苏科版七年级下册11.3 不等式的性质学案

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知识精讲
知识点 不等式的基本性质
不等式的性质
不等式的基本性质1：
不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
符号表示：如果，那么；
不等式的基本性质2：
不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
符号表示：如果，那么；
不等式的基本性质3：
不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
符号表示：如果，那么。
【微点拨】运用不等式的性质对不等式进行变形时,要特别注意性质2和性质3的区别在乘(或除以)同一个数时,必须先弄清这个数是正数还是负数,如果是负数,不等号的方向要改变。
【即学即练1】若，则下列式子中错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据不等式的性质逐项分析判断即可
【解析】解：
，A. ，，故该选项正确，不符合题意；B. ，，故该选项正确，不符合题意；C. ，故该选项不正确，符合题意；D. ，，故该选项正确，不符合题意；故选C。
【即学即练2】若，则下列各式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】依题意，根据不等式的性质，不等式两边同时加减相同数字，不等号不改变方向；不等式两边同时乘除大于零的数，不等号不改变方向；反之则改变，即可；
【解析】对于选项A．，依据不等式性质： ，选项A不符合题意；对于选项B．，依据不等式性质：，选项B不符合题意；对于选项C．，依据不等式性质：，选项C符合题意；对于选项D．，依据不等式性质：，选项D不符合题意．
故选：D．
能力拓展
考法 不等式的基本性质
【典例1】下列说法中错误的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【分析】根据不等式的性质进行分析判断．
【解析】解：A、若，则，故选项正确，不合题意；B、若，则，故选项正确，不合题意；C、若，若c=0，则，故选项错误，符合题意；D、若，则，故选项正确，不合题意；故选C．
【典例2】下列四个说法：①若a＝﹣b，则a2＝b2；②若|m|+m＝0，则m＜0；③若﹣1＜m＜0，则m2＜﹣m；④两个四次多项式的和一定是四次多项式．其中正确说法的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】根据题意分别利用相反数的性质以及绝对值的代数意义和多项式的加法进行判断即可．
【解析】解：①若a＝﹣b，则a2＝b2，说法正确；
②若|m|+m＝0，则m 0，说法错误；
③若﹣1＜m＜0，则m2＜﹣m，说法正确；
④两个四次多项式的和不一定是四次多项式，说法错误；
①③正确，共有2个.
故选：C.
分层提分
题组A 基础过关练
1．下列命题中，假命题是（ ）
A．对顶角相等
B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D．如果，，那么
【答案】C
【分析】依题意，对于A选项，结合对顶角的定理即可；对于B选项，结合相关定理；对于C选项，平行线定理即可；对D选项，不等式的传递即可；
【解析】A、对顶角相等，本选项为定理，所以为真命题，不符合题意；B、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，本选项为定理，所以是真命题，不符合题意；C、依据平行线定理，只有平行的两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故本选项说法不正确，是假命题，符合题意；D、如果，，那么，本选项为定理，所以是真命题，不符合题意；故选：C．
2．下列说法正确的是（ ）
A．若a＜b，则3a＜2bB．若a＞b，则ac2＞bc2
C．若﹣2a＞2b，则a＜bD．若ac2＜bc2，则a＜b
【答案】D
【分析】利用不等式的性质，即可求解．
