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人教A版高中数学必修第一册要点速记
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第一章 集合与常用逻辑用语
1．常用数集
2．集合中元素的三个特性：确定性、互异性和无序性．
3．元素与集合的关系：属于，记作a∈A， 不属于，记作a∉A．
4．集合的表示方法：列举法(如1，2，3) 描述法(如xx2=8) 图示法如
5．集合间的基本关系
[重要结论] (1)若集合A中含有n个元素，则有2n个子集，有2n－1个非空子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．(2)子集关系的传递性，即A⊆B，B⊆C⇒A⊆C．
[易错警示] 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．
6．集合的基本运算
(1)并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}；
(2)交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}；
(3)补集：∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．
[重要结论] A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B．
7．充分条件与必要条件
8．全称量词命题与存在量词命题的否定
含有一个量词的命题的否定，既要否定量词，又要否定结论．全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定为 p：∃x∈M, p(x)；存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定为 p：∀x∈M, p(x)．
9．根据集合间的关系判断充分、必要条件
第二章 一元二次函数、方程和不等式
1．作差法比较两个实数的大小
a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔ab⇔bb，b>c⇒a>c；
性质3(可加性)：a>b⇒a＋c>b＋c；
性质4：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒acb，c>d⇒a＋c>b＋d；
性质6：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；
性质7：a>b>0，n∈N，n≥2⇒an>bn；
性质8：a>b>0，n∈N，n≥2⇒na>nb．
3．基本不等式：ab≤a+b2
(1)不等式成立的条件：a>0，b>0．
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
(3)基本不等式的变形：ab≤a+b22(a，b∈R)．
(4)重要不等式： a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(5)最值定理：已知x>0，y>0，则
①如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2p．(简记：积定和最小)
②如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值p24．(简记：和定积最大)
[易错警示] 应用基本不等式求最值的前提条件：“一正、二定、三相等”．
4．解一元二次不等式的一般步骤
[记忆口诀] 大于取两边，小于取中间．
5．不等式恒成立问题的解法
(1)a≠0时，ax2＋bx＋c>0(<0)对任意实数x恒成立的条件是a>0，Δ<0 (a<0，Δ<0 )．
(2)对于较易分离且分离后函数最值易求的问题都可以采用分离参数法，其常用的结论是：g(a)>f (x)(g(a)f (x)max(g(a)0⇔fx1-fx2x1-x2>0⇔f (x)在[a，b]上是增函数；
(2)(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]<0⇔fx1-fx2x1-x2<0⇔f (x)在[a，b]上是减函数．
[拓展] 复合函数的单调性满足同增异减的原则．
3．最值的定义：设函数y＝f (x)的定义域为D，如果存在实数M满足：
(1)①∀x∈D，都有f (x)≤M；
②∃x0∈D，使得f (x0)＝M，则M是函数y＝f (x)的最大值．
(2)①∀x∈D，都有f (x)≥M；
②∃x0∈D，使得f (x0)＝M，则M是函数y＝f (x)的最小值．
4．函数的奇偶性
(1)f (x)是奇函数⇔对定义域内任意x，都有f (－x)＝－f (x)⇔f (x)图象关于原点对称；
(2)f (x)是偶函数⇔对定义域内任意x，都有f (－x)＝f (x)⇔f (x)图象关于y轴对称．
[重要结论] 若奇函数f (x)在原点处有意义，则f (0)＝0．
5．五个常见幂函数的图象
第四章 指数函数与对数函数
1．根式的性质
(1)(na)n＝a．
(2)当n为奇数时，nan＝a；
当n为偶数时，nan＝|a|＝a，a≥0，-a，a<0．
2．分数指数幂
(1)amn＝nam(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
(2)a-mn＝1amn ＝1nam(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
(3)0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义．
3．有理指数幂的运算性质
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
4．指数式与对数式的关系
