2023-2024年新高考数学一轮复习培优教案8.1《直线的倾斜角与斜率、直线的方程》 (2份打包，原卷版+教师版)

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核心素养立意下的命题导向
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素，凸显直观想象的核心素养．
2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式，凸显数学运算的核心素养．
3．掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系，凸显数学抽象的核心素养．
[理清主干知识]
1．直线的倾斜角与斜率
2．直线方程的五种形式
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(求倾斜角)直线eq \r(3)x﹣y＋a＝0的倾斜角为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(5π,6) D.eq \f(2π,3)
答案：B
2．(点斜式方程)经过点P0(2，﹣3)，倾斜角为45°的直线方程为( )
A．x＋y＋1＝0 B．x＋y﹣1＝0
C．x﹣y＋5＝0 D．x﹣y﹣5＝0
解析：选D 由点斜式得直线方程为y﹣(﹣3)＝tan 45°(x﹣2)＝x﹣2，即x﹣y﹣5＝0.
3．(斜截式方程)倾斜角为135°，在y轴上的截距为﹣1的直线方程是( )
A．x﹣y＋1＝0 B．x﹣y﹣1＝0
C．x＋y﹣1＝0 D．x＋y＋1＝0
答案：D
4．(直线的斜率)过点M(﹣1，m)，N(m＋1,4)的直线的斜率等于1，则m的值为________．
答案：1
二、易错点练清
1．(忽视倾斜角的范围)直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π)) C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))
解析：选B 由直线方程可得该直线的斜率为﹣eq \f(1,a2＋1)，又﹣1≤﹣eq \f(1,a2＋1)<0，所以倾斜角的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π)).
2．(忽视斜率公式中x1≠x2)已知经过两点A(m2＋2，m2﹣3)，B(3﹣m﹣m2，2m)的直线l的倾斜角为135°，则m的值为________．
答案：eq \f(4,3)
3．(忽视截距为0的情况)过点M(3，﹣4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________________．
解析：①若直线过原点，则k＝﹣eq \f(4,3)，所以y＝﹣eq \f(4,3)x，即4x＋3y＝0.②若直线不过原点．设eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1，
即x＋y＝a.则a＝3＋(﹣4)＝﹣1，所以直线的方程为x＋y＋1＝0.
答案：4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0
考点一 直线的倾斜角与斜率
[典例] (1)直线2xcs α﹣y﹣3＝0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))))的倾斜角的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,3))) C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(2π,3)))
(2)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________，________.
[解析] (1)直线2xcs α﹣y﹣3＝0的斜率k＝2cs α，
因为α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))，所以eq \f(1,2)≤cs α≤eq \f(\r(3),2)，因此k＝2·cs α∈[1，eq \r(3) ]．
设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，eq \r(3) ]．
又θ∈[0，π)，所以θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,3)))，即倾斜角的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,3))).
(2)设一条边所在直线的倾斜角为α，由taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝2，解得tan α＝eq \f(1,3)，所以正方形两条邻边所在直线的斜率分别为eq \f(1,3)，﹣3.
[答案] (1)B (2)eq \f(1,3) ﹣3
[方法技巧]
1．求倾斜角的取值范围的一般步骤
(1)求出斜率k＝tan α的取值范围．
(2)利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．求倾斜角时要注意斜率是否存在．
2．斜率取值范围的2种求法
[针对训练]
1．“a<﹣1”是“直线ax＋y﹣1＝0的倾斜角大于eq \f(π,4)”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 设直线ax＋y﹣1＝0的倾斜角为θ，则tan θ＝﹣a，
∵直线ax＋y﹣1＝0的倾斜角大于eq \f(π,4).∴﹣a>1或﹣a<0，解得a<﹣1或a>0.
∴a<﹣1是直线ax＋y﹣1＝0的倾斜角大于eq \f(π,4)的充分不必要条件．
2．(多选)如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则下列选项正确的是( )
A．k1解析：选AD 如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则k2>k3>0，k1<0，故eq \f(π,2)>α2>α3>0，且α1为钝角，故选A、D.