【解析】解：A、若a＜b，则3a＜3b，故本选项错误，不符合题意； B、若a＞b，当c＝0时，则ac2＝bc2，故本选项错误，不符合题意；C、若﹣2a＞﹣2b，则a＜b，故本选项错误，不符合题意； D、若ac2＜bc2，则a＜b，故本选项正确，符合题意；故选：D。
3．若，则x一定是（ ）
A．零B．负数C．非负数D．负数或零
【答案】D
【分析】根据绝对值的性质可得，求解即可．
【解析】解：∵
∴，解得，故选D。
4．已知a＞b， 下列不等式中，不正确的是（ ）
A．a＋3＞b＋3B．a−4＞b−4C．5a＞5bD．−6a＞ −6b
【答案】D
【分析】根据不等式的基本性质，逐项分析判断即可．
【解析】A. ，a＋3＞b＋3，故该选项正确，不符合题意；B. ，a−4＞b−4，故该选项正确，不符合题意；C. ，5a＞5b，故该选项正确，不符合题意；D. ， −6a＜ −6b，故该选项不正确，符合题意；故选D。
5．若a和b满足aA．2a<2bB．a+12-b
【答案】C
【分析】根据不等式的性质进行解答即可．
【解析】解：A、在不等式的两边同时乘以2，不等式仍成立，即2a＜2b，故本选项不符合题意；B、在不等式的两边同时加上1，不等式仍成立，即a+1＜b+1，故本选项不符合题意；C、a＜b，当a＜0时，则a2＞ab，故本选项符合题意；D、在不等式的两边同时乘以-1，不等号方向改变，即-a＞-b，再两边同时加上2，不等式仍成立，即2-a＞2-b，故本选项不符合题意；故选：C．
6．的解集是（ ）
A．B．C．D．无法确定
【答案】D
【分析】根据不等式的性质，先确定的符号，再确定不等号的方向即可解答．
【解析】解：由于的符号不能判断，所以不等号的方向也不确定，所以解集无法确定．
故选D．
7．若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据不等式的性质分别进行判断，即可求出答案．
【解析】解：A.，，此选项不符合题意；B.，，此选项符合题意；C. ，，此选项不符合题意；D. ，，此选项不符合题意；故选B．
8．已知关于x的不等式的解集为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据不等式的性质，即可求解．
【解析】解：∵关于x的不等式的解集为，
∴ ，
解得：．
故选：B．
9．如果，那么____0．
【答案】＜
【分析】由可得：异号，又与同号，所以而，即可求解．
【解析】解：由可得：异号，
又与同号，所以
而，
所以，
故答案为：＜．
10．设，用“”或“”号填空：
（1）________；
（2）________；
（3）________；
（4）________．
【答案】 ＞ ＞ ＜ ＞
【分析】根据不等式的性质，即可求解
【解析】解：∵，
∴（1）>；
（2）>；
（3）<；
（4）>．
题组B 能力提升练
1．下列变形中不正确的是（ ）
A．由m＞n得n＜mB．由﹣a＜﹣b得b＜a
C．由﹣4x＞1得D．由得x＞﹣3y
【答案】C
【分析】由题意直接根据不等式的性质逐项进行分析判断即可.
【解析】解：A、m＞n，n＜m，故A正确；B、-a＜-b，b＜a，故B正确；C、不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，故C错误；D、不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，故D正确；故选：C．
2．若，则下列式子中，错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用不等式的基本性质逐一判断即可．
【解析】解：A. 若，则正确，故A不符合题意；B. 若，则正确，故B不符合题意；C. 若，则，正确，故C不符合题意；D. 若d，则，所以D错误，故D符合题意，故选：D．
3．若0＜m＜1，则m、m2、的大小关系是（ ）
A．m＜m2＜B．m2＜m＜C．m＜＜m2D．m2＜＜m
【答案】B
【分析】根据0＜m＜1，可得m越小平方越小， ＞1，继而结合选项即可得出答案．
【解析】解：∵0＜m＜1，可得m2＜m，＞1，
∴可得：m2＜m＜．
故选：B．
