新高考数学一轮复习讲义+分层练习 7.7《立体几何中的翻折、探究性、最值问题》教案 (2份打包，原卷版+教师版)

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考点1 平面图形的翻折问题
3步解决平面图形翻折问题
如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.
(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；
(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.
平面图形翻折为空间图形问题重点考查平行、垂直关系，解题关键是看翻折前后线面位置关系的变化，根据翻折的过程找到翻折前后线线位置关系中没有变化的量和发生变化的量，这些不变的和变化的量反映了翻折后的空间图形的结构特征.
[备选例题]
如图所示，在梯形CDEF中，四边形ABCD为正方形，且AE＝BF＝AB＝1，将△ADE沿着线段AD折起，同时将△BCF沿着线段BC折起，使得E，F两点重合为点P.
(1)求证：平面PAB⊥平面ABCD；
(2)求直线PB与平面PCD的所成角的正弦值.
如图1，在高为6的等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝6，AB＝12，将它沿对称轴OO1折起，使平面ADO1O⊥平面BCO1O，如图2，点P为BC的中点，点E在线段AB上(不同于A，B两点)，连接OE并延长至点Q，使AQ∥OB.
图1 图2
(1)证明：OD⊥平面PAQ；
(2)若BE＝2AE，求二面角C­BQ­A的余弦值.
考点2 立体几何中的探究性问题
(1)解决探究性问题的基本方法是假设结论成立或对象存在，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能推导出与条件吻合的数据或事实，则说明假设成立，即存在，并可进一步证明；否则不成立，即不存在.
(2)在棱上探寻一点满足各种条件时，要明确思路，设点坐标，应用共线向量定理a＝λb(b≠eq \a\vs4\al(0))，利用向量相等，所求点坐标用λ表示，再根据条件代入，注意λ的范围.
(3)利用空间向量的坐标运算，可将空间中的探究性问题转化为方程是否有解的问题进行处理.
如图，在五面体ABCDEF中，AB∥CD∥EF，AD⊥CD，∠DCF＝60°，CD＝EF＝CF＝2AB＝2AD＝2，平面CDEF⊥平面ABCD.
(1)求证：CE⊥平面ADF；
(2)已知P为棱BC上的点，试确定点P的位置，使二面角P­DF­A的大小为60°.
(1)对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解、是否有规定范围内的解”等.
(2)对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数.
[备选例题]
如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA＝PD＝2，BC＝eq \f(1,2)AD＝1，CD＝eq \r(3).
(1)求证：平面PBC⊥平面PQB；
(2)当PM的长为何值时，平面QMB与平面PDC所成的锐二面角的大小为60°？
如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA＝AD＝CD＝2，BC＝3.E为PD的中点，点F在PC上，且eq \f(PF,PC)＝eq \f(1,3).
(1)求证：CD⊥平面PAD；
(2)求二面角F­AE­P的余弦值；
(3)设点G在PB上，且eq \f(PG,PB)＝eq \f(2,3)，判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由.
考点3 立体几何中的最值问题
解决空间图形有关的线段、角、距离、面积、体积等最值问题，一般可以从三方面着手：一是从问题的几何特征入手，充分利用其几何性质去解决；二是利用空间几何体的侧面展开图；三是找出问题中的代数关系，建立目标函数，利用代数方法求目标函数的最值.解题途径很多，在函数建成后，可用一次函数的端点法、二次数的配方法、公式法、函数有界法(如三角函数等)及高阶函数的拐点导数法等.
(1)如图所示，长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝eq \r(2)面对角线B1D1上存在一点P使得A1P＋PB最短，则A1P＋PB的最小值为( )
A.eq \r(5) B.eq \f(\r(2)＋\r(6),2)
C.2＋eq \r(2) D.2
(2)如图所示，PA⊥平面ADE，B，C分别是AE，DE的中点，AE⊥AD，AD＝AE＝AP＝2.
①求二面角A­PE­D的余弦值；
②点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长.
本例(1)属于线段和的最值问题，求解时采用了化空间为平面，化折为直的重要手段；本例(2)属于解决空间角的最值问题，求解时采用了把空间角的余弦三角函数值表示为参数λ的二次函数，利用这个函数的单调性求三角函数值的最值，求解时需要注意的是函数中自变量的取值范围对最值的决定作用.
如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧eq \(CD,\s\up10(︵))所在平面垂直，M是eq \(CD,\s\up10(︵))上异于C，D的点.
(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；
(2)当三棱锥M­ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.
立体几何中的翻折、探究性、最值问题
一、选择题
1.已知一个三棱锥的六条棱的长分别为1，1，1，1，eq \r(2)，a，且长为a的棱与长为eq \r(2)的棱所在直线是异面直线，则三棱锥的体积的最大值为( )
A.eq \f(\r(2),12) B.eq \f(\r(3),12)
C.eq \f(\r(2),6) D.eq \f(\r(3),6)
2.如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE(A1∉平面ABCD)，若M，O分别为线段A1C，DE的中点，则在△ADE翻转过程中，下列说法错误的是( )
A.与平面A1DE垂直的直线必与直线MB垂直
B.异面直线BM与A1E所成角是定值
C.一定存在某个位置，使DE⊥MO
D.三棱锥A1­ADE外接球半径与棱AD的长之比为定值
二、填空题
3.如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，AB＝BC＝eq \f(1,2)AD＝1，点E是线段CD上异于点C，D的动点，EF⊥AD于点F，将△DEF沿EF折起到△PEF的位置，并使PF⊥AF，则五棱锥P­ABCEF的体积的取值范围为________.
4.已知长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝3 cm，BC＝2 cm，AA1＝2 cm，E为CC1的中点，则一质点自点A出发，沿着长方体的表面到达点E的最短路线的长为________cm.
三、解答题
5.如图，梯形EFBC中，EC∥FB，EF⊥BF，BF＝eq \f(2,3)EC＝4，EF＝2，A是BF的中点，AD⊥EC，D在EC上，将四边形AFED沿AD折起，使得平面AFED⊥平面ABCD，点M是线段EC上异于E，C的任意一点.
(1)当点M是EC的中点时，求证：BM∥平面AFED；
(2)当平面BDM与平面ABF所成的锐二面角的正弦值为eq \f(\r(30),6)时，求三棱锥E­BDM的体积.
6.如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝120°，四边形ACFE为矩形，且CF⊥平面ABCD，AD＝CD＝BC＝CF.
(1)求证：EF⊥平面BCF；
(2)点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成的锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值.
1.如图甲，△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，E，F分别为边AB，AC的中点，以EF为折痕把△AEF折起，使点A到达点P的位置(如图乙)，且PB＝BE.
甲 乙
(1)证明：EF⊥平面PBE；
(2)设N为线段PF上的动点(包含端点)，求直线BN与平面PCF所成角的正弦值的最大值.
2.在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，E是AC的中点，F是线段AB上一个动点，且eq \(AF,\s\up8(→))＝λeq \(AB,\s\up8(→))(0<λ<1)，如图所示，沿BE将△CEB翻折至△DEB的位置，使得平面DEB⊥平面ABE.
(1)当λ＝eq \f(1,3)时，证明：BD⊥平面DEF.
(2)是否存在λ，使得DF与平面ADE所成角的正弦值为eq \f(\r(2),3)？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.
已知三棱锥P­ABC(如图1)的平面展开图(如图2)中，四边形ABCD为边长等于eq \r(2)的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥P­ABC中；
图1 图2
(1)证明：平面PAC⊥平面ABC；
(2)若点M在棱PA上运动，当直线BM与平面PAC所成的角最大时，求二面角P­BC­M的余弦值.