初中数学苏科版七年级下册8.1 同底数幂的乘法学案及答案

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知识精讲
知识点 同底数幂的乘法
1.对于任意的底数a，当m、n是正整数时，
法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
2.符号表示：（都是正整数）
【微点拨】当3个或3个以上同底数幂相乘时，也同样适用这一法则；法则可以逆运用，即；
【即学即练1】已知，，求下列各式的值：
（1）
（2）
（3）．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据同底数幂乘法将其变形展开即可得；
（2）根据同底数幂乘法将其变形展开即可得；
（3）根据同底数幂乘法将其变形展开即可得；
【解析】解：（1）；
（2）；
（3）．
【即学即练2】我们知道，根据乘方的意义：，．
（1）计算：________，________；
（2）通过以上计算你能否发现规律，得到的结果；
（3）计算：．
【答案】（1），；（2）；（3）
【分析】（1）根据有理数乘方的意义解答；
（2）根据（1）的计算结果可得出运算规律：同底数幂相乘，底数a不变，把指数把m、n相加即可；
（3）根据（2）的规律进行计算即可得解．
【解析】解：（1），
，
故答案是：，；
（2）可以看做个a相乘，
∴；
（3）．
能力拓展
考法 规律探究
【典例1】阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法：
设①
则②
②①得，．
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1）______；
（2）求______；
（3）求的和；（请写出计算过程）
（4）求的和（其中且）．（请写出计算过程）
【答案】（1）221−2；（2）2-；（3）；（4）+
【分析】（1）根据阅读材料可得：设s＝①，则2s＝22＋23＋…＋220＋221②，②−①即可得结果；
（2）设s＝①，s＝②，②−①即可得结果；
（3）设s＝①，-2s＝②，②−①即可得结果；
（4）设s＝①，as＝②，②−①得as-s=-a-，同理：求得-，进而即可求解．
【解析】解：根据阅读材料可知：
（1）设s＝①，
2s＝22＋23＋…＋220＋221②，
②−①得，2s−s＝s＝221−2；
故答案为：221−2；
（2）设s＝①，
s＝②，
②−①得，s−s＝-s＝-1，
∴s＝2-，
故答案为：2-；
（3）设s＝①
-2s＝②
②−①得，-2s−s＝-3s＝+2
∴s＝；
（4）设s＝①，
as＝②，
②-①得：as-s=-a-，
设m=-a-③，
am=-④，
④-③得：am-m=a-，
∴m=，
∴as-s=+，
∴s=+．
【典例2】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作23，读作“2的3次商”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）4，读作“﹣3的4次商”，一般地，把（a≠0）记作an，读作“a的n次商”．
（初步探究）（1）直接写出计算结果：23＝ ，（﹣3）4＝ ；
（2）关于除方，下列说法错误的是 ；
A．任何非零数的2次商都等于1；B．对于任何正整数n，（﹣1）n＝﹣1；
C．34＝43；D．负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数．
（深入思考）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
例如：．
（3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式．
（﹣3）4＝ ；＝ ．
（4）想一想：将一个非零有理数a的n次方商an写成幂的形式等于 ．
（5）算一算：= ．
【答案】（1）；；（2）BC；（3）(−)2；73；（4）；（5）-