4．在数轴上点A，B对应的数分别是a，b，点A在表示﹣3和﹣2的两点之间（包括这两点）移动，点B在表示﹣1和0的两点（包括这两点）之间移动，则以下四个代数式的值可能比2021大的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据已知条件得出，，，求出，，，，再分别求出每个式子的范围，根据式子的范围即可得出答案．
【解析】，，
，，，，，
，故A选项不符合题意；，故B选项不符合题意；可能比2021大，故C选项符合题意；，故D选项不符合题意；故选：C．
5．如果a＜0，b＞0，a＋b＞0，那么下列关系正确的是（ ）
A．－a＞b＞－b＞aB．b＞－a＞a＞－bC．b＞－a＞－b＞aD．－a＞b＞a＞－b
【答案】B
【分析】根据有理数的大小和不等式的性质判断即可；
【解析】∵a＜0，b＞0，a＋b＞0，
∴，
∴；
故选B．
6．若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接根据不等式的性质判断即可．
【解析】解：、，，故选项错误，不符合题意；、，，故选项正确，符合题意；、，若，则，故选项错误，不符合题意；、，若，则，故选项错误，不符合题意；故选：B．
7．设，用“”或“”填空：
（1）________；
（2）________；
（3）________；
（4）________．
【答案】 ＞ ＞ ＞ ＜
【分析】根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．
【解析】解：（1）∵
∴
（2）∵
∴
（3）∵
∴
（4）∵
∴
故答案为：＞；＞；＞；＜．
8．设、、、是四个正数，且满足下列条件：①，②，③，则、、、的大小关系是________．（用号连接）
【答案】
【分析】根据不等式的性质，由③可确定，结合条件②可得，根据条件①即可判断、、、的大小关系．
【解析】∵，
∴，
∵，a 、 b 、 c 、 d都是正数
∴，
∵，
∴．
故答案为：
9．高斯函数，也称为取整函数，即表示不超过的最大整数．例如：，．当时，的值为______．
【答案】1
【分析】根据x的取值范围判断x+1和-x+1的取值范围，然后根据[x]表示不超过x的最大整数，列式计算．
【解析】解：∵0＜x＜1，
∴1＜x+1＜2，0＜-x+1＜1，
∴[x+1]+[-x+1]=1+0=1，
故答案为：1．
题组C 培优拔尖练
1．﹣（﹣a）和﹣b在数轴上表示的点如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．﹣a＜1B．b﹣a＞0C．a＋1＞0D．﹣a﹣b＜0
【答案】B
【分析】化简﹣（﹣a）＝a，根据数轴得到a＜﹣1＜﹣b＜0，再结合有理数的加减、不等式的性质逐项分析可得答案．
【解析】解：﹣（﹣a）＝a，由数轴可得a＜﹣1＜﹣b＜0，∵a＜﹣1，∴﹣a＞1，故A选项判断错误，不合题意；∵﹣b＜0，∴b＞0，b﹣a＞0，故B正确，符合题意；∵a＜﹣1，∴a+1＜0，故C判断错误，不合题意；∵a＜﹣b，∴a+b＜0，∴﹣a﹣b＞0，故D判断错误，不合题意．故选：B．
2．有理数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列各式：①；②；③；④；⑤．正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据数轴图可得，即可判断①；根据，可得，两边同时加b即可判断②；由绝对值的性质将式子进行化简可得，，即可判断③；由，可得即可判断④；根据，先判断各个绝对值内的符号，然后去绝对值，化简合并同类项即可判断⑤．
【解析】解：由数轴可得：，
∴，
故①错误；∵，
∴，
∵，
∴，
故②错误；，
，
∴，
故③正确；∵，
∴，
∵，
∴，
故④错误；，，，
∴
，
，
，
故⑤正确；综上可得：③⑤正确，正确个数有两个，
故选：B．
3．若a+b+c＝0，且|a|＞|b|＞|c|，则下列结论一定正确的是（ ）
A．abc＞0B．abc＜0C．ac＞abD．ac＜ab
【答案】C
【分析】由的绝对值最小，分析不符合题意，再由 分析可得中至少有一个负数，至多两个负数，再分情况讨论即可得到答案.
