人教A版高中数学(选择性必修二)同步培优讲义专题4.13 等差数列和等比数列的综合应用大题专项训练（30道）（2份打包，原卷版+教师版）

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专题4.13 等差数列和等比数列的综合应用大题专项训练（30道） 【人教A版2019选择性必修第二册】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．（2022·江苏南通·高二期中）设等差数列的前项和为，已知，． (1)求； (2)若为与的等比中项，求． 【解题思路】（1）由已知条件，列式后解方程组，求数列的首项和公差，再求通项公式； （2）首先由题意得，，代入通项公式后，求. 【解答过程】（1）设等差数列公差为，，解得， ，所以，， . （2）由题意：，，即， 化简得：， 解之得或（舍），故. 2．（2022·广东·高二期中）已知等差数列满足，，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若数列的通项公式为，求数列的前项和． 【解题思路】（1）设等差数列的公差为，由题意可得到，化为基本量和的关系，即可求解； （2）根据错位相减法求和即可. 【解答过程】（1）等差数列的首项，公差设为， 由，，成等比数列，则， 即， 即，解得， 所以. （2）由题意，，设数列的前项和为， 则， ， 两式相减得 即， 化简得. 3．（2022·江西·高三阶段练习（文））已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【解题思路】（1）设的公差为，则由已知条件列方程组可求出，从而可求出通项公式； （2）由（1）得，然后利用错位相减法可求出. 【解答过程】（1）设的公差为． 由， 得， 化简得， 解得． 所以数列的通项公式为． （2）由（1）知， 所以    ① 则    ② 由①－②得： ， 所以数列的前n项和． 4．（2022·四川·高三期中）已知等差数列​和等比数列​满足​，​，​. (1)求​的通项公式； (2)求和：​. 【解题思路】（1）设等差数列的公差为，利用，求出，再由等差数列的通项公式计算可得答案； （2）设等比数列的公比为，则奇数项构成公比为的等比数列，利用求出、，可得是公比为，首项为的等比数列，再由等比数列的前项和公式计算可得答案. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为， 由，， 可得：， 解得， 所以的通项公式； （2）设等比数列的公比为，则奇数项构成公比为的等比数列， 由（1）可得，等比数列满足，， 由于，可得（舍去），（等比数列奇数项符号相同）， 所以， 则是公比为，首项为的等比数列， . 5．（2022·广东·高二期中）已知数列的前项和为，且，递增的等比数列满足：，． (1)求数列、的通项公式； (2)设、的前项和分别为，，求，． 【解题思路】（1）根据求出的通项公式，利用等比数列的性质得到，故可看作方程的两根，根据函数单调性求出，从而得到公比，求出的通项公式； （2）利用等差数列和等比数列的公式求出答案. 【解答过程】（1）当时，， 当时，， 又，满足上式 故的通项公式为， 设等比数列的公比为， 因为，， 所以可看作方程的两根， 解得：或， 因为等比数列单调递增，所以舍去， 故，解得：， 故的通项公式为； （2）因为，所以， 故为等差数列， 由等差数列求和公式得：， 由等比数列求和公式得：. 6．（2022·江苏·高二阶段练习）等差数列满足，. (1)求的通项公式和前项和； (2)设等比数列满足，，求数列的前项和. 【解题思路】（1）设等差数列的公差为，根据题意可求得、的值，利用等差数列的通项公式可求得的表达式，利用等差数列的求和公式可求得的表达式； （2）设等比数列的公比为，求出、的值，利用等比数列的的求和公式可求得的表达式. 【解答过程】（1）解：设等差数列的公差为，则，可得， ，解得，则. 所以，. （2）解：设等比数列的公比为，则，， 所以，. 7．（2022·黑龙江·高二阶段练习）已知数列满足：，且对任意的，都有，，成等差数列. (1)证明：数列为等比数列； (2)已知：求数列前和为. 【解题思路】（1）由条件可知，即，从而得出数列为等比数列； （2），利用错位相减法即可求解. 【解答过程】（1）证明：由条件可知，即， ，且， 是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）知是以为首项，为公比的等比数列， ，则， ， ， 两式相减可得，， 即， 化简得. 8．（2022·福建·高二阶段练习）已知等差数列中，，． (1)求的值； (2)若数列满足：，证明：数列是等差数列． 【解题思路】（1）由等差数列的性质易得，由等差数列的通项公式求得公差，再由基本量运算求得结论； （2）由（1）求得通项公式，从而可得，计算可得结论． 