考点二 求直线的方程
[典例] 求适合下列条件的直线方程：
(1)经过点P(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；
(2)经过点A(﹣1，﹣3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍；
(3)经过点B(3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．
[解] (1)设直线l在x轴，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0,0)和(4,1)，
所以l的方程为y＝eq \f(1,4)x，即x﹣4y＝0.
若a≠0，设l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1，
因为l过点(4,1)，所以eq \f(4,a)＋eq \f(1,a)＝1，所以a＝5，所以l的方程为x＋y﹣5＝0.
综上可知，所求直线的方程为x﹣4y＝0或x＋y﹣5＝0.
(2)由已知设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.
因为tan α＝3，所以tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝﹣eq \f(3,4).
又直线经过点A(﹣1，﹣3)，因此所求直线方程为y＋3＝﹣eq \f(3,4)(x＋1)，
即3x＋4y＋15＝0.
(3)由题意可知，所求直线的斜率为±1.
又过点(3,4)，由点斜式得y﹣4＝±(x﹣3)．
故所求直线的方程为x﹣y＋1＝0或x＋y﹣7＝0.
[方法技巧] 求解直线方程的2种方法
[针对训练]
1．一条直线经过点A(﹣2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求此直线的方程．
解：设所求直线的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1.∵A(﹣2,2)在直线上，∴﹣eq \f(2,a)＋eq \f(2,b)＝1.①
又∵直线与坐标轴围成的三角形面积为1，∴eq \f(1,2)|a|·|b|＝1.②
由①②可得(1)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－b＝1，,ab＝2))或(2)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－b＝－1，,ab＝－2.))
由(1)解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝－2.))方程组(2)无解．
故所求的直线方程为eq \f(x,2)＋eq \f(y,1)＝1或eq \f(x,－1)＋eq \f(y,－2)＝1，即x＋2y﹣2＝0或2x＋y＋2＝0为所求直线的方程．
2．已知△ABC的三个顶点分别为A(﹣3,0)，B(2,1)，C(﹣2,3)，求：
(1)BC边所在直线的方程；
(2)BC边上中线AD所在直线的方程；
(3)BC边的垂直平分线DE的方程．
解：(1)因为直线BC经过B(2,1)和C(﹣2,3)两点，
由两点式得BC的方程为eq \f(y－1,3－1)＝eq \f(x－2,－2－2)，即x＋2y﹣4＝0.
(2)设BC边的中点D的坐标为(x，y)，则x＝eq \f(2－2,2)＝0，y＝eq \f(1＋3,2)＝2.
BC边的中线AD过A(﹣3,0)，D(0,2)两点，
由截距式得AD所在直线方程为eq \f(x,－3)＋eq \f(y,2)＝1，即2x﹣3y＋6＝0.
(3)由(1)知直线BC的斜率k1＝﹣eq \f(1,2)，
则直线BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2.由(2)知点D的坐标为(0,2)．
可求出直线的点斜式方程为y﹣2＝2(x﹣0)，
即2x﹣y＋2＝0.
考点三 直线方程的综合应用
[典例] 直线l过点P(1,4)，分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A，B两点，O为坐标原点，当|OA|＋|OB|最小时，求l的方程．
[解] 法一：依题意，l的斜率存在，且斜率为负，
设直线l的斜率为k，
则直线l的方程为y﹣4＝k(x﹣1)(k<0)．
令y＝0，可得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(4,k)，0))；令x＝0，可得B(0,4﹣k)．
|OA|＋|OB|＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(4,k)))＋(4﹣k)＝5﹣eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k＋\f(4,k)))＝5＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－k＋\f(4,－k)))≥5＋4＝9.
当且仅当﹣k＝eq \f(4,－k)且k<0，即k＝﹣2时，|OA|＋|OB|取最小值．
此时l的方程为2x＋y﹣6＝0.