【解析】解： a+b+c＝0，且|a|＞|b|＞|c|，
当时，则 则 不符合题意；
从而：中至少有一个负数，至多两个负数，
当 且|a|＞|b|＞|c|，

此时B，C成立，A，D不成立，
当 且|a|＞|b|＞|c|，

此时A，C成立，B，D不成立，
综上：结论一定正确的是C，
故选C。
4．下列四个命题：①若a＞b，则a－3＞b－3；②若a＞b，则a+c＞b+c；③若a＞b，则－3a＜－3b；④若a＞b，则ac＞bc．其中，真命题有（ ）
A．①③④B．②③④C．①②③④D．①②③
【答案】D
【分析】根据不等式的性质判断即可；
【解析】若a＞b，则a－3＞b－3，故①正确；若a＞b，则a+c＞b+c，故②正确；若a＞b，则－3a＜－3b，故③正确；若a＞b，则ac＞bc，没有告知c的取值，故④错误；故正确的是①②③；
故选D．
5．若、是有理数，则下列说法中正确的是（ ）
A．若则B．若则
C．若则D．若则
【答案】C
【分析】利用举反例的方法判断 利用不等式的性质判断 从而可得答案.
【解析】解：当时满足，但＜，故不符合题意；当时满足，但＜，故不符合题意；由，利用不等式的性质可得，故符合题意；当时满足，但，故不符合题意；故选：
6．下列不等式的变形中，一定正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，，且，则
【答案】C
【分析】利用不等式的性质和c＜0对A进行判断；利用不等式的性质和m=0对B进行判断；利用不等式的性质对C、D进行判断．
【解析】解：A中，若，则两边同时除以c，得，故选项A错误；B中，若，则两边同时乘，得，故选项B错误；C中，由可知，两边同时除以，得，故选项C正确；D中，当a=，b=时，而a＜b，故D错误．故选：C
7．若，，，，，则、、之间的大小关系是________．
【答案】
【分析】由可得，所以，同理，然后比较a、b、c的大小即可．
【解析】，
,
,
同理可得,
又,
,
,
即．
8．若，且，以下结论：
①，；
②关于x的方程的解为；
③
④的值为0或2；
⑤在数轴上点A．B．C表示数a、b、c，若，则线段AB与线段BC的大小关系是．
其中正确的结论是______（填写正确结论的序号）．
【答案】②③⑤
【分析】①根据a+b+c=0，且a＞b＞c推出a＞0，c＜0，即可判断；
②根据a+b+c=0求出a=-（b+c），又ax+b+c=0时ax=-（b+c），方程两边都除以a即可判断；
③根据a=-（b+c）两边平方即可判断；
④分为两种情况：当b＞0，a＞0，c＜0时，去掉绝对值符号得出+++，求出结果，当b＜0，a＞0，c＜0时，去掉绝对值符号得出+++，求出结果，即可判断；
⑤求出AB=a-b=-b-c-b=-2b-c=-3b+b-c，BC=b-c，根据b＜0利用不等式的性质即可判断．
【解析】解：（1）∵a+b+c=0，且a＞b＞c，
∴a＞0，c＜0，
∴①错误；∵a+b+c=0，a＞b＞c，
∴a＞0，a=-（b+c），
∵ax+b+c=0，
∴ax=-（b+c），
∴x=1，
∴②正确；∵a=-（b+c），
∴两边平方得：a=（b+c），
∴③正确；∵a＞0，c＜0，
∴分为两种情况：
当b＞0时，+++=+++=1+1+（-1）+（-1）=0；
当b＜0时，+++=+++=1+（-1）+（-1）+1=0；
∴④错误；∵a+b+c=0，且a＞b＞c，b＜0，
∴a＞0，c＜0，a=-b-c，
∴AB=a-b=-b-c-b=-2b-c=-3b+b-c，BC=b-c，
∵b＜0，
∴-3b＞0，
∴-3b+b-c＞b-c，
∴AB＞BC，
∴⑤正确； 即正确的结论有②③⑤．
故答案为：②③⑤．
9．不等式的解为，则的取值范围是__________．
【答案】a＞1
【分析】根据不等式的性质，两边同时除以同一个正数，不等号的方向不变判断a的取值范围.
