数学第12章 证明12.2 证明学案及答案

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知识精讲
知识点 证明
1. 证明与定理
根据已知的真命题，确定某个命题真实性的过程叫做证明。经过证明的真命题称为定理。
证明过程必须做到言必有据.证明过程通常包含几个推理，每个推理应包括因、果和由因得果的依据.其中，“因”是已知事项；“果”是推得的结论：“由因得果的依据”是基本事实、定义、已学过的定理以及等式性质、不等式性质等。
2.证明与图形有关的命题，一般有以下步骤：
(1)根据题意，画出图形；
(2)根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证；
(3)写出证明过程.
【即学即练】补充完成下列证明过程，并填上推理的依据．
已知：如图，．求证：．
证明：延长交于点，则
．（ ）
又∵，
∴_______，（等量代换）
∴．（ ）
【答案】三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；；内错角相等，两直线平行
【分析】第一个空是三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，第二个空根据等量代换得出，第三个空是平行线的判定．
【解析】解：延长交于点，则
．（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
又∵，
∴，（等量代换）
∴．（内错角相等，两直线平行）
能力拓展
考法01 写出一个命题的已知、求证和证明过程
【典例1】如图，现有以下3个论断：；；．
（1）请以其中两个为条件，另一个为结论组成命题，你能组成哪几个命题？
（2）你组成的命题是真命题还是假命题？请你选择一个真命题加以证明．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）分别以其中两个作为条件，第三个作为结论依次交换写出即可；
（2）根据平行线的判定和性质对（1）题的3个命题进行证明即可判断其真假．
【解析】解：（1）由，，得到；
由，，得到；
由，，得到；
故能组成3个命题．
（2）由，，得到，是真命题．理由如下：
，．
，∴，
，．
由，，得到，是真命题．理由如下：
，．
，，
．
由，，得到，是真命题．理由如下：
∵，，．
，，
．
考法02 根据给出的论断组命题并证明
【典例2】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别在边AB、AC上，给出下列信息：
①BE平分∠ABC；②CD⊥AB；③∠CFE＝∠CEF．
(1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个命题．在保证命题正确的情况下，你选择的条件是________，结论是________．（只要填写序号）．
(2)请证明（1）中你组成的命题的正确性．
【答案】(1)②③，①；(2)见解析
【分析】（1）根据命题的定义正确选择即可；
（2）以②③为条件，在三角形CEF和BDF中通过三角形内角和及等量代换推出∠DBF=∠CBE．
【解析】(1)解：选择的条件是②③，结论是①；
(2)证明：∵∠CFE=∠CEF，∠CFE=∠BFD，
∴∠CEB=∠BFD，
∵CD⊥AB，
∴∠BFD+∠DBF=90°，
∵∠CBE+∠CEB=90°，
∴∠DBF=∠CBE，
∴BE平分∠ABC．
分层提分
题组A 基础过关练
1．如图所示，在中，，下列结论不一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据直角三角形的性质，分析判断即可得到答案.
【解析】解：A、直角三角形两个锐角度数不明确，不能比较大小，故本项错误；
B、由两边和大于第三边，得到，本项正确；
C、由，则，本项正确；
D、由勾股定理可知，，本项正确；
故选择：A.
2．利用反证法证明命题“在中，若，则”时，应假设
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行解答．
【解析】解：用反证法证明命题“在中，若，则”时，应假设若，则，
故选．
3．下列问题你不能肯定的是（ ）
A．一支铅笔和一瓶矿泉水的体积大小问题B．三角形与矩形的面积关系
C．三角形的内角和D．边形的外角和
【答案】B
【解析】试题解析：A. 二者大小关系一目了然，能肯定；B. 二者面积大小关系不确定，不能肯定；
C. 能用三角形的内角和定理判断，能肯定；D. 能用多边形的外角和判断，能肯定；故选B.
题组B 能力提升练
4．判断下列命题的真假，并给出证明．
（1）正比例函数的函数值随着自变量的增大而增大；
（2）有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；
（3）一个角的补角大于这个角；
（4）若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等；
（5）如果n是整数，那么n2+3n+2是偶数．
【答案】（1）（3）（4）为假命题，（2）（5）是真命题
【解析】试题分析：分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
（1）假命题．反例：y=-2x的函数值随着自变量的增大而减小；
（2）真命题；
（3）假命题．反例：160°的补角为20°，小于160°；
（4）假命题．反例：这两个角也可能互补；
（5）真命题．
5．如图，AB∥DE，∠1＝∠2，试判断AE与DC的位置关系，并说明理由．
【答案】AE∥DC，理由详见解析.
【分析】判断两直线的位置关系，通过角与角的数量关系，从而证明直线平行
【解析】解：AE∥DC.理由：
∵AB∥DE，
∴∠1＝∠AED，
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠AED，
∴AE∥DC
6．如图，现有以下三个条件：①AB∥CD,②∠B=∠C,③∠E=∠F.请你以其中两个作为题设，另一个作为结论构造命题.(1)你构造的是哪几个命题？(2)你构造的命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明;若是假命题，请举出反例.
【答案】（1）如果①②，那么③；如果①③，那么②；如果②③，那么①；（2）详见解析.
【分析】（1）分别以其中2句话为条件，第三句话为结论可写出3个命题，
（2）根据平行线的判定与性质对3个命题分别进行证明，判断它们的真假．
【解析】解：（1）由①②得到③；由①③得到②；由②③得到①,
（2）∵AB∥CD，
∴∠B=∠CDF，
∵∠B=∠C，
∴∠C=∠CDF，
∴CE∥BF，
∴∠E=∠F，
所以由①②得到③为真命题；
∵AB∥CD，
∴∠B=∠CDF，
∵∠E=∠F，
∴CE∥BF，
∴∠C=∠CDF，
∴∠B=∠C，
所以由①③得到②为真命题；
∵∠E=∠F，
∴CE∥BF，
∴∠C=∠CDF，
∵∠B=∠C，
∴∠B=∠CDF，
∴AB∥CD，
所以由②③得到①为真命题．
7．如图所示，CD⊥AB，垂足为D，点F是BC上任意一点，FE⊥AB，垂足为E，且∠CDG=∠BFE，∠AGD=80°，求∠BCA的度数．
【答案】80°
【解析】试题分析：先根据CD⊥AB，FE⊥AB，可知CD∥EF，再根据平行线的性质及已知可求出∠BFE=∠FCD，再根据平行线的判定及性质解答即可．
∵CD⊥AB，FE⊥AB，
∴CD∥EF，
∴∠CDG=∠FCD，
∵∠CDG=∠BFE，
∴∠BFE =∠FCD，
∴DG∥BC，
∴∠BCA=∠AGD=80°．
课程标准
课标解读
知道证明的意义和证明的必要性，知道数学思维要合乎逻辑，知道可以用不同的形式表述证明的过程，会用综合法的证明格式。
1.能够理解证明与定理的概念；
2.能够掌握证明与图形相关的命题的步骤。