法二：设直线l与x轴、y轴的交点坐标分别为A(a,0)，B(0，b)(a>0，b>0)，
则直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1.∵直线l过点P(1,4)，∴eq \f(1,a)＋eq \f(4,b)＝1，
∴|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(4,b)))＝5＋eq \f(b,a)＋eq \f(4a,b)≥5＋2 eq \r(\f(b,a)·\f(4a,b))＝9，
当且仅当eq \f(b,a)＝eq \f(4a,b)，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝6))时“＝”成立．
|OA|＋|OB|取最小值，此时l的方程为eq \f(x,3)＋eq \f(y,6)＝1，即2x＋y﹣6＝0.
[方法技巧]
与直线方程有关问题的常见类型及解题策略
(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．
(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程．
(3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．
[针对训练]
已知直线l：kx﹣y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．
解：(1)证明：直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1﹣y)＝0，
令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2＝0，,1－y＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝1.))∴无论k取何值，直线总经过定点(﹣2,1)．
(2)由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为﹣eq \f(1＋2k,k)，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1＋2k,k)≤－2，,1＋2k≥1，))解得k＞0；
当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞)．
(3)由题意可知k≠0，再由l的方程，得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1＋2k,k)，0))，B(0,1＋2k)．
依题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1＋2k,k)＜0，,1＋2k＞0，))解得k＞0.
∵S＝eq \f(1,2)·|OA|·|OB|＝eq \f(1,2)·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1＋2k,k)))·|1＋2k|＝eq \f(1,2)·eq \f(1＋2k2,k)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4k＋\f(1,k)＋4))≥eq \f(1,2)×(2×2＋4)＝4，
“＝”成立的条件是k＞0且4k＝eq \f(1,k)，即k＝eq \f(1,2)，
∴Smin＝4，此时直线l的方程为x﹣2y＋4＝0.
创新思维角度——融会贯通学妙法
妙用直线的斜率解题
应用(一) 比较大小
[例1] 已知函数f(x)＝lg2(x＋1)，且a>b>c>0，则eq \f(fa,a)，eq \f(fb,b)，eq \f(fc,c)的大小关系为________________．
[解析] 作出函数f(x)＝lg2(x＋1)的大致图象，如图所示，可知当x>0时，曲线上各点与原点连线的斜率随x的增大而减小，因为a>b>c>0，
所以eq \f(fa,a)[名师微点]
有关eq \f(fx,x)的式子比较大小时，一般数形结合利用直线的斜率解题．
应用(二) 求解点共线问题
[例2] 已知A(1,1)，B(3,5)，C(a,7)，D(﹣1，b)四点共线，则a＝________，b＝________.
[解析] 因为A，B，C，D四点共线，所以直线AB，AC，AD的斜率相等，又因为kAB＝2，
kAC＝eq \f(7－1,a－1)，kAD＝eq \f(b－1,－1－1)，所以2＝eq \f(6,a－1)＝eq \f(b－1,－2).所以a＝4，b＝﹣3.
[答案] 4 ﹣3
[名师微点]
若直线AB，AC的斜率相等，则A，B，C三点共线，反过来，若A，B，C三点共线，则直线AB，AC的斜率相等或都不存在．
应用(三) 求参数的取值范围
[例3] 已知线段PQ两端点的坐标分别为P(﹣1,1)和Q(2,2)，若直线l：x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，求实数m的取值范围．
[解] 如图所示，直线l：x＋my＋m＝0过定点A(0，﹣1)，当m≠0时，kQA＝eq \f(3,2)，kPA＝﹣2，kl＝﹣eq \f(1,m).结合图象知，若直线l与PQ有交点，应满足﹣eq \f(1,m)≤﹣2或﹣eq \f(1,m)≥eq \f(3,2).解得0[名师微点]
当直线绕定点旋转时，若倾斜角为锐角，逆时针旋转，倾斜角越来越大，斜率越来越大，顺时针旋转，倾斜角越来越小，斜率越来越小；若倾斜角为钝角，也具有同样的规律．但倾斜角是锐角或钝角不确定时，逆时针旋转，倾斜角越来越大，但斜率并不一定随倾斜角的增大而增大．
应用(四) 求函数的最值
[例4] 已知实数x，y满足y＝x2﹣2x＋2(﹣1≤x≤1)，试求eq \f(y＋3,x＋2)的最大值和最小值．
[解] 如图，作出y＝x2﹣2x＋2(﹣1≤x≤1)的图象(曲线段AB)，则eq \f(y＋3,x＋2)表示定点P(﹣2，﹣3)和曲线段AB上任一点(x，y)的连线的斜率k，连接PA，PB，则kPA≤k≤kPB.
