08导数的运算-江苏省2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（苏教版）

这是一份08导数的运算-江苏省2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（苏教版），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2023上·江苏南通·高二统考期末）已知三次函数的零点从小到大依次为m，0，2，其图象在处的切线l经过点，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023上·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校联考期末）已知点P是曲线上一动点，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023上·江苏徐州·高二统考期末）已知函数，则（ ）
A．B．1C．D．
4．（2023上·江苏镇江·高二江苏省扬中高级中学校考期末）函数在处的导数为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023上·江苏盐城·高二盐城中学校考期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2023上·江苏盐城·高二盐城中学校考期末）已知，则（ ）
A．0B．C．2D．
7．（2022上·江苏南通·高二统考期末）已知函数及其导函数的定义域均为，且是奇函数，记，若是奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2022上·江苏南通·高二统考期末）已知函数的导函数为，且，则（ ）
A．B．C．D．
9．（2022上·江苏连云港·高二期末）已知，则（ ）
A．B．C．4D．
10．（2022上·江苏连云港·高二统考期末）已知 ，若 ，则 （ ）
A．B．2
C．D．e
二、多选题
11．（2023上·江苏南京·高二南京大学附属中学校考期末）下列求导运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．，则
12．（2023上·江苏连云港·高二校考期末）关于切线，下列结论正确的是（ ）
A．过点且与圆相切的直线方程为
B．过点且与抛物线相切的直线方程为
C．过点且与曲线相切的直线l的方程为
D．曲线在点处的切线方程为
13．（2023上·江苏盐城·高二盐城中学校考期末）下列求导运算错误的是（ ）
A．B．
C．D．
14．（2022上·江苏南京·高二校联考期末）下列说法中正确的有（ ）
A．.
B．已知函数在上可导，且，则.
C．一质点的运动方程为，则该质点在时的瞬时速度是4.
D．已知函数，则函数的图象关于原点对称.
三、填空题
15．（2023上·江苏常州·高二统考期末）函数在区间处的瞬时变化率为 .
16．（2023上·江苏常州·高二江苏省奔牛高级中学校考期末）函数，则函数在处切线的斜率为 .
17．（2023上·江苏连云港·高二统考期末）已知函数，则 .
18．（2022上·江苏连云港·高二统考期末）已知蜥蜴的体温与阳光照射的关系可近似为 ，其中 为蜥蜴的体温(单位：℃) 为太阳落山后的时间 (单位：)．当 时，蜥蜴体温的瞬时变化率为 ．
四、解答题
19．（2023上·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考期末）已知函数的图象过点，且.
(1)求，的值；
(2)求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积.
20．（2023上·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考期末）设函数.
(1)若函数在点处的切线斜率为1，求实数的值；
(2)设函数，且函数有两个零点，，证明：.
21．（2023上·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校联考期末）已知函数，其中是的导函数.
(1)求；
(2)求过原点与曲线相切的切线方程.
参考答案：
1．B
【分析】由题意可设，求导，根据导数的几何意义可得切线方程为，代入点运算求解即可.
【详解】由题意可设，
则，
可得，
即切点坐标为，切线斜率，
则切线方程为，
代入点得，
且，得，解得.
故选：B.
2．A
【分析】求出函数的导数，利用均值不等式求出切线斜率的取值范围即可计算作答.
【详解】函数的定义域是R，求导得：函数，而，
则曲线在点处的切线的斜率，
当且仅当，即，时取“=”，而，
于是得，又，因此，，
所以的取值范围是.
故选：A
3．B
【分析】根据导数的定义以及复合函数的求导法则即可求解.
【详解】由导数的定义可知，
又，
故，
故选：B
4．D
【分析】利用导数的运算法则及基本初等函数的导数公式，结合导函数值的定义即可求解.
【详解】设，则，
，
所以，
所以.
故函数在处的导数为.
故选：D.
5．B
【分析】求导直接求解即可.
【详解】解：求导得，
所以，解得
故选:B
6．D
【分析】利用导数的定义与运算法则即可得出
【详解】已知，得，
由导数的定义可得.