【分析】（1）利用除方的定义解答即可；
（2）利用除方的定义对每个说法逐一判断即可；
（3）利用题干中给定的解法解答即可；
（4）利用（3）中的方法解答即可；
（5）利用（4）中得出的规律计算即可．
【解析】解：：（1）23=2÷2÷2=；
（-3）4=（-3）÷（-3）÷（-3）÷（-3）
=（-3）×（-）×（-）×（-）
=；
故答案为：；；
（2）∵任何非零数的2次商等于这个数与它本身相除，结果为1，
∴任何非零数的2次商都等于1，故A正确；
∵对于任何正整数n，当n为奇数时，（-1）n=-1，当n为偶数时，（-1）n=1，
故B错误；
∵34=3÷3÷3÷3=，43=4÷4÷4=，
∴34≠43．故C错误；
∵负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数，故D正确；
综上，说法错误的是：BC，
故答案为：BC；
（3）（-3）4=（-3）÷（-3）÷（-3）÷（-3）
=（-3）×（-）×（-）×（-）
=(−)2，
()5=÷÷÷÷
=×7×7×7×7=73，
故答案为：(−)2；73；
（4）∵an===，
∴将一个非零有理数a的n次商写成幂的形式等于．
故答案为：；
（5）
=1÷（-2）2×（-3）3+（-4）1×
=1××（-27）+（-1）
=-．
分层提分
题组A 基础过关练
1．－24×(－22)×(－2)3=（ ）
A．29B．－29C．－224D．224
【答案】B
【分析】原式先确定运算符号，再按照整式的乘法运算法则计算即可．
【解析】解：原式==，
故选B．
2．计算x•x2，结果正确的是（ ）
A．x2B．x3C．x4D．x5
【答案】B
【分析】根据同底数幂的乘法法则，即可求解．
【解析】解：x•x2= x1+2= x3，
故选B．
3．下列运算结果是的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法的运算法则分别求出每个式子的值，再判断即可．
【解析】解：A、a与2不是同类项不能合并，不符合题意；B、，符合题意；C、，不符合题意；D、与a不是同类项不能合并，不符合题意；故选：B。
4．计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据同底数幂的乘法运算法则，运算求解即可．
【解析】解：根据同底数幂的乘法运算法则可得：，故答案为D．
5．与的关系是（ ）
A．相等
B．互为相反数
C．当m为偶数时互为相反数，当m为奇数时相等
D．当m为偶数时相等，当m为奇数时为互为相反数
【答案】A
【分析】根据同底数幂乘法法则即可得．
【解析】解：，
，
，
即与的关系是相等，
故选：A．
6．墨迹覆盖了等式“x2x＝x3（x≠0）”中的运算符号，则覆盖的是（ ）
A．＋B．－C．×D．÷
【答案】C
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
【解析】解：∵（x≠0），
∴覆盖的是：×．
故选：C．
7．计算：（﹣a）3•（﹣a）2•（﹣a）3＝______．
【答案】
【分析】根据同底数幂的乘法计算即可；
【解析】原式；故答案是：．
8．定义新运算：a☆b＝10a×10b，则12☆3的值为_______．
【答案】1015
【分析】由题目中给出的运算方法，首先转化为正常的运算，然后计算即可求解．
【解析】解：∵a☆b=10a×10b，
∴12☆3=1012×103=1015，
故答案为：1015．
9．在等式中，括号内的代数式为______．
【答案】
【分析】根据同底数幂乘法的计算法则，得出答案．
【解析】解：，故答案为：．
10．若，，则___．（用含的式子表示）
【答案】
【分析】根据幂的乘法运算法则以及同底数幂的乘法法则解答即可．
【解析】解：∵，
∴
∴
故答案为：
11．
【答案】
【分析】先进行运算，再运算
因为是偶次方，则，最后计算，同底数幂相乘底数不变，指数相加.
【解析】
故答案为：
12．计算：（m是正整数）.
【答案】
【解析】试题分析：根据同底数幂的乘法法则即可得到结果。
13．已知，，求的值.