易得A(1,1)，B(﹣1,5)，所以kPA＝eq \f(1－－3,1－－2)＝eq \f(4,3)，kPB＝eq \f(5－－3,－1－－2)＝8，
所以eq \f(4,3)≤k≤8，故eq \f(y＋3,x＋2)的最大值是8，最小值是eq \f(4,3).
[名师微点]
巧妙利用斜率公式，借助数形结合思想直观求解，能收到事半功倍的效果，此题还可利用代数的方法求解．
应用(五) 证明不等式
[例5] 已知00.求证：eq \f(a＋p,b＋p)>eq \f(a,b).
[证明]
设A(b，a)，因为0又p>0，所以设点P(﹣p，﹣p)在第三象限，且在直线y＝x上．
因为kOA＝eq \f(a,b)，kPA＝eq \f(a＋p,b＋p)，由图可知kPA>kOA，所以eq \f(a＋p,b＋p)>eq \f(a,b).
[名师微点]
观察不等式的两边，都可构造与斜率公式类似的结构.eq \f(a＋p,b＋p)＝eq \f(a－－p,b－－p)的几何意义就是点(b，a)与点(﹣p，﹣p)的连线的斜率，eq \f(a,b)可看成(b，a)与原点O(0,0)的连线的斜率．
eq \a\vs4\al([课时跟踪检测])
一、基础练——练手感熟练度
1．直线l的方程为 eq \r(3)x＋3y﹣1＝0，则直线l的倾斜角为( )
A．150° B．120° C．60° D．30°
解析：选A 由直线l的方程为eq \r(3)x＋3y﹣1＝0可得直线l的斜率为k＝﹣eq \f(\r(3),3)，设直线l的倾斜角为α(0°≤α<180°)，则tan α＝﹣eq \f(\r(3),3)，所以α＝150°.故选A.
2．过点A(0,2)且倾斜角的正弦值是eq \f(3,5)的直线方程为( )
A．3x﹣5y＋10＝0 B．3x﹣4y＋8＝0
C．3x＋4y＋10＝0 D．3x﹣4y＋8＝0或3x＋4y﹣8＝0
解析：选D 设所求直线的倾斜角为α，则sin α＝eq \f(3,5)，∴tan α＝±eq \f(3,4)，∴所求直线方程为y＝±eq \f(3,4)x＋2，即为3x﹣4y＋8＝0或3x＋4y﹣8＝0.故选D.
3．在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是( )
解析：选B 由题意l1：y＝﹣ax﹣b，l2：y＝﹣bx﹣a，当a＞0，b＞0时，﹣a＜0，﹣b＜0.选项B符合．
4．已知直线l的斜率为eq \r(3)，在y轴上的截距为另一条直线x﹣2y﹣4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为( )
A．y＝eq \r(3)x＋2 B．y＝eq \r(3)x﹣2 C．y＝eq \r(3)x＋eq \f(1,2) D．y＝﹣eq \r(3)x＋2
解析：选A ∵直线x﹣2y﹣4＝0的斜率为eq \f(1,2)，∴直线l在y轴上的截距为2，
∴直线l的方程为y＝eq \r(3)x＋2，故选A.
5．已知直线l经过A(2,1)，B(1，m2)两点(m∈R)，那么直线l的倾斜角的取值范围是( )
A．[0，π) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)) C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))
解析：选B 直线l的斜率k＝eq \f(1－m2,2－1)＝1﹣m2，因为m∈R，所以k∈(﹣∞，1]，
所以直线的倾斜角的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)).