(1)互化式：若a>0，且a≠1，则ax＝N⇔logaN＝x．
(2)对数的基本性质
①零和负数没有对数，即真数N>0；
②1的对数为0，即loga1＝0(a>0，且a≠1)；
③底数的对数等于1，即logaa＝1(a>0，且a≠1)．
(3)两个重要的对数恒等式
①alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0)；
②logaaN＝N(a>0，且a≠1)．
5．对数的四则运算法则
如果a>0，且a≠1，M >0，N>0，那么：
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(2)logaMN＝logaM－logaN；
(3)logaM n＝nlogaM(n∈R)．
6．对数的换底公式及推论
(1)换底公式：logab＝logcblogcaa>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0．
(2)常用推论：
①logab·logba＝1；
②logab·logbc·logca＝1；
③logambn ＝nmlogab(a>0，a≠1，b>0，m≠0)．
7．指数、对数函数的图象及性质
[说明] (1)研究指数、对数函数的性质时，要首先考虑底数a的取值范围，分a>1和00．
(3)如果单调函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f (a)f (b)<0，那么函数y＝f (x)在区间(a，b)内有唯一的零点，即存在唯一的c∈(a，b)，使得f (c)＝0，这个c也就是方程f (x)＝0的实数解．
(4)二分法：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f (a)f (b)<0的函数y＝f (x)，通过不断地把函数f (x)的零点所在的区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法，叫做二分法．
第五章 三角函数
1．任意角和弧度制
(1)终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
(2)角度与弧度的互化
(3)弧度制下的弧长与扇形面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
①弧长公式：l＝αR．
②扇形面积公式：S＝12lR＝12αR2．
2．任意角的三角函数的定义
设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，
(1)点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin α；
(2)点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝cos α；
(3)把点P的纵坐标与横坐标的比值yx叫做α的正切，记作tan α，即yx＝tan α(x≠0)．
[拓展] (1)若点P(x，y)是角α终边上的任意一点，点P到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx．
(2)三角函数值在各象限内符号为正的口诀：
一全正，二正弦，三正切，四余弦．
3．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；
(2)商数关系：tanα＝sinαcosα．
4．三角函数的诱导公式
5．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
[重要结论] 函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)为偶函数的充要条件是φ＝π2＋kπ(k∈Z); f (x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．
6．三角恒等变换
(1)两角和与差的余弦、正弦、正切公式
cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C(α－β))；
cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(C(α＋β))；
sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S(α－β))；
sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S(α＋β))；
tan (α－β)＝tanα-tanβ1+tanαtanβ(T(α－β))；
tan (α＋β)＝tanα+tanβ1-tanαtanβ(T(α＋β))．
(2)二倍角公式
sin 2α＝2sin αcos α；
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
tan 2α＝2tanα1-tan2α．
(3)半角公式
Sin α2＝±1-cosα2；
cos α2＝±1+cosα2；
tan α2＝±1-cosα1+cosα；
tan α2＝sin α2cos α2＝sin α2·2cos α2cos α2·2cos α2＝sinα1+cosα；
tan α2＝sin α2cos α2＝sin α2·2sin α2cos α2·2sin α2＝1-cosαsinα．
(4)辅助角公式
a sin α＋b cos α＝a2+b2sin (α＋φ)，其中sin φ＝ba2+b2，cos φ＝aa2+b2，tan φ＝ba．
[重要结论] (1)公式的常用变式
tan α±tan β＝tan (α±β)(1∓tan αtan β)；
sin 2α＝2sinαcosαsin2α+cos2α＝2tanα1+tan2α；
cos2α＝cos2α-sin2αcos2α+sin2α＝1-tan2α1+tan2α．