【答案】
【解析】试题分析：逆用同底数幂的乘法公式可得，即得结果。
题组B 能力提升练
1．已知，，，现给出3个实数a，b，c之间的四个关系式：①；②；③；④．其中，正确的关系式的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据同底数幂的乘法公式即可求出a、b、c的关系，代入各式验证即可．
【解析】解：∵2a＝3，2b＝6，2c＝12．
∴2a×22＝3×4＝12，2b×2＝6×2＝12，2c＝12，
∴a+2＝b+1＝c，
即b＝a+1，c＝b+1，c＝a+2，
于是有：①a+c＝a+a+2＝2a+2，2b＝2a+2，
所以a+c＝2b，因此①正确；
②a+b＝a+a+1＝2a+1，2c﹣3＝2a+4﹣3＝2a+1，
所以a+b＝2c﹣3，因此②正确；
③b+c＝a+1+a+2＝2a+3，因此③正确；
④b＝a+1，因此④不正确；
综上所述，正确的结论有：①②③三个，
故选：C．
2．若（且），则，已知，，，那么，，三者之间的关系正确的有（ ）
①；②；③；④．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【分析】根据同底数幂的乘除法公式即可求出m、n、p的关系．
【解析】解：∵4n=12=4×3=4×4m=41+m，
∴n=1+m，即n-m=1，故②错误；
∵4p=48=12×4=4n×4=41+n，
∴p=1+n，即p=n-m+n=2n-m，
∴m+p=2n，故①正确；
∵4p=48=3×16=4m×42 =42+m，
∴p=2+m，
∴m+n=p-2+p-1=2p-3，故③错误；
，故④正确；
故选：C．
3．电子文件的大小常用B，KB，MB，GB等作为单位，其中1GB=210MB，1MB=210KB，1KB=210B．某视频文件的大小约为1GB，1GB等于（ ）
A．KB B．KB C．KB D．B
【答案】B
【分析】根据同底数幂的运算计算即可；
【解析】由题可得：1GB；故答案选B．
4．我们知道，同底数幂的乘法法则为am•an=am+n（其中a≠0，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：h（m+n）=h（m）•h（n）；比如h（2）=3，则h（4）=h（2+2）=3×3=9，若h（2）=k（k≠0），那么h（2n）•h（2020）的结果是（ ）
A．2k+2021B．2k+2022C．kn+1011D．2022k
【答案】C
【分析】根据，通过对所求式子变形，然后根据同底数幂的乘法计算即可解答本题．
【解析】，
，
，
，
，
，
故选：C．
5．W细菌为二分裂增殖（1个细菌分裂成2个细菌），30分钟分裂一次，培养皿上约有个细菌，其中W细菌占其中的，在加入T试剂后，如果该培养皿中的W细菌的数量达到后会使T变色，那么需要（ ）小时T恰好变色．
A．B．4C．8D．10
【答案】B
【分析】由题意，先求出W细菌的数量，然后列式进行计算，得到分裂的次数，即可求出时间．
【解析】解：由题意，
W细菌的数量为：（个），
∵该培养皿中的W细菌的数量达到后会使T变色，
∴设分裂n次达到变色的数量，则
，
∴；
∵每30分钟分裂一次，
∴（小时）；
故选：B．
6．计算的结果为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】按照乘方的符号规律，将代数式化为同底数幂相乘，再按照同底数幂的乘法公式计算即可．
【解析】解：
=
=
故选：A．
7．观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S，用含S的式子表示这组数据的和是（ ）
A．2S2﹣SB．2S2+SC．2S2﹣2SD．2S2﹣2S﹣2
【答案】A
【分析】根据已知条件和2100=S，将按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，求和，即可用含S的式子表示这组数据的和．
【解析】解：∵2100=S，
∴2100+2101+2102+…+2199+2200
=S+2S+22S+…+299S+2100S
=S（1+2+22+…+299+2100）
=S（1+21002+2100）
=S（2S1）
=2S2S．
故选：A．
8．已知，，，则a，b，c的关系为①，②，③，其中正确的个数有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】D
【分析】根据根据同底数幂的乘法，利用等式的性质将2a=3，2b=6，2c=12进行适当的变形可得答案．
【解析】解：，，
，
，
，故①正确；
，，
，
，
，
，故②正确；
，，
，，
，故③正确；
综上①②③正确；
故选D．
9．若，则n＝（ ）
A．2022B．2021C．2020D．2019
【答案】A
【分析】2020个2020相乘，可以写成，2020个2020相加，可以写成，计算即可得到答案．
【解析】∵，
，
∴原式左边，
即，
∴．
故选：A．