6．已知e是自然对数的底数，函数f(x)＝(x﹣1)ex＋3e的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则直线l的横截距为________．
解析：因为f′(x)＝ex＋(x﹣1)ex＝xex，所以切线l的斜率为f′(1)＝e，由f(1)＝3e知切点坐标为(1,3e)，所以切线l的方程为y﹣3e＝e(x﹣1)．令y＝0，解得x＝﹣2，故直线l的横截距为﹣2.
答案：﹣2
二、综合练——练思维敏锐度
1．已知三点A(2，﹣3)，B(4,3)，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，\f(k,2)))在同一条直线上，则k的值为( )
A．12 B．9 C．﹣12 D．9或12
解析：选A 由kAB＝kAC，得eq \f(3－－3,4－2)＝eq \f(\f(k,2)－－3,5－2)，解得k＝12.故选A.
2．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，﹣1)，则直线l的斜率为( )
A.eq \f(1,3) B．﹣eq \f(1,3) C．﹣eq \f(3,2) D.eq \f(2,3)
解析：选B 依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋7＝2，,b＋1＝－2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－5，,b＝－3，))
从而可知直线l的斜率为eq \f(－3－1,7＋5)＝﹣eq \f(1,3).故选B.
3．过点(2,1)且倾斜角比直线y＝﹣x﹣1的倾斜角小eq \f(π,4)的直线方程是( )
A．x＝2 B．y＝1 C．x＝1 D．y＝2
解析：选A ∵直线y＝﹣x﹣1的斜率为﹣1，则倾斜角为eq \f(3π,4)，依题意，所求直线的倾斜角为eq \f(3π,4)﹣eq \f(π,4)＝eq \f(π,2)，
∴斜率不存在，∴过点(2,1)的直线方程为x＝2.
4．若k，﹣1，b三个数成等差数列，则直线y＝kx＋b必经过定点( )
A．(1，﹣2) B．(1,2) C．(﹣1,2) D．(﹣1，﹣2)
解析：选A 因为k，﹣1，b三个数成等差数列，所以k＋b＝﹣2，即b＝﹣2﹣k，
于是直线方程化为y＝kx﹣k﹣2，即y＋2＝k(x﹣1)，故直线必过定点(1，﹣2)．
5．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(2,0)，B(0,4)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为( )
A．x＋2y＋3＝0 B．2x＋y＋3＝0
C．x﹣2y＋3＝0 D．2x﹣y＋3＝0
解析：选C 因为AC＝BC，所以欧拉线为AB的中垂线，又A(2,0)，B(0,4)，故AB的中点为(1,2)，kAB＝﹣2，故AB的中垂线方程为y﹣2＝eq \f(1,2)(x﹣1)，即x﹣2y＋3＝0，故选C.
6．直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(﹣3,3)，则其斜率k的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,5))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2))) C．(﹣∞，﹣1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)，＋∞)) D．(﹣∞，﹣1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
解析：选D 设直线的斜率为k，则直线方程为y﹣2＝k(x﹣1)，直线在x轴上的截距为1﹣eq \f(2,k).
令﹣3＜1﹣eq \f(2,k)＜3，解不等式得k＜﹣1或k＞eq \f(1,2).
7．若直线x﹣2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是( )
A．[﹣2,2] B．(﹣∞，﹣2]∪[2，＋∞)
C．[﹣2,0)∪(0,2] D．(﹣∞，＋∞)
解析：选C 令x＝0，得y＝eq \f(b,2)，令y＝0，得x＝﹣b，
所以所求三角形面积为eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(b,2)))|﹣b|＝eq \f(1,4)b2，且b≠0，
因为eq \f(1,4)b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范围是[﹣2,0)∪(0,2]．
8．(多选)已知直线l：mx＋y＋1＝0，A(1,0)，B(3,1)，则下列结论正确的是( )
A．直线l恒过定点(0,1)
B．当m＝0时，直线l的斜率不存在
C．当m＝1时，直线l的倾斜角为eq \f(3π,4)
D．当m＝2时，直线l与直线AB垂直
解析：选CD 直线l：mx＋y＋1＝0，故x＝0时，y＝﹣1，故直线l恒过定点(0，﹣1)，选项A错误；
当m＝0时，直线l：y＋1＝0，斜率k＝0，故选项B错误；
当m＝1时，直线l：x＋y＋1＝0，斜率k＝﹣1，故倾斜角为eq \f(3π,4)，选项C正确；
当m＝2时，直线l：2x＋y＋1＝0，斜率k＝﹣2，kAB＝eq \f(1－0,3－1)＝eq \f(1,2)，故k·kAB＝﹣1，
故直线l与直线AB垂直，选项D正确．
9．设点A(﹣2,3)，B(3,2)，若直线ax＋y＋2＝0与线段 AB没有交点，则a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(5,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，＋∞)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，\f(5,2)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)，\f(4,3))) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(4,3)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，＋∞))
解析：选B 易知直线ax＋y＋2＝0恒过点M(0，﹣2)，且斜率为﹣a.
