新高考数学一轮复习讲义+分层练习 8.1《直线的倾斜角与斜率、直线的方程》教案 (2份打包，原卷版+教师版)

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2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.
3.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.
1.直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.
(2)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π).
2.斜率公式
(1)直线l的倾斜角为α≠90°，则斜率k＝tan α.
(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝eq \f(y2－y1,x2－x1).
3.直线方程的五种形式
eq \a\vs4\al([常用结论])
1.直线的斜率k和倾斜角α之间的函数关系
如图，当α∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝eq \f(π,2)时，斜率不存在；当α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))时，斜率k∈(﹣∞，0).
2.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率.
3.截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0，这是解题时容易忽略的一点.
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( )
(2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.( )
(3)过定点P0(x0，y0)的直线都可用方程y﹣y0＝k(x﹣x0)表示.( )
(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y﹣y1)(x2﹣x1)＝(x﹣x1)(y2﹣y1)表示.( )
二、教材改编
1.已知两点A(﹣3，eq \r(3))，B(eq \r(3)，﹣1)，则直线AB的斜率是( )
A.eq \r(3) B.﹣eq \r(3) C.eq \f(\r(3),3) D.﹣eq \f(\r(3),3)
2.过点(﹣1，2)且倾斜角为30°的直线方程为( )
A.eq \r(3)x﹣3y＋6＋eq \r(3)＝0 B.eq \r(3)x﹣3y﹣6＋eq \r(3)＝0
C.eq \r(3)x＋3y＋6＋eq \r(3)＝0 D.eq \r(3)x＋3y﹣6＋eq \r(3)＝0
3.如果AC＜0且BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.过点M(3，﹣4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________.
考点1 直线的倾斜角与斜率
求倾斜角的取值范围的一般步骤
(1)求出斜率k＝tan α的取值范围.
(2)利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围.
提醒：求倾斜角时要注意斜率是否存在.
(1)直线2xcs α﹣y﹣3＝0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))))的倾斜角的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,3))) C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(2π,3)))
(2)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，eq \r(3))为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________.
[母题探究]
1.若将本例(2)中P(1，0)改为P(﹣1，0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围.
2.若将本例(2)中的B点坐标改为B(2，﹣1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的范围.
(1)解决直线的倾斜角与斜率问题，常采用数形结合思想；
(2)根据斜率求倾斜角的范围时，要分eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))两种情况讨论.
1.若平面内三点A(1，﹣a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a等于( )
A.1±eq \r(2)或0 B.eq \f(2－\r(5),2)或0 C.eq \f(2±\r(5),2) D.eq \f(2＋\r(5),2)或0
2.直线l经过A(3，1)，B(2，﹣m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是________.
考点2 直线方程的求法
求直线方程的2种方法
(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论.
(2)待定系数法：即设定含有参数的直线方程，由条件列出方程(组)，再求出参数，最后将其代入直线方程.
求适合下列条件的直线方程：
(1)经过点P(3，2)，且在两坐标轴上的截距相等；
(2)过点A(﹣1，﹣3)，斜率是直线y＝3x的斜率的﹣eq \f(1,4)；
(3)过点A(1，﹣1)与已知直线l1：2x＋y﹣6＝0相交于B点且|AB|＝5.
求直线方程应注意2点
(1)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零).
(2)截距可正、可负、可为0，因此在解与截距有关的问题时，一定要注意“截距为0”的情况，以防漏解.
[备选例题]
求适合下列条件的直线的方程：
(1)在y轴上的截距为﹣5，倾斜角的正弦值是eq \f(3,5)；
(2)经过点(﹣eq \r(3)，3)，且倾斜角为直线eq \r(3)x＋y＋1＝0的倾斜角的一半；
(3)直线过点(5，10)，且到原点的距离为5.
已知△ABC的三个顶点分别为A(﹣3，0)，B(2，1)，C(﹣2，3)，求：
(1)BC边所在直线的方程；
(2)BC边上中线AD所在直线的方程；
(3)BC边的垂直平分线DE的方程.
考点3 直线方程的综合应用
处理直线方程综合应用的2大策略
(1)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.
(2)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”.
(1)已知直线l1：ax﹣2y＝2a﹣4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0(2)过点P(4，1)作直线l分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点.
①当△AOB面积最小时，求直线l的方程；
②当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程.
本例(2)借助直线方程间接给出等量关系“eq \f(4,a)＋eq \f(1,b)＝1”，在求最值中基本不等式起了“穿针引线”的作用.
1.设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________.
2.已知直线l过点M(2，1)，且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点，则当|eq \(MA,\s\up8(→))|·|eq \(MB,\s\up8(→))|取得最小值时直线l的方程为________.
直线的倾斜角与斜率、直线的方程
一、选择题
1.直线l：xsin 30°＋ycs 150°＋1＝0的斜率是( )
A.eq \f(\r(3),3) B.eq \r(3) C.﹣eq \r(3) D.﹣eq \f(\r(3),3)
2.如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )
A.k1B.k3C.k3D.k13. 若A(﹣2，3)，B(3，﹣2)，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，m))三点在同一条直线上，则m的值为( )
A.﹣2 B.2 C.﹣eq \f(1,2) D.eq \f(1,2)
4.直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来位置，那么l的斜率为( )
A.﹣eq \f(1,3) B.﹣3 C.eq \f(1,3) D.3
5.过点A(4，1)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是( )
A.x＋y＝5 B.x﹣y＝5
C.x＋y＝5或x﹣4y＝0 D.x﹣y＝5或x＋4y＝0
二、填空题
6.直线kx＋y＋2＝﹣k，当k变化时，所有的直线都过定点________.
7.已知A(3，4)，B(﹣1，0)，则过AB的中点且倾斜角为120°的直线方程是________.
8.若直线l过点P(﹣3，2)，且与以A(﹣2，﹣3)，B(3，0)为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围是________.
三、解答题
9.已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：
(1)过定点A(﹣3，4)；
(2)斜率为eq \f(1,6).
10.过点P(3，0)作一条直线，使它夹在两直线l1：2x﹣y﹣2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段AB恰好被点P平分，求此直线的方程.
1.在等腰三角形AOB中，AO＝AB，点O(0，0)，A(1，3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为( )
A.y﹣1＝3(x﹣3) B.y﹣1＝﹣3(x﹣3)
C.y﹣3＝3(x﹣1) D.y﹣3＝﹣3(x﹣1)
2.若直线x﹣2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是( )
A.[﹣2，2] B.(﹣∞，﹣2]∪[2，＋∞)
C.[﹣2，0)∪(0，2]D.(﹣∞，＋∞)
3.已知直线l过点(1，0)，且倾斜角为直线l0：x﹣2y﹣2＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为________.
4.已知直线l：kx﹣y＋1＋2k＝0(k∈R).
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围.
1.已知函数f(x)＝asin x﹣bcs x(a≠0，b≠0)，若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋x))，则直线ax﹣by＋c＝0的倾斜角为( )
A.eq \f(π,4) B.eq \f(π,3) C.eq \f(2π,3) D.eq \f(3π,4)
2.设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，则点P的横坐标的取值范围为( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,2))) B.[﹣1，0]
C.[0，1] D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
名称
方程
适用范围
点斜式
y﹣y0＝k(x﹣x0)
不含直线x＝x0
斜截式
y＝kx＋b
不含垂直于x轴的直线
两点式
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)
截距式
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
平面内所有直线都适用