10．若(7×106)(5×105)(2×10)＝a×10n，则a，n的值分别为( )
A．a＝7，n＝11B．a＝5，n＝12C．a＝7，n＝13D．a＝2，n＝13
【答案】C
【分析】根据科学记数法表示的数的计算方法，乘号前面的数相乘，乘号后面的数相乘，再根据同底数幂相乘，底数不变指数相加进行计算，最后再化成科学记数法即可得解．
【解析】解：(7×106)(5×105)(2×10)
＝(7×5×2)×(106×105×10)
＝7×1013
所以，a＝7，n＝13．
故选：C．
题组C 培优拔尖练
1．如果，则_______________．
【答案】5
【分析】根据同底数幂的乘法法则得方程，求解方程即可．
【解析】解：∵
∴
∴
∴n=5
2．计算：______．（结果用幂的形式表示）
【答案】
【分析】本题首先转化为同底数，然后根据同底数幂的乘法计算法则即可得出答案．
【解析】
故答案为：
3．如果，那么我们规定．例如：因为，所以．根据上述规定，_______，若，，，且满足，则______．
【答案】3 80
【分析】由，根据规定易得(2，8)=3；由规定可得，根据同底数幂的运算及已知p+q=r，即可求得t的值．
【解析】∵
∴(2，8)=3
故答案为：3；
由规定得：
∴
∵p+q=r
∴
∴t=80
故答案为：80
4．为了求1+2+22+23+…+2100的值，可令S＝1+2+22+23+…+2100，则2S＝2+22+23+24+…+2101，因此2S﹣S＝2101﹣1，所以S＝2101﹣1，即1+2+22+23+…+2100＝2101﹣1，仿照以上推理计算1+3+32+…+3100的值是__________________．
【答案】（3101﹣1）
【分析】仿照例子中的方法步骤推理计算即可．
【解析】解：令S＝1+3+32+…+3100，
则3S＝3+32+…+3101，
∴3S﹣S＝3101﹣1，
∴S＝（3101﹣1），
故答案为：（3101﹣1）．
5．规定关于任意正整数m，n的一种新运算：，若，那________．（用含n和k的代数式表示，其中n为正整数）
【答案】
【分析】根据h(1)=k（k≠0），以及定义新运算：h(m+n)=h(m)•h(n)将原式变形为kn•k2017，再根据同底数幂的乘法法则计算即可求解．
【解析】解：∵h(1)=k（k≠0），h(m+n)=h(m)•h(n)，
∴h(n)•h(2017)=kn•k2017=kn+2017．
故答案为：kn+2017．
6．我们规定一个新数“i”，使其满足i1＝i，i2＝﹣1，并且进一步规定：一切有理数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2•i＝﹣i，i4＝i2•i2＝﹣1×（﹣1）＝1．那么i6＝____，i1+i2+i3+…+i2022+i2023＝____．
【答案】-1 -1
【分析】各式利用题中的新定义计算即可求出值．
【解析】解：i6=i5•i=-1，
由题意得，i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2•i＝﹣i，i4＝i2•i2＝﹣1×（﹣1）＝1，i5=i4•i=i，i6=i5•i=-1，
故可发现4次一循环，一个循环内的和为0，
2023÷4=505…3
i1+i2+i3+…+i2022+i2023=505×0+（i-1-i）=-1．
故答案为：-1，-1．
7．规定，求：
（1）求；
（2）若，求x的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据规定即可完成；
（2）根据规定及幂的运算，可得关于x的方程，解方程即可．
【解析】（1），
；
（2），
，
则，
解得：．
8．已知10×102＝1000＝103，
102×102＝10000＝104，
102×103＝100000＝105．
（1）猜想106×104＝ ，10m×10n＝ ．（m，n均为正整数）
（2）运用上述猜想计算下列式子：
①（1.5×104）×（1.2×105）；
②（﹣6.4×103）×（2×106）．
【答案】（1）1010，10m+n；（2）①1.8×109；②-1.28×1010
【分析】（1）根据所给式子进行猜想即可；
（2）①由（1）的猜想进行计算即可；②由（1）的猜想进行计算即可．
【解析】解：（1）∵10×102＝1000＝103，
102×102＝10000＝104，
102×103＝100000＝105
∴106×104＝1010，10m×10n＝10m+n
故答案为：1010，10m+n
（2）①（1.5×104）×（1.2×105）
=1.5×1.2×104×105
=1.8×109
②（﹣6.4×103）×（2×106）
=﹣6.4×2×103×106
=-12.8×109
=-1.28×1010
9．根据同底数幂的乘法法则，我们发现：（其中，，为正整数），类似地我们规定关于任意正整数，的一种新运算：，请根据这种新运算解决以下问题：
（1）若，则______；______；
（2）若，求，的值；
（3）若，求的值；
（4）若，直接写出的值.