因为kMA＝eq \f(3－－2,－2－0)＝﹣eq \f(5,2)，kMB＝eq \f(2－－2,3－0)＝eq \f(4,3)，
由图可知﹣a＞﹣eq \f(5,2)且﹣a＜eq \f(4,3)，所以a∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，\f(5,2))).
10．直线(a﹣1)x＋y﹣a﹣3＝0(a＞1)，当此直线在x，y轴上的截距和最小时，实数a的值是( )
A．1 B.eq \r(2) C．2 D．3
解析：选D 当x＝0时，y＝a＋3，当y＝0时，x＝eq \f(a＋3,a－1)，令t＝a＋3＋eq \f(a＋3,a－1)＝5＋(a﹣1)＋eq \f(4,a－1).
因为a＞1，所以a﹣1＞0.所以t≥5＋2 eq \r(a－1·\f(4,a－1))＝9.当且仅当a﹣1＝eq \f(4,a－1)，
即a＝3时，等号成立．
11．过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，4))且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为____________________．
解析：①当在坐标轴上截距为0时，所求直线方程为y＝﹣2x，即2x＋y＝0；
②当在坐标轴上截距不为0时，∵在坐标轴上截距互为相反数，∴设x﹣y＝a，
将A(﹣2,4)代入得，a＝﹣6，∴此时所求的直线方程为x﹣y＋6＝0.
答案：2x＋y＝0或 x﹣y＋6＝0
12．已知三角形的三个顶点A(﹣5,0)，B(3，﹣3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为____________．
解析：由已知，得BC的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，－\f(1,2)))，且直线BC边上的中线过点A，则BC边上中线的斜率k＝﹣eq \f(1,13)，故BC边上的中线所在直线方程为y＋eq \f(1,2)＝﹣eq \f(1,13)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))，即x＋13y＋5＝0.
答案：x＋13y＋5＝0
13．曲线y＝x3﹣x＋5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为____________．
解析：记曲线上点P处的切线的倾斜角是θ，因为y′＝3x2﹣1≥﹣1，所以tan θ≥﹣1，
所以θ为钝角时，应有θ∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))；θ为锐角时，tan θ≥﹣1显然成立．
综上，θ的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π)).答案：eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))
14．若过点P(1﹣a,1＋a)与Q(4,2a)的直线的倾斜角为钝角，且m＝3a2﹣4a，则实数m的取值范围是________．
解析：设直线的倾斜角为α，斜率为k，则k＝tan α＝eq \f(2a－1＋a,4－1－a)＝eq \f(a－1,a＋3)，又α为钝角，所以eq \f(a－1,a＋3)<0，
即(a﹣1)·(a＋3)<0，故﹣3所以3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2﹣4×eq \f(2,3)≤m<3×(﹣3)2﹣4×(﹣3)，所以实数m的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，39)).
答案：eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，39))
15．菱形ABCD的顶点A，C的坐标分别为A(﹣4,7)，C(6，﹣5)，BC边所在直线过点P(8，﹣1)．求：
(1)AD边所在直线的方程；
(2)对角线BD所在直线的方程．
解：(1)kBC＝eq \f(－5－－1,6－8)＝2，
∵AD∥BC，∴kAD＝2.∴AD边所在直线的方程为y﹣7＝2(x＋4)，
即2x﹣y＋15＝0.