(2)降幂公式：sin2α＝1-cos2α2；cos2α＝1+cos2α2；sin αcos α＝12sin 2α．
7．函数y＝A sin (ωx＋φ)
(1)函数y＝A sin (ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义
(2)用五点法画y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点，如表所示：
(3)函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径
方法一(先平移后伸缩) 方法二(先伸缩后平移)
[易错警示] 左右平移是相对于自变量x而言的，与其系数无关．
8．三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略
利用三角恒等变换把函数化为f (x)＝A sin (ωx＋φ)＋b的形式．
(1)求周期：在ω＞0，A>0的前提下，利用周期公式T＝2πω即可计算出函数f (x)的最小正周期．
(2)求单调区间：在ω＞0的前提下，－π2＋2kπ≤ωx＋φ≤π2＋2kπ(k∈Z)的解集即为函数f (x)的单调递增区间，π2＋2kπ≤ωx＋φ≤3π2＋2kπ(k∈Z)的解集即为函数f (x)的单调递减区间．
(3)求最值：
①代换法：若A＞0，ω＞0，把ωx＋φ看作一个整体，由x的范围计算出u＝ωx＋φ的取值范围，然后结合函数y＝sin u的图象确定函数f (x)的最小值和最大值．
②转化法：形如y＝a sin2x＋b sinx＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
③换元法：形如y＝a sin x cos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
④图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的最值．
模块综合测评
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合A＝{x|－23}，则A∩B＝( )
A．{x|－21，0＝log51a2b＋ab2
B．若a，b，m为正实数，且abc2，则a>b
D．当x>0时，x＋2x的最小值为2
AC [对于A，若a，b为正实数，且a≠b，
则a3＋b3－a2b+ab2＝(A＋B)a2-ab+b2－ab(A＋B)＝(A＋B)(a－b)2>0，
所以a3＋b3>a2b＋ab2，故A正确；
对于B，若a，b，m为正实数，且a0，所以a+mb+m>ab，故B错误；
对于C，因为ac2>bc2，又c2>0，故a>b，故C正确；
对于D，当x>0时，x＋2x≥2x·2x＝22，当且仅当x＝2时取等号，故D错误．故选AC．]
10．(2020·新高考Ⅰ卷)如图是函数y＝sin (ωx＋φ)的部分图象，则sin (ωx＋φ)＝( )
A．sin x+π3 B．sin π3-2x
C．cos 2x+π6 D．cos 5π6-2x
BC [由题图可知，函数的最小正周期T＝22π3-π6＝π，∴2πω＝π，ω＝±2．当ω＝2时，y＝sin (2x＋φ)，将点π6，0代入得，sin 2×π6+φ＝0，∴2×π6＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，即φ＝2kπ＋2π3，k∈Z，故y＝sin 2x+2π3．由于y＝sin 2x+2π3＝sin π-2x+2π3＝sin π3-2x，故选项B正确；y＝sin π3-2x＝cos π2-π3-2x＝cos 2x+π6，选项C正确；对于选项A，当x＝π6时，sin π6+π3＝1≠0，错误；对于选项D，当x＝π6+2π32＝5π12时，cos 5π6-2×5π12＝1≠－1，错误．当ω＝－2时，y＝sin (－2x＋φ)，将π6，0代入，得sin -2×π6+φ＝0，结合函数图象，知－2×π6＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，得φ＝4π3＋2kπ，k∈Z，∴y＝sin -2x+4π3，但当x＝0时，y＝sin 4π3＝－32<0，与图象不符合，舍去．综上，选BC．]
11．(2022·浙江省杭州七中期末)已知函数f (x)＝sin x+π4，则f x+π4( )
A．是奇函数
B．是偶函数
C．关于点(π，0)成中心对称
D．关于点3π2，0成中心对称
BD [因为f x+π4＝sin x+π4+π4＝sin x+π2＝cos x，故函数f x+π4为偶函数，因为函数f x+π4的对称中心坐标为π2+kπ，0k∈Z，
所以函数f x+π4的图象关于点3π2，0成中心对称．故选BD．]
12．(2022·山东泰安期末)已知f (x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，则下列结论正确的是( )
A．f (x)在(0，＋∞)上单调递减
B．f (x)最多有两个零点
C．f log0.53>f (log25)
D．若实数a满足f (2a)>f -2，则a<12
ACD [因为f (x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，
所以f (x)在(0，＋∞)上单调递减，故A正确；
函数零点个数无法确定，故B错误；
f log0.53＝f (log23)，因为log23f (log25)，故C正确；
若实数a满足f (2a)>f -2，即f (2a)>f 2，则2a<2＝212，解得a<12，故D正确．故选ACD．]
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若2a＝3b＝6，则1a＋1b的值为________．
2 [因为2a＝3b＝6，
所以a＝log26，b＝log36，
所以1a＋1b＝1log2 6＋1log3 6＝lg2lg 6＋lg3lg 6＝lg612lg6＝2．]