【答案】（1）1；-1；（2）4；256；（3）4；（4）
【分析】（1）将变形为，根据新定义计算即可；
（2）将变形为，得出，即可得出，的值；
（3）将等式变形，即可得解；
（4）根据变形发现规律，即求的值，求解即可.
【解析】（1）；
（2）
∴
∴，
（3）
（4）由（3）得出，
∴
∴==
10．材料：一般地，若（且），那么叫做以为底的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．
根据以上材料，解决下列问题：
（1）计算： ， ， ；
（2）观察（1）中的三个数，猜测： （且，，），并加以证明这个结论；
（3）已知：，求和的值（且）．
【答案】（1）2，4，6；（2），证明见解析；（3）10，15．
【分析】（1）根据22=4，24=16，26=32写成对数式即可；
（2）设lgaM=x，lgaN=y，根据对数的定义可表示为指数式为：ax=M，ay=N，据此计算即可；
（3）由lga3=5，得a5=3，再根据同底数幂的乘法法则计算即可．
【解析】（1）∵22=4，24=16，26=32，
∴lg24=2；lg216=4；lg264=6．
故答案为：2；4；6；
（2）设lgaM=x，lgaN=y，
则ax=M，ay=N，∴M•N=ax•ay=ax+y，
根据对数的定义，x+y=lgaMN，
即lgaM+lgaN=lgaMN．
故答案为：lgaMN．
（3）由lga3=5，得a5=3．
∵9=3×3=a5•a5=a10，27=3×3×3=a5•a5•a5=a15，
∴根据对数的定义，lga9=10，lga27=15．
11．阅读下面的文字,回答后面的问题：
求的值.
解：令
将等式两边同时乘以5得到:
②-①得:
∴即
问题:(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】（1）（2）
【分析】（1）根据已知材料的方法解答即可（2）先把式子化简成与题干中的式子一致的形式再解答.
【解析】解：（1）令
将等式两边同时乘以2得到:
②-①得:
∴即
（2）
令
将等式两边同时乘以3得到:
②-①得:
12．阅读材料：
求l+2+22+23+24+…+22019的值．
解：设S=l+2+22+23+24+…+22018+22019…①
则2S=2+22+23+24+25+…+22019+22020…②
②-①，得2S﹣S=22020-l
即S=22020-l
∴1+2+22+23+24+…+22019=22020-l
仿照此法计算：
(1)计算：1+3+32+33+34+…+3100.
(2)计算：1++++…++=________(直接写答案)
【答案】(1)；(2).
【分析】(1)设S=1+3+32+33+34+…+3100，两边乘以3得到关系式，与已知等式相减，变形即可求得所求式子的值；
(2)设S=1++++…++，两边乘以，然后按照阅读材料的方法进行求解即可.
【解析】(1)设S=1+3+32+33+34+…+3100，①
两边同时乘以3，得3S=3+32+33+34+…+3101，②
②-①，得3S﹣S=3101-1，
∴S=，
∴1+3+32+33+34+…+3100=；
(2)设S=1++++…++，①
两边同时乘以，得S=+++…++，②
①-②，得S-S=1-，
∴S=1-，
∴S=2-，
∴1++++…++=2-.
课程标准
课标解读
1.了解整数指数幂的意义和基本性质；
2.能进行简单的整式乘法运算。
1.理解同底数幂的乘法的意义；
2.掌握同底数幂的乘法的运算公式；