【解答过程】（1），，， ， ； （2）由（1）可知， ， ， ∴数列是等差数列，首项是1，公差是2. 9．（2022·广东·高三阶段练习）已知数列，满足，且． (1)若数列为等比数列，公比为q，，求的通项公式； (2)若数列为等差数列，，求的前n项和． 【解题思路】(1)由已知条件求出等比数列的公比和通项，得到数列为等比数列，可求出通项公式； (2)由等差数列的通项利用累乘法求得数列的通项，再用裂项相消求的前n项和． 【解答过程】（1）数列为等比数列，公比为q，且， ， 或， 由 ， 或 ， 由，所以 ，又 ， 即数列是以1为首项， 为公比的等比数列 故 或. （2）依题意得等差数列公差，则， 由，所以 ， 从而 ， . 10．（2022·贵州贵阳·高三期中（文））已知是以1为首项的等差数列，是以2为首项的正项等比数列，且满足. (1)求与的通项公式； (2)求的前n项和，并求满足的最小正整数n. 【解题思路】（1）根据已知条件求得的公差，的公比，从而求得与的通项公式； （2）利用裂项求和法求得，然后将代入求解不等式即可得到. 【解答过程】（1）依题意，是以1为首项的等差数列，是以2为首项的正项等比数列， 设的公差为，的公比为（）， 由已知得，即， 消去，可得，解得或（舍去）. 所以，，则. 所以，， . （2）由（1）知，， 所以 . 由知，，即， 解得，，或. 又，，. 所以，最小正整数为2023. 11．（2022·全国·模拟预测）已知公差不为零的等差数列的前项和为，且满足，，，成等比数列，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【解题思路】(1) 设等差数列的公差为，根据题意列出关于和的方程组求解即可；(2)根据题意可得，利用裂项相消和分组求和运算求解. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为， 由题意可得：，即， 整理得，解得， 所以， ∵，所以. （2）∵， ∴ ， 故. 12．（2022·浙江省高三阶段练习）已知正项等比数列满足且是的等差中项，数列满足． (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前项和． 【解题思路】（1）根据条件，列方程求出 和 ，运用累加法求出 ； （2）令 ，对 分类讨论即可. 【解答过程】（1）设数列的公比为q，由条件得 ， 即 ，解得或 （舍），， 累加得： ， ，又符合该式， 所以 ； （2）令，则， 又，则 当时，，当时，， 又当时，，当时，， 时，， 时， ， . 13．（2022·全国·模拟预测）已知等比数列的首项，公比为q，是公差为的等差数列，，，是与的等比中项． (1)求数列的通项公式； (2)设的前n项和为，数列满足，求数列的前n项和． 【解题思路】（1）根据是与的等比中项，利用基本量法可得，进而得到，再根据，可得或； （2）由（1），化简可得，再根据错位相减可得. 【解答过程】（1）第一步：求数列的通项公式 因为是公差为的等差数列，，是与的等比中项， 所以，（等比数列的性质） 解得或（舍去），（注意） 所以数列的通项公式为． 第二步：求数列的通项公式 所以，又，所以， 所以数列的通项公式为或． （2）第一步：求数列的通项公式 由（1）得，或， 由，得， 第二步：利用错位相减法求和 于是， ， 则，（运用错位相减法求和时最后一项注意变号） 即， 整理得， 所以数列的前n项和． 14．（2022·全国·模拟预测）己知为等比数列的前n项和，若，，成等差数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，且数列的前n项和为，证明：. 【解题思路】（1）首先列方程，求公比；其次，列方程，求首项；最后求出数列的通项公式； （2）求出，然后运用裂项相消法求出可得结论. 【解答过程】（1）设数列的公比为q， 由，，成等差数列可得， 故，解得， 由可得， 解得，故，即数列的通项公式为. （2）由（1）可得， 故. 当时，取得最大值，当时， ， 故. 15．（2023·重庆·高三阶段练习）已知等差数列的前n项和为，公差，且满足成等比数列． (1)求； (2)求数列的前30项和． 【解题思路】（1）由等差数列的公式列方程组即可求解； （2）分类讨论即可求解. 【解答过程】（1）由题意可得：， 解得或（舍） 故. （2）由（1）可知：， 设数列的前项和为， 易知当时，，，所以， 当时，，， ， 所以. 16．（2022·黑龙江·高二期中）已知等差数列中，，，在各项均为正数的等比数列中，，． (1)求数列与的通项公式 (2)求数列的前n项和． 【解题思路】（1）由等差数列的，即可求出的通项公式，进而求出的通项公式 （2）表示出的通项公式，用错位相减法即可求解数列的前n项和 【解答过程】（1）解：设的公差为，则，所以 解得，所以； 由题设等比数列的公比为，由题得，，∴，∴． 所以．所以． （2）由题得． 所以 则 两式相减得 所以． 17．