【解析】不等式(a−1)x>1−a，即(a−1)x>−(a−1)两边同除以（a-1）得x>−1，
可见，a-1＞0，
解得，a＞1
故答案为：a＞1
10．如图,在框中解不等式的步骤中,应用不等式基本性质的是_______(填序号).
【答案】①③⑤
【分析】根据解一元一次不等式的依据求解即可.
【解析】，
去分母，得（不等式的基本性质2）
去括号，得（去括号法则）
移项，得（不等式的基本性质1）
合并同类项，得（合并同类项法则）
系数化为1，得（不等式的基本性质3）
故答案为①③⑤
11．已知，当x=1时，y=4；当x=-2 时，y=-8．
（1）求a、b的值．
（2）若，当x=m时，y=n，且m＜-4，试比较n与p的大小，请说明理由．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）分别把当x=1时，y=4；当x=-2 时，y=-8，代入中，然后解二元一次方程组即可得到答案；
（2）先分别求出，，然后求出，利用即可求解.
【解析】解：（1）∵已知，当x=1时，y=4；当x=-2 时，y=-8，
∴，
解得；
（2）∵，
∴，
∵当x=m时，y=n，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴.
12．若将一个整数的个位数字截去，再用余下的数加上原个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除．如果和太大或心算不易看出是否是13的倍数，就需要继续上述“截尾、倍大、相加、检验”的过程，直到能清楚判断为止．如判断16354能否被13整除；．故16354能被13整除．
（1）115366 （填能或不能）被13整除， 12909 （填能或不能）被13整除；
（2）已知一个五位正整数能被13整除，求m的值；
（3）已知一个五位正整数既能被13整除，又能被3整除，求这个五位数．
【答案】（1）不能，能；（2）8；（3）59553或56550或51558
【分析】（1）根据题意，列出算式求解即可；
（2）根据题意可得+4x5=1300+24+10m=1326+10m-2，则10m-2能被13整除，即5m-1能被13整除，由0≤m≤9可得5m-1=0或13或26或39，由m为整数可得m的值为8；
（3）由题意可得出4（y-x）-2能被13整除，x+y能被3整除，由0≤x≤9，0≤y≤9得-38≤4（y-x）-2≤34，可得4（y-x）-2=-26或-13或0或13或26，由y-x为整数得y-x=-6或7，结合x+y能被3整除可得x，y的值，即可求解．
【解析】解：（1）11536+6×4=11560，1156+0×4=1156，115+6×4=139，13+9×4=49，
∵49不是13的倍数，
∴115366不能被13整除，
1290+9×4=1326，132+6×4=156，15+6×4=39，39÷13=3，
∵39是13的倍数，
∴12909能被13整除，
故答案为：不能，能；
（2）由题意知：+4×5=1300+24+10m=1326+10m-2，
∵1326能被13整除，
∴10m-2能被13整除，
∴5m-1能被13整除，
∵0≤m≤9，
∴-1≤5m-1≤44，
∴5m-1=0或13或26或39，
∵m为整数，
∴m的值为8；
（3）∵既能被13整除，又能被3整除，
∴+4y能被13整除，5+5+5+x+y=15+ x+y能被3整除，
∴5055+100x+4y=389×13-2+13×8x-4x+4y=13×(389+8x)+4(y-x)-2，
∴4(y-x)-2能被13整除，x+y能被3整除，
∵0≤x≤9，0≤y≤9，
∴-38≤4(y-x)-2≤34，
∴4(y-x)-2=-26或-13或0或13或26，
∵y-x为整数，
∴y-x=-6或7，
∵x+y能被3整除，
∴或 或，
∴这个五位数为59553或56550或51558．
课程标准
课标解读
结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质
1.理解并掌握不等式的基本性质；
2.能利用不等式的基本性质判断不等式的变形与化简。