04数列基础-江苏省2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（苏教版）

这是一份04数列基础-江苏省2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（苏教版），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2023上·江苏南通·高二统考期末）在数列中，若，则的值为（ ）
A．17B．23C．25D．41
2．（2023上·江苏常州·高二常州市第一中学校考期末）若数列满足，且，则（ ）
A．－1B．2C．D．
3．（2023上·江苏盐城·高二盐城中学校考期末）若数列满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2022上·江苏南通·高二统考期末）数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列，，，，，，其中从第项起，每一项都等于它前面两项之和，即，，这样的数列称为“斐波那契数列”若，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023上·江苏淮安·高二统考期末）数列满足，，则的最大值为（ ）
A．3B．2C．D．－1
6．（2022上·江苏南通·高三统考期中）已知数列满足，且，则（ ）
A．B．0C．1D．2
7．（2022上·江苏南通·高三期末）已知数列是递增数列，且，则实数t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（2022上·江苏连云港·高二校考期末）在数列中，，（，），则（ ）
A．B．1C．D．2
9．（2022上·江苏宿迁·高二统考期末）数列1，，，的一个通项公式可以是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
10．（2023上·江苏镇江·高二江苏省扬中高级中学校考期末）若数列满足，则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列，在现代物理、准晶体结构.化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用，则下列结论成立的是（ ）
A．B．
C．D．
11．（2023上·江苏南通·高三统考期末）斐波那契数列是数学中的一个有趣的问题，它满足：，，人们在研究它的过程中获得了许多漂亮的结果某同学据此改编，研究如下问题：在数列中，，，数列的前项和为，则（ ）
A．B．
C．D．
12．（2023上·江苏苏州·高二统考期末）数列是百余年前的发现，在近代数论中有广泛的应用.数列是把中的分母不大于的分子与分母互质的分数从小到大排成一列,并且在第一个分数之前加上，在最后一个分数之后加上，该数列称为阶数列，记为，并记其所有项之和为.数列还有一个神奇的性质.若设的相邻两项分别为，，则.下列关于数列说法正确的是（ ）
A．B．数列中共有18项
C．当时，的最中间一项一定是D．若中的相邻三项分别为，，，则
13．（2022下·江苏南通·高二统考期末）已知数列的通项公式，记数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．是偶数
C．若，则
D．若，则存在n使得能被8整除
14．（2022上·江苏常州·高二统考期末）数列{}的通项公式满足（），下列描述中正确的有（ ）
A．当时，数列{}一定有最大值
B．当时，数列{}为递减数列
C．当时，数列{}为递减数列
D．当，且为整数时，数列{}必存在两项相等的最大项
15．（2022上·江苏南京·高二校联考期末）对于数列，若存在正整数，使得，则称是数列的“峰值”，k是数列的“峰值点”，在数列中，若，下面哪些数不能作为数列的“峰值点”？（ ）
A．1B．3C．6D．12
三、填空题
16．（2023上·江苏南京·高二南京市大厂高级中学校考期末）观察数列1，，，4，，，7，，，…，则该数列的第11项等于
17．（2022上·江苏连云港·高二统考期末）数列的前n项和满足：，则 ．
18．（2022上·江苏南通·高三统考期末）数列：1，1，2，3，5，8，…，称为斐波那契数列，该数列是由意大利数学家菜昂纳多·斐波那契(Lenard Fibnacci)从观察兔子繁殖而引入，故又称为“兔子数列”．数学上，该数列可表述为，．对此数列有很多研究成果，如：该数列项的个位数是以60为周期变化的，通项公式等．借助数学家对人类的此项贡献，我们不难得到，从而易得＋＋＋…＋值的个位数为 ．
四、解答题
19．（2023上·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考期末）已知为正项数列的前项的乘积，且，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求证：.
20．（2023上·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校联考期末）已知数列满足，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，且数列的前n项和为，若恒成立，求实数的取值范围．
参考答案：
1．A
【分析】根据给定的通项公式，直接计算即可.
【详解】依题意，.
故选：A
2．A
【分析】根据递推公式求出 的周期即可.
【详解】由题意， ，
又 ，
是周期为3的周期数列， .
故选：A.
3．B
【分析】先根据题干中的递推公式进行逐项代入，即可判别出数列为周期数列，再根据周期数列的性质即可计算出的值．
【详解】数列满足，且，，
，，，
则数列是以4为最小正周期的周期数列，即，
∴.
故选：B
4．C
【分析】根据数列的特点，每个数等于它前面两个数的和，移项得： ，使用累加法求得，然后将的系数倍展开即可求解．
【详解】由从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，，
由，得 ，所以，，， ，
将这个式子左右两边分别相加可得：，所以.
所以.
故选：C．
5．B
【分析】根据递推公式，写出数列的前几项，判断数列的周期，即可求解.
【详解】由条件可知，，，则，
则，，，所以数列是周期为3的数列，由前3项可知，的最大值为2.
故选：B
6．A
【分析】通过累乘法可求出，再利用递推式求出，进而答案可求.
【详解】解：，
，∴
∴，，∴，∴，
故选：A.
7．C
【分析】根据分段函数的单调性及数列为递增数列，列出不等式组求解即可.