（2022·湖南常德·高三阶段练习）已知数列满足，，，数列是等差数列，且，． (1)求数列，的通项公式 (2)设，求数列的前项和． 【解题思路】（1）根据等比数列的定义，直接写出，由等差数列的基本量运算，结合已知条件，求得与公差，即可求得； （2）利用分组求和法，结合等差数列和等比数列的前项和公式，直接求解即可. 【解答过程】（1）因为数列满足，，， 所以数列是以为首项，公比的等比数列， 所以，即数列的通项公式为， 设等差数列的公差为，由，， 得，解得，所以， 即数列的通项公式为. （2）由（1）可知， 所以数列的前项和 ，即． 18．（2022·广西·模拟预测（文））数列满足，（为正常数），且，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【解题思路】（1）由题意可得奇数项成等差数列，设公差为d，且偶数项成等比数列，公比为，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差d和公比q，即可得到所求通项公式； （2）讨论n为偶数和奇数，由等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和. 【解答过程】（1）数列满足,， 可得成等差数列，即奇数项成等差数列,设公差为, 且偶数项成等比数列,公比为,且，，, 可得,, 解得, 则,化为； （2）当为偶数时, 数列的前项和 当为奇数时, ， 当时也适合上式. 综上: . 19．（2022·福建三明·高二阶段练习）已知数列的前项和为，满足，是以为首项且公差不为0的等差数列，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【解题思路】（1）根据，求出的通项公式，求出的公差，进而求出的通项公式；（2）利用错位相减法求数列的前项和.. 【解答过程】（1）由，取可得，又， 所以，则. 当时，由条件可得，两式相减可得，，又， 所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，故， 因为，设等差数列的公差为，则，由成等比数列，所以，又，所以解得， 故， （2）， ， . 相减得， 所以，所以 所以. 20．（2022·黑龙江·模拟预测）已知等比数列的公比，且，是，的等差中项，数列满足：数列的前项和为. (1)求数列、的通项公式； (2)若，，求数列的前项和. 【解题思路】对于（1），设首项为，公比为.由，是，的等差中项可得通项公式.设的前项和为，则，据此可得通项公式； 对于（2），由（1）可得，注意到，据此可得. 【解答过程】（1）设首项为，公比为.由，是，的等差中项可得， 两式相除得 ，又，得. 将代入，得，故，. 设的前项和为，则， 得，.又 则，结合，得，. 综上：通项公式为，，通项公式为，. （2）由（1）可得，，. 则，. 注意到， 则 ，. 故，. 21．（2022·广东·高三阶段练习）已知等差数列满足，，等比数列满足，． (1)求数列，的通项公式； (2)令，求证：，其中． 【解题思路】（1）利用定义法即可求出等差数列和等比数列的通项公式 （2）通过（1）求出的，的通项公式，表达数列，然后利用公式法和放缩法，分类讨论n为奇数或偶数时前n项的和，进而证明不等式. 【解答过程】（1）由题意，, 在等差数列中，设 解得： ∴ 等比数列中，设， ，解得： ∴ （2）由题意及（1）得，，，， 在中， 设， 当n为奇数时， ， 在中， ∵ ∴ ∴ 在中， ， ， 解得：， ∴， ∴， 当n为偶数时， ， 同理可得，， 综上，. 22．（2022·陕西·高二阶段练习（文））已知数列是公差不为零的等差数列，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【解题思路】（1）根据等比数列性质得到，解得答案. （2）利用分组求和法结合等差等比数列求和公式计算即可. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为d， 因为成等比数列，所以， 解得或（舍去）. 故. （2）由（1）可得， 故. 23．（2022·黑龙江·高三阶段练习（文））已知{an}是各项均为正数的等比数列，，． (1)求{an}的通项公式； (2)设，求数列{bn}的前n项和． 【解题思路】（1）设等比数列的公比，由已知列式求得公比，则通项公式可求； （2）把（1）中求得的的通项公式代入，得到，说明数列是等差数列，再由等差数列的前项和公式求解． 【解答过程】（1）是各项均为正数的等比数列，设等比数列的公比为， 由，，得，即，解得（舍或． ； （2），，， 数列是以1为首项，以2为公差的等差数列， 则数列的前项和． 24．（2022·全国·模拟预测）在数列中，，，且对任意的，都有. (1)证明：是等比数列，并求出的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【解题思路】（1）由，可得，即是等比数列，可求得，变形为，即可得到是等差数列，可求得，从而求得； （2），利用分组求和以及等差等比前项和公式，先求出为正偶数时的表达式，再求为正奇数时的表达式，即可得到. 