人教版数学九年级下册 第二十八章 锐角三角函数小结与复习 学案
展开锐角三角函数小结与复习 班级: 姓名: 组号: 一、知识梳理 (一)锐角三角函数的定义 1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,BC=6,则sinA=___________,tanB=___________ 2.如图1,在Rt△ABC中,a,b为两直角边,且a∶b=5∶12,则cosA=______,tanB=_____ 3.如图2,△ABC顶点都是正方形网格的格点,则tan∠ABC= 图1 图2 注意:(1)由于锐角三角函数是一种比值,因此它只有大小而没有单位; (2)由于三角函数是一个比值,它的大小仅与角的大小有关,而与它所在的三角形的边的长度无关 (二)特殊角的三角函数值 1.在△ABC中,若sinA=1,tanB=,则∠C的度数是____________ 2.若α是锐角,且3tanα-=0,则cosα=______,sin2α=______。 (三)解直角三角形的类型和解法 1.在Rt△ABC中,∠C=90°,a=8,c=17,求tanA的值。 2.如图3,在等腰中,∠C=900 ,AC=6,D是AC上一点,若tan∠DBC=0.2,则AD的长为( ) A.2 B. C. D.1 图3 (四)实际应用 1.仰角、俯角 2.坡度(坡比): 3.如图4,坡角为30°的斜坡上两树间地水平距离AC为2m,则两树间的坡面距离AB为 4.如图5,长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角,作业时调整为60°角(如图所示),则梯子的顶端沿墙面升高了 m。 图4 图5 二、综合运用 1.如图6,所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,sinB=,点D在边BC上,且∠ADC=45°,DC=6,求tan∠BAD的值。 图6 2.我市准备在相距2km的A、B两工厂间修一条笔直的公路,但在B地北偏东60°方向、A地北偏西45°方向的C处,有一个半径为0.6km的住宅小区(如图7),问修筑公路时,这个小区是否有居民需要搬迁? 图7 三、课堂检测 1.在△ABC中,∠C=90°,如果AB=2,BC=1,那么sinA的值是( ) A. B. C. D. 2.计算:sin60°+2sin45°-2cos30°=______________。 3.图象经过点P(cos60°,-sin30°)的正比例函数的表达式为______________________。 4.如图8,已知在Rt△ABC中,斜边BC上的高AD=4,cosB=45则AC=_________。 5.直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8,现将△ABC如图9那样折叠,使点A与点B重合,折痕为DE,则tan∠CBE的值是_________ 图9 图8 6.如图10,小敏、小亮从A、B两地观测空中点C处的一个气球,分别测得仰角为30°和60°,A、B两地相距100m。当气球沿与BA平行地飘移10秒后到达点C′处时,在点A处测得气球的仰角为45°。 (1)求气球的高度。 (2)求气球飘移的平均速度。 图10 四、课堂小结 1.锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数值。 2.解直角三角形的一般类型。 3.用解直角三角形知识解实际问题。 五、拓展延伸 1.如图11,在△ABC中,∠ABC=135°,P为AC上一点,且∠PBA=90°, (1)求tan∠APB; (2)若PB=2,求AC 图11 2.图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时情景。图2是小明锻炼时上半身由EM位置运动到与地面垂直的EN位置时的示意图。已知BC=0.64米,AD=0.24米,α=18°。 (sin18°≈0.31,cos18°≈0.95,tan18°≈0.32) (1)求AB的长;(精确到0.01米) (2)若测得EN=0.8米,试计算小明头顶由M点运动到N点的路径弧MN的长度。(结果保留π) 【答案】 知识梳理 (一) 1.; 2.; 3. (二) 1.60° 2.; (三) 1.解:在Rt△ABC中AC==15 tanA=BC/AC=8/15 2.A (四) 2.指斜坡的铅直高度与水平宽度的比。也就是坡角的正切值。 3. 4. 综合运用 1.解:过D点作DE⊥AB,交AB于E点,在Rt△ADC中,∠C=90°,∠ADC=45°,DC=6, ∴∠DAC=45°,∴AC=DC=6, 在Rt△ABC中,∠C=90°,∵sinB=,∴, 设AC=3k,则AB=5k,∴3k=6,∴k=2,∴AB=5k=10, 根据勾股定理,得BC=8,∴BD=BC-DC=8-6=2 在Rt△BDE中,∠BED=90°,sinB=,∴,DE=, 根据勾股定理,得BE=,∴AE=AB-BE=10-=, ∴tan∠BAD= 2.解:过点C作CD⊥AB于D∴AD=CD/tan45°=CD BD=CD/tan30°= ∵BD+AD=AB=2 即+CD=2 ∴ 答:修的公路不会穿越小区,故该小区居民不需搬迁。 课堂检测 1.A 2. 3. 4. 5. 6.解:(1)作CD⊥AB,C′E⊥AB,垂足分别为D,E, ∵CD=BD·tan60°,CD=(100+BD)·tan30°, ∴(100+BD)·tan30°=BD·tan60°, ∴BD=50,CD=50≈86.6 m, ∴气球的高度约为86.6 m; (2)∵BD=50,AB=100, ∴AD=150 , 又∵AE=C′E=50, ∴DE=150-50≈63.40, ∴气球飘移的平均速度约为6.34米/秒。 课堂小结 略 拓展延伸 1.解:过A作AD‖BP交CB延长线于D点,则△ABD为等腰直角三角形,AB=AD 因AD‖BP 故AD/BP=AC/PC=3 tan∠APB=AB/BP=AD/BP=AC/PC=3 若PB=2,则AB=PB*tan∠APB=2×3=6 依勾股定理,AP=2 AC=AP+CP=AP+AP/2=3*AP/2=3 2.解:(1)过A作, 分别交延长线于 ∵,, ∴ ∴四边形为矩形 ∴ 在中,∵ ∴ 即AB的倾斜角度数约为18°。 (2)∵ ∴ ∴ ∴ 的长=(米) 答:小明头顶运动的路径的长约为1.60米。30°45°60°sincostan1