14．1+2sin20°sin110°cos20°+1-cos2160°的值为________．
1 [原式＝1+2sin20°cos20°cos20°+sin160°
＝sin20°+cos20°2sin20°+cos20°＝sin20°+cos20°sin20°+cos20°＝1．]
15．(2022·山东青岛期末)已知函数f (x)＝ax2＋bx＋c，满足不等式f (x)<0的解集为(－∞，－2)∪(t，＋∞)，且f (x－1)为偶函数，则实数t＝________．
0 [根据解集易知：a<0 ，
由f (x－1)为偶函数，可得f (x)关于直线x＝－1对称，即b－2a＝0．
易知ax2＋bx＋c＝0的两根为t，－2，则根据根与系数的关系可得t－2＝－ba＝－2，解得t＝0．]
16．某化工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.25%．已知在过滤过程中的污染物的残留数量P(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：时)之间的函数关系为P＝P0·et ln k(其中e是自然对数的底数，k为常数，P0为原污染物总量)．若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了96%，则k＝________；要能够按规定排放废气，还需要过滤n小时，则正整数n的最小值为______(参考数据：log52≈0.43)．
55 4 [显然，当t＝0时，P＝P0，当t＝4时，P＝4%P0，则有125P0＝P0·e4ln k，于是得k4＝125，而k>0，解得k＝55，
设经过m小时后能够按规定排放废气，则有P0·em ln k≤0.25%P0⇔km≤1400，
即55m≤1400⇔512m≥400⇔12m≥log5400⇔m≥4＋8log52≈4＋8×0.43＝7.44，
于是得还需要过滤时间n＝m－4≥3.44，
则正整数n的最小值为4．
所以k＝55，正整数n的最小值为4．]
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)(2022·浙江大学附属中学期末)(1)计算：278－13＋log23·log34＋lg 2＋lg 50；
(2)已知tan α＝2，求cos 3π2+α·cos (π－α)的值．
[解] (1)278－13＋log23·log34＋lg 2＋lg 50
＝323－13＋log23×2log32＋lg 100＝23＋2＋2＝143．
(2)cos 3π2+α·cos (π－α)＝sin α·(－cos α)
＝-sinαcosαsin2α+cos2α＝-tanαtan2α+1＝－25．
18．(本小题满分12分)(2022·山东临沂期末)已知集合A＝{x|log2(x－1)<2}，B＝{x|x2－2ax＋a2－1<0}．
(1)若a＝1，求A∪B；
(2)求实数a的取值范围，使________成立．
从①A⊆∁RB，②B⊆∁RA，③(∁RA)∩B＝∅中选择一个填入横线处求解．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
[解] (1) A＝{x|log2(x－1)<2}＝{x|0π2，ωπ+π3≤5π2 或ωπ2+π3≥π2，ωπ2+π3<5π2，ωπ+π3>5π2，
解得16<ω<13或136<ω<133．
又0<ω<3，
故ω的取值范围为16，13∪136，3．
21．(本小题满分12分)(2022·湖北沙市中学期末)某地某路无人驾驶公交车发车时间间隔t(单位：分钟)满足5≤t≤20，t∈N．经测算，该路无人驾驶公交车载客量p(t)与发车时间间隔t满足：p(t)＝60-t-102，5≤t<10，60，10≤t≤20， 其中t∈N．
(1)求p(5)，并说明p(5)的实际意义；
(2)若该路公交车每分钟的净收益y＝6pt+24t－10(元)，问当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益．
[解] (1)p(5)＝60－(5－10)2＝35，实际意义为：发车时间间隔为5分钟时，载客量为35．
(2)∵y＝6pt+24t－10，
∴当5≤t<10时，
y＝360-6t-102+24t－10＝110－6t+216t，
任取5≤t10，257成立，求实数m的取值范围．
[解] (1)当x∈(1，＋∞)时，log2x>0，所以4log2x＋1log2x≥ 24log2x·1log2x＝4，
当且仅当4log2x＝1log2x，即x＝2时，等号成立，所以，函数f (x)在区间(1，＋∞)上的最小值为4．
(2)g(x)＝m·4x＋2x+1－m＝m(2x)2＋2·2x－m，x∈[1，2]，令2x＝t，则上述函数化为y(t)＝mt2＋2t－m，t∈[2，4]．
因为m<0，所以对称轴t＝－1m>0，当－1m≤2，即m≤－12时，函数y(t)在[2，4]上单调递减，所以当t＝2时，ymax＝3m＋4；当2<－1m<4，即－127成立，等价于g(x2)>7－f (x1)成立，即g(x)max>[7－f (x)]max，由(1)可知，当x∈(1，＋∞)时，[7－f (x)]max＝7－f (x)min，因此，只需要g(x)max>3．
所以当－14≤m<0时，15m＋8>3，解得m>－13，所以－14≤m<0；
当－123，解得m<-3-52或-3+523，解得m>－13，此时解集为空集．
综上，实数m的取值范围为-3+520)有两个不等的实数根x 1，x 2有两个相等的实数根x 1，x 2无实数根y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图象ax2＋bx＋c>0
(a>0)的解集{x|x＜x1
或x＞x2}xx≠-b2aRax2＋bx＋c<0
(a>0)的解集{x|x1
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