【解答过程】（1）证明：因为，，所以. 因为，所以， 又，则有 ， 所以， 所以是以4为首项，2为公比的等比数列. 所以， 所以， 又，所以是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以. （2）由（1）知 ， 则的奇数项为以为首项，为公比的等比数列；偶数项是以，为公差的等差数列. 所以当为偶数，且时， ； 当为奇数，且时，为偶数， . 时，，满足. 所以，当为奇数，且时，有. 综上，. 25．（2022·陕西·高三阶段练习（理））已知等差数列的前项和为，，再从条件①、条件②和条件③中选择两个作为已知，并完成解答. 条件①：；条件②：；条件③：. (1)求数列的通项公式； (2)设等比数列满足，，求数列的前项和. 【解题思路】（1）若选①②，则，解出，则可求得；若选②③，则解出，则可求得；若选①③，则，解出，则可求得； （2）由（1）得，，从而可求出公比和，则可得，然后利用分组求和法可求得. 【解答过程】（1）选①②，由已知，， 得，解得， ∴数列是首项为2，公差为2的等差数列， ∴数列的通项公式为. 选②③，由已知，， 得，解得， ∴数列是首项为2，公差为2的等差数列， ∴数列的通项公式为. 选①③，由已知，， 得，解得， ∴数列是首项为2，公差为2的等差数列， ∴数列的通项公式为. （2）由（1）知，，∴，， ∴等比数列的公比，故， ∴等比数列的通项公式为， ∴数列的前项和 . 26．（2022·上海高二期中）已知数列中，， (1)判断数列是否为等差数列？并求数列的通项公式； (2)设数列满足：，求的前n项和. 【解题思路】（1）对已知等式变形可得，从而可证得数列为等差数列，进而可求出其通项公式； （2）由（1）可得，然后利用错位相减法可求得结果. 【解答过程】（1）∵，，∴，∴， 又，∴数列是首项为1，公差为3的等差数列. ∴， ∴； （2）∵， ∴， ， ∴ ， ∴. 27．（2022·福建泉州·高三阶段练习）已知公差不为0的等差数列中，，是和的等比中项. (1)求数列的通项公式： (2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前项和为，求的值. 【解题思路】（1）公式法解决即可；（2）与（，2，…）之间插入，说明在数列中有10项来自，10项来自，分组求和即可. 【解答过程】（1）设数列的公差为， 因为是和的等比中项， 所以，即， 因为， 所以或（舍）， 所以， 所以通项公式； （2）由（1）得， 因为与（）之间插入， 所以在数列中有10项来自，10项来自， 所以. 28．（2022·山西临汾·高三阶段练习）在各项均为正数的等比数列中，为其前n项和，，，，成等差数列． (1)求的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，证明：． 【解题思路】(1)根据条件，结合等比数列基本量，列等式求，即可求数列的通项公式； （2）根据（1），再利用裂项相消法求数列的和，根据数列的单调性，即证明不等式. 【解答过程】（1）设数列的公比为q，由题意知， 即， 因为，，所以，所以，所以． （2）证明：由（1）得，所以， 所以， 所以． 显然单调递增，所以， 因为，所以，所以． 29．（2023·山东省高三阶段练习）已知公差不为零的等差数列满足，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足的前项和为，求证:． 【解题思路】（1）利用等差数列的通项公式和等比数列的定义求解即可； （2）利用裂项相消求和即可. 【解答过程】（1）设的首项为，公差为，根据，，成等比数列，可得， 又，可得方程组，即， 又，解得，故． （2）， 所以 ， 因为，所以． 所以． 30．（2022·上海·高二期中）已知等差数列公差为，前n项和为. (1)若，，求的通项公式； (2)若，、、成等比数列，且存在正整数p、，使得与均为整数，求的值； (3)若，证明对任意的等差数列，不等式恒成立. 【解题思路】（1）由等差数列的前项和公式求得公差后可得通项公式； （2）由等比数列性质求得通项公式，设，（都是正整数），代入消元得，因此有，或3，用列举法确定的值，求出，然后再求数列的项； （3）证明是奇函数，又是增函数，证明与同号，即可证不等式成立． 【解答过程】（1）设的公差为，则，， 所以； （2）设的公差为，由、、成等比数列得， ，∵，∴， ， 都是正整数，，都是整数，显然是正整数， 设，（都是正整数）， 代入得， ∴，，则， 若，，则，不合题意，若，则，， 若，，则，，不合题意， 若，，则，， 所以或， ． （3）的定义域是R， ，∴是奇函数， 又，设，则，， 从而，即，所以是增函数， 是等差数列，则， 若（），则， ，，，（）， ∴， ∴， 若（），则， ，，，（）， ∴， ∴， 综上，对任意的等差数列，．