【人教版】九下数学 第二十八章 锐角三角函数 章末复习（课件+教案+导学案+分层练习）

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单元复习人教版九年级下册数学| 第1课时 |第二十八章 锐角三角函数请你带着下面的问题，进入本课的复习吧！　　1．锐角三角函数是如何定义的？总结锐角三角函数的定义过程，并写出直角三角形中两个锐角的三角函数．　　2．两个直角三角形全等要具备什么条件？为什么在直角三角形中，已知一条边和一个锐角，或两条边，就能解这个直角三角形？　　3．你能根据不同的已知条件（例如，已知斜边和一个锐角），归纳相应的解直角三角形的方法吗？　　4．锐角三角函数在实践中有广泛的应用，你能举例说明这种应用吗？考点一　锐角三角函数的概念　　例1　如图，在△ABC 中，AD⊥BC，垂足是 D，若 BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝ ，求sin C 的值． 　　解：∵AD⊥BC，∴tan∠BAD＝ ．∵tan∠BAD＝ ，AD＝12，∴ ＝ ，∴BD＝9．∴CD＝BC－BD＝14－9＝5．∴在 Rt△ADC 中，AC＝ ＝ ＝13，∴sin C＝ ＝ ．考点一　锐角三角函数的概念求锐角三角函数值常用的方法（1）在直角三角形中，设法求出角的度数，利用特殊角的锐角三角函数值求解，或者设法求出所在直角三角形的相应边长，根据锐角三角函数的定义求解；若不在直角三角形中，则要先构造直角三角形，再按上述方法求解．（2）借助等角求值，即找出一个与之相等的角，其等角的三角函数值即为此角的三角函数值．考点一　锐角三角函数的概念　　1．在△ABC 中，∠C＝90°，sin A＝ ，则 tan B 的值为（　　）．A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D． 　　解析：如图，∵sin A＝ ＝ ，设 BC＝4k，则 AB＝5k，AC＝3k，∴tan B＝ ＝ ＝ ．4k5k3kB考点一　锐角三角函数的概念考点二　特殊角的三角函数值　　例2　计算：　　（1） ；（2）8sin2 60°＋tan 45°－4cos 30°． 　　解：（1） ＝ ＝ ；（2）8sin2 60°＋tan 45°－4cos 30°＝＝ ．熟记特殊角的三角函数值熟记 30°，45°，60°角的三角函数值，以便用于计算．反过来，已知一个特殊角的三角函数值，要能求出相应的锐角．考点二　特殊角的三角函数值　　2．在△ABC 中，若∠A，∠B 都是锐角，且满足 ，则∠C 的大小是（　　）．A．45° 　　　B．60°　　　C．75°　　　D．105° 　　解析：由题意，得 cos A＝ ，tan B＝1，则∠A＝30°，∠B＝45°，则∠C＝180°－30°－45°＝105°．D考点二　特殊角的三角函数值考点三　解直角三角形　　例3　如图，在△ABC 中，∠C＝150°，AC＝4，tan B＝ ．（1）求 BC 的长；（2）利用此图形求 tan 15°的值．（精确到 0.1，参考数据： ≈1.4， ≈1.7， ≈2.2）　　 解：（1）如图，过点 A 作 AD⊥BC 的延长线于点 D．∵∠ACB＝150°，∴∠ACD＝30°，∴AD＝ AC＝2，CD＝AC·cos 30°＝4× ＝2 ．在Rt△ABD 中，∵tan B＝ ＝ ，∴ ＝ ，∴BC＝16－2 ．D考点三　解直角三角形解：（2）如图，在 CB 上截取一点 E，使得 CE＝CA，连接 AE．∵∠ACD＝30°，AC＝4，∴∠CEA＝∠CAE＝ ∠ACD＝15°，CE＝4，∴tan 15°＝ ＝ ＝2－ ≈0.3．∴tan 15°约等于 0.3．DE考点三　解直角三角形解直角三角形的问题一般要通过作垂线等构造直角三角形，把非直角三角形的问题转化成直角三角形的问题，进而利用锐角三角函数的定义求解．考点三　解直角三角形　　3．如图，在 Rt△AOB 中，∠O＝90°，以 OA 为半径作⊙O，BC 切⊙O 于点 C，连接 AC 交 OB 于点 P．（1）求证 BP＝BC；（2）若 sin∠PAO＝ ，且 PC＝7，求⊙O 的半径．考点三　解直角三角形（1）证明：如图，连接 OC．∵BC 是⊙O 的切线，∴∠OCB＝90°，∴∠OCA＋∠BCA＝90°．∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠OAC＋∠BCA＝90°．