关于x，y的“青一多项式”．
【点睛】本题考查了多项式的系数，整倍数的分析，读懂题意，理解题目所给出的定义进行解答是关键．