【详解】因为，是递增数列，
所以，解得，
所以实数t的取值范围为，
故选：C
8．A
【分析】利用数列的递推公式求出数列的前4项，推导出为周期数列，从而得到的值
【详解】，，，
可得数列是以3为周期的周期数列，，
故选：A
9．A
【分析】根据各项的分子和分母特征进行求解判断即可.
【详解】因为，
所以该数列的一个通项公式可以是；
对于选项B：，所以本选项不符合要求；
对于选项C：，所以本选项不符合要求；
对于选项D：，所以本选项不符合要求，
故选：A
10．ABC
【分析】根据已知条件及数列的项的定义，结合数列的前和的定义即可求解.
【详解】对于A，由得，故A正确；
对于B， ，
所以,故B正确；
对于C，由，得，故C正确；
对于D，
,故D错误.
故选：ABC.
11．BC
【分析】根据数列的递推公式求出数列的前项，得出数列为从第四项起为周期数列，且周期为，再对各选项逐项判定，即可求出结果．
【详解】因为，
所以，
，
，
，
，
所以数列从第四项起为周期数列，且周期为，
所以，故A错误，BC正确；
因为，
所以，故D错误．
故选: BC．
12．CD
【分析】举特例即可说明A项错误；根据定义，列举即可判断B项；根据数列的定义，可得数列中元素的特征，进而即可判断C项；由题意可得，，整理即可判断D项.
【详解】对于A，列举数列：，，可知，A错误；
对于B，列举可得：，，，，，，，，，，，，，，，，，，共19项，B错误；
对于C，由于数列按照大小排列，且若在中，则一定也在中，又当时，在中，所以个数一定为奇数个.因此根据的定义可得，中间一项一定为，C正确；
对于D，由于，，整理即可得到，D正确.
故选：CD.
13．BCD
【分析】计算判断A；探求数列的性质，寻找规律判断B；利用数列的性质，结合累加法判断C；取特值计算判断D作答.
【详解】，，
，
，A不正确；
，因数列从第3项起的每一项都等于其相邻前2项的和，
又都是奇数，则必为偶数，又都是奇数，又为偶数，由此，是奇数，是偶数，照此规律依次进行，
因此，数列中，是奇数，是偶数，而，是偶数，B正确；
因，，即，
则，C正确；
，显然能被8整除，因此，存在n使得能被8整除，D正确.
故选：BCD
【点睛】关键点睛：涉及给出递推公式探求数列规律的问题，按条件写出变量的前几个取值对应数列，认真分析每个变量对应的数列，找准变化规律是解决问题的关键.
14．ACD
【分析】求出数列分别递增递减时需满足的条件，直接代入条件判断AB即可，根据求出判断C，由得出数列的单调性变化情况，求出最大项即可判断D.
【详解】由题意只需考虑的情况：
由，
可知，
当时，，当时，数列递减，所以{}一定有最大值，故A正确；
当时，，故故数列不是递减数列，故B错误；
当时，，所以时，数列为递减数列，故C正确；
设，当，即时，数列为递减数列，当时，数列为递增数列，，最大项为
所以数列{}必存在两项相等的最大项，故D正确.
故选：ACD
15．ACD
【分析】由数列的通项公式求出各可能“峰值点”附近的值，然后根据题意进行求解即可．
【详解】因为，所以，
，只有，所以“3”是“峰值点”，其它选项不是．
故选：ACD．
16．
【分析】由数列得出规律，该数列各项里面的数字是按正整数的顺序排列，且以3为循环节，依次出现常数，对数，正弦的形式，从而得解．
【详解】由数列得出规律，该数列各项里面的数字是按正整数的顺序排列，且以3为循环节，依次出现常数，对数，正弦的形式，
由，所以该数列的第11项为．
故答案为：．
17．
【分析】利用“当时，；当时，"即可得出.
【详解】当时，
当时，，不适合上式，
数列的通项公式.
故答案为：.
18．4
【分析】先根据将式子化简，进而根据该数列项的个位数是以60为周期变化求得答案.
【详解】因为，所以
.
又该数列项的个位数是以60为周期变化，所以的个位数字相同，的个位数字相同，易知，则，所以的个位数字为4.
故答案为：4.
19．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用求出，结合，求出通项公式；
（2）利用裂项相消法得到，从而求和得到.
【详解】（1）已知为正项数列的前项的乘积，且，，
则当时有，即，即，
即，则且为常数列，故，即，
又满足上式，即数列的通项公式为；
（2）证明：由（1）可得，
则
，故命题得证．
【点睛】方法点睛：常见的裂项相消法求和类型
分式型：，，等；
指数型：，等，
根式型：等，
对数型：，且；
20．(1)
(2)
【分析】（1）写出当时的等式，再与原式两式相除求解即可；
（2）由（1），再根据错位相减求解可得，再化简不等式可得，再设，根据作差法判断的单调性，进而可得最大值.
【详解】（1），
当时，，
两式相除得；，
又符合上式，故；
（2），
，
，
错位相减得：
，
，
即，由，得，
设，则，
故，
由，
由可知，随着的增大而减小，
故，
故恒成立，知单调递减，
故的最大值为，则