(2)kAC＝eq \f(－5－7,6－－4)＝﹣eq \f(6,5).∵菱形的对角线互相垂直，∴BD⊥AC，∴kBD＝eq \f(5,6).
∵AC的中点(1,1)也是BD的中点，
∴对角线BD所在直线的方程为y﹣1＝eq \f(5,6)(x﹣1)，即5x﹣6y＋1＝0.
16．过点P(2,1)作直线l，与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，求：
(1)△AOB面积的最小值及此时直线l的方程；
(2)求直线l在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l的方程；
(3)求|PA|·|PB|的最小值及此直线l的方程．
解：(1)设直线l的方程为y﹣1＝k(x﹣2)，则可得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2k－1,k)，0))，B(0,1﹣2k)．
∵与x轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2k－1,k)>0，,1－2k>0))⇒k<0.
于是S△AOB＝eq \f(1,2)·|OA|·|OB|＝eq \f(1,2)·eq \f(2k－1,k)·(1﹣2k)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－\f(1,k)－4k))≥eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4＋2 \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,R)))·－4k)))＝4.
当且仅当﹣eq \f(1,k)＝﹣4k，即k＝﹣eq \f(1,2)时，△AOB面积有最小值为4，此时，直线l的方程为y﹣1＝﹣eq \f(1,2)(x﹣2)，即x＋2y﹣4＝0.
(2)∵Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2k－1,k)，0))，B(0,1﹣2k)(k<0)，
∴截距之和为eq \f(2k－1,k)＋1﹣2k＝3﹣2k﹣eq \f(1,k)≥3＋2 eq \r(－2k·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,k))))＝3＋2eq \r(2).
当且仅当﹣2k＝﹣eq \f(1,k)，即k＝﹣eq \f(\r(2),2)时，等号成立．
故截距之和最小值为3＋2eq \r(2)，此时l的方程为y﹣1＝﹣eq \f(\r(2),2)(x﹣2)，即eq \r(2)x＋2y﹣2﹣2eq \r(2)＝0.
(3)∵Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2k－1,k)，0))，B(0,1﹣2k)(k<0)，
∴|PA|·|PB|＝ eq \r(\f(1,k2)＋1)·eq \r(4＋4k2)＝ eq \r(\f(4,k2)＋4k2＋8)≥ eq \r(2·\r(\f(4,k2)·4k2)＋8)＝4.
当且仅当eq \f(4,k2)＝4k2，即k＝﹣1时上式等号成立，
故|PA|·|PB|最小值为4，此时，直线l的方程为x＋y﹣3＝0.直线的倾斜角
直线的斜率
定
义
当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°
当直线l的倾斜角α≠eq \f(π,2)时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝tan_α；经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为kP1P2＝eq \f(y2－y1,x2－x1)
区
别
直线l垂直于x轴时，直线l的倾斜角是90°；倾斜角的取值范围为[0，π)
直线l垂直于x轴时，直线l的斜率不存在；斜率k的取值范围为R
联
系
(1)当直线不垂直于x轴时，直线的斜率和直线的倾斜角为一一对应关系；
(2)当直线l的倾斜角α∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，α越大，直线l的斜率越大；当α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))时，α越大，直线l的斜率越大
形式
几何条件
方程
适用范围
点斜式
过一点(x0，y0)，斜率k
y﹣y0＝k(x﹣x0)
与x轴不垂直的直线
斜截式
纵截距b，斜率k
y＝kx＋b
与x轴不垂直的直线
两点式
过两点(x1，y1)，(x2，y2)
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
与x轴、y轴均不垂直的直线
截距式
横截距a，纵截距b
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0
平面直角坐标系内所有直线
数形
结合法
作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定
函数
图象法
根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可
直接法
根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程
待定
系数法
①设所求直线方程的某种形式；
②由条件建立所求参数的方程(组)；
③解这个方程(组)求出参数；
④把参数的值代入所设直线方程