∵∠BOA＝90°，∴∠OAC＋∠APO＝90°．∵∠APO＝∠BPC，∴∠BPC＝∠BCA，∴BP＝BC．考点三　解直角三角形（2）解：如图，延长 AO 交⊙O 于点 E，连接 CE，在 Rt△AOP 中，∵sin∠PAO＝ ，设 OP＝x，则 AP＝3x，∴AO＝2 x，AC＝3x＋7，∴cos∠PAO＝ ．∵AO＝OE，∴OE＝2 x，∴AE＝4 x．E考点三　解直角三角形∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ACE＝90°，∴在 Rt△ACE 中，cos∠CAE＝ ＝ ，∴ ，解得 x＝3，∴AO＝2 x＝6 ，即⊙O 的半径为 6 ．E考点三　解直角三角形考点四　解直角三角形的实际应用　　例4　某数学小组开展测量物体高度的实践活动，他们要测量某建筑物上悬挂的电子显示屏的高度．如图，他们先在点 A 测得电子显示屏底端点 D 的仰角∠DAC＝15°，再向建筑物方向前进 10 m 到达点 B，又测得电子显示屏顶端点 E 的仰角∠EBC＝45°，测得电子显示屏底端点 D 的仰角∠DBC＝30°．（点 A，B，C 在同一条直线上，且与点 D，E 在同一平面内，不考虑测角仪器高度）（1）求此时他们离建筑物的距离 BC；（2）求电子显示屏 DE 的高度． 分析：（1）先观察图形，分清已知角的关系，利用三角形外角性质推理出∠DAC＝∠ADB＝15°，根据等角对等边，得出 AB＝DB＝10 m；再在 Rt△BDC 中，利用锐角三角函数求出 BC 的长；（2）因为 DE＝EC－CD，所以分别解 EC，CD 所在的直角三角形，求出 EC，CD，即可得出电子显示屏 DE 的高度．考点四　解直角三角形的实际应用解：（1）由题意，得∠ECB＝90°，AB＝10 m．∵∠DBC＝∠DAC＋∠ADB，∠DAC＝15°，∠DBC＝30°，∴∠ADB＝15°，∴∠DAC＝∠ADB＝15°，∴AB＝DB＝10 m．在 Rt△BDC 中，∵cos∠DBC＝ ，∴BC＝BD·cos 30°＝10× ＝5 （m）．∴此时他们离建筑物的距离 BC 为 5 m．考点四　解直角三角形的实际应用解：（2）在 Rt△BDC中， ∵ sin∠DBC＝ ，∴CD＝BD·sin 30°＝10× ＝5（m）．在 Rt△BCE 中，∠EBC＝45°，∵tan∠EBC＝ ，∴EC＝BC·tan 45°＝5 ×1＝5 （m），∴DE＝EC－CD＝( 5 －5)m．∴电子显示屏 DE 的高度为(5 －5)m．考点四　解直角三角形的实际应用在实际问题中，当有多个直角三角形时，一定要认真分析各条线段之间的关系（包括锐角三角函数产生的比例关系、相等关系、和差关系等），同时注意方程思想在解题中的应用． 考点四　解直角三角形的实际应用4．如图，小丽假期在娱乐场游玩时，想要利用所学的数学知识测量某个娱乐场地所在山坡 AE 的长度，她先在山脚下点 E 处测得山顶 A 的仰角是 30°，再沿着坡度是 i＝1∶1（即 tan∠CED＝1）的斜坡步行 15 min 到达 C 处，此时，测得 A 点的俯角是 15°．已知小丽的步行速度是 18 m/min，图中点 A，B，E，D，C 在同一平面内，且点 D，E，B 在同一水平线上．求出娱乐场地所在山坡 AE 的长度（结果精确到 0.1 m）．考点四　解直角三角形的实际应用考点四　解直角三角形的实际应用解：如图，令过点 C 的水平线为 CK，过点 E 作 EF⊥AC 于点 F．在 Rt△CDE 中， ∵∠D＝90°，i＝tan∠CED＝ ＝1，∴∠CED＝45°．∵ CK∥DB，∴∠KCE＝∠CED＝45°，∴∠ECF＝∠KCE－∠KCF＝30°．∵EF⊥AC，∴∠EFC＝∠EFA＝90°，∴在 Rt△CFE 中，sin∠ECF＝ ＝ ．又 CE＝18×15＝270（m），KF∴EF＝135 m．∵∠CEF＝90°－∠ECF＝60°，∠AEB＝30°，∴∠AEF＝180°－∠AEB－∠CEF－∠CED＝45°，∴在 Rt△AEF 中，EF＝AE·cos∠AEF＝ AE，∴AE＝ EF＝135 ≈190.9（m）．∴娱乐场地所在山坡 AE 的长度约为 190.9 m．KF锐角三角函数锐角三角函数概念计算解直角三角形及其应用概念基本类型由概念求三角函数值由三角函数值求角的度数由角的度数求三角函数值直角三角形中的边角关系应用与仰角、俯角、方向角、坡度、坡角有关的实际问题及其他相关实际问题