故选：D
7．B
【分析】根据 是奇函数，可得 ，两边求导推得，，再结合题意可得4是函数的一个周期，且，进而可求解．
【详解】因为 是奇函数，所以 ，
两边求导得 ，
即，
又，
所以 ，即，
令 ，可得 ，
因为是定义域为的奇函数，所以，即．
因为是奇函数，
所以 ，又，
所以，则，，
所以4是函数的一个周期，
所以．
故选：B．
8．D
【分析】将求导并代入即可得出，即可得到的具体解析式，再代入即可得出答案.
【详解】，
，
令，则，
，
则，

故选：D.
9．C
【分析】由题意可知，，利用导数的四则运算即可求出，代入数值即可求得结果.
【详解】因为，
所以，
所以．
故选：C．
10．B
【分析】求得导函数，则，计算即可得出结果.
【详解】,
.
,解得：.
故选：B
11．ACD
【分析】利用导数计算公式分析各选项可得答案.
【详解】A选项，，故A正确；
B选项，，故B错误；
C选项，，故C正确；
D选项，，则，D正确.
故选：.
12．ABD
【分析】依次求四个选项中的切线方程，判断正误.
【详解】对于A，点在圆上，设切线斜率为，则，所以，
切线方程为，即，A正确；
对于B，设切线斜率为（），切线方程为，与联立，
得，则，解得，
所以切线方程为，即，B正确；
对于C，对求导得，设切点为，切线斜率，则，解得，切点为，斜率，
所以切线方程为，即，C错误；
对于D，对求导得，点处的切线的斜率，切线方程为，即，D正确.
故选：ABD.
13．ABC
【分析】利用导数运算法则，逐项计算、判断作答.
【详解】对于A，，A不正确；
对于B，，B不正确；
对于C，，C不正确；
对于D，，D正确.
故选：ABC
14．BCD
【分析】求出每个函数的导数，再结合导数的定义和物理意义即可得到答案.
【详解】对A，，则A错误；
对B，根据题意，，则B正确；
对C，，则C正确；
对D，，导函数为奇函数，则函数的图象关于原点对称，即D正确.
故选：BCD.
15．3
【分析】根据幂函数的求导法则得出，进而根据导数的定义代入，即可得出答案.
【详解】由已知可得，，
根据导数的定义可知，
函数在区间处的瞬时变化率为.
故答案为：3.
16．
【分析】由导数的几何意义知在处切线的斜率为.
【详解】因，则，则函数在处切线的斜率为
.
故答案为：.
17．0
【分析】求出导函数，代入求值即可
【详解】因为，所以，
所以.
故答案为：0
18．5
【分析】求得导函数，令，计算即可得出结果.
【详解】，
，
令，得：.
解得：.
时刻min时，蜥蜴的体温的瞬时变化率为．
故答案为：5.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据题目条件列出方程组求解；
（2）利用导数求出切线斜率，再求直线在坐标轴上的截距即可求三角形面积.
【详解】（1）由，得，
由题意可得，，解得；
（2）由（1）得，，，
∴，，
∴曲线在点处的切线方程为，即.
取，得，取，得.
∴曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积.
20．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由导数的几何意义，知，即可求出的值；
（2）由题意，由题意可得，为方程的根，得到根与系数的关系，要证即证，设，则，转化为证，令，只需求出的最小值即可.
【详解】（1），所以，
因为函数在点处的切线斜率为1，所以，所以.
（2）证明：，，
因为函数有两个零点，，且，所以，为方程的根，
所以，，①根据题意可得，所以，
若证，需证，
需证，
需证，
需证，
需证，（*）
设，则，，，
所以（*）可化为，
所以需证，即证，
设，，，
因为，所以，所以在上单调递减，
所以，得证.
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键点在于由函数的零点将不等式证明转化为，利用换元法并构造函数，根据导数研究其单调性，即可证明不等式.
21．(1)
(2)或
【分析】（1）求出函数的导函数，再令，计算可得；
（2）由（1）可得函数解析式，从而求出函数的导函数，设切点，利用导数的几何意义求出切线方程，根据切线过原点，求出切点坐标，再代入求出切线方程.
【详解】（1）因为，
所以，
令，得，
解得；
（2）由（1）可知，所以，
设切点，则，
所以切线方程为，
由题，
整理得，解得或.
当时，切线方程为；
当时，切线方程为.
综上，曲线